离散数学课件第一章(第5讲)
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离散数学第5讲PPT课件
() A. GH B. HG C. H => G D. G => H 4、设Ａ，Ｂ为任意命题公式，Ｃ为重言式，若Ａ∧ＣＢ∧Ｃ，那么Ａ Ｂ是_________式（重言式、矛盾式或可满足式）。 5、 命题公式（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ的主合取范式为______，主析取范式为 _______。 6、化简下式：
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第二章 命题逻辑等值演算
等值演算法求解主析取范式的方法和步骤：
（1）化为析取范式A；
∨ רP （2）对A中的简单合取项补入没有出现的命题变元 ，即合取上（P
）
式，然后应用分配律展开；
（3） 将析取式A中重复出现的合取项和相同的变元合并；
（4）除去析取范式中所有永假的合取项；
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解：因为主析取范式是由所有的取值为1的极小项析取构成，而 成真赋值所对应的即为极小项的编码，所以主析取范式为：
m0∨m3∨ m6
同理，主合取范式为：M1 ∧ M2 ∧ M4 ∧ M5 ∧ M7
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第二章 命题逻辑等值演算
2、判断公式的类型： 设公式A中含有n个命题变项，则：
（1）A为重言式 A的主析取范式含全部2n个极小项。 （2）A为矛盾式 A的主析取范式不含任何极小项 ，记A的主析取范式为 0。 （3）A为可满足式 A的主析取范式至少含一个极小项 。
第二章 命题逻辑等值演算
以上六种情况对应公式分别为：
①(רp∧רq) ∧((רp∧רr)∨(p∧r)) ∧(רp∧r) …①
② (רp∧רq) ∧(p∧רr)∧((p∧r)∨(רp∧ רr)) …②
③
((רp∧q)∨(p∧רq))∧(רp∧r)∧(רp∧r)רp∧q
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第二章 命题逻辑等值演算
等值演算法求解主析取范式的方法和步骤：
（1）化为析取范式A；
∨ רP （2）对A中的简单合取项补入没有出现的命题变元 ，即合取上（P
）
式，然后应用分配律展开；
（3） 将析取式A中重复出现的合取项和相同的变元合并；
（4）除去析取范式中所有永假的合取项；
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解：因为主析取范式是由所有的取值为1的极小项析取构成，而 成真赋值所对应的即为极小项的编码，所以主析取范式为：
m0∨m3∨ m6
同理，主合取范式为：M1 ∧ M2 ∧ M4 ∧ M5 ∧ M7
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第二章 命题逻辑等值演算
2、判断公式的类型： 设公式A中含有n个命题变项，则：
（1）A为重言式 A的主析取范式含全部2n个极小项。 （2）A为矛盾式 A的主析取范式不含任何极小项 ，记A的主析取范式为 0。 （3）A为可满足式 A的主析取范式至少含一个极小项 。
第二章 命题逻辑等值演算
以上六种情况对应公式分别为：
①(רp∧רq) ∧((רp∧רr)∨(p∧r)) ∧(רp∧r) …①
② (רp∧רq) ∧(p∧רr)∧((p∧r)∨(רp∧ רr)) …②
③
((רp∧q)∨(p∧רq))∧(רp∧r)∧(רp∧r)רp∧q
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(3)至于p为0即“我期终考了年级不是前 10”时,无论q为1或为0，即无论"我老妈 奖励1000元"或不奖励，都不能说老妈的 话是假的，故善意的认为pq为1均为1
1.1 命题及联结词
定义1.5双条件:当p与q值相同时,pq为1,不同 为0。 称p当且仅当q
“普通老师赚了100万当且仅当他 中了100万的彩票”， 普通老师赚了100万 普通老师买彩票中了100万大奖
故pq为0
1.1 命题及联结词
定义1.4条件式当p是1 ,q是0时,pq为0,即 10为0,其他情况为1。 p称为前件,q称为后件
(1)当p为1即“我期终考了年级前10”
q为0即“我老妈没有奖励1000元” 这时老妈的话为假，即pq为0 (2)当p为1即“我期终考了年级前10” q为1即“我老妈奖励1000元” 这时妈妈的话就对了，即pq为1
由于所有内容(整数，实数，字符，汉字，图片，声 音，视频，网页，……)进入电脑后，全是01组成的字 符串，从而都可以用布尔运算即逻辑运算实现，命题逻 辑成为计算机的基础。
命题逻辑将数学由连续变到离散，由高数进入离散。
Google采用逻辑运算进行搜索：数字之美 吴军 杨圣洪 000100010001110000 两者对应位置与运算。 离散数学 100100000000100001
陈述句(6)的正确性，到2018年12月时能确定的，若届 时建成了则它是对的、为真命题，否为假命题。
1.1 命题及联结词
对错确定的陈述语句称为命题。如：
(7) x与y之和为100，其中x为整数，y为整数 (8)1加1等于10 (7)的对错不确定。当x为50、y为50时是对的，当x为 51、y为52时是错的。 (8)的对错是不确定的，为二进制时正确，当为八进制、 十进制时是错的，因此这两个陈述句不是命题。 (9)青枫峡的红叶真美呀！ (10)动作快点！ (11)你是杨老师吗？ 这三个语句不是陈述语句，因此不是命题。
1.1 命题及联结词
定义1.5双条件:当p与q值相同时,pq为1,不同 为0。 称p当且仅当q
“普通老师赚了100万当且仅当他 中了100万的彩票”， 普通老师赚了100万 普通老师买彩票中了100万大奖
故pq为0
1.1 命题及联结词
定义1.4条件式当p是1 ,q是0时,pq为0,即 10为0,其他情况为1。 p称为前件,q称为后件
(1)当p为1即“我期终考了年级前10”
q为0即“我老妈没有奖励1000元” 这时老妈的话为假，即pq为0 (2)当p为1即“我期终考了年级前10” q为1即“我老妈奖励1000元” 这时妈妈的话就对了，即pq为1
由于所有内容(整数，实数，字符，汉字，图片，声 音，视频，网页，……)进入电脑后，全是01组成的字 符串，从而都可以用布尔运算即逻辑运算实现，命题逻 辑成为计算机的基础。
命题逻辑将数学由连续变到离散，由高数进入离散。
Google采用逻辑运算进行搜索：数字之美 吴军 杨圣洪 000100010001110000 两者对应位置与运算。 离散数学 100100000000100001
陈述句(6)的正确性，到2018年12月时能确定的，若届 时建成了则它是对的、为真命题，否为假命题。
1.1 命题及联结词
对错确定的陈述语句称为命题。如：
(7) x与y之和为100，其中x为整数，y为整数 (8)1加1等于10 (7)的对错不确定。当x为50、y为50时是对的，当x为 51、y为52时是错的。 (8)的对错是不确定的，为二进制时正确，当为八进制、 十进制时是错的，因此这两个陈述句不是命题。 (9)青枫峡的红叶真美呀！ (10)动作快点！ (11)你是杨老师吗？ 这三个语句不是陈述语句，因此不是命题。
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联结词可以嵌套使用，在嵌套使用时，规定如下优先顺序： ( )，┐，∧，∨，→， ，对于同一优先级的联结词，先出现 者先运算。
例1.7 令 P : 北京比天津人口多 Q:22 4 R : 乌鸦是白色的
求下列复合命题的真值：
1P Q P Q R 2Q R P R 3P R P R
解 P，Q，R的真值分别为1，1，0。容易算出 (1)、(2)、(3)的真值分别为1，1，0。
2．在自然语言中，“如果P，则Q”中的前件P与后件Q往 往具有某种内在联系。而在数理逻辑中，P与Q可以无任何内 在联系。
3．在数学或其它自然科学中，“如果P，则Q”往往表达 的是前件P为真，后件Q也为真的推理关系。但在数理逻辑中， 作为一种规定，当P为假时，无论Q是真是假，P→Q均为真。 也就是说，只有P为真Q为假这一种情况使得复合命题P→Q为 假。
PQ 的真值定义为 PQ为真当且仅当P, Q同真值 因此, P, Q一真一假时, P Q为假。
复合命题P Q的真值表： P
0 0 1 1
Q
P Q
0
1
1
0
0
0
1
1
例1.6 将下列命题符号化，并指出它们的真值：
3如 两 圆O1 , O2的面积相等，则它们的半径相等；反之亦然. 4当王小红心情愉快时，她就唱歌；反之当她唱歌时，
真值为真的命题称为真命题；真值为假的命题为假命题。
说明：
1. 命题必须是陈述性语句，而不能是疑问句、命令句、 感叹句等；
2. 命题语句或者为真或者为假，二者必取其一，即命 题的真值是唯一的
判断句子是否为命题的标准： (1)陈述句 (2)有唯一的真值
例1 判断下列句子是不是命题: (1) 4是素数。
第一部分 数理逻辑
例1.7 令 P : 北京比天津人口多 Q:22 4 R : 乌鸦是白色的
求下列复合命题的真值：
1P Q P Q R 2Q R P R 3P R P R
解 P，Q，R的真值分别为1，1，0。容易算出 (1)、(2)、(3)的真值分别为1，1，0。
2．在自然语言中，“如果P，则Q”中的前件P与后件Q往 往具有某种内在联系。而在数理逻辑中，P与Q可以无任何内 在联系。
3．在数学或其它自然科学中，“如果P，则Q”往往表达 的是前件P为真，后件Q也为真的推理关系。但在数理逻辑中， 作为一种规定，当P为假时，无论Q是真是假，P→Q均为真。 也就是说，只有P为真Q为假这一种情况使得复合命题P→Q为 假。
PQ 的真值定义为 PQ为真当且仅当P, Q同真值 因此, P, Q一真一假时, P Q为假。
复合命题P Q的真值表： P
0 0 1 1
Q
P Q
0
1
1
0
0
0
1
1
例1.6 将下列命题符号化，并指出它们的真值：
3如 两 圆O1 , O2的面积相等，则它们的半径相等；反之亦然. 4当王小红心情愉快时，她就唱歌；反之当她唱歌时，
真值为真的命题称为真命题；真值为假的命题为假命题。
说明：
1. 命题必须是陈述性语句，而不能是疑问句、命令句、 感叹句等；
2. 命题语句或者为真或者为假，二者必取其一，即命 题的真值是唯一的
判断句子是否为命题的标准： (1)陈述句 (2)有唯一的真值
例1 判断下列句子是不是命题: (1) 4是素数。
第一部分 数理逻辑
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一个简单命题.
13
联结词与复合命题(续)
3.析取式与析取联结词“∨” 定义 设 p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q 的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规 定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.
例 将下列命题符号化 (1) 2或4是素数. (2) 2或3是素数. (3) 4或6是素数. (4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨. (5) 王晓红生于1975年或1976年.
15
联结词与复合命题(续)
4.蕴涵式与蕴涵联结词“” 定义 设 p,q为二命题，复合命题 “如果p,则q” 称 作p与q的蕴涵式，记作pq，并称p是蕴涵式的 前件，q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词，并 规定，pq为假当且仅当 p 为真 q 为假.
16
联结词与复合命题(续)
pq 的逻辑关系：q 为 p 的必要条件 “如果 p，则 q ” 的不同表述法很多：
19
例 求下列复合命题的真值 (1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6. (2) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 是偶数. (3) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 太阳从东方升起. (4) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 美国位于非洲. (5) 函数 f (x) 在x0 可导的充要条件是它在 x0
解 令 p：王晓用功，q：王晓聪明，则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q.
12
例 (续)
令 r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令 t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .
说明: (1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性. (5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是
若 p，就 q 只要 p，就 q p 仅当 q 只有 q 才 p 除非 q, 才 p 或 除非 q, 否则非 p. 当 p 为假时，pq 为真 常出现的错误：不分充分与必要条件
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联结词与复合命题(续)
3.析取式与析取联结词“∨” 定义 设 p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q 的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规 定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.
例 将下列命题符号化 (1) 2或4是素数. (2) 2或3是素数. (3) 4或6是素数. (4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨. (5) 王晓红生于1975年或1976年.
15
联结词与复合命题(续)
4.蕴涵式与蕴涵联结词“” 定义 设 p,q为二命题，复合命题 “如果p,则q” 称 作p与q的蕴涵式，记作pq，并称p是蕴涵式的 前件，q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词，并 规定，pq为假当且仅当 p 为真 q 为假.
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联结词与复合命题(续)
pq 的逻辑关系：q 为 p 的必要条件 “如果 p，则 q ” 的不同表述法很多：
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例 求下列复合命题的真值 (1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6. (2) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 是偶数. (3) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 太阳从东方升起. (4) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 美国位于非洲. (5) 函数 f (x) 在x0 可导的充要条件是它在 x0
解 令 p：王晓用功，q：王晓聪明，则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q.
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例 (续)
令 r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令 t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .
说明: (1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性. (5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是
若 p，就 q 只要 p，就 q p 仅当 q 只有 q 才 p 除非 q, 才 p 或 除非 q, 否则非 p. 当 p 为假时，pq 为真 常出现的错误：不分充分与必要条件
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R 0 1 0 1 0 1 0 1
Assignments（作业）
第30页: 4
1.3 公式分类与等价式
1.3.1 公式分类 1.3.2 等价公式（等值演算） 1.3.3 基本等价式----命题定律 1.3.4 代入规则和替换规则 1.3.5 证明命题公式等价的方法
1.3.1 公式分类
定义1.13 设A是一个命题公式，对A所有可能的解释： (1)若A都为真，称A为永真式或重言式。
(2)若A都为假，称A为永假式或矛盾式。
(3)若至少存在一个解释使得A为真，称A为可满足式。
例1 从上一节真值表可知，命题公式(PQ)(P∨Q)为 重言式，(PQ)∧Q为矛盾式，PQ)∧R为可满足式。
注： 1、 永真式必为可满足式，反之则不然；永真式的否定是永 假式，反之亦然； 2、 决定一个公式是否是一个永真式、永假式或可满足式有 三种方法：真值表法（适用于变元少而简单的公式）、求主范
1.否定词(negation connective )﹁
定义1.4 复合命题“非P”称为命题P的否定，记作
P，读作非P。 P为真当且仅当P为假。
例3 设 P：离散数学是计算机专业的核心课程， 则 P:离散数学不是计算机专业的核心课 程。
2.合取词(conjunction connective )∧
命题符号化的目的在于用五个联结词将日 常语言中的命题转化为数理逻辑中的形式命题， 其关键在于对自然语言中语句之间的逻辑关系 以及命题联结词的含义要有正确的理解，使用 适当的联结词： （1）确定语句是否是一个命题；
（2）找出句中连词，用适当的命题联结词表
示。
Assignments（作业）
第30页: 3（偶数小题）
定义1.12 设A是含有n个命题变元的命题 公式，将命题公式A在所有赋值之下取值的情 况汇列成表，称为A的真值表( truth table )。 为列出一个公式的真值表，我们约定： ①命题变元按字典序排列；②对公式的每个 解释，以二进制从小到大列出；③当公式较 复杂时，可先列出子公式的真值，最后列出 所给公式的真值。
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An = AA…A |Ai|=ni ,i =1,2,…,n
|A1A2…An| = n1n2…nn. n维卡氏积性质与2维卡氏积类似.
19
n维卡氏积(性质)
非交换: ABCBCA (要求A,B,C均非空,且互不相等)
非结合: (非2元运算) 分配律: 例如
AB(CD)=(ABC)(ABD) 其他: 如 ABC=A=B=C=.
第5讲 二元关系的基本概念 北京大学
内容提要 1. 有序对与卡氏积 2. 二元关系 3. 二元关系的基本运算
1
有序对与卡氏积
有序对(有序二元组) 有序三元组, 有序n元组 卡氏积 卡氏积性质
2
有序对(ordered pair)
有序对: <a,b> = { {a}, {a,b} }
<3,1>,<3,2>,<3,3> }B BA (除非 A=B A= B=)
非结合: (AB)C A(BC) (除非 A= B= C=)
分配律: A(BC) = (AB)(AC)等 其他: AB= A=B=等
10
卡氏积非交换性
非交换: AB BA (除非 A=B A= B=)
反例: A={1}, B={2}. AB={<1,2>}, BA={<2,1>}.
11
卡氏积非结合性
非结合: (AB)C A(BC) (除非 A= B= C=)
反例: A=B=C={1}. (AB)C={<<1,1>,1>}, A(BC)={<1,<1,1>>}.
12
卡氏积分配律
1. A(BC) = (AB)(AC) 2. A(BC) = (AB)(AC) 3. (BC)A = (BA)(CA) 4. (BC)A = (BA)(CA)
|A1A2…An| = n1n2…nn. n维卡氏积性质与2维卡氏积类似.
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n维卡氏积(性质)
非交换: ABCBCA (要求A,B,C均非空,且互不相等)
非结合: (非2元运算) 分配律: 例如
AB(CD)=(ABC)(ABD) 其他: 如 ABC=A=B=C=.
第5讲 二元关系的基本概念 北京大学
内容提要 1. 有序对与卡氏积 2. 二元关系 3. 二元关系的基本运算
1
有序对与卡氏积
有序对(有序二元组) 有序三元组, 有序n元组 卡氏积 卡氏积性质
2
有序对(ordered pair)
有序对: <a,b> = { {a}, {a,b} }
<3,1>,<3,2>,<3,3> }B BA (除非 A=B A= B=)
非结合: (AB)C A(BC) (除非 A= B= C=)
分配律: A(BC) = (AB)(AC)等 其他: AB= A=B=等
10
卡氏积非交换性
非交换: AB BA (除非 A=B A= B=)
反例: A={1}, B={2}. AB={<1,2>}, BA={<2,1>}.
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卡氏积非结合性
非结合: (AB)C A(BC) (除非 A= B= C=)
反例: A=B=C={1}. (AB)C={<<1,1>,1>}, A(BC)={<1,<1,1>>}.
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卡氏积分配律
1. A(BC) = (AB)(AC) 2. A(BC) = (AB)(AC) 3. (BC)A = (BA)(CA) 4. (BC)A = (BA)(CA)
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表示“或者” “或者”有二义性，看下面两个例子： 例1-2.3. 灯泡或者线路有故障。 例1-2.4. 第一节课上数学或者上英语。 例3中的或者是可兼取的或。即析取“∨” 例4中的或者是不可兼取的或，也称之为异或、 排斥或。即“ ”.
28
1. 析取“∨”
例1-2.3. 灯泡或者线路有故障。 P：灯泡有故障。 Q：线路有故障。 例中的复合命题可表示为：P∨Q P∨Q读成P析取Q，P或者Q。 P∨Q的真值为F，当且仅当P与Q均为F。
11
数理逻辑把推理符号化之二
设M(x): x是金属 . 设C(x): x能导电. 设x 表示: 所有的x . 设 a 表示铜. 例2的推理过程表示为： 前提:x(M(x)C(x)) (所有金属都导电.) 前提:M(a) (铜是金属.) 结论:C(a) (铜能导电.) (其中符号M(x)是谓词，所以这就是第二章 “谓词逻辑”中所讨论的内容.）
31
四.条件 (蕴涵)“”
表示“如果… 则 …”， 例1-2.5： P表示：缺少水分。 Q表示：植物会死亡。 PQ：如果缺少水分，植物就会死亡。 PQ：也称之为蕴涵式，读成“P蕴涵Q”， “如果P则Q”。 也说成P是PQ 的前件，Q是PQ的后件。还 可以说P是Q的充分条件，Q是P的必要条件。
24
1-2 联结词
复合命题的构成：是用“联结词”将原子命题 联结起来构成的。 归纳自然语言中的联结词，定义了六个逻辑联 结词，分别是： (1) 否定“” (2) 合取“∧” (3) 析取“∨” (4) 异或“ ” (5) 蕴涵“” (6) 等价“”
25
一. 否定“” (Negation)
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§6 推理理论
按公认的推论规则，从前提集合中推导出一个结论， 这样的推导过程称为演绎，或者叫形式证明。
根据逻辑规则推导出来的任何结论称为有效结论。
《定义》：给定二个命题公式Ａ和Ｂ，当且仅当Ａ →Ｂ是一个永真式，则AB，可以称Ｂ是从Ａ推 导出来的，或称Ｂ是前提Ａ的有效结论。
《定义》：设H1，H2,…Hm,Ｃ都是命题公式，当且 仅当H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hm Ｃ，则可以称Ｃ是前提 集合｛ H1，H2,…Hm ｝的有效结论。
P P T(1)(2) I P T(3)(4) I
例2 证明：P∨Q , P R , Q S S∨R
证:
(1) P∨Q P
(2) P Q T(1) E
(3) Q S P
(4) P S T(2)(3) I
(5) S P T(4) E
(6) P R
P
(7) S R T(5)(6) I
式永真蕴含S，则可以把S引入推导过程。或两个 公式等价，将等价的公式引入推导过程。
例1 证明：PQ, Q R, P R 证：
(1) PQ (2) P (3) Q (4) Q R (5) R 也可以这样推理： (1) PQ (2) Q R (3) PR (4) P (5) R
P P T (1)(2) I P T(3)(4) I
证:(1) P
附加前提
(2) PQ
P
(3) Q
T(1)(2) I
(4) P ∧Q
T(1)(3) I
(5) P(P ∧Q) CP
3．反证法（归谬法）
反证法的证明思想是：将结论取反，作为附加前 提，和原有的前提集合一起推导出矛盾的结论， 则原前提集合推导出结论是成立的。 反证法也是一种间接证明法。
按公认的推论规则，从前提集合中推导出一个结论， 这样的推导过程称为演绎，或者叫形式证明。
根据逻辑规则推导出来的任何结论称为有效结论。
《定义》：给定二个命题公式Ａ和Ｂ，当且仅当Ａ →Ｂ是一个永真式，则AB，可以称Ｂ是从Ａ推 导出来的，或称Ｂ是前提Ａ的有效结论。
《定义》：设H1，H2,…Hm,Ｃ都是命题公式，当且 仅当H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hm Ｃ，则可以称Ｃ是前提 集合｛ H1，H2,…Hm ｝的有效结论。
P P T(1)(2) I P T(3)(4) I
例2 证明：P∨Q , P R , Q S S∨R
证:
(1) P∨Q P
(2) P Q T(1) E
(3) Q S P
(4) P S T(2)(3) I
(5) S P T(4) E
(6) P R
P
(7) S R T(5)(6) I
式永真蕴含S，则可以把S引入推导过程。或两个 公式等价，将等价的公式引入推导过程。
例1 证明：PQ, Q R, P R 证：
(1) PQ (2) P (3) Q (4) Q R (5) R 也可以这样推理： (1) PQ (2) Q R (3) PR (4) P (5) R
P P T (1)(2) I P T(3)(4) I
证:(1) P
附加前提
(2) PQ
P
(3) Q
T(1)(2) I
(4) P ∧Q
T(1)(3) I
(5) P(P ∧Q) CP
3．反证法（归谬法）
反证法的证明思想是：将结论取反，作为附加前 提，和原有的前提集合一起推导出矛盾的结论， 则原前提集合推导出结论是成立的。 反证法也是一种间接证明法。
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§6 推理理论
按公认的推论规则，从前提集合中推导出一个结论， 这样的推导过程称为演绎，或者叫形式证明。
根据逻辑规则推导出来的任何结论称为有效结论。
《定义》：给定二个命题公式Ａ和Ｂ，当且仅当Ａ →Ｂ是一个永真式，则AB，可以称Ｂ是从Ａ推 导出来的，或称Ｂ是前提Ａ的有效结论。
《定义》：设H1，H2,…Hm,Ｃ都是命题公式，当且 仅当H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hm Ｃ，则可以称Ｃ是前提 集合｛ H1，H2,…Hm ｝的有效结论。
P P T(1)(2) I P T(3)(4) I
例2 证明：P∨Q , P R , Q S S∨R
证:
(1) P∨Q P
(2) P Q T(1) E
(3) Q S P
(4) P S T(2)(3) I
(5) S P T(4) E
(6) P R
P
(7) S R T(5)(6) I
式永真蕴含S，则可以把S引入推导过程。或两个 公式等价，将等价的公式引入推导过程。
例1 证明：PQ, Q R, P R 证：
(1) PQ (2) P (3) Q (4) Q R (5) R 也可以这样推理： (1) PQ (2) Q R (3) PR (4) P (5) R
P P T (1)(2) I P T(3)(4) I
(H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hm) ∨A∨B (H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hm) ∨(A∨B) (H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hm) (A B ) (H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hm) (A B )为永真式，则根据永真蕴 含定义知：H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hm AB成立。
要证明 H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hm AB,可以转变为证明
H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hm∧A B 。
解释： 若H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hm∧A B 成立，则根据永真 蕴含定义，H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hm∧A B 为永真式。
而H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hm∧A B
(H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hm∧A) ∨B
T(1) (2) I
(4) P (Q∨R) P
(5) P
P
(6) Q∨R
T(4) (5) I
(7) Q R
T(6) E
(8)
R
T(3) (7) I
(9)
R∨T
T(8) I
2. CP规则证明
设H1，H2,…Hm是命题公式， 要证明H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hm AB， 是否可以转变为证明H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hm∧A B？ CP规则证明思想是:如果能从A和给定的前提集合
证明：由条件H1H2 … Hm ¬C F ∴ H1H2 … Hm ¬C必定为永假式。
而H1H2 … Hm是一致的，即为永真式，从而 只有¬C为永假式，则C 一定为永真式，则
《定义》给出命题公式H1,H2…Hm， H1H2 … Hm 具有 真值为“T”，则命题公式集合 {H1,H2…Hm} 称为是一 致的。否则称 {H1,H2…Hm} 是非一致的。
《定理》设 {H1,H2…Hm} 是一致的，同时设C是一 个命题公式，如果前提集合{H1,H2…Hm,¬C}是非 一致的，则一定有H1,H2…HmC成立。
(8) S∨R
T(7) E
例3 构造下面推理的证明。 2是素数或合数。若2是素数，则 是无理数。则
是无理数，则4不是素数。所以，如果4是素数，则2 是合数。
翻译：P ：2是素数 Q:2是合数 R: 是无理数 S:4是素数
前提： P∨Q, P R, R S
结论： S Q
例3 证明：前提： P∨Q, P R, R S
结论： S Q
证:
(1) P∨Q P
(2) P Q T(1) E
(3) P R P
(4) R S P
(5) P S T(3) (4) I
(6) S P T(5)E
(7) S Q
T(2)(6) I
例4 构造下面推理的证明。 如果今天是周六，我们就去颐和园或圆明园玩。如果 颐和园游人太多，就不去颐和园。今天是周六，并且 颐和园游人太多。所以我们去圆明园或动物园玩。
翻译：P ：今天是周六 Q:我们到颐和园玩 R: 我们到圆明园玩 S:颐和园游人太多 T:我们到动物园玩
前提： P (Q∨R), S Q, P ， S
结论： R∨T
例4 证明：前提： P (Q∨R), S Q, P , S
结论： R∨T
证:
(1) SP(2)ຫໍສະໝຸດ S QP(3) Q
{H1 , H2 , … , Hm }中推导出B，则就能从前提集合 {H1 , H2 , … , Hm }中推导出A B。 即：要证明 H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hm AB,可以转变 为证明H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hm∧A B 。 CP规则证明方法是一种间接证明法。
CP规则证明方法为什么成立？
逻辑推理证明方法
我们只讨论命题论证的有效性，而不去讨论命题 的真假值；所以在推论规则中不需要有真值表， 也不需要对命题进行真值指派。 1．直接证明法： 直接证明法的思想是根据给定的前提，依据常用 的永真蕴含式和等价公式，并利用P规则和T规则 推导出结论。
逻辑推理需要应用的二个规则： P规则：在推导的过程中引入前提（条件） T规则：在推导过程中，如果前面有一个或多个公
证:(1) P
附加前提
(2) PQ
P
(3) Q
T(1)(2) I
(4) P ∧Q
T(1)(3) I
(5) P(P ∧Q) CP
3．反证法（归谬法）
反证法的证明思想是：将结论取反，作为附加前 提，和原有的前提集合一起推导出矛盾的结论， 则原前提集合推导出结论是成立的。 反证法也是一种间接证明法。
例1 P(Q S), ¬R∨P, Q RS
证: (1) R
附加前提
(2) ¬R∨P
P
(3) RP
T(2) E
(4) P
T(1)(3) I
(5) P(Q S) P
(6) Q S
T(4)(5) I
(7) Q
P
(8) S
T(6)(7) I
(9) RS
CP
例2 PQ P (P ∧Q)
按公认的推论规则，从前提集合中推导出一个结论， 这样的推导过程称为演绎，或者叫形式证明。
根据逻辑规则推导出来的任何结论称为有效结论。
《定义》：给定二个命题公式Ａ和Ｂ，当且仅当Ａ →Ｂ是一个永真式，则AB，可以称Ｂ是从Ａ推 导出来的，或称Ｂ是前提Ａ的有效结论。
《定义》：设H1，H2,…Hm,Ｃ都是命题公式，当且 仅当H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hm Ｃ，则可以称Ｃ是前提 集合｛ H1，H2,…Hm ｝的有效结论。
P P T(1)(2) I P T(3)(4) I
例2 证明：P∨Q , P R , Q S S∨R
证:
(1) P∨Q P
(2) P Q T(1) E
(3) Q S P
(4) P S T(2)(3) I
(5) S P T(4) E
(6) P R
P
(7) S R T(5)(6) I
式永真蕴含S，则可以把S引入推导过程。或两个 公式等价，将等价的公式引入推导过程。
例1 证明：PQ, Q R, P R 证：
(1) PQ (2) P (3) Q (4) Q R (5) R 也可以这样推理： (1) PQ (2) Q R (3) PR (4) P (5) R
P P T (1)(2) I P T(3)(4) I
(H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hm) ∨A∨B (H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hm) ∨(A∨B) (H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hm) (A B ) (H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hm) (A B )为永真式，则根据永真蕴 含定义知：H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hm AB成立。
要证明 H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hm AB,可以转变为证明
H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hm∧A B 。
解释： 若H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hm∧A B 成立，则根据永真 蕴含定义，H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hm∧A B 为永真式。
而H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hm∧A B
(H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hm∧A) ∨B
T(1) (2) I
(4) P (Q∨R) P
(5) P
P
(6) Q∨R
T(4) (5) I
(7) Q R
T(6) E
(8)
R
T(3) (7) I
(9)
R∨T
T(8) I
2. CP规则证明
设H1，H2,…Hm是命题公式， 要证明H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hm AB， 是否可以转变为证明H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hm∧A B？ CP规则证明思想是:如果能从A和给定的前提集合
证明：由条件H1H2 … Hm ¬C F ∴ H1H2 … Hm ¬C必定为永假式。
而H1H2 … Hm是一致的，即为永真式，从而 只有¬C为永假式，则C 一定为永真式，则
《定义》给出命题公式H1,H2…Hm， H1H2 … Hm 具有 真值为“T”，则命题公式集合 {H1,H2…Hm} 称为是一 致的。否则称 {H1,H2…Hm} 是非一致的。
《定理》设 {H1,H2…Hm} 是一致的，同时设C是一 个命题公式，如果前提集合{H1,H2…Hm,¬C}是非 一致的，则一定有H1,H2…HmC成立。
(8) S∨R
T(7) E
例3 构造下面推理的证明。 2是素数或合数。若2是素数，则 是无理数。则
是无理数，则4不是素数。所以，如果4是素数，则2 是合数。
翻译：P ：2是素数 Q:2是合数 R: 是无理数 S:4是素数
前提： P∨Q, P R, R S
结论： S Q
例3 证明：前提： P∨Q, P R, R S
结论： S Q
证:
(1) P∨Q P
(2) P Q T(1) E
(3) P R P
(4) R S P
(5) P S T(3) (4) I
(6) S P T(5)E
(7) S Q
T(2)(6) I
例4 构造下面推理的证明。 如果今天是周六，我们就去颐和园或圆明园玩。如果 颐和园游人太多，就不去颐和园。今天是周六，并且 颐和园游人太多。所以我们去圆明园或动物园玩。
翻译：P ：今天是周六 Q:我们到颐和园玩 R: 我们到圆明园玩 S:颐和园游人太多 T:我们到动物园玩
前提： P (Q∨R), S Q, P ， S
结论： R∨T
例4 证明：前提： P (Q∨R), S Q, P , S
结论： R∨T
证:
(1) SP(2)ຫໍສະໝຸດ S QP(3) Q
{H1 , H2 , … , Hm }中推导出B，则就能从前提集合 {H1 , H2 , … , Hm }中推导出A B。 即：要证明 H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hm AB,可以转变 为证明H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hm∧A B 。 CP规则证明方法是一种间接证明法。
CP规则证明方法为什么成立？
逻辑推理证明方法
我们只讨论命题论证的有效性，而不去讨论命题 的真假值；所以在推论规则中不需要有真值表， 也不需要对命题进行真值指派。 1．直接证明法： 直接证明法的思想是根据给定的前提，依据常用 的永真蕴含式和等价公式，并利用P规则和T规则 推导出结论。
逻辑推理需要应用的二个规则： P规则：在推导的过程中引入前提（条件） T规则：在推导过程中，如果前面有一个或多个公
证:(1) P
附加前提
(2) PQ
P
(3) Q
T(1)(2) I
(4) P ∧Q
T(1)(3) I
(5) P(P ∧Q) CP
3．反证法（归谬法）
反证法的证明思想是：将结论取反，作为附加前 提，和原有的前提集合一起推导出矛盾的结论， 则原前提集合推导出结论是成立的。 反证法也是一种间接证明法。
例1 P(Q S), ¬R∨P, Q RS
证: (1) R
附加前提
(2) ¬R∨P
P
(3) RP
T(2) E
(4) P
T(1)(3) I
(5) P(Q S) P
(6) Q S
T(4)(5) I
(7) Q
P
(8) S
T(6)(7) I
(9) RS
CP
例2 PQ P (P ∧Q)