高考数学一轮总复习第8讲指数与指数函数课件文新课标

(2)函数 y＝x|a|x(0<a<1)的图象的大致形状是( )
【解析】(1)由 f(2)＝4，得 a－2＝4，所以 a＝21， f(x)＝(21)－|x|＝2|x|， f(－2)＝2|－2|＝22>21＝f(1)．
(2)函数的定义域为{x|x∈R，x≠0}， 且 y＝x|xa|x＝－ax axx>x0< 0 . 当 x>0 时，函数是一个指数函数，其底数满足 0<a<1， 所以函数递减； 当 x<0 时，函数的图象与 y＝ax(0<a<1)的图象(x<0 的 部分)关于 x 轴对称，呈递增趋势，所以应选 D.
2．复合函数的值域可采用换元法，结合中间变量的范 围求函数的值域；复合函数 y＝f(x)的单调性要根据 y＝au，u ＝f(x)两函数在相应区间上的单调性确定，遵循“同增异减” 的规律．
素材2
(1)设函数 f(x)＝a－|x|(a>0 且 a≠1)，若 f(2)＝4，则 a＝
1 2
，
f(－2)与 f(1)的大小关系是 f(－2)>f(1) ；
三 指数函数的性质及应用
【例 3】(2011·上海卷)已知 f(x)＝a×2x＋b×3x，其中常 数 a、b 满足 ab≠0.
(1)若 ab>0，判断函数 f(x)的单调性； (2)若 ab<0，求 f(x＋1)>f(x)时的 x 的取值范围．
【解析】(1)当 a>0，b>0 时，因为 a×2x，b×3x 都单调递 增，所以函数 f(x)单调递增；
3 (2)原式＝
a23·a－32÷
a－73·a133
＝3 a0÷ a2＝1a.
二 指数函数的图象及应用
【例 2】已知函数 y＝(13)|x＋1|. (1)作出函数的图象(简图)； (2)由图象指出其单调区间； (3)若曲线 y＝f(x)与直线 y＝b 没有公共点，求 b 的 取值范围．
【 解 析 】 (1)方 法
B．y2>y1>y3 D．y1>y3>y2
【解析】幂值大小比较问题，首先考虑指数函数的单 调性，不同底先化成同底．
y1＝40.9＝21.8，y2＝80.48＝21.44，y3＝(21)－1.5＝21.5. 又因为 y＝2x 在 R 上是单调增函数，1.8>1.5>1.44， 所以 y1>y3>y2.
3.已知函数 f(x)＝3＋ax－1 的图象恒过定点 P，则点 P
的坐标为( )
A．(1,4)
B．(1,3)
C．(0,4)
D．(0,3)
【解析】当 x＝1 时，a0＝1，则 f(1)＝4，即定点 P 的坐标 为(1,4)．
4.将指数函数 f(x)的图象向右平移一个单位，得 到如图所示的 g(x)的图象，则 f(x)＝( )
(2)由图象知函数在(－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋∞) 上是减函数．
(3)由图象可知(31)|x＋1|∈(0,1]，要使直线 y＝b 与曲线 y＝f(x) 无交点，则 b 的取值范围为(－∞，0]∪(1，＋∞)．
【点评】1.画指数函数 y＝ax 的图象，应抓住三个关键点 (1，a)，(0,1)，(－1，a1)，由此掌握指数函数图象的位置与底 数大小的关系．
当 a<0，b<0 时，因为 a×2x，b×3x 都单调递减，所以函数 f(x)单调递减．
(2)f(x＋1)－f(x)＝a×2x＋2b×3x>0，
(ⅰ)当 a<0，b>0 时，原不等式等价于(32)x>－2ab，又 y＝(32)x 单调递增，－2ab>0，所以 x>log32(－2ab)；
(ⅱ)当 a>0，b<0 时，原不等式等价于(32)x<－2ab，同理解得 x<log32(－2ab)．
A．2x B．3x C．(21)x D．(31)x
【解析】设 f(x)＝ax，则 g(x)＝ax－1，由 g(x)的图象过(2,2) 点可知，a2－1＝2，所以 a＝2，所以 f(x)＝2x.
5.设 y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝(12)－1.5，则(
)
A．y3>y2>y1 C．y1>y2>y3
因为 x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，底数12∈(0,1)， 所以 0<(21)x2－2x≤(12)－1＝2，即函数 f(x)的值域为(0,2]
一 有关指数幂的运算问题
【例 1】计算： (1)(0.027)－31－(－17)－2＋(279)21－( 2－1)0； (2)(41)－12·0.1 －24·aab3－b1－3312
【解析】(1)原式＝(120700)－31－(－7)2＋(295)12－1 ＝130－49＋35－1＝－45.
13 (2)原式＝4120·402·a23·a－32·b32·b－23 ＝245a0b0＝245.
)
－
1 3
]
－
1 2
－
10×0.02731；
3 (2)
3 a2·
a－3÷
3 a－7·3 a13.
【解析】 (1)(0.0081)－14－[3×(78)0]－1·[81－0.25＋(287)－31] －21－10×0.02713
＝[(0.3)4]－14－3－1{(34)－14＋[(32)3]－31}－12－10×[(0.3)3]31 ＝0.3－1－3－1[3－1＋(23)－1]－21－3 ＝130－31(31＋23)－21－3 ＝130－31－3＝0.
1：由函数解析式可得
y
＝
(
1 3
)|x
＋
1|
＝
13x＋1 x≥－1 ，其图象由两部分组成． 3x＋1 x<－1
一部分是 y＝(31)x(x≥0)―向―1个左单平位移→y＝(31)x＋1(x≥－1)， 另一部分是 y＝3x(x<0)―向―左平移→y＝3x＋1(x<－1)，
1个单位
如下图所示．
方法 2：将 y＝(13)|x|向左平移 1 个单位，即可得 y＝(31)|x＋1| 的图象，如图．
D．(ba)5＝a5·b15
【解析】(1)(315)0－(0.01)0.5＝1－(1100)12
＝1－110＝190.
3 (2)
4＝3 2＝213.
2.函数 y＝ax(a>0，a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，
则 a 的值为( )
1
3
A.2
B.2
C.21或32
D．以上全不对
【解析】当 a>1，y＝ax 递增，所以 a2－a＝a2，解得 a＝23； 当 0<a<1，y＝ax 递减，所以 a－a2＝2a，解得 a＝12. 故选 C.
【点评】进行分数指数幂的运算要熟练掌握分数指数幂 的运算性质，并能灵活运用．一般进行分数指数幂运算时， 化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运 算，同时要特别注意运算顺序问题．
素材1
化简下列各式：
(1)(0.0081)
－
1 4
－
[3×(
7 8
)0]
－
1·[81
－
0.25
＋
(
27 8
备选例题
讨论函数 f(x)＝(21)x2－2x 的单调性，并求其值域．
【解析】因为函数 f(x)的定义域为 R，令 u＝x2－2x，y＝ (12)u，
因为 u＝x2－2x＝(x－1)2－1 在(－∞，1]上为减函数，在[1， ＋∞)上为增函数，
又 y＝(12)u 在其定义域上为减函数，所以 f(x)在(－∞，1] 上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，
理解有理数指数幂的含义，了解实数指数 幂的意义，能进行幂的运算；理解指数函数的 概念和意义；理解指数函数的性质，会画指数 函数的图象．
1.(1)化简(315)0－(0.01)0.5＝
9 10
；
(2)下列各式正确的是( )
6 A.
－22＝(－2)31
3 B.
4＝231
3 C.
a2＋b2＝(a＋b)32
【解析】(1)数形结合法．当 a>1 时，作图知无解； 当 0<a<1 时，作图知 0<2a<1⇒0<a<12.
(2)f(x)＝2xaaxx＋－11>0⇔x(ax－1)>0. 当 x>0 时，ax－1>0⇔ax>a0，又 x>0，所以 a>1； 当 x<0 时，ax－1<0⇔ax<a0，又 x<0，所以 a>1. 综上，a 的取值范围为(1，＋∞)．
【点评】与指数函数有关的单调性问题，一定要注意底数 a 的取值范围对单调性的影响．本题中还要关注的是前面含参 系数的符号对单调性的影响．
素材3
(1)若直线 y＝2a 与 y＝|ax－1|(a>0，且 a≠1)的图象有两个 公共点，则 a∈ (0，12) ；
(2)已知 f(x)＝(ax－1 1＋21)x，x≠0，若 f(x)>0 在定义域内恒 成立，则 a 的取值范围为 (1，＋∞) .