4.2.1替代定理 - 齐次定理和替代定理——【江苏大学 电路原理】
电路原理 第4章 常用的电路定理
U ad ' U s = I5' I5
Us 6 因此 I 5 = I5 '= × 1 = 0.05 A U ad ' 120
需要注意 注意的是，应用叠加 叠加定理和齐次 齐次定 注意 叠加 齐次 理时，当激励的参考方向反向 反向时，相当于激 反向 励变为原来的－1倍。 － 倍 4.2 替代定理 已知电路中第k条支路的电压uk和电流ik， 那么无论该条支路是由何种元件构成的，它 都可以用电压等于uk的理想电压源或电流等 于ik的理想电流源去替代，替代之后，电路 中其他支路的电压和电流均不变。
得原电路的戴维南等效电路 得原电路的戴维南等效电路 由全电路欧姆定律可得： 由全电路欧姆定律可得：
24Ω
A
I5 16Ω
+ _ 2V
B
电路如图示， 例题 电路如图示，求UR 。 将待求支路断开
(1) 求开路电压 OC 求开路电压U UOC=6I1+3I1 I1=9÷ (6+3)=1A UOC=9V +
解：这个电路是由电阻的串、并联组成，可 以用等效电路的分析方法进行计算，但是 用齐次定理计算会更方便。 先设I5支路电流为I5’=1A， 则:
U cd ' = (15 + 15) I 5' = 30V
4
所以， I
U cd ' 30 '= = = 1A 30 30
I3 ' = I 4 '+I5 ' = 1+1 = 2A
例4.1-1 图4.1-2（a）所示电路，试用叠加 定理求3Ω电阻上的电压U及功率。
8Ω 2Ω （a） 8Ω 2Ω （c） 图4.1-2 例4.1-1图 3A 6Ω ＋ 3Ω U’’ － 3A 6Ω （d） 3A 6Ω ＋ 3Ω U － 8Ω 2Ω （b） 8Ω 2Ω － 3Ω U’’ ＋ 6Ω ＋ 3Ω U’ －
齐次定理、叠加定理、替代定理
１ R1
＋
１ R2
U
a
U S1 R1
IS2
因为 Ua R2I2
所以 R1 R2 R1R2
(R2
I
2
)
U S1 R1
IS2
整理后 I2
R1
1
R2
U S1
R1 R1 R2
IS2
I2
I
'' 2
上式中I2
R1
1
R2
U
S1，与U
S1成正比，就是U
单独作用的结果，
S1
与式（2-27）一致；I2
P51 [例2—25]
解 （1）用叠加定理解题，先要画出每个电源单独作用时 的分图，如图(b)和图(c)。
利用图(b)，得：
I1
I2
US1 R1 R2
10 64
1A，U2
R2 I 2
4 1
4V
利用图(c)，得：U 2
R1R2 R1 R2
IS2
64 64
4
9.6V
I2
R1 R1 R2
IS2
H 100mA 10(mA)
10V
V
开关S打在位置3时，U
s
2与U
位置相同、单位相同、方向相反，
s1
那么U s 2对I的单独贡献为：
I HUS2 (10)15 150mA
这时电流源I
仍作用着，所以毫安表的读数为
s
I I 40 150 190mA
应用叠加定理应注意以下几点： （1）电源不作用时，理想电压源代以短路， 理想电流源代以开路。 （2）叠加定理不适用于非线性电路，因为在 不同电流、电压下非线性电路的电阻值会发生变化。 （3）同一电流、电压响应在各个分图中的分 量应与原电路图中的参考方向一致。 （4）不能用叠加定理计算功率，用分图计算 功率无效。 （5）叠加定理在电路理论上十分重要，但计 算过程分步骤较多，只有在电路结构简单、电源数 目较少的情况下用于计算会方便一些，不可泛用于 计算。
替代定理的妙用
《大学电路/电路原理/电路分析》06--替代定理的妙用电学中重要的电路定理有叠加定理、齐性定理、替代定理、戴维宁定理、诺顿定理和最大功率传输定理，在不同的场合解决各类电路问题，真的是太精妙了。
叠加定理把多电源电路变为单电源电路，一下子回到高中物理。
齐性定理体现了线性电路的比例性质，其“倒推法”用在单电源多电阻电路就是一个字--“绝”。
戴维宁定理和诺顿定理特别擅长于只求某一支路参数的场合，把待求支路从电路中一取走，变成开口电路，难度一下降低。
最大功率传输定理将复杂的求导变成求戴维宁/诺顿等效电路中的等效电阻了。
但唯独对替代定理的介绍最少，相应的例题应就更少。
其实替代定理是一个非常棒的定理，用得好，考试时大可以提前交卷！接下来介绍替代定理在推导及计算中的妙用。
1．替代定理替代定理是指已知电路中某一支路的参数，如两端的电压，流过支路的电流，那么该支路可等效为一个电压源，或电流源，又或是一个电阻，如下图所示：其证明过程也是相对简单的，等效为电压源时只需在支路上串联2个大小相等，方向相反的电压源，如下图所示：虚线框内支路电压刚好和下面的电压源抵消了，电压为0，可用一条导线替代，这样就只剩下面那个电压源了，得证。
而等效为电流源时，则需在支路两端并联2个大小相等，方向相反的电流源，如下图所示：虚线框内流过支路的电流和右边的电流源也抵消，电流为0，整个框可以去掉，只剩左边那个电流源了。
2. 替代定理在定理推导中的应用戴维宁定理是指，一个含源一端口可以等效为一个实际电压源模型，在证明时该定理就先替代定理，再用叠加定理来操作的，如下图所示：图中N s表示含源一端口，N0表示无源一端口。
有学生问替代时为什么选电流源而不选电压源，主要是由于在接着使用的叠加定理，将电流源置零时可直接将其断开，方便计算，如果选电压源，置零时就要短接，求解麻烦。
将分电路中求出的电压u叠加，得到表达式为：根据式中的电压电流关系，得到等效电路就是实际电压源模型，即戴维宁等效电路，如下图所示：看到这里，只想喊一句：“太妙了！”3．替代定理在解题中的应用替代定理在一些复杂电路中最能显示它的优势，如下图所示：电路要求电流I1，但电路结构很复杂，支路多，电源、电阻也多，看到都头晕。
电路分析基础-电路的若干定理
第4章 电路的若干定理 (Circuit Theorems )4.1 叠加定理 (Superposition Theorem)4. 2 替代定理 (Substitution Theorem )4.3 戴维南定理和诺顿定理(Thevenin -Norton Theorem )4. 5＊特勒根定理 (Tellegen’s Theorem )4. 6 互易定理 (Reciprocity Theorem )4. 7＊对偶原理 (Dual Principle )4.4 最大功率传输定理(Maximum Power Transfer Theorem )4.1 叠加定理 (Superposition Theorem )一、线性电路的齐次性和叠加性线性电路：由线性元件和独立源构成的电路。
1.齐次性（homogeneity)(又称比例性，proportionality)电路x (t )y (t )+-+-齐次性：若输入x (t ) → 响应y (t ) ，则输入K x (t) → K y (t ) 电路K x (t )K y (t )+-+-2.叠加性（superposition)若输入x 1(t ) → y 1(t )(单独作用） , x 2(t ) → y 2(t ) … x n (t ) → y n (t )则x 1(t ) 、x 2(t ) … x n (t ) 同时作用时响应y (t )= y 1(t )+ y 2(t )+ … +y n (t )注： x 1(t ) … x n (t ) 可以是不同位置上的激励信号电路x 1(t )y (t )+-+-x 2(t )x n (t )++--3.线性=齐次性+叠加性(t) →y1(t)(单独作用）若输入x1x2(t) →y2(t)…x n(t) →y n(t)则:K1x1(t) +K2x2(t) +…+K n x n(t) →K1y1(t)+ K2y2(t)+ … + K n y n(t)注：齐次性是一种特殊的叠加性。
4.1.1叠加定理和齐次定理 - 叠加定理——【江苏大学电路原理 精】
US 0
R1 R2 R1 R2
IS
I (2) 1
I1
US 0
R2 R1 R2
IS
R1
+
R2
U (2) ab
IS
–
b
将各个电源单独作用
下的响应叠加得到的总响
I1 +
应与利用结点电压法计算
US –
a
R1
+
R2 U ab IS
–
出来的响应相同。
Uab
U (1) ab
U
(2) ab
R2 R1 R2
US
电压源为零—用短路替代 电流源为零—用开路替代
(3) 计算功率不能应用叠加定理（因为功率为电 压和电流的乘积，为电源的二次函数）。
(4) 计算电压u、电流 i 在叠加时，要注意各分量 的方向。
(5) 含受控源的线性电路亦可用叠加定理。在应 用叠加定理时，受控源及电路中的电阻应始 终保留在各分电路中不予更动。受控源的作 用反映在回路电流或结点电压方程中的自阻 和互阻或自导和互导中，故任一处的电流或 电压仍可按照各独立电源单独作用时在该处 产生的电流或电压的叠加。
a
两个电源
I1
R1
+
+
共同作用
US –
R2 U ab IS
–
I (1) 1 +
US –
a
R1 R2
+
U (1) ab –
b
aபைடு நூலகம்
I (2) 1
+
R1
+
R2
U (2) ab
IS
–
b
电压源单独作用
b
电路理论 第4章
B
B
24
A
第 4 章
+ 20V _ 5Ω
+ _ 15V R3 5 Ω 3Ω
R4 4Ω B
I
有源二端网络等效为电 流源模型 ——诺顿定理 有源二端网络等效为电 压源模型—— 戴维南定理
有 源 二 端 网 络
R4 4Ω
I
等 效 电 源
R4 4Ω
第四章
第 4 章
电路分析方法之三
－－电路定理法
叠加原理 等效电源定理 特勒根定理 互易定理
教学重点：替代定理
难点：线性电路的线性关系 戴维南定理 特勒根定理 运用多个定理的综合解题
1
§4－2 替代定理或置换定理
第 4 章
替代定理（又称置换定理）： 在具有唯一解的线性网络中，若某条支路的电压UK （或电流IK）为已知，则这条支路可以用一个电压值为 UK的独立电压源（或用一个电流值为IK的独立电流源） 来替代，若替代后电路仍具有唯一解，则该网络所有支 路的电压和电流均保持不变。 说明： 1. 替代定理适用于线性、非线性电路、定常和时变电路。 2. 替代定理的应用必须满足的条件: 1) 原电路和替代后的电路必须有唯一解。 2) 被替代的K支路必须是独立的、和电路其它 部分应无耦 合及受控关系。
I1 2Ω I2 10A I 3 1Ω I4 4Ω 5Ω + 10V _
原电路 根据叠加定理
I1’’ 2Ω I2’’ I3’’ 1Ω I4’’ 4Ω 5Ω + 10V _
11
I 1 = I 1 ′ − I 1 ″, I 2 = I 2 ′ − I 2 ″ I3 = I3′ + I3 ″, I4 = I4 ′ + I4 ″
US"= 10I1 " + U1" =10×1.6 + 9.6 =25.6V US= US' +US"=-6+25.6=19.6V
《替代定理》课件
路的设计和分析过程，提高电路的性能
和效率。
3
信号处理和通信技术
4
替代定理可以用来分析、设计和优化各 种信号处理和通信系统，提高系统的性
能和可靠性。
计算机程序优化
通过编写等价但更优化的代码，可以提 高程序的运行效率和响应速度。
形式化验证
替代定理是形式化验证中的基础方法之 一，可以帮助验证器证明一些关键性质 的正确性。
《替代定理》PPT课件
替代定理是数学和电子工程学科中的一项重要理论。本课程将介绍替代定理 的历史背景、定义及作用、分类和特点等内容，并探索替代定理在不同是一种数学推理方法， 即通过一个命题的等价关系来求 证另一个命题的真假性。在逻辑 代数和电子工程学科中被广泛使 用。
在传感器网络和嵌入式控制系统 中，替代定理可以用于优化网络 协议、分析系统稳定性和可靠性 等问题。
在机器人和自动化系统中，替代 定理可以用于优化控制算法、分 析动力学和运动学、提高运动控 制精度等问题。
基于替代定理的优化算法
1 基于策略的算法
通过启发式搜索和策略选 择，设计一系列替代定理 变换策略，从而高效地获 得可行解。
替代定理的发展趋势
替代定理将向更深入、更高效、更智能化的方向发展，帮助我们更好地理解和利用复杂的自 然和社会现象。
不足
替代定理有时会和其他优化策略产生局部最优解， 难以达到全局最优解；替代定理的应用需要一定的 数学基础和专业知识。
替代定理与其他优化方法的比较
1
贪心算法
贪心算法通过贪心选择这样的局部最优解，误以为获得了最优解，但并不能保证 一定获得全局最优解。
2
动态规划
动态规划综合考虑不同状态的优化策略，通过状态转移和最优子结构等规律，求 解最优化问题，但需要考虑更多状态和指标。
电路原理4.2.1替代定理 - 齐次定理和替代定理
解得 G1=0.5S，I0=2A
即 I3=0.5US+2
当US2V时，I33A
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电路定理
4.2 替代定理
定理内容:
对于给定的任意一个电路，其中第k条支路 电压 uk 和电流 ik 已知，那么这条支路就可以用 一个具有电压等于 uk 的独立电压源，或者用一 个 电 流 等 于 ik 的 独 立 电 流 源 来 替 代 ， 或 用 R=uk/ik 的电阻来替代，替代后电路中全部电压 和电流均保持原有值（解答唯一） 。
行计算。
U 1.5 I 0.5 1 I 0.5
2.5
2.5
0.1I 0.8Ix
U 1.5 1 I 1 2.5 8
0.075I 0.6Ix
U=U'+U"=(0.8-0.6)Ix=0.2Ix
1 I 0.5
– U' +
0.5 0.5
+
1I
1
8
0.5
则：Rx=U/Ix=0.2Ix/Ix=0.2 0.5 – U'' + 0.5
b
U=RI c a、b为自然等位点，短路后不影响其余电路的数值。
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电路定理
用电流源进行替代证明： I
A RU
A
IS I
A U IS
A
I I
RU
I
支路电流为零
I I
UR I
电流为零的支路断开后不影响其余支路的电压和电流。 返回 上页 下页
电路定理
证明说明：因为第 k 条支路替代前后KCL、KVL
P 20(4)W 80W
发出
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注意：
1. 替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性 电路。
2. 替代后电路必须有唯一解 无电压源回路 无电流源节点（含广义节点）
3. 替代后其余支路及参数不能改变（一点等效）。 4. 第 k 条支路中的电压或电流为A中受控源的控制
量，而替代后该电压或电流不复存在，则该支路 不能被替代。
例1：若要使 I x = 1 8 I ，试求 Rx 。
用电流源进行替代证明： I
A RU
A
IS I
A U IS
A
I I
RU
I
支路电流为零
I I
UR I
电流为零的支路断开后不影响其余支路的电压和电流。
证明说明：因为第 k 条支路替代前后KCL、KVL
关系相同，所以其余支路的 u、i 关系不变。若用 uk 电压源替代 k 支路后，其余各支路电压不变 （KVL），那么其余各支路电流不变，故第 k 条 支路 ik 也不变（KCL）。用 ik 电流源替代 k 支路 后，其余支路电流不变（KCL），那么其余支路 电压不变，故第 k 条支路 uk 也不变（KVL）。
当US2V时，I33A
4.2 替代定理
定理内容:
对于给定的任意一个电路，其中第k条支路 电压 uk 和电流 ik 已知，那么这条支路就可以用 一个具有电压等于 uk 的独立电压源，或者用一 个 电 流 等 于 ik 的 独 立 电 流 源 来 替 代 ， 或 用 R=uk/ik 的电阻来替代，替代后电路中全部电压 和电流均保持原有值（解答唯一） 。
U＝8×2V＝16V
用齐次定理分析梯形电路特别有效。
例4. 已知：RL=2，R1=1，R2=1，uS=51V。
R1 21A R1 8A R1 3A i i'=1A
求电流 i 。 + + 21V– + 8V – + 3V –
+
uS
+ R2 13A R2 5A R2 2A RL 2V
– uS'=34V –
US NS
I3
求当US=2V时，I3=？
解：由叠加定理和齐次定理，I3可表示为:
n
m
I3 G1 US GiUSi k j ISj
i 1
j1
由于NS内电源不变，上式可写为： I3 = G1×US+I0
由给的条件得 4=4G1+I0
5=6G1+ I0
解得 G1=0.5S，I0=2A
即 I3=0.5US+2
出的功率。
解：用2A电流源替代上图电路中的电阻 Rx 和单 口网 络 N2，得到上图所示电路。
列出网孔方程 4I1 2 2 20
求得
I1 4A
20V电压源的功率为
P 20(4)W 80W
发出
本节内容结束
2. 齐次定理
线性电路中，当所有激励（独立源）都增大 （或减小）同样的K倍数，则电路中响应（电压 或电流）也将增大（或减小）同样的K倍数（K为 实常数）。
当激励只有一个时，则响应与激励成正比。
在例3中电压源由10V增至20V（K＝2），电流 源由5A增至10A（K＝2），则根据齐次定理，电 流源两端电压U变为：
替代定理的示意图：
ik
A + uk
支 路
–k
A
+
u
A
–
ik
k
替代定理所提到的第k条支路可以是电阻、 电压源和电阻的串联组合或电流源和电阻的 并联组合。
用电压源进行替代的证明：
Ia
I R
A R U=RI
A
U=RI
b
U=RI
I
Iac
R
A
U=RI
A
U=RI
b
U=RI c a、b为自然等位点，短路后不影响其余电路的数值。
3
1
将3 电阻与 10V电 压源串 联支路 用电流 源替代
+ 10V
–
0.5 I
1 I 0.5
Rx Ix –U +
0.5 0.5
1I 8
0.5
– U + 0.5
将Rx用 电流 源替 代
解：对用电流源替代后的电路，再利用叠加定理进
行计算。
U 1.5 I 0.5 1 I 0.5
2.5
2.5
0.1I 0.8Ix
–
解: 采用倒推法：设i'=1A，推出此时uS'=34V。
则
i = uS i' u'S
即 i = uS i' = 51 1A = 1.5A
u'S
34
本例计算是先从梯形电路最远离电源的一段开始，
倒退至激励处。这种计算方法称为“倒退法”。
例5 电路如图NS为有源网路，
当US=4V时，I3=4A； 当US=6V时，I3=5A；
U 1.5 1 I 1 2.5 8
0.075I 0.6Ix
U=U'+U"=(0.8-0.6)Ix=0.2Ix
1 I 0.5
– U' +
0.5 0.5
=0.2Ix/Ix=0.2 0.5 – U'' + 0.5
例2：试求图示电路在 I=2A 时，20V 电压源发