二次函数中等难度题
二次函数一、选择题（将唯一正确的答案填在题后括号内）1．抛物线y =－2(x －1)2－3与y 轴的交点纵坐标为（ ）A.－3B.－4C.－5Ｄ.－12. 在抛物线y ＝x 2－4上的一个点是（ ）A.（4，4）B.（1，一4）C.（2，0）D.（0，4）3．抛物线c bx x y ++=2图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为322--=x x y ，则b 、c 的值为（ ）A . b=2， c=2 B. b=2，c=0C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=24．把二次函数3412+--=x x y 用配方法化成()k h x a y +-=2的形式 ( )A.()22412+--=x yB. ()42412+-=x y)C.()42412++-=x yD. 321212+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y5. 二次函数2365y x x =--+的图像的顶点坐标是（ ） A ．（-1，8） B ．（1，8） C ．（-1，2）D ．（1，-4）6.抛物线()223y x =+-可以由抛物线2y x =平移得到,则下列平移过程正确的是( )A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位7．如图，已知正方形ABCD 的边长为4 ，E 是BC 边上的一个动点，AE ⊥EF ， EF 交DC 于F , 设BE =x ，FC =y ，则当点E 从点B 运动到点C 时,y 关于x 的函数图象是( )．-/8． 在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为252s t t =+，则当物体经过的路程是88米时，该物体所经过的时间为（ ） 秒B. 4秒秒D. 8秒9．如图，已知：正方形ABCD 边长为1，E 、F 、G 、H 分别为各边上的点， 且AE =BF =CG =DH ，设小正方形EFGH 的面积为s ，AE 为x ，则s 关于x 的函数图象大致是（ ）x y2412Oxy2412Ox y2412O xy2412O10．抛物线y=ax2+bx+c的图象如图，则下列结论：①abc>0；②a+b+c=2；③a>21；④b<1．其中正确的结论是（）A.①②B.②③C.②④D.③④11. 如图，两条抛物线12121+-=xy、12122--=xy与分别经过点()0,2-,()0,2且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为（）Ａ．8 Ｂ．6 Ｃ．10 Ｄ．4|12、如图为抛物线2y ax bx c=++的图像，为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是 ( )A．a＋b=－1 B．a－b=－1 C．b<2a D．ac<0二、填空题13．已知函数y=ax2+bx+c，当x=3时，函数的最大值为4，当x=0时，y=－14，则函数关系式____．14．请写出一个开口向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式．15.已知实数yx,满足yxyxx+=-++则,0332的最大值为。
16．函数y=(x－2)(3－x)取得最大值时，x=______．17．已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的两个交点的坐标是(5，0)，(－2，0)，则方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解是_____．、18．如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y＝21x2—1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为_________________．19. 已知抛物线2y ax bx c=++（a＞0）的对称轴为直线1x=，且经过点()()212y y-1，，，，试比较1y和2y的大小：1y _2y（填“>”，“<”或“=”）12题图O 第22题)A xC B20． 如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米.三、解答题21.已知抛物线212y x x c =++与x 轴没有交点． ·(1)求c 的取值范围；(2)试确定直线y ＝cx +l 经过的象限，并说明理由．22．如图，已知二次函数y ＝-21x 2＋bx ＋c 的图象经过A （2，0）、B （0，—6）两点． （1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数图象的对称轴与x 轴交于点C ，连结，求△ABC 的面积．…23．有一个抛物线形的桥洞，桥洞离水面的最大高度BM 为3米，跨度OA 为6米，以OA 所在直线为x 轴，O 为原点建立直角坐标系（如图所示）． ⑴请你直接写出O 、A 、M 三点的坐标；⑵一艘小船平放着一些长3米，宽2米且厚度均匀的矩形木板， 要使该小船能通过此桥洞，问这些木板最高可堆放多少米（设船身 底板与水面同一平面）24．我市某工艺品厂生产一款工艺品．已知这款工艺品的生产成本为每件60元．经市场调研发现：该款工艺品每天的销售量y (件)与售价x (元)之间存在着如下表所示的一次函数关售价x (元)】…70 90 …第20题图销售量…30001000…y(件)（利润＝(售价－成本价)×销售量）（1）求销售量y(件)与售价x(元)之间的函数关系式；】（2）你认为如何定价才能使工艺品厂每天获得的利润为40 000 元25．某企业投资100万元引进一条产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万．该生产线投产后，从第1年到第x年的维修、保养费用累计为y(万元)，且y=ax2+bx，若第1年的维修、保养费用为2万元，第2年为4万元．（1）求y的解析式；（2）投产后，这个企业在第几年就能收回投资]26．如图所示，二次函数y=-x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C．（1）求m的值；（2）求点B的坐标；（3）该二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x＞0，y＞0），使S△ABD=S△ABC，求点D 的坐标．'>二次函数参考答案一、1－5 CCBCA 6－10 BABBB．11-12 AB二、13 y=-2(x-3)2 +4 14 . y= (x-2)2 -1 答案不唯一． 16、4117、x1=5 x2=-2 18、（6，2）（-6，2） 19.＞ 20.21三、解答题：21、解:（1）∵抛物线与x轴没有交点~∴⊿＜0，即1－2c＜0解得c＞1 2(2)∵c＞1 2∴直线y=12x＋1随x的增大而增大，∵b=1 ∴直线y=12x＋1经过第一、二、三象限23． 解：(1)0(0，0)，A (6，0)，M (3，3)．(2)设抛物线的关系式为y =a (x －3)2+3，因为抛物线过点(0，0)，所以0=a (0－3)2+3，解得a =－31，所以y =－31(x －3)2+3=－31x 2+2x ， 要使木版堆放最高，依据题意，得B 点应是木版宽C D 的中点，把x =2代入y =－31x 2+2x ，得y =38，所以这些木版最高可堆放38米． $24.（1）设一次函数的关系式为y kx b =+，根据题意得300070100090k bk b =+⎧⎨=+⎩解之得 100,10000k b =-=所以所求的一次关系式为y= -100x+10000 （2）由题意得 （x-60）(-100x+10000)=40000即216064000x x -+=所以2(80)0x -=所以 1280x x ==22.答当定价为80元时，才能使工艺品厂每天的利润为40000元25．（1）由题意，x=1时，y=2；x=2时，y=2+4=6，分别代入y=ax2+bx，得a+b=2，4a+2b=6，解得，a=1，b=1，所以y=x2+x．（2）设G＝33x－100－x2－x，则G=－x2+32x－100=－(x－16)2+156．由于当1≤x≤16时，G随x的增大而增大，故当x=4时，即第4年可收回投资．26．解：（1）将（3，0）代入二次函数解析式，得-32+2×3+m=0．解得，m=3．（2）二次函数解析式为y=-x2+2x+3，令y=0，得-x2+2x+3=0 解得x=3或x=-1．∴点B的坐标为（-1，0）．（3）∵S△ABD=S△ABC，点D在第一象限，∴点C、D关于二次函数对称轴对称．∵由二次函数解析式可得其对称轴为x=1，点C的坐标为（0，3），∴点D的坐标为（2，3）．。
(专题精选)初中数学二次函数难题汇编含答案
（专题精选）初中数学二次函数难题汇编含答案一、选择题1．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A．5B．453C．3 D．4【答案】A【解析】【分析】【详解】过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，∴BF∥DE∥CM．∵OD=AD=3，DE⊥OA，∴OE=EA=12OA=2．由勾股定理得：5设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，∵BF∥DE∥CM，∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE．∴BF OF CM AMDE OE DE AE==，x2x2255-，，解得：()52x 5BF ?x CM 22-==，． ∴BF+CM=5．故选A ．2．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A （1，0），对称轴为直线x ＝﹣1，当y ＞0时，x 的取值范围是（ ）A ．﹣1＜x ＜1B ．﹣3＜x ＜﹣1C ．x ＜1D ．﹣3＜x ＜1【答案】D【解析】【分析】 根据已知条件求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标，即可得到答案.【详解】解：∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （1，0），对称轴为直线x ＝﹣1， ∴抛物线与x 轴的另一交点坐标是（﹣3，0），∴当y ＞0时，x 的取值范围是﹣3＜x ＜1．所以答案为：D ．【点睛】此题考查抛物线的性质，利用对称轴及图象与x 轴的一个交点即可求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标.3．已知抛物线2:4W y x x c =-+，其顶点为A ，与y 轴交于点B ，将抛物线W 绕原点旋转180︒得到抛物线'W ，点,A B 的对应点分别为','A B ，若四边形''ABA B 为矩形，则c 的值为（ ）A ．3B 3C ．32D ．52【答案】D【解析】【分析】先求出A(2，c-4)，B(0，c)，'(24),'(0)A c B c ---，，，，结合矩形的性质，列出关于c 的方程，即可求解．【详解】∵抛物线2:4W y x x c =-+，其顶点为A ，与y 轴交于点B ， ∴A(2，c-4)，B(0，c)，∵将抛物线W 绕原点旋转180︒得到抛物线'W ，点,A B 的对应点分别为','A B ，∴'(24),'(0)A c B c ---，，，， ∵四边形''ABA B 为矩形，∴''AA BB =，∴[][]2222(2)(4)(4)(2)c c c --+---=，解得：52c =． 故选D ．【点睛】本题主要考查二次函数图象的几何变换以及矩形的性质，掌握二次函数图象上点的坐标特征，关于原点中心对称的点的坐标特征以及矩形的对角线相等，是解题的关键．4．二次函数2(,,y ax bx c a b c =++为常数，且0a ≠)中的x 与y 的部分对应值如表：下列结论错误的是( )A ．0ac <B ．3是关于x 的方程()210ax b x c +-+=的一个根；C ．当1x >时，y 的值随x 值的增大而减小；D ．当13x 时，()210.ax b x c +-+>【答案】C【解析】【分析】根据函数中的x 与y 的部分对应值表，可以求得a 、b 、c 的值 然后在根据函数解析式及其图象即可对各个选项做出判断．【详解】解：根据二次函数的x 与y 的部分对应值可知：当1x =-时，1y =-，即1a b c -+=-，当0x =时，3y =，即3c =，当1x =时，5y =，即5a b c ++=，联立以上方程：135a b c c a b c -+=-⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解得：133a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴233y x x =-++；A 、1330=-⨯=-<ac ，故本选项正确；B 、方程()210ax b x c +-+=可化为2230x x -++=， 将3x =代入得：232339630-+⨯+=-++=，∴3是关于x 的方程()210ax b x c +-+=的一个根,故本选项正确； C 、233y x x =-++化为顶点式得：2321()24=--+y x ， ∵10a =-<，则抛物线的开口向下， ∴当32x >时，y 的值随x 值的增大而减小；当32x <时，y 的值随x 值的增大而增大；故本选项错误； D 、不等式()210ax b x c +-+>可化为2230x x -++>，令2y x 2x 3=-++， 由二次函数的图象可得：当0y >时，13x，故本选项正确；故选：C ．【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与不等式的关系，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键．5．已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，有以下结论：①a +b +c ＜0；②a ﹣b +c ＞1；③abc ＞0；④9a ﹣3b +c ＜0；⑤c ﹣a ＞1．其中所有正确结论的序号是( )A ．①②B ．①③④C ．①②③④D ．①②③④⑤【答案】D【解析】【分析】 根据抛物线的开口方向可得出a 的符号，再由抛物线与y 轴的交点可得出c 的值，然后进一步根据对称轴以及抛物线得出当x 1=、 x 1=-、x 3=-时的情况进一步综合判断即可．由图象可知，a＜0，c=1，对称轴：x=b1 2a-=-，∴b=2a，①由图可知：当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，正确；②由图可知：当x=−1时，y＞1，∴a−b+c＞1，正确；③abc=2a2＞0，正确；④由图可知：当x=−3时，y＜0，∴9a−3b+c＜0，正确；⑤c−a=1−a＞1，正确；∴①②③④⑤正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了抛物线的函数图像性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．6．如图，坐标平面上，二次函数y＝﹣x2+4x﹣k的图形与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，且k＞0．若△ABC与△ABD的面积比为1：4，则k值为何？( )A．1 B．12C．43D．45【答案】D【解析】【分析】求出顶点和C的坐标，由三角形的面积关系得出关于k的方程，解方程即可．【详解】解：∵y＝﹣x2+4x﹣k＝﹣(x﹣2)2+4﹣k，∴顶点D(2，4﹣k)，C(0，﹣k)，∴OC＝k，∵△ABC的面积＝12A B•OC＝12AB•k，△ABD的面积＝12AB(4﹣k)，△ABC与△ABD的面积比为1：4，∴k＝14(4﹣k)，解得：k＝45．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、抛物线的顶点式；根据三角形的面积关系得出方程是解决问题的关键．7．某二次函数图象的顶点为()2,1-，与x 轴交于P 、Q 两点，且6PQ =．若此函数图象通过()1,a 、()3,b 、()1,c -、()3,d -四点，则a 、b 、c 、d 之值何者为正？（ ） A ．aB ．bC ．cD ．d【答案】D【解析】【分析】根据题意可以得到该函数的对称轴，开口方向和与x 轴的交点坐标，从而可以判断a 、b 、c 、d 的正负，本题得以解决．【详解】∵二次函数图象的顶点坐标为（2，-1），此函数图象与x 轴相交于P 、Q 两点，且PQ=6， ∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x=2，∴图形与x 轴的交点为（2-3，0）=（-1，0），和（2+3，0）=（5，0），∵此函数图象通过（1，a ）、（3，b ）、（-1，c ）、（-3，d ）四点，∴a ＜0，b ＜0，c=0，d ＞0，故选：D ．【点睛】此题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．8．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc ＞0；②a +b +c ＝2；③a 12>；④b ＞1，其中正确的结论个数是（ ）A ．1个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【答案】C【解析】【分析】 根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否正确，本题得以解决．由图象可得，a ＞0，b ＞0，c ＜0，∴abc ＜0，故①错误，当x ＝1时，y ＝a +b +c ＝2，故②正确，当x ＝﹣1时，y ＝a ﹣b +c ＜0，由a +b +c ＝2得，a +c ＝2﹣b ，则a ﹣b +c ＝（a +c ）﹣b ＝2﹣b ﹣b ＜0，得b ＞1，故④正确， ∵12b a ->-，a ＞0，得122b a >>，故③正确， 故选C ．【点睛】 本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．9．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)经过点M (﹣1，2)和点N (1，﹣2)，则下列说法错误的是( )A ．a +c ＝0B ．无论a 取何值，此二次函数图象与x 轴必有两个交点，且函数图象截x 轴所得的线段长度必大于2C ．当函数在x ＜110时，y 随x 的增大而减小 D ．当﹣1＜m ＜n ＜0时，m +n ＜2a 【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的图象和性质对各项进行判断即可．【详解】解：∵函数经过点M (﹣1，2)和点N (1，﹣2)，∴a ﹣b +c ＝2，a +b +c ＝﹣2，∴a +c ＝0，b ＝﹣2，∴A 正确；∵c ＝﹣a ，b ＝﹣2，∴y ＝ax 2﹣2x ﹣a ，∴△＝4+4a 2＞0，∴无论a 为何值，函数图象与x 轴必有两个交点，∵x 1+x 2＝2a，x 1x 2＝﹣1，∴|x 1﹣x 2|＝2211a +＞2， ∴B 正确； 二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)的对称轴x ＝﹣2b a ＝1a ， 当a ＞0时，不能判定x ＜110时，y 随x 的增大而减小； ∴C 错误；∵﹣1＜m ＜n ＜0，a ＞0，∴m +n ＜0，2a ＞0， ∴m +n ＜2a； ∴D 正确，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．10．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（ ）A ．ac ＞0B ．b ＞0C ．a +c ＜0D ．a +b +c ＝0【答案】D【解析】【分析】 根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】A.由图象可知：a ＜0，c ＞0，∴ac ＜0，故A 错误；B.由对称轴可知：x ＝2b a -＜0， ∴b ＜0，故B 错误；C.由对称轴可知：x ＝2b a-＝﹣1， ∴b ＝2a ，∵x ＝1时，y ＝0，∴a +b +c ＝0，∴c ＝﹣3a ，∴a +c ＝a ﹣3a ＝﹣2a ＞0，故C 错误；故选D ．【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．11．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，其对称轴为1x =.下列结论：①0abc >；②20a b +=；③930a b c ++<；④若12310,,,23y y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是抛物线上两点，则12y y >.其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】【分析】 由抛物线开口方向得到a ＜0，根据对称轴得到b=-2a ＞0，由抛物线与y 轴的交点位置得到c ＞0，则可对①进行判断；由b=-2a 可对②进行判断；利用抛物线的对称性可得到抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0），则可判断当x=3时，y=0，于是可对③进行判断；通过二次函数的增减性可对④进行判断．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵抛物线的对称轴为直线12b x a=-= ，∴b=-2a ＞0， ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方， ∴c ＞0，∴abc ＜0，所以①错误；∵b=-2a ，∴2a+b=0，所以②正确；∵抛物线与x 轴的一个交点为（-1，0），抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0），∴当x=3时，y=0，∴930a b c ++=，所以③错误；∵抛物线的对称轴为直线x=1，且抛物线开口向下，∴当x 1<时，y 随x 的增大而增大 ∵103132-<-< 点13,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭到对称轴的距离比点210,3y ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 对称轴的距离近， ∴y 1>y 2，所以④正确．故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小，当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．12．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac ﹣b 2＜0；②4a+c ＜2b ；③3b+2c ＜0；④m （am+b ）+b ＜a （m≠﹣1），其中正确结论的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B【解析】【分析】【详解】 解：∵抛物线和x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，∴4ac ﹣b 2＜0，∴①正确；∵对称轴是直线x ﹣1，和x 轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，∴抛物线和x 轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a ﹣2b+c ＞0，∴4a+c ＞2b ，∴②错误；∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c ＜0，∴2a+2b+2c＜0，∵b=2a，∴3b，2c＜0，∴③正确；∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，∴y=a﹣b+c的值最大，即把（m，0）（m≠0）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，∴am2+bm+b＜a，即m（am+b）+b＜a，∴④正确；即正确的有3个，故选B．考点：二次函数图象与系数的关系13．已知抛物线y＝x2+2x﹣m﹣1与x轴没有交点，则函数y＝的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】由题意可求m＜﹣2，即可求解．【详解】∵抛物线y＝x2+2x﹣m﹣1与x轴没有交点，∴△＝4﹣4（﹣m﹣1）＜0∴m＜﹣2∴函数y＝的图象在第二、第四象限，故选B．【点睛】本题考查了反比例函数的图象，二次函数性质，求m的取值范围是本题的关键．14．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc ＞0；②4a+2b+c ＞0；③13＜a ＜23；④b ＞c ．其中含所有正确结论的选项是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②④【答案】B 【解析】 【分析】根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a 、b 、c 的符号，从而判断①；根据对称性得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（-1，0）可得到a 、b 、c 之间的关系，从而对④作判断；从图象与y 轴的交点B 在（0，-2）和（0，-1）之间可以判断c 的大小得出③的正误． 【详解】①∵函数开口方向向上， ∴a ＞0；∵对称轴在y 轴右侧 ∴ab 异号，∵抛物线与y 轴交点在y 轴负半轴， ∴c ＜0， ∴abc ＞0， 故①正确；②∵图象与x 轴交于点A （-1，0），对称轴为直线x=1， ∴图象与x 轴的另一个交点为（3，0）， ∴当x=2时，y ＜0， ∴4a+2b+c ＜0， 故②错误；③∵图象与y 轴的交点B 在（0，-2）和（0，-1）之间， ∴-2＜c ＜-1∵-12ba ， ∴b=-2a ，∵函数图象经过（-1，0），∴a-b+c=0，∴c=-3a，∴-2＜-3a＜-1，∴13＜a＜23；故③正确④∵函数图象经过（-1，0），∴a-b+c=0，∴b-c=a，∵a＞0，∴b-c＞0，即b＞c；故④正确；故选B．【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．15．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：给出以下结论：（1）二次函数y＝ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣3；（2）当﹣12＜x＜2时，y＜0；（3）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当﹣1＜x1＜0，3＜x2＜4时，y1＞y2．上述结论中正确的结论个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】【分析】根据表格的数据，以及二次函数的性质，即可对每个选项进行判断.【详解】解：（1）函数的对称轴为：x＝1，最小值为﹣4，故错误，不符合题意；（2）从表格可以看出，当﹣12＜x＜2时，y＜0，符合题意；（3）﹣1＜x1＜0，3＜x2＜4时，x2离对称轴远，故错误，不符合题意；故选择：B．【点睛】本题考查了二次函数的最值，抛物线与x轴的交点，仔细分析表格数据，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．16．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，动点P 从A 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB 向B 点运动，同时动点Q 从B 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC CD →方向运动，当P 运动到B 点时，P Q 、点同时停止运动．设P 点运动的时间为t 秒，APQ ∆的面积为S ，则表示S 与t 之间的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】本题应分两段进行解答,①点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动；②点P 在AB 上运动，点Q 在CD 上运动，依次得出S 与t 的关系式，即可判断得出答案． 【详解】解：当点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动时， 此时，,2AP t BQ t ==2122APQSt t t =⋅⋅=，函数图象为抛物线； 当点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动时， 此时，AP t =，APQ 底边AP 上的高保持不变1422APQSt t =⋅⋅=，函数图象为一次函数；故选：D ． 【点睛】本题考查的知识点是函数图象，理解题意，分段求出S 与t 之间的函数关系是解此题的关键．17．函数2y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】根据a 、b 的符号，针对二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一排除． 【详解】当a ＞0时，二次函数的图象开口向上，一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限， 故A 、D 不正确；由B 、C 中二次函数的图象可知，对称轴x=-2ba＞0，且a ＞0，则b ＜0， 但B 中，一次函数a ＞0，b ＞0，排除B ． 故选C ．18．在同一直角坐标系中，反比例函数图像与二次函数图像的交点的个数至少有( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数和反比例函数的图象位置，画出图象，直接判断交点个数． 【详解】若二次函数的图象在第三、四象限，开口向下，顶点在原点，y 轴是对称轴；反比例函数的图象在第一，三象限，故两个函数的交点只有一个，在第三象限．同理，若二次函数的图象在第三、四象限，开口向下，顶点在原点，y 轴是对称轴；反比例函数的图象在第二，四象限，故两个函数的交点只有一个，在第四象限． 故答案为：B ．【点睛】本题考查了二次函数和反比例函数的图象问题，掌握二次函数和反比例函数的图象性质是解题的关键．19．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，分析下列四个结论：①abc ＜0；②b 2﹣4ac ＞0；③3a+c ＞0；④（a+c ）2＜b 2，其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【解析】试题解析：①由开口向下，可得0,a < 又由抛物线与y 轴交于正半轴，可得0c >，再根据对称轴在y 轴左侧，得到b 与a 同号，则可得0,0b abc ， 故①错误；②由抛物线与x 轴有两个交点，可得240b ac ->， 故②正确； ③当2x =-时，0,y < 即420a b c -+< ……（1） 当1x =时，0y <,即0a b c ++< ……（2） （1）+（2）×2得，630a c +<， 即20a c +<， 又因为0,a <所以()230a a c a c ，++=+< 故③错误；④因为1x =时，0y a b c =++<，1x =-时，0y a b c =-+> 所以()()0a b c a b c ++-+<即()()22()0,a c b a c b a c b ⎡⎤⎡⎤+++-=+-<⎣⎦⎣⎦所以22().a c b +< 故④正确，综上可知，正确的结论有2个. 故选B ．20．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结i 论：①abc ＞0；②b 2﹣4ac ＞0；③2a+b ＝0；④a ﹣b+c ＜0．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】 【分析】首先根据开口方向确定a 的取值范围，根据对称轴的位置确定b 的取值范围，根据抛物线与y 轴的交点确定c 的取值范围，根据抛物线与x 轴是否有交点确定b 2﹣4ac 的取值范围，根据x ＝﹣1函数值可以判断． 【详解】 解：抛物线开口向下，0a ∴<，对称轴12bx a=-=， 0b ∴>，抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，0c ∴>，0abc ∴<，故①错误；抛物线与x 轴有两个交点， 240b ac ∴->，故②正确；对称轴12bx a=-=， 2a b ∴=-，20a b ∴+=，故③正确；根据图象可知，当1x =-时，0y a b c =-+<，故④正确； 故选：C ． 【点睛】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解题关键．。
(完整版)初三数学二次函数较难题型
一、二次函数解析式及定义型问题（ 顶点式中考要点 ）. 把二次函数的图象向左平移 2 个单位， 再向上平移1 个单位， 所得到的图象对应的二次函数关系式是 y （x 则 b 、 c 的值为 10. 抛物线 y x 2ax 4的顶点在 X 轴上，则 a 值为 11. 已知二次函数y 2（x 3）2，当 X 取 x 1和 x 2时函数值相等，当 X 取 x 1+x 2时函数值为 12. 若二次函数 y ax 2k ，当 X 取 X1 和 X2（ x 1 x 2）时函数值相等 , 则当 X 取 X1+X2时，函数值为 13. 若函数 y a （x 3）2过（２. ９）点，则当 X ＝４时函数值 Y ＝14. 若函数 y （x h ）2 k 的顶点在第二象限则， h 0, k 0 15. 已知二次函数当 x=2 时 Y 有最大值是１ . 且过（３ . ０）点求解析式？17. 已知抛物线在 X 轴上截得的线段长为６二、一般式交点式中考要点18. 如果抛物线 y=x 2-6x+c-2 的顶点到 x 轴的距离是 3, 那么 c 的值等于（ ） （A ） 8 （B ） 14 （C ） 8 或 14（ D ）-8 或 -14 19. 二次函数 y=x 2-（12-k ）x+12, 当 x>1 时， y 随着 x 的增大而增大， 当 x<1 时， y 随着 x 的增大而减小， 则 k 的值应取 （ （A ） 12 （ B ）11 （ C ）10（D ） 9 20. 若 b 0 ，则二次函数 y x 2bx 1的图象的顶点在 （ A ）（ A ）第一象限（ B ）第二象限 （ C ）第三象限（ D ）第四象限 21. 不论 x 为何值 , 函数y=ax 2+bx+c （a ≠ 0） 的值恒大于 0 的条件是 （ ）A.a>0, △ >0B.a>0, △ <01)2则原. 如果函数 y （k3）x k2. （ 08 绍兴）已知点3k 2y 1 ) ，2， 1 ），形状开品与抛物线 y= - 2x 2相同，这个函数解析式为kx 1 是二次函数 , 则 k 的值是 _ .( 兰州 A ．若 y 1 B ．若 C ．若 x 10 y 2，则 x 1 x 2，则x 2y 2 D ．若 x 1 10） 抛物线 x 1 x 2 x 2 ，则y 1 y 2 y 1 b y 2 c 图像向右平移2 个单位再向下平移3 个单位， 所得图像的解析式为 y 2x 3，A . b=2 C . b=-2 . 抛物线 c=2 ， c=-1 (m 1)x 2ax B. b=2 D. b= -3 c=0，(m 23m 4）x 5以 Y 轴为对称轴则。
初中的数学精选二次函数的难的题目
29．如图1，抛物线C1：y=﹣x2+4x﹣2与x轴交于A、B，直线l：y=﹣ x+b分别交x轴、y轴于S点和C点，抛物线C1的顶点E在直线l上．
（1）求直线l的解析式；
（2）如图2，将抛物线C1沿射线ES的方向平移得到抛物线C2，抛物线C2的顶点F在直线l上，并交x轴于M、N两点，且tan∠EAB= •tan∠FNM，求抛物线C1平移的距离；
（3）过（2）中的点E的直线y= x+b与（1）中的抛物线相交于M、N两点，分别过M、N作x轴的垂线，垂足为M′、N′，点P为线段MN上一点，点P的横坐标为t，过点P作平行于y轴的直线交（1）中所求抛物线于点Q．是否存在t值，使S梯形MM'N'N：S△QMN=35：12？若存在，求出满足条件的t值；若不存在，请说明理由．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）当点P在线段BC上运动时，求线段PE长的最大值；
（3）当PE为最大值时，把抛物线c1向右平移得到抛物线c2，抛物线c2与线段BE交于点M，若直线CM把△BCE的面积分为1：2两部分，则抛物线c1应向右平移几个单位长度可得到抛物线c2？
考点：
二次函数综合题。
专题：
压轴题。
分析：
（1）已知了抛物线的解析式即可求出A、B、C三点的坐标．
（2）由于直线l与y轴平行，那么F、P、E三点的横坐标就应该相等，那么PE的长可看做是直线BC的函数值和抛物线的函数值的差．由此可得出关于PE的长和三点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可得出PE的最大值．
（3）先用平移的单位设出c2的解析式．由于直线CM把△BCE的面积分为1：2两部分，根据等高三角形的面积比等于底边比，可得出BE：ME=2：1或ME：BE=2：1．因此本题要分两种情况进行讨论，可过M作x轴的垂线，先根据相似三角形求出M点的横坐标，然后根据直线BE的解析式，求出M点的坐标．由于抛物线c2经过M点，据此可求出抛物线需要平移的单位．
二次函数中级试题及答案
二次函数中级试题及答案一、选择题1. 下列哪个选项是二次函数的标准形式？A. y = 3x^2 + 2x + 1B. y = 3x + 2C. y = x^3 - 4D. y = 2x^2 - 3答案：A2. 二次函数y = ax^2 + bx + c的顶点坐标为（h，k），则h的值是？A. -b/2aB. -b/aC. b/2aD. b/a答案：C3. 如果一个二次函数的图像开口向上，那么它的系数a的值应该是？A. 大于0B. 小于0C. 等于0D. 不确定答案：A二、填空题1. 二次函数y = 2x^2 - 4x + 3的顶点坐标是______。
答案：(1, 1)2. 已知二次函数y = ax^2 + bx + c的图像与x轴交于点（-1，0）和（3，0），则a + b + c = ______。
答案：03. 若二次函数y = 4x^2 - 12x + k的图像与x轴无交点，则k的最小值是______。
答案：9三、解答题1. 已知二次函数y = 2x^2 - 4x + 3，求其图像与x轴的交点坐标。
答案：交点坐标为（1，0）。
2. 已知二次函数y = -x^2 + 4x - 3，求其顶点坐标。
答案：顶点坐标为（2，1）。
3. 已知抛物线y = ax^2 + bx + c与直线y = 2x + 3在点（1，5）处相交，且抛物线开口向上，求a的取值范围。
答案：a > 0。
四、综合题1. 已知二次函数y = 3x^2 - 6x + 2，求其图像的对称轴方程和顶点坐标。
答案：对称轴方程为x = 1，顶点坐标为（1，-1）。
2. 已知抛物线y = 2x^2 - 8x + 7与x轴交于点A和B，求线段AB的长度。
答案：线段AB的长度为4。
3. 已知二次函数y = 5x^2 - 10x + 3，求其图像与直线y = 2x + 1的交点坐标。
答案：交点坐标为（1，2）和（3，11）。
最难中考数学二次函数压轴题
最难中考数学二次函数压轴题中考数学中，二次函数是一个重要的知识点，特别是与二次函数相关的解析几何问题。
下面我们来讨论一个关于二次函数的压轴题。
压轴题：已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0），经过两点（1,1）和（2,4）。
求抛物线的解析式及抛物线与y轴的交点坐标。
解析：题目给出了抛物线经过两点（1,1）和（2,4），我们可以得到以下两组方程组：1)a+b+c=1（1）4a+2b+c=4（2）2)a+b+c=4（3）4a+2b+c=16（4）我们需要解出系数a、b和c，然后才能得到抛物线的解析式。
解法一：消元法我们尝试使用消元法来解这个方程组。
首先，我们将方程（1）乘以4，然后与方程（2）相减得到3b-3c=0。
然后，我们可以将方程（3）乘以2，然后与方程（4）相减得到-6a+(-6b+12c)=-24在等式中，我们可以将-6b+12c替换为2(3b-3c)，得到-6a+2(3b-3c)=-24化简上述等式，我们得到-6a+6b-6c=-24我们可以将上述结果与方程（1）相加得到5b-5c=-23将上述结果带入方程（1）得到a+c=24/5，然后将其中的c代入方程（1）或（2）中可得a=9/5和b=5/5所以，我们得到a=9/5，b=1，c=-4/5将这些系数代入抛物线的解析式y=ax²+bx+c，我们可以得到抛物线的解析式为y=(9/5)x²+x-4/5接下来，我们需要求抛物线与y轴交点的坐标。
当x=0时，代入抛物线的解析式可得y=-4/5、所以，抛物线与y轴的交点坐标为（0，-4/5）。
解法二：矩阵法我们还可以使用矩阵法解决这个方程组。
我们将方程组（1）和（2）的系数写成矩阵形式，得到：\[ \begin{bmatrix}1&1&1\\4&2&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\4\end{bmatrix} \]然后，我们可以使用矩阵的逆运算，将上述方程组化简为a、b和c 的矩阵式。
专题十四 二次函数 中等难度 含解析
专题十四二次函数选择题满分：80学校 __________ 班级 __________ 学生 __________一、填空题( 本大题共30小题每题1 分)1、已知是二次函数,则m=_______.解析：2解析：因为是二次函数，所以m2－m=2，解得m1=－1，m2=2.但当m=－1时，二次项系数m2－1=0，故舍去，只取m=2.2、已知抛物线的图象经过点(a,4.5)和(－a,y1),则y1的值是_____.解析：4.5解析：由题意知，a2=9，a=±3，将(－a，y1)代入，进一步求得y1=4.53、抛物线y=x2－2x－3的对称轴是______,顶点坐标是______.解析：x=1 (1，－4)解析：利用配方法可以得到结论，也可直接用对称轴和顶点坐标公式来求出结果.4、二次函数y=ax2+bx+c中,a＞0,b＜0,c=0,则其图象的顶点应在第_____象限. 解析：四解析：由，可知抛物线的顶点必须在第四象限.5、写出图象经过点(1,0)、(0,1)的三个不同的函数解析式_____、_____、_____.解析：y=－x+1 y=－x2+1 y=x2－2x+1解析：本题是开放性题目，答案只要满足条件即可.6、结合函数y=(x－2)2－1的图象,确定当时______,y=0；当______时,y＞0；当____时,y＜0.解析：x=1或x=3 x＞3或x＜1 1＜x＜37、已知二次函数y=x2－6x+m的最小值为1,则m=_______.解析：10解析：由题意知：，解得m=10.8、抛物线的最低点坐标是______；当______时,y随x的增大而增大.解析： (－1，－2) x＞－1解析：求最低点坐标实质上是求顶点坐标.9、抛物线y=x2+(2m－1)x+m2与x轴有两个交点,则m的取值范围是______.解析：m＜10、若抛物线的顶点在x轴的下方,则m=________.解析：－1解析：由题意知：得m=－1.11、如果函数y=2x2－mx+1的最小值为－7,则m=______.解析：±8解析：代入公式，解得m=±8.12、抛物线的对称轴是______,顶点坐标是______.解析：x=－3 (－3,2)13、汽车刹车距离s(m)与速度v(km/h)之间的函数关系是，在一辆车速为100 km/h的汽车前方80 m处发现停放一辆故障车，此时刹车_______有危险(填“会”、“不会”)．解析：会解析：由，得此时刹车有危险．14、如图，假定一拱门形状是抛物线，底部宽40英尺，高25英尺，试问：离地面16英尺处拱门有多宽？答：________英尺．解析：24解析：可建立坐标系，如图所示，A(－20,0)，B(20,0),C(0,25).从而可得过A、B、C三点抛物线的解析式．当y＝16时，得x＝±12，故高16英尺处拱门宽为12×2＝24(英尺)．15、如图，假定一拱门形状是抛物线，底部宽40英尺，高25英尺，试问：离地面16英尺处拱门有多宽？答：________英尺．解析：24解析：可建立坐标系，如图所示，A(－20,0)，B(20,0),C(0,25).从而可得过A、B、C三点抛物线的解析式．当y＝16时，得x＝±12，故高16英尺处拱门宽为12×2＝24(英尺)．16、抛物线y＝－x2+bx+c的图象如图所示，则此抛物线的关系式为__________．解析：y＝－x2+2x+3点拨：本题考查二次函数的有关知识，由图象知该抛物线的对称轴是x＝1，且过点(3,0)，所以解得所以抛物线的关系式为y＝－x2+2x+3，故填y＝－x2+2x+317、抛物线y＝－x2+bx+c的部分图象如图所示，请写出与其关系式、图象相关的2个正确结论：________，________.(对称轴方程，图象与x轴正半轴、y 轴交点坐标例外)解析：c＝3 b+c＝1点拨：本题是开放性题目，答案不唯一，还有：①c－3b＝9；②b＝－2；③抛物线的顶点为(－1,4)，或二次函数的最大值为4；④方程－x2+bx+c＝0的两个根为－3,1；⑤y＞0时，－3＜x＜1；或y＜0时，x＜－3或x＞1；⑥当x＞－1时，y随x的增大而减小；或当x＜－1时，y随x的增大而增大等．18、出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出(6－x)个，则当x＝__________元时，一天出售该种文具盒的总利润y最大．解析：319、已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：则该二次函数的关系式为__________．解析：y＝x2+x－2点拨：把图表中的三个点代入二次函数y＝ax2+bx+c中求得a、b、c的值．20、抛物线y＝－x2+bx+c的部分图象如图所示，请写出与其关系式、图象相关的2个正确结论：__________，__________.(对称轴方程，图象与x正半轴、y 轴交点坐标除外)解析：c＝3 b＝－2点拨：本题是开放性题目，答案不唯一．21、某种火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式h＝－5t2+150t+10表示．经过__________ s，火箭达到它的最高点．解析：15点拨：因为a＝－5，故当时，h有最大值．22、y＝2x2－bx+3的对称轴是直线x＝1，则b的值为__________．解析：4点拨：由于，解得b＝4.23、抛物线y＝x2－4x+与x轴的一个交点的坐标为(1，0)，则此抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是__________．解析： (3，0)点拨：抛物线的对称轴是，又因为抛物线与x的一个交点是(1，0)，所以另一个交点是(3，0)．24、抛物线y＝ax2+bx+c过点A(－1，0)，B(3，0)，则此抛物线的对称轴是直线x＝__________.解析：1点拨：A，B是抛物线与x轴的两个交点，关于对称轴对称，所以对称轴是直线.25、写出一个二次函数，使得a－b+c＝0，这个二次函数是__________．解析：答案不唯一，如y＝5x2+4x－1点拨：先写出a的一个值，然后再依次确定b和c.26、y＝2x2－bx+3的对称轴是直线x＝1，则b的值为__________．解析：4点拨：由于，解得b＝4.27、隧道呈抛物线形，已知隧道宽10 m，高4 m，一辆汽车宽1.6 m，高3 m，假设它从正中通过，问这辆汽车能否顺利通过隧道？答：________．(填“能”或“不能”)解析：能点拨：建立直角坐标系，由题意可知A(－5，0)，B(5，0)，C(0，4)．根据三点坐标可求得抛物线关系式为．当时，．∴汽车可以通过隧道．28、如图，抛物线y＝－x2+2x+m(m＜0)与x轴相交于点A(x1，0)，B(x2，0)，点A在点B的左侧．当x＝x2－2时，y_______0(填“＞”“＝”或“＜”号)．解析：＜【解析】本题考查二次函数图象的性质，难度中等．由题意可知抛物线的对称轴为x＝1，x1＞0，x2＞0，x1+x2＝2，所以x2＜2，则x2－2＜0，所以当x＝x2－2时，y＜0．29、如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y=上运动，当⊙P与x 轴相切时，圆心P的坐标为________．解析：(，2)或(－，2)【解析】本题考查学生数形结合的能力．由二次函数的性质可知，只有当点P在x轴上方且与x轴的距离为2时，圆P才与x轴相切，把y=2代入解析式得x2－1=2，解得x=±，故点P的坐标为(，2)或(－，2)．30、如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y=上运动，当⊙P与x 轴相切时，圆心P的坐标为________．解析：(，2)或(－，2)【解析】本题考查学生数形结合的能力．由二次函数的性质可知，只有当点P在x轴上方且与x轴的距离为2时，圆P才与x轴相切，把y=2代入解析式得x2－1=2，解得x=±，故点P的坐标为(，2)或(－，2)．二、选择题( 本大题共30小题每题1 分)1、下列函数关系中,可以看作是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)模型的是（）A．圆的周长与圆的半径之间的关系B．竖直向上发射的信号弹,从发射到落回地面,信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)C．在人口年自然增长率为1%的情况下我国人口总数随年份的变化关系D．在一定距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系参考答案：B解析：B解析：由知D不对；由y=a(1+1%)x知C不对；由C=2πR知A不对，故选B；当然也可由物理公式直接选B．2、抛物线y=－x2+2kx+2与x轴的交点个数为（）A．0个 B．1个C．2个 D．以上答案都不对参考答案：C解析：C解析：由(2k)2－4×(－1)×2=4k2+8＞0可知，抛物线与x轴必有两个交点，故选C．3、如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）b2－4ac＞0;（2）c＞1;（3）2a－b＜0;（4）a+b+c＜0．你认为其中错误的有（）A．2个B．3个 C．4个D．1个参考答案：D解析：D解析：（1）根据图象知，该函数图象与x轴有两个交点，∴△＝b2－4ac＞0；故本选项正确；（2）由图象知，该函数图象与y轴的交点为(0，1)，∴c＜1；故本选项错误；（3）由图知，知对称轴；又函数图象的开口方向向下，∴a＜0，∴－b＜－2a，即：2a－b＜0，故本选项正确；（4）根据图象可知，当x＝1，即y＝a+b+c＜0，∴a+b+c＜0；故本选项正确．4、二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+a的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：D解析：D点拨：由题意知：二次函数y＝ax2+bx+c中a＞0，b＞0，c＞05、一台机器原价为60万元，如果每年的折旧率是x，两年后这台机器的价格为y万元，那么用x表示y的函数表达式为（）A．y＝60(1－x)2 B．y＝60(1－x)C．y＝60－x2 D．y＝60(1+x)2参考答案：A解析：A点拨：一年后这台机器的价格为60(1－x)万元，两年后这台机器的价格为y＝60(1－x)(1－x)＝60(1－x)2万元．6、点(1，y1)，(2，y2)，(3，y3)在函数y＝x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3C．y1＞y2＞y3 D．y1＞y3＞y2参考答案：A解析：A点拨：当x＞0时，函数y＝x2的函数值y随x的增大而增大，因为1＜2＜3，所以y1＜y2＜y3，因此，应选A.7、对于二次函数y＝x2，下列说法正确的是…（）A．当x＜0时，y随x的增大而增大B．有最小值，其值为0C．当x＞0时，y随x的增大而减小D．y随x的增大而减小参考答案：B解析：B点拨：当x＜0时，二次函数y＝x2的函数值y随x的增大而减小；当x＞0时，二次函数y＝x2的函数值y随x的增大而增大，故排除A、C、D8、下列函数中，不是二次函数的是（）．A．B．y＝2(x－1)2+4C．y＝(x－1)(x+4)D．y＝(x－2)2－x2参考答案：D解析：D点拨：由二次函数的定义可知A，B，C都是二次函数，而D中y＝(x－2)2－x2整理后为y＝－4x+4，它是一次函数，所以选D.9、对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是（）．A．y＝mx2+3x－1 B．y＝(m－1)x2C．y＝(m－1)2x2D．y＝(－m2－1)x2参考答案：D解析：D点拨：∵m，m－1，(m－1)2都有可能等于0，而－m2－1≠0，∴选D.10、一台机器原价为60万元，如果每年的折旧率是x，两年后这台机器的价格为y万元，那么用x表示y的函数表达式为（）．A．y＝60(1－x)2B．y＝60(1－x)C．y＝60－x2D．y＝60(1+x)2参考答案：A解析：A点拨：一年后这台机器的价格为60(1－x)万元，两年后这台机器的价格为y＝60(1－x)(1－x)＝60(1－x)2万元．11、长方形的周长为30 cm，则长方形的面积y(cm2)与一边长x(cm)之间的函数表达式为（）．A．y＝x(30－x) B．y＝x(15－x)C．y＝30x2D．y＝x(x+30)参考答案：B解析：B点拨：长方形的周长为30 cm，一边长为x cm，则另一边长为(15－x) cm，所以面积为x(15－x) cm2.12、抛物线y＝2x2+4x－3的顶点坐标是（）．A．(－1，－5) B．(1，－5)C．(－1，－4) D．(－2，－7)参考答案：D解析：A点拨：∵y＝2x2+4x－3＝2(x+1)2－5，∴顶点坐标为(－1，－5)．13、将抛物线y＝x2+1向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的表达式为（）．A．y＝(x+2)2－3 B．y＝(x+2)2－2C．y＝(x－2)2－3 D．y＝(x－2)2－2参考答案：B解析：B点拨：抛物线y＝x2+1的顶点为(0，1)，平移后抛物线的顶点为(－2，－2)，所以平移后的表达式为y＝(x+2)2－2.14、已知抛物线y＝x2－2bx+4的顶点在x轴上，则b的值一定是（）．A．1 B．2 C．－2 D．2或－2参考答案：D解析：D点拨：∵抛物线y＝x2－2bx+4的顶点在x轴上，∴这条抛物线与x轴只有一个交点．∴b2－4ac＝4b2－16＝0.∴b＝±2.15、将二次函数y＝x2－2x+3，化为y＝(x－h)2+k的形式，结果为（）．A．y＝(x+1)2+4 B．y＝(x－1)2+4C．y＝(x+1)2+2 D．y＝(x－1)2+2参考答案：D解析：D点拨：y＝x2－2x+3＝x2－2x+1+2＝(x－1)2+2.16、二次函数y＝kx2+2x+1(k＜0)的图像可能是（）．参考答案：C解析：C点拨：由k＜0，b＝2＞0，所以对称轴在y轴右侧．因为c＝1，所以图像与y轴的交点在y轴正半轴上．故选C. 17A．y＝3x B．y＝3x2C．y＝2x2+1 D．y＝x2+2参考答案：B解析：B点拨：由表中数据看出，，所以y＝3x2.18、抛物线y＝2x2+4x－3的顶点坐标是（）．A．(－1，－5) B．(1，－5)C．(－1，－4) D．(－2，－7)参考答案：D解析：A点拨：∵y＝2x2+4x－3＝2(x+1)2－5，∴顶点坐标为(－1，－5)．19、已知点(2，5)，(4，5)是抛物线y＝ax2+bx+c上的两点，则这条抛物线的对称轴为（）．A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝－1参考答案：C解析：C点拨：因为点(2，5)，(4，5)是抛物线上的一对对称点，所以对称轴为，即x＝3.20、将抛物线y＝x2+1向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的表达式为（）．A．y＝(x+2)2－3 B．y＝(x+2)2－2C．y＝(x－2)2－3 D．y＝(x－2)2－2参考答案：B解析：B点拨：抛物线y＝x2+1的顶点为(0，1)，平移后抛物线的顶点为(－2，－2)，所以平移后的表达式为y＝(x+2)2－2.21、将二次函数y＝x2－2x+3，化为y＝(x－h)2+k的形式，结果为（）．A．y＝(x+1)2+4 B．y＝(x－1)2+4C．y＝(x+1)2+2 D．y＝(x－1)2+2参考答案：D解析：D点拨：y＝x2－2x+3＝x2－2x+1+2＝(x－1)2+2.22、小敏用一根长为8 cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是（）．A．4 cm2B．8 cm2 C．16cm2 D．32 cm2参考答案：A解析：A点拨：设矩形的面积为y cm2，矩形的一边长为x cm，根据题意得y＝x(4－x)＝－x2+4x＝－(x－2)2+4，所以当矩形的边长为2 cm时，矩形的面积最大为4 cm2.23、如图，有一网球从斜坡点O处抛出，其运动路线是二次函数y＝4x－的图象的一段，斜坡的截线OA是一次函数的图象的一段．建立如图所示的直角坐标系，则网球在斜坡上的落点A的垂直高度是（）A．1 m B．2.5 m C．3.5 m D．4 m参考答案：C解析：C点拨：由题意，得：解得∴点A的坐标为(7，3.5)，即网球在斜坡上的落点A的垂直高度是3.5 m．24、如图，点A，B的坐标分别为(1,4)和(4,4)，抛物线y＝a(x－m)2+n(a≠0)的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C，D两点(C在D的左侧)，点C的横坐标最小值为－3，则点D的横坐标最大值为（）．A．－3 B．1C．5 D．8参考答案：D解析：D点拨：C，D两点是抛物线与x轴的交点，当取得C点横坐标的最小值为－3时，抛物线的顶点在A处，把C(－3,0)，A(1,4)代入解析式，可得0＝a(－3－1)2+4，求得a＝－，当抛物线的顶点在B处时，可以取得D点横坐标的最大值，其解析式为y＝－(x－4)2+4，易得最大值为8.25、如图，点A，B的坐标分别为(1,4)和(4,4)，抛物线y＝a(x－m)2+n(a≠0)的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C，D两点(C在D的左侧)，点C的横坐标最小值为－3，则点D的横坐标最大值为（）．A．－3 B．1C．5 D．8参考答案：D解析：D点拨：C，D两点是抛物线与x轴的交点，当取得C点横坐标的最小值为－3时，抛物线的顶点在A处，把C(－3,0)，A(1,4)代入解析式，可得0＝a(－3－1)2+4，求得a＝－，当抛物线的顶点在B处时，可以取得D点横坐标的最大值，其解析式为y＝－(x－4)2+4，易得最大值为8.26、下列哪一个函数，其图象与x轴有两个交点（）A．y=B．C．y= D．y=参考答案：D解析：D【解析】本题考查抛物线与x轴的交点问题．A，B中抛物线开口向上，顶点在x轴上方，与x轴无交点；C中抛物线开口向下，顶点在x轴下方，与x轴无交点；D中抛物线开口向下，顶点在x轴上方，与x轴有两个交点．27、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，D是AB边上的一个动点(不与点A，B重合)，过点D作CD的垂线交射线CA于点E．设AD＝x，CE＝y，则下列图象中，能表示y，与x的函数关系的图象大致是（）参考答案：B解析：B【解析】本题考查了动态几何与二次函数结合．解题关键是根据点D的运动情况，找出点E的运动趋势．并选择合适的图象．当x＝0时，当D点在A处时，，所以图象过，故可排除选项D；当点D在向右移动的过程中，x的值越来越大，y的值先逐渐变小，后逐渐变大，故排除选项A；当∠CDA＝90º时，，当时，点E在AC的延长线上，即，且逐渐增大，故可排除选项C．故选B．28、已知一元二次方程x2+bx－3＝0的一根为－3，在二次函数y＝x2+bx－3的图象上有三点(，y1)，(，y2)，(，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2参考答案：A解析：A【解析】本题考查一元二次方程的根及二次函数图象的性质，难度中等，由方程的一根为－3，可求b＝2，则二次函数解析式为y＝x2+2x－3，当时，；当时，；当时，；因为，所以.29、已知函数y1=x2与函数y=－x+3的图象大致如图．若y1＜y2，则自变量x的取值范围是（）A． B．x＞2或x＜C．－2＜x＜D．x＜－2或x＞参考答案：C解析：C【解析】本题考查了比较两个函数值大小的能力．函数y1=x2和y2=－+3的交点横坐标就是方程x2=－x+3的解，解这个方程得x1=－2，x2=．观察图象可知，当－2＜x＜时有，y1＜y2．故选C．30、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，D是AB边上的一个动点(不与点A，B重合)，过点D作CD的垂线交射线CA于点E．设AD＝x，CE＝y，则下列图象中，能表示y，与x的函数关系的图象大致是（）参考答案：B解析：B【解析】本题考查了动态几何与二次函数结合．解题关键是根据点D的运动情况，找出点E的运动趋势．并选择合适的图象．当x＝0时，当D点在A处时，，所以图象过，故可排除选项D；当点D在向右移动的过程中，x的值越来越大，y的值先逐渐变小，后逐渐变大，故排除选项A；当∠CDA＝90º时，，当时，点E在AC的延长线上，即，且逐渐增大，故可排除选项C．故选B．三、解答题( 本大题共20小题每题1 分)1、已知二次函数.（1）试确定函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）作出函数及的草图；（3）根据函数图象说出抛物线与抛物线的关系.解析：思路分析：（1）利用配方法将化为的形式即可作出正确解答；（3）中可结合图形的形状和位置予以说明.解：（1）∵,∴抛物线的开口向上,对称轴为x=－6,顶点坐标为(－6,－8). （2）在同一直角坐标系内作出及的图象,如图所示.（3）由图象可以看出,抛物线可看作是抛物线向左平移6个单位长度后,再向下平移8个单位长度得到的,两条抛物线的形状和大小完全相同.只是位置不同.2、已知点A(－2,－c)向右平移8个单位得到点A′,A与A′两点均在抛物线y=ax2+bx+c上,且这条抛物线与y轴交点的纵坐标为－6,求这条抛物线的顶点坐标.解析：解析：抛物线的解析式是y=x2－4x－6，顶点坐标为(2，－10).3、阅读材料,解答问题.阅读材料：当抛物线的函数关系式中含有字母系数时,随着系数中的字母的取值不同,抛物线的顶点坐标也将发生变化.例如：由抛物线y=x2－2mx+m2+2x－1, ①有y=(x－m)2+2m－1, ②∴抛物线的顶点坐标为(m,2m－1).即当m的值变化时,x、y的值也随之变化,因而y的值随x值的变化而变化,将③代入④得,y=2x－1.⑤可见,不论m取任何实数,抛物线的顶点的纵坐标y与横坐标x都满足关系式：y=2x－1.解答问题：（1）在上述过程中,由①到②所用的数学方法是_______,其中运用了_______公式,由③④得到⑤所用的数学方法是______.（2）根据阅读材料提供的方法,确定抛物线y=x2－2mx+2m2－3m+1顶点的纵坐标y与横坐标x之间的关系式.解析：解析：（1）配方法完全平方代入法（2）由，，把x=m代入y=m2－3m+1得y=x2－3x+1，即为抛物钱y=x2－2mx+2m2－3m+1的顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式.4、已知函数.（1）当自变量x在什么范围内取值时,y随x的增大而增大?x在什么范围内取值时,y随x的增大而减小?（2）这个二次函数有最大值或最小值吗?如果有,当x为何值时,函数取得最大值或最小值?求出最大值或最小值.解析：解析：（1）因为，b=6，c=20，所以,,则图象的顶点坐标为(－6，2).因为抛物线开口向上，所以，当x＞－6时，y随x的增大而增大；当x＜－6时，y随x的增大而减小.（2）因为抛物线开口向上，顶点坐标为(－6，2)，所以当x=－6时，这个二次函数有最小值2.5、当m解析：解：由题意，得由①得m≠2且m≠－1；由②得m＝6或m＝－1.所以，当m＝6时，该函数是二次函数，其函数关系式为y＝28x2+7x+66、在平原上，一门炮发射的一发炮弹飞行的高度y(m)与飞行时间x(s)的关系满足.（1）经过多长时间，炮弹达到它的最高点？最高点的高度是多少？（2）经过多长时间，炮弹落到地上爆炸？解析：解：（1）∵y＝－x2+10x＝－(x－25)2+125，∴当x＝25时，y最大＝125.∴经过25 s后，炮弹达到最高点，最高点的高度是125 m.（2）令y＝0，则－x2+10x＝0，解得x1＝50，x2＝0(舍去)．∴经过50 s后，炮弹落地爆炸．点拨：欲求经过多长时间达到它的最高点，就是求此抛物线的顶点坐标，经过多长时间，炮弹落到地上爆炸，也就是求抛物线与x轴的交点坐标，只要理解这些便可求出．7、改革开放后，不少农村用上了自动喷灌设备，如图所示，AB表示水管，在B 处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间喷出的水呈抛物线状，建立如图所示的平面直角坐标系后，抛物线对应的函数关系式为．（1）当x＝1时，喷出的水离地面多高？（2）你能求出水落地点的最远距离吗？（3）水管有多高？解析：解：（1）当x＝1时，y＝×12+2×1+1.5＝3．故x＝1时，喷出的水离地面的高为3．（2）当y＝0时，，解得， (舍去)．因此水落地点的最远距离为．（3）当x＝0时，y＝1.5，因此水管AB的高为1.5．8、已知抛物线y＝x2－2x－8，（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积．解析：（1）证明：△＝36＞0，所以一元二次方程x2－2x－8＝0有两个不相等的实数根，所以所对应的抛物线与x轴一定有两个交点．（2）解：由题可得P点坐标为(1，－9)，所以S△ABP＝×6×9＝27．9、已知抛物线y＝ax2+bx+c开口向下，并且经过A(0，1)和M(2，－3)两点．（1）若抛物线的对称轴为直线x＝－1，求此抛物线所对应的函数关系式；（2）如果抛物线的对称轴在y轴的左侧，试求a的取值范围；（3）如果抛物线与x轴交于B、C两点，且∠BAC＝90°，求此时a的值．解析：解：（1）y＝－0.5x2－x+1；（2）－1＜a＜0；（3）a＝－1．10、如图，一块草地是长80 m，宽60 m的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x m的小路，这时草坪面积为y m2.求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．解析：解：y＝(60－x)(80－x)，即y＝x2－140x+4 800(0＜x＜60)．11、已知点A(1,1)在二次函数y＝x2－2ax+b的图象上．（1）用含a的代数式表示b；（2）如果该二次函数的图象与x轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标．解析：解：（1）因为点A(1,1)在二次函数y＝x2－2ax+b的图象上，所以1＝1－2a+b，可得b＝2a.（2）根据题意，方程x2－2ax+b＝0有两个相等的实数根，所以4a2－4b＝4a2－8a＝0，解得a＝0或a＝2.当a＝0时，y＝x2，这个二次函数的顶点坐标为(0,0)；当a＝2时，y＝x2－4x+4，这个二次函数的顶点坐标为(2,0)．所以，这个二次函数的顶点坐标为(0,0)或(2,0)．点拨：（1）根据题意得1＝1－2a+b，所以b＝2a；（2）由题意知方程x2－2ax+b＝0有两个相等的实数根，所以4a2－4b＝0，由（1）b＝2a得4a2－8a＝0，解得a＝0或a＝2.进而分类可求得该二次函数的图象的顶点坐标．12、已知二次函数的图象经过点(0,3)，(－3,0)，(2，－5)，且与x轴交于A，B两点．（1）试确定此二次函数解析式；（2）判断点P(－2,3)是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出△PAB的面积；如果不在，请说明理由．解析：解：（1）设二次函数解析式为y＝ax2+bx+c(a≠0)，把(0,3)，(－3,0)，(2，－5)代入，得解得所以二次函数解析式为y＝－x2－2x+3；（2）当x＝－2时，y＝－(－2)2－2×(－2)+3＝3，所以点P(－2,3)在这个二次函数图象上；当y＝0时，－x2－2x+3＝0，解得x1＝－3，x2＝1，所以点A(－3,0)，B(1,0)，所以AB＝4，所以S＝×4×3＝6.△PAB点拨：（1）知道二次函数上的三个点的坐标，可以用待定系数法来确定出解析式；（2）判定一个点是否在某个函数上，通常用的方法是让自变量取点的横坐标，算出对应的函数值，如果与点的纵坐标相等，则点在这个函数上，否则就不在，在平面直角坐标系中求三角形的面积，要注意应用坐标的绝对值等于点到坐标轴的距离，也就是可以看成是三角形的高．13、用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架(如图①，②，③中的一种)．设竖档AB＝x米，请根据以上图案回答下列问题：(题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与AD，AB平行)（1）在图①中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积为3平方米?（2）在图②中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大?最大面积是多少?（3）在图③中，如果不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档，那么当x为多少时，矩形框架ABCD的面积．S最大?最大面积是多少?解析：本题考查方程与二次函数的综合应用，通过求二次函数的最值考查函数的性质，难度中等．解：（1）由题意，BC的长为(4－x)米，依题意得x(4－x)＝3，即x2—4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，即当AB的长度为1米或3米时，矩形框架ABCD的面积为3平方米．（2），∴当时，S有最大值3，即是说，当x为时，矩形框架ABCD的面积S最大，最大面积是3平方米．（3）.∵，∴当时，S有最大值，.因此，当x为时，矩形框架ABCD的面积S最大，最大面积平方米.14、已知A(1，0)，B(0，－1)，C(－1，2)，D(2，－1)，E(4，2)五个点，抛物线y＝a(x－1)2+k(a＞0)，经过其中三个点．（1）求证：C，E两点不可能同时在抛物线y＝a(x－1)2+k(a＞0)上；（2）点A在抛物线y＝a(x－1)2+k(a＞0)上吗?为什么?（3）求a和k的值．解析：本题考查抛物线的图象和解析式，考查分类讨论思想，难度较大．解：（1）证明：将C，E两点的坐标代入y＝a(x－1)2+k(a＞0)得，解得a＝0，这与条件a＞0不符，∴C，E两点不可能同时在抛物线y＝a(x－1)2+k(a＞0)上，（2）解法一：∵A，C，D三点共线(如图)，∴A，C，D三点也不可能同时在抛物线y＝a(x－1)2+k(a＞0)上.∴同时在抛物线上的三点有如下六种可能：①A，B，C；②A，B，E；③A，B，D；④A，D，E；⑤B，C，D；⑥B，D，E．将①，②，③，④四种情况(都含A点)的三点坐标分别代入y＝a(x－1)2+k(a＞0)，解得：①无解；②无解；③a＝－1，与条件不符，舍去；④无解．所以A点不可能在抛物线y＝a(x－1)2+k(a＞0)上.解法二：∵抛物线y＝a(x－1)2+k(a＞0)的顶点为(1，k)，假设抛物线过A(1，0)，则点A必为抛物线y＝a(x－1)2+k(a＞0)的顶点，由于抛物线的开口向上且必过五点A，B，C，D，E中的三点，所以必过x轴上方的另外两点C，E，这与（1）矛盾，所以A点不可能在抛物线y＝a(x－1)2+k(a＞0)上．(3)当抛物线经过（2）中⑤B，C，D三点时，则当抛物线经过（2）中⑥B，D，E三点时，同法可求∴15、注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种分析问题的方法。
二次函数试题(难)
二次函数专题1.抛物线(1)(3)(0)y a x x a =+-≠的对称轴是直线（ ）A ．1x =B ．1x =-C ．3x =-D ．3x = 2.二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图1所示，则下列说法不正确的是（ ）A ．240b ac ->B ．0a >C ．0c >D ．02b a-< 3.）下列哪一个函数，其图形与x 轴有两个交点？(A)y =17(x +83)2+2274 (B)y =17(x -83)2+2274(C) y = -17(x -83)2-2274 (D) y = -17(x +83)2+2274。
4.如图3二次函数()220y ax bx a b a =+++≠的图像为下列图像之一，则a 的值为A.－1B.1C. －3D. －45.已知二次函数215(1)y x k =-+的图象上有三个点123(2,),(2,),(5,)A y B y C y -. 则123,,y y y 的大小关系为______.A. 123y y y >>B. 213y y y >>C. 312y y y >>D. 321y y y >>6.二次函数2y ax bx c =++与一次函数y ax c =+在同一坐标系中的图象可能是下图中的_____.7.在同一坐标系中二次函数2y ax b =+和2y bx ax =+的图象只可能是下图中的_____.8.已知: 0,930a b c a b c -+=++=, 则二次函数2y ax bx c =++图象的顶点可能在_____.A. 第一或第二象限 .B. 第三或第四象限.C. 第一或第四象限D. 第二或第三象限9.关于函数2565y x x =-+-的最值中说法正确的是_____.A. 该函数只有最大值5B. 该函数只有最小值3C. 该函数有最大值5、最小值3D. 该函数有最大值5、最小值1 10.已知二次函数11)(2k 2－－＋＝x kx y 与x 轴交点的横坐标为1x 、2x （21x x ＜），则对于下列结论：①当x ＝－2时，y ＝1；②当2x x ＞时，y ＞0；③方程011)(22＝－＋-x k kx 有两个不相等的实数根1x 、2x ；④11-＜x ，12＞－x ；⑤22114k x x k＋－＝，其中所有正确的结论是 11.函数231y ax ax x =-++的图象与x 轴有且只有一个公共点, 那么a 的值是______.12.如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴的一个交点A 在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），顶点C 是矩形DEFG 上（包括边界和内部）的一个动点，则 (1)abc 0(填“>”或“<”)；(1)a 的取值范围是13.如图（5）A. B. C.是二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像上三点,根据图中给出的三点的位置,可得a ——0，c ——0, ⊿——0 14.抛物线y=-（x-L ）(x-3-k)+L 与抛物线y=(x-3)2+4关于原点对称，L+k=________。
中考数学二次函数填空题(难度题)含答案
《二次函数》——难度题1、从如图所示的二次函数y = ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象中，得出了下面五条信息：①ab > 0 ②a ＋b ＋c < 0 ③b ＋2c > 0 ④a －2b ＋4c > 0 ⑤32a b . 其中正确信息的序号是 ① ② ③ ④ ⑤2、如图，二次函数2y ax bx c （0≠a ）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（－1，0），下列结论：①0ab，②24b a ，③02a b c ，④01b ，⑤当1x时，0y .其中正确结论的序号是 ①②③④o x y-113、已知二次函数y =ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①b 2＞4ac ；②abc ＞0；③2a ﹣b =0；④8a+c ＜0；⑤9a+3b+c ＜0，其中结论正确的是①②⑤ ．（填正确结论的序号）4、二次函数y= ax 2+bx+c 的图象如图所示，给出下列结论：①2a+b ＞0；②b ＞a ＞c ；③若﹣1＜m ＜n ＜1，则m+n ＜a b ；④3|a |+|c |＜2|b |． 其中正确的结论是 ①③④ （写出你认为正确的所有结论序号）．5、二次函数y=ax 2+bx+c 图象如图，下列正确的序号为 ①③④ ①bc ＞0；②2a ﹣3c ＜0；③2a+b ＞0；④ax 2+bx+c =0有两个解x 1，x 2，x 1＞0， x 2＜0；⑤a+b+c ＞0；⑥当x ＞1时，y 随x 增大而减小．【解】①∵抛物线开口向上，∴a ＞0，∵对称轴在y 轴右侧，∴a ，b 异号即b ＜0， ∵抛物线与y 轴的交点在负半轴，∴c ＜0，∴bc ＞0，故①正确；②∵a ＞0，c ＜0，∴2a ﹣3c ＞0，故②错误；③∵对称轴x =﹣＜1，a ＞0，∴﹣b ＜2a ，∴2a+b ＞0，故③正确；④由图形可知二次函数y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点分别在原点的左右两侧， 即方程ax 2+bx+c=0有两个解x 1，x 2，当x 1＞x 2时，x 1＞0，x 2＜0，故④正确； ⑤由图形可知x=1时，y=a+b+c ＜0，故⑤错误；⑥∵a ＞0，对称轴x=1，∴当x ＞1时，y 随x 增大而增大，故⑥错误．综上所述，正确的结论是①③④6、如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a ＞0）图象的顶点为D ，其图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为﹣1，3．与y 轴负半轴交于点C ，在下面五个结论中：①2a ﹣b =0；②a+b+c ＞0；③c =﹣3a ；④只有当a =21时，△ABD 是等腰直角三角形；⑤使△ACB 为等腰三角形的a 值可以有四个．其中正确的结论是 ③④ ．（只填序号）7、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x =2，下列结论：①4a+b =0；②9a+c ＞3b ；③8a +7b +2c ＞0；④当x ＞﹣1时，y 的值随x 值的增大而增大．其中正确的结论有（ B ）A．1个B．2个C．3个D．4个8、（2014年四川）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则下列叙述正确的是（）A．a bc＜0B．﹣3a+c＜0 C．b2﹣4ac≥0D．将该函数图象向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为y=ax2+c9、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（B）A.4个B. 3个C．2个D．1个10、二次函数bx x y +=2的图象如图，对称轴为1=x ．若关于x 的一元二次方程02=-+t bx x （t 为实数）在41<<-x 的范围内有解，则t 的取值范围是 81<≤-t11、如图,已知抛物线y 1=－2x 2＋2,直线y 2=2x +2,当x 任取一值时,x 对应的函数值分别为y 1、y 2.若y 1≠y 2，取y 1、y 2中的较小值记为M ；若y 1=y 2，记M = y 1=y 2.例如：当x =1时，y 1=0, y 2=4, y 1＜y 2，此时M = 0. 下列判断：①当x ＞0时，y 1＞y 2； ②当x ＜0时，x 值越大，M 值越小； ③使得M 大于2的x 值不存在； ④使得M = 1的x 值是 21-或22.其中正确的是 ③④12、二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）图象如图，下列结论：①abc ＞0； ②3a +c <0； ③当m ≠1时，a +b ＞am 2+bm ；④a ﹣b +c ＞0； ⑤若ax 12+bx 1=ax 22+bx 2，且x 1≠x 2，则x 1+x 2=2．其中正确的有 xy Oy 2 y 1②③⑤( 填序号)13、如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点，其顶点P在折线C－D－E上移动，若点C、D、E的坐标分别为（－1，4）、（3，4）、（3，1），点B的横坐标的最小值为1，则点A的横坐标的最大值为 214、如图，抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3…A n，…．将抛物线y=x2沿直线L：y=x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点M1，M2，M3，…M n，…都在直线L：y = x上；②抛物线依次经过点A1，A2，A3…A n，…．则顶点M2014的坐标为（4027，4027）．2 1 － 1 O xy15、如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是x ＝ 1 3，小亮通过观察得出了下面四条信息：①c ＜0， ②abc ＜0， ③a －b ＋c ＞0， ④2a －3b ＝0．你认为其中正确的有____①③ ____（把正确的番号填在横线上）16、二次函数y=x 2+bx 的图象如图，对称轴为直线x =1，若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t =0（t 为实数）在﹣3≤x <4的范围内有解，则t 的取值范围是﹣1≤t ≤1517、已知抛物线y ＝－x 2＋6x －5与x 轴交于点A 、B （A 在B 的左侧），顶点为C ，CD ⊥y 轴于D ，P 是x 轴上方抛物线对称轴上一点，且S △P AD ＝2S △PBC ，则点P 的坐标为_)8,3()58,3(或____【方法】设点，将面积与坐标建立等量关系，用差量法求三角形面积18、已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A （－1，0）、B （3，0）、C （0，3）三点，顶点为D ，点P 是抛物线的对称轴上一点，以点P 为圆心的圆经过A 、B 两点，且与直线CD 相切，则点P 的坐标为_____)462,1()462,1(---或____【方法】设点坐标；三角函数；勾股定理19、已知抛物线y ＝x 2－2mx ＋4m －8的顶点为A ．（1）若以A 为一个顶点作该抛物线的内接正三角形ABC （B 、C 两点都在拋物线上），则△ABC 的面积为____33______；（2）若抛物线y ＝x 2－2mx ＋4m －8与x 轴交点的横坐标均为整数，则整数m 的值为____2_____【方法】利用特殊几何形的长度角度关系，设点坐标；将点的坐标代入抛物线方程，建立方程求解。
初三数学二次函数中档经典题目含解析
二次函数中档经典题目【含解析】1．二次函数y=a（x﹣4）2﹣4（a≠0）的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x ＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣22．设二次函数y1=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0，x1≠x2）的图象与一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象交于点（x1，0），若函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，则（）A．a（x1﹣x2）=d B．a（x2﹣x1）=d C．a（x1﹣x2）2=d D．a（x1+x2）2=d3．某数学兴趣小组研究二次函数y=mx2﹣2mx+3（m≠0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标：．4．如图，将2个正方形并排组成矩形OABC，OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上．正方形EFMN的边EF落在线段CB上，过点M、N的二次函数的图象也过矩形的顶点B、C，若三个正方形边长均为1，则此二次函数的关系式为．5．二次函数y=﹣（x﹣2）2+的图象与x轴围成的封闭区域内（包括边界），横、纵坐标都是整数的点有个（提示：必要时可利用下面的备用图画出图象来分析）．6．在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若y′=，则称点Q为点P的“可控变点”．例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．（1）若点（﹣1，﹣2）是一次函数y=x+3图象上点M的“可控变点”，则点M的坐标为．（2）若点P在函数y=﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16＜y′≤16，则实数a的取值范围是．8.已知二次函数y=2x2﹣4mx+m2+2m（m是常数）．（1）求该函数图象的顶点C的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当m为何值时，函数图象的顶点C在二、四象限的角平分线上？9．已知函数y=x2+（2m+1）x+m2﹣1．（1）m为何值时，y有最小值0；（2）求证：不论m取何值，函数图象的顶点都在同一直线上．10．（1）求二次函数y=x2﹣4x+1图象的顶点坐标，并指出当x在何范围内取值时，y随x 的增大而减小；（2）若二次函数y=x2﹣4x+c的图象与坐标轴有2个交点，求字母c应满足的条件．11．已知二次函数的图象经过（﹣1，1）、（2，1 ）两点，且与x轴仅有一个交点，求二次函数的解析式．12．已知二次函数的图象经过点（0，3）和（﹣2，﹣5），与x轴的两个交点的距离为4个单位长度，试求二次函数的解析式．二次函数中档经典题目【答案】1．二次函数y=a（x﹣4）2﹣4（a≠0）的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x ＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【解答】解：∵抛物线y=a（x﹣4）2﹣4（a≠0）的对称轴为直线x=4，而抛物线在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，∴抛物线在1＜x＜2这一段位于x轴的上方，∵抛物线在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，∴抛物线过点（2，0），把（2，0）代入y=a（x﹣4）2﹣4（a≠0）得4a﹣4=0，解得a=1．故选A．2．设二次函数y1=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0，x1≠x2）的图象与一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象交于点（x1，0），若函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，则（）A．a（x1﹣x2）=d B．a（x2﹣x1）=d C．a（x1﹣x2）2=d D．a（x1+x2）2=d【解答】解：∵一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象经过点（x1，0），∴dx1+e=0，∴y2=d（x﹣x1），∴y=y1+y2=a（x﹣x1）（x﹣x2）+d（x﹣x1）=（x﹣x1）[a（x﹣x2）+d]∵函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，∴函数y=y1+y2是二次函数，且它的顶点在x轴上，即y=y1+y2=a，∴a（x﹣x2）+d=a（x﹣x1），令x=x2，可得a（x2﹣x2）+d=a（x2﹣x1），∴a（x2﹣x1）=d．故选：B．3．某数学兴趣小组研究二次函数y=mx2﹣2mx+3（m≠0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标：（0，3），（2，3）．【解答】解：∵原函数化为y=mx（x﹣2）+3的形式，∴当x=0或x﹣2=0时函数值与m值无关，∵当x=0时，y=3；当x=2时，y=3，∴两定点坐标为：（0，3），（2，3）．故答案为：（0，3），（2，3）．4．如图，将2个正方形并排组成矩形OABC，OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上．正方形EFMN的边EF落在线段CB上，过点M、N的二次函数的图象也过矩形的顶点B、C，若三个正方形边长均为1，则此二次函数的关系式为y=﹣x2+x+1．【解答】解：∵正方形的边长为1，∴OA=1+1=2，OC=1，∴点B（2，1）、C（0，1），∵正方形EFMN的两顶点M、N在抛物线上，∴根据二次函数图象的轴对称性，点M的横坐标为1﹣×1=1﹣=，纵坐标为1+1=2，∴点M（，2），设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，则，解得，所以，二次函数的关系式为y=﹣x2+x+1．故答案为：y=﹣x2+x+1．5．二次函数y=﹣（x﹣2）2+的图象与x轴围成的封闭区域内（包括边界），横、纵坐标都是整数的点有7个（提示：必要时可利用下面的备用图画出图象来分析）．【解答】解：∵二次项系数为﹣1，∴函数图象开口向下，顶点坐标为（2，），当y=0时，﹣（x﹣2）2+=0，解得x1=，得x2=．可画出草图为：（右图）图象与x轴围成的封闭区域内（包括边界），横、纵坐标都是整数的点有7个，为（2，0），（2，1），（2，2），（1，0），（1，1），（3，0），（3，1）．6．在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若y′=，则称点Q为点P的“可控变点”．例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．（1）若点（﹣1，﹣2）是一次函数y=x+3图象上点M的“可控变点”，则点M的坐标为（﹣1，2）．（2）若点P在函数y=﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16＜y′≤16，则实数a的取值范围是≤a＜4．【解答】解：（1）根据“可控变点”的定义可知点M的坐标为（﹣1，2）；（2）依题意，y=﹣x2+16图象上的点P的“可控变点”必在函数y′=的图象上（如图）．∵﹣16＜y′≤16，∴﹣16=﹣x2+16．∴x=4．当x=﹣5时，x2﹣16=9，当y′=9时，9=﹣x2+16（x≥0）．∴x=．∴a的取值范围是≤a＜4．故答案为（﹣1，2），≤a＜4．7．【解答】解：由图知：当点B的横坐标为1时，抛物线顶点取C（﹣1，4），设该抛物线的解析式为：y=a（x+1）2+4，代入点B坐标，得：0=a（1+1）2+4，a=﹣1，即：B点横坐标取最小值时，抛物线的解析式为：y=﹣（x+1）2+4．当A点横坐标取最大值时，抛物线顶点应取E（3，1），则此时抛物线的解析式：y=﹣（x﹣3）2+1=﹣x2+6x﹣8=﹣（x﹣2）（x﹣4），即与x轴的交点为（2，0）或（4，0）（舍去），∴点A的横坐标的最大值为2．故选B．8.已知二次函数y=2x2﹣4mx+m2+2m（m是常数）．（1）求该函数图象的顶点C的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当m为何值时，函数图象的顶点C在二、四象限的角平分线上？【解答】解：（1）由y=2x2﹣4mx+m2+2m=2（x2﹣2mx）+m2+2m=2（x﹣m）2﹣m2+2m，得顶点C的坐标为（m，﹣m2+2m）；（2）点C坐标（m，2m﹣m2），由题意知，点C在直线y=﹣x上，则﹣m=2m﹣m2，整理得m2﹣3m=0，解得m=0或m=3；所以当m为0或3时，函数图象的顶点C在二、四象限的角平分线上．9．已知函数y=x2+（2m+1）x+m2﹣1．（1）m为何值时，y有最小值0；（2）求证：不论m取何值，函数图象的顶点都在同一直线上．【解答】（1）解：当y=0时，===0，解得：m=﹣；（2）证明：函数y=x2+（2m+1）x+m2﹣1的顶点坐标为：（﹣，）设顶点在直线y1=kx+b上，则﹣k+b=，故﹣mk=﹣m，解得：k=1，b=﹣，不论m取何值，该函数图象的顶点都在直线y1=x﹣上．10．（1）求二次函数y=x2﹣4x+1图象的顶点坐标，并指出当x在何范围内取值时，y随x 的增大而减小；（2）若二次函数y=x2﹣4x+c的图象与坐标轴有2个交点，求字母c应满足的条件．【解答】解：（1）y=x2﹣4x+1=（x﹣2）2﹣3，所以顶点坐标为（2，﹣3），当x＜2时，y随x的增大而减小；（2）y=x2﹣4x+c的图象与y轴有且只有一个交点（0，c），①当（0，c）仅在y轴上，不在x轴上，即c≠0时，图象应与x轴有唯一交点，此时（﹣4）2﹣4c=0，c=4；②当（0，c）既在y轴上，又在x轴上，即c=0时，图象应与x轴有两个交点，此时y=x2﹣4x，与坐标轴的两个交点为（0，0），（4，0），满足题意．所以c=0或c=4时该二次函数图象与坐标轴有2个交点．11．已知二次函数的图象经过（﹣1，1）、（2，1 ）两点，且与x轴仅有一个交点，求二次函数的解析式．【解答】解：∵二次函数的图象经过（﹣1，1）、（2，1 ）两点，∴抛物线的对称轴为直线x=，∵二次函数的图象与x轴仅有一个交点，∴顶点的纵坐标为0，∴抛物线的顶点坐标为（，0），设抛物线解析式为y=a（x﹣）2，把（2，1）代入得a=1，解得a=，∴二次函数的解析式为y=（x﹣）2，即y=x2﹣x+．12．已知二次函数的图象经过点（0，3）和（﹣2，﹣5），与x轴的两个交点的距离为4个单位长度，试求二次函数的解析式．【解答】解：抛物线解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），把点（0，3）和（﹣2，﹣5）代入，得，则b=2a+4．设抛物线与x轴交点的横坐标分别是x1、x2，则x1+x2=﹣=﹣2﹣，x1•x2=，故|x1﹣x2|==4，即=4，整理，得3a2﹣a﹣4=0，解得a1=，a2=﹣1则b=或b=2．故该抛物线的解析式为：y=x2+x+3或y=﹣x2+2x+3．- 11 -。
【初三数学】二次函数难题压轴题中考精选(共20页)
y
顶为�0�1� P 以� D 点于交相轴 y 与 BA 段线� �0 � m� � m � 3 �为标坐 B 点�上轴
x 在 C 、 A 点, C B � C A � �0 9 � B C A � �形角三角直为 C B A � 知已�市洲株年 9002� 、2
图题 42 第
x
B A
O y
�由理明说�在存不若�标坐的点 N 出求�在 存若�似相 BAO△与 NBO△使�N 点在存否是上线物抛的方下轴 x 在�BA�AO 结连�3� �倍 3 的积面 BOA△是积面的 BOM△使�M 点求上线物抛在�2� �式析解的线物抛求�1� �B 为点交个一 、14、1 另的轴 x 与�O 点原过经且� �1�2�A 为点顶的线物抛�图如 � 市 庄 枣 年 9 0 0 2 � 选精题考中数函次二
x
C
F
P D
O
A
Q E B
�值定为 ) C E � C A ( C F �明证试� F 点于 C A 交长延并 Q B 结连� E 点于 CB 交长延并 Q P 结连�点动一的间之 B 点至 P 点上线物抛为 Q 点设�3� �式析解的线物抛求�2� � �示表 m 用�标坐的 A 点求�1� � D 、 B 点过线物抛的点
C�B�A 于同不�点两 F、E 于交象图的数函次二与 l 线直条一作�
�上 CA 线直在否是�
�形角三角直是 FEB△明证并�标坐的点 E 出给已自请� �点三 2 �1�M 点过�3�
2
1
1
�1�M 点断判�2�
�式析解的数函次二此求�1� 8 4 � � � � C� �0� 1 � �B� � 2 � �0� A 点过数函次二知已� 市 德 常 年 9 0 0 2� 、6 9 5