随机信号处理(计算)总结

例1.2两台车床加工同一种零件，从这100个零件中任取一个.设取得合格品为事件A，取得的是第1台加工的为B1，取得的是由第2台加工的为B2。求由各台车床加工时，出合格品的概率？

解：由第一台加工出合格品的概率为

，由第一台加工出合格品的概率为，

由概率的古典定义：

由条件概率公式求，

12

12

12

()()

0.350.5

()0.875,()0.833

()0.4()0.6

P AB P AB

P A B P A B

P B P B

===≈

＝＝

例1.5（例1.2续）求：取出的合格品是由第一台车床加工的概率？

解：取出的合格品是由第一台车床加工的概率

由贝叶斯公式，得：

例 1.10已知：求：①

○2

解：①

解②：由分布函数的图可得

例1.15设二维随机变量( X,Y)的概率密度

(),0,0

(,)

0,

x y

e x y

f x y

-+

?<<∞<<∞

=?

?其它求：①分布函数？②落在如图所示的三

角形域G内的概率？③求边缘分布函数(|)

X

f x y和()

Y

F y。④求边缘概率密度()

X

f x和

()

Y

f y。⑤求条件分布函数(|)

X

F x y和(|)

Y

F y x。⑥求条件概率密度(|)

X

f x y和(|)

Y

f y x。

⑦X和Y是否统计独立？

解：①分布函数

②落在三角形域G内的概率

1

()

P A B

2

()

P A B

12

12

()851000.85()401000.4,()601000.6

()351000.35()501000.5

P A P B P B

P A B P A B

======

====

，

，

1

()

P B A

12

1

1

12

()0.35()0.5

()0.35

()0.41

()()0.350.5

P AB P AB

P AB

P B A

P AB P AB

==

==≈

++

，

(0.5),(1 1.5),(1 1.5)

P X P X P X

≤<≤≤≤？

()()

(0)00

(1)(0)1/301

(2)(0)(1)1/212

(2)(0)(1)

F x P X x

P x x

P X P X x

P X P X P X x

P X P X P X P

=≤

<=<

?

?

<===≤<

?

=?

<==+==≤<

?

?>==+=+==≤

?

(0.5)(0.5)13

(1 1.5)(1.5)(1)1210

(1 1.5)(1.5)(1)(1)16

P X F

P X F F

P X F F P X

≤==

<≤=-=-=

≤≤=-+==

00

(,)(,)

(,)0,0

(1)(1),0,0

x y

XY

x y

x y

F x y f u v dudv

f u v dudv x y

e e x y

-∞-∞

--

=

?<<∞<<∞

?

=?

??

?--<<∞<<∞

=?

?

??

??

其它

，其它

11

()

00

111

1

000

1

11

{(,)}(,)

[](1)

()120.2642

y

x y

X Y

G

y

y x y y

y

P x y G f x y dxdy e dxdy

e e dx dy e e dy

e e dy e

-

-+

-

----+

---

∈==

==?-

=-=-=

????

???

?

2

()1

g X X

=+

()?

F x=

例1.22 随机变量X 在区间(a,b)上均匀分布，求 的数学期望。

解：由于X 服从均匀分布，概率密度为

函数的期望

例2.4 设随机过程 式中， 皆为常数， 是在 上均匀分布的随机变量。

试问： X( t )是否是平稳随机过程？为什么？ 解：由题意可知，随机变量 的概率密度为： 因而，我们根据定义式，求得过程X (t) 的均值，自相关函数和均方值分别为

可见，自相关函数仅与时间间隔 有关，均方值为“ ” 有限，故过程X( t )是宽平稳过

程。

例2.6 已知平稳过程X(t)的自相关函数为2

4()3615X R t t

=

++，求X(t)得均值和方差。

解：由平稳随机过程自相关函数的性质，2

()

36

X X m R =?

6X m ?= 2(0)()

40364X

X X R R s

=-?-=

例3·4 已知平稳过程X(t) 具有功率谱密度： 求其自相关函数，平均功率，均方值。

解：利用部分分式法 利用傅氏变换对:

∴自相关函数为： 平均功率为：

均方值：

2

484

()(0)5

15

15X

E X t R 轾=

=-

=

臌

1,()0,a x b f x b a ?<

=-???其它2

2

22

1[()]()()(1)11()1

3

b X a

b a

E g X g x f x dx x dx b a

x dx a ab b b a

∞-∞==+-+=

=

+++-???

0()cos()X t t a w F =+0,a w F (0,2)p F 1/2,02()0,f p f p

f F

ì<

0()[()]()()1cos()02X m t E X t x t f d t d p f f

a w f f p F ￥

- ===+?òò22

[()](,)(0)2X X E X t R t t R a ===< t 2

2

α

12002

0002

20000

2

0(,)(,)[()()][cos()cos(())]

[cos cos(22)]2

1[cos cos(22)]

2

2cos ()2X X X R t t R t t E X t X t E t t E t t d R p t t a w a w t a w t w w t a

w t w w t f f p

a w t t F F F =+=+=+?+=+++=+++

==ò

4

2

16()1336

X G w w w =

++22

2222

16()(4)(9)

16

16

4486554954159

X

G w w w w w w w =++=-=? ++++222e a t a a w 轾-犏?犏+臌

2348()5

15

X R e e

t

t

t --=? (0)()

2348484515515150X X R R e e P τττττ===?--?=?-?=-=????=

例4.3如图所示的低通RC 电路，已知输入信号X(t)是宽平稳的 双侧信号，其均值为m X ，求输出均值。

解：由电路知识可得此系统的冲激响应为：h(t)=be -bt U(t)， 其中b=1/RC 。则其输出均值为0

|bu Y X X X bu

m m be

du m e

m ∞-∞

-==-=?

4.4 X(t)是相关函数为

0()2

N δτ的白噪声求：

（1）输出的自相关函数。（2）输出的平均功率 （3）输入与输出间的互相关函数()XY R τ()YX R τ 解：1）由题意知0()()2

X N R τδτ=

输出自相关函数

00

00

()()[()()]2

()()2

Y N R h u u v h v dv du

N h u h u du

τδττ∞∞∞∴=+-?=+?

?

?

当输入是白噪声时，该系统输出的自相关函数正比于单位冲激响应函数的卷积。 于是，00

()

()()()()()2

Y N b u bu

R be

U u be

U u du τττ∞-+-=

+?

按 0τ≥ 与0τ< 两种情况求解： 当 0τ≥ 时，有2

000

2()2

4

Y N b N b b bu

b R e

e

du e

τ

τ

τ∞---=

=

?

利用自相关函数的偶对称性，则当 0τ< 时有：

0()()4

Y Y N b b R R e τ

ττ=-=

合并0τ≥ 和0τ< 的结果，得到输出自相关函数：

0||

()||4

Y N b b R e τττ-=

<∞，

2）在上式中令 0τ= ，即可得输出的平均功率为

2

0[()](0)4

Y Y N b E Y t R ===

P

由于b 是时间常数RC 的倒数，它也与系统的半功率带宽 f ?有关。其中：

1(H Z )22b f R C

ππ

?=

=

于是输出平均功率又可写为 ：2

[()]2

Y N E Y t f π==

??P

由此可见，该系统的输出平均功率随着系统的带宽变宽而线性的增大。 3）0000

()()()()()2

2

2

X Y N N N b b R u h u du h e U τ

τδτττ∞-=

-=

=

?

0000

()()()()()2

2

2

YX N N N b b R u h u du h e U τ

τδτττ∞=

+=-=

-?

例4.5在例4.4 中假设X(t)的自相关函数为0||

()4

X N R e

βτβτ-= 式中b β≠，求输出的自相

关函数。

解：

2

||

()()()()4

Y X u v bu

bv

R R u v h u h v dudv

N e b e

e

dudv

βτττβ∞∞∞∞-+---=

+-=

????

??

当0τ≥时，考虑到u ，v 均在0~∞之间变化，故先对v 积分方便。

2

00

202

2

()()()04

()0

4()

Y u v u v bu

bu

bu b N b

u R e

e e dv e e dv du

u N b

e

e b b

βτβτβτ

τ

βτττββ

τβ∞-+-+------?+∞??=?+???+??

?=

-

≥-?

??，

因自相关函数为τ的偶函数，所以0τ<时的()Y R τ表达式直接能直接由0τ≥时的表达式

()Y R τ- 写出。综合可得：202

2

||

||

()()4()

Y b N b

R e

e

b b βττββτβ--?=

-

-

例4.6、 利用频域分析法重做例4.4 解：因为 00()()()2

2

X X N N R G τδτω=

?=

()()()b bt h t be U t H b j ωω

-=??=

+

2

2

2

2

()b

H b ωω

∴=

+ 2

2

02

2

()()()2

Y X N b

G G H b ωωωω

=?=

?

+

0()4

Y b N b R e

τ

τ-∴=

?

例4.7 利用频域分析法重做例4.5 解：2

00

2

2

||()()4

2()

X X N N R e

G ββ

βττωβω?-=

?=

+

所以

2

2

2

02

2

2

2

2

0222222()()()2()()

224()Y X N b G H G b N b b b b b βωωωωβ

ωβ

ββββωω??==

++???=

?-???

-++??

对上式两边取傅里叶反变换得：

12

110

2222222

22()[()]

22[][]4()||||4()Y Y R F

G b N b

F F b b b b N b e e b b τωβββββωωβββττβ---=???=

?-??

-++?????

--=

-???-??

例4.8 设计一稳定的线性系统，使其在具有单位谱的白噪声激励下输出功率谱为： 2

42

2549

()109

Y G ωωωω+=

++

解：()Y G ω的复频域表达式为 2

4

2

4925()109Y s

G s s s -=

-+ 进行谱分解有：

2

2

(75)(75)(75)

(75)

()(1)(9)

(1)(3)(1)(3)

Y s s s s G s s s s s s s +-+-=

=

?

--++--

令75()(1)(3)

Y s G s s s ±=++ (75)()(1)(3)

Y s G s s s -=

--

因()Y G s 位于S 平面的所有极点121,3s s =-=-均在左半平面，所以选()Y G s 为()H s 。即75()()(1)(3)

Y s H s G s s s ±==

++所设计系统的传递函数为75()(1)(3)

j H j j ωωωω±=

++

例4.9 对前（例4.6）中的RC 电路，求其等效噪声带宽。 解：12b f R C

πω=

=?=?

2

2

2

2

()()

(0)1

()

()()M ax

b H H H b j b

b

b

H H H b j b j b ωωω

ωωωωω

ω

===+=?-=

?=

+-+

2

2

22

2

|()||()|2

2

.22

M ax

H d b

d b e

H b e f

f

e

ωω

π

π

ω

ωω

ωω

ω

ππ∞∞

?=

=

=?=?+??=

=??

?

例4.11设输入随机信号X （t ）是均值为0，自相关函数为0()2

N δτ的高斯白噪声，求输出

随机信号的一维概率密度函数。

解：因为高斯过程的积分仍然是高斯过程，所以()Y t 也是一个高斯过程，其一维概率密度

为

2

2

()1]2Y Y Y

y m f σ-=

-

，又Y m =0，()Y R τ= 0||

()4

Y b N b R e ττ?=

，则 2Y

σ= (0)Y R =

04N RC

,于是，输出()Y t

的一维概率密度为2

2())Y RCy f y N =

-

例6.1 求cos t W ，sin t W 的Hilbert 变换

解（1）

由于

是 的奇函数，所以第一项积分为0，而则 是 的偶函数，

又因为辛克函数积分

sin 0

[cos ]sgn()sin sin 0

t H t t t ΩΩ>?∴Ω=Ω?Ω=?

-ΩΩ

[cos ]sgn()sin H t t W W W \= 例6.2 设限带信号10(t)()cos t S a t w =，20(t)()sin t S a t w =其中a(t) 为低频限带信号，其

频谱为：

求 1(t )S ，2(t)S 的Hilbert 变换。

解： （1）利用傅氏变换的相乘性质，有

故而

1cos ()[cos ]111cos cos sin sin 1cos sin cos sin t H t d t t d t d t d t t p t t t t p t t t t t t

p t t

W W W W W W W W W W ￥- ￥- ゥ-?

+=-轾=-+犏犏臌轾

=

-+犏犏臌

òò蝌cos t t

W t sin t

t W t 0

2

sin [cos ]sin H t t d τ

τ

π

τ

∞Ω∴Ω=

?Ω??

,0sin 2

,0

2

a ax dx x a π

π∞?>??=??-

[cos ][sin ]H H t H t ?Ω=Ω[cos ]cos H H t t ?Ω=-Ωcos 0

[sin ]sgn()cos cos 0

t H t t t -ΩΩ>?Ω=-Ω?Ω=?ΩΩ

W W W =- 0

()||()2

0A A ωωωωω??

<

??

，

，其它

[]

0001

()cos ()()()2a t t

A w w p d w w d w w p

综*-++1001()[()()]

2

S A A w w w w w =

-++0101

(),02()1

(),0

2A S A w w w w w w w ì->??=í

?+

(),02?()sgn()()(),02j A S j S j A ωωωωωωωωω?-->??=-?=??+

001

?()sgn()()211{()()}22211{()()}222{()()}2

{()(2

j t

j t j t

j t j t j t

s

t j S e

dw

j A e d A e d j A e d A e d j F A F A j a t e

a w w w w w w w w p

w w w w w w p p w w w w w w p p w w w w ￥-

￥- ゥ-? ---=- 轾轾=+--犏犏犏犏臌臌

轾轾=+--犏犏犏犏臌臌

=+--=

-ò蝌蝌

000)}()()

2

j t

j t

j t

j t e

a t e

e

w w w -=?

02ω

ω?<由于，Hilbert 其的频谱22Hilbert （）利用性质2000?()[()sin ][()cos ]()cos s

t H a t t H H a t t a t t w w w ==?-100?()[()cos ]()sin s

t H a t t a t t w w ==即：