初三数学下册期中二次函数y=ax2测试题(含答案解析)
华东师大版九年级数学下册《26.2.1二次函数y=ax2的图象与性质》同步练习(含答案解析
D .②④平面直角坐标系中，画出下列函数的图象. 2 1 2（1）y = — 3x ; （2）y = 4X .知识点2二次函数y = ax 2的性质1 26. 在二次函数y = — 4X 中，当x>0时，若X 1>X 2，贝U y 1时，若 X 1>X 2，贝卩 y 1 ______ 2.（填 “ >或 “ <”）7. 抛物线y =fx 2，y =x 2，y = — x 2的共同性质是： ①都是开口向上；②都以点（0，0）为顶点； ③都以y 轴为对称轴；④都关于x 轴对称. 其中正确的个数为（） A . 1 B . 2 C . 3 D . 42621二次函数y = ax 2的图象与性质知识点1二次函数y = ax 2的图象 1 .二次函数y = — 5x 2的图象开口 __________ 对称轴为 ________ 为 ________ . 2 .抛物线y = ax 2（a<0）经过（ ）A .第一、二象限B .第三、四象限C .第一、三象限D .第二、四象限 3.经过测试，某种汽车的刹车距离 s （单位：米）与刹车时的速度 ，顶点坐标 满足关系式s = ( 4. 2017启东市校级月考已知 ax 2的图象可能是（）图 26 — 2—1 a M 0, 在同一直角坐标系中，函数 v （千米/时） ） y = ax 与 yA .①②C .①③ 5.在同-y 2；当 x<01 28 •关于二次函数y =卞2，有下列说法：⑴其图象是轴对称图形； ⑵当x<0 时，y 随x 的增大而减小；⑶当x>0时，y 随x 的增大而增大；⑷当x = 0时，y 有最小值•其中说法正确的有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个 9. 2017连云港已知抛物线y = ax 2（a >0）经过A （—2, y i ），B （1，y 2）两点，则 下列关系式一定正确的是（）A . y i >0>y 2B . y 2>0>y iC . y i >y 2>0D . y 2>y i >010. 已知抛物线y = ax 2经过点（i ，3）. （i ）求 a 的值；⑵当x = 3时，求出y 的值；（3）说出此二次函数的三条性质.1 211 .如图26— 2— 3,在同一平面直角坐标系中画出函数y =^x 和函数O 为正方形ABCD 对角线的交点，且正方形的边分别1 22x 2的图象，已知坐标原点 与x 轴、y 轴平行，如果点D的坐标为（2, 2），那么阴影部分的面积为（）A. 4B. 8C. 1212.函数y= k（x—k），正确的是（）D. 162 ky= kx与y=］化工0）在同一平面直角坐标系内的图象图26 —2 —4=—4.则函数y = 2探x 的图象大致是( )图 26 — 2 — 514. 已知y = (k + 2)xk 2+ k — 4是关于x 的二次函数，且当x >0时，y 随x 的 增大而增大，则k 的值为 _________ .15. 根据下列条件求m 的取值范围：(1)二次函数y = (m + 3)x 2，当x > 0时，y 随x 的增大而减小，当x v 0时，y 随x 的增大而增大；⑵二次函数y = (2m — 1)x 2有最小值.16. 教材练习第1题变式(1)在同一坐标系中，画出下列函数的图象：① y = |x 2;② y = 2x 2 ；③ y = — 2x 2; ® y = — 2x 2.(2)从“函数关系式、函数的对应值表、图象”三个方面进行对比，说说函 数关系式中二次项系数a 对抛物线的形状有什么影响.13•定义运算“※”为:Eb 2 (b>0), k -ab 2 (b < 0),如丨※(一2)= — 1 x (— 2)217. 如图26-2-6①所示，P为抛物线y=x2在第一象限内的一点，点A的坐标为(4，0).(1) 设点P的坐标为(x，y),试求出△ AOP(O为坐标原点)的面积S关于点P 的横坐标x之间的函数关系式；(2) 试在图②所给的网格图中建立平面直角坐标系，并画出S关于x的函数图象.①图26 - 2 -622 X18.如图26-2-7,平行于x轴的直线AC与抛物线y i= x (x>0)和y2=§(x>0)分别交于B, C两点，过点C作y轴的平行线交y i于点D，直线DE // AC, 交y2于点E,则.图26 - 2 -7详解详析1 •向下 y 轴(或直线x = 0) (0, 0)2. B ［解析］T a<0,A 抛物线的开口向下. 又•••抛物线y = ax 2的顶点坐标为(0, 0), •••该抛物线经过第三、四象限•故选 B.1 1 23. C ［解析］因为100>0,所以函数s = 100V 2的图象开口向上.由于自变量 v>0,故选C.4. B ［解析］当a >0时，贝U 函数y = ax 中，y 随x 的增大而增大，函数y =ax 2的图象开口向上，故①不正确，②正确；当 av0时，贝U 函数y = ax 中，y 随x 的增大而减小，函数y = ax 2的图象开口向下，故④不正确，③正确.•••两函 数的图象可能是②③，故选 B.5. 略6. < >7. B ［解析］抛物线y =2%2，y =x 2的开口向上，y = — x 2的开口向下，故① 错误；抛物线 y =—x 2 ,y = — x 2的顶点坐标为(0, 0),对称轴为y 轴，②③ 正确；④错误.故选B. 8. D 9. C ［解析］•••抛物线y = ax 2(a >0),二A( — 2, y i )关于y 轴的对称点的坐 标为(2, y i ).又T a >0, 0v 1v 2,二 y i >y 2>0.故选 C.10. 解：(1)T 抛物线y = ax 2经过点(1, 3), • a x 1 = 3, • a = 3.⑵把 x = 3 代入 y = 3x 2 中，得 y = 3x 32 = 27. ⑶抛物线的开口向上；坐标原点是该抛物线的顶点； 当x >0时，y 随着x 的增大而增大(答案合理即可). 11. B ［解析］由图象的对称性可知阴影部分的面积为正方形面积的一半, 1即？x 4X 4= 8.故选 B.12. C ［解析］一次函数 y = k(x — k)= kx — k 2, -k M 0 ,• — k v 0,• 一次函数的图象与y 轴的交点在y 轴负半轴上. 对称轴右侧的部分；当x < 0时，图象是抛物线y = — 2x 2对称轴左侧的部分.故 选C.A 项，一次函数图象与B 项，一次函数图象与C 项，一次函数图象与D 项，一次函数图象与 y 轴交点在y 轴正半轴上, y 轴交点在y 轴正半轴上, y 轴交点在y 轴负半轴上, y 轴交点在y 轴正半轴上,A 不正确;B 不正确;C 正确；D 不正确.14. 2 ［解析］因为该函数是二次函数，所以x 的指数为2.又因为在对称轴 的右边，y 随x 的增大而增大，所以二次函数的图象开口向上，可得二次项的系k? + k —4 = 2，数大于0•由题意，得**+ 2> 0，— 3 或 k = 2，解得”k>— 2， k = 2.15. 解：(1厂•二次函数y = (m + 3)x 2，当x >0时，y 随x 的增大而减小，当 x v 0时，y 随x 的增大而增大，二m + 3v 0,解得m v — 3.(2)v 二次函数y = (2m — 1)x 2有最小值，1••• 2m — 1 >0，解得 m >216. 解：⑴列表如下：x —2 —1 0 1 2 1 221r 12y = 2x222y = 2x8 2 0 ° 81 21 0 1y = — 2x —2 — 2—2 —2 y = — 2x 2 —8 —2 0 —2—8 描点：以表中的数据作为点的坐标在平面直角坐标系中描点. 连线：用平滑的曲线顺次连结各点，图象如图所示：(2)答案不唯一，如|a|相同，两条抛物线的形状就相同；|a|越大，抛物线的开 口就越小.17.解：(1)由于P 为抛物线y = x 2在第一象限内的一点，且点P 的坐标为(x ,2 1 2 2y)，所以点P 到x 轴的距离为y =x ，所以S = 2X 4X x 二2x (x >0).(2)由于x>0，所以画出的图象为抛物线S = 2x 2对称轴右侧的部分(不含原点)， 具体图象如图.13. C2x 2 (x>0),［解析］尸恥 x=〔— 2x 2 (x < 0) 当x >0时，图象是抛物线y = 2x 218. 3—3 ［解析］设点A的坐标为（0, a）,令x2= a,解得x=.a（负值已2 舍去），二点B（ a, a）.令X3 = a,则x= 3a（负值已舍去）,•••点C（ ,3a, a）.•••CD // y轴，•••点D的横坐标与点C的横坐标相同，为3a,「.点D的纵坐标为（，3a）2=3a,•••点D的坐标为「.3a, 3a）.•DE// AC,•点E的纵坐标为3a.2 令3 = 3a,「. x= 3 .a（负值已舍去）,•点E的坐标为（3 a, 3a）,•DE = 3 a—\/3a.故DE_ 3晶-辰—3—苗故AB _ a _3 3.。
初中数学：二次函数y=ax2(a≠0)的图象及特征练习(含答案)
初中数学：二次函数y＝ax2(a≠0)的图象及特征练习（含答案）一、选择题1．关于二次函数y＝12x2的图象,下列说法中错误的是链接学习手册例1归纳总结( )A．它的形状是一条抛物线B．它的开口向上,且关于y轴对称C．它的顶点在原点处,坐标为(0,0)D．它的顶点是抛物线的最高点2．已知二次函数y＝－2x2,则下列各点不在该函数图象上的是( ) A．(1,－2) B．(0,0)C．(－2,2) D．(2,－4 2)3．若抛物线y＝(2m－1)x2的开口向下,则m的取值范围是( )A．m<0 B．m<1 2C．m>12D．m>－124．抛物线y＝2x2,y＝－2x2,y＝12x2的共同特征是链接学习手册例1归纳总结( )A．开口向上B．对称轴是y轴C．都有最高点D．图象不是位于x轴上方就是位于x轴下方5．若抛物线y＝ax2经过点P(1,－2),则它也经过点( )A．P1(－1,－2) B．P2(－1,2)C．P3(1,2) D．P4(2,1)6．在同一直角坐标系中,函数y＝ax2(a≠0)与y＝ax(a≠0)的大致图象可以是图K－2－1中的( )图K－2－17．河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图K－2－2所示的平面直角坐标系,其函数表达式为y＝－125x2,当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时,这时水面宽度AB为( )图K－2－2A．－20 m B．10 mC．20 m D．－10 m二、填空题8．抛物线y＝4x2的开口方向________,顶点坐标是________,对称轴是________；抛物线y＝－14x2的开口方向________,顶点坐标是________,对称轴是________.9．若抛物线y＝ax2与y＝2x2的形状相同,则a＝________．10．二次函数y＝(k＋1)x2的图象如图K－2－3所示,则k的取值范围为________．图K－2－311．请写出与二次函数y＝－5x2的图象关于x轴对称的图象的函数表达式：________．12．已知二次函数y＝13x2的图象如图K－2－4所示,线段AB∥x轴,交抛物线于A,B两点,且点A的横坐标为2,则△AOB的面积为________．图K－2－413．如图K－2－5,边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O处,AD∥x轴,以O为顶点且过A,D两点的抛物线与以O为顶点且过B,C两点的抛物线将正方形分割成几部分．则图中阴影部分的面积是________．图K －2－514．如图K －2－6,垂直于x 轴的直线AB 分别与抛物线C 1：y ＝x 2(x ≥0)和抛物线C 2：y ＝x 24(x ≥0)交于A ,B 两点,过点A 作CD ∥x 轴分别与y 轴和抛物线C 2交于点C ,D ,过点B 作EF ∥x 轴分别与y 轴和抛物线C 1交于点E ,F ,则S △OFB S △EAD＝________．图K －2－6三、解答题15．已知二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象经过点(－2,4)． (1)求a 的值,并写出这个二次函数的表达式；(2)画出这个二次函数的图象,并直接写出它的顶点坐标、对称轴、开口方向和图象的位置．16．已知一个正方形的周长为C cm,面积为S cm2.(1)求S与C之间的函数表达式；(2)画出所求函数的图象；(3)求当S＝4时该正方形的周长．17．某涵洞是抛物线形,它的横断面如图K－2－7所示．现测得水面宽AB＝1.6 m,涵洞顶点O到水面的距离为2.4 m.(1)在图中直角坐标系内,求涵洞所在抛物线的函数表达式；(2)有一艘宽为1 m,高为1 m的小舟,问该小舟能否通过这个涵洞？请通过计算说明理由．图K－2－7综合探究如图K－2－8,在平面直角坐标系中,A是抛物线y＝12x2上的一个动点,且点A在第一象限内．AE⊥y轴于点E,点B的坐标为(0,2),直线AB交x轴于点C,点D与点C关于y轴对称,直线DE与AB相交于点F,连结BD.设线段AE的长为m,△BDE的面积为S.(1)当m＝2时,求S的值．(2)求S关于m(m≠2)的函数表达式．(3)①若S＝3时,求AFBF的值；②当m＞2时,设AFBF＝k,猜想k与m的数量关系并证明．图K－2－8[课堂达标]1．[解析] D ∵抛物线y＝12x2中二次项系数为12,∴此抛物线开口向上,顶点坐标为(0,0),它的顶点是抛物线的最低点．2．[解析] C 分别把四个选项中的坐标代入函数表达式检验．3．[解析] B ∵抛物线的开口向下,∴2m－1<0,∴m<1 2 .4．[答案] B5．[答案] A6．[全品导学号：63422188][解析] C 在同一直角坐标系中,a值的正、负情况应保持一致．根据图象知：A中直线不是y＝ax的图象,B和D中两个函数的a的符号不一致,故不正确．只有C中两个函数的a值相同,都为负数．故选C.7．[解析] C 根据题意知点B的纵坐标为－4.把y＝－4代入y＝－125x2,得x＝±10,∴A(－10,－4),B(10,－4),∴AB＝20.即水面宽度AB为20 m．故选C.8．[答案] 向上(0,0) y轴向下(0,0) y轴9．[答案] 2或－210．[答案] k＞－1[解析] 由抛物线的开口方向向上,可得k＋1＞0,解得k＞－1.故答案是k＞－1. 11．[答案] y＝5x212．[答案] 8 3[解析] 由抛物线的对称性可知AB＝4,令x＝2,则y＝13×22＝43,所以S△AOB＝12×4×43＝83.13．答案] 2[解析] 根据抛物线的轴对称性可知图中阴影部分的面积＝12×2×2＝2.14．[答案] 1 6[解析] 设点A,B的横坐标为a,则点A的纵坐标为a2,点B的纵坐标为a2 4.∵BE∥x轴,∴点F的纵坐标为a2 4.∵F是抛物线y＝x2(x≥0)上的点,∴点F的横坐标为x＝y＝12 a.∵CD∥x轴,∴点D的纵坐标为a2.∵D是抛物线y＝x24(x≥0)上的点,∴点D的横坐标为x＝4y＝2a,∴AD＝a,BF＝12a,CE＝34a2,OE＝14a2,∴S △OFBS △EAD ＝12BF·OE 12AD·CE＝18×43＝16.15．解：(1)把(－2,4)代入y ＝ax 2,得4＝(－2)2·a, ∴a ＝1.∴这个二次函数的表达式为y ＝x 2.(2)画图略,这个二次函数图象的顶点坐标为(0,0),对称轴为y 轴,开口方向向上,除顶点外图象位于x 轴的上方．16．[解析] (1)由该正方形的周长求出其边长,然后求出其面积的表达式；(2)根据函数表达式画出图象；(3)当S ＝4时,根据函数表达式求出该正方形的周长,从而得解．解：(1)S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫C 42＝116C 2.(2)如图所示．(3)当S ＝4时,由S ＝116C 2,得4＝116C 2,解得C ＝8或C ＝－8(不合题意,舍去),∴C ＝8, ∴该正方形的周长为8 cm.17．[解析] 由于抛物线的顶点为原点,可设抛物线的函数表达式为y ＝ax 2.由于水面宽AB ＝1.6 m,涵洞顶点O 到水面的距离为2.4 m,因此A(－0.8,－2.4),B(0.8,－2.4),把其中一个点的坐标代入,可求得a 的值,即得函数表达式．解：(1)∵抛物线的顶点为原点,∴可设抛物线的函数表达式为y ＝ax 2.∵水面宽AB ＝1.6 m,涵洞顶点O 到水面的距离为2.4 m, ∴A(－0.8,－2.4),B(0.8,－2.4)．将点A 或点B 的坐标代入函数表达式,得－2.4＝0.82a,解得a ＝－154,∴抛物线的函数表达式为y ＝－154x 2.(2)当x ＝0.5时,y ＝－1516.∵2.4－1516＝11780(m)＞1 m,∴该小舟能通过这个涵洞．[素养提升]解：(1)∵点A 在抛物线y ＝12x 2上,AE ⊥y 轴且AE ＝m,∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，12m 2.当m ＝2时,A(2,1)．又B(0,2),∴直线AB 的函数表达式为y ＝－22x ＋2, ∴C(22,0),∴OC ＝2 2.∵点D 与点C 关于y 轴对称,∴OD ＝OC ＝22,∴S ＝12BE·OD＝ 2.(2)(Ⅰ)当0<m<2时(如图①),同(1)得过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，12m 2,B(0,2)的直线的函数表达式为y ＝m 2－42m x ＋2,∴OC ＝4m4－m 2＝OD,∴S ＝12BE·OD＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12m 2·4m4－m 2＝m ；(Ⅱ)当m>2时(如图②),同(Ⅰ)得S ＝12BE·OD＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 2－2·4mm 2－4＝m.由(Ⅰ)(Ⅱ)得S ＝m(m>0,m≠2)．(3)①连结AD,如图③.∵S ＝3＝m,∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32. 设S△ADF S △BDF ＝S△AEF S △BEF＝AFBF ＝k,∴S △ADF ＝kS △BDF ,S △AEF ＝kS △BEF , ∴S △ADE S △BDE ＝S△ADF －S △AEF S △BDF －S △BEF ＝k （S △BDF －S△BEF ）S △BDF －S △BEF＝k,∴AFBF＝k＝S△ADES△BDE＝12×3×323＝34.②k与m之间的数量关系为k＝14m2.证明：连结AD,如图④.∵S△ADF S△BDF ＝S△AEFS△BEF＝AFBF＝k,∴S△ADF ＝kS△BDF,S△AEF＝kS△BEF,∴S△ADE S△BDE ＝S△ADF＋S△AEFS△BDF＋S△BEF＝k（S△BDF＋S△BEF）S△BDF＋S△BEF＝k,∴k＝S△ADES△BDE ＝12m·12m2m＝14m2.。
华东师大版九年级数学下册26.2.1：二次函数y=ax2的图象与性质 同步测试题(含答案)
华东师大版九年级数学下册第26章二次函数26.2 二次函数的图象与性质26.2.1 二次函数y＝ax2的图象与性质同步测试题一、选择题1.二次函数y＝x2的图象是(C)A.线段B.直线C.抛物线D.双曲线2.如图，函数y＝－2x2的图象是(C)A.①B.②C.③D.④3.对于函数y＝4x2，下列说法正确的是(B)A.当x>0时，y随x的增大而减小B.当x<0时，y随x的增大而减小C.y随x的增大而减小D.y随x的增大而增大4.已知原点是抛物线y＝(m－2)x2的最低点，则m的取值范围是(A)A.m>2B.m>－2C.m<2D.m<05.已知抛物线y＝－x2过A(－2，y1)，B(－1，y2)两点，则下列关系式一定正确的是(C)A.y1＜0＜y2B.y2＜0＜y1C.y1＜y2＜0 D.y2＜y1＜06.抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝12x2共有的性质是(B)A.开口向下B.图象对称轴是y轴C.都有最低点D.y随x的增大而减小7.已知点A(－1，m)，B(1，m)，C(2，m－n)(n＞0)在同一个函数的图象上，这个函数可能是(D)A.y＝xB.y＝－2xC.y＝x2D.y＝－x28.如图，A，B为抛物线y＝x2上两点，且线段AB⊥y轴.若AB＝6，则点A的坐标为(D)A.(3，3)B.(3，9)C.(－3，3)D.(－3，9)9.二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是(D)A. B. C. D.二、填空题10.抛物线y＝－x2的开口向下，顶点坐标是(0，0)，对称轴是y轴.11.二次函数y＝(k＋2)x2的图象如图所示，则k的取值范围是k＞－2.12.下列各点：(－1，2)，(－1，－2)，(－2，－4)，(－2，4)，其中在二次函数y＝－2x2的图象上的是(－1，－2).13.已知二次函数y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而增大(填“增大”或“减小”).14.二次函数y＝ax2(a＞0)的图象经过点(1，y1)，(2，y2)，则y1＜y2(填“＞”或“＜”).15.当－1≤x≤2时，二次函数y＝x2的最大值是4，最小值是0.16.已知二次函数y＝mxm2－1，在其图象对称轴的左侧y随x的增大而增大，则m17.下列四个二次函数：①y＝x2；②y＝－2x2；③y＝12x2；④y＝3x2，其中抛物线开口从大到小的排列顺序是③①②④.18.如图，各抛物线所对应的函数表达式分别为：①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2.比较a，b，c，d的大小，用“＞”连接为a＞b＞d＞c.19.如图，边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O处，AD∥x轴，以O为顶点且过A，D两点的抛物线与以O为顶点且过B，C两点的抛物线将正方形分割成几部分，则图中阴影部分的面积是2.三、解答题20.在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象.(1)y＝2x2；(2)y＝12x2.解：列表：描点、连线可得图象如图.21.已知抛物线y＝ax2经过点(1，3).(1)求a的值；(2)当x＝3时，求y的值；(3)说出此二次函数的三条性质.解：(1)∵抛物线y＝ax2经过点(1，3)，∴a＝3.(2)把x＝3代入抛物线y＝3x2，得y＝3×32＝27.(3)答案不唯一，如：抛物线的开口向上；坐标原点是抛物线的顶点；当x＞0时，y随着x的增大而增大；抛物线有最低点；当x＝0时，y有最小值，最小值是0等.22.根据下列条件求m的取值范围.(1)函数y＝(m＋3)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大；(2)函数y＝(2m－1)x2有最小值；(3)抛物线y＝(m＋2)x2与抛物线y＝－12x2的形状相同.解：(1)∵函数y＝(m＋3)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y 随x的增大而增大，∴m＋3＜0.∴m＜－3.(2)∵函数y＝(2m－1)x2有最小值，∴2m－1＞0.∴m＞1 2 .(3)∵抛物线y＝(m＋2)x2与抛物线y＝－12x2的形状相同，∴m＋2＝±1 2 .解得m＝－52或－32.23.已知二次函数y＝ax2与一次函数y＝mx＋4的图象相交于点A(－2，2)和B(n，8)两点.(1)求二次函数y＝ax2与一次函数y＝mx＋4的表达式；(2)试判断△AOB的形状，并说明理由.解：(1)∵二次函数y＝ax2的图象经过点A(－2，2).∴2＝4a，a＝1 2 .∴二次函数的表达式为y＝12x2.∵一次函数y＝mx＋4的图象经过点A(－2，2)，∴2＝－2m＋4，m＝1.∴一次函数的表达式是y＝x＋4.(2)△AOB是直角三角形.理由如下：∵点B(n，8)在一次函数y＝x＋4的图象上，∴8＝n＋4，n＝4.∴B(4，8).∵A(－2，2)，∴OA2＝22＋22＝8，OB2＝42＋82＝80，AB2＝(4＋2)2＋(8－2)2＝72. ∴OA2＋AB2＝OB2.∴△AOB为直角三角形，且∠OAB＝90°.。
初三数学二次函数y=ax2的图象试题
初三数学二次函数y=ax2的图象试题1.观察下列四个函数的图象（）将它们的序号与下列函数的排列顺序：正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数，对应正确的是（）A．①②③④B．②③①④C．③②④①D．④②①③【答案】C【解析】根据正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数各自对应的图象特征即可判断，正比例函数的图象必经过原点，一次函数的图象是一条直线，二次函数的图象是抛物线，反比例函数的图象是双曲线，故选C.【考点】本题考查的是函数的图象点评：解答本题的关键是掌握正比例函数的图象必经过原点，一次函数的图象是一条直线，二次函数的图象是抛物线，反比例函数的图象是双曲线。
2.已知二次函数的图象如图所示，对称轴是，则下列结论中正确的是（）．A．B．C．D．【答案】Ｄ【解析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．A、由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c＞0，因此ac＜0，故不正确；B、对称轴为x=-=1，得2a=-b，∴a、b异号，即b＞0，故错误；C、而抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，故错误；D、对称轴为x=-=1，得2a=-b，即2a+b=0，故正确．故选D．【考点】本题考查的是二次函数的图象点评：解答本题的关键是熟练掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定方法．3.已知二次函数，当从逐渐变化到的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动．下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（）A．先往左上方移动，再往左下方移动B．先往左下方移动，再往左上方移动C．先往右上方移动，再往右下方移动D．先往右下方移动，再往右上方移动【答案】Ｃ【解析】先分别求出当b=-1、0、1时函数图象的顶点坐标即可得出答案．当b=-1时，此函数解析式为：y=x2+x+1，顶点坐标为：（，）；当b=0时，此函数解析式为：y=x2+1，顶点坐标为：（0，1）；当b=1时，此函数解析式为：y=x2-x+1，顶点坐标为：（，）．故函数图象应先往右上方移动，再往右下方移动．故选C．【考点】本题考查的是二次函数的图象与几何变换点评：解答此题的关键是熟练掌握二次函数的顶点坐标为4.函数的图象开口向_________，顶点坐标为__________【答案】上，(-2，-7)【解析】根据即可判断图象开口方向，根据顶点坐标为即可求得顶点坐标，或把函数解析式配方也可得到顶点坐标。
九年级数学：二次函数y=ax2的图象和性质练习(含解析)
九年级数学：二次函数y=ax2的图象和性质练习（含解析）一、精心选一选1﹒抛物线y＝2x2,y＝－2x2,y＝12x2共有的性质是（）A.开口向下B.对称轴是y轴C.都有最低点D.y随x的增大而减小2﹒函数y＝－a(x+a)与y＝－ax2（a≠0）在同一坐标上的图象大致是（）A. B. C. D.3﹒抛物线y＝ax2（a＜0）的图象一定经过（）A.第一、二象限B.第三、四象限C.第一、三象限D.第二、四象限4﹒抛物线y＝12x2,y＝－3x2,y＝x2的图象开口最大的是（）A.y＝12x2 B.y＝－3x2 C.y＝x2 D.无法确定5﹒二次函数y＝13x2的图象的开口方向是（）A.向上B.向下C.向左D.向右6﹒下列函数：①y＝－x；②y＝－x2（x＜0）；③y＝2x+1；④y＝x2（x＜0）,y随x的增大而减小的函数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个7﹒苹果熟了,从树上落下所经过的路程s与下落时间t满足s＝gt2（g＝9.8）,则s与t的函数图象大致是（）A. B. C. D.8﹒二次函数y＝a(x+h)2的图象的位置（）A.只与a有关B.只与h有关C.与a、h都有关D.与a、h都无关9﹒已知抛物线y ＝5(x －1)2,下列说法中错误的是（ ）A.顶点坐标为（1,0）B.对称轴为直线x ＝0C.当x ＞1时,y 随x 的增大而增大D.当x ＜1时,y 随x 的增大而增减小10.已知二次函数y ＝a (x +h )2的图象如图所示,下列结论：①a ＞0；②h ＞0；③y 的最小值是0；④x ＜0时,y 随x 的增大而减小.其中正确结论的个数是（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个 二、细心填一填11.已知关于x 的二次函数y ＝a 226aa x --,当a ＝_____时,其图象开口向上；当a ＝_____时,其图象开口向下.12.已知坐标原点是抛物线y ＝(m +1)x 2的最高点,则m 的取值范围是___________________. 13.已知二次函数y ＝12x 2的图象如图所示,线段AB ∥x 轴,交抛物线 于A 、B 两点,且点A 的横坐标为2,则AB 的长度为__________. 14.二次函数y ＝－2(x －2)2的图象在对称轴左侧部分是________.（填“上升”或“下降”）15.二次函数y ＝－2(x +1)2图象的顶点坐标为___________,函数的最大值为____________. 16.抛物线y ＝－3(x －5)2的开口方向是___________,对称轴是______________. 17.抛物线y ＝49(x －3)2与x 轴的交点为A ,与y 轴的交点为B ,则△AOB 的面积为_______. 18.下列函数中,具有过原点,且当x ＞0时,y 随x 的增大而减小,这两个特征的函数有_______________.（只填序号）①y ＝－ax 2（a ＞0）；②y ＝(a －1)x 2（a ＜1）；③y ＝－2x +a 2（a ≠0）；④y ＝32x －a . 三、解答题（本题共8小题,第19题8分；第20、21每小题各10分；第22、 23每小题各12分；第24题14分共66分） 19.已知函数y ＝(m +3)232m m x +-是关于x 的二次函数.（1）求m 的值；（2）当m 为何值时,该函数图象的开口向下？（3）当m为何值时,该函数有最小值？（4）试说明函数的增减性.20.已知,二次函数y＝x2与一次函数y＝2x+3的图象交于A、B两点.（1）请根据上述要求在下面的平面直角坐标系中画出图象；（2）求△AOB的面积.21.二次函数y＝12(x－h)2的图象如图所示,已知抛物线的顶点为A,与y轴交于点B,且OA＝OB.（1）求该抛物线的函数关系式；（2）请直接写出该抛物线关于y轴对称的图象表达式.22.如图,直线y＝－x－2交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线y＝a(x+h)2的顶点为A,且经过点B.（1）求该抛物线的函数关系式；（2）若点C（m,－92）在该抛物线上,求m的值.23.甲是某段河床横断面的示意图.查阅该河段的水文资料,得到下表中的数据：x/m 5 10 20 30 40 50y/m 0.125 0.5 2 4.5 8 12.5甲乙（1）请你以上表中的各对数据（x,y）作为点的坐标,尝试在图乙所给的直角坐标系中画出y关于x的函数图象；（2）猜想出用x表示y的二次函数的关系式；（3）当水面宽度为36m时,一般吃水深度（船底部到水面的距离）为1.8m的货船能否在这个河段安全通过？为什么？21.2二次函数y=ax2的图象和性质课时练习题参考答案一、精心选一选题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 B A B A A A C D D Ax2共有的性质是（）1﹒抛物线y＝2x2,y＝－2x2,y＝12A.开口向下B.对称轴是y轴C.都有最低点D.y随x的增大而减小解答：∵a＝2＞0,∴抛物线y＝－2x2开口向下,以y轴为对称轴,有最高点,当x＞0时,y随x的增大而增大,当x ＜0时,y随x的增大而减小；∵a＝－2＜0,∴抛物线y＝2x2开口向上,以y轴为对称轴,有最低点,当x＞0时,y随x的增大而减小,当x＜0时,y随x的增大而增大；∵a＝1＞0,2x2开口向下,以y轴为对称轴,有最高点,当x＞0时,y随x的增大而增大,当x ∴抛物线y＝12＜0时,y随x的增大而减小；综合上述,这三条抛物线均以y轴为对称轴,故选：B.2﹒函数y＝－a(x+a)与y＝－ax2（a≠0）在同一坐标上的图象大致是（）A. B. C. D.解答：由y＝－a(x+a)得y＝－ax+a2,当a＞0时,直线y＝－ax+a2经过一、二、四象象,抛物线y＝－ax2开口向下；当a＜0时,直线y＝－ax+a2经过一、二、三象象,抛物线y＝－ax2开口向上；符合上述要求的只有A选项,故选：A.3﹒抛物线y＝ax2（a＜0）的图象一定经过（）A.第一、二象限B.第三、四象限C.第一、三象限D.第二、四象限解答：∵a＜0,∴抛物线y＝ax2经过三、四象限,故选：B.4﹒抛物线y＝12x2,y＝－3x2,y＝x2的图象开口最大的是（）A.y＝12x2 B.y＝－3x2 C.y＝x2 D.无法确定解答：∵12＜1＜3,∴抛物线y＝12x2的图象开口最大, 故选：A.5﹒二次函数y＝13x2的图象的开口方向是（）A.向上B.向下C.向左D.向右解答：∵a＝13＞0,∴二次函数y＝x2的图象的开口向上,故选：A.6﹒下列函数：①y＝－x；②y＝－x2（x＜0）；③y＝2x+1；④y＝x2（x＜0）,y随x的增大而减小的函数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个解答：①y＝－x,要分两种情况判断其增减性,故不符合题意；②y＝－x2（x＜0）,y随x的增大而增大,故不符合题意；③y＝2x+1,y随x的增大而增大,故不符合题意；④y＝x2（x＜0）,y 随x的增大而减小,故符合题意,综上,可知只有④符合题意,故选：A.7﹒苹果熟了,从树上落下所经过的路程s与下落时间t满足s＝gt2（g＝9.8）,则s与t的函数图象大致是（）A. B. C. D.解答：由s＝gt2（g＝9.8）可知此函数为二次函数,且g＞0,自变量t的取值范围为t＞0, 所以只有C符合题意,故选：C.8﹒二次函数y＝a(x+h)2的图象的位置（）A.只与a有关B.只与h有关C.与a、h都有关D.与a、h都无关解答：二次函数y＝a(x+h)2中a决定抛物线的开口方向,h决定抛物线的位置,故选：B.9﹒已知抛物线y＝5(x－1)2,下列说法中错误的是（）A.顶点坐标为（1,0）B.对称轴为直线x＝0C.当x＞1时,y随x的增大而增大D.当x＜1时,y随x的增大而增减小解答：抛物线y＝5(x－1)2,其顶点坐标为（1,0）,故A选项不合题意；对称轴为直线x＝1,故B符合题意；当x＞1时,y随x的增大而增大,故C选项不符合题意；当x＜1时,y随x的增大而增减小,故D不符合题意,故选：B.10. 已知二次函数y＝a(x+h)2的图象如图所示,下列结论：①a＞0；②h＞0；③y的最小值是0；④x＜0时,y随x的增大而减小.其中正确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个解答：由二次函数图象可知：抛物线开口向上,故①正确；抛物线的对称轴在y轴的左侧,则h ＞0,故②正确；抛物线的开口向上,所以顶点是最低点,y有最小值,而顶点在x轴上,所以y的最小值是0,故③正确；x＜0时图象在y轴的左侧,在左侧部分x＜－h时,y随x的增大而减小,－h＜x＜0时,y随x的增大而增大,故④错误,故3个选项都是正确的,故选：C. 二、细心填一填11. 4,－2； 12. m ＜－1； 13. 4；14. －43； 15. 以y 轴为对称轴； 16. 4；17. y 轴,≠0； 18. ①②. 11.已知关于x 的二次函数y ＝a 226aa x --,当a ＝_____时,其图象开口向上；当a ＝_____时,其图象开口向下. 解答：∵y ＝a 226aa x --是二次函数,∴a 2－2a －6＝2,解得：a 1＝－2,a 2＝4,∴当a ＝4时,其图象开口向上；当a ＝－2时,其图象开口向下, 故答案为：4,－2.12.已知坐标原点是抛物线y ＝(m +1)x 2的最高点,则m 的取值范围是___________________. 解答：∵坐标原点是抛物线y ＝(m +1)x 2的最高点, ∴该抛物线的开口向下,则m +1＜0, 解得：m ＜－1, 故答案为：m ＜－1. 13.已知二次函数y ＝12x 2的图象如图所示,线段AB ∥x 轴,交抛物线于A 、B 两点,且点A 的横坐标为2,则AB 的长度为__________.解答：当y ＝2时,x ＝±2,则A 、B 两点横坐标分别为－2,2, ∵AB ∥x 轴, ∴AB ＝22--＝4, 故答案为：4.14.二次函数y ＝－2(x －2)2的图象在对称轴左侧部分是________.（填“上升”或“下降”） 解答：∵a ＝－2,∴抛物线开口向下,故在对称轴的左侧部分是上升的, 故答案为：上升.15.二次函数y ＝－2(x +1)2图象的顶点坐标为___________,函数的最大值为____________. 解答：二次函数y ＝－2(x +1)2图象的顶点坐标为（－1,0）,函数的最大值为0,故答案为：（－1,0）,0.16.抛物线y ＝－3(x －5)2的开口方向是___________,对称轴是______________. 解答：抛物线y ＝－3(x －5)2的开口方向是向下,对称轴是直线x ＝5, 故答案为：向下,直线x ＝5.17.抛物线y ＝49(x －3)2与x 轴的交点为A ,与y 轴的交点为B ,则△AOB 的面积为_______. 解答：∵当y ＝0时,即49(x －3)2＝0,∴x ＝3, ∴A （3,0）, ∵当x ＝0时,y ＝4, ∴B （0,4）, ∴OA ＝3,OB ＝4,∴S △AOB ＝12×3×4＝6,故答案为：6.18.下列函数中,具有过原点,且当x ＞0时,y 随x 的增大而减小,这两个特征的函数有_______________.（只填序号）①y ＝－ax 2（a ＞0）；②y ＝(a －1)x 2（a ＜1）；③y ＝－2x +a 2（a ≠0）；④y ＝32x －a . 解答：具有过原点,且当x ＞0时,y 随x 的增大而减小,这两个特征的函数有：①y ＝－ax 2（a ＞0）；②y ＝(a －1)x 2（a ＜1）, 故答案为：①②. 三、解答题19.已知函数y ＝(m +3)232mm x +-是关于x 的二次函数.（1）求m 的值；（2）当m 为何值时,该函数图象的开口向下？ （3）当m 为何值时,该函数有最小值？ （4）试说明函数的增减性. 解：∵函数y ＝(m +3)232mm x +-是关于x 的二次函数,∴232230m m m ⎧+-=⎨+≠⎩,解得：124,13m m m =-=⎧⎨≠-⎩,∴当m＝－4或m＝1时,原函数为二次函数；（2）∵函数图象的开口向下,∴m+3＜0,∴m＜－3,∴当m＝－4时,该函数图象的开口向下；（3）∵该函数有最小值,∴m+3＞0,∴m＞－3,∴当m＝1时,该函数有最小值；（4）①当m＝－4时,此函数为y＝－x2,当x＞0时,y随x的增大而减小,当x＜0时,y随x的增大而增大；②当m＝1时,此函数为y＝4x2,当x＞0时,y随x的增大而增大,当x＜0时,y随x的增大而减小.20.已知,二次函数y＝x2与一次函数y＝2x+3的图象交于A、B两点.（1）请根据上述要求在下面的平面直角坐标系中画出图象；（2）求△AOB的面积.解：（1）画函数图象如下：（2）由图象可知：A（－1,1）,B（3,9）,设直线y＝2x+3与y轴交点为C,则点C（0,3）,∴S△AOB ＝S△AOC+S△BOC＝12×3×1+12×3×3＝32+92＝6.21.二次函数y＝12(x－h)2的图象如图所示,已知抛物线的顶点为A,与y轴交于点B,且OA＝OB.（1）求该抛物线的函数关系式；（2）请直接写出该抛物线关于y轴对称的图象表达式.解答：（1）∵点A为抛物线y＝12(x－h)2的顶点,∴A（h,0）,∴OA＝h,∵OA＝OB,且点B在y轴的正半轴上, ∴OB＝h,∴B（0,h）,把B（0,h）代入y＝12(x－h)2得：h＝12(0－h)2,解得：h1＝0（不合题意,舍去）,h2＝2,∴该抛物线的函数关系式y＝12(x－2)2,（2）由（1）知：OA＝2,∴将该抛物线向左平移4个单位即可得到它的关于y轴对称的图象,∴平移后的抛物线的解析式为：y＝12(x+2)2,故该抛物线关于y轴对称的图象表达式为y＝12(x+2)2.22.如图,直线y＝－x－2交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线y＝a(x+h)2的顶点为A,且经过点B.（1）求该抛物线的函数关系式；（2）若点C（m,－92）在该抛物线上,求m的值.解答：（1）∵直线y＝－x－2交x轴于点A,交y轴于点B, ∴A（－2,0）,B（0,－2）,∵抛物线y＝a(x+h)2的顶点为A,∴h＝2,则y＝a(x+2)2,∵该抛物线经过点B（0,－2）,∴a(0+2)2＝－2,解得：a＝－12,∴该抛物线的函数关系式为：y＝－12(x+2)2,（2）∵点C（m,－92）在该抛物线y＝－12(x+2)2上,∴－12(m+2)2＝－92,解得：m1＝1,m2＝－5,即m的值为1或－5.23.甲是某段河床横断面的示意图.查阅该河段的水文资料,得到下表中的数据：x/m 5 10 20 30 40 50y/m 0.125 0.5 2 4.5 8 12.5甲乙（1）请你以上表中的各对数据（x,y）作为点的坐标,尝试在图乙所给的直角坐标系中画出y关于x的函数图象；（2）猜想出用x表示y的二次函数的关系式；（3）当水面宽度为36m时,一般吃水深度（船底部到水面的距离）为1.8m的货船能否在这个河段安全通过？为什么？解：（1）画出y关于x的函数图象如下：（2）猜想：y＝1200x2；（3）当水面宽度为36m时,相应的x＝18,则y＝1200x2＝1200×182＝1.62,即此时河段的最大水深为1.62m,∵货船吃水深为1.8m,而1.62m＜1.8m,∴当水面宽度为36m时,该货船不能通过这个河段.。
《二次函数y=ax2的图象和性质》测试题(含答案)
二次函数y=ax2的图象和性质测试题(含答案)一、选择题1.桃子从树上落下所经过的路线s与下落的时间t满足s=12gt2(g是常数且不等于0),则s与t的函数图象是( )A. B. C. D.2.函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(a,27),则a的值为( )A.±3B.－3C.20D.33.函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(a,-1),抛物线开口方向( )A.上B.下C.左D.右4.已知点(-1,y1),(-3,y2)在函数y=3x2的图象上,则( )A.y1<y2<0 B.y2<y1<0 C.0<y2<y1D.0<y1<y25.已知点(1,y1),(3,y2)都在函数y=-2x2的图象上,则( )A.y1<y2<0 B.y2<y1<0 C.0<y2<y1D.0<y1<y26.二次函数y=x2的图象的对称轴是( )A.y=0B.x=0C.x=1D.y=17.二次函数y=-x2的图象的顶点是( )A.(1,1)B. (0,0)C. (1,0)D. (0,1)8.下列关于二次函数y=2x2的说法正确的是( )A.它的图象经过点(0,1).B.它的图象的对称轴是直线x=1C.当x<0时,y随x的增大而减小.D.当x=0时,y有最大值09.函数y＝ax-2(a≠0)与y＝ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )A. B. C. D.10.已知二次函数y=ax2的图象开口向上,则直线y=ax-1经过( )A.一二三B.二三四C.一二四D.一三四二、填空题11.已知函数y=−12x2,开口向______；对称轴为______；顶点坐标为______；当x ≥0时,y随x的增大而______；当x≤0时,y随x的增大而______；当x等于______时,函数y有最______值是______.12.已知函数y=5x2,开口向______；对称轴为______；顶点坐标为______；当x ≥0时,y随x的增大而______；当x≤0时,y随x的增大而______；当x______时,函数y有最______值是______.13.已知点A(–3,y1),B(–2,y2),C(5,y3)在抛物线y=12x2上,则y1,y2,y3的大小关系是__________．14.函数y=2x2与直线y=kx+1的交点为(2,n),则k+n的值是________.15.已知抛物线y=(a−2)x2的开口向下,则a的取值范围是________.16.抛物线y=15x2,y=﹣6x2,y=﹣x2中,抛物线开口最大的是___________.17.当-3≤x≤1时,二次函数2y x的最大值是______,最小值是______．18.已知二次函数y＝(a+2)x2有最小值,那么a的取值范围是_____．19.如图,已知点A(-4,8)和点B(2,n)在抛物线y=ax2上,则a的值是_____,点B 的坐标是________.20.已知函数y=(n+3)x n2+3n−2是关于x的二次函数,则n的值是_______．三、解决问题21.已知y=(k+1)x k2+k−4是二次函数,函数图象有最高点.(1)求k的值；(2)求顶点坐标和对称轴．22.抛物线y＝ax2与直线y＝2x－3交于点(1,b)．(1)求a,b的值．(2)抛物线y＝ax2的图象上是否存在一点P,使其到两坐标轴的距离相等？若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由．23.如图,抛物线y＝2x2与直线y=x+1交于点A和点B,点O为原点,求△AOB的面积.参考答案一、选择题BDBDB BBCAD二、填空题11.下,y轴,(0,0),减小,增大；0,大,012.上,y轴,(0,0),增大,减小；0,小,013.y3>y1>y214.11.515.a<216.y=15x217. 9,018.a>-219. 12,220. 0三、解决问题21(1)-3(2)k+1<0且k2+k−4=2,即k=-3.22.(1)a=-1,b=-1(2)P(1,-1)或(-1,-1)23.34。
二次函数函数y=ax2练习题
二次函数 y=ax2 的图象练习题
归纳总结 二次函数 y=ax2（a≠0）的图象有什么特点？
33ຫໍສະໝຸດ ( 3,6)y=-2x2
( 3,6)
我的收获
1.知识上：二次函数y=ax2的图象
（形状、开口、对称性、 顶点、增减性）
2.思想方法上：分类讨论、数形、类比
以上有不当之处，请大家给与批评指正， 谢谢大家！
18
达式为
．
例2．已知是二次数 y (k 2)xk2k4 ，
且当 x 0 时，y随x的增大而增大． （1）求k的值； （2）求顶点坐标和对称轴．
试一试：1.已知函数 y (m 2)xm2m4
是
关于x的二次函数。
（1）求m的值；
（2）m为何值时，图象有最高点？求出最高点 的坐标；此时，当x为何值时，y随x的增大而 减小。
在y轴右侧,y随x的增大而增大在y轴右侧，y随x的增大而减小
二次函数的图象都是抛物线， 它们的开口或 者向上或者向下． 一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象叫做抛物线 y = ax2 + bx + c
实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴 的交点叫做抛物线的顶点．顶点是抛物线的最低点 或最高点．
解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得 -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为 y= -2x2.
（2）因为 4 2(1)2 ，所以点B（-1 ，-4）
九年级数学下册期中二次函数测试题2(含答案解析)
九年级数学下册期中二次函数测试题2(含答案解析)九年级数学下册期中二次函数测试题2(含答案解析) 一．选择题（共8小题，每题3分）1．下列函数中，是二次函数的是（）A． B．y=（x+2）（x﹣2）﹣x2 C． D．2．下列结论正确的是（）A．二次函数中两个变量的值是非零实数B．二次函数中变量x的值是所有实数C．形如y=ax2+bx+c的函数叫二次函数D．二次函数y=ax2+bx+c中a，b，c的值均不能为零3．下列函数中，y是x二次函数的是（）A．y=x﹣1 B．y=x2+ ﹣10 C．y=x2+2x D．y2 =x﹣14．二次函数y=ax2与一次函数y=ax+a在同一坐标系中的大致图象为（）A． B． C． D．5．如图，a1，a2，a3，a4的大小关系是（）A．a1＞a2＞a3＞a4 B．a1＜a2＜a3＜a4 C．a4＞a1＞a2＞a3 D．a2＞a3＞a1＞a46．已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（）A．y=x2﹣2x+3 B．y=x2﹣2x﹣3 C．y=x2+2x﹣3 D．y=x2+2x+37．二次函数y=x2﹣4x图象的对称轴是（）A．直线x=0 B．直线x=2 C．直线x=4 D．直线x=﹣4 8．物体在地球的引力作用下做自由下落运动，它的运动规律可以表示为：s= gt2．其中s表示自某一高度下落的距离，t表示下落的时间，g是重力加速度．若某一物体从一固定高度自由下落，其运动过程中下落的距离s和时间t函数图象大致为（）A． B． C． D．二．填空题（共6小题，每题3分）9．抛物线y=x2+6x+8与坐标轴的交点分别为A，B，C，则△ABC 的面积为_________ ．10．已知过点（1，0）的直线与抛物线y=2x2仅有一个交点，写出满足该条件的直线解析式_________ ．11．抛物线y=﹣（x﹣1）（x+ 2）与x轴的交点坐标是_________ ，与y轴的交点坐标是_________ ．12．已知抛物线y=﹣2（x+3）2+5，如果y随x的增大而减少，那么x的取值范围_________ ．13．若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（1，0）、B（3，0）两点，则这个函数图象的对称轴为_________ ．14．若二次函数y=x2﹣ax+9的图象的顶点在坐标轴上，则a 的值为_________ ．三．解答题（共10小题）15．（6分）已知一个二次函数，当x=﹣2或3时，y=0，且函数图象最高点纵坐标为2，用待定系数法求二次函数解析式．16．（6分）（1）请写出图中所示的二次函数图象的解析式；（2）若﹣3≤x≤3，该函数的最大值、最小值分别为_________ 、_________ ．17．（6分）已知一抛物线经过A（0，）、B（1，2）、C（﹣1，0）三个点．（1）求这抛物线的解析式；（2）画出这抛物线的图象；（3）求出抛物线的顶点坐标、对称轴、最值情况；（4）求抛物线与x轴的交点坐标，并指出x取哪些实数时，y＜0？18（8分）．抛物线y=ax2+ax+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，AB=3，且抛物线过点P（﹣1，2），求抛物线的解析式．19．（8分）如图，用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积y（m2）与它与墙平行的边的长x（m）之间的函数．20．（8分）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12，BC=24，动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，那么△PBQ的面积S随出发时间t（s）如何变化？写出函数关系式及t的取值范围．21．（8分）如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20cm ，AC与MN在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC以2cm/s的速度向左运动，最终点A与点M重合，求重叠部分的面积ycm2与时间ts之间的函数关系式．22．（8分）抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交与A（1，0），B（﹣3，0）两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．23．（10分）小张到老王的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：小张的采购价y （元/吨）与采购x （吨）之间函数关系的图象如图中的折线段ABC所示（不包含端点A，但包含端点C）．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）已知老王种植水果的成本是2400元/吨，那么小张的采购量为多少时，老王在这次买卖中所获的利润w最大？最大利润是多少？24．（8分）某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y1（元）与销售时间第x月之间存在如图1（一条线段）的变化趋势，每千克成本y2（元）与销售时间第x月满足函数关系式y2=mx2﹣8mx+n，其变化趋势如图2所示．（1）求y2的解析式；（2）第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？九年级数学下册期中二次函数测试题2(含答案解析)参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．下列函数中，是二次函数的是（）A． B．y=（x+2）（x﹣2）﹣x2 C． D．考点：二次函数的定义．分析：整理一般形式后，根据二次函数的定义判定即可．解答：解：A、函数式整理为y= x2﹣ x，是二次函数，正确；B、函数式整理为y=﹣4，不是二次函数，错误；C、是正比例函数，错误；D、是反比例函数，错误．故选A．点评：本题考查二次函数的定义．2．下列结论正确的是（）A．二次函数中两个变量的值是非零实数B．二次函数中变量x的值是所有实数C．形如y=ax2+bx+c的函数叫二次函数D．二次函数y=ax2+bx+c中a，b，c的值均不能为零考点：二次函数的定义．分析：根据二次函数定义：形如y=ax2+bx+c （a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做x的二次函数就可以解答．解答：解：A、例如y=x2，自变量取0，函数值是0，所以不对；B、二次函数中变量x的值可以取所有实数，正确；C、应强调当a≠0时，是二次函数，错误；D、要求a≠0，b、c可以为0．故选B．点评：本题考查二次函数的概念和各系数的取值范围．3．下列函数中，y是x二次函数的是（）A． y=x﹣1 B．y=x2+ ﹣10 C．y=x2+2x D． y2=x﹣1考点：二次函数的定义．分析：首先找出关于x的函数为整式的，再利用二次函数的定义进行选择．解答：解：A、一次函数，不是二次函数；B、不是关于x的整式，不符合二次函数的定义；C、符合二次函数的定义；D、y的指数为2，不符合二次函数的定义；故选C．点评：本题考查二次函数定义．4．二次函数y=ax2与一次函数y=ax+a在同一坐标系中的大致图象为（）A． B． C． D．考点：二次函数的图象；一次函数的图象．分析：根据a的符号分类，a＞0时，在A、B中判断一次函数的图象是否相符，a＜0时，在C、D中进行判断．解答：解：①当a＞0时，二次函数y=ax2的开口向上，一次函数y=ax+a的图象经过第一、二、三象限，排除A、B；②当a＜0时，二次函数y=ax2的开口向下，一次函数y=ax+a 的图象经过第二、三、四象限，排除D．故选C．点评：利用二次函数的图象和一次函数的图象的特点求解．5．如图，a1，a2，a3，a4的大小关系是（）A． a1＞a2＞a3＞a4 B．a1＜a2＜a3＜a4 C．a4＞a1＞a2＞a3 D． a2＞a3＞a1＞a4考点：二次函数的图象．分析：令x=1，根据函数图象按照从上到下的顺序排列a1，a2，a3，a4的大小即可得解．解答：解：令x=1，根据函数图象可得a1＞a2＞a3＞a4．故选A．点评：本题考查了二次函数的图象，令x=1得到相应的系数的值与函数值相等，从上到下的顺序按照从大到小的顺序排列即可，比较简单．6．已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（）A． y=x2﹣2x+3 B．y=x2﹣2x﹣3 C．y=x2+2x﹣3 D． y=x2+2x+3 考点：待定系数法求二次函数解析式．专题：压轴题．分析：根据题意，把抛物线经过的三点代入函数的表达式，列出方程组，解出各系数则可．解答：解：根据题意，图象与y轴交于负半轴，故c为负数，又四个选项中，B、C的c为﹣3，符合题意，故设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，抛物线过（﹣1，0），（0，﹣3），（3，0），所以，解得a=1，b=﹣2，c=﹣3，这个二次函数的表达式为y=x2﹣2x﹣3．故选B．点评：本题考查了用待定系数法求函数表达式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识，是比较常见的题目．7．二次函数y=x2﹣4x图象的对称轴是（）A．直线x=0 B．直线x=2 C．直线x=4 D．直线x=﹣4 考点：二次函数的性质．专题：函数思想．分析：根据对称轴方程x=﹣解答．解答：解：∵y=x2﹣4 x的二次项系数a=1，一次项系数b=﹣4，∴对称轴x=﹣ =2，即x=2．故选B．点评：本题考查了二次函数的性质．解答该题时，也可以利用顶点式方程来求二次函数的对称轴．8．物体在地球的引力作用下做自由下落运动，它的运动规律可以表示为：s= gt2．其中s表示自某一高度下落的距离，t表示下落的时间，g是重力加速度．若某一物体从一固定高度自由下落，其运动过程中下落的距离s和时间t函数图象大致为（）A． B． C． D．考点：二次函数的应用；二次函数的图象．专题：图表型．分析：先根据函数关系式为h= gt2确定图象属于那一类函数的图象，再根据g、t的取值范围确定图象的具体形状．解答：解：t为未知数，关系式h= gt2为二次函数，∵g为正常数∴抛物线开口方向向上，排除C、D；又∵时间t不能为负数，∴图象只有右半部分．故选B．点评：根据关系式判断属于哪一类函数，关键要会判断未知数及未知数的指数的高低．二．填空题（共6小题）9．抛物线y=x2+6x+8与坐标轴的交点分别为A，B，C，则△ABC 的面积为8 ．考点：抛物线与x轴的交点．分析：先根据抛物线y=x2+6x+8找到与坐标轴的三个交点，则该三角形的面积可求．解答：解：解方程x2+6x+8=0，∴x1=﹣2，x2=﹣4，∴它与x轴的三个交点分别是：（﹣2，0），（﹣4，0）；当x=0时，y=8，∴它与y轴的交点是：（0，8）∴该三角形的面积为×2×8=8．故答案为：8．点评：此题考查了抛物线与坐标轴的交点求法，解决此问题的关键是正确求出抛物线与坐标轴的交点坐标．10．已知过点（1，0）的直线与抛物线y=2x2仅有一个交点，写出满足该条件的直线解析式y=8x﹣8或x=1或y=0 ．考点：抛物线与x轴的交点．分析：设过点（1，0）的直线为y=kx+b，把（1，0）代入其中得k+b=0，又直线与抛物线y=2x2只有一个交点，那么它们组成的方程组只有一个实数解，那么关于x的方程的判别式为0，由此即可求出k和b．解答：解：设过点（1，0）的直线为y=kx+b，把（1，0）代入其中得k+b=0，∴b=﹣k ①，∴y=kx﹣ k，∵过点（1，0）的直线与抛物线y=2x2仅有一个交点，∴kx﹣k=2x2的判别式为0，即△=b2﹣4ac=k2﹣8k=0，∴k=8或k=0（不合题意，舍去），∴当k=8时，b=﹣8，当k=0时，b=0，∴直线解析式为y=8x﹣8或x=1或y=0．故填空答案：y=8x﹣8或x=1或y=0．点评：此题主要考查了抛物线与直线的交点情况与它们解析式组成的方程组的解之间的关系，解题根据是利用它们之间的对应关系列出关于待定系数的方程．11．抛物线y=﹣（x﹣1）（x+2）与x轴的交点坐标是（1，0），（﹣2，0），与y轴的交点坐标是（0，）．考点：抛物线与x轴的交点．分析：已知抛物线解析式为：y=﹣（x﹣1）（x+2）是函数的两点式，易求其与x轴的交点，然后再令x=0，求得函数与y轴的交点坐标．解答：解：∵抛物线y=﹣（x﹣1）（x+2），∴x轴的交点坐标是：（1，0），（﹣2，0），令x=0，得y=﹣ = ，∴y轴的交点坐标是：（0，）．点评：此题主要考查一元二次方程与函数的关系及二次函数与坐标轴的交点坐标，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，两者互相转化，要充分运用这一点来解题．12．已知抛物线y=﹣2（x+3）2+5，如果y随x的增大而减少，那么x的取值范围x＞﹣3 ．考点：二次函数的性质．分析：根据二次函数解析式可知其图象开口向下，在对称轴右侧时y随x的增大而减小，可得出答案．解答：解：∵抛物线y=﹣2（x+3）2+5，∴其图象开口向下，在对称轴右侧y随x的增大而减小，∴y随x的增大而减少，x的取值范围为x＞﹣3，故答案为：x＞﹣3．点评：本题主要考查二次函数的增减性，掌握二次函数在对称轴两侧的增减性是解题的关键．13．若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（1，0）、B（3，0）两点，则这个函数图象的对称轴为直线x=2 ．考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：根据抛物线的对称性得到点A与点B是抛物线上的对称点，易得抛物线的对称轴为直线x=2．解答：解：∵A（1，0）、B（3，0）两点为抛物线与x轴的两交点坐标，∴点A与点B是抛物线上的对称点，而A（1，0）和B（3，0）关于直线x=2对称，∴抛物线的对称轴为直线x=2．故答案为：直线x=2．点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x 的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y 取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．14．若二次函数y=x2﹣ax+9的图象的顶点在坐标轴上，则a 的值为0或6或﹣6 ．考点：二次函数的性质．分析：可利用顶点坐标公式求得顶点坐标，当顶点在x轴上时可知其最小值为0，当顶点在y轴上时可知其对称轴为0，可分别求得a的值．解答：解：∵y=x2﹣ax+9，∴其对称轴为x= ，最小值为9﹣，∴其顶点坐标为（，9﹣），当顶点在x轴上时，则9﹣ =0，解得a=±6，当顶点在y轴上时，则 =0，解得a=0，故答案为：0或6或﹣6．点评：本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点在坐标轴上的条件是解题的关键．三．解答题（共10小题）15．已知一个二次函数，当x=﹣2或3时，y=0 ，且函数图象最高点纵坐标为 2，用待定系数法求二次函数解析式．考点：待定系数法求二次函数解析式．分析：将点（﹣2，0），（3，0）代入二次函数y=ax2+bx+c，再由 =2，从而求得a，b，c的值，即得这个二次函数的解析式．解答：解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣2，0），（3，0），∴对称轴为：x= ，∵顶点的纵坐标为2，∴顶点坐标为：（，2），设此二次函数解析式为：y=a（x﹣）2+2，∴0=a（1﹣）2+2，解得：a=﹣8，∴这个二次函数的解析式为y=﹣8（x﹣）2+2即这个二次函数的解析式为y=﹣8x2+8x；点评：本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识，难度不大．16．（1）请写出图中所示的二次函数图象的解析式；（2）若﹣3≤x≤3，该函数的最大值、最小值分别为 2 、﹣30 ．考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的最值．专题：计算题．分析：（1）由于已知抛物线与x轴的两交点坐标，则可设交点式y=ax（x+2），然后把A点坐标代入即可得到a的值，从而得到抛物线解析式；（2）根据二次函数的性质当﹣3≤x≤3时，x=﹣1时，函数有最大值2；当x=3时，函数有最小值，把x=3代入解析式计算函数的最小值．解答：解：（1）设抛物线解析式为y=ax（x+2），把A（﹣1，2）代入得a?（﹣1）?（﹣1+2）=2，解得a=﹣2，所以抛物线解析式为y=﹣2x（x+2）=﹣2x2﹣4x；（2）抛物线y=2x2+4x的开口向下，对称轴为直线x=﹣1，当﹣3≤x≤3时，x=﹣1时，函数有最大值2；当x=3时，函数有最小值为y=﹣2×9﹣4×3=﹣30．故答案为2，﹣30．点评：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．17．已知一抛物线经过A（0，）、B（1，2）、C（﹣1，0）三个点．（1）求这抛物线的解析式；（2）画出这抛物线的图象；（3）求出抛物线的顶点坐标、对称轴、最值情况；（4）求抛物线与x轴的交点坐标，并指出x取哪些实数时，y＜0？考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．专题：计算题．分析：（1）设一般式，利用待定系数法求函数解析式；（2）先配成顶点式，再利用描点法画函数图象；（3）根据二次函数的性质求解；（4）求函数值为0时所对应的自变量的值，即解方程﹣x2+x+ =0可得到抛物线与x轴的交点坐标；然后利用函数图象，找出y＜0时所对应的自变量的取值范围．解答：解：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，根据题意得，解得，所以抛物线解析式为y=﹣ x2+x+ ；（2）y=﹣（x﹣1）2+2，如图；（3）物线的顶点坐标为（1，2）、对称轴为直线x=1、函数有最大值2；（4）当y=0时，﹣ x2+ x+ =0，解得x1=﹣1，x2=3，所以抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），当x＞3或x＜﹣1时，y＜0．点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．18．抛物线y=ax2+ax+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，AB=3，且抛物线过点P（﹣1，2），求抛物线的解析式．考点：待定系数法求二次函数解析式．专题：计算题．分析：抛物线解析式令y=0，得到关于x的方程，设此方程两根为x1，x2，则有x1+x2=﹣1，x1x2= ，根据AB=3列出关系式，把P坐标代入列出关系式，联立求出a与c的值，即可确定出解析式．解答：解：抛物线y=ax2+ax+c，令y=0，得到ax2+ax+c=0，设此方程两根为x1，x2，则有x1+x2=﹣1，x1x2= ，∵AB=|x1﹣x2|= = =3，∴1﹣ =9，把P（﹣1，2）代入抛物线解析式得：2=a﹣a+c，即c=2，解得：a=﹣1，则抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+2．点评：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．19．如图，用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积y（m2）与它与墙平行的边的长x（m）之间的函数．考点：根据实际问题列二次函数关系式．分析：根据已知表示出矩形的长与宽进而表示出面积即可．解答：解：∵与墙平行的边的长为x（m），则垂直于墙的边长为： =（25﹣0.5x）m，根据题意得出：y=x（25﹣0.5x）=﹣0.5x2+25x．点评：此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，表示出矩形的宽是解题关键．20．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12，BC=24，动点 P 从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，那么△PBQ的面积S随出发时间t（s）如何变化？写出函数关系式及t的取值范围．考点：根据实际问题列二次函数关系式．分析：根据题意表示出BP，BQ的长进而得出△PBQ的面积S随出发时间t（s）的函数关系式．解答：解：∵在△ABC中，∠B=90°，AB=12，BC=24，动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，∴BP=12﹣2t，BQ=4t，∴△PBQ的面积S随出发时间t（s）的解析式为：y= （12﹣2t）×4t=﹣4t2+24t，（0＜t＜6）．点评：此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，根据已知得出BP，BQ的长是解题关键．21．如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ 的边长均为20cm，AC与MN在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC以2cm/s的速度向左运动，最终点A与点M重合，求重叠部分的面积ycm2与时间ts之间的函数关系式．考点：根据实际问题列二次函数关系式．分析：根据△ABC是等腰直角三角形，则重叠部分也是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可求解．解答：解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴重叠部分也是等腰直角三角形，又∵AN=2t，∴AM=MN﹣AN=20﹣2t，∴MH=AM=20﹣2t，∴重叠部分的面积为y= （20﹣2t）2=2t2﹣40t+200．点评：本题考查了根据实际问题抽象二次函数关系式的知识，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键，需注意AM的值的求法．22．抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交与A（1，0），B（﹣3，0）两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）将点A、点B的坐标代入可求出b、c的值，继而可得出该抛物线的解析式；（2）连接BC，则BC与对称轴的交点，即是点Q的位置，求出直线BC的解析式后，可得出点Q的坐标．解答：解（1）把A（1，0）、B（﹣3，0）代入抛物线解析式可得：，解得：故抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3．（2）存在．由题意得，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，连接BC，则BC与抛物线对称轴的交点是点Q的位置，设直线BC解析式为y=kx+b，把B（﹣3，0）、C（0，3）代入得：，解得：，则直线BC的解析式为y= x+3，令QX=﹣1 得Qy=2，故点Q的坐标为：（﹣1，2）．点评：本题考查了二次函数的综合运用，涉及了顶点坐标的求解、三角形的面积及轴对称求最短路径的知识，解答本题的关键是熟练各个知识点，注意培养自己解综合题的能力．23．小张到老王的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：小张的采购价y （元/吨）与采购x （吨）之间函数关系的图象如图中的折线段ABC所示（不包含端点A，但包含端点C）．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）已知老王种植水果的成本是2400元/吨，那么小张的采购量为多少时，老王在这次买卖中所获的利润w最大？最大利润是多少？考点：二次函数的应用．分析：（1）分别根据当0＜x≤20时，y=8000，当20＜x≤40时，设BC满足的函数关系式为y=kx+b，分别求出即可；（2）利用当0＜x≤20时，老王获得的利润为：w=（8000﹣2400）x，当20＜x≤40时，老王获得的利润为w=（﹣200x+12 000﹣2400）x分别求出即可．解答：解：（1）当0＜x≤20时，y=8000．当20＜x≤40时，设BC满足的函数关系式为y=kx+b，解得：，∴y与x之间的函数关系式为：y=﹣200x+12 000．（2）当0＜x≤20时，老王获得的利润为：w=（8000﹣2400）x=5 600x≤112 000，此时老王获得的最大利润为112 000元．当20＜x≤40时，老王获得的利润为w=（﹣200x+12 000﹣2400）x=﹣20 0（x2﹣48x）=﹣200（x﹣24）2+115200．∴当x=24 时，利润w取得最大值，最大值为115200元．∵115200＞112 000，∴当小张的采购量为24吨时，老王在这次买卖中所获得的利润最大，最大利润为115200元．点评：此题主要考查了二次函数的应用以及分段函数的应用，根据数形结合以及分类讨论得出是解题关键．24．某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y1（元）与销售时间第x月之间存在如图1（一条线段）的变化趋势，每千克成本y2（元）与销售时间第x月满足函数关系式y2=mx2﹣8mx+n，其变化趋势如图2所示．（1）求y2的解析式；（2）第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？考点：二次函数的应用；一次函数的应用．专题：销售问题．分析：（1）把函数图象经过的点（3，6），（7，7）代入函数解析式，解方程组求出m、n的值，即可得解；（2）根据图1求出每千克的售价y1与x的函数关系式，然后根据利润=售价﹣成本，得到利润与x的函数关系式，然后整理成顶点式形式，再根据二次函数的最值问题解答即可．解答：解：（1）由图可知，y2=mx2﹣8mx+n经过点（3，6），（7，7），解得．∴y2= x2﹣x+ （1≤x≤12）；（2）设y1=kx+b（k≠0），由图可知，函数图象经过点（4，11），（8，10），则，解得，∴y1=﹣ x+12（1≤x≤12），∴每千克所获得利润=（﹣ x+12）﹣（ x2﹣x+ ）=﹣ x+12﹣ x2+x﹣=﹣ x2+ x+=﹣（x2﹣6x+9）+ +=﹣（x﹣3）2+ ，∵﹣＜0，∴当x=3时，所获得利润最大，最大为元．答：第3月销售这种水果，每千克所获得利润最大，最大利润是元．点评：本题考查了二次函数的应用，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的最值问题，难点在于（2）整理出利润的表达式并整理成顶点式形式．。
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2019初三数学下册期中二次函数y=ax2测试题(含答案解析)2019初三数学下册期中二次函数y=ax2测试题(含答案解析)一．选择题（共8小题）1.已知反比例函数y= （a≠0），当x＞0时，它的图象y随x的增大而减小，那么二次函数y=ax2﹣ax的图象只可能是（）A． B． C． D．2．已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（）A． B． C． D．3．函数y=ax2+1与y= （a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．4．已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（）A． B． C． D．5．已知函数y=﹣（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y= 的图象可能是（）A． B． C． D．6．函数y= 与y=ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．7．二次函数y=ax2+b（b＞0）与反比例函数y= 在同一坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．8．已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y=cx+ 与反比例函数y= 在同一坐标系内的大致图象是（）A． B． C． D．二．填空题（共6小题）9．下列函数中，当x＞0时y随x的增大而减小的有_________ ．（1）y=﹣x+1，（2）y=2x，（3），（4）y= ﹣x2．10．如图，抛物线与两坐标轴的交点坐标分别为（﹣1，0），（2，0），（0，2），则抛物线的对称轴是_______ __ ；若y＞2，则自变量x 的取值范围是_________ ．11．抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是_________ ．12.如图，边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O，AD∥x轴，以O为顶点且过A、D两点的抛物线与以O 为顶点且过B、C两点的抛物线将正方形分割成几部分．则图中阴影部分的面积是_________ ．13．如图，⊙O的半径为2．C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=﹣x2的图象，则阴影部分的面积是_________ ．14．已知抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是_____ ____ ．三．解答题（共6小题）15．抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于（0，3）点．（1）求出m的值并画出这条抛物线；（2）求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；（3）x取什么值时，抛物线在x轴上方？（4）x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？16．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示：（1）这个二次函数的解析式是y= _________ ；（2）当x= _________ 时，y=3；（3）根据图象回答：当x _________ 时，y＞0．17．分别在同一直角坐标系内，描点画出y= x2+3与y= x2的二次函数的图象，并写出它们的对称轴与顶点坐标．18．函数y=2（x﹣1）2+k（k＞0）的图象与函数y=2x2的图象有什么关系？请作图说明．19．在同一直角坐标系中画出二次函数y= x2+1与二次函数y=﹣ x2﹣1的图形．（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点；（2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点．20．在同一直角坐标系中作出y=3x2和y=﹣3x2的图象，并比较两者的异同．2019初三数学下册期中二次函数y=ax2测试题(含答案解析)参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．已知反比例函数y= （a≠0），当x＞0时，它的图象y随x的增大而减小，那么二次函数y=ax2﹣ax的图象只可能是（）A． B． C． D．考点：二次函数的图象；反比例函数的性质．分析：根据反比例函数的增减性判断出a＞0，再根据二次函数的性质判定即可．解答：解：∵反比例函数y= （a≠0），当x＞0时，它的图象y随x的增大而减小，∴a＞0，∴二次函数y=ax2﹣ax 图象开口向上，对称轴为直线x=﹣ = ．故选B．点评：本题考查了二次函数的图象，反比例函数的性质，熟记性质并判断出a＞0是解题的关键．2．已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（）A． B． C． D．考点：二次函数的图象；正比例函数的图象．专题：数形结合．分析：本题可先由一次函数y=ax图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2的图象相比较看是否一致．（也可以先固定二次函数y=ax2图象中a的正负，再与一次函数比较．）解答：解：A、函数y=ax中，a＞0，y=ax2中，a＞0，但当x=1时，两函数图象有交点（1，a），故A错误；B、函数y=ax中，a＜0，y=ax2中，a＞0，故B错误；C、函数y=ax中，a＜0，y=ax2中，a＜0，但当x=1时，两函数图象有交点（1，a），故C正确；D、函数y=ax中，a＞0，y=ax2中，a＜0，故D错误．故选：C．点评：函数中数形结合思想就是：由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号，由函数解析式各项系数的性质符号画出函数图象的大致形状．3．函数y=ax2+1与y= （a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．考点：二次函数的图象；反比例函数的图象．分析：分a＞0和a＜0两种情况讨论二次函数和反比例函数图象所在的象限，然后选择答案即可．解答：解：a＞0时，y=ax2+1开口向上，顶点坐标为（0，1），y= 位于第一、三象限，没有选项图象符合，a＜0时，y=ax2+1开口向下，顶点坐标为（0，1），y= 位于第二、四象限，B选项图象符合．故选：B．点评：本题考查了二次函数图象与反比例函数图象，熟练掌握系数与函数图象的关系是解题的关键．4．已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（）A． B． C． D．考点：二次函数的图象；一次函数的图象．分析：本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数和反比例函数的图象相比较看是否一致．逐一排除．解答：解：A、由二次函数的图象可知a＜0，此时直线y=ax+b 经过二、四象限，故A可排除；B、二次函数的图象可知a＜0，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，b＞0，此时直线y=ax+b经过一、二、四象限，故B可排除；C、二次函数的图象可知a＞0，此时直线y=ax+b经过一、三，故C可排除；正确的只有D．故选：D．点评：此题主要考查了一次函数图象与二次函数图象，应该识记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．5．已知函数y=﹣（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y= 的图象可能是（）A． B． C． D．考点：二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．专题：数形结合．分析：根据二次函数图象判断出m＜﹣1，n=1，然后求出m+n＜0，再根据一次函数与反比例函数图象的性质判断即可．解答：解：由图可知，m＜﹣1，n=1，∴m+n＜0，∴一次函数y=mx+n经过第一、二、四象限，且与y轴相交于点（0，1），反比例函数y= 的图象位于第二、四象限；故选：C．点评：本题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，观察二次函数图象判断出m、n的取值是解题的关键．6．函数y= 与y=ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．考点：二次函数的图象；反比例函数的图象．专题：数形结合．分析：分a＞0和a＜0两种情况，根据二次函数图象和反比例函数图象作出判断即可得解．解答：解：a＞0时，y= 的函数图象位于第一三象限，y=ax2的函数图象位于第一二象限且经过原点，a＜0时，y= 的函数图象位于第二四象限，y=ax2的函数图象位于第三四象限且经过原点，纵观各选项，只有D选项图形符合．故选：D．点评：本题考查了二次函数图象，反比例函数图象，熟记反比例函数图象与二次函数图象的性质是解题的关键，难点在于分情况讨论．7．二次函数y=ax2+b（b＞0）与反比例函数y= 在同一坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．考点：二次函数的图象；反比例函数的图象．专题：数形结合．分析：先根据各选项中反比例函数图象的位置确定a的范围，再根据a的范围对抛物线的大致位置进行判断，从而确定该选项是否正确．解答：解：A、对于反比例函数y= 经过第二、四象限，则a＜0，所以抛物线开口向下，故A选项错误；B、对于反比例函数y= 经过第一、三象限，则a＞0，所以抛物线开口向上，b＞0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，故B选项正确；C、对于反比例函数y= 经过第一、三象限，则a＞0，所以抛物线开口向上，故C选项错误；D、对于反比例函数y= 经过第一、三象限，则a＞0，所以抛物线开口向上，而b＞0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，故D选项错误．故选：B．点评：本题考查了二次函数的图象：二次函数y=ax2+bx+c （a、b、c为常数，a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；当a＜0，抛物线开口向下．对称轴为直线x=﹣；与y轴的交点坐标为（0，c）．也考查了反比例函数的图象．8．已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y=cx+ 与反比例函数y= 在同一坐标系内的大致图象是（）A． B． C D．考点：二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．分析：先根据二次函数的图象得到a＞0，b＞0，c＜0，再根据一次函数图象与系数的关系和反比例函数图象与系数的关系判断它们的位置．解答：解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣＜0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴一次函数y=cx+ 的图象过第一、二、四象限，反比例函数y= 分布在第一、三象限．故选：D．点评：本题考查了二次函数的图象：二次函数y=ax2+bx+c （a、b、c为常数，a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；当a＜0，抛物线开口向下．对称轴为直线x=﹣；与y轴的交点坐标为（0，c）．也考查了一次函数图象和反比例函数的图象．二．填空题（共6小题）9．下列函数中，当x＞0时y随x的增大而减小的有（1）（4）．（1）y=﹣x+1，（2）y=2x，（3），（4）y=﹣x2．考点：二次函数的图象；一次函数的性质；正比例函数的性质；反比例函数的性质．分析：分别根据一次函数、正比例函数、反比例函数以及二次函数的增减性即可求解．解答：解：（1）y=﹣x+1，y随x增大而减小，正确；（2）y=2 x，y随x增大而增大，错误；（3），在每一个分支，y随x增大而增大，错误；（4）y=﹣x2，在对称轴的左侧，y随x增大而增大，在对称轴的右侧，y随x增大而减小，正确．故答案为：（1）（4）．点评：本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数、正比例函数的增减性（单调性），是一道难度中等的题目．10．如图，抛物线与两坐标轴的交点坐标分别为（﹣1，0），（2，0），（0，2），则抛物线的对称轴是x= ；若y＞2，则自变量x的取值范围是0＜x＜1 ．考点：二次函数的图象；二次函数的性质．专题：图表型．分析：二次函数的图象与x轴交于（a，0）（b，0），则对称轴为；求得对称轴后即可求得图象经过的另一点为（1，2），据此可以确定自变量的取值范围．解答：解：∵抛物线与x轴的交点坐标分别为（﹣1，0），（2，0），∵对称轴为x= = ；∵抛物线与y轴的交点坐标分别为（0，2），对称轴为x= ，∴抛物线还经过点（1，2），∴y＞2，则自变量x的取值范围是 0＜x＜1，故答案为：x= ，0＜x＜1．点评：本题考查了二次函数的图象及二次函数的性质，解题的关键是知道如何根据抛物线与x轴的交点坐标求对称轴．11．抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是﹣3＜x＜1 ．考点：二次函数的图象．专题：压轴题．分析：根据抛物线的对称轴为x=﹣1，一个交点为（1，0），可推出另一交点为（﹣3，0），结合图象求出y＞0时，x的范围．解答：解：根据抛物线的图象可知：抛物线的对称轴为x=﹣1，已知一个交点为（1，0），根据对称性，则另一交点为（﹣3，0），所以y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．故答案为：﹣3＜x＜1．点评：此题的关键是根据二次函数的对称轴与对称性，找出抛物线y=﹣x2+bx+c的完整图象．12．如图，边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O，AD∥x轴，以O为顶点且过A、D两点的抛物线与以O为顶点且过B、C两点的抛物线将正方形分割成几部分．则图中阴影部分的面积是 2 ．考点：二次函数的图象；正方形的性质．分析：根据图示及抛物线、正方形的性质不难判断出阴影部分的面积即为正方形面积的一半，从而得出答案．解答：解：根据图示及抛物线、正方形的性质，S阴影= S正方形= ×2×2=2．故答案为：2．点评：本题主要考查了抛物线及正方形的性质，需要根据图是进行判断，难度适中．13．如图，⊙O的半径为2．C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=﹣x2的图象，则阴影部分的面积是2π．考点：二次函数的图象．分析：根据 C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=﹣x2的图象，得出阴影部分面积即是半圆面积求出即可．解答：解：∵C1是函数y= x2的图象，C2是函数y=﹣x2的图象，∴两函数图象关于x轴对称，∴阴影部分面积即是半圆面积，∴面积为：π×22=2π．故答案为：2π．点评：此题主要考查了二次函数的对称性，根据已知得出阴影部分面积即是半圆面积是解题关键．14.已知抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是﹣1＜x＜3 ．考点：二次函数的图象．专题：压轴题．分析：由图可知，该函数的对称轴是x=1，则x轴上与﹣1对应的点是3．观察图象可知y＞0时x的取值范围．解答：解：已知抛物线与x轴的一个交点是（﹣1，0）对称轴为x=1，根据对称性，抛物线与x轴的另一交点为（3，0），观察图象，当y＞0时，﹣1＜x＜3．点评：此题的关键是根据二次函数的对称轴与对称性，找出抛物线y=ax2+bx+c的完整图象．三．解答题（共6小题）15．抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于（0，3）点．（1）求出m的值并画出这条抛物线；（2）求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；（3）x取什么值时，抛物线在x轴上方？（4）x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？考点：二次函数的图象；二次函数的性质．分析：（1）直接把点（0，3）代入抛物线解析式求m，确定抛物线解析式，根据解析式确定抛物线的顶点坐标，对称轴，开口方向，与x轴及y轴的交点，画出图象．（2）、（3）、（4）可以通过（1）的图象及计算得到．解答：解：（1）由抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于（0，3）得：m=3．∴抛物线为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4．列表得：X ﹣1 0 1 2 3y 0 3 4 3 0图象如右．（2）由﹣x2+2x+3=0，得：x1=﹣1，x2=3．∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）．∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4∴抛物线顶点坐标为（1，4）．（3）由图象可知：当﹣1＜x＜3时，抛物线在x轴上方．（4）由图象可知：当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．点评：考查从图象中读取信息的能力．考查二次函数的性质及图象画法．16．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示：（1）这个二次函数的解析式是y= x2﹣2x ；（2）当x= 3或﹣1 时，y=3；（3）根据图象回答：当x ＜0或＞2 时，y＞0．考点：二次函数的图象．分析：（1）易知顶点为（1，﹣1）；那么可设顶点式y=a （x﹣1）2﹣1再把（0，0）代入求a．（2）把y=3代入抛物线解析式即可．（3）函数值大于0，指x轴上方的函数图象所对应的x的取值．解答：解：（1）由图可知顶点坐标为（1，﹣1），设y=a （x﹣1）2﹣1，把点（0，0）代入，得0=a﹣1，即a=1，所以y=（x﹣1）2﹣1=x2﹣2x．（2）当y=3时，x2﹣2x=3，解得x=3或x=﹣1．（3）由图可知，抛物线与x轴两交点为（0，0），（2，0），开口向上，所以当x＜0或x＞2时，y＞ 0．点评：本题考查用待定系数法求二次函数解析式；会根据所给的函数值得到相应的自变量的值及取值．17．分别在同一直角坐标系内，描点画出y= x2+3与y= x2的二次函数的图象，并写出它们的对称轴与顶点坐标．考点：二次函数的图象．分析：根据抛物线的解析式求得抛物线与坐标轴的交点坐标、顶点坐标．则可画出图象．解答：解：抛物线y= x2+3的开口方向向上，顶点坐标是（0，3），对称轴是y轴，且经过点（3，6）和（﹣3，6）抛物线y= x2的开口方向向上，顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴，且经过点（3，3）和（﹣3，3）则它们的图象如图所示：点评：本题考查了二次函数的图象．熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．18．函数y=2（x﹣1）2+k（k＞0）的图象与函数y=2x2的图象有什么关系？请作图说明．考点：二次函数的图象．分析：建立平面直角坐标系，然后作出函数y=2x2的图象，再确定出函数y=2（x﹣1）2+k的顶点位置，然后作出图形解答即可．解答：解：如图，函数y=2（x﹣1）2+k（k＞0）的图象由函数y=2x2的图象向右平移一个单位，向上平移k个单位得到．点评：本题考查了二次函数图象，从顶点的变化考虑函数图象的关系更简便．19．在同一直角坐标系中画出二次函数y= x2+1与二次函数y=﹣ x2﹣1的图形．（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点；（2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点．考点：二次函数的图象．分析：根据二次函数图象，可得二次函数的性质．解答：解：如图：（1）y= x2+1与y=﹣ x2﹣1的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是y轴，y= x2+1与y=﹣ x2﹣1的不同点是：y= x2+1开口向上，顶点坐标是（0，1），y=﹣ x2﹣1开口向下，顶点坐标是（0，﹣1）；（2）性质的相同点：开口程度相同，不同点：y= x2+1 当x ＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；y=﹣ x2﹣1当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小．点评：本题考查了二次函数的图象，利用了二次函数图象与性质，a＞0图象开口向上，对称轴左侧，y随x的增大而减小，对称轴右侧，y随x的增大而增大；a ＜0图象开口向下，对称轴左侧，y随x的增大而增大，对称轴右侧，y 随x的增大而减小．20．在同一直角坐标系中作出y=3x2和y=﹣3x2的图象，并比较两者的异同．考点：二次函数的图象．分析：根据二次函数解析式符合y=ax2得出图象，进而得出图象的异同即可．解答：解：如图所示：两图象开口大小形状相同，但是开口方向不同．点评：此题主要考查了二次函数的图象，根据已知函数解析式画出图象是解题关键．。