反三角函数与三角方程解读

高三数学-高考复习讲义-反三角函数与最简三角方程讲义资料(Word版)

高三数学二高考复一习讲义■反三角函数与最简三角方程、反三角函数的图像与性质、最简单三角方程的解集:1、反三角函数的定义1【例1】右sinx=— , x =[—为可，贝U x =.3【巩固训练】1.函数y =cosx,xw (-冗,0 )的反函数是2、反三角函数的性质与图像1【例2】求函数y = v arcsin-的定义域与值域. x【例3】求函数y =arcsin(1 —x) +arccos2x的值域. 【例4】.求函数y =arccos(x2 -2x)的单调区间【例5】.函数f x =xarcsinx ' a 【巩固训练】+ barccosx是奇函数的充要条件是2.求函数y = Jarcsin(x—6)的定义域和值域.3.写出下列函数的定义域2 、. x 互(1) y=2arcsinjx (2) y =arcsin(x +x) (3) y = log2 arccos——2 3，一一二x ,,4.求函数y =—+arccos-的反函数，并指出反函数的定乂域和值域2 2心一「冗5元"|…，一…一一一5.右arccos x= —,——,则x的取值氾围是<3 6」3、反三角函数的恒等式19【例6】arcsin I sin —二,124 c 5【例7】化间：arccos 2arccos—二5 5［例8］求下列各式的值:“、一 4 . ( 11) cos arccos- + arccos5一.二1 ,(2) sin —十—arctan1 - x -【例9】求y =arctanx + arctan -------- 的值.1 x【巩固训练】6.计算arcsin(cos2) = 16二、7.下列关系式中，正确的是（八.二3A.arcsin —二一3 2B.sin(arcsin，一2) =、. 21 .C.arccos 一一1= arcsinD.arctan — arctan —一=03 . 38.求值:… ，一，3(1)arctan 7 + arctan 一 4 (2),1-tan 25 arctan -------1 tan 25JI9 设——W x W0,求arcsin (cosx )-arccos (sin x )的值24、最简三角方程的解集x x【例10］斛方程：sin - - cos- =1 .2 2【例11】解方程：2sec2 x+19tan x =12 .【例12］解方程：sin2x+3sin xcosx+1 =0 .【例13］解方程：sin2x—12(sin x — cosx)+12 = 0 .【巩固训练】10.方程：sin x —、,r3cosx = J2在0,冗】上的解是11.方程：5cosx cos2x , sin x = 0在0,2二1上的解丸12.解方程：sin5x-cosx=013.解方程：sin 2x-12 (sin x-cosx )+12 = 05、综合应用【例14］解三角方程：asin(x +n =sin 2x+9,a 为一实常数. 4【巩固训练】14 .关于X 的方程3+2sin x +cosx = k 恒有解，求实数k 的取值范围.1 2sin x 3cosx【课后作业】1.函数y =arcsin(x-2 )的定义域为，值域为 2,若 x =」是方程 2cos(x +a ) = 1 的解其中 a w (0,2n ),则 a =3冗 JT3.若1=$的乂，x = .1--,—,则arccost 的取值范围是 ______________________ .一 6 3一..1 -2x .. _____ __ _ 一 4 .函数 y = 3arccos --- 的反函数的取大值是，取小值是 .4「. 7立).一11 15 . arccos.sin - \=, sin |-arccos -- =26 .万程 1g (cosx +sin x )=lg (2cos x -1 )的解集是.27 .函数y=arccos(2x -x )的值域为( )8 .下列命题中，正确命题的个数是( )(1) y =arcsin x 的反函数是 y =sin xA. 0,二 1B."*'」C. \ 71)1 0,arccos ——1 I 84C n 1D. 0,arccos-一 8(2)y=cosx, x^ [-n,0]的反函数是y - -arccosx, x [-1,1](3)y=tanx, x e 1-—,—i的反函数是y = arctanx, xw (口,西2 2 3A.0个B.1个C.2个D.3个_____ . . 2 . 3x-1 ......9. (1)求函数y=lg(1—4x )+arcsin---的定义域；(2)求y =arcsin(1 -x )+arccos2x的值域；2(3)求y =arcsin(x -x )的定乂域；(4)判断函数y = sin(2arccosx)的奇偶性；(5)求满足不等式arccos(1 -x )> arccosx的x的取值范围.2 1、，10.求函数y =arccos（x -x-金）的TE义域和值域.11.解下列三角方程：(1)sinx+cosx =cos2x ；1(2)cosxcos2xcos4x =一；82(3)3tan x +2 =2sec x ；x(4)cos x = 2 tan --1 I.212.已知方程cos2x 十J3sin 2x = k+1.(1)k为何值时，方程在区间|0,三।内有两个相异的解" _ ,2(2)求a + P的值.(3)。

高二数学三角函数的反函数与解反三角函数方程

高二数学三角函数的反函数与解反三角函数方程三角函数是数学中非常重要的一门知识点，不仅在高中阶段学习，而且在大学阶段也是必不可少的。

在高二数学学习中，我们学习了三角函数的反函数以及如何解反三角函数方程。

本文将详细介绍三角函数的反函数及其性质，并提供解反三角函数方程的方法。

一、三角函数的反函数在介绍反函数之前，我们先回顾一下什么是函数。

在数学中，一个函数是指将一个集合的元素映射为另一个集合的元素的规则关系。

而反函数就是给定一个函数，找到它的逆映射的过程。

对于三角函数而言，它们的反函数如下：1. 正弦函数的反函数：反正弦函数，记作$\arcsin(x)$或$\sin^{-1}(x)$。

2. 余弦函数的反函数：反余弦函数，记作$\arccos(x)$或$\cos^{-1}(x)$。

3. 正切函数的反函数：反正切函数，记作$\arctan(x)$或$\tan^{-1}(x)$。

需要注意的是，三角函数的反函数的定义域和值域是有限制的。

例如，反正弦函数的定义域是$[-1, 1]$，值域是$[-\pi/2, \pi/2]$。

这是因为正弦函数的定义域是$[-\pi/2, \pi/2]$，而反正弦函数是正弦函数的逆映射。

二、三角函数反函数的性质了解三角函数反函数的性质对于解题非常有帮助。

下面是三角函数反函数的一些性质：1. 定义域和值域：我们已经提到，三角函数反函数的定义域和值域是有限制的。

2. 对称性：三角函数的反函数具有对称性。

例如，$\arcsin(x)$等于$\arcsin(-x)$。

3. 导数关系：三角函数反函数的导数与原函数的导数之间存在关系。

例如，$(\arcsin(x))' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。

根据这些性质，我们可以利用三角函数反函数来解决一些具体的问题。

三、解反三角函数方程的方法解反三角函数方程是高二数学中的一个重要内容。

下面我们介绍一些常用的解法。

1. 代入法：将反三角函数方程转化为一个二次方程或三次方程，然后利用代入法求解。

三角函数的反函数与方程

三角函数的反函数与方程正文：三角函数是数学中常见的一类函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

反函数是指在某种条件下，两个函数互为逆函数关系。

对于三角函数而言，它们的反函数被称为反三角函数。

反三角函数的一些常用表示形式包括：arcsin、arccos、arctan等。

它们与对应的三角函数之间的关系可以用反函数的定义来表示。

在定义域内，如果对于给定的正弦、余弦或正切值，可以找到唯一的角度值，则该角度值就是反三角函数的取值。

以正弦函数为例，正弦函数的定义域为实数集合R，值域为[-1, 1]。

如果给定一个实数x，满足-1 ≤ x ≤ 1，那么存在唯一的角度θ，使得sinθ = x。

这里的θ就是反正弦函数的取值，通常用arcsinx或者sin-1x表示。

除了反三角函数的定义，我们也可以通过三角函数的图像来理解它们的性质。

以正弦函数为例，它的图像是一条连续的曲线，图像的振幅是1，周期是2π。

在这个图像上，我们可以看到正弦函数的取值范围是[-1, 1]。

如果我们以θ为自变量，x为因变量绘制反正弦函数的图像，可以得到一条曲线，曲线的定义域是[-1, 1]，值域是[-π/2, π/2]。

这个图像可以反映出反正弦函数的性质，它的取值范围是一个有限区间。

除了反正弦函数，还有反余弦函数和反正切函数等。

它们的定义和性质与反正弦函数类似，只是对应的三角函数不同。

反余弦函数的图像在定义域[-1, 1]上，值域是[0, π]；反正切函数的图像在定义域(-∞, +∞)上，值域是(-π/2, π/2)。

在实际应用中，反三角函数经常用于解决与角度相关的问题。

例如，在三角恒等式的推导中，可能需要借助反三角函数来确定特定角度的取值；在解三角方程中，可能需要使用反三角函数来求解特定的角度值。

除了反三角函数，我们还可以将三角函数与方程联系起来。

三角函数的方程通常以一个或多个三角函数的形式给出，而我们要做的是通过求解方程来确定变量的取值范围。

反三角函数及最简三角方程.docx

标准实用反三角函数及最简三角方程一、知识回顾：1、反三角函数：概念：把正弦函数y sin x ， x,时的反函数，成为反正弦函数，记作22y arcsin x .y sin x( x R) ，不存在反函数.含义： arcsin x 表示一个角；角,；sin x .22反余弦、反正切函数同理，性质如下表.名称函数式定义域值域奇偶性单调性反正弦函数y arcsin x1,1 增,2奇函数增函数2y arccosx arccos( x)arccosx反余弦函数1,1 减0,减函数非奇非偶反正切函数y arctanx R增,2奇函数增函数2y arc cot x arc cot( x)arc cot x反余切函数R减0,减函数非奇非偶其中：（）．符号arcsin x 可以理解为－，]上的一个角弧度，也可以理解为1[2() 2区间[－，]上的一个实数；同样符号arccosx 可以理解为[0，π 上的一个角2]2(弧度 )，也可以理解为区间 [0 ，π]上的一个实数；（2）． y ＝arcsin x 等价于 sin y＝x, y∈ [－，], y＝ arccos x 等价于 cos y22＝x, x ∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；（3）．恒等式 sin(arcsin x)＝x, x∈ [－ 1, 1] , cos(arccos x)＝x, x∈ [－1, 1], tan(arctanx)=x,x ∈ Rarcsin(sin x) ＝ x, x ∈ [ －，], arccos(cos x) ＝ x, x ∈ [0,22π],arctan(tanx)=x, x∈（－，）的运用的条件；22（4）．恒等式 arcsin x＋arccos x＝, arctan x＋arccot x＝的应用。

反三角函数与简单三角方程

1、反三角函数:概念：把正弦函数y =sinx , X _一，一时的反函数，成为反正弦函数，记作y = arcsinx.IL 2 2y = Sin X（X二R）,不存在反函数含义：arcsinx表示一个角：•；角• _一，一；sin〉=x.1 2 2J反余弦、反正切函数同理，性质如下表.其中：（1 ）•符号arcsi nx可以理解为［—二，丄］上的一个角（弧度），也可以理解为区间［—丄，丄］上的一个实2 2 2 2数；同样符号arccosx可以理解为［0, ∏］上的一个角（弧度），也可以理解为区间［0, ∏］上的一个实数；(2) •y= arcsinx 等价于Siny= x, y∈[ —, — ], y= arccosx 等价于cosy = x, x∈[0, ∏],这两个等价关2 2系是解反三角函数问题的主要依据；(3) •恒等式sin(arcsinX)= x, X∈[ —1, 1] , cos(arccosx) = x, x∈[—1, 1],arcsin(sinx) = x, x∈[ —— , — ], arccos(cosx) = x, X∈[0, ∏]的运用的条件; 2 2(4) • 恒等式arcsinx + arccosx= — , arctanx+ arccotx= —的应用。

2 2方程方程的解集Sin X = aa ∣ = 1 {χ I x = 2k 兀 + arcs in a, k 壬 Z }a <1{χ ∣x = k 兀 +(_1 arcsina, k Z> COSX= aa ∣ = 1{χ | x = 2k 兀 + arccosa, k z }a <1{χ I x = 2k 兀 ± arccosa, k z } tan x = a {x| x = k 兀 + arcta na ,k 乏 Z } cot x = a{χ∣x = k 兀 +arccota,k 乏 Z}(1).含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。

第五章反三角函数与简单的三角方程第一节反三角函数

由例7可知,等式
cos
6
3 2
6
arccos
3 2
所以
cos arccos
3 2
23.
一般地,如果x-1,1,那么 cosarccos x x
(53)
例8 求下列各式的值.
(1) cosarccos1;
(2)
cos
arccos
-
1 2
.
解 (1)因为1-1,1,根据公式(53),所以cosarccos1 1;
arctanx arctan x
arccotx arccot x
(57) (58)
例13 求下列各式的值. (1) arctan 33; (2) arccot0; (3) arctan(-1); (4) arccot(- 3).
解
(1)
因为tan6
3 3
,且6
2
,2
,所以arctan
3 3
6
;
(2) 因为cot 0,且 (0, ),所以arccot0 ;
22
2
(3) 根据公式(5-7),可知:arctan-1 arctan14;
(4)
根据公式(5-8),可知:arccot
-
3
=
-arccot
3 6 56.
例14 求下列各式的值.
(1)
arctan
tan
4
;
(2)
arctan
正切函数y=
tan
x在
-
2
,2
上的反函数称为反正切
函数,记作x=arctan y(或x=tan-1 y),如图5-6所示.
y
2
y arctan x

反三角函数和三角函数的关系公式

一、概述反三角函数是指arcsin(x)、arccos(x)、arctan(x)等函数，它们是对应于正弦、余弦、正切函数的反函数。

反三角函数的存在对于解决三角函数相关的问题起到了重要的作用。

二、反三角函数的定义1. arcsin(x)函数的定义：当-1≤x≤1时，arcsin(x)是满足-sin(arcsin(x))=arcsin(-x)的唯一角度。

2. arccos(x)函数的定义：当-1≤x≤1时，arccos(x)是满足-cos(arccos(x))=arccos(-x)的唯一角度。

3. arctan(x)函数的定义：arctan(x)是满足-tan(arctan(x))=arctan(-x)的唯一角度。

三、反三角函数和三角函数的关系1. 反正弦函数和正弦函数的关系：当-sin(arcsin(x))=arcsin(-x)时，我们可以推导出-sin(arcsin(x))=-x，所以sin(arcsin(x))=x。

2. 反余弦函数和余弦函数的关系：同理，当-cos(arccos(x))=arccos(-x)时，我们可以推导出-cos(arccos(x))=-x，所以cos(arccos(x))=x。

3. 反正切函数和正切函数的关系：当-tan(arctan(x))=arctan(-x)时，我们可以推导出-tan(arctan(x))=-x，所以tan(arctan(x))=x。

四、反三角函数和三角函数的应用1. 在解三角方程中，反三角函数常用于求解角度。

2. 在物理学和工程学中，反三角函数也有广泛的应用，例如在计算机图形学中的3D建模和动画制作中。

五、结论反三角函数是三角函数的重要补充，它们之间具有密切的关系并在数学和应用中都有着重要的作用。

我们应该在学习和使用反三角函数时，深入理解其定义和性质，更好地掌握数学知识和解决实际问题。

六、反三角函数的图像与性质1. 反正弦函数的图像反正弦函数的图像可由y=arcsin(x)表示，该函数的定义域为[-1, 1]，值域为[-π/2, π/2]。

高考数学复习重要知识点：反三角函数与简单的三角方程

2019高考数学复习重要学问点：反三角函数与简洁的三角方程反三角函数是一种基本初等函数。

它并不能狭义的理解为三角函数的反函数，是个多值函数。

下面是2019高考数学复习重要学问点：反三角函数与简洁的三角方程，希望对考生有帮助。

它是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x这些函数的统称，各自表示其正弦、余弦、正切、余切为x的角。

三角函数的反函数不是单值函数，因为它并不满意一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。

欧拉提出反三角函数的概念，并且首先运用了“arc+函数名”的形式表示反三角函数，而不是。

为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2，将y作为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x;相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π;反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2反正弦函数y=sin x在[-π/2，π/2]上的反函数，叫做反正弦函数。

记作arcsinx，表示一个正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]区间内。

定义域[-1，1] ，值域[-π/2，π/2]。

反余弦函数y=cos x在[0，π]上的反函数，叫做反余弦函数。

记作arccosx，表示一个余弦值为x的角，该角的范围在[0，π]区间内。

定义域[-1，1] ，值域[0，π]。

反正切函数y=tan x在(-π/2，π/2)上的反函数，叫做反正切函数。

记作arctanx，表示一个正切值为x的角，该角的范围在(-π/2，π/2)区间内。

定义域R，值域(-π/2，π/2)。

反余切函数y=cot x在(0，π)上的反函数，叫做反余切函数。

记作arccotx，表示一个余切值为x的角，该角的范围在(0，π)区间内。

定义域R，值域(0，π)。

小编为大家供应的2019高考数学复习重要学问点：反三角函数与简洁的三角方程大家细致阅读了吗?最终祝大家可以考上志向的高校。