新北师大版八年级数学上册勾股定理培优
1.3.1 勾股定理的应用 北师大版八年级数学上册培优练(含答案)
专题1.3勾股定理的应用姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020秋•达川区校级月考）如图，原来从A村到B村，需要沿路A→C→B（∠C＝90°）绕过村庄间的一座大山．打通A，B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知，AC＝12km，BC＝16km，那么，打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为（ ）A．5km B．8km C．10km D．20km【分析】直接利用勾股定理得出AB的长，进而得出答案．【解析】由题意可得：AB²=AC2+BC2=122+162=400（km），AB=20km，则打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为：12+16﹣20＝8（km）．故选：B．2．（2020春•文水县期末）疫情期间，小颖宅家学习．一天，她在课间休息时，从窗户向外望，看到一人为快速从A处到达居住楼B处，直接从边长为24米的正方形草地中穿过．为保护草地，小颖计划在A处立一个标牌：“少走？米，踏之何忍”，已知B、C两处的距离为7米，那么标牌上？处的数字是（ ）A．3B．4C．5D．6【分析】根据图形标出的长度，可以知道AC和BC的长度，从而构造直角三角形，根据勾股定理就可求出斜边A和B的距离．【解析】由题意可知AB²=AC2+BC2=24²+7²=625m，故居民直接到B时要走AB＝25m，若居民不践踏草地应走AC+BC＝24+7＝31mAC+BC﹣AB＝31﹣25＝6m故在？的地方应该填写的数字为6，故选：D．3．（2021春•长沙期中）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于（ ）A．1.2米B．1.5米C．2.0米D．2.5米【分析】过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的长度即可．【解析】如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，∴AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.6＝0.9（米）．在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD²=AE2+DE2=0.9²+1.2²=6.25，,故选：B．4．（2020春•西城区校级期中）为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备举办新年晚会，大林搬来一架高为2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米的墙上，开始梯脚与墙角的距离为1.5米，但高度不够．要想正好挂好拉花，梯脚应向前移动（人的高度忽略不计）（ ）A．0.7米B．0.8米C．0.9米D．1.0米【分析】仔细分析题意得：梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，梯高为斜边，利用勾股定理解此直角三角形即可．【解析】梯脚与墙角距离的平方：2．52―2．42=0.49，∵开始梯脚与墙角的距离为1.5米，∴要想正好挂好拉花，梯脚应向前移动：1.5﹣0.7＝0.8（米）．故选：B．5．（2020•巴中）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（ ）A．4尺B．4.55尺C．5尺D．5.55尺【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺．利用勾股定理解题即可．【解析】设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2解得：x＝4.55．答：原处还有4.55尺高的竹子．故选：B．6．（2020秋•未央区期中）如图，在灯塔O的东北方向8海里处有一轮船A，在灯塔的东南方向6海里处有一渔船B，则AB间的距离为（ ）A．9海里B．10海里C．11海里D．12海里【分析】由题意可知东北方向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理解图中直角三角形即可．【解析】已知东北方向和东南方向刚好是一直角，∴∠AOB＝90°，又∵OA＝8海里，OB＝6海里，∴AB²=OA2+OB2=8²+6²=100AB=10（海里）．故选：B．7．（2020秋•罗湖区期中）如图，某校攀岩墙的顶部安装了一根安全绳，让它垂到地面时比墙高多出了2米，教练把绳子的下端拉开8米后，发现其下端刚好接触地面（如图），则此攀岩墙的高度是（ ）A．10米B．15米C．16米D．17米【分析】根据题意设攀岩墙的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，再利用勾股定理即可求得AB 的长，即攀岩墙的高．【解析】如图：设攀岩墙的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，在Rt△ABC中，BC＝8米，AB2+BC2＝AC2，∴x2+82＝（x+2）2，解得x＝15，∴AB＝15．∴攀岩墙的高15米．故选：B．8．（2020秋•龙泉驿区期中）如图，将一根长为20cm的筷子置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，筷子露在杯子外面的长度为（ ）A．13cm B．8cm C．7cm D．15cm【分析】根据题意直接利用勾股定理得出杯子内的筷子长度，进而得出答案．【解析】由题意可得：杯子内的筷子长度为：52+122=13，则筷子露在杯子外面的筷子长度为：20﹣13＝7（cm）．故选：C．9．（2020秋•历城区期中）古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，AB+AC＝25尺，BC＝5尺，则AC等于（ ）尺．A．5B．10C．12D．13【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（25﹣x）尺，利用勾股定理解题即可．【解析】设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（25﹣x）尺，根据勾股定理得：x2+52＝（25﹣x）2．解得：x＝12，答：折断处离地面的高度为12尺．故选：C．10．（2020春•南岗区校级期中）将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在杯子里面的长度为hcm，则h的取值范围是（ ）A．h≤15cm B．h≥8cm C．8cm≤h≤17cm D．7cm≤h≤16cm【分析】当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出h的取值范围．【解析】如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，∴h＝24﹣8＝16（cm）；当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，在Rt△ABD中，AD＝15cm，BD＝8cm，∴AB=AD2+BD2=17（cm），所以h的取值范围是：8cm≤h≤17cm．故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020秋•盐池县期末）如图，要为一段高5米，长13米的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯 17 米．【分析】地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，因此利用勾股定理求出水平距离即可．【解析】根据勾股定理，楼梯水平长度为132―52=12米，则红地毯至少要12+5＝17米长，故答案为：17．12．（2021春•越秀区校级期中）如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，公路PQ上点A处有学校，点A 到公路MN的距离为80m．现有一卡车在公路MN上以5m/s的速度沿PN方向行驶，卡车行驶时周围100m以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间为 24 秒．【分析】设卡车开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束，在Rt△ACB中求出CB，继而得出CD，再由卡车的速度可得出所需时间．【解析】设卡车开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束了噪声的影响．则有CA＝DA＝100m，在Rt△ABC中，CB=1002―802=60（m），∴CD＝2CB＝120（m），则该校受影响的时间为：120÷5＝24（s）．答：该学校受影响的时间为24秒，故答案为：24．13．（2020秋•南宫市月考）小明从A处出发沿北偏东40°的方向走了30米到达B处；小军也从A处出发，沿南偏东α°（0＜α＜90）的方向走了40米到达C处，若B、C两处的距离为50米，则α＝ 50 ．【分析】根据勾股定理的逆定理得到∠BAC＝90°，根据角的和差即可得到结论．【解析】∵AB＝30，AC＝40，BC＝50，∴AB2+AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴α°＝90°﹣40°＝50°，∴α＝50，故答案为：50．14．（2020秋•成华区校级月考）将一根24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱体中，如图，设筷子露出在杯子外面长为hcm，则h的最小值 11cm ，h的最大值 12cm ．【分析】当筷子与杯底垂直时h 最大，当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h 最小，据此可以得到h 的取值范围．【解析】当筷子与杯底垂直时h 最大，h 最大＝24﹣12＝12（cm ）．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h 最小，此时，在杯子内部分=122+52=13（cm ），故h ＝24﹣13＝11（cm ）．故h 的取值范围是11≤h ≤12．故答案为：11cm ；12cm ．15．（2020秋•太原期中）《九章算术）“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何．”其大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？若设门的宽为x 尺，根据题意列出的方程 x 2+（x +6.8）2＝102 ．（注：1丈＝10尺，1尺＝10寸）【分析】设长方形门的宽x 尺，则高是（x +6.8）尺，根据勾股定理即可列方程求解．【解析】设长方形门的宽x 尺，则高是（x +6.8）尺，根据题意得x 2+（x +6.8）2＝102，解得：x ＝2.8或﹣9.6（舍去）．则宽是6.8+2.8＝9.6（尺）．答：门的高是9.6尺，宽是2.8尺．故答案为：x 2+（x +6.8）2＝102．16．（2020秋•溧水区期中）木工师傅为了让尺子经久耐用，常常在尺子的直角顶点A 处与斜边BC 之间加一根小木条AD ．已知∠BAC ＝90°，AB ＝5dm ，AC ＝12dm ，则小木条AD 的最短长度为 6013 dm ．【分析】首先利用勾股定理求出BC 的长，再利用三角形面积求出即可．【解析】∵∠BAC ＝90°，AB ＝5dm ，AC ＝12dm ，∴BC =AB 2+AC 2=52+122=13（dm ），当AD ⊥BC 时，AD 最短，则12AD ×BC =12AB ×AC ，则AD =AB ×AC BC =5×1213=6013（dm ）．故答案是：6013．17．（2020秋•广陵区校级期中）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB 生长在它的中央，高出水面部分BC 为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B 恰好碰到岸边的B ′（示意图如图，则水深为 12 尺．【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知EB '的长为10尺，则B 'C ＝5尺，设出AB ＝AB '＝x 尺，表示出水深AC ，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．【解析】依题意画出图形，设芦苇长AB ＝AB ′＝x 尺，则水深AC ＝（x ﹣1）尺，因为B 'E ＝10尺，所以B 'C ＝5尺在Rt △AB 'C 中，52+（x ﹣1）2＝x 2，解之得x ＝13，即水深12尺，芦苇长13尺．故答案为：12．18．（2020秋•泰州期中）如图所示是一个圆柱形饮料罐，底面半径为5cm，高为12cm，上底面中心有一个小圆孔，将一根长24cm的直吸管从小圆孔插入，直到接触到饮料罐的底部，直吸管在罐外的长度hcm （罐的厚度和小圆孔的大小忽略不计），则h的取值范围是 11≤h≤12 ．【分析】如图，当吸管底部在O点时吸管在罐内部分最短，此时罐内部分就是圆柱形的高；当吸管底部在A点时吸管在罐内部分最长，此时可以利用勾股定理在Rt△ABO中求出，然后可得罐外部分a长度范围．【解析】如图，当吸管底部在O点时吸管在罐内部分最短，此时罐内部分就是圆柱形的高，罐外部分a＝24﹣12＝12（cm）；当吸管底部在A点时吸管在罐内部分最长，即线段AB的长，在Rt△ABO中，AB=AO2+BO2=122+52=13（cm），罐外部分a＝24﹣13＝11（cm），所以11≤h≤12．故答案是：11≤h≤12．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020秋•荥阳市期中）郑州市CBD如意湖的两岸有A，B两棵景观树，数学兴趣小组设计实验测量两棵景观树之间的距离，他们在与AB垂直的BC方向上取点C，测得BC＝30米，AC＝50米．求：（1）两棵景观树之间的距离；（2）点B到直线AC的距离．【分析】（1）根据勾股定理解答即可；（2）根据三角形面积公式解答即可．【解析】（1）因为△ABC是直角三角形，所以由勾股定理，得AC2＝BC2+AB2．因为AC＝50米，BC＝30米，所以AB2＝502﹣302＝1600．因为AB＞0，所以AB＝40米．即A，B两点间的距离是40米．（2）过点B作BD⊥AC于点D．因为S△ABC=12AB•BC=12AC•BD，所以AB•BC＝AC•BD．所以BD=AB⋅BCAC=30×4050=24（米），即点B到直线AC的距离是24米．20．（2020秋•太原期中）如图是一块四边形木板，其中AB＝16cm，BC＝24cm，CD＝9cm，AD＝25cm，∠B＝∠C＝90°．李师傅找到BC边的中点P，连接AP，DP，发现△APD是直角三角形，请你通过计算说明理由．【分析】根据勾股定理解答即可．【解析】∵点P为BC中点，∴BP＝CP=12BC＝12（cm），∵∠B＝90°，在Rt△ABP中，根据勾股定理可得：AB2+BP2＝AP2，162+122＝AP2，解得：AP＝20（cm），同理可得：DP＝15（cm），∵152+202＝252，∴AP2+DP2＝AD2，∴△APD是直角三角形，∠APD＝90°．21．（2020秋•碑林区校级月考）我们学校有一块四边形空地，如图所示，现计划在这块空地上种植草皮，经测量∠ABC＝90°，AB＝20米，BC＝15米，CD＝7米，AD＝24米．若每平方米草皮需要200元，则共需要投入多少钱？【分析】利用勾股定理求出AC，利用勾股定理的逆定理证明∠ADC＝90°即可解决问题．【解析】连接AC，在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15，∴AC=AB2+BC2=202+152=25（米）．在△ADC中，∵CD＝7，AD＝24，AC＝25，∴AD2+CD2＝242+72＝625＝AC2．∴△ADC是直角三角形，且∠ADC＝90°．∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC=12×15×20+12×7×24＝234（平方米）．∴四边形空地ABCD的面积为234平方米．∴200×234＝46800（元）．答：学校共需投入46800元．22．（2020秋•青羊区校级月考）如图，有两条公路OM和ON相交成30°角，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点160米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁100米内会受到噪声影响．已知有一台拖拉机正沿ON方向行驶，速度为5米/秒．（1）该小学是否受到噪声的影响，并说明理由．（2）若该小学要受到噪声的影响，则这台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪声影响的时间是多少？【分析】过点A作AC⊥ON于点C，求出AC的长，第一台到B点时开始对学校有噪音影响，第二台到B 点时第一台已经影响小学50米，直到第二台到D点噪音才消失．【解析】如图所示：过点A作AC⊥ON于点C，∵∠MON＝30°，OA＝160米，∴AC=12OA＝80米，∵80m＜100m，∴该小学会受到噪声影响；（2）以A为圆心，半径长为100m画圆与ON交B，D两点，连接AB，AD，在B到D范围内，小学都会受到影响，∴AB＝AD＝100米，由勾股定理得：BC=AB2―AC2=1002―802=60（米），∴BD＝2BC＝120米，CD＝60米∴影响的时间应是：t=1205=24（秒）；答：拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪声影响的时间是24秒．23．（2020秋•南山区期末）如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度．于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面（如图为示意图）．请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB．【分析】设AB＝x，则AC＝x+1，依据勾股定理即可得到方程x2+52＝（x+1）2，进而得出风筝距离地面的高度AB．【解析】设AB＝x，则AC＝x+1，由图可得，∠ABC＝90°，BC＝5，∴Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即x2+52＝（x+1）2，解得x＝12，答：风筝距离地面的高度AB为12米．24．（2020春•武汉期中）如图，在笔直的铁路上A，B两点相距20km，C，D为两村庄，DA＝8km，CB＝14km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求AE的长．【分析】根据题意设出E点坐标，再由勾股定理列出方程求解即可．【解析】设AE＝x，则BE＝20﹣x，由勾股定理得：在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝82+x2，在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2＝142+（20﹣x）2，由题意可知：DE＝CE，所以：82+x2＝142+（20﹣x）2，解得：x＝13.3所以，E应建在距A点13.3km．。
北师大新版八年级数学上学期期末单元培优复习 第1章 勾股定理 含详细答案
第1章勾股定理一．选择题1．下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（）A．三条边的比为1：2：3B．三条边满足关系a2＝b2﹣c2C．三条边的比为1：1：D．三个角满足关系∠B+∠C＝∠A2．如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP，得OP1＝；再过点P1作P1P2⊥OP1，且P1P2＝1，得OP2＝；又过点P2作P2P3⊥OP2，且P2P3＝1，得OP3＝2，依此法继续做下去，得OP2018＝（）A．B．2018 C．D．13．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形G的边长是6cm，则正方形A，B，C，D，E，F，G的面积之和是（）A．18cm2 B．36cm2C．72cm2D．108cm24．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，D为AB边上一动点，连接CD，△ACD 与△A′CD关于直线CD轴对称，连接BA′，则BA′的最小值为（）A．B．1 C．D．5．下列各组数中，不能构成直角三角形的是（）A．a＝1，b＝，c＝B．a＝5，b＝12，c＝13C．a＝1，b＝3，c＝D．a＝1，b＝1，c＝26．图1是我国著名的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形所围成将四个直角三角形的较短边（如AF）向外延长1倍得到点A′，B′，C′，D′，并连结得到图2．已知正方形EFGH与正方形A′B′C′D′的面积分别为1cm2和85cm2，则图2中阴影部分的面积是（）A．15cm2B．30cm2C．36cm2D．60cm27．如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（）A．47 B．62 C．79 D．988．如图，点O在线段AB上，AO＝2，OB＝1，OC为射线，且∠BOC＝60°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒．当△ABP是直角三角形时，t的值为（）A．B．C．1或D．1或9．如图，P是等边△ABC形内一点，连接PA、PB、PC，PA：PB：PC＝3：4：5，以AC为边在形外作△AP′C≌△APB，连接PP′，则以下结论错误的是（）A．△APP'是正三角形B．△PCP'是直角三角形C．∠APB＝150°D．∠APC＝135°二．填空题（共6小题）10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，AB＝10，BE＝8，DE＝6，则AD的长是．11．如图，四边形ABCD的每个顶点都在边长为1的正方形格点上，延长DC与过点B的水平格线交于点E，则线段BE的长为．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝6cm，线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，要使△QPA和△ABC全等，则AP＝．13．如图，一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，爬行的最短路线有条．14．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB＝13，EF＝7，那么AH等于．15．一个三角形有两边长分别为15和20，第三边上的高为12，则第三边的长为．三．解答题（共7小题）16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，若点P从点A出发，以每秒2cm 的速度沿折线A﹣B﹣C﹣A运动，设运动时间为t秒．（1）AC＝cm；（2）若点P恰好在∠ABC的角平分线上，求此时t的值：（3）在运动过程中，当t为何值时，△ACP为等腰三角形．17．学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米．请你设法帮小明算出旗杆的高度．18．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．（1）在图①中，以格点为端点，画线段MN＝；（2）在图②中，以格点为顶点，画正方形ABCD，使它的面积为10．19．如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B离地面0.6m，荡秋千到AB的位置时，下端B距静止位置的水平距离EB等于2.4m，距地面1.4m，求秋千AB的长．20．如图，小明所在学校的旗杆BD高约为13米，距离旗杆20米处刚好有一棵高约为3米的香樟树AE，活动课上，小明有意在旗杆与香樟树之间的连线上来回踱步，发现有一个位置到旗杆顶部与树顶的距离相等，请你求出该位置与旗杆之间的距离．21．（1）如图1，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．求该长方体中能放入木棒的最大长度；（2）如图2，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程．（3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？22．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连结AP．（1）当t＝3秒时，求AP的长度（结果保留根号）；（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；（3）过点D做DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD？参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：A、三条边的比为1：2：3，12+22≠32，故本选项符合题意．B、三条边满足关系a2+c2＝b2，故本选项不符合题意．C、三条边的比为1：2：3，12+12＝（）2，故本选项不符合题意．D、三个角满足关系∠B+∠C＝∠A，则∠A为90°，故本选项不符合题意．故选：A．2．【解答】解：∵OP＝1，OP1＝，OP2＝，OP3＝＝2，OP4＝，…，以此类推，OP2018＝．故选：C．3．【解答】解：由图可得，A与B的面积的和是E的面积；C与D的面积的和是F的面积；而E，F的面积的和是G的面积．即A、B、C、D、E、F、G的面积之和为3个G的面积．∵G的面积是62＝36cm2，∴A、B、C、D、E、F、G的面积之和为36×3＝108cm2．故选：D．4．【解答】解：由折叠可得，A'C＝AC＝3，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，∴BC＝＝4，∵A'B+A'C≥BC，∴A'B≥BC﹣A'C＝4﹣3＝1，∴A'B的最小值为1，故选：B．5．【解答】解：A、12+（）2＝（）2，此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；B、52+122＝132，此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；C、12+32＝（）2，此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；D、12+12≠22，此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；故选：D．6．【解答】解：∵正方形EFGH与正方形A′B′C′D′的面积分别为1cm2和85cm2‘∴EF＝FG＝GH＝HF＝1，A′B′＝B′C′＝C′D′＝A′D′＝设四个直角三角形的较短边为x，则在Rt△A′ED′中，D′E＝2x，A′E＝2x+1，由题意得（2x）2+（2x+1）2＝85，化简得2x2+x﹣21＝0∴x1＝3，x2＝﹣3.5（舍）∴A′F＝C′H＝6，AE＝CG＝4∴图2中阴影部分的面积是（3×6÷2+3×4÷2）×2＝30故选：B．7．【解答】解：由题可得，3＝22﹣1，4＝2×2，5＝22+1，……∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，∴当c＝n2+1＝65时，n＝8，∴x＝63，y＝16，∴x+y＝79，故选：C．8.【解答】解：分三种情况考虑：当∠A＝90°，即△ABP为直角三角形时，∵∠BOC＞∠A，且∠BOC＝60°，∴∠A≠90°，故此情况不存在；当∠B＝90°，即△ABP为直角三角形时，如图所示：∵∠BOC＝60°，∴∠BPO＝30°，∴OP＝2OB＝2，∵OP＝2t，∴t＝1；当∠APB＝90°，即△ABP为直角三角形时，过P作PD⊥AB，∴OD＝OP•cos∠BOC＝t，PD＝OP•sin∠BOC＝t，∴AD＝AO+OD＝2+t，BD＝OB﹣OD＝1﹣t，即AB＝3，在Rt△ABP中，根据勾股定理得：AP2+BP2＝AB2，即（2+t）2+（t）2+（t）2+（1﹣t）2＝32，解得：t＝或（负值舍去），综上，当t＝1或t＝时，△ABP是直角三角形．故选：C．9．【解答】解：△ABC是等边三角形，则∠BAC＝60°，又△AP'C≌△APB，则AP＝AP′，∠PAP′＝∠BAC＝60°，∴△APP'是正三角形，又PA：PB：PC＝3：4：5，∴设PA＝3x，则：PP′＝PA＝3x，P′C＝PB＝4x，PC＝5x，根据勾股定理的逆定理可知：△PCP'是直角三角形，且∠PP′C＝90°，又△APP'是正三角形，∴∠AP′P＝60°，∴∠APB＝150°错误的结论只能是∠APC＝135°．故选：D．二．填空题（共6小题）10．【解答】解：∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∵AB＝10，BE＝8，∴AE＝＝＝6，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB＝90°，∴AD＝＝＝6．故答案为：6．11．【解答】解：过C作CF⊥BE于F，∵四边形ABCD的每个顶点都在格点上，∴四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°＝∠BCE，∴△BCF∽△CEF，∴，∴，∴，∴BE＝＝＝．故答案为：．12．【解答】解：①当AP＝CB时，∠C＝∠QAP＝90°，在Rt△APQ与Rt△CBA中，，∴Rt△APQ≌Rt△CBA（HL），即AP＝BC＝6cm；②当P运动到与C点重合时，AP＝AC，∠C＝∠QAP＝90°，在Rt△QAP与Rt△BCA中，，∴Rt△QAP≌Rt△BCA（HL），即AP＝AC＝12cm．综上所述，AP＝6cm或12cm．故答案为：6cm或12cm．13．【解答】解：如果要爬行到顶点B，有三种情况：若蚂蚁爬行时经过面AD，可将这个正方体展开，在展开图上连接AB，与棱a（或b）交于点D1（或D2），小蚂蚁线段AD1→D1B（或AD2→D2B）爬行，路线最短；类似地，蚂蚁经过面AC和AE爬行到顶点B，也分别有两条最短路线，因此，蚂蚁爬行的最短践线有6条．故答案为：6．14．【解答】解：∵AB＝13，EF＝7，∴大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，∴四个直角三角形面积和为169﹣49＝120，设AE为a，DE为b，即4×ab＝120，∴2ab＝120，a2+b2＝169，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝169+120＝289，∴a+b＝17，∵a﹣b＝7，解得：a＝12，b＝5，∴AE＝12，DE＝5，∴AH＝12﹣7＝5．故答案为：5．15．【解答】解：①第三边上的高在三角形内部；如图所示，AB＝20，AC＝15，AD＝12，∵AD是高，∴△ABD、△ACD是直角三角形，∴BD＝＝＝16，同理：CD＝＝9，∴BC＝BD+CD＝16+9＝25；②第三边上的高在三角形外部；如图所示，AB＝20，AC＝15，AD＝12，∵AD是高，∴△ABD、△ACD是直角三角形，∴BD＝＝＝16，同理：CD＝＝9，∴BC＝BD﹣CD＝16﹣9＝7．综上所述，第三边的长度为25或7．故答案是：25或7．三．解答题（共7小题）16．【解答】解：（1）∵△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，∴AC＝＝6cm，故答案为：6；（2）如图，过P作PD⊥AB于D，∵BP平分∠ABC，∠C＝90°，∴PD＝PC，BC＝BD＝8，∴AD＝10﹣8＝2，设PD＝PC＝y，则AP＝6﹣y，在Rt△ADP中，AD2+PD2＝AP2，∴22+y2＝（6﹣y）2，解得y＝，∴CP＝，∴t＝＝＝s；当点P与点B重合时，点P也在∠ABC的角平分线上，此时，t＝＝5；综上所述，点P恰好在∠ABC的角平分线上，t的值为或5；（3）分四种情况：①如图，当P在AB上且AP＝CP时，∠A＝∠ACP，而∠A+∠B＝90°，∠ACP+∠BCP＝90°，∴∠B＝∠BCP，∴CP＝BP，∴P是AB的中点，即AP＝AB＝5，∴t＝＝；②如图，当P在AB上且AP＝CA＝6时，t＝＝3；③如图，当P在AB上且AC＝PC时，过C作CD⊥AB于D，则CD＝＝，∴Rt△ACD中，AD＝，∴AP＝2AD＝，∴t＝＝；④如图，当P在BC上且AC＝PC＝6时，BP＝8﹣6＝2，∴t＝＝6．综上所述，当t＝或3或或6s时，△ACP为等腰三角形．17．【解答】解：设旗杆的高为x米，则绳子长为x+1米，由勾股定理得，（x+1）2＝x2+52，解得，x＝12米．答：旗杆的高度是12米．18．【解答】解：（1）如图①所示：（2）如图②所示．19．【解答】解：设AB＝AB′＝x，由题意可得出：B′E＝1.4﹣0.6＝0.8（m），则AE＝AB﹣0.8，在Rt△AEB中，∵AE2+BE2＝AB2，∴（x﹣0.8）2+2.42＝x2解得：x＝4，答：秋千AB的长为4m．20．【解答】解：根据题意可得：AE＝3m，AB＝20m，BD＝13m．如图，设该位置为点C，且AC＝xm．由AC＝xm得：BC＝（20﹣x）m（1分）由题意得：CE＝CD，则CE2＝CD2，∴32+x2＝（20﹣x）2+132，解得：x＝14，∴CB＝20﹣x＝6，由0＜14＜20可知，该位置是存在的．答：该位置与旗杆之间的距离为6米．21．【解答】解：（1）由题意得：该长方体中能放入木棒的最大长度是：（cm）．（2）分三种情况可得：AG＝cm＞AG＝cm ＞AG＝cm，所以最短路程为cm；（3）∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，∴A′D＝5cm，BD＝12﹣3+AE＝12cm，∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B＝＝13（Cm）．22．【解答】解：（1）根据题意，得BP＝2t，PC＝16﹣2t＝16﹣2×3＝10，AC＝8，在Rt△APC中，根据勾股定理，得AP＝＝＝2．答：AP的长为2．（2）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝16，根据勾股定理，得AB＝＝＝8若BA＝BP，则 2t＝8，解得t＝4；若AB＝AP，则BP＝32，2t＝32，解得t＝16；若PA＝PB，则（2t）2＝（16﹣2t）2+82，解得t＝5．答：当△ABP为等腰三角形时，t的值为4、16、5．（3）若P在C点的左侧，CP＝16﹣2t．AP＝20﹣2t （20﹣2t）2＝（16﹣2t）2+82解得：t＝5，若P在C点的右侧，CP＝2t﹣16．AP＝2t﹣12；（2t﹣12）2＝（2t﹣16）2+82解得：t＝11答：当t为5或11时，能使DE＝CD．。
北师大新版八年级 上册 第一章 勾股定理 培优训练 (解析版)
第一章勾股定理培优训练一．选择题1．下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（）A．7，24，25 B．9，12，15 C．32，42，52D．，，2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，下列说法中错误的是（）A．如果∠C﹣∠B＝∠A，那么∠C＝90°B．如果∠C＝90°，那么c2﹣a2＝b2C．如果（a+b）（a﹣b）＝c2，那么∠A＝90°D．如果∠A＝30°，那么AC2＝3BC23．直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，斜边上的高为h，下列结论：①a2+b2＝c2；②ab＝ch；③．其中正确的是（）A．①B．①②③C．①②D．①③4．等腰三角形的一边长为4，另一边长为6，则这个等腰三角形的面积是（）A．3B．8C．6D．3或85．如图，开口玻璃罐长、宽、高分别为16、6和6，在罐內点E处有一小块饼干碎末，此时一只蚂蚁正好在罐外长方形ABCD的中心H处，蚂蚁到达饼干的最短距离是多少（）A．B．C．D．176．若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三边长的平方为（）A．25 B．7 C．25或7 D．25或167．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AB上，AD＝AC，AF⊥CD 交CD于点E，交CB于点F，则CF的长是（）A．1.5 B．1.8 C．2 D．2.58．如图，Rt△ADC，Rt△BCE与Rt△ABC按如图方式拼接在一起，∠ACB＝∠DAC＝∠ECB＝90°，∠D＝∠E＝45°，AB＝16，则S Rt△ADC+S Rt△BCE为（）A．16 B．32 C．160 D．1289．图1是我国著名的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形所围成将四个直角三角形的较短边（如AF）向外延长1倍得到点A′，B′，C′，D′，并连结得到图2．已知正方形EFGH与正方形A′B′C′D′的面积分别为1cm2和85cm2，则图2中阴影部分的面积是（）A．15cm2B．30cm2C．36cm2D．60cm2二．填空题10．将一副三角尺按图所示叠放在一起，若AB＝6cm，则阴影部分的面积是cm2．11．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，底边BC＝6，点P是底边BC上任意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE＝．12．如图，点A、B、C分别是正方体展开图的小正方形的顶点，则∠BAC的大小为．13．如图，已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝5，分别以Rt△ABC三条边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为．14．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这条边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，一条直角边为3，如果Rt△ABC是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”的长等于．15．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝2，则BF的长为．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的取值为．三．解答题（共7小题）17．用图1中四个完全一样的直角三角形可以拼成图2的大正方形解答下列问题：（1）请用含a、b、c的代数式表示大正方形的面积．方法1 ；方法2 ．（2）根据图2，利用图形的面积关系，推导a、b、c之间满足的关系式．（3）利用（2）的关系式解答：如果大正方形的面积是25，且（a+b）2＝49，求小正方形的面积．18．（1）勾股定理的证法多样，其中“面积法”是常用方法，小明发现：当四个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明勾股定理．（写出勾股定理的内容并证明）（2）已知实数x，y，z满足：，试问长度分别为x、y、z的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的面积；如果不能，请说明理由．19．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其中的“面积法”给了李明灵感，他惊喜地发现；当两个全等的直角三角形如图（1）摆放时可以利用面积法”来证明勾股定理，过程如下如图（1）∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2证明：连接DB，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，则DF＝b﹣aS四边形ADCB＝S△ADC+S△ABC＝﹣b2+abS四边形ADCB＝S△ADB+S△BCD＝c2+a（b﹣a）∴b2+ab＝c2+a（b﹣a）化简得：a2+b2＝c2请参照上述证法，利用“面积法”完成如图（2）的勾股定理的证明如图（2）中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c220．如图1，A村和B村在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和4千米，又知道CD的长为4千米．（1）现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水．有两种方案备选方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即AC+AB）．（如图2）方案2：作A点关于直线CD的对称点A'，连接A'B交CD于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道AM和BM．（即AM+BM）（如图3）从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适．（2）有一艘快艇Q从这条河中驶过，当快艇Q在CD中间，DQ为多少时？△ABQ为等腰三角形？21．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝3cm，AB＝6m，点P在线段AC 上以1cm/s的速度由点C向点A运动，同时，点Q在线段AB上以2cm/s的速度由点A 向点B运动，设运动时间为t（s）．（1）当t＝1时，判断△APQ的形状，并说明理由；（2）当t为何值时，△APQ与△CQP全等？请写出证明过程．22．（1）（操作发现）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C 的对应点为C′，连接BB′，则∠AB′B＝．（2）（问题解决）如图2，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝，PC＝1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长；（3）（灵活运用）如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝，BP＝，PC＝1，求∠BPC的度数．参考答案与试题解析一．选择题1．下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（）A．7，24，25 B．9，12，15 C．32，42，52D．，，【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．【解答】解：A、72+242＝252，符合勾股定理的逆定理，故不符合题意；B、92+122＝152，符合勾股定理的逆定理，故不符合题意；C、（32）2+（42）2≠（52）2，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意；D、（）2+（）2＝（）2，符合勾股定理的逆定理，故不符合题意．故选：C．2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，下列说法中错误的是（）A．如果∠C﹣∠B＝∠A，那么∠C＝90°B．如果∠C＝90°，那么c2﹣a2＝b2C．如果（a+b）（a﹣b）＝c2，那么∠A＝90°D．如果∠A＝30°，那么AC2＝3BC2【分析】根据直角三角形的定义以及勾股定理的逆定理一一判断即可．【解答】解：A、∵∠C﹣∠B＝∠A，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，故本选项正确，不符合题意．B、∵∠C＝90°，∴c2＝a2+b2，∴c2﹣a2＝b2，故本选项正确，不符合题意．C、∵（a+b）（a﹣b）＝c2，∴a2﹣b2＝c2，∴a2＝b2+c2，∴∠A＝90°，故本选项正确，不符合题意．D、∠A＝30°，不能推出AC2＝3BC2，故本选项错误，符合题意．故选：D．3．直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，斜边上的高为h，下列结论：①a2+b2＝c2；②ab＝ch；③．其中正确的是（）A．①B．①②③C．①②D．①③【分析】利用直角三角形的面积及勾股定理求证每一个选项，即可得出结论．【解答】解：∵直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，斜边上的高为h，∴由勾股定理可知：a2+b2＝c2，①正确；这个直角三角形的面积＝ab＝ch，∴ab＝ch，②正确；∴a2b2＝c2h2，∴＝＝＝＝，③正确．故选：B．4．等腰三角形的一边长为4，另一边长为6，则这个等腰三角形的面积是（）A．3B．8C．6D．3或8【分析】因为已知长度为4和6两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．【解答】解：①当4为底时，其它两边都为6，4、6、6可以构成三角形，底边上的高为＝4，∴等腰三角形的面积＝×＝8；②当4为腰时，其它两边为4和6，∵4+4＝6，∴不能构成三角形，故舍去．∴底边上的高为＝＝，∴等腰三角形的面积＝×6＝3．故选：D．5．如图，开口玻璃罐长、宽、高分别为16、6和6，在罐內点E处有一小块饼干碎末，此时一只蚂蚁正好在罐外长方形ABCD的中心H处，蚂蚁到达饼干的最短距离是多少（）A．B．C．D．17【分析】做此题要把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算．【解答】解：①若蚂蚁从平面ABCD和平面CDFE经过，蚂蚁到达饼干的最短距离如图1：H′E＝＝，②若蚂蚁从平面ABCD和平面BCEH经过，则蚂蚁到达饼干的最短距离如图2：H′E＝＝17，故选：C．6．若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三边长的平方为（）A．25 B．7 C．25或7 D．25或16【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，﹣4|＝0，∴（a﹣3）2，b﹣4＝0，∴a＝3，b＝4，∴直角三角形的第三边长＝＝5，或直角三角形的第三边长＝＝，∴直角三角形的第三平方为25或7，故选：C．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AB上，AD＝AC，AF⊥CD 交CD于点E，交CB于点F，则CF的长是（）A．1.5 B．1.8 C．2 D．2.5【分析】连接DF，由勾股定理求出AB＝5，由等腰三角形的性质得出CE＝DE，由线段垂直平分线的性质得出CF＝DF，由SSS证明△ADF≌△ACF，得出∠ADF＝∠ACF＝∠BDF＝90°，设CF＝DF＝x，则BF＝4﹣x，在Rt△BDF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：连接DF，如图所示：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∵AD＝AC＝3，AF⊥CD，∴CE＝DE，BD＝AB﹣AD＝2，∴CF＝DF，在△ADF和△ACF中，，∴△ADF≌△ACF（SSS），∴∠ADF＝∠ACF＝90°，∴∠BDF＝90°，设CF＝DF＝x，则BF＝4﹣x，在Rt△BDF中，由勾股定理得：DF2+BD2＝BF2，即x2+22＝（4﹣x）2，解得：x＝1.5；∴CF＝1.5；故选：A．8．如图，Rt△ADC，Rt△BCE与Rt△ABC按如图方式拼接在一起，∠ACB＝∠DAC＝∠ECB＝90°，∠D＝∠E＝45°，AB＝16，则S Rt△ADC+S Rt△BCE为（）A．16 B．32 C．160 D．128【分析】根据勾股定理可求AC2+BC2的值，再根据等腰直角三角形的性质和三角形面积公式即可求解．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝16，∴AC2+BC2＝256，∵∠DAC＝∠ECB＝90°，∠D＝∠E＝45°，∴AD＝AC，BC＝CE，∴S Rt△ADC+S Rt△BCE＝256×＝128．故选：D．9．图1是我国著名的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形所围成将四个直角三角形的较短边（如AF）向外延长1倍得到点A′，B′，C′，D′，并连结得到图2．已知正方形EFGH与正方形A′B′C′D′的面积分别为1cm2和85cm2，则图2中阴影部分的面积是（）A．15cm2B．30cm2C．36cm2D．60cm2【分析】由正方形EFGH与正方形A′B′C′D′的面积分别为1cm2和85cm2‘，可得大小正方形的边长，设四个直角三角形的较短边为x，则在Rt△A′ED′中，由勾股定理可求出x，从而可求出相关三角形的边长，即可求出阴影部分的面积．【解答】解：∵正方形EFGH与正方形A′B′C′D′的面积分别为1cm2和85cm2‘∴EF＝FG＝GH＝HF＝1，A′B′＝B′C′＝C′D′＝A′D′＝设四个直角三角形的较短边为x，则在Rt△A′ED′中，D′E＝2x，A′E＝2x+1，由题意得（2x）2+（2x+1）2＝85，化简得2x2+x﹣21＝0∴x1＝3，x2＝﹣3.5（舍）∴A′F＝C′H＝6，AE＝CG＝4∴图2中阴影部分的面积是（3×6÷2+3×4÷2）×2＝30故选：B．二．填空题（共7小题）10．将一副三角尺按图所示叠放在一起，若AB＝6cm，则阴影部分的面积是cm2．【分析】解直角三角形求出AC，再证明AC＝CF即可解决问题．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝6cm，∠B＝30°，∴AC＝AB＝3cm，∵△ADE是等腰直角三角形，∴∠CAF＝45°，∴∠AFC＝∠CAF＝45°，∴AC＝CF＝3cm，∴S阴＝•CF＝cm2，故答案为11．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，底边BC＝6，点P是底边BC上任意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE＝ 4.8 ．【分析】连接AP，过A作AF⊥BC于F，由图可得：S△ABC＝S△ABP+S△ACP，代入数值，解答出即可．【解答】解：连接AP，过A作AF⊥BC于F，∵AB＝AC＝5，∴BF＝CF＝BC＝3，由勾股定理得：AF＝＝4，由图可得，S△ABC＝S△ABP+S△ACP，∵PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，∴+，＝×5PE，24＝5（PD+PE），∴PD+PE＝4.8，故答案为：4.8．12．如图，点A、B、C分别是正方体展开图的小正方形的顶点，则∠BAC的大小为45°．【分析】分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，继而可得出∠BAC的度数．【解答】解：连接BC．根据勾股定理可以得到：AB＝BC＝，AC＝2，∵（）2+（）2＝（2）2，即AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是等腰直角三角形．∴∠BAC＝45°．故答案为：45°．13．如图，已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝5，分别以Rt△ABC三条边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 6 ．【分析】根据勾股定理求出AB，分别求出三个半圆的面积和△ABC的面积，即可得出答案．【解答】解：在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，由勾股定理得：AC＝＝4，所以阴影部分的面积S＝×π×（）2+×π×（）2+×3×4﹣×π×（）2＝6．故答案为：6．14．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这条边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，一条直角边为3，如果Rt△ABC是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”的长等于3或2．【分析】“有趣中线”分三种情况，两个直角边跟斜边，而直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，不符合；两个直角边，有一种情况有趣中线为3．另一个为另一条直角边上的中线，利用勾股定理求出即可．【解答】解：“有趣中线”有三种情况：若“有趣中线”为斜边AB上的中线，直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，不合题意；若直角边BC为3，“有趣中线”为AC边上的中线，有趣中线”的长＝3；若“有趣中线”为另一直角边AC上的中线，BC＝3，如图所示：设BD＝2x，则CD＝x，在Rt△CBD中，根据勾股定理得：BD2＝BC2+CD2，即（2x）2＝32+x2，解得：x＝，则△ABC的“有趣中线”的长＝2；综上所述，这个三角形“有趣中线”的长等于3或2．15．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝2，则BF的长为 5 ．【分析】过D作DG⊥AC于G，根据角平分线的性质得到DG＝DE＝2，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．【解答】解：过D作DG⊥AC于G，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DG＝DE＝2，∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，∴AC•BF＝AB•DE+AC•DG，∴×4•BF＝×6×2+×4×2，∴BF＝5，故答案为：5．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC 以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的取值为5或t＝8或t＝．【分析】当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．【解答】解：在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16，∴BC＝4（cm）；①当AB＝BP时，如图1，t＝5；②当AB＝AP时，如图2，BP＝2BC＝8cm，t＝8；③当BP＝AP时，如图3，AP＝BP＝tcm，CP＝（4﹣t）cm，AC＝3cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，所以t2＝32+（4﹣t）2，解得：t＝，综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝．故答案为：5或t＝8或t＝．三．解答题（共7小题）17．用图1中四个完全一样的直角三角形可以拼成图2的大正方形解答下列问题：（1）请用含a、b、c的代数式表示大正方形的面积．方法1 a2+b2；方法2 c2．（2）根据图2，利用图形的面积关系，推导a、b、c之间满足的关系式．（3）利用（2）的关系式解答：如果大正方形的面积是25，且（a+b）2＝49，求小正方形的面积．【分析】（1）方法1、根据图2是由4个完全一样的直角三角形和1个小正方形构成的，所以其面积＝1个正方形的面积+4个三角形的面积；方法2、观察图形发现图2是一个正方形，所以其面积＝边长2；（2）根据（1）写出a、b、c之间的等量关系；（3）直接用（2）的结论求出结果．【解答】解：（1）方法1：大正方形的面积＝（a﹣b）2+4×ab＝a2+b2，方法2：大正方形的面积＝c2；故答案为：a2+b2，c2；（2）因为大正方形的面积相等，所以a2+b2＝c2；（3）由（2）知，a2+b2＝c2．又（a+b）2＝49，所以 2ab＝49﹣（a2+b2）＝49﹣c2＝49﹣25＝24．所以小正方形的面积＝25﹣24＝1．18．（1）勾股定理的证法多样，其中“面积法”是常用方法，小明发现：当四个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明勾股定理．（写出勾股定理的内容并证明）（2）已知实数x，y，z满足：，试问长度分别为x、y、z的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的面积；如果不能，请说明理由．【分析】（1）根据S五边形面积＝S梯形面积1+S梯形面积2＝S正方形面积+2S直角三角形面积即可求解；（2）确定题中各式在实数范围内有意义，根据二次根式的意义，列不等式组，列方程组求解．【解答】（1）证明：∵S五边形面积＝S梯形面积1+S梯形面积2＝S正方形面积+2S直角三角形面积，即：（b+a+b）b+（a+a+b）a＝c2+2×ab，即ab+a2+b2ab＝c2+ab，即：a2+b2＝c2；（2）解：根据二次根式的意义，得，解得x+y＝8，∴+＝0，根据非负数的意义，得解得x＝3，y＝5，z＝4，∵32+42＝52，∴可以组成三角形，且为直角三角形，面积为6．19．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其中的“面积法”给了李明灵感，他惊喜地发现；当两个全等的直角三角形如图（1）摆放时可以利用面积法”来证明勾股定理，过程如下如图（1）∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2证明：连接DB，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，则DF＝b﹣aS四边形ADCB＝S△ADC+S△ABC＝﹣b2+abS四边形ADCB＝S△ADB+S△BCD＝c2+a（b﹣a）∴b2+ab＝c2+a（b﹣a）化简得：a2+b2＝c2请参照上述证法，利用“面积法”完成如图（2）的勾股定理的证明如图（2）中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2【分析】首先连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b﹣a，表示出S五边形ACBED，两者相等，整理即可得证．【解答】证明：连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b﹣a，∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABE+S△ADE＝ab+b2+ab，又∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABD+S△BDE＝ab+c2+a（b﹣a），∴ab+b2+ab＝ab+c2+a（b﹣a），∴a2+b2＝c2．20．如图1，A村和B村在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和4千米，又知道CD的长为4千米．（1）现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水．有两种方案备选方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即AC+AB）．（如图2）方案2：作A点关于直线CD的对称点A'，连接A'B交CD于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道AM和BM．（即AM+BM）（如图3）从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适．（2）有一艘快艇Q从这条河中驶过，当快艇Q在CD中间，DQ为多少时？△ABQ为等腰三角形？【分析】（1）根据题意得到结果判断即可；（2）如图，①AQ1＝AB＝5或AQ4＝AB＝5时，②AB＝BQ2＝5或AB＝B5＝5时，③当AQ3＝BQ3时，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）方案1：AC+AB＝1+5＝6，方案2：AM+BM＝A′B＝＝，∵6＜，∴方案1更合适；（2）如图，①AQ1＝AB＝5或AQ4＝AB＝5时，CQ1＝CQ4＝＝2，∴QG＝2+2（舍去）或2﹣2（舍去）；②AB＝BQ2＝5或AB＝BQ5＝5时，DQ＝＝3，∴QG＝3+2＝5或3﹣2＝1（舍去），③G为CD中点时，当AQ3＝BQ3时，（GQ3+2）2+12＝（2﹣GQ3）2+42，解得：GQ3＝，DQ＝．故当DQ＝3或时，△ABQ为等腰三角形．21．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝3cm，AB＝6m，点P在线段AC 上以1cm/s的速度由点C向点A运动，同时，点Q在线段AB上以2cm/s的速度由点A 向点B运动，设运动时间为t（s）．（1）当t＝1时，判断△APQ的形状，并说明理由；（2）当t为何值时，△APQ与△CQP全等？请写出证明过程．【分析】（1）分别求出AP、AQ的长，根据等边三角形的判定推出即可；（2）根据全等的条件和已知分别求出AP、CP、AQ、CQ的长，根据全等三角形的判定推出即可；【解答】解：（1）△APQ是等边三角形，理由是：∵t＝1，∴AP＝3﹣1×1＝2，AQ＝2×1＝2，∴AP＝AQ，∵∠A＝60°，∴△APQ是等边三角形；（2）存在t，使△APQ和△CPQ全等．当t＝1.5s时，△APQ和△CPQ全等．理由如下：∵在Rt△ACB中，AB＝6，AC＝3，∴∠B＝30°，∠A＝60°，当t＝1.5，此时AP＝PC时，∵t＝1.5s，∴AP＝CP＝1.5cm，∵AQ＝3cm，∴AQ＝AC．又∵∠A＝60°，∴△ACQ是等边三角形，∴AQ＝CQ，在△APQ和△CPQ中，，∴△APQ≌△CPQ（SSS）；即存在时间t，使△APQ和△CPQ全等，时间t＝1.5；22．（1）（操作发现）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C 的对应点为C′，连接BB′，则∠AB′B＝45°．（2）（问题解决）如图2，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝，PC＝1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长；（3）（灵活运用）如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝，BP＝，PC＝1，求∠BPC的度数．【分析】（1）根据旋转角，旋转方向画出图形即可，只要证明△ABB′是等腰直角三角形即可；（2）将△BPC绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以∠AP′B＝150°，而∠BPC＝∠AP′B＝150°；过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，由∠MP′B＝30°，求出BM＝，P′M＝，根据勾股定理即可求出答案；（3）将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△AEB，与（1）类似：可得：∠EBP＝∠EBA+∠ABP＝∠ABC＝90°，求出∠BEP＝（180°﹣90°）＝45°，根据勾股定理的逆定理求出∠AP′P＝90°，推出∠BPC＝∠AEB＝90°+45°＝135°；【解答】解：（1）如图1所示，连接BB′，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，∴AB＝AB′，∠B′AB＝90°，∴∠AB′B＝45°，故答案为：45°；（2）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，将△BPC绕点B顺时针旋转60°得出△ABP′，如图2，∴AP′＝CP＝1，BP′＝BP＝，∠PBC＝∠P′BA，∠AP′B＝∠BPC，∵∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°，∴∠ABP′+∠ABP＝∠ABC＝60°，∴△BPP′是等边三角形，∴PP′＝，∠BP′P＝60°，∵AP′＝1，AP＝2，∴AP′2+PP′2＝AP2，∴∠AP′P＝90°，则△PP′A是直角三角形；∴∠BPC＝∠AP′B＝90°+60°＝150°；过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，∴∠MP′B＝30°，BM＝，由勾股定理得：P′M＝，∴AM＝1+＝，由勾股定理得：AB＝＝．（3）如图3，将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△AEB，与（1）类似：可得：AE＝PC＝1，BE＝BP＝，∠BPC＝∠AEB，∠ABE＝∠PBC，∴∠EBP＝∠EBA+∠ABP＝∠ABC＝90°，∴∠BEP＝（180°﹣90°）＝45°，由勾股定理得：EP＝2，∵AE＝1，AP＝，EP＝2，∴AE2+PE2＝AP2，∴∠AEP＝90°，∴∠BPC＝∠AEB＝90°+45°＝135°；。
北师大版八年级数学上册第一章 勾股定理 提高培优讲义：勾股定理、逆定理及应用(含答案)
cb a cbED CBACABcba北师大版八年级数学上册第一章 勾股定理 提高培优讲义：勾股定理、逆定理及应用 基础知识梳理模块一：勾股定理及证明 1．勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别是a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=． 即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．注：勾——较短的边、股——较长的直角边、弦——斜边． 2．勾股定理的证明： （1）弦图证明内弦图 外弦图221()42ABCD S a b c ab =-=+⨯正方形 221()42EFGH S c a b ab ==-+⨯正方形∴222a b c += ∴222a b c +=（2）“总统”法（半弦图）如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形：2()()112222ABCDa b a b S ab c +-==⨯+梯形∴222a b c += 3．勾股数：满足222a b c +=的三个正整数，称为勾股数．（1）3、4、5；6、8、10；9、12、15；12、16、20；15、20、25等． （2）(,,)a b c 是组勾股数，则(,,)ka kb kc （k 为正整数）也是一组勾股数. （3）3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；11、60、61等 （4）21a n =+，222b n n =+，2221c n n =++（n 为大于1的自然数）DC BAGF E H（5）22a m n =-，2b mn =，22c m n =+（m n >，且m 和n 均为正整数） 模块二：勾股定理逆定理及应用 1．勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么前两边的夹角一定是直角．即在ABC △中，如果222AC BC AC +=，那么ABC △是直角三角形．2．勾股定理的常见题型． 模块三：例题精讲（1）勾股证明的方法成百上千种，其中《几何原本》中的证法非常经典，是在一个我们非常熟悉的几何图形中实现的（如图所示），如果直角三角形ABC 的三边长为a ，b ，c （c 为斜边），以这三边向外作三个正方形，试利用此图证明222a b c +=．（2）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为__________．【解析】（1）如上图可知：ACF ADB △△≌，2ACED ADB S S =正方形△，2AFGP ACF S S =矩形△，∴2AFGP b S =矩形，同理2GHBP a S =矩形，∴222a b c +=． （2）49cm 2．（1）若把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（ ）． A ．1倍 B ．2倍 C ．3倍 D ．4倍cbaNMHFE DCBAN（2）若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为________．（3）下面几组数：①7，8，9；②12，9，15；③22m n +，22m n -,2mn （m ，n 均为正整数，m n >）；④2a ，21a +，22a +．其中能组成直角三角形的三边长的是（ ）． A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．③④【解析】（1）B ；（2）可知三边为3，4，5，所以周长为12； （3）B ；容易知道①错误②正确，对于③，由2224224()2m n m m n n -=-+，222(2)4mn m n =，2224224()2m n m m n n +=++所以2222422422222()(2)(2)4()m n mn m m n n m n m n -+=-++=+． 所以，以这三条线段的长为边的三角形是直角三角形．答案选B ．ABC △中，BC a =，AC b =，AB c =．若90C ∠=︒，如图3-1，根据勾股定理，则222a b c +=．若ABC △不是直角三角形，如图3-2，90C ∠<︒；如图3-3，90C ∠<︒．请你类比勾股定理，试猜想22a b +与2c 的关系，并证明你的结论．图3-1 图3-2 图3-3【解析】图2猜想：222a b c +>．证明：过点A 作AD BC ⊥于D ，设CD x =，222AD b x =-，22222222()()2c a x b x a ax x b x =-+-=-++-，即22220a b c ax +-=>，故222a b c +>．图1a b c b ccb a A B CA B C C B Aa bcbcAA B C C B a bcABC DabcAC B图3猜想：222a b c +<．证明：过B 作BD AC ⊥，交AC 的延长线于D ．设CD 为x ，则有222BD a x =-．根据勾股定理，得2222()b x a x c ++-=． 即2222a b bx c ++=，∵0b >，0x >，∴20bx >，∴222a b c +<．（1）如果直角三角形的两边长为4、5，则第三边长为________． （2）如果直角三角形的三边长为10、6、x ，则最短边上的高为________．（3）若|1|0a b --，则以a 、b 为边的直角三角形的第三边为________．在ABC △中，15AB =，13AC =，高12AD =，则三角形的周长是_________．【解析】32或42．【提示】题型：已知三角形的两边及第三边高求第三边，B 卷填空必考题，一般题目无图，为易错题，切记要分类讨论,分形内高和形外高．（1）如图6-1，四边形ABCD 中，AB BC ⊥，1AB =，2BC =，2CD =，3AD =，求四边形ABCD 的面积．（2）如图6-2，在四边形ABDC 中，BD CD ⊥，6BD =，8CD =，24AB =，26AC =，求该四边形面积．Da bcABC图6-1 图6-2（2）96．四边形ABDC 的面积为96． 连接BC ，根据勾股定理可得10BC =，因为222BC AB AC +=，所以ABC △为直角三角形， 故四边形ABDC 的面积1202496ABC BCD S S S =-=-=△△．（1）如图，梯子AB 长2.5米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 位置，BD 长0.5米，则梯子顶端A 下落了________米．（2）梯子靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离2米，梯子的顶端B 到地面的距离为7米，现将梯子的底端向外移动到C ，使梯子底端C 到墙根O 的距离等于3米，同时梯子的顶端B 下降至D ，那么BD （ ）A ．等于1米B ．大于1米C ．小于1米D ．以上结果都不对 （3）如图，梯子AB 斜靠在墙面上，AC BC ⊥，AC BC =，当梯子的顶端A 沿AC 方向下滑x 米时，梯子B 沿CB 方向滑动y 米，则x 与y 的大小关系是（ ） A ．x y = B ．x y > C ．x y <D ．不确定【解析】（1）0.5；（2）C ；（3）选B ，设AC BC a ==米，AB CDDC BA EA BCD化简得222()0a x y x y -=+>，x y >．（1）若直角三角形斜边长为4，周长为4+________．（2）如图，ABC △中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D，若AD =，BC =ABC △的周长．（2）222AB AC AB AC ⎧+=⎪⎨⨯=⎪⎩6AB BC +=，6ABC C =+△．（1）已知9-1，如图所示，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，如果8cm AB =，10cm BC =，求EC 的长．（2）如图9-2，已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在'C 处，'BC 交AD 于E ，16AD =，8AB =，则DE 的长度为________．（3）如图9-3，矩形纸片ABCD 的长9cm AD =，宽3cm AB =，沿EF 将其折叠，使点D 与点B 重合，则折痕EF 的长为________cm ．图9-1 图9-2 图9-3【解析】（1）由题意得，10cm AF AD ==．在ABF △中，应用勾股定理得，6cm BF =．EDC'CB A所以1064FC BC BF cm =-=-=．在CEF △中，应用勾股定理，设cm EC x =， 得222(8)4x x -=+．解得3x =，即3cm EC =． （2）设ED x =，因为CBD EBD EDB ∠=∠=∠， 则EB ED x ==，16AE AD ED x =-=-， 在Rt E AB △中，由勾股定理可得： 222(16)8x x +=-，∴10x =，即10DE =．（3）设AE x =，因为BEF DEF BFE ∠=∠=∠， 则9BE DE B x F ===-，根据勾股定理得：222AB AE BE +=，即222239(9)x x x +=+=-，解得：4x =； ∴4AE =，∴5DE BF ==，∴4CF DM ==，∴1EM =，根据勾股定理得：EF ==；若0x >，0y >且12x y +=【解析】如下图，不妨设12AB =，AC AB ⊥，BD AB ⊥，2AC =，3BD =，P 为线段AB 上的动点，AP x =，于是PB y =，PC，PD 问题转化为求点C ，D 之间距离的最小值．当P ，C ，D 三点不共线时，有PC PD CD +>；当P ，C ，D 共线时，PC PD CD +=． 于是点C ，D13．【教提示】数形结合，几何构造，将军饮马．模块四：课后作业设计y 2+9x 2+432y xPDC B ADCA1、如图1-1，分别以直角三角形A 、B 、C 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用1S 、2S 、3S 表示，则不难证明123S S S =+） （1）如图1-2，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用1S 、2S 、3S 表示，那么1S 、2S 、3S 之间有什么关系？（不必证明）（2）如图1-3，分别以直角三角形A 、B 、C 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用1S 、2S 、3S 表示，请你确定1S 、2S 、3S 之间的关系并加以证明．图1-1 图1-2 图1-3【解析】（1）设BC 、CA 、AB 长分别为a 、b 、c ，则222c a b =+，123S S S =+；（2）123S S S =+．证明如下：显然，21S =，22S =，23S ， ∴222231)S S a b S +=+==． 【点评】分别以直角三角形ABC 三边为一边向外作“相似形”，其面积对应用1S 、2S 、3S 表示，则123S S S =+（设斜边所做图形面积为1S ）．2、已知a ，b ，c 是三角形的三边长，222a n n =+，21b n =+，2221c n n =++（n 为大于1的自然数），试说明ABC △为直角三角形．【解析】因为222212221n n n n n ++>+>+，222222(221)(22)441(21)n n n n n n n ++-+=++=+．所以22222(21)(22)(221)n n n n n +++=++，所以ABC △为直角三角形．3、如图，四边形ABCD 中，6cm AB =，8cm BC =，24cm CD =，26cm DA =，且90ABC ∠=︒，则四边形ABCD 的面积是（ ）cm 2．A ．336B ．144C ．102D ．无法确定B CS 1S 2图图图1A B C S 1S 3S 2图图2A BC S 1S 3S 2图3ABDC【解析】答案：B ．连接AC ，运用勾股定理逆定理．4、如图，一根长5米的竹篙AB 斜靠在与地面垂直的墙上，顶端A 距离墙根4米，若竹篙顶端A 下滑1米，则底端B 向外滑行了多少米？【解析】设竹篙顶端下滑1米到1A 点，底端向外滑行到1B 点．由题意得AA 1=1m ，113m AC AC AA =-=， 在11Rt ACB△中：14m B C ， 在Rt ABC△中：3m BC ==， 111BB B C BC m =-=，即竹篙顶端A 下滑1米，则底端B 向外滑行了1米．5、（1）（在ABC △中15AB =，13AC =，高12AD =，则ABC S =△_______．（2）如图，ABC △中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，若AD =，BC =ABC △的周长为________．【解析】（1）24或84（分类讨论：行外高和行内高，对应例5）（2）4+8考查直角三角形与知二推二综合）．6、（1）如图6-1，已知ABC △是直角边长为1的等腰直角三角形，以Rt ABC △的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt ACD △，再以Rt ACD △的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt ADE △，……，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是________．ABC（2）如图6-2，矩形ABCD 中，5cm AB =，3cm BC =，如图所示折叠矩形纸片ABCD ，使D 点落在边AB 上一点E 处，折痕端点G 、F 分别在边AD 、DC 上，则当折痕端点F 恰好与C 点重合时，AE 的长为________cm ．图6-1 图6-2（3）若0x >，0y >且15x y +=________．【解析】（1）由题意可得：第1个等腰直角三角形，ABC △中，斜边长1AB BC ==，AC； 第2个等腰直角三角形，ACD △中，斜边长22AD ===； 第3个等腰直角三角形，ADE △中，斜边长3AE ==； 依此类推，……第n个等腰直角三角形中，斜边长为n ． （2）F 点与C 点重合时（如图），∵在矩形ABCD 中，5AB =，3BC =， ∴5CD AB ==，90B ∠=︒， 由折叠的性质可得：5CE CD ==，∴4BE =， ∴1AE AB BE =-=．（3）答案：25（对应例题10，几何构造）．GFED CB A。
1.1 探索勾股定理 北师大版八年级数学上册培优练(含答案)
1.1探索勾股定理姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2019秋•英德市期末）如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（ ）A．4B．8C．16D．64【分析】根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形PQED的面积和正方形PRQF的面积分别表示出PR的平方及PQ的平方，又三角形PQR为直角三角形，根据勾股定理求出QR的平方，即为所求正方形的面积．【解析】∵正方形PQED的面积等于225，∴即PQ2＝225，∵正方形PRGF的面积为289，∴PR2＝289，又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：PR2＝PQ2+QR2，∴QR2＝PR2﹣PQ2＝289﹣225＝64，则正方形QMNR的面积为64．故选：D．2．（2019秋•高新区校级期中）若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三边长的平方为（ ）A．25B．7C．25或7D．25或16【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，根据勾股定理即可得到结论．【解析】∵a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，∴（a﹣3）2＝0，b﹣4＝0，∴a＝3，b＝4，∴直角三角形的第三边长=32+42=5，或直角三角形的第三边长=42―32=7，∴直角三角形的第三平方为25或7，故选：C．3．（2021春•金牛区校级月考）下列三条线段不能组成直角三角形的是（ ）A．3、4、5B．5、12、13C．8、15、17D．4、5、6【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解析】A、32+42＝52，故能组成直角三角形，故不符合题意；B、52+122＝132，故能组成直角三角形，故不符合题意；C、152+82＝172，故能组成直角三角形，故不符合题意；D、52+42≠62，故不能组成直角三角形，故符合题意．故选：D．4．（2019秋•滨海县期中）两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（ ）A．（a+b）2＝c2B．（a﹣b）2＝c2C．a2+b2＝c2D．a2﹣b2＝c2【分析】用两种方法求图形面积，一是直接利用梯形面积公式来求；一是利用三个三角形面积之和来求．【解析】根据题意得：S=12（a+b）（a+b），S=12ab+12ab+12c2，∴12（a+b）（a+b）=12ab+12ab+12c2，即（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，整理得：a2+b2＝c2．故选：C．5．（2020秋•亭湖区校级期中）如图，在赵爽弦图中，已知直角三角形的短直角边长为a，长直角边长为b，大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，则ab的值是（ ）A．10B．8C．7D．5【分析】根据勾股定理解答即可．【解析】设大正方形的边长为c，则c2＝a2+b2＝20，小正方形的面积（a﹣b）2＝4，∴20﹣2ab＝4，解得：ab＝8，故选：B．6．（2020秋•明溪县期中）如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形无缝隙地铺成一个大正方形，已知大正方形面积为25，（x+y）2＝49，用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列选项中正确的是（ ）A．小正方形面积为4B．x2+y2＝5C．x2﹣y2＝7D．xy＝24【分析】根据勾股定理解答即可．【解析】根据题意可得：x2+y2＝25，故B错误，∵（x+y）2＝49，∴2xy＝24，故D错误，∴（x﹣y）2＝1，故A错误，∴x2﹣y2＝7，故C正确；故选：C．7．（2020秋•东港市期中）如图，是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的个大正方形，若大正方形的面积是17，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a，b，则（a+b）2的值是（ ）A．13B．25C．33D．144【分析】根据正方形的面积公式以及勾股定理，结合图形进行分析发现：大正方形的面积即直角三角形斜边的平方17，也就是两条直角边的平方和是17，四个直角三角形的面积和是大正方形的面积减去小正方形的面积即2ab＝16．根据完全平方公式即可求解．【解析】根据题意，结合勾股定理a2+b2＝17，四个三角形的面积＝4×12ab＝17﹣1，∴2ab＝16，联立解得：（a+b）2＝17+16＝33．故选：C．8．（2019秋•昌平区期末）如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（ ）A．47B．62C．79D．98【分析】依据每列数的规律，即可得到a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，进而得出x+y的值．【解析】由题可得，3＝22﹣1，4＝2×2，5＝22+1，……∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，∴当c＝n2+1＝65时，n＝8，∴x＝63，y＝16，∴x+y＝79，故选：C．9．（2019秋•建湖县期中）如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACB，交AB于E，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC、CF于M、F，若EM＝3，则CE2+CF2的值为（ ）A．36B．9C．6D．18【分析】根据角平分线的定义可以证明出△CEF是直角三角形，再根据平行线的性质以及角平分线的定义证明得到EM＝CM＝MF然后求出EF的长度，然后利用勾股定理列式计算即可求解．【解析】∵CE平分∠ACB交AB于E，CF平分∠ACD，∴∠1＝∠2=12∠ACB，∠3＝∠4=12∠ACD，∴∠2+∠3=12（∠ACB+∠ACD）＝90°，∴△CEF是直角三角形，∵EF∥BC，∴∠1＝∠5，∠4＝∠F，∴∠2＝∠5，∠3＝∠F，∴EM＝CM，CM＝MF，∵EM＝3，∴EF＝3+3＝6，在Rt△CEF中，CE2+CF2＝EF2＝62＝36．故选：A．10．（2021春•越秀区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且，且S1＝4，S3＝16，则S2＝（ ）A．20B．12C．25D．23【分析】根据勾股定理求出AC2，得到答案．【解析】由勾股定理得，AC2＝AB2﹣BC2＝16﹣4＝12，则S2＝AC2＝12，故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2021春•武汉期中）一竖直的木杆在离地面4米处折断，木杆顶端落在地面离木杆底端3米处，木杆折断之前的高度为 9 米．【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．【解析】∵一竖直的木杆在离地面4米处折断，顶端落在地面离木杆底端3米处，∴折断的部分长为42+32=5（米），∴折断前高度为5+4＝9（米）．故答案为：9．12．（2021春•隆回县期中）已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，且AD＝3，AC＝6，则AB ＝ 12 ．【分析】先根据CD⊥AB于D，AD＝3，AC＝6得到∠ACD是30°，再利用同角的余角相等得到∠B＝∠ACD＝30°，所以AB＝2AC＝12．【解析】∵CD⊥AB于D，AD＝3，AC＝6，∴∠ACD＝30°，∵CD⊥AB于D，∴∠B+∠BCD＝90°，又∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠B＝∠ACD＝30°，∵AC＝6，∴AB＝2AC＝12．故答案为12．13．（2021•龙泉驿区模拟）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝BC＝13，CD是中线，则CD的长为 12 ．【分析】由AC＝BC，CD是中线得出△ABC是等腰三角形，CD⊥AB，然后由勾股定理求出CD即可．【解析】∵AC＝BC，∴△ABC是等腰三角形，∵CD是等腰三角形底边上的的中线，∴CD⊥AB，∵AB＝10，∴AD＝5，∴在Rt△CAD中，AD=AC2―AD2=132―52=12，故答案为：12．14．（2021春•安宁市校级期中）如图，已知正方形A的面积为25，如果正方形C的面积为169，那么正方形B的面积为 144 ．【分析】结合勾股定理和正方形的面积公式，得字母B所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积差．【解析】根据题意知正方形的A面积为25，正方形C的面积为169，则字母B所代表的正方形的面积＝169﹣25＝144．故答案为：144．15．（2021春•天津期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC，AB为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，若S3＝9π，则S1+S2等于 9π ．【分析】根据勾股定理和圆的面积公式，可以得到S1+S2的值，从而可以解答本题．【解析】∵∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∵S1＝π（AC2）2×12，S2＝π（BC2）2×12，S3＝π（AB2）2×12，∴S1+S2＝π（AC2）2×12+π（BC2）2×12=π（AB2）2×12=S3，∵S3＝9π，∴S1+S2＝9π，故答案为：9π．16．（2021•富阳区二模）有一根长33厘米的木棒（粗细忽略），木箱的长、宽、高分别为24厘米、18厘米、16厘米，这根木棒理论上 能 （填“能”或“不能”）放进木箱．【分析】在木箱中，一角的顶点与斜对的不共面的顶点的距离最大，根据木箱的长、宽、高可求出最大距离，然后和木棒的长度进行比较即可．【解析】设放入长方体盒子中的最大长度是xcm，根据题意得：x2＝242+182+162＝1156，∵332＝1089，1089＜1156，∴能放进去，故答案为：能．17．（2021春•江汉区期中）直角三角形两条直角边长分别为3和4，则该直角三角形周长为 12 ．【分析】直接利用勾股定理得出斜边长，进而得出答案．【解析】设Rt△ABC的斜边长为x，则由勾股定理得：x2＝32+42＝25，∴解得：x＝5（负数舍去），∴此直角三角形的周长＝3+4+5＝12．故答案为：12．18．（2021春•海淀区校级期中）如图，一棵高为16m的大树被台风刮断，若树在离地面6m处折断，树顶端刚好落在地可上，此处离树底部 8 m处．【分析】首先设树顶端落在离树底部x米处，根据勾股定理可得62+x2＝（16﹣6）2，再解即可．【解析】设树顶端落在离树底部x米处，由题意得：62+x2＝（16﹣6）2，解得：x1＝8，x2＝﹣8（不合题意舍去）．故答案为：8．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2019春•宁都县期中）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”可翻译为：有一根竹子高一丈，今在A处折断，竹梢落在地面的B处，B与竹根部C相距3尺，求折断点A与地面的高度AC．（注：1丈＝10尺）【分析】设AC＝x，可知AB＝10﹣x，再根据勾股定理即可得出结论．【解析】设AC＝x，∵AC+AB＝10，∴AB＝10﹣x．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，即x2+32＝（10﹣x）2．解得：x＝4.55，即AC＝4.55．20．（2019春•望花区期末）我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水尺．引葭赴岸，适与岸齐问水深、葭长各几何译文大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．问水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．【解析】设水深x尺，芦苇（x+1）尺，由勾股定理：x2+52＝（x+1）2，解得：x＝12，x+1＝13，答：水深12尺，芦苇的长度是13尺．21．（2018秋•台儿庄区校级月考）“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为130米，这辆小汽车超速了吗？【分析】利用勾股定理列式求出BC，再根据速度＝路程÷时间求出小汽车的速度，然后化为千米/小时的单位即可得解．【解析】由勾股定理得，BC=AC2―AB2=1302―502=120米，v＝120÷6＝20米/秒，∵20×3.6＝72，∴20米/秒＝72千米/小时，72＞70，∴这辆小汽车超速了．22．（2018秋•晋江市期末）如图，一架2.5m长的梯子AB斜靠在墙AC上，梯子的顶端A离地面的高度为2.4m，如果梯子的底部B向外滑出1.3m后停在DE位置上，则梯子的顶部下滑多少米？【分析】根据勾股定理即可得到结论．【解析】由题意得，AB＝DE＝2.5，AC＝2.4，BD＝1.3，∵∠C＝90°，∴BC=AB2―AC2=2．52―2．42=0.7，∴CD＝BC+BD＝2，∵CE=DE2―CD2=2．52―22=1.5，∴AE＝AC﹣CE＝2.4﹣1.5＝0.9，答：梯子的顶部下滑0.9米．23．（2020秋•盐湖区期中）如图是一底面周长为24m，高为6m的圆柱形油罐，一只老鼠欲从距地面1m的A处沿侧面爬行到对角B处吃食物，请算出老鼠爬行的最短路程为多少？【分析】延AC和BD剪开，将曲面平铺在平面上，过AE作AE⊥BD于E，根据勾股定理求出线段AB 的长即可．【解析】延AC和BD剪开，将曲面平铺在平面上，过AE作AE⊥BD于E，如图，∵底面周长为24m，高为6m的圆柱形油罐，∴AE＝12m，BE＝6﹣1＝5（m），在Rt△AEB中，由勾股定理得：AB=AE2+BE2=122+52=13（m），∴老鼠爬行的最短路程为13m．24．（2018秋•灵石县期中）阅读材料，回答问题：（1）中国古代数学著作《周脾算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，径隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．“上述记载表明了在Rt△ABC中，如果∠C ＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，那么a，b，c三者之间的数量关系是：（2）对于这个数量关系，可以利用面积法进行了证明．已知四个全等的直角三角形围成如图所示的正方形，请你参考右图，将下面的证明过程补充完整；证明：∵S△ABC=12ab，S正方形ABCD＝c2，S正方形EFGB＝ （a+b） 又∵S正方形EFGB＝ 4S△ABF + S正方形ABCD ，∴ （a+b）2 ＝ 4×12ab + c2 ，整理得a2+2ab+b2＝2ab+c2，∴ a2+b2＝c2 ．【分析】（1）根据勾股定理解答即可；（2）根据题意、结合图形，根据完全平方公式进行计算即可．【解析】（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，由勾股定理得，a2+b2＝c2，故答案为：a2+b2＝c2；（2）证明：∵S△ABC=12ab，S正方形ABCD＝c2，S正方形EFGB＝（a+b）2又∵S正方形EFGB＝4S△ABF+S正方形ABCD，∴（a+b）2＝4×12ab+c2，整理得a2+2ab+b2＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2．故答案为：（a+b）2；4S△ABF；S正方形ABCD，（a+b）2，c2，a2+b2＝c2．。
北师大版八年级数学上册 第1章 勾股定理 单元同步培优、能力提升练习及解析
北师大版八年级数学上册第1章勾股定理单元同步培优、能力提升练习及解析1．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是32cm ，则另一条直角边的长是（）A.4cmB.34cmC.6cmD.36cm2．△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（）A.42B.32C.42或32D.37或333．一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动()A .9分米B .15分米C .5分米D .8分米4．如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．5.等腰△ABC 的腰长AB ＝10cm ，底BC 为16cm ，则底边上的高为，面积为.6.一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为．7．一天，小明买了一张底面是边长为260cm 的正方形，厚30cm 的床垫回家．到了家门口，才发现门口只有242cm 高，宽100cm ．你认为小明能拿进屋吗？．【知识点1小结】在直角三角形中，若已知任意两边，就可以运用勾股定理求出第三边．无直角时，可作垂线构造直角三角形.勾股定理的作用：（1）计算；（2）证明带有平方的问题；（3）实际应用．【题组练习2】8.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（）第4题图A .0B .1C .2D .39.如图所示，在△ABC 中，三边a ,b ,c 的大小关系是（）A .a ＜b ＜cB .c ＜a ＜bC .c ＜b ＜aD .b ＜a ＜c10.第七届国际数学教育大会的会徽主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的.设其中的第一个直角三角形OA 1A 2是等腰三角形，且OA 1=A 1A 2=A 2A 3=A 3A 4=……=A 8A 9=1，请你先把图中其它8条线段的长计算出来，填在下面的表格中：OA 2OA 3OA 4OA 5OA 6OA 7OA 8ABC第8题图第10题图第9题图【知识点2小结】利用勾股定理可以画出长度是无理数的线段，也就可以在数轴上画出表示无理数的点．领会和掌握数形结合的数学思想方法11．【易错题】如图，圆柱形玻璃杯高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_cm．12．【易错题】铁路上A、B两站（视为直线上两点）相距25km，C、D两村庄（视为两个点）DA⊥AB 于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在铁路上建一个土特产收购站E使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？13．【作图题】如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，任意连结这些小正方形的顶点，可得到一些线段.请在图中画出13CD、这样的线段，并选择其中的一个说明这AB、=EF=52=样画的道理.第13题图14．【情景题】“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km /h .如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m 处，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m ，这辆小汽车超速了吗？15.【生活应用题】将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为320cm ，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图.求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h .彩旗完全展平时的尺寸如左图的长方形（单位：cm ）.16.【趣味题】如图，一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ．（1）如果梯子的顶端下滑1m ，那么梯子的底端也将下滑1m 吗？说明你的方法；（2）如果梯子的顶端下滑2m 呢？说说你的理由．第14题图A小汽车小汽车BC观测点12090第15题图第16题图17.【探究题】已知：正方形的边长为1，如图，可以计算出正方形的对角线长为2.如图,求两个并排成的矩形的对角线的长.n 个呢？（2）若把18-1-2-10（c ）、（d ）两图拼成如下“L ”形，过C 作直线交DE 于A ，交DF 于B .若DB =35，求DA 的长度.典题实战18．如图，以等腰三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA 1，再以等腰直角三角形ABA 1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A 1BB 1，……，如此作下去，若OA ＝OB ＝1，则第n 个等腰直角三角形的面积S n ＝________.19.如图，在ΔABC 中，AB =AC =10，BC =8．用尺规作图作BC 边上的中线AD （保留作图痕迹，不要求写作法、证明），并求AD 的长．20、一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图，火柴盒的一个侧面ABCD 倒下到AB C D '''的位置，连结CC '，设,,AB a BC b AC c ===，请利用四边形BCC D ''第17图D 第18题图ABC第19题图的面积证明勾股定理：222a b c +=.21、如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会会标中的图案，其中四边形ABCD 和EFGH 都是正方形.证：△ABF ≌△DAE.（第21题图）aD 'AB 'DC 'AABCb c 第20题图22、仔细观察图形，认真分析各式，然后解答问题.;23,4)3(;22,312(;21,211(322212==+==+==+S S S （1）请用含有n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA 10的长；（3）求出210232221S S S S ++++ 的值．课外链接美丽的勾股树你可能去过森林公园，看到过许许多多千姿百态的植物．可是你是否见过如下的勾股树呢?你知道这是如何画出来的吗?仔细看看，你就会发现那一个个细小的部分正是我们学过的勾股图，一个一个连接在一起，构成了多么奇妙美丽的勾股树!动手画画看，相信你也能画出其他形态的勾股树．1……S 1A 2S2A3S3S 4S 5A 6A 5A4A1O11111参考答案1.C2.C3.D4.105.6cm ,24cm 26.6,8,107.能8.C9.B10.依次填22,7,6,5,2,3,211.分三种情况讨论，最短距离是5cm 12.解：如答图，若设AE ＝x ，则BE ＝25－x ．∵DA ⊥AB 于A在Rt △ADE 中，由勾股定理得AD 2＋AE 2＝DE 2∵CB ⊥AB 于B ．∴在Rt △ECB 中EB 2＋BC 2＝CE 2∵DE ＝CE∴DE 2＝CE 2∴AD 2＋AE 2＝EB 2＋BC 2∴152＋x 2＝(25－x )2＋102x ＝10答：E 站应建在距A 站10km 处．13.略14.车速为72km /h ,这辆小汽车超速了。
新北师大版八上数学培优训练第一章勾股定理1
16、如图，一等腰三角形底边上的高为2㎝，周长为8㎝，求此三角形的面积。
17、吴林刚种植了一棵小树，为了防止小树向左右倾斜，他用两根木棒固定它，两根木棒的一端都固定在小树的B处，另一端分别固定在地面的C、D处（如图），经测量：点B到地面的距离AB=1.2米，木棒BC、BD的长分别是1.3米、1.5米，点A、C、D在同一条直线上，求CD长。
第一章综合检测卷
一、选择题
1、1．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A、25B、14C、7D、7或25
2、下列以a,b,c为边长的三角形是直角三角形的是（）
A、 B、
C、 D、
3、如图：直角三角形三边上的半圆面积分别为S 、S 、S ，下列结论正确的是（）
A、S + S ＞S B、S + S ＜S C、S + S =S D、S + S =S
21、为了测量旗杆AB的高度，小明将升旗的绳子向右拉到点C处，并在绳子上打了一个结，测得点C到旗杆底部的距离CB=9 m，然后再将绳子向右拉到D处，又在绳子上打了一个结，如图所示，测得CD=7 m，两个结之间的距离为5 m，设AC= m，
（1）用 的代数式表示AB的平方：或。
（2）求出 的值。
（3）求旗杆AB的高度。
23、如图：在长方形ABCD中，AB=12，AD=8，点E在BC的延长线上，点F是AB的中点，连结DE、DF、EF，
（1）求DF的长。
（2）当CE=9时，△DEF是直角三角形？为什么？
（3）已知△DEF是等腰三角形，那么CE等于多少？
第一章 勾股定理 课后培优2021-2022学年北师大版 数学八年级上册 (word版 含答案)
第一章 勾股定理一、单选题1．下列四组线段中，能组成直角三角形的是（ ）A ．a=1，b=2，c=3B ．a=2，b=3，c=4C ．a=2，b=4，c=5D ．a=3，b=4，c=52．如图，在ABC 中，90C ︒∠=，2AC =，点D 在BC 上，ADC 2B ∠=∠，AD =则BC 的长为（ ）A 1B 1C 1D 1 3．ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别记为a ，b ，c ，由下列条件不能判定ABC 为直角三角形的是（ ）A ．∠A+∠B=∠CB ．∠A ：∠B ：∠C=1：2：3C ．a 2=c 2﹣b 2D ．a ：b ：c=3：4：64．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x 尺，则可列方程为（ ）A ．()22610x x =--B ．()222610x x =-- C ．()22610x x +=- D ．()222610x x +=- 5．如图，Rt∠ABC 中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将∠ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为PQ ，则线段BQ 的长度为（ ）A ．53B ．52C ．4D ．56．在ABC ∆中，15AB =，13AC =，高12AD =，则三角形的周长是（ ）A ．42B ．32C ．42或32D ．37或33 7．已知一直角三角形的木版，三边的平方和为1800，则斜边长为 （ ） A ．80 B ．30 C ．90 D ．120 8．如图，圆柱的高为8cm ，底面半径为6πcm ，一只蚂蚁从点A 沿圆柱外壁爬到点B 处吃食，要爬行的最短路程是（ ）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cm 9．如图，一客轮以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一客轮同时以12海里/时的速度从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）A ．25海里B ．30海里C ．35海里D ．40海里 10．如图所示，AC BD ⊥，O 为垂足，设22m AB CD =+，22n AD BC =+，则m ，n 的大小关系为（ ）A ．m n <B ．m n >C ．m n =D ．不确定 11．如图，为修铁路需凿隧道AC ，测得90A B ∠+∠=，130AB m =，120BC m =，若每天凿隧道5m ，则把隧道凿通需要（ ）A ．10天B ．9天C ．8天D ．11天 12．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两直角边长分别为5和3，则小正方形的面积为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．113．如图，在ABC ∆中，CE 平分ACB ∠交AB 于点E ，CF 平分ACD ∠，//EF BC ，EF 交AC 于点M ，若5CM =，则22CE CF +=（ ）A ．75B ．100C ．120D ．125 14．如图，在∠ABC 中，AD ∠BC 于点D ，AB ＝17，BD ＝15，DC ＝6，则AC 的长为( )．A ．11B ．10C ．9D ．815．将一根长24cm 的筷子，置于底面直径为5cm 、高为12cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为cm h ，则h 的取值范围是（ ）A ．512h ≤≤B ．524h ≤≤C ．1112h ≤≤D ．1224h ≤≤二、填空题16．若一个三角形的三边长分别为5.12.13，则此三角形的最长边上的高为_____． 17．一直角三角形的两边长分别为5和12，则第三边的长是_______．18．如图，四边形ABCD 是正方形，AE ∠BE 于点E ，且AE ＝3，BE ＝4，则阴影部分的面积是_____．19．如图，一只蚂蚁从长、宽都是6，高是16的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所爬行的最短路线的长为________.20．一个透明的圆柱形的玻璃杯，测得其底面半径为3cm ，高为8cm ，今有一根长度为12cm 的细吸管斜放在杯子中，则吸管露出杯口外的长度最少为________.21．如图，长方形中ABCD ，1AB =，E ，F 分别为AD ，CD 的中点，沿BE 将ABE ∆折叠，若点A 恰好落在BF 上，则2AD =________.22．一个等腰三角形的周长是20cm ，底边上的高是5cm ，则这个三角形各边的长分别为________，面积为________.三、解答题23．如图所示，有一个直角三角形纸片，两直角边6cm AC =，8cm BC =，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？24．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB 由点A 行驶向点B ，已知点 C为一海港，且点 C 与直线AB 上两点A ，B 的距离分别为300km 和400km ，又AB=500km ，以台风中心为圆心周围250km 以内为受影响区域．（1）海港C 受台风影响吗？为什么？（2）若台风的速度为20km/h ，台风影响该海港持续的时间有 小时．25．如图，在ABC 中，D 是BC 上的一点，若10AB =，6BD =，8AD =，17AC =，求ABC 的面积．26．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小明以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图∠或图∠摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小明利用图∠证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图∠所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：222+=a b c证明：连结DB ，过点D 作BC 边上的高DF ，则DF=EC=b -a ，FC=DE=b ， ∠21122ACD ABC ADCB S SS b ab =+=+四形边 211()22ADB DCB ADCB S S S c a b a =+=+-四边形 221111()2222b abc a b a ∴+=+- 222a b c ∴+=请参照上述证法，利用图∠完成下面的证明：将两个全等的直角三角形按图∠所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：222+=a b c27．如图，4=AD ，3CD =，90ADC ∠=︒，13AB =，12BC =，求该图形的面积．28．如图，在由6个大小相同的小正方形组成的方格中，设每个小正方形的边长均为1. （1）如图∠，A ，B ，C 是三个格点（即小正方形的顶点），判断AB 与BC 的位置关系，并说明理由；∠+∠的度数（要求：画出示意图，并（2）如图∠，连接三格和两格的对角线，求αβ写出证明过程）.参考答案1．D2．D3．D4．D5．C6．C7．B8．C9．D10．C11．A12．A13．B14．B15．C16．60 1317．1318．1919．2020．2cm21．222．6.25cm，6.25cm，7.5cm 18.275cm 23．3解：在Rt三角形ABC中，由勾股定理可知：10=AB．由折叠的性质可知：DC DE =，AC AE =，DEA C ∠=∠．∠4BE =，90DEB ∠=︒．设DC x =，则8BD x =-．在Rt BDE 中，由勾股定理得：222BE ED BD +=，即()22248x x +=-． 解得：3x =．∠3CD =．24．（1）海港C 受台风影响， （2）7．解：（1）海港C 受台风影响．理由：如图，过点C 作CD∠AB 于D ，∠AC ＝300km ，BC ＝400km ，AB ＝500km ，∠AC 2＋BC 2＝AB 2．∠∠ABC 是直角三角形．∠AC•BC ＝CD•AB∠CD ＝240（km ）∠以台风中心为圆心周围250km 以内为受影响区域， ∠海港C 受到台风影响．（2）当EC ＝250km ，FC ＝250km 时，正好影响C 港口，∠ED 70（km ）∠EF ＝140km∠台风的速度为20km/h ，∠140÷20＝7（小时）即台风影响该海港持续的时间为7小时．25．84解：2222226810BD AD AB +=+==，ABD ∴∆是直角三角形，AD BC ∴⊥，在Rt ACD ∆中，15CD ==，61521BC BD CD ∴=+=+=，112188422ABC S BC AD ∆∴==⨯⨯=． 因此ABC ∆的面积为84． 26. 证明：如图，连接BD ，过点B 作DE 边上的高BF ，可得BF=b -a ∠21122ABE ADE ADEB S S S b ab =+=+四边形， 90,DAB ∠=︒∴ 211()22ADB DEB ADEB S S S c a b a =+=+-四边形 221111()2222b abc a b a ∴+=+- 222a b c ∴+=27．24解：连接AC ，在Rt ACD ∆中，4=AD ，3CD =，5AC ∴=，在ABC ∆中，22222251213AC BC AB +=+==，ABC ∆∴为直角三角形；∴图形面积为：11512342422ABC ACD S S ∆∆-=⨯⨯-⨯⨯=． 28．（1）AB BC ⊥， （2）45αβ∠+∠=︒， 【分析】 解：（1）AB BC ⊥，理由：如图∠，连接AC ，由勾股定理可得222125AB =+=，222125BC =+=，2221310AC =+=， 所以222AB BC AC +=，所以ABC ∆是直角三角形且90ABC ∠=︒， 所以AB BC ⊥，（2）45αβ∠+∠=︒.理由：如图∠，连接AB 、BC ，由勾股定理得222125AB =+=，222125BC =+=，2221310AC =+=，所以222AB BC AC +=，所以ABC ∆是直角三角形且90ABC ∠=︒.又因为AB BC =，所以ABC ∆是等腰直角三角形， ∠∠CAB ＝45°，在∠ABE 和∠FCD 中，590AE FD AEB FDC BE CD ︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩， ∠∠ABE∠∠FCD （SAS ）， ∠∠BAD ＝∠β， ∠∠α+∠β＝∠CAD+∠BAD=45°.6。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章
勾股定理
D
E
G
E
C
(
：
■
「 B
5
£ P
①
②
③
2.如图，EF 是正方形两对边中点的连线段，将/
A 沿DK 折叠，使它的顶点 A 落在EF 上的G
点，求/ DKG 的度数.
3.已知Rt △ ABC 中，/ ACB=90°, CA=CB 有一个圆心角为 45°，半径长等于 CA 的扇形 CEF 绕点
C 旋转，直线 CE CF 分别与直线 AB 交于点M N.
(1) 如图①，当AM=BN 寸，将△ ACM 沿 CM 折叠，点A 落在弧EF 的中点P 处，再将△ BCN
沿CN 折叠，点 B 也恰好落在点
P 处，此时， PM=AM PN=BN △ PMN 的形状是
________________ .线段AM B2 MN 之间的数量关系是 _________________________________ ; (2) ___ 如图②，当扇形 CEF 绕点C 在/ ACB 内部旋转时，线段 MN AM BN 之间的数量关 系是 ____ __________ •试证明你的猜想；
(3) __________ 当扇形 CEF 绕点C 旋转至图③的位置时，线段 MN AM BN 之间的数量关系是 _____________ .(不要求证明)
C. 5cm
D. 6cm
1.1探索勾股定理
专题一 有关勾股定理的折叠问题
1.如图，将边长为8cm 的正方形ABCD 折叠， 使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处， 折痕为MN 则线段CN 长是( )
A . 3cm
B . 4cm
专题二勾股定理的证明
4. 在教材中，我们通过数格子的方法发现了直角三角形的三边关系，利用四个完全相同的
直角三角形拼图的方式验证了勾股定理的正确性.
问题1：以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，探究S' + S〃与S的关系（如图1）. 问题2:以直角三角形的三边为斜边向外作等腰直角三角形，探究S' +S'与S的关系（如图2）.
问题3:以直角三角形的三边为直径向外作半圆，探究S' + S〃与S的关系（如图3）. 5. 如图，是用硬纸板做成的两
种直角三角形各有若干个，图①中两直角边长分别为a和b,斜边长为c;图②中两直角边长为c.请你动脑，将它们拼成能够证明勾股定理的图形.
（1）请你画出一种图形，并验证勾股定理.
（2）你非常聪明，能再拼出另外一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的图形（无需证明）.
C
1.2 一定是直角三角形吗
专题判断三角形形状
1. 已知a, b, c为厶ABC的三边，且满足a1 2c2-b 2c2=a4-b4,则它的形状为( )
A. 直角三角形
B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等腰三角形或直角三角形
2. 在厶ABC中, a=mi+n2, b=m i-n2, c=2mn,且m>n>0,
(1)你能判断厶ABC的最长边吗？请说明理由；
(2 )△ ABC是什么三角形，请通过计算的方法说明.
1请你分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含自然数n (n> 1)的代数式表示a, b, c.
2猜想：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？请证明你的猜想.
1.3勾股定理的应用
专题 最短路径的探究
1. 编制一个底面周长为 a 、高为b 的圆柱形花柱架，需用沿圆柱
表面绕织一周的竹条若干根，如图中的
ACB ， AC 2B 2,…，贝U
每一根这样的竹条的长度最少是 ________________ . 2. 请阅读下列材料：
问题：如图（1），一圆柱的底面半径和高均为 5dm, BC 是底面 直径，
求一只蚂蚁从 A 点出发沿圆柱表面爬行到点 C 的最短路线 小明设计了两条路线： 路线1 :侧面展开图中的线段 AC.如下图（2）所示：
路线1
:
l 12 AC 2
路线2 : l 22 (AB BC)2
5
•T 2
-l
1
l 2
• I I2 ,
(11)
丨2（填 ＞
或＜）
所以应选择路线 _____________ （填1或2）较短.
⑵请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为 r,高为h 时，应如何选择上
面的两条路线才能使蚂蚁从点 A 出发沿圆柱表面爬行到
C 点的路线最短.
Ci C1
2
设路线1的长度为|1，则丨1
AC 2 AB 2 BC 2 52 (5 )2 25 25 2 ；
路线2:高线AB +底面直径 BC 如上图（1） 设路线 2的长度为|2 , 则l 2
2
(AB BC)2
(5 10)2
225
比较两个正数的大 小，有时用它们的 平方来比较更方便
I 12
丨22
25 2 2
25 2 225 25
200
25( 2
8) 0.
••• I 12 I 22
|1 |2
所以要选择路线 （1）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的
底面半径为1dm,高AB 为5dn”’继续按前面的方式进行计算 请你帮小明完成下面的计算： 2较短。
所示,
18
3. 探究活动：有一圆柱形食品盒，它的高等于
8cm,底面直径为—cm,蚂蚁爬行的速度为
2cm/s.
(1)如果在盒内下底面的A处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点B处的食物，那么
它至少需要多少时间？(盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计，结果可含根号)
(2)如果在盒外下底面的A处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点至少需
要多少时间？(盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计)
勾股定理培优题
例1如图2-2，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A、C重合，?
若其长BC为a,宽AB为b,则折叠后不重合部分的面积是多少？
例2•如图2-3，把矩形ABCDft直线BD向上折叠，使点C落在C'的位置上,
已知AB=?3 BC=7重合部分厶EBD的面积为_________ .
例3 已知：如图2-7所示，△ ABC中, D是AB的中点，若AC=12 BC=5 CD=6 5.
求证：△ ABC是直角三角形.
例 4 如图2-10，△ ABC中, AB=AC=20 BC=32 D 是BC上一点，且ADL AC，求
BD的长.
B D
例 5 如图 2-12 , △ ABC 中，/ C=90 , M 是 BC 的中点，MDLAB 于 D. 求证：
A D=A C+
B D .
例6在Rt ABC 中， C 90 , CD AB 于D,求证:
/ CB 金90° ,求S 四边形 ABCD
证：
EFA= 90
(1) AB 2
AD 2
DB 2
2CD 2
2
(2) CD AD DB
例7、如图，已知四边形 ABCD 勺四边AB 12,
BC CD 和DA 的长分别为3、4、13、
例8、在正方形ABCD 中 , F 为DC 的中点, E 为BC 上一点,且EC= 1BC ,求
4
B
4
D
例9如图2-21所示.已知：在正方形ABCD^,/ BAC的平分线交BC于E,作
EF丄AC于F,作FGLAB于G.求证：A B=2FG.
n
例10如图2-22所示.人皿是厶ABC的BC边上的中线，求证：
AB+AC=2(AM+BM).
图2—22
例11如图2-23所示.求证：任意四边形四条边的平方和等于对角线的平方和加对角线中点连线平方的4倍.
B
閨2—23
例12如图2-24所示.已知△ ABC中, Z C=9C° , D, E分别是BC, AC上的任意
一点.求证：A D+B E=A B+D E.
例13求证：在直角三角形中两条直角边上的中线的平方和的4倍等于斜边平方
的5倍.
作业：
1: 已知：如图，△ ABC中，AB=AC, D为BC上任一点, 求证：AB2—AD2=BD • DC
B E D C
2 已知：钝角BAC , CD垂直BA延长线于D，求证:
2 2 2
BC AB AC 2 AB AD
3、已知：如图，在正方形ABCD中，E, F分别AB, AD上的点，又AB=12,
1
EF=10,A AEF的面积等于五边形EBCDF面积的，求AE, AF的长
5
检测提高
2 2 2
BD CD 2AD o 5、已知：如图， ABC 中，AB=AC=10, BC=16，点 D 在 BC 上，DA 丄CA 于 A 。
求：BD 的
长。
分析：因为 ABC 中，AB=AC ，可作 AE 丄BC 于E ,
CE ,可求。
根据勾股定理可列方程式求解。
6.如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD ,点D 落在BC 边的 占F 处 已知： AB=8cm BC=10cm 求 EC 的长。
1、 如图在 ABC 中， BAC = 90 , AD BC
于D,则图中互余的角有
A . 2对
B . 3对
C . 4对
D . 5对 2、
如果直角三角形的两边的长分别为 3、4，则斜边长为 ( ) 3
、 已知：四边形 ABCD 中，BD 、AC 相交于 O ，且 BD
AB 2 CD 2 AD 2 BC 2 o
4、已知：
AB AC ,且 AB AC , D 在BC
垂直AC ,求证：。