§1.5置换的奇偶性
北师大版小学五上1.5数的奇偶性PPT课件1
本课小结
探索并掌握数的奇偶性，能 应用数的奇偶性分析和解释生 活中一些简单问题。
《数学》(北师大.五年级 上册)
执教者：张斯孝
教学目标
1.知识目标：在实践活动中认识奇数和偶 数 ，了解奇偶性的规律。 2.能力目标：探索并掌握数的奇偶性，并 能应用数的奇偶性分析和解释生活中一 些简单问题。 3.情感目标：通过本次活动，让大家经历 猜想、实验、验证的过程，增强学好数 学的信心和应用数学的意识。
什么叫偶数，什么叫奇数？ 是2的倍数的数叫偶数。偶数的个 位上是：0、2、4、6、8。
不是2的倍数的数叫奇数。奇数的 个位上是：1、3、5、7、9。
合作探究（一）
小船最初停在南岸，从 摆 渡
南岸驶向北岸，再从北岸驶
向南岸，不断往返。
ห้องสมุดไป่ตู้
我来列表 摆渡次数 1 2 3 4 船所在的位置 北岸 南岸 北岸 南岸
…
岸？为什么？
…
小船摆渡11次后，船在南岸还是北
1
3
5
北岸
2
4
南岸
摆渡奇数次后，船在北 __岸； 摆渡偶数次后，船在南 __岸。
• 合作探究（二） • 一枚硬币正面朝上，翻动1次正面朝下，翻动2 次正面朝上。翻动12次，正面朝（ ），翻 动21次，正面朝（ ）。
• 观察上面的两例，你发现了什么规律？
即：奇数次与原来方向相反； 偶数次与原来方向相同。
圆中的数有什么特点？ 它们都是偶数。 正方形中的数有什么特点？ 它们都是奇数。
偶数 + 偶数 =（偶数） 奇数 + 奇数 =（偶数） 偶数 + 奇数 =（奇数）
判断下列算式的结果是奇数还是偶数。
10389 + 2004: _____ 奇数 11387 + 131 : _____ 偶数 268 + 1024 : _____ 偶数 奇数 46786+25787: _____ 偶数 6007 + 8997 : _____
对换定义及与排列的奇偶性的关系
列标排列234165的逆序数为
t 1 0 3 0 0 4
所以 a32a43a14a51a66a25 前边应带正号.
例3
用行列式的定义计算
0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 Dn n1 0 0 0 0 0 0 0 0 n
a32a43a14a51a25a66 下标的逆序数为
t 452316 8
所以 a32a43a14a51a25a66 不是六阶行列式中的项.
例2 在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号.
(1) a23a31a42a56a14a65 ; ( 2) a32a43a14a51a66a25 .
m 1 次相邻对换 a a b b b a 1 l 1 m a c1 cn
a1 al ab1 bm bc1 cn ,
2m 1次相邻对换 a a bb b ac c , 1 l 1 m 1 n
所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性.
推论 证明
奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数. 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的
对换定义及与排列 的奇偶性的关系
一、对换的定义
定义
在排列中，将任意两个元素对调，其余 元素不动，这种作出新排列的手续叫做 对换． 将相邻两个元素对调，叫做相邻对换． 例如
a1 al a b b b1 bm a1 al b ba a b1 bm
a1 ala b1 bm b c1 cn a1 al b b1 bm a a c1 cn
解
t Dn 1 a1,n1a 2,n 2 a n1,1a nn
1 1 2n 1 n 1t n! ,
§1.5置换的奇偶性
§1.5 置换的奇偶性引理5.1 若k,l ≥0，且字母a,b,ci,dj 是互不相同的，则（ab ）（ac1…ckbd1…dl ）=（ac1…ck ）（bd1…dl ），（ab ）（ac1…ck ）（bd1… dl ）=（ac1…ckbd1…dl ）。
定义5.2 设α∈Sn,且α=β1β2…βt 是完全分解，定义α的符号函数为sgn(α)=(-1)n-t 。
注：1、对1-轮换，α=（1）（2）…（n ）对t=n ，从而sgn(α)=1；2、α是一个对换，则他移动两个数固定n-2个数，则t=n-1 ∴sgn （α）=-1例5.3：（1）设α=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321123456789，求sgn （α）（2）设τ（12）,α=（135）（24）,β=（132）（45），求sgn（τα）,sgn （τβ），且找出sgn （α）与sgn （τα）关系，sgn （β）与sgn （τβ）关系解：（1）sgn （α）=（-1）9-5=1（2）τα=（13524） τβ=（13）（2）（45） sgn （τα）=（-1）5-1=1 sgn （τβ）=（-1）5-3=1 sgn （α）=-1 sgn （β）=-1引理5.4 若α,τ∈Sn ，其中τ是一个对换，则sgn(τα)=-sgn(α)证：设α=β1β2…βt 是完全分解，设τ=（ab ）若a,b 出现在同一个β里，不妨设出现在β1中，则β=(ac1…ckbd1…dl)，其中k,l ≥0由引理5.1 τβ=（ac1…ck）（bd1…dl）∴sgn（τα）=-sgn（α）类似可证得a,b分别出现在两轮换中的情况。
定理5.5对∀α,β∈Sn,则sgn(αβ)=sgn(α)sgn(β)证：假设给定α∈Sn,α可以分解成m个对换的合成，α=τ1…τm下面用归纳法证明m=1时，α是一个对换由定理5.4知结论成立假设对m-1情形，结论成立sgn(αβ)=sgn(τ1τ2…τmβ)=-sgn(τ2τ3…τmβ)=-sgn(τ2…τm)sgn(β)=sgn(τ1τ3…τm)sgn(β)=sgn(α)sgn(β)∴结论成立推论5.6 ∀α1α2…αk∈Sn,sgn(α1α2…αk)sgn(α1 )…sgn(αk)定理5.7称置换α∈Sn为偶置换，若sgn(α)=1，称置换α∈Sn 为奇置换，若sgn(α)=-1,α和β同奇偶性，若它们都是奇置换或都是偶置换。
置换奇偶性的快速算法
置换奇偶性的快速算法周尚超【摘要】令a[1],a[2],…,a[n]是1,2,…,n的一个置换(排列),对任意i,j 比较 a[i],a[j]可计算出置换的逆序数,根据逆序数的奇偶性就得到置换的奇偶性.这要进行n(n-1)/2次比较,时间复杂度是O(n2).本文给出时间复杂度为O(nlog2n)的两种算法:将置换表示为不相交的轮换的积来计算和归并排序的方法来计算.【期刊名称】《华东交通大学学报》【年(卷),期】2007(024)001【总页数】3页(P117-119)【关键词】置换;逆序数;轮换【作者】周尚超【作者单位】华东交通大学,江西,南昌,330013【正文语种】中文【中图分类】O11 将置换表示为不相交的轮换的积来计算对于置换9 7 6 5 4 3 8 2 1 ，a[1]=9,a[9]=1,可记为(19),a[2]=7,a[7]=8,a[8]=2,记为(278),a[3]=6,a[6]=3,记为(36)，a[4]=5,a[5]=4,记为(46).置换9 7 6 5 4 3 8 2 1可表示为(19)(278)(36)(45), 是4个置换的积.(19),(278)等叫做轮换.(278)可记为(782)和(827)，但一般是最小的数记在第1位.(278)的长度是3，(36)的长度是2. (278)的长度是奇数，是偶置换，(19)的长度是偶数是奇置换.奇数个奇置换的积是奇置换,偶数个奇置换的积是偶置换，奇置换与偶置换的积是奇置换.要计算置换的奇偶性，只要计算有多少个长度为偶数的轮换.长度为偶数的轮换有奇数个就是奇置换，否则为偶置换，置换9 7 6 5 4 3 8 2 1有(19)，(36)，(45)共3个长度为偶数的轮换，所以是奇置换.下面给出算法计算置换a[1],a[2],…,a[n]的奇偶性的算法(278)可看做2变为2用了3次，同时7变7或8变8都用了3次. (278),(782)和(827)都是同一个轮换，为避免重复计算，利用数组f,对已经使用过的数，用f将它标记为1,表示此数已使用过，下次不能再使用了.for(i=1;i<=n;i++)f[i]=0;Odd=0;for(i=1;i<n;i++){if(f[i])continue;f[i]=1;//计算i 变为i的次数ts=a[i];t=1;f[s]=1;while(s!=i){s=a[s];f[s]=1;t++;}if(t%2==0)Odd++;}Odd是长度为偶数的轮换的个数. Odd是偶数则为偶置换，否则为奇置换.上面的算法使用了2个数组a和f,空间复杂度为2n,下面给出一个空间复杂度为n 的算法.这个算法利用数组a本身作为标记.它占用较少空间，但理解较为困难.对于(278),当算出2变2后，7和8便无用了，因此赋值a[7]=7;a[8]=8;a[2]=2;只有当a[i]>i才计算.Odd=0;for(i=1;i<n;i++){if(a[i]>i){//计算i 变为i的次数tp=i;s=a[i];t=1;a[p]=p;while(s!=i){p=s;s=a[s];a[p]=p;t++;}}if(t%2==0)Odd++;}2 一种类似于归并排序的算法上述轮换法只能计算出置换的奇偶性，不能计算出逆序数.引理1 设a[1],a[2],…,a[m],b[1],b[2],…,b[p]是1个置换中的某1段，且a[i]<a[i+1],i<m. b[j]<b[j+1],j<p. 如果a[i]>b[1],则将b[1]移到a[i]之前置换的逆序数减少m-i+1.利用引理1，对置换进行若干次操作，将减少的数累加就得到置换的逆序数，且置换最终变为自然排列1,2,3,…,n.计算程序如下//将a[p],a[p+1],…,a[q-1] 与 a[q],a[q+1],…,a[r]合并为排好序的1段//这两段是已排好序的void merge(int p,int q,int r){int i,j=p;int startA=p,endA=q-1,startB=q,endB=r;while(startA<=endA&&startB<=endB){if(a[startA]<=a[startB]){b[j]=a[startA];j++;startA++;}else{b[j]=a[startB];j++;startB++;num+=q-startA;}}while(startA<=endA){b[j]=a[startA];startA++;j++;}while(startB<=endB){b[j]=a[startB];startB++;j++;}for(i=p;i<=r;i++)a[i]=b[i];}//计算置换a[1],a[2],…,a[n]的逆序数 num//初始状态：n0=n段，每段长seg=1，最后1段长 lastdeg=1 n0=n;seg=1;lastseg=1;num=0;while(n0>=2){//1 2 3 7 8 9 10 4 5 6 11 13//将相临的两段合并为排好了序的1段，合并后有n0=n0/2段//段长为 s0=seg*2m=n0;n0/=2;s0=seg*2;if(m%2==0){for(i=1,j=0;i<=n0;i++,j+=s0){ if(i<n0)merge(j,j+seg,j+s0-1);else merge(j,j+seg,n-1);}lastseg=seg+lastseg;seg=s0;}else{for(i=1,j=0;i<=n0;i++,j+=s0)merge(j,j+seg,j+s0-1);j=n-lastseg-s0;merge(j,n-lastseg,n-1);seg=s0;lastseg+=s0;}}3 计算实例对n=80000,n=2000000，构造置换a[i] =n-i+1，i<=n进行计算，结果为n=80000,用归并排序法，计算时间 0秒(<1秒)运行记录为：start time :1167963535num=3199960000 //逆序数end time:1167963535一般算法，对任意i,j 比较 a[i],a[j]，计算时间 62-35=27秒start time :1167963535num=3199960000 //逆序数end time :1167963562n=2000000, 归并排序法，计算时间 1秒, 轮换法计算奇偶性 0秒(<1秒)4 应用有M行每行有N个小正方形的矩形，里面写上1,2,…,MN-1,一个小正方形空着，称为空格，将空格上下左右的数字移动到空格中.问能否经过移动，从一种状态变为另1种状态.如果将空格去掉，依次写下第一行，…，第M行，这样就得到了MN-1个数的置换，两种状态得到2个置换.如果N是奇数，那么当且仅当2个置换的奇偶性相同时，可从一种状态变为另一种状态.如果N是偶数.当第1种状态的空格所在行与第2种状态的空格所在行的差为偶数时，可互变的条件是两个置换的奇偶性相同，否则可变的条件是奇偶性不相同.[1] 参考文献：[1]陈景润.组合数学简介[M]. 天津：天津科学技术出版社，1988.[2]周尚超.整数运算中的问题和解决办法[J].华东交通大学学报，2005，(4)：155～157.。
置换
置换, 对换 逆序对, 逆序数 置换的符号 复合(乘积), 逆 置换的分解
17:48
1
置换的概念
置换可以用表格表示:
合成(乘法): 设p,q是两个置换, 那么它们的合成qp也是 一个置换, 表示为
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2
例题
求 qp. 解: 或者因此17:48 Nhomakorabea3
恒同置换, 逆
解:
17:48
4
对换, 逆序对,逆序数,偶置换,奇置换
back
(3) 由引理2.1知
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14
推论 2.5 的证明
证明：
定义映射 下面证明 f 是一一映射.
因此 f 为满射.
back
17:48 15
对换:
逆序对:
逆序数:
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5
例题
确定排列321和4321的逆序数及符号.
排列4321的逆序对有
(4,3)
(4,2) (3,2)
(4,1) (3,1)
(2,1)
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6
若干结果
引理 2.1. 置换与对换相乘后, 其符号发生改变.
偶置换必定分解成偶数个对换的乘积, 奇偶置换必定分解成奇数个对换的乘积. proof
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10
引理 2.1的证明(2)
于是
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11
引理 2.1的证明(3)
back
17:48 12
命题 2.2的证明
(1) 先证任意置换 p, 右乘一系列对换后转化为恒同置换 e. 设结论对 n-1 成立, 下证结论对 n 成立.
则 n 在新的排列的最后的位置上:
17:48
13
命题 2.2的证明
新课程人高中数学必修件奇偶性
性。
奇偶性在解题中的应用
03
利用奇偶性简化计算过程，解决与函数对称性、周期性等相关
的问题。
奇偶性在高中数学中的地位与作用
奇偶性是高中数学的重要概念之 一，它贯穿于整个高中数学课程
。
奇偶性对于理解函数的性质、图 象和变换具有重要意义。
奇偶性在解题中发挥着重要作用 ，能够帮助学生快速找到解题思
路和方法。
目标
通过本课程的学习，学生应该掌握奇偶性的基本概念、性质和应用，能够灵活 运用奇偶性解决数学问题。
要求
学生需要具备一定的数学基础和思维能力，能够认真听讲、积极思考、独立完 成作业。同时，学生还需要注重培养自己的逻辑思维能力和创新思维能力，以 便更好地应用奇偶性解决数学问题。
02
奇偶性的基本概念
奇函数与偶函数的定义
周期函数奇偶性的应用
通过研究周期函数的奇偶性，可以进一步了解函数的周期性、对称性等性质，为解决实 际问题提供便利。
奇偶性在数列中的应用
数列的奇偶项问题
对于某些数列，其奇数项和偶数项可能 具有不同的性质或规律，这时可以利用 奇偶性进行分析和求解。
VS
数列求和中的奇偶性应用
在数列求和过程中，有时可以利用奇偶性 进行分组求和，从而简化计算过程。
奇函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任 意$x$，都有$f(-x)=-f(x)$，那么 函数$f(x)$就叫做奇函数。
偶函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任 意$x$，都有$f(-x)=f(x)$，那么 函数$f(x)$就叫做偶函数。
奇偶性的判断方法
01
图像法
通过观察函数图像的对称性来判断函数的奇偶性。奇函数的图像关于原
奇偶性与对称性：如果函数$f(x)$具有对称性，即 满足$f(a+x)=f(a-x)$或$f(a+x)=f(b-x)$，那么可 以通过平移或翻折变换将函数转化为奇函数或偶 函数进行研究。
置换群离散数学
任一子群称为n 次置换群。 ）
n=1，M={a}，
S1={
a a
}—在置换的乘法下作
成1次对称群，为Abel群。
n=2,
M={a，b},
S2={
a a
b
b ,
a b
b a
}
在置换的
乘法下作成2次对称群，为Abel群。
当n≥ 3时，
12
2 1
3n 3n
a1, …,ar 使 σ(a1)＝a2,σ(a2)=a3,…,σ(ar-1)=ar,σ(ar)=a1， 而σ不变M的其余的元素，则σ称为一个轮换，
记为 （a1 a2 … ar ）
例. σ=
13
2 2
3 4
4 1
5 5
66
=（1 3 4）=（3 4 1）=（4 1 3）
可以把a1，… ，ar中的任意元素ai排在 头一位而改写成
换的乘积。即，任意置换σ可以写成不相杂轮
换的乘积（可表性），如果不考虑乘积的顺序，
则写法是唯一的(唯一性)。
例.
13
2 1
3 5
4 4
5 2
6 8
7 7
68
=(1 3 5 2)(4)(6 8)(7)=(3 5 2 1)(7)(8 6)(4)
置换的这种表法称为置换的轮换表法
去掉单轮换为轮换表法的省略形式：
σ1 σ2(l) = σ1 (σ2(l)) =σ1(l)= l 。 因此，σ= σ1σ2 = (a1 at+1) (a1 a2… at) 。 由归纳假设，
(a1 a2… at) =(a1 at)(a1 at-1)…(a1 a2)，所以 σ= (a1 at+1) (a1 at)(a1 at-1)…(a1 a2)，归纳完成。 还可以采用直接证明的方法进行证明。
北京大学群论-第五章_置换群与酉群
第五章 置换群与酉群§5.1 n 阶置换群S n【定义5.1】 （置换）将n 个数字{1，2，…，n}的排列n a a a 21映为排列n b b b 21，称为一个n 阶的置换，记为s , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n b a b b a a s 2121。
置换s 把a 1换为b 1，a 2换为b 2，…，a n 换为b n ，它决定于诸双数码的对换，与诸对数码的排列顺序无关。
【定义5.2】 （置换群）定义两个置换r ，s 的乘积rs 为先实行置换s ，再实行置换r ，则在此乘法下所有n 阶置换作成的集合，构成一个群，称为n 阶置换群或对称群，记为S n 。
单位元：恒等置换。
逆元：n S s ∈∀，⎪⎭⎫⎝⎛=n n b a b b a a s 2121，⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n n a b a a b bs 21211 置换的乘法满足封闭性和结合律，S n 群的阶为n ！。
【定义5.3】 （轮换）一种特殊形式的置换：⎪⎭⎫⎝⎛-113221e e e e e e e e m m m 称为轮换，记为()m e e e 21，轮换数码的个数m 称为轮换的阶。
•系1 轮换内的数码作轮换，仍表示同一个轮换，即：()()()12113221-==m m m m e e e e e e e e e e e 。
•系2 两个轮换()m e e e 21和()n f f f 21若没有公共数码，则称它们相互独立；相互独立的轮换之间的乘积满足交换律，即：()()⎪⎭⎫⎝⎛=13221132212121f f f f f f e e e e e ef f f e e e n m n m()()m n e e e f f f 2121=•系3 任意的n 阶置换总可以分解为相互独立轮换的乘积。
例如：=⎪⎭⎫ ⎝⎛316556432421（1 4 5）（2）（3 6）=（1 4 5）（3 6） ⎪⎭⎫⎝⎛=n n s 3321210=（1）（2）…（n ） 一阶的轮换将自身映为自身，可略去不记，故S 0=（1）=（2）=…=（n ）。
关于对换的几个结论
关于对换的几个结论陈健夫【摘要】主要为了解决一个置换可以表示为至少多少个对换的乘积的问题.通过使用初等方法包括数学归纳法和反证法证明了几个引理,并用这几个引理解决了问题,同时给出一个应用.【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2016(032)005【总页数】6页(P121-126)【关键词】对换;置换;置换群【作者】陈健夫【作者单位】广州大学数学与信息科学学院,广州510006【正文语种】中文【中图分类】O152我们知道,一个置换总可以表成一些对换的乘积,并且这样的表示可能不唯一.现在有一个问题,一个确定的n元置换可以表示为至少多少个对换的乘积？由最小数原理知道,这个问题是有意义的.本文没有使用高级的数学工具,仅是综合运用基本的逻辑方法,包括数学归纳法和反证法证明了用于解决这个问题的8个引理,并且这些引理本身也是很有益的,最后再给出这个结论在一个组合问题上的应用.定义1 一个有限集到自身的一一映射叫做一个置换.定义2 有限集的一个把元素a1变到a2,a2变到a3，…，an-1变到an,an变到a1,并且其他元素不变的置换叫做一个n-循环置换,并称其阶为n.定义3 一个2-循环置换叫做一个对换.定义4 如果两个循环置换无公共元素,则称这两个循环置换不相连.定义5 如果集合A有两个置换σ1和σ2,规定这两个置换的乘积为σ1σ2:x→σ2(σ1(x)),x∈A.换言之,乘积运算是从左往右进行的.定理1 在不考虑顺序的情况下,一个置换可以唯一地表成若干个不相连的循环置换的乘积.定理2 置换的奇偶性不变.即一个置换表成对换的乘积时,这些对换个数的奇偶性不变.定义6 一个置换如果可以表成奇数个对换的乘积,则称这个置换为奇置换.否则,称为偶置换.定理1,2的证明在一般的抽象代数学教材都会有.对于定理1,亦可以参看文献[1]中的证明.对于定理2的证明,可以参看文献[2]中的相关内容,文献[2]中证明该定理时使用了一个结论,即一个自然数排列施行一个对换,排列的奇偶性会改变,这个结论可以在文献[3]中找到证明,但文献[4]亦给出了比较新颖的证明方法,建议读者参考. 引理1 一个n-循环置换可以表成n-1个对换的乘积.证对于任意一个n-循环置换可以发现左边的对换个数为n-1.在下面的引理中,除非情况是自明的,否则提到一个n-循环置换或一个n元置换时均假定集合中只有n个元素.引理2 一个n-循环置换右乘以一个对换,可以得到一个置换,该置换可以表成两个不相连循环置换的乘积,并且这两个循环置换的阶之和为n.证右乘以任意对换为了书写方便,不妨认为n≥5,并且ai,aj都不等于a1,a2,和an,这时可以得到置换不难发现，这个置换可以表成和的乘积,这两个置换是不相连的循环置换,并且它们阶数的和等于n.如果ai,aj可以是a2,a1和an中的某一个,事实上,我们只需要重新对集合的元素命名,使得原来以i,j 为下标的元素改变其下标变成不等于1,2和n即可.因为本质上,集合的元素本身与用什么符号表示并没有关系.如果n≤4,只需逐个进行验证,总共也只有几种情况,这里不一一列出了.引理3 如果一个置换π表成两个不相连的循环置换和的乘积,把π右乘以一个对换ai是第一个循环置换中的元素,bj是第二个循环置换中的元素,那么得到一个n+m-循环置换.证结论其实相当显然.为了书写方便,不妨认为i≠1,2,n,j≠1,2,m,并且m,n≥5,那么π右乘以后可以得到这就是一个n+m-循环置换.对于i=1,2或n, j=1,2或m,道理跟引理2的证明是一样的,可以对集合的元素重新命名,使之变为方便书写的情况.对于m,n≤4的情况,只需逐个验证,证明本质上是一样的,这里不一一列出了.引理4 如果一个置换π可以表为至少k个对换的乘积,那么对该置换还原最后一次对换,还原成π′,那么π′可以表为至少k-1个对换的乘积.证反证法.假设不然,π′可以表为至少k-3或k-5…或1或0个对换的乘积,由于对于k-5或以下的情况,可以对2个相同的元素一直施加对换,使得π′表成k-3个对换的乘积,马上推出,π′可以表为k-3个对换的乘积(由定理2知道,一个置换可以表成的对换个数的奇偶性不变,所以一个置换可以表成的对换数相差一个偶数).下面几个引理的证明都会用到这样的反设,下面不再做说明.那么,这时对π′重做刚才还原的对换,重新得到π,推出π可以表为k-2个对换的乘积,这与π可以表为至少k个对换的乘积矛盾.引理5 一个n-循环置换可以表为至少n-1个对换的乘积.证引理1已经说明了一个n-循环置换可以表为n-1个对换的乘积.下面证明这是最少需要对换的次数,也就是说,不能通过施加少于n-1个对换得到一个n-循环置换. 反证法.假设不然,n-循环置换可以表为至少n-3个对换的乘积.此时,对π还原最后一次的对换,得到π1,由引理2知道,π1可以表为两个不相连循环置换的乘积,并且由引理4推出,π1可以表为至少n-4个对换的乘积.再对π1进行一次还原,得到π2,这次还原的对象不可能是两个不相连循环置换中各自取出的元素,否则根据引理3,会得到一个n-循环置换,而这个n-循环置换可以表为至少n-5个对换的乘积,这与我们的假设矛盾.所以,第二次还原的对象必须是其中一个循环置换的2个元素 ,那么π2就“分裂”成三个不相连循环置换的乘积.这样的操作一直进行下去,最后会经过n-3次还原得到恒等变换但是根据上面的过程,我们实际上只“分裂”出n-2个循环置换,这意味着n元恒等变换表为n-2个不相连循环置换的乘积,但事实上n元恒等变换唯一地表为n个1-循环的乘积,于是得出矛盾.引理6 一个n-循环置换添加一个元素b进去,得到是一个新的n+1元集合的置换,那么π可以表为至少n-1个对换的乘积.证反证法.假设不然,那么π可以表为n-3个对换的乘积.这时对π右乘以一个对换得到这是一个n+1-循环置换,可以由n-2个对换相乘得到,但由引理5知道,π′可以表为至少n个对换的乘积,矛盾.引理7 设任意n元置换可以表为至少s个对换的乘积,对于任意一个m-循环置换可以表为至少m-1个对换的乘积,a1a2…an和b1b2…bm-1bm没有共同元素, 是新的n+m元集合中的置换,那么π=可以表为至少s+m-1个对换的乘积.证第二数学归纳法.①当n=1时,由引理6知道命题成立.②设当n≤k时命题成立,考察n=k+1的情况.对于k+1元置换设其可以表为至少s个对换的乘积,由定理1知道,π可以表为若干个不相连循环置换的乘积,不妨从中抽出一个q-循环置换其他循环置换并起来得到那么由归纳假设可以知道可以表为至少s-q+1个对换的乘积(要注意,这是在仅有d1d2…dk+1-q这些元素的集合的意义下讨论的).下面往证可以表为至少s+m-1个对换的乘积.反证法.假设不然,π′可以表为s+m-3个对换的乘积,那么现在对π′右乘以一个置换得到π*,由引理3知,π*可以表为q+m-循环置换和的乘积,这两个置换没有公共元素,并且这可以由s+m-2个对换相乘得到.但由归纳假设立得π*可以表为至少q+m-1+s-q+1=s+m个对换的乘积,推出矛盾,反证结束.于是证得对于n=k+1的情况命题成立.引理8 如果置换π′表为n个不相连的循环置换π1π2…πn的乘积,而π1π2…πn分别可以表为至少a1a2…an个对换的乘积,那么π′可以表为至少a1+a2+…+an个对换的乘积.证数学归纳法：①当n=1时,由引理4知道命题成立.②设当n=k时命题成立,考察n=k+1的情况.因为由假设知道π=π1π2…πk可以表为至少a1+a2+…+ak个对换的乘积,由引理7立即可以得到π′=π1π2…πkπk+1可以表为至少a1+a2+…+ak+ak+1个对换的乘积.现在重新回到我们一开始想要解决的问题：一个n元置换可以表示为至少多少个对换的乘积?由引理8就可以容易得到答案,因为一个n元置换可以唯一地表成若干个不相连的循环置换的乘积,如果这些不相连的循环置换有k个,那么这个n元置换可以表成的对换乘积的最小个数等于这些循环置换各自可以表成对换乘积的最小个数之和,由引理5马上就可以知道,这个数就是n-k,于是我们有定理3.定理3 如果一个n元置换唯一地表成k个不相连的循环置换的乘积,那么这个置换可以表成至少n-k个对换的乘积.所以我们最初的问题便解决了,并且引理1就给出了对换的办法.下面给出该结论的一些应用.有这样一类智力题,给出一列乱序的数码,要把它排成顺序数码,每次只能对其中两个数码进行对换,问最少要对换多少次,应该怎样对换.比如把序列排成最少要对换多少次.这个问题实质就是给出一个置换问这个置换可以表成至少多少个对换的乘积.由定理3知道,只要找出其可以表成不相连循环置换的个数就可以了.因为不相连的循环置换有2个,所以答案就是可以表示成至少6-2=4个对换的乘积,并且按照引理1的做法,即先把4和1对换,再把4和6对换,再把4和3对换,最后再把5和2对换.虽然这是只有6个数的序列,恐怕单纯通过穷举就不容易解出了.定理3就保证能够很容易知道最少需要对换多少次,并且用引理1就可以给出对换的方法.如果对于特别长的序列需要排序,设计算法使用计算机去找出这些不相连的循环置换就可以了.【相关文献】[1] 陈健夫.循环置换分解定理的一个证明及其应用[J].大学数学,2015,31(4)：95-98.[2] 杨子胥.近世代数[M].北京：高等教育出版社,2000.[3] 焦荣政.对换改变排列奇偶性的一个定量证明[J].大学数学,2009,25(6)：174-176.[4] 张禾瑞,郝炳新.高等代数[M].北京：高等教育出版社,2007.。
对换与排列奇偶性的关系
ain jn
例1 试判断 a14a23a31a4和2a56a65 a32a43a14a51a25a66
是否都是六阶行列式中的项.
解 a14a23a31a42a56a65下标的逆序数为
t 431265 0 1 2 2 0 1 6
所以a14 a23a31a42a56a65 是六阶行列式中的项. a32 a43 a14 a51a25 a66 行标和列标的逆序数之和
(1)t( p1 p2 pn )
定理2 n 阶行列式也可定义为
D
(1) a a t( p1 p2 pn ) p1 1 p2 2
p1 p2 pn
a pnn
定理3 n 阶行列式也可定义为
D
(1)t ( i1i2
i1i2 in j1 j2 jn
in )t ( j1 j2
a a jn ) i1 j1 i2 j2
设对换前行标排列的逆序数为 s，列标排列的逆序数为 t .
设经过一次对换后行标排列的逆序数为 s
列标排列的逆序数为
t
因为对换改变排列的奇偶性，s 是s奇数， t也 是t 奇数.
所以 (s s) 是(t偶数t)， 即(s t) 是(s偶 数t) .
于是(s 与t) (同s 时t为) 奇数或同时为偶数.
tal rb ra tb1
tbm
当 a 时b ， ra ，ta 1 ， rb tb. 当 a 时b ， ra， ta rb， tb 1.
因此相邻对换改变排列的奇偶性.
r t 1 r t 1
既然相邻对换改变排列的奇偶性，那么
a1 al a b1 bmb c1 cn
2m+1次相邻对换
a1 al a b b1 bm
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§1.5 置换的奇偶性
引理5.1 若k,l ≥0，且字母a,b,ci,dj 是互不相同的，则（ab ）（ac1…ckbd1…dl ）=（ac1…ck ）（bd1…dl ），（ab ）（ac1…ck ）（bd1… dl ）=（ac1…ckbd1…dl ）。
定义5.2 设α∈Sn,且α=β1β2…βt 是完全分解，定义α的符号函数为sgn(α)=(-1)n-t 。
注：1、对1-轮换，α=（1）（2）…（n ）对t=n ，从而sgn(α)=1；
2、α是一个对换，则他移动两个数固定n-2个数，则t=n-1 ∴sgn （α）=-1
例5.3：（1）设α=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛987654321123456789，求sgn （α）
（2）设τ（12）,α=（135）（24）,β=（132）（45），求sgn
（τα）,sgn （τβ），且找出sgn （α）与sgn （τα）关
系，sgn （β）与sgn （τβ）关系
解：（1）sgn （α）=（-1）9-5=1
（2）τα=（13524） τβ=（13）（2）（45） sgn （τα）=（-1）5-1=1 sgn （τβ）=（-1）5-3=1 sgn （α）=-1 sgn （β）=-1
引理5.4 若α,τ∈Sn ，其中τ是一个对换，则
sgn(τα)=-sgn(α)
证：设α=β1β2…βt 是完全分解，设τ=（ab ）
若a,b 出现在同一个β里，不妨设出现在β1中，则β=(ac1…
ckbd1…dl)，其中k,l ≥0
由引理5.1 τβ=（ac1…ck）（bd1…dl）
∴sgn（τα）=-sgn（α）
类似可证得a,b分别出现在两轮换中的情况。
定理5.5对∀α,β∈Sn,则sgn(αβ)=sgn(α)sgn(β)
证：假设给定α∈Sn,α可以分解成m个对换的合成，α=τ1…τm下面用归纳法证明
m=1时，α是一个对换由定理5.4知结论成立
假设对m-1情形，结论成立
sgn(αβ)=sgn(τ1τ2…τmβ)
=-sgn(τ2τ3…τmβ)=-sgn(τ2…τm)sgn(β)
=sgn(τ1τ3…τm)sgn(β)=sgn(α)sgn(β)
∴结论成立
推论5.6 ∀α1α2…αk∈Sn,sgn(α1α2…αk)sgn(α1 )…sgn(αk)
定理5.7称置换α∈Sn为偶置换，若sgn(α)=1，称置换α∈Sn 为奇置换，若sgn(α)=-1,α和β同奇偶性，若它们都是奇置换或都是偶置换。
★恒等变换为偶置换
例5.8：判断下列置换的奇偶性
⑴α,β∈S7 α =(13)(24) β=(12)(23)(34)
⑵γ∈S8 γ=(367)(48)
解：⑴α=(13)(24)(5)(6)(7) sgn(α)=(-1)7-5=1——偶
sgn(β)=-1——奇
⑵γ=(367)(48)(1)(2)(5) sgn(γ)=(-1)8-5=-1——奇
定理5.8设α Sn,若α是偶置换，则α是偶数个对换的合成若α是奇置换，则α是奇数个对换的合成
证：若α=τ1τ2…τq是一些对换的合成
由推论5.6知sgn(α)=sgn(τ1)sgn(τ2)…sgn(τq)=(-1)q ∴若α是偶置换，即sgn(α)=1则q是偶数
若α是奇置换，即sgn(α)=-1则q是奇数
注：α与α-1 同奇偶性。
推论设α，β∈ Sn，若α，β同奇偶性，则αβ是偶置换;若α，β奇偶性不同，则αβ是奇置换。
例5.11：写出S3中，所有的奇置换和所有的偶置换。
解：所有置换（1）（2）（3）（1）（23）
（12）（3）（13）（2）
（123）（132）
奇置换有（1）（23）（12）（3）（13）（2）
偶置换有（1）（2）（3）（123）（132）
定理5.10在Sn 中，奇置换与偶置换各有。
证：设Sn 中，全体偶置换的集合为An,全体奇置换的集合为Bn 设τ=（12）
定义：f：An→Qn α→τα
下证f是双射。
α，β∈Sn , α≠β,则τα≠τβ
∴f是单射
对β∈Qn ，β=（1）β=τ2β=τ(τβ)，且τβ∈An ∴f是满射∴f是双射
又
!n
S
n
=
从而
!
2
1
n
Q
A
n
n
=
=
命题5.11 r-轮换是偶置换⇔r是奇数。
证：设α=（i1i2……ir）是一个r-轮换，则α=（i1i2）（i2i3）……（ir-1ir）
由推论5-6知：sgn（α）=sgn（i1i2）……sgn（ir-1ir）= （-1）r-1
从而得证。
定义5.14由Sn 的全体偶置换所有构成的子群称为n次交错群，记为An。