二次函数经典测试题附答案

二次函数经典测试题附答案二次函数经典测试题附答案一、选择题1.小明从如图所示的二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图像中，观察得出了下面五条信息：①$c0$，③$a-b+c>0$，④$b^2>4ac$，⑤$2a=-2b$，其中正确结论是（）．A。

①②④B。

②③④C。

③④⑤D。

①③⑤解析】本题考查了二次函数图像与系数关系，观察图像判断图像开口方向、对称轴所在位置、与 $x$ 轴交点个数即可得出二次函数系数满足条件。

由抛物线的开口方向判断 $a$ 的符号，由抛物线与 $y$ 轴的交点判断 $c$ 的符号，然后根据对称轴及抛物线与 $x$ 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断。

详解】①由抛物线交 $y$ 轴于负半轴，则 $c0$；由对称轴在 $y$ 轴右侧，对称轴为 $x=-\frac{b}{2a}$，又 $a>0$，故$b0$，故②错误；③结合图像得出 $x=-1$ 时，对应 $y$ 的值在 $x$ 轴上方，故 $y>0$，即 $a-b+c>0$，故③正确；④由抛物线与 $x$ 轴有两个交点可以推出 $b^2-4ac>0$，故④正确；⑤由图像可知：对称轴为 $x=-\frac{b}{2a}$，则 $2a=-2b$，故⑤正确；故正确的有：③④⑤。

故选：C。

点睛】本题考查了二次函数图像与系数关系，观察图像判断图像开口方向、对称轴所在位置、与 $x$ 轴交点个数即可得出二次函数系数满足条件。

2.二次函数 $y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）图像如图所示，下列结论：①$abc>0$；②$2a+b^2=2$；③当 $m\neq1$ 时，$a+b>am^2+bm$；④$a-b+c>0$；⑤若$ax_1+bx_1=ax_2+bx_2$，且 $x_1\neq x_2$，则 $x_1+x_2=2$。

其中正确的有（）A。

①②③B。

②④C。

②⑤D。

②③⑤解析】由抛物线的开口方向判断 $a$ 与 $b$ 的关系，由抛物线与 $y$ 轴的交点判断 $c$ 与 $a$ 的关系，然后根据对称轴及抛物线与 $x$ 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断。

详解】解：抛物线的开口向下，则 $a0$。

由图像知$x=1$ 时 $y=a+b+c$ 是抛物线顶点的纵坐标，是最大值，当$m\neq1$ 时 $y=am^2+bm+c$ 不是顶点纵坐标，不是最大值，故 $a+b>am^2+bm$（故③正确）；$b>0$，$b+2a=0$；（故②正确）又由①②③得：$abc>0$（故①错误）；由抛物线的对称轴为 $x=1$，故 $a-b+c>0$（故④正确）；若 $x_1\neq x_2$，则 $x_1+x_2=2$（故⑤正确）。

故选：D。

根据题目所给信息，我们可以得到以下内容：1.当 $x=-1$ 时，$ya+c$；（因此④错误）2.若 $ax_1+bx_1=ax_2+bx_2$ 得 $a(x_1-x_2)+b=0$，因此$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$（因此⑤正确）3.抛物线 $y=-x^2+bx+3$ 的对称轴为直线 $x=-1$。

若关于$x$ 的一元二次方程 $-x^2+bx+3-t=0$ 在 $-2<x<3$ 的范围内有实数根，则 $t$ 的取值范围是 $-12<t\leq4$。

4.如图是抛物线$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的部分图象，其顶点坐标为 $(1,m)$，且与 $x$ 轴的一个交点在点 $(3,0)$ 和$(4,0)$ 之间，则 $b^2=4a(c-m)$。

根据上述信息，我们可以对原文进行改写：1.当 $x=-1$ 时，$ya+c$。

2.若 $ax_1+bx_1=ax_2+bx_2$，则 $a(x_1-x_2)+b=0$，因此 $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。

3.抛物线 $y=-x^2+bx+3$ 的对称轴为直线 $x=-1$。

若关于$x$ 的一元二次方程 $-x^2+bx+3-t=0$ 在 $-2<x<3$ 的范围内有实数根，则 $t$ 的取值范围是 $-12<t\leq4$。

4.如图是抛物线$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的部分图象，其顶点坐标为 $(1,m)$，且与 $x$ 轴的一个交点在点 $(3,0)$ 和$(4,0)$ 之间，则 $b^2=4a(c-m)$。

由于没有明显的需要删除的段落，因此不需要进行删除操作。

根据抛物线的性质，可以通过开口方向、与坐标轴的交点、对称轴等信息来判断抛物线的系数a、b、c的正负。

同时，根据对称轴的位置可以判断在x轴上另一个交点的位置，根据抛物线与直线的交点可以判定方程的解。

因为函数的图像开口向上，与y轴交于负半轴，所以a>0，c0，选项①正确。

抛物线与x轴的一个交点在点（3，）和（4，）之间，而抛物线的对称轴为直线x=-1，所以抛物线与x轴的另一个交点在点（-2，）和（-1，）之间。

当x=-1时，y<0，即a-b+c<0，所以选项②不正确。

抛物线的顶点坐标为（1，m），其中m=4ac-b^2/4a。

又因为4a/b=1/2，所以b^2=4a(c-m)，所以选项③正确。

抛物线与直线y=m有一个公共点，所以抛物线与直线y=m+1有2个公共点，即一元二次方程ax^2+bx+c=m+1有两个不相等的实数根，所以选项④正确。

综上所述，选项C正确。

对于第二题，根据已知条件可以求出抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，），因此当y>0时，x的取值范围为-3<x<1，选项D正确。

对于第三题，根据题意推断方程x^3+2x-1=0的实根是函数y=x^2+2与y=1/4的图像交点的横坐标。

因为y=x^2+2的图像是开口向上的抛物线，因此实根x必须满足x^2+2>1/4，即x^2>−7/16，因此选项C正确。

据四个选项中$x$的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程$x^3+2x-1=0$的实根$x$所在范围。

详解】解：依题意得方程$x^3+2x-1=0$的实根是函数$y=x+2$与$y=\sqrt{\dfrac{1}{x}}$的交点的横坐标，这两个函数的图象如图所示，它们的交点在第一象限。

当$x=\dfrac{1}{16}$时，$y=x+2=\dfrac{17}{16}$，$y=\sqrt{\dfrac{16}{1}}=4$，此时抛物线的图象在反比例函数下方；当$x=\dfrac{1}{9}$时，$y=x+2=\dfrac{11}{9}$，$y=\sqrt{\dfrac{9}{1}}=3$，此时抛物线的图象在反比例函数下方；当$x=\dfrac{1}{4}$时，$y=x+2=\dfrac{9}{4}$，$y=\sqrt{\dfrac{4}{1}}=2$，此时抛物线的图象在反比例函数上方；当$x=1$时，$y=x+2=3$，$y=\sqrt{\dfrac{1}{1}}=1$，此时抛物线的图象在反比例函数上方。

方程$x^3+2x-1=0$的实根$x$所在范围为：$\dfrac{1}{16}<x<\dfrac{1}{9}$。

故选C。

点睛】此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力。

解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势。

7.已知抛物线$W:y=x^2-4x+c$，其顶点为$A$，与$y$轴交于点$B$，将抛物线$W$绕原点旋转$180^\circ$得到抛物线$W'$，点$A,B$的对应点分别为$A',B'$，若四边形$ABA'B'$为矩形，则$c$的值为（）。

A。

$-\dfrac{3}{2}$。

B。

3.C。

$\dfrac{3}{2}$。

D。

$\dfrac{5}{2}$解析】分析】先求出$A(2,c-4)$，$B(0,c)$，$A'(-2,4-c)$，$B'(0,-c)$，结合矩形的性质，列出关于$c$的方程，即可求解。

详解】抛物线$W:y=x^2-4x+c$，其顶点为$A$，与$y$轴交于点$B$。

A(2,c-4)$，$B(0,c)$。

将抛物线$W$绕原点旋转$180^\circ$得到抛物线$W'$，点$A,B$的对应点分别为$A',B'$。

A'(-2,4-c)$，$B'(0,-c)$。

四边形$ABA'B'$为矩形。

AA'=BB'$。

sqrt{(2-(-2))^2+((c-4)-(4-c))^2}=\sqrt{(0-0)^2+(c-(-c))^2}$。

16+16=4c^2$，解得：$c=\dfrac{5}{2}$。

故选D。

点睛】本题主要考查二次函数图象的几何变换以及矩形的性质，掌握二次函数图象上点的坐标特征，关于原点中心对称的点的坐标特征以及矩形的对角线相等，是解题的关键。

8．在正方形ABCD中，AB=4cm，点E、F同时从C点出发，以1cm/s的速度分别沿CB-BA、CD-DA运动，到点A时停止运动。

设运动时间为t（s），△AEF的面积为S（cm2），则S（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（）解析：根据题意，可以发现△AEF的面积是由△ADF、△ABE、△CEF三个三角形面积相减得到的。

因此，当0≤t≤4时，利用三角形面积公式可得：S=S△ABCD-S△ADF-S△ABE-S△CEF=4×4-½×4×(4-t)-½×4×(4-t)-t²= -t²+4t，将其配成顶点式得：S=-(t-4)²+8，此时抛物线的开口向下，顶点坐标为（4，8）；当4<t≤8时，直接根据三角形面积公式得到S=(8-t)²=(t-8)²，此时抛物线开口向上，顶点坐标为（8，0）。

因此，选项D是正确的。

10．已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：（1）4a+2b+c<0，（2）当x=1时，y=1，成立的是（）。

解析：根据题意，可以得到以下两个条件：1）抛物线开口向下，即a<0；2）当x=1时，y=ax²+bx+c=a+b+c=1.将条件2代入条件1中，可得4a+2b+c=4a+2(-a+c)+a=3a+2c，因此3a+2c<0，即a<-(2/3)c。

因为c是常数，所以当a取最小值时，不等式成立。