2019版一轮优化探究文数(苏教版)练习第一章 第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件 Word版含解析

一、填空题
1．命题“若x>0，则x2>0”的否命题是________命题(填“真”或“假”)．
解析：命题“若x>0，则x2>0”的否命题是“若x≤0，则x2≤0”，是假命题．也可以由逆命题为“若x2>0，则x>0”来判断，逆命题为假命题，因此否命题是假命题．
答案：假
2．设有如下三个命题：
甲：m∩l＝A，m，l⊂α，m，l⊄β；
乙：直线m，l中至少有一条与平面β相交；
丙：平面α与平面β相交．
当甲成立时，乙是丙的________条件．
解析：由题意当甲成立时乙⇒丙，丙⇒乙．
故当甲成立时乙是丙的充要条件．
答案：充要
3．i、j是不共线的单位向量，若a＝5i＋3j，b＝3i－5j，则a⊥b的充要条件是________．
解析：a⊥b⇔a·b＝0，即(5i＋3j)·(3i－5j)＝0，
即15i2－16i·j－15j2＝0，∵|i|＝|j|＝1，
∴16i·j＝0，即i·j＝0，∴i⊥j.
答案：i⊥j
4．有下列几个命题：
①“若a>b，则a2>b2”的否命题；
②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题．
其中真命题的序号是________．
解析：①原命题的否命题为“若a≤b则a2≤b2”错误．
②原命题的逆命题为：“x，y互为相反数，则x＋y＝0”正确．
③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”正确．
答案：②③
5．给定下列四个命题：
①“x ＝π6”是“sin x ＝12”的充分不必要条件；
②若“p ∨q ”为真，则“p ∧q ”为真；
③若a <b ，则am 2<bm 2；
④若集合A ∩B ＝A ，则A ⊆B .
其中为真命题的是________．(填上所有正确命题的序号)
解析：①中，若x ＝π6，则sin x ＝12，但sin x ＝12时，x ＝π6＋2k π或5π6
＋2k π(k ∈Z)．故“x ＝π6”是“sin x ＝12”的充分不必要条件，故①为真命题；②中，令p 为假命题，q 为真命题，有“p ∨q ”为真命题，则“p ∧q ”为假命题，故②为假命题；③中，当m ＝0时，am 2＝bm 2，故③为假命题；④中，由A ∩B ＝A 可得A ⊆B ，故④为真命题．
答案：①④
6．在△ABC 中，“A >30°”是“sin A >12”的________条件．
解析：在△ABC 中，A >30°⇒0<sin A ≤1，不能推出sin A >12，
而sin A >12⇒30°<A <150°，
所以在△ABC 中，“A >30°”是“sin A >12”的必要不充分条件．
答案：必要不充分
7．下列命题的否命题为假命题的个数是________．
①p ：存在x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0；
②p ：有的三角形是正三角形；
③p ：所有能被3整除的整数为奇数；
④p ：每一个四边形的四个顶点共圆．
解析：①p 的否命题：任意x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，为真命题；
②p 的否命题：所有的三角形都不是正三角形，为假命题；
③p 的否命题：存在一个能被3整除的整数不是奇数，0是能被3整除的非奇数，
该命题为真命题；
④p 的否命题：存在一个四边形的四个顶点不共圆，为真命题．
答案：1
8．已知||a ＝2||b ，命题p ：关于x 的方程x 2＋||a x ＋a ·b ＝0没有实数根．命题q ：
〈a ，b 〉∈[0，π3]，命题p 是命题q 的________条件．
解析：方程x 2＋||a x ＋a ·b ＝0没有实根，
∴Δ＝||a 2－4a ·b ＝||a 2－4||a ||b cos 〈a ，b 〉
＝||a 2－2||a 2cos 〈a ，b 〉<0，
∴cos 〈a ，b 〉>12，
又∵0≤〈a ，b 〉≤π，∴0≤〈a ，b 〉<π3，
∵[0，π3)⊆[0，π3]，
∴p 是q 的充分不必要条件．
答案：充分不必要
9．“函数y ＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图象全在x 轴的上方”，这个结论成立的充分必要条件是________．
解析：函数的图象全在x 轴上方，若f (x )是一次函数，则⎩⎨⎧
a 2＋4a －5＝0－4(a －1)＝0⇒ a ＝1.
若函数是二次函数，则
⎩⎨⎧
a 2＋4a －5>0[－4(a －1)]2－12(a 2＋4a －5)<0⇒1<a <19. 反之若1≤a <19，由以上推导，函数的图象在x 轴上方．综上，充要条件是1≤a <19. 答案：1≤a <19
二、解答题
10．(1)是否存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围；
(2)是否存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的必要条件？如果存在，
求出p 的取值范围．
解析：(1)当x >2或x <－1时，x 2－x －2>0，
由4x ＋p <0，得x <－p 4，
故－p 4≤－1时，
“x <－p 4”⇒“x <－1”⇒“x 2－x －2>0”．
∴p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件．
(2)不存在实数p 满足题设要求．
11．已知集合A ＝{y |y ＝x 2
－32x ＋1，x ∈[34，2]}，B ＝{x |x ＋m 2≥1}；命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，并且命题p 是命题q 的充分条件，求实数m 的取值范围． 解析：化简集合A ，
由y ＝x 2－32x ＋1＝(x －34)2＋716，
∵x ∈[34，2]，∴y min ＝716，y max ＝2.
∴y ∈[716，2]，∴A ＝{y |716≤y ≤2}．
化简集合B ，由x ＋m 2≥1，
∴x ≥1－m 2，B ＝{x |x ≥1－m 2}．
∵命题p 是命题q 的充分条件，∴A ⊆B .
∴1－m 2≤716，
∴m ≥34或m ≤－34.
∴实数m 的取值范围是(－∞，－34]∪[34，＋∞)．
12．在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列，则a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列．
(1)写出这个命题的逆命题；
(2)判断逆命题是否为真？并给出证明．
解析：(1)逆命题：在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差
数列，则S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．
(2)当q ＝1时，逆命题为假，当q ＝－12时，逆命题为真，证明如下：
数列{a n }的首项为a 1，公比为q . 由题意知：2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1， 即2·a 1·q m ＋1＝a 1·q m －1＋a 1·q m .
∵a 1≠0，q ≠0，∴2q 2－q －1＝0，∴q ＝1或q ＝－12.
当q ＝1时，有S m ＝ma 1， S m ＋2＝(m ＋2)a 1，S m ＋1＝(m ＋1)a 1. 显然：2S m ＋2≠S m ＋S m ＋1，此时逆命题为假．
当q ＝－12时，有2S m ＋2＝2a 1[1－(－12)m ＋2]1＋12
＝43a 1[1－(－12)m ＋2]，
S m ＋S m ＋1＝
a 1[1－(－12)m ]
1＋12＋a 1[1－(－12)m ＋1]1＋12 ＝43a 1[1－(－12)m ＋2]，
∴2S m ＋2＝S m ＋S m ＋1，此时逆命题为真．。