17.1 勾股定理
(完整版)17.1勾股定理
17．1 勾股定理（1）一、教学目标1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理． 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力．3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习．二、重点、难点1．重点：勾股定理的内容及证明． 2．难点：勾股定理的证明．3．难点的突破方法：几何学的产生，源于人们对土地面积的测量需要．在古埃及，尼罗河每年要泛滥一次；洪水给两岸的田地带来了肥沃的淤积泥土，但也抹掉了田地之间的界限标志．水退了，人们要重新画出田地的界线，就必须再次丈量、计算田地的面积．几何学从一开始就与面积结下了不解之缘，面积很早就成为人们认识几何图形性质与争鸣几何定理的工具．本节课采用拼图的方法，使学生利用面积相等对勾股定理进行证明．其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变． 三、例题的意图分析例1（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手．激发学生的民族自豪感，和爱国情怀．例2（补充）使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变．进一步让学生确信勾股定理的正确性． 四、课堂引入目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等．我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的．这个事实可以说明勾股定理的重大意义．尤其是在两千年前，是非常了不起的成就．让学生画一个直角边为3 cm 和4 cm 的Rt △ABC ，用刻度尺量出斜边AB 的长．以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连接得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五．”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5．再画一个两直角边为5和12的Rt △ABC ，用刻度尺量斜边AB 的长．你是否发现32+42和52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2．对于任意的直角三角形也有这个性质吗？五、例习题分析例1 （补充）已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c ． 求证：a 2＋b 2=c 2．分析：⑴让学生准备多个三角形模型，拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明．⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S △+S 小正=S 大正，则 4×21ab ＋（b －a ）2=c 2，化简可证．A B⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明．⑷勾股定理的证明方法，达300余种．这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手．激发学生的民族自豪感，和爱国情怀．例2已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c ． 求证：a 2＋b 2=c 2． 分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等． 左边S=4×21ab ＋c 2，右边S=（a+b ）2，左边和右边面积相等，即 4×21ab ＋c 2=（a+b ）2，化简可证．六、课堂练习1．勾股定理的具体内容是： ． 2．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）⑴两锐角之间的关系： ； ⑵若D 为斜边中点，则斜边中线 ； ⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ； ⑷三边之间的关系： ．3．△ABC 的三边a 、b 、c ，若满足b 2= a 2＋c 2，则 =90°；若满足b 2＞c 2＋a 2，则∠B 是 角； 若满足b 2＜c 2＋a 2，则∠B是 角．4．根据如图所示，利用面积法证明勾股定理．七、课后练习1．已知在Rt △ABC 中，∠B=90°，a 、b 、c 是△ABC 的三边，则 ⑴c= ．（已知a 、b ，求c ） ⑵a= ．（已知b 、c ，求a ） ⑶b= ．（已知a 、c ，求b ）2．如下表，表中所给的每行的三个数a 、b 、c ，有a ＜b ＜c ，试根据表中已有数的规律，写出当a=19时，b ，c 的值，并把b 、c 用含a 的代数式表示出来．bbbbaa AB b E B3．在△ABC 中，∠BAC=120°，AB=AC=310cm ，一动点P 从B 向C 以每秒2cm 的速度移动，问当P 点移动多少秒时，PA 与腰垂直．4．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 在CB 的延长线上． 求证：⑴AD 2－AB 2=BD·CD⑵若D 在CB 上，结论如何，试证明你的结论．参考答案六、课堂练习1．略.2．⑴∠A+∠B=90°；⑵CD=21AB ；⑶AC=21AB ；⑷AC 2+BC 2=AB 2． 3．∠B ，钝角，锐角；4．提示：因为S 梯形ABCD = S △ABE + S △BCE + S △EDA ，又因为S 梯形ACDG =21（a+b ）2， S △BCE = S △EDA =21 ab ，S △ABE =21c 2, 21（a+b ）2=2×21 ab ＋21c 2． 七、课后练习1．⑴c=22a b -；⑵a=22c b -；⑶b=22a c +2．⎩⎨⎧+==+1222b c c b a ；则b=212-a ，c=212+a ；当a=19时，b=180，c=181．3．5秒或10秒．4．提示：过A 作AE ⊥BC 于E ．D CB17．1 勾股定理（2）一、教学目标1．会用勾股定理进行简单的计算．2．树立数形结合的思想、分类讨论思想．二、重点、难点1．重点：勾股定理的简单计算．2．难点：勾股定理的灵活运用．3．难点的突破方法：⑴数形结合，让学生每做一道题都画图形，并写出应用公式的过程或公式的推倒过程，在做题过程中熟记公式，灵活运用．⑵分类讨论，让学生画好图后标图，从不同角度考虑条件和图形，考虑问题要全面，在讨论的过程中提高学生的灵活应用能力.⑶作辅助线，勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此要注意直角三角形的条件，要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法，在做辅助线的过程中，提高学生的综合应用能力．⑷优化训练，在不同条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度．三、例题的意图分析例1（补充）使学生熟悉定理的使用，刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系．让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边．并学会利用不同的条件转化为已知两边求第三边．例2（补充）让学生注意所给条件的不确定性，知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想．例3（补充）勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法．让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高综合能力．四、课堂引入复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形．学习勾股定理重在应用．五、例习题分析例1（补充）在Rt△ABC，∠C=90°⑴已知a=b=5,求c．⑵已知a=1,c=2, 求b．⑶已知c=17,b=8, 求a．⑷已知a：b=1：2,c=5, 求a．⑸已知b=15，∠A=30°，求a，c．分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系．⑴已知两直角边，求斜边直接用勾股定理．⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式．⑷⑸已知一边和两边比，求未知边．通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边．后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想．例2（补充）已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边．分析：已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计算．让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想．例3（补充）已知：如图，等边△ABC 的边长是6cm ．⑴求等边△ABC 的高．⑵求S △ABC ．分析：勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要 创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做 法．欲求高CD ，可将其置身于Rt △ADC 或Rt △BDC 中， 但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求AD=CD=21AB=3cm ，则此题可解． 六、课堂练习1．⑴在Rt △ABC ，∠C=90°，a=8，b=15，则c= ． ⑵在Rt △ABC ，∠B=90°，a=3，b=4，则c= ． ⑶在Rt △ABC ，∠C=90°，c=10，a ：b=3：4，则a= ，b= ．⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ． ⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ，，则第三边长为 ． ⑹已知等边三角形的边长为2cm ，则它的高为 ，面积为 ． 2．已知：如图，在△ABC 中，∠C=60°，AB=34，AC=4，AD 是BC 边上的高，求BC 的长．3．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积． 七、课后练习1．在Rt △ABC ，∠C=90°，⑴如果a=7，c=25，则b= ． ⑵如果∠A=30°，a=4，则b= ． ⑶如果∠A=45°，a=3，则c= ． ⑷如果c=10，a-b=2，则b= ．⑸如果a 、b 、c 是连续整数，则a+b+c= ． ⑹如果b=8，a ：c=3：5，则c= ．2．已知：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥DC ， AB ⊥AC ，∠B=60°，CD=1cm ，求BC 的长．参考答案六、课堂练习 1．17；7； 6，8； 6，8，10； 4或34； 3，3；2．8； 3．48． 七、课后练习1．24； 43； 32； 6； 12； 10； 2．332.DBA ABB17．1 勾股定理（3）一、教学目标1．会用勾股定理解决简单的实际问题．2．树立数形结合的思想．二、重点、难点1．重点：勾股定理的应用．2．难点：实际问题向数学问题的转化．3．难点的突破方法：数形结合，从实际问题中抽象出几何图形，让学生画好图后标图；在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，教师要向学生交代清楚，解释明白；优化训练，在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度；让学生深入探讨，积极参与到课堂中，发挥学生的积极性和主动性．三、例题的意图分析例1（教科书例1）明确如何将实际问题转化为数学问题，注意条件的转化；学会如何利用数学知识、思想、方法解决实际问题．例2（教科书例2）使学生进一步熟练使用勾股定理，探究直角三角形三边的关系：保证一边不变，其他两边的变化．四、课堂引入勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用．勾股定理的发现和使用解决了许多生活中的问题，今天我们就来运用勾股定理解决一些问题，你可以吗？试一试．五、例习题分析例1 分析：⑴在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，即门框为长方形，四个角都是直角．⑵让学生深入探讨图中有几个直角三角形？图中标字母的线段哪条最长？⑶指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？⑷转化为勾股定理的计算，采用多种方法．⑸注意给学生小结深化数学建模思想，激发数学兴趣．例2 分析：⑴在△AOB中，已知AB=3，AO=2.5，利用勾股定理计算OB．⑵在△COD中，已知CD=3，CO=2，利用勾股定理计算OD．则BD=OD－OB，通过计算可知BD≠AC．⑶进一步让学生探究AC和BD的关系，给AC不同的值，计算BD．A BC六、课堂练习 1．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是 米．2．如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是43米，则这两株树之间的垂直距离是 米，水平距离是 米．2题图 3题图 4题图3．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 ．4．如图，原计划从A 地经C 地到B 地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A 地到B 地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？ 七、课后练习 1．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B 、C 两点，在江对岸取一点A ，使AC 垂直江岸，测得BC=50米，∠B=60°，则江面的宽度为 ．2．有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为 米． 3．一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P 、Q 两点，PQ=16厘米，且RP ⊥PQ ，则RQ= 厘米．4．如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24米，∠B=∠C=30°，E 、F 分别为BD 、CD 中点，试求B 、C 两点之间的距离，钢索AB 和AE 的长度．（精确到1米）参考答案六、课堂练习1．2250； 2．6， 32； 3．18米； 4．11600. 七、课后练习 1．350米； 2．22； 3．20； 4．83米，48米，32米.ACB Q ABDEF17．1 勾股定理（4）一、教学目标1．会用勾股定理解决较综合的问题． 2．树立数形结合的思想． 二、重点、难点1．重点：勾股定理的综合应用． 2．难点：勾股定理的综合应用． 3．难点的突破方法：⑴数形结合，正确标图，将条件反应到图形中，充分利用图形的功能和性质．⑵分类讨论，从不同角度考虑条件和图形，考虑问题要全面，在讨论的过程中提高学生的灵活应用能力．⑶作辅助线，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法，在做辅助线的过程中，提高学生的综合应用能力．⑷优化训练，在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度．三、例题的意图分析例1（补充）“双垂图”是中考重要的考点，熟练掌握“双垂图”的图形结构和图形性质，通过讨论、计算等使学生能够灵活应用．目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC 2-BD 2=AC 2-AD 2，两对相等锐角，四对互余角，及 30°或45°特殊角的特殊性质等．例2（补充）让学生注意所求结论的开放性，根据已知条件，作适当辅助线求出三角形中的边和角．让学生掌握解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题．使学生清楚作辅助线不能破坏已知角．例3（补充）让学生掌握不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差．在转化的过程中注意条件的合理运用．让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高解题的综合能力．例4 让学生利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论． 四、课堂引入复习勾股定理的内容．本节课探究勾股定理的综合应用． 五、例习题分析例1（补充）已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥BC 于D ，∠A=60°，CD=3，求线段AB 的长．分析：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求学生对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用．目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC 2-BD 2=AC 2-AD 2，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等．要求学生能够自己画图，并正确标图．引导学生分析：欲求AB ，可由AB=BD+CD ，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD=3和AD=1．或欲求AB ，可由22BC AC AB +=，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出AC=2和BC=6．C D例2（补充）已知：如图，△ABC 中，AC=4，∠B=45°，∠A=60°，根据题设可知什么？分析：由于本题中的△ABC 不是直角三角形，所以根据题设只能直接求得∠ACB=75°．在学生充分思考和讨论后，发现添置AB 边上的高这条辅助线，就可以求得AD ，CD ，BD ，AB ，BC 及S △ABC ．让学生充分讨论还可以作其它辅助线吗？为什么？小结：可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题．并指出如何作辅助线？ 解略．例3（补充）已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2．求：四边形ABCD 的面积．分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连接AC ，或延长AB 、DC 交于F ，或延长AD 、BC 交于E ，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单．教学中要逐层展示给学生，让学生深入体会．解：延长AD ，BC 交于点E ． ∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°． ∴AE=2AB=8，CE=2CD=4.∴BE 2=AE 2-AB 2=82-42=48，BE=48=34．∵DE 2= CE 2-CD 2=42-22=12，∴DE=12=32． ∴S 四边形ABCD =S △ABE -S △CDE =21AB·BE-21CD·DE=36. 小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差． 例4 在数轴上画出表示13的点.分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论．变式训练：在数轴上画出表示22,13--的点．六、课堂练习1．△ABC 中，AB=AC=25 cm ，高AD=20 cm ，则BC= ，S △ABC = ． 2．△ABC 中，若∠A=2∠B=3∠C ，AC=32cm ，则∠A= 度，∠B= 度，∠C= 度，BC= ，S △ABC = ． 3．△ABC 中，∠C=90°，AB=4，BC=32，CD ⊥AB 于D ，则AC= ，CD= ，BD= ，AD= ，S △ABC = ．4．已知：如图，△ABC 中，AB=26，BC=25，AC=17， 求S △ABC ． C ADBCC七、课后练习1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥BC 于D ，∠A=60°，CD=3，AB= ． 2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，S △ABC =30，c=13，且a ＜b ，则a= ，b= ． 3．已知：如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°，AC=22，求（1）AB 的长；（2）S △ABC ． 4．在数轴上画出表示－52,5 的点．参考答案六、课堂练习1．30cm ，300cm 2； 2．90，60，30，4，32； 3．2，3，3，1，32；4．作BD ⊥AC 于D ，设AD=x ，则CD=17-x ，252-x 2=262-（17-x ）2，x=7，BD=24， S △ABC =21AC·BD=254. 七、课后练习 1．4； 2．5，12；3．提示：作AD ⊥BC 于D ，AD=CD=2，AB=4，BD=32，BC=2+32，S △ABC = =2+32； 4．略．C。
人教版八年级下册17.1勾股定理(教案)
（2）勾股定理的证明方法：掌握至少两种证明方法，如割补法、动态拼图法等，以便加深对定理的理解。
举例：通过割补法证明，将直角三角形分割成两个小直角三角形和一个矩形，推导出勾股定理。
（3）勾股定理的应用：学会运用勾股定理解决实际问题，如计算直角三角形的斜边长度，判断一个三角形是否为直角三角形等。
五、教学反思
在今天的勾股定理教学过程中，我发现学生们对于定理的概念和应用表现出较大的兴趣，但同时也存在一些理解和操作上的难点。让我来谈谈几个值得注意的方面。
首先，关于勾股定理的概念，大多数学生能够理解直角三角形两个直角边的平方和等于斜边的平方这一关系，但在具体应用到实际问题中时，部分学生仍然会感到困惑。这说明我们在教学中需要更多实际案例的引导，让学生更好地将理论知识与实际应用结合起来。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“勾股定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了勾股定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对勾股定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
举例：已知直角三角形的两个直角边长度，求斜边长度。
人教版八年级下册 课件 17.1 勾股定理(共46张PPT)
b c b c b cb c
a
a
a
a
勾股定理的证明方法很多，这里重点的介绍面积 证法。
勾股定理的证法（一）
∵( a+b)2=c2+4 ab a2+b2=c2
勾股定理的证法（二）
∵4× ab= c2－(b－a)2 a2+b2=c2
• 学习目标： 1．能运用勾股定理求线段的长度，并解决一些简单的实 际问题； 2．在利用勾股定理解决实际生活问题的过程中，能 从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型， 利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联 系，并进一步求出未知边长．
以直角三角形的两条直角边a、b为边作两个正方形， 把两个正方形如图（左）连在一起，通过剪、拼把它拼成 图（右）的样子。你能做到吗？试试看。
b
a
练习1 求图中字母所代表的正方形的面积．
225 A
144
80 A
24 Ｂ
A 8
17
练习2 求下列直角三角形中未知边的长度．
C
A
4
x
5
A
10
C
6
B
x
B
通过这种方法，可以把一个正方形的面积分成若干 个小正方形的面积的和，不断地分下去，就可以得到一 棵美丽的勾股树．
通过解方程可得．
B
C
A
今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸， 适与岸齐．问水深、葭长各几何？
利用勾股定理解决实际问题 的一般思路：
（1）重视对实际问题题意的 正确理解；
（2）建立对应的数学模型， 运用相应的数学知识；
（3）方程思想在本题中的运 用．
B
C
A
如图，一棵树被台风吹折断后，树顶端落在离底端 3米处，测得折断后长的一截比短的一截长1米，你能计 算树折断前的高度吗？
《勾股定理》数学教学PPT课件(10篇)
=BD·
CD.
D
B
E
C
课堂小
结
利用勾股定理解
决实际问题
勾股定理
的应用
构造直角三角形
解决实际问题
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第3课时
利用勾股定理作图和计算
知识要点
1.勾股定理与数轴、坐标系
2.勾股定理与网格
3.勾股定理与几何图形
新知导入
想一想：
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你
能在数轴上画出表示 13 的点吗？
如果能画出长为 13 的线段，就能在数轴上画出表示 13 的
2
点.容易知道，长为
的线段是两条直角边的长都为1的直角三
角形的斜边.
长为 13 的线段能是直角边的长为正整数的直角三角形的
斜边吗？
新知导入
想一想：
利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数2, 3
知识
的直角三角形的斜边长为
AC2+BC2=AB2
由上面的例子，我们猜想：
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边
长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方.
a
c
b
课程讲授
1
勾股定理
下面让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.
c
证明：∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
b
a
b-a
例 如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”，只用没有刻
度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为
8
_____条．
人教版勾股定理第一课时
பைடு நூலகம்
拼图证明
1、拿出准备好的四个全等的直角三角形 （设直角三角形的两条直角边分别为a，b， 斜边c）；
2、你能用这四个直角三角形拼成一个正方
形
吗？拼一拼试试看
3、你拼的正方形中是否含有以斜边c为边长的正 方形？
4、你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2？
c a
b
13
拼图证明
如何利用下图证明a2+b2=c2？
赵爽弦图
图1-1
图1-2
古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨、
研究它的证明，新证法不断出现。目前世界上共有500
多种证明“勾股定理”的方法。其中包括大画家达·芬奇
18
和美国总统加菲尔德的证法。
勾股定理运用1
已知S1=1,S2=3,S3=2,S4=4,求S5、S6、S7的值
S2 S1 S5
青 出
青 入
朱朱
朱 出出 方
朱朱入入 青入
以刘徽的“青朱 出入图”为代表， 证明不需用任何 数学符号和文字， 更不需进行运算， 隐含在图中的勾 股定理便清晰地 呈现，整个证明 单靠移动几块图 形而得出，被称 为“无字证明”.
青出
29
证法欣赏3
④
⑤
b
c
③
a
①②
以刘徽的“青朱 出入图”为代表， 证明不需用任何 数学符号和文字， 更不需进行运算， 隐含在图中的勾 股定理便清晰地 呈现，整个证明 单靠移动几块图 形而得出，被称 为“无字证明”.
长分别为a、b，斜边长为c，那么 a2 + b2 = c2
数学方法：1.观察—探索—猜想—验证—归纳—应用
2.“割补、拼接”法
17.1勾股定理及验证(教案)
2.发展学生的逻辑推理能力：指导学生运用不同的方法验证勾股定理，培养他们严密的逻辑思维和推理能力。
3.提高学生的数学建模能力：通过解决实际问题，让学生学会运用勾股定理建立数学模型，增强他们解决实际问题的能力。
4.增强学生的数学运算能力：在验证和应用勾股定理的过程中，训练学生熟练地进行数学计算，提高他们的数学运算技能。
在实践活动方面，学生们对于实验操作表现出很高的热情，能够认真观察、动手实践。通过实验，他们加深了对勾股定理的理解，也体会到了数学与生活的紧密联系。然而，我也发现部分学生在操作过程中存在一些问题，如对测量工具的使用不够熟练、对实验数据的处理不够严谨等。在以后的教学中，我将对这部分内容进行更加详细的指导，以提高学生的实践能力。
17.1勾股定理及验证（教案）
一、教学内容
本节课选自《数学》八年级上册第十七章“勾股定理与平方根”中的17.1节“勾股定理及验证”。教学内容主要包括以下三个方面：
1.探究勾股定理：通过观察、思考和讨论，引导学生发现直角三角形三边之间的数量关系，即勾股定理。
2.验证勾股定理：指导学生运用不同的方法验证勾股定理的正确性，如作图法、折叠法、代数法等。
（2）运用不同的验证方法：学生可能对某些验证方法的理解和操作上存在困难，如折叠法、代数法等。
（3）解决实际问题时，正确建立数学模型：学生需要学会将实际问题转化为直角三角形的计算问题。
勾股定理ppt课件
17.1 勾股定理
创设情景 引入新课
说一说：它是由哪些基本几何图形组成？
师生互动 探究规律
毕达哥拉斯
假设每个小等腰直角三角形的面积为1.
三个正方形A, B,C面积SA , SB , SC分别是多少?
SA=2, SB=2, SC=4.
SA , SB , SC之间有什么等量关系呢?
勾 股
弦 勾
股
观察欣赏 感知文化
2000多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣.不但因为这个定理重要、基本，还因为这个 定理贴近人们的生活实际.以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨、研究它 的证明，新的证法不断出现,现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一.
a b
c
b
ac
b
ac
b
动手实践 验证猜想
猜想 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为 c， 那么a2+b2=c2.
b ca
S小正方形= S大正方形－ 4S直角三角形.
(a-b)2 = c2 －
.
a2－2ab+ b2 = c2 － 2ab .
∴ a2+ b2 = c2 .
动手实践 验证猜想
猜想 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为 c， 那么a2+b2=c2.
归纳总结 畅谈收获 本节课中你还有其他的收获吗？
美丽的勾股树
课后作业 深化新知
作业：
（1）整理课堂上所提到的勾股定理的证明方法； （2）教材中的练习； （3）通过上网等方式查找勾股定理的相关资料．
例1. 求出下列直角三角形中未知的边:
D
A
10
人教版初中数学八年级下册第十七章勾股定理17.1.1勾股定理说课稿
3.教师评价：针对学生的表现，给予积极的反馈和鼓励，指出学生的不足之处，并提出改进建议。
（五）作业布置
课后作业布置如下：
1.基础作业：布置一定数量的基础习题，让学生巩固勾股定理的计算方法。
2.提高作业：设计一些拓展性题目，让学生运用勾股定理解决实际问题，提高学生的应用能力。
1.主要内容：左侧包括勾股定理的定义、勾股数；中间部分展示勾股定理的证明过程、例题及解题步骤；右侧部分呈现本节课的总结和勾股定理应用时的注意事项。
2.风格：板书采用简洁明了的字体，用不同颜色粉笔区分重点、难点和关键步骤，以增强视觉效果。
3.作用：板书在教学过程中的作用是引导学生关注教学重点，帮助学生理清知识结构，便于复习和回顾。
3.技术工具：电子白板、几何画板等，方便学生直观地观察和操作几何图形，提高课堂互动性。
（三）互动方式
为实现师生互动和生生互动，我计划设计以下环节：
1.师生互动：在课堂提问环节，教师引导学生思考问题，学生回答问题，教师给予反馈和指导。
2.生生互动：将学生分成小组，进行合作探究、讨论。在小组内，学生共同分析问题、解决问题，相互交流想法，达成共识。
2.小组讨论：组织学生进行小组讨论，共同解决实际问题，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
3.实践活动：让学生分组测量学校周围建筑物中的直角三角形，计算其边长，并验证勾股定理。
（四）总结反馈
在总结反馈阶段，我将采取以下措施：
1.自我评价：让学生回顾本节课的学习内容，进行自我评价，总结自己在学习过程中的收获和不足。
在课程体系中，勾股定理的学习是在学生已经掌握了直角三角形的基本概念、三角形面积计算以及相似三角形的基础上展开的。通过本节课的学习，学生将对直角三角形有更深入的理解，为后续学习平面几何中与直角三角形相关的内容奠定基础。
《17.1 勾股定理》课件(含习题)
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，
请你按照他们的解题思路完成解答过程.
A
作AD⊥BC于D, 设BD=x,用含x的 代数式表示CD
根据勾股定理， 利用AD作为“桥 梁”建立方程模 型求出x
B
DC
利用勾股定理求 出AD的长，再计 算三角形面积
解：如图，在△ABC中，AB=15,BC=14,AC=13, 设BD=x,则CD=14-x,
在Rt△COD中，根据勾股定理，
OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15
OD 3.15 1.77,
BD OD OB 1.77 1 0.77 .
A C
O
BD
所以梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外 移0.5m，而是外移约0.77m.
归纳总结
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
a
c
b
二 勾股定理的验证
拼一拼 请同学们准备四个完全相同的直角三 角形，跟着我国汉代数学家赵爽拼图.
赵爽
b
a
c
b
a
a2 + b2
这种用拼图的验
=证勾c股2 定理的方
法叫做弦图法
c
a
b
证一证
证明： S大正方形＝c2
c b
a
b-a
赵爽弦图
S小正方形＝（b-a）2
S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形
当堂练习
1.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵2米，两棵对相距8米
.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少飞行
（ B ）A. 8米 B.10米
C.12米 D.14米
A
B
第1题图
人教版数学八年级下册：17.1 勾股定理 课件(共35张PPT)
探究 如图，以Rt△ 的三边为边向外作正方形，
其面积分别为 S1 、S2、S3，请同学们想一想
S1 、S2、S3 之间有何关系呢？
S2 + S3 =a2+b2
S1=c2
B
S1c a S2
b
A S3 C
∵a2+b2=c2
S2 + S3 = S1
探究S1、S2、S3之间的关系
S2
S3
1 2
a 2
2
1 2
b 2
2
1 a2 1 b2
8
8
S1
1 2
c 2
2
1
8
c2
由勾股定理得 a2+b2=c2
∴S2+S3=S1
S2
c
SS3 2
A
S1
S1
动手操作：例2如图，Rt△ABC中
，AC=8，BC=6，∠C=90°，分别 以AB、BC、AC为直径作三个半圆 ，那么阴影部分的面积为__24_ .
A
E
D
B
F
C
A
A =625
225
400
81
B =144
225
2、如图所示的图形中，所 有的四边形都是正方形，所 有的三角形都是直角三角形 ，其中最大的正方形的边长 是8厘米，则正方形A，B， C，D的面积之和是 __6_4_____平方厘米
利用勾股定理解决平面几何问题3——折叠中的计算问题
能算好算直接算，不能算不好算，设未知数，列方程(勾股定理、全等、相似等）
利用勾股定理解决平面几何问题1— —最短路径问题
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17.1 勾股定理
姓名：___________班级：___________得分：___________
一、单选题
1．已知正方形①、②在直线上，正方形③如图放置，若正方形①、②的面积分别27和54，则正方形③的边长为（）
A. 81
B. 7
C. 9
D. 12
2．如图，由四个边长为1的正方形构成的田字格，只用没有刻度的直尺在田字格中最多可以作长为的线段（）
A．4条B．6条C．7条D．8条
3．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4.若用x，y表示直角三角形的两直角边长(x>y)，下列四个说法：①x2＋y2＝49；②x－y＝2；③2xy＋4＝49；④x＋y＝9.其中正确的说法是（）
A. ①②
B. ①②③
C. ①②④
D. ①②③④
4．如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（）
A. B. - C.
二、填空题
5．三个正方形的面积如图，正方形A的边长为________．
6．在Rt△ABC中，斜边AB=3，则AB2+BC2+CA2=_____．
7．一个直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边长为__________．
8．如图，△ABC中，∠C=90°，AB的中垂线DE交AB于E，交BC于D，若AB=10，AC=6，则△ADC的周长为.
三、解答题
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，求DB的长．
10．如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点C′的位置上．
（1）若∠1=50°，求∠2、∠3的度数；
（2）若AD=8，AB=4，求BF．
参考答案
1．C
【解析】∵四边形①、②、③都是正方形，
∴∠EAB=∠EBD=∠BCD=90°，BE=BD ，
∴∠AEB+∠ABE=90°，∠ABE+∠DBC=90°，∴∠AEB=∠CBD ，
在△ABE 和△CDB 中{ EAB BCD
AEB CBD BE DB
∠∠∠∠＝＝＝，∴△ABE ≌△CDB （AAS ），
∴AE=BC ，AB=CD ，
∵正方形①、②的面积分别27和54，∴AE 2=27，CD 2=54，∴AB 2=54，
在Rt △ABE 中，由勾股定理，得BE 2=AE 2+AB 2=81，∴BE=9，即正方形③的边长为9， 故选C.
2．D
【解析】解：根据勾股定理得：=， 即1，2，是一组勾股数，
如图所示，在这个田字格中最多可以作出8条长度为
的线段． 故选D ．
3．B
【解析】解：由题意得： x 2+y 2=49①(x =4②
，①﹣②得2xy =45 ③，∴2xy +4=49，①+③得x 2+2xy +y 2=94，∴（x +y ）2=94，∴①②③正确，④错误．故选B ．
4．C
=
∴数轴上点A ，
∴；
故选C．
5．5．
【解析】如图，正方形A的边长为
6．18
【解析】因为△ABC为直角三角形，AB为斜边，所以AC2+BC2=AB2，又AB=3，所以AC2+BC2=AB2=9，则AB2+BC2+CA2=AB2+(BC2+CA2)=9+9=18，故答案为18.
7
【解析】分两种情况：（1）3、4都为直角边，由勾股定理得，斜边为5；（2）3为直角边，
4
8．14.
【解析】先根据勾股定理求出BC的长，再由线段垂直平分线的性质得出AD=BD，即AD+CD=BC，再由AC=6即可求出答案．
∵△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴AD+CD=BD+CD，即AD+CD=BC，
∴△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+BC=6+8=14．
9．3.6．
【解析】用勾股定理求AB的长，再利用面积求CD，在Rt△BCD中，用勾股定理求DB．在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2，
∴AB2＝82＋62＝100，∴AB＝10．
在Rt△BCD中，DB2＝BC2－CD2，
∴DB2＝62－4.82＝12.96．
∴DB＝3.6．
所以DB的长为3.6．
10．（1）∠2=50°，∠3=80°；（2）5
【解析】（1）由AD∥BC得∠1=∠2，所以∠2=∠BEF=50°，从而得∠3=180﹣∠2﹣∠BEF；（2）首先根据边角之间的关系得到BE=BF，结合∠A=∠C′，AB=BC′，证明出△ABE≌△C′BF，进一步得到AE=FC，在Rt△ABE中，利用AB2+AE2=BE2，求出AE的长，进而求出CF的长，即可得到结论．
解：（1）∵AD∥BC，
∴∠1=∠2=50°．
∵∠BEF=∠2=50°，
∴∠3=180﹣∠2﹣∠BEF=80°；AD=8，AB=4，
（2）∵∠1=∠2，∠BEF=∠2，
∴∠1=∠BEF，
∴BE=BF，
又∵∠A=∠C′，AB=BC′，
在△ABE与△C′BF中，
，
∴△ABE≌△C′BF（SAS），
∴AE=C′F．
∵FC=FC′，
∴AE=FC．
在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2．
∵AB=4，AD=8，
∴42+AE2=（8﹣AE）2，
∴AE=3，
∴CF=AE=3，
∴BF=BC﹣CF=5．。