椭圆练习题(经典归纳)

初步圆锥曲线

感受：已知圆0以坐标原点为圆心且过点, M , N为平面上关于原点对称的两点,已知N的坐

I2 2丿

( !3 \

标为0,—、3,过N作直线交圆于A,B两点

I 3丿

(1) 求圆0的方程; (2)求：ABM面积的取值范围

二.曲线方程和方程曲线

(1)曲线上点的坐标都是方程的解；

(2)方程的解为坐标的点都在曲线上.

三.轨迹方程

例题：教材R37 A组.T3 T4 B组T2

练习1?设一动点P到直线I :x=3的距离到它到点A 1,0的距离之比为f，贝y动点P的轨迹方程是

A -1,0 ,

B 2,0 ,动点满足条件.MBA =2. MAB ,则动点M的轨练习2?已知两定点的坐标分别为

迹方程为____________

总结：求点轨迹方程的步骤：

(1 )建立直角坐标系

(2) 设点：将所求点坐标设为x,y，同时将其他相关点坐标化(未知的暂用参数表示)

(3) 列式：从已知条件中发掘x,y的关系，列出方程

(4) 化简：将方程进行变形化简，并求出x,y的范围

四.设直线方程设直线方程：若直线方程未给出，应先假设.

(1)若已知直线过点(x0,y0)，则假设方程为y- y0二k(x- x0);

(2)若已知直线恒过y轴上一点0, t，则假设方程为y二kx ? t ；

(3)若仅仅知道是直线，则假设方程为y = kx ? b

【注】以上三种假设方式都要注意斜率是否存在的讨论；

（4）若已知直线恒过x轴上一点（t,0），且水平线不满足条件（斜率为0）,可以假设

1

直线为x = my+t。【反斜截式，m二一】不含垂直于y轴的情况（水平线）

k

例题：圆C的方程为：x2? y2 -2 = 0.

（1）若直线过点（0,4）且与圆C相交于A,B两点，且AB =$2,求直线方程?

（2）若直线过点（1,3）且与圆C相切，求直线方程.

（3）若直线过点（4,0）且与圆C相切，求直线方程.

附加：C（x -3）2 - （y _4）2 =4.

若直线过点（1,0）且与圆C相交于P、Q两点，求S CPQ最大时的直线方程

椭圆

1、椭圆概念

平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a （大于| F1F2 | ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若M为椭圆上任意一点，则有

|M F |+ |M F 牛2a

注意：2a > F1F2表示椭圆；2a = F1F2表示线段F1F2；2a < F）F2没有轨迹；

2、椭圆标准方程

2 2 2 2

椭圆方程为—y —2 -1，设b = a2- c2，则化为笃■占-1a b 0

a a -c a b

注: （1）以上方程中a, b的大小a b?0 ,其中b2=a2-c2；

（2）要分清焦点的位置，只要看x2和y2的分母的大小，"谁大焦点在谁上

2 2

1已知方程+—匚=1表示椭圆，贝V k 的取值范围为 ___________________

3 + k 2 — k

2.

椭圆2x 2 3y 2 =6的焦距是（ ）

P 为椭圆上一点，且| F i F 是| PF |与| PF |的等差中项,

()

2 2 2 2

C . x_ + y_ = i

D . x_ + y_ = i

4 3 3 4

2 2

1. 椭圆X y 1上的一点P,到椭圆一个焦点的距离为3

25

16

3.若椭圆的两焦点为（一 2, 0)和(2, 0）,且椭圆过点（-_-） 2 2 ，则椭圆方程是

2 2 2 2 2 2

A.仝上=1

B.红上y

C. 乂 . △ 1

D. 2L 丄 /

8 4 10 6 4 8

10 6

4.过点（3, — 2）且与椭圆

4x 2+9y 2=36有相同焦点的椭圆的方程是 ( )

2 2

2 2

2 2

2 2

A . x_ . v_=1

B .

X y 1 C.

x y

=1 D.

壬乞=1

15 10

5 10

10 15

25 10

A. 2 5.椭圆的两个焦点是 F （— 1,0), F 2(1,0) 则该椭圆方程是.

2 2 2 2 A. x + y = 1 B. x +y = 1 16 9 16 12 B. 2( ...

3 一、2) C. 2 .、5 D. 2( .. 3 2)

,则P 到另一焦点距离为（）

A . 2

B . 3

C . 5

D . 7

2.设定点F （0, — 3 ）、F2（0,3）,动点P 满足条件PF 1 P F 2 =a -（a ■ 0），则点P 的轨迹是

（）

a

A.椭圆

B.线段 C

.不存在

3.过椭圆4x 2，2y 2 =1的一个焦点R 的直线与椭圆交于 构

成.ABF 2，那么 ABF 2的周长是（ ）

A.

2 2 B . 2

C

.

2

D.椭圆或线段

A 、

B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点F 2

D .

1

2 2

4

.椭圆釘舒1上的点M 到焦点F 1的距离是2, N 是MF 的中点’则小为（

）

A. 4

B . 2 C. 8 D .

5. 椭圆 2 2

—+^=1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，那么PF 1是PF 2

12 3

A . 4 倍

B

、椭圆定义的应用

1. ______________________________________________________________________ F i 、F 2是定点，|F I F 2|=6，动点 M 满足|MF |+| MF |=6，则点M 的轨迹是 ______________________________

A.椭圆

B.直线

C.线段

D.圆

4

2. 设A , B 的坐标分别为 -5,0 , 5,0 ?直线AM , BM 相交于点M ,且它们的斜率之积为一上,

9

求点M 的轨迹方程 ___________

3. 已知圆C :(x 1)2 y^25及点A(1,0),Q 为圆上一点，AQ 的垂直平分线交 CQ 于M 则点M 的轨迹 方程为 __________

2 2

4.P 是椭圆- 匕=1上的动点，过P 作椭圆长轴的垂线，垂足为 M 则PM 中点的轨迹方程为 _______________

9

5

2

2

2 2

2 2

A

4 2

A 、 x

y

x =1

B 、

4 -+ y 2 =1 C 、

X

y

=1

D 、x . y =1

9 5 9 5

9

20

36 5

5.动圆与圆 O: x 2 y 2 =1外切，

与圆 C ： X 2 y 2 -6X 8 = 0内切， 那么动圆的圆心 M 的轨迹是:

A.抛物线

B.

圆 C. 椭 圆 D. 双曲线一支

25 4 6. 设M x, y 与定点F 4,0的距离和它到直线I :乂乂25的距离的比是常数-，求点M 的轨

迹方程.

4

5

=1的焦点F 1、F 2 , P 为椭圆上的一点，已知PF 1 _ PF 2 ,则厶F 1PF 2的面积为()

F 1, F 2为左右焦点，若? F 1PF 2 ，求点P 到x 轴的距离 3

2

5 .设P 是椭圆1 + y 2 =1上的一点，F 1, F 2是椭圆的两个焦点，贝IJ P F JI PF 2的最大值为 ______________ .

4

2 2 \f ■■T

6. 若P 在椭圆

2 -1(5 b 0)上的一点，F 1, F 2为左右焦点，若? F 1PF 2的最大值为一，则椭

25 b

2

圆的方程为 ________ .

x 2 y 2

7. P 为椭圆

1上一点，BF 2为焦点，满足? F 1PF 2 =90的点的个数为 ___________ .

9 4

四、焦点三角形 2 2

1.椭圆—y

25 9

A. 9

.12

.10

2 . F 1,F 2是椭圆—y 1的两个焦点,

9

-

A . 7

B .—

4

2

3 .若点P 在椭圆工y 2 =1上，

2

A 为椭圆上一点，且/ F 2分别是椭圆的两焦点，且 A. 2

B. 1

C.

AF 1 F^ 450，则A AF 1F 2的面积为

D. F 1 PF^ 90，则 F 1PF 2的面积是

2 2

4.若P 为椭圆—J

4

=1上的一

点,

五、椭圆的简单几何性质

①范围；②对称；③顶点； ④离心率：(0

e = c = . ： = ? = 1 - b

1?椭圆4x 2+25y 2=100的长轴长等于 _________________ ,短半轴长等于 ______________ ,焦距 ___________ 左焦点坐标 _____________ ,离心率 ________ ，顶点坐标 __________ . 求离心率(构造a , c 的齐次式，解出e )

1

1.已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为

1

，长轴长为

12,则椭圆方程为(

)

2 2 2 2

2 2

A .

X y

=1

或-y

1

B

X y

二 1

144 128

128 144

6 4

2

2

2 2

2 2 2 2

C.

—1或 K 1

D

X y

=1或X y

=1

36 32

32 36

4

6 6

4

2.已知椭圆mX^ ■ 5y 2 = 5m m 0的离心率为

3. 已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是

2 2

4.若椭圆 笃-当=1,(a b - 0)短轴端点为P 满足PF i _ PF 2，贝V 椭圆的离心率为e 二

a b

5.已知- -=1(m

0.n 0)则当mn 取得最小值时，椭圆

m n

2

2

6.

椭圆 务?占 =1 (a>b>0)的两顶点为 A( a,0 ) B(0,b), a 2 b 2

则椭圆的离心率为e =

.

7. 以椭圆的右焦点F 2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于 M N 两点，椭圆的左焦点为

F 1,直线MF 与圆相切，则椭圆的离心率为 e = _________________________ .

8. 设椭圆的两个焦点分别为 F 1、、F 2,过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P ,若△FFB 为等腰直角三角 形，则椭圆的离心率为 e= ________ .

—I —I

9. 已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MR MF ? =0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范 围是 ________ .

2 2

10.设F 1, F 2分别是椭圆 牛?召=1 ( a b 0 )的左、右焦点，若在其右准线上存在 P,使线段PF 1 a b 的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是 ___________

六、直线与椭圆的位置关系

联立直线与椭圆方程，消参数，得关于 x 或y 的一个一元二次方程;

(1)相交： :0，直线与椭圆有两个交点；

2

2

■^7 -y

? =1的离心率为e 二 m n

1

若右焦点F 到直线AB 的距离等于一I AFI ,

2

2

(2)相切： 拱-0，直线与椭圆有一个交点; (3)相离： :::0，直线与椭圆无交点；

弦长公式:

P(x i , y), Q(x 2, y 2)，联立方程组(将直线方程代入椭圆方程)

y 二 kx m, 2 2 2 2 2 2 2消去y 整理成关于x 的一元二次方程： Ax 2

Bx 0 ,

b 2x 2

a 2y 2

二a 2b 2

,

B

C

则x-i ,x 2是上式的两个根，厶=B 2-4AC 0 ;由韦达定理得：为■ x 2 =-一，XM 2二一,

A

A

又 P,Q 两点在直线丨上，故 y<| = kx^i ? m, y 2 = kx 2 m ，则 y 2 -y i 二 k(x 2「x j ，

从而

|PQ|二(X 2 -捲)2 ? -y i )2

区-x i )2 k 2(X 2 -为)2 (1 k 2)(X 2 -为)2

=(1 k 2)[(x 1 x 2)2 -4x 1x 2]=

【注意：如果联立方程组消去 x 整理成关于y 的一元二次方程：Ay 2 + By+ C = 0 ,贝V

x 2 2

i

i.已知椭圆方程为

y =i 与直线方程丨：y = x 相交于A 、B 两点，求AB=

2 2

2. 设抛物线y 2 =4x 截直线y =2x +m 所得的弦长AB 长为3亦，求m = ________________ .

2

3. 椭圆方程为i+y 2=1,通径=

.

2

2 2 _

4. 椭圆 H i 上的点到直线x ? 2y - 2 F 的最大距离是

(

)

16

4

A . 3 B. 、.11 C. 2 .. 2

D. <10

点差法

1. 椭圆4x 2，9y 2 =144内有一点P (3, 2)过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程 为 ___________ .

2 2

2. 过椭圆M:% ?葺=i (a > b > 0)右焦点的直线x ，y-\ 3=0交M 于A , B 两点，P 为AB 的中点,

a b 若直线丨：y = kx ? m 与椭圆

=1(a b 0)相交于 P,Q 两点，求弦长 | PQ |的步骤:

「J

|PQ|「(i ：2)(y 2-y i )2

…j A