轴对称与中心对称(20200915085308)
第25讲 轴对称与中心对称
3 A． 5
5 B． 3
7 C． 3
5 D． 4
【解析】∵ 矩形 ABCD 沿对角线 AC 折叠， 使△ ABC 落在 △ AEC 的位置，∴ AE＝ AB，∠ E＝∠ B＝ 90°.又∵四边形 ABCD 为矩形，∴ AB＝ CD，∴ AE＝ CD．在△ AEF 与 △ CDF 中，∠ AFE ＝ ∠ CFD，∠ E＝∠ D， AE＝ CD，∴△ AEF≌△ CDF(AAS)， ∴ EF＝ DF， FC＝ FA．设 FA＝ x，则 FC＝ x， FD＝ 6－ x.在 13 Rt△ CDF 中，CF ＝ CD ＋ DF ，即 x ＝ 4 ＋ (6－ x) ，解得 x＝ ， 3
∴直线 CB2 的函数解析式为 y＝－ 2x＋ 2. 当 x＝ 0 时，y＝ 2， ∴点 P 的坐标为(0， 2).
方法总结 ： 作一个图形的轴对称图形，一种方法是通过作垂线并截取， 作出各个关键点的对称点，顺次连接关键点即可得到；另一种方 法是根据关于 x 轴、y 轴、原点对称的点的坐标的特点求出对称点 的坐标，然后描点作出对称图形．
3．轴对称的基本性质 (1)对应点所连的线段被对称轴 垂直平分 ； (2)对应线段 相等 ，对应角 相等 ． 4．轴对称和轴对称图形的区别 轴对称涉及两个图形，是两个图形的位置关系；轴对称图形 是对一个图形本身而言的.
考点二
中心对称图形与中心对称
1．中心对称图形 在平面内， 把一个图形绕某一个点旋转 180°， 如果旋转后的 图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形， 这个点叫做它的对称中心，旋转前后图形上能够重合的点叫做对 称点． 2．中心对称 在平面内， 把一个图形绕某一个点旋转 180°， 如果它能够与 另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称， 那么这个点叫做对称中心，旋转前后两个图形上能够重合的点叫 做关于中心的对称点．
图形轴对称与中心对称
实际应用中的选择
在建筑设计、图案设计等域中，轴对称和中心对称都是 非常重要的设计原则。
在实际应用中，选择使用轴对称还是中心对称取决于具体 的需求和场景。例如，在建筑设计上，轴对称常常用于强 调建筑物的稳定性和平衡感，而中心对称则常常用于创造 更加动态和灵活的视觉效果。
04 轴对称与中心对称的数学 证明
证明方法
通过证明图形中任意一点关于对 称中心的对称点也位于该图形上， 可以证明该图形是中心对称的。
实例
平行四边形、正六边形等都是中 心对称图形。
两者证明方法的比较
轴对称和中心对称是两种不同 的对称形式，它们的证明方法 也有所不同。
轴对称的证明主要关注图形的 整体结构，而中心对称的证明 则更注重图形中每个点的位置 关系。
图形轴对称与中心对称
contents
目录
• 轴对称图形 • 中心对称图形 • 轴对称与中心对称的区别与联系 • 轴对称与中心对称的数学证明 • 轴对称与中心对称的应用
01 轴对称图形
定义与特性
定义
如果一个图形关于某条直线对称 ，那么这个图形被称为轴对称图 形。
特性
轴对称图形具有对称性，即图形 关于对称轴折叠后两部分完全重 合。
轴对称
一个图形关于一条直线对称，即如果 一个图形沿着这条直线折叠，两侧的 部分可以完全重合。
中心对称
一个图形关于一个点对称，即图形旋 转180度后与原图重合。
特性上的联系
轴对称和中心对称都是图形的一种对称特性，它们都可以使 图形看起来更加美观和平衡。
在某些情况下，一个图形可能同时具有轴对称和中心对称的 特性，例如正方形。
在实际应用中，需要根据具体 问题选择合适的证明方法。
05 轴对称与中心对称的应用
初中数学知识点总结：轴对称与中心对称
知识点总结一、轴对称与轴对称图形:1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做对称点,对应线段叫做对称线段。
2.轴对称图形:如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.注意：对称轴是直线而不是线段3。
轴对称的性质：(1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；(2)如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；(3)两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上；(4）如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
4。
线段垂直平分线：（1）定义：垂直平分一条线段的直线是这条线的垂直平分线。
（2）性质：①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
注意：根据线段垂直平分线的这一特性可以推出：三角形三边的垂直平分线交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.5。
角的平分线：(1）定义:把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线.(2）性质:①在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.②到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.注意:根据角平分线的性质,三角形的三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
6。
等腰三角形的性质与判定：性质:(1)对称性:等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，或底边上的高所在的直线是它的对称轴，或顶角的平分线所在的直线是它的对称轴；(2）三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；(3)等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。
说明：等腰三角形的性质除三线合一外，三角形中的主要线段之间也存在着特殊的性质，如:①等腰三角形两底角的平分线相等;②等腰三角形两腰上的中线相等；③等腰三角形两腰上的高相等；④等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等.判定定理：如果一个三角形的两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边)。
轴对称、中心对称图形的性质及应用
轴对称、中心对称图形的性质及应用一、轴对称图形如果把一个图形沿着某一条直线对折过来，在直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，能够重合的点互为对称点．轴对称图形具有以下的性质：(1)轴对称图形的两部分是全等的；(2)对称轴是连结两个对称点的线段的垂直平分线．在几何证题、解题时，如果是轴对称图形，则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质．譬如，等腰三角形经常添设顶角平分线；矩形和等腰梯形问题经常添设对边中点连线和两底中点连线；正方形，菱形问题经常添设对角线等等．另外，如果遇到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，补添为轴对称图形，或将轴一侧的图形通过翻折反射到另一侧，以实现条件的相对集中．例1 已知直线l外有一定点 P，试在l上求两点A、B，使AB＝m(定长)，且PA＋PB最短．分析当把P点沿l方向平移至C(如图1)，使PC＝m，那么问题就转化为在l上求一点B，使CB＋PB为最短．作法过P作PC∥l，使PC＝m，作P关于l的对称点P＇，连结CP＇交l于B．在l上作AB＝m，点A、B为所求之两点．证在l上另任取A＇B＇＝m，连PA、PA＇、PB＇，CB＇，A＇P＇，B＇P＇，则PA＇＝P＇A＇，PB＇＝P＇B＇，又PA＇B＇C 为平行四边形，∴CB＇＝PA＇．∵CB＇＋B＇P＇＞CP＇，∴ PA＇＋PB＇＞PA＋PB．例2 如图2，△ABC中，P为∠A外角平分线上一点，求证：PB＋PC＞AB＋AC．分析由于角平分线是角的对称轴，作AC关于AP的轴对称图形AD，连结DP、CP，则DP＝CP，BD＝AB＋AC．这样，把 AB＋AC、AC、PB、PC集中到△BDP中，从而由PB＋PD＞BD，可得PB＋PC＞AB＋AC．证 (略)说明通过变为轴对称图形后，起到相对集中条件的作用，又有将折线化直的作用(如AB＋AC化直为BD)．例3 等腰梯形的对角线互相垂直，且它的中位线等于m，求此梯形的高．解如图3．设等腰梯形AD∥BC，AB＝DC，对角线AC与BD相交于O，且AC⊥BD，中位线EF＝m．过AD、BC的中点M、N作直线，由等腰梯形ABCD关于直线MN成轴对称图形，∴O点在MN上，且OA＝OD，OB＝OC，AM＝DM，BN＝CN．又 AC⊥BD，故△AOD和△BOC均为等腰直角三角形．2OM＝AD，2ON＝BC．∵AD＋BC＝2EF＝2m，∴2OM＋2ON＝2m．∴OM＋ON＝m，即梯形高MN＝m．例4 凸四边形EFGH的四个顶点分别在边长为a的正方形ABCD的四条边上．证如图4，连结AA2，EE3．正方形ABCD和正方形A1BCD1关于BC对称；EFGH和E1FG1H1关于BC对称；A1BCD1和A2B1CD1关于 CD1对称；E1FG1H1和 E2F1G1H2关于CD1对称；A2B1CD1和A2B2C1D1关于A2D1对称，E2F1G1H2和E3F2G2H2关于A2D1对称．例5 如果一个四边形关于它的两组对边中点的两条连线成轴对称，则此四边形为矩形．已知如图22－5．四边形ABCD中，M、F、N、E分别为各边的中点，且MN、EF为它的对称轴．求证 ABCD是矩形．分析欲证ABCD是矩形，首先证明它是平行四边形，再证明它有一个直角即可．证∵四边形ABCD关于EF成轴对称，∴DC⊥EF，AB⊥EF，∴AB∥DC．同理AD∥BC．∴ABCD是平行四边形．∴DC＝AB．又∵DE＝DC/2，AF＝AB/2．∴DE AF，∴ADEF为平行四边形．∴AD∥EF，而DE⊥EF，∴DE⊥AD，∠D＝Rt∠．∴ABCD是矩形．二、中心对称图形如果把一个图形绕着某一点旋转180°后，能和原图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．这个点叫做对称中心，能重合的点互为对称点．中心对称图形具有以下性质：(1)关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．(2)关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一条直线上)且相等．平行四边形是中心对称图形．矩形、菱形、正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形．例6 如图6．已知ABCD，O是对角线 AC与BC的交点． EF过O点与AB交于E，与DC交于F．求证：OE＝OF．证∵O点是ABCD的对称中心，EF过O点与AB相交于E，与DC相交于F．故E、F两点是以点O为对称中心的对称点．∴OE＝OF．例7 △ABC中，底边BC上的两点M、N把BC三等分，BE是AC上的中线，AM、AN分BE 为a，b，c三部分，求：a∶b∶c．分析本题解法很多，我们利用中心对称图形求解．如图7，以E为中心，作已知图形的中心对称图形，则M＇C∥AM，N＇C ∥AN，于是可得a∶(2b＋2c)＝1/2，∴a＝b＋c，①(a＋b)∶2c＝DN＇∶N＇A＝2∶1，∴a＋b＝4c，②由①得，a－b＝c，③②＋③， 2a＝5c，∴a＝5c/2．②－③，2b＝3c，∴b＝3c/2．∴ a∶b∶c＝5c/2∶3c/2∶c＝5∶3∶2．解 (略)例8 若四边形的一组对边相等，延长这一组对边，使各与另一组对边的中点连线的延长线相交，则这两个交角必相等．已知如图8．四边形ABCD中， AD＝BC，E、F分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线分别与EF的延长线交于G、H．求证∠AGE＝∠BHE．分析为了使求证的两个角与已知条件发生联系，利用“旋转法”使角或线段搬家而沟通思路．证如图8，以E为对称中心，作△EBC的中心对称图形△EAM(即连结CE并延长CE到M 使EM＝EC，连结AM)．连结DM，AM＝BC＝AD，∴∠2＝∠3．∵DF＝FC，CE＝EM，∴DM∥HE，∴∠1＝∠2．∵AE＝EB， EM＝EC，∴AMBC是平行四边形．∴AM∥BH，而DA∥HE，∴∠3＝∠BHE．∴∠1＝∠BHE，即∠AGE＝∠BHE．习题1．如图9 一牧童在A处牧马，牧童家在B处．A、B处距河岸分别为300m、500m，CD ＝600m，天黑前，牧童从A点将马牵到河边去饮水后再赶回家．那么牧童最少要走多少米？2．证明：任一点关于正方形各边中点的对称点是一个正方形的顶点．3．求证：在四边形ABCD中，如果AB＝AD，CB＝CD，那么它的面积等于AC·BD/2．4．在直线MN两侧有A，B两点，在MN上求一点P，使P到A、B两点之差最大．5．等腰梯形的周长为22cm，中位线长为 7cm，两条对角线中点连线为3cm，求各边长．。
轴对称与中心对称
轴对称图形、中心对称图形的基本概念轴对称图形的定义如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形。
轴对称图形的性质1）如果沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴。
（对于一个图形来说）（2）把一格图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴对称。
这条直线就是对称轴。
两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重合的点）叫做对称点。
（对于两个图形来说）（3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段相等，对应角相等。
中心对称的定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称（central symmetry），这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。
中心对称的性质：∙于中心对称的两个图形是全等形。
∙关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
∙关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。
识别一个图形是否是中心对称图形就是看是否存在一点，使图形绕着这个点旋转180°后能与原图形重合。
中心对称是指两个图形绕某一个点旋转180°后，能够完全重合，这两个图形关于该点对称，该点称为对称中心.二者相辅相成，两图形成中心对称，必有对称中点，而点只有能使两个图形旋转180°后完全重合才称为对称中点。
既是轴对称图形又是中心对称图形的有：直线，线段，两条相交直线，矩形，菱形，正方形，圆等．只是轴对称图形的有：射线，角 等腰三角形，等边三角形，等腰梯形等．只是中心对称图形的有：平行四边形等．既不是轴对称图形又不是中心对称图形有：不等边三角形，非等腰梯形等．将一个圆锥的侧面沿一条垂直的直线剪开，得到一个扇形，这个扇形的半径就是圆锥母线圆锥母线。
2020年中考备考专题复习课件：图形的轴对称、中心对称(共19张PPT)
中心对称图 把一个图形绕着某点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合，
形
那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的 对称中心 ．
（一）知识回顾
Al
A′
B
C C′
A C′ O
B
A′ C
1．成轴对称的两个图形__全__等___； 2．成轴对称的两个图形中， 对称点的连线被对称轴__垂__直__平__分_____． 3．对应线段平行或在同一直线上，或所 B′ 在直线相交于对称轴上一点.
思考：平面上过点M有多少条直线，可将该多边形分割成面积相等的两部分？ 若无过点M的限制条件，这样的直线有多少条？
y B
A
G
MC
D H′
N
F
G′
H
O
F Ex
无数条
y B
A
y B
A
C
D
C
D
O
Ex
O
Ex
例6．如图，已知二次函数y=12x2+x4的图像与x轴交于点A和点B，点C为OB
中点，矩形CDEF的边CF在x轴上，顶点D、E在二次函数图像上．
直线MN必定经过其对称中心G ( 1, 54)，
由B(2,0)， D(1, 52)可得直线BD的解析式为：y=52x5
过点G作x轴的平行线交BD于点K，所以K (32, 54)，
∴a=
GK=
3 2
(
1)=
52.
y
F MC
A
GO
Bx
EN
D
方法二：
(2)由题意得：直线MN可以看做是直线BD向左平移a个单位得到，
F MC
令x=1，得y=
52，∴D(1,
几何中的轴对称与中心对称
几何中的轴对称与中心对称几何学是一门研究形状、大小以及其他属性的学科。
在几何学中，轴对称和中心对称是两个重要的概念。
它们被广泛运用在求解几何问题以及设计图形中。
本文将介绍轴对称和中心对称的概念、性质以及应用。
一、轴对称轴对称是指某个物体或图形具有对称轴，对其做关于该轴的镜像变换后仍然与原物体完全相同。
轴对称可以存在于一维、二维和三维空间中。
下面以二维平面中的图形为例来介绍轴对称的相关概念。
1. 轴对称图形的定义在二维平面中，轴对称图形是指可以找到一条直线，该直线平分图形，对该图形进行对称操作后可以完全重合。
2. 轴对称图形的性质轴对称图形有以下几个性质：（1）轴对称图形的每个点关于对称轴都有对称点，即对称轴上的任意点到对称轴的距离与该点的对称点到对称轴的距离相等。
（2）轴对称图形的对称轴是唯一的。
（3）轴对称图形的对称轴上的任意点不动。
3. 轴对称图形的应用轴对称图形在几何学、工程设计和艺术中具有广泛应用。
一些常见的轴对称图形包括圆、正方形、矩形等等。
轴对称的特性使得这些图形在设计和制作中更加方便和美观。
二、中心对称中心对称是指某个物体或图形具有对称中心，对其做关于该中心的旋转180度后仍然与原物体完全相同。
中心对称存在于二维和三维空间中。
下面以二维平面中的图形为例来介绍中心对称的相关概念。
1. 中心对称图形的定义在二维平面中，中心对称图形是指可以找到一个中心点，该中心点与图形上的任意一点的连线经过中心点，并且与连接这两个点的直线垂直。
2. 中心对称图形的性质中心对称图形有以下几个性质：（1）中心对称图形的每个点关于对称中心都有对称点，即中心点与任意一点的连线延长线与对称点相重合。
（2）中心对称图形的对称中心是唯一的。
（3）中心对称图形的对称中心上的任意点不动。
3. 中心对称图形的应用中心对称图形在几何学中常用于设计具有对称美的图形，如蝴蝶形状、心形状等。
中心对称还应用于电子产品的外观设计中，使产品更加吸引人的同时也符合人的审美观。
轴对称与中心对称ppt课件
第33讲┃ 回归教材
中考变式
1 ． [2010·绥 化 ] 如 图 33 － 5 所 示 ， 已 知 △ ABC 和 △DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上， AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点 F，连接OC、FG，则下列结论：①AE＝BD；②AG＝ BF；③FG∥BE；④∠BOC＝∠EOC，其中正确结论 的个数为( D )
例 3[2012·济宁] 如图 33－3，在平面直角坐标系
中，有一 Rt△ABC，且 A－1，3，B－3，－1，C－3，3， 已知△A1AC1 是由△ABC 旋转变换得到的．
(1) 请 写 出 旋 转 中 心 的 坐 标(0是，__0_)_____ ， 旋 转 角 是 ___9_0____度；
∵在△CMN 中，∠C＝90°，MC＝6，NC＝2 3， ∴S△CMN＝12CM·CN＝12×6×2 3＝6 3， ∴S△CAB＝4S△CMN＝4×6 3＝24 3.
∴S 四边形 MABN＝S△CAB－S△CMN＝24 3－6 3＝18 3.
第32讲┃ 归类示例
图形折叠的本质是轴对称，折叠前后的两个部分全 等．
A．6 3 B．12 3 C．18 3 D．24 3
图32－2
第32讲┃ 归类示例
[解析] 连接 CD，交 MN 于 E， ∵将△ABC 沿直线 MN 翻折后，顶点 C 恰好落在 AB 边上的点 D 处， ∴MN⊥CD，且 CE＝DE，∴CD＝2CE. ∵MN∥AB，∴△CMN∽△CAB， ∴SS△△CCMABN＝CCDE 2＝14.
第32讲┃轴对称与中心对
第32讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1 轴对称与轴对称图形
重合
轴对称图形
两个
精品数学课件 轴对称与中心对称
※中心对称和中心对称图形※
两个图形关于点对称， 叫做中心 对称。它指两个图形间的形状与 位置关系，具有这种关系的两个 图形有一些特殊性质。把一个图 形绕某一个点旋转180°,如果旋 转后的图形能够和原来的图形互 相重合,那么这个图形叫做中心对 称图形.它们的区别:中心对称是 对两个图形说的,它表示两个图形 之间的对称关系.中心对称图形是 对一个图形说的,它表示某个图形 的特性.
对称为何有如此广泛的应用？
㈠利用轴对称可以解决一些类似 修建水泵站来取最短路线的问题。 ㈡由于中心对称图形形状匀称美 观， 所以很多建筑物和工艺品上 常用这种图形做装饰图案，又因 为具有中心对称图形形状的物体， 能够在所在平面内绕对称中心平 稳地旋转，所以在生产中旋转的 零部件的形状常设计成中心对称 图形。所以对称有如此广泛的应 用。
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分 英语141分 理综291分 报考高校：
北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
班主任 孙烨：杨蕙心是一个目标高远 的学生，而且具有很好的学习品质。学 习效率高是杨蕙心的一大特点，一般同 学两三个小时才能完成的作业，她一个 小时就能完成。杨蕙心分析问题的能力 很强，这一点在平常的考试中可以体现。 每当杨蕙心在某科考试中出现了问题， 她能很快找到问题的原因，并马上拿出 解决办法。
坚持做好每个学习步骤
武亦文的高考高分来自于她日常严谨的学习 态度，坚持认真做好每天的预习、复习。 “高中三年，从来没有熬夜，上课跟着老师 走，保证课堂效率。”武亦文介绍，“班主 任王老师对我的成长起了很大引导作用，王 老师办事很认真，凡事都会投入自己所有精 力，看重做事的过程而不重结果。每当学生 没有取得好结果，王老师也会淡然一笑，鼓 励学生注重学习的过程。”
认识对称性轴对称与中心对称的区别
认识对称性轴对称与中心对称的区别对称是我们生活中十分常见的一种现象，它存在于许多事物中，包括几何形状、自然界的模式甚至人类的行为等等。
而对称性的研究是数学中一个重要的分支，有许多种类型的对称性，其中最常见的两种是轴对称和中心对称。
本文将从定义、性质、例子以及应用等方面来探究轴对称和中心对称之间的区别。
一、定义1. 轴对称：轴对称是指存在一条直线或轴，对于这条轴上的任意一点，对称曲线上存在与该点关于轴对称的同样距离的另一点。
这条轴称为轴对称的轴。
2. 中心对称：中心对称是指存在一个中心点，对于这个中心点和曲线上的任意一点，它们之间的距离相等且方向相反。
二、性质比较1. 轴对称的性质：- 轴对称的轴一般是一条直线，可以是水平、垂直或者是倾斜的。
- 对称性质仅在轴的两侧成立，而轴本身上的任意一点并不对称。
- 对称图形可以沿轴进行翻转，而形状不会改变。
2. 中心对称的性质：- 中心对称必须存在一个中心点，相对于该中心点的任意两个对称点的距离是相等的。
- 与轴对称不同，中心对称图形在中心点可以进行旋转180度，形状仍然不变。
- 中心对称图形在平面上可以无限延伸。
三、例子1. 轴对称的例子：- 许多字母如"A"、"B"、"H"、"I"等都是轴对称的。
- 镜子中的人脸、字母、图形等都具有轴对称性。
- 一个四边形ABCD，若存在一条通过AB边中点的直线作为轴，则它是轴对称的。
2. 中心对称的例子：- 圆形、椭圆和正方形等都是中心对称的。
- 许多自然界中的花朵、雪花等都具有中心对称性。
- 一个五角星ABCDE，若存在一个点O称为中心，且OA=OB=OC=OD=OE，则它是中心对称的。
四、应用1. 轴对称的应用：- 在艺术设计中，轴对称常常被用来达到平衡和美感的效果。
- 在建筑设计中，对称结构可以使建筑物更为牢固和稳定。
- 在数学和几何学中，轴对称常被用作图形的研究和描述。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
九年级教学教案（人教版）轴对称与中心对称♦课前热身2. 如图，P 是正△ ABC 内的一点，若将△ PBC 绕点B 旋转到△B . 603. 如图，镜子中号码的实际号码是4. 请写出一个是轴对称图形的图形名称•答:【参考答案】1. 2.♦考点聚焦1.理解轴对称和轴对称图形的联系与区别， ？会判断一个图形是否是轴对称图形或中心 对称图形.2 •掌握轴对称的基本特征，并能用这些特征解决简单的问题（如折叠）3 •能用轴对称和中心对称的性质设计图案.♦备考兵法1.下列四个图形中，不是 轴对称图形的是（AwJJgJWaBE*'c3. 32654. 圆、矩形等P BA 则/ PBP 的度数是（）A . 451. 本节试题多以日常生活中的工艺品、商标图案、宣传画、字母、数字为材料，判断是否是轴对称图形或中心对称图形，所以应熟练掌握基本图形的轴对称性，结合实际图形进行辨认.2 .在解轴对称和折叠类问题时，应知道折叠问题要用轴对称解决，？折痕就是两个重叠部分的对称轴，往往需要设未知数，利用勾股定理建立方程（组）解决.3 .平面上的最短距离问题，往往要作出对称点, ?利用“两点之间线段最短”解决.♦考点链接1.如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分能，那么这个图形就，这条直线就是它的2. 如果一个图形沿一条直线折叠，如果它能与另一个图形，那么这两个图形，这条直线就是，折叠后重合的对应点就3.如果两个图形关于对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段4.把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图，那么这个图形叫做图形，这个点就是它的5.把一个图形绕着某一个点旋转，如果它能够与另一个图形，那么就说这两个图形关于这个点,这个点叫做.这两个图形中的对应点叫做关于中心的6.关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过，而且被对称中心•关于中心对称的两个图形是图形.7.两个点关于原点对称时，它们的坐标符号，即点P（xy）关于原点的对称点p1♦典例精析例1 （内蒙古包头）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（口矣冈帶A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】B叠，直线两旁部分能够完全重合的图形，而中心对称图形是指将图形沿某个点旋转 得到的图形与原图形完全重合的图形 .故同时符合上面两个条件的是第 1、3和4个图形，正确答案选B.• -S1=S 3, S 2=S ,•图中阴影部分的面积实际为半圆A 的面积.②求这类问题中的未知线段长， 常设所求线段长为 X,把其他线段用含x 的代数式表示, 选择一个直角三角形.根据勾股定理列方程，用方程的思想求拓展变式1如图，在矩形 ABCD 中, AB=4, BC=8,将矩形沿AC 对折，点D 落在D'处, ?求：(1)线段CF 的长；(2)^ AFC 的面积.【解析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的定义,轴对称图形是指将图形沿某条直线折 例2如图，半圆 A 和半圆B 均与y 轴相切于点 0,其直径CD EF 均与x 轴垂直，以0?为顶点，仅开口方向相反的两条抛物线分别经过点两半圆的 C ，E 和 D, F ，则图中阴影部分的面积是【答案】2【解析】 由题可知，半圆 A 与半圆B 关于y 轴对称，两条抛物线关于x 轴对称,180° 后例3如图，已知折叠矩形的一边 AD,使得点D 落在 BC 边上的点F 处，且AB=8cm BC=10cm求EC 的长.【答案】解：由折叠性质知,AF=AD=10cm , EF=DE设 EC=xcm 贝U DE= (8-x ) cm. 在 Rt △ ABF 中，BF=J 10匸8^=6, • FC=BC-BF=10-6=4cm 在 Rt △ CEF 中，EF 2=EC 2+FC 2, ••( 8-X ) 2=X 2+42,即EC 的长为3cm.【点拨】①折叠问题中注意它的对称性即对应边(角)的相等性;■解.答案 (1) CF=5 (2) &AFC =10拓展变式2如图，ABCD 是矩形，AB=4cm AD=3cm 把矩形沿直线 AC 重叠，点B?落在DE 四边形ACED 是什么图形？为什么？它的面积是多少？周长是多少?♦迎考精练一、选择题下列几个图形是国际通用的交通标志，其中不是中心对称图形的是（© ® o（辽宁锦州）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是上A 处，折痕为CD 则NA'DB =E 处，连结 答案 四边形ACED 是等腰梯形.（理由略）面积为^cm 2.周长为 26 cm.25 51.（四川内江）2.3. （湖北荆门）如图，Rt △ ABC 中,/ ACB 9O°,/ A=5O ，将其折叠，使点 A 落在边CBA . 40°B . 30°C . 20°D . 10°4.（广东深圳） 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是© ◎ 9㊁其中开口向上的两个“ E ”之间的变换是（虑线剪下一个小圆和一个小三角形，然后将纸片打开是下列图中的哪一个（()5.（山东烟台）视力表对我们来说并不陌生. 如图是视力表的一部分,A. 平移B. 旋转C. 对称D. 位似标谁对数视力表 山“ m* °" UJ 310.10.136.（浙江嘉兴）判断下列两个结论:①正三角形是轴对称图形；②正三角形是中心对称图形,结果（▲）A. ①②都正确 •①②都错误C. ①正确，②错误D.①错误，②正确7. （黑龙江哈尔滨）下列图形中, 既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）8. （A ）☆(B)(C) (D)（广东省）如图所示的矩形纸片，先沿虑线按箭头方向向右对折,接着将对折后的纸片沿二、填空题1.（湖北孝感）在平面直角坐标系中，有 A （3, - 2）, B （4, 2）两点，现另取一点C （1,2. （北京市）如图，正方形纸片 ABCD 的边长为1, M N 分别是AD BC 边上的点，将纸片的一角沿过点B 的直线折叠，使 A 落在MN±,落点记.为A',折痕交AD 于点E,若M N 分别 ;若M N 分别是AD BC 边的上距DC 最近的n 等分点3. （湖南娄底）如图，O 0的半径为2, G 是函数y =lx 2的图象，C 是函数y =-丄x 的图象,2 2则阴影部分的面积是4.（陕西省）如图，在锐角△ ABC 中，AB = 4忑,/ BAC= 45°, / BAC 的平分线交 BC 于点D, M N 分别是AD 和AB 上的动点，贝U BM+M 的最小值是三、解答题1.（湖南娄底）如图所示，每个小方格都是边长为 1的正方形，以0点为坐标原点建立平面ooA.B.c.n ),当 n =时，AC + BC 的值最小.是AD BC 边的中点，贝U A N= （n >2,且n 为整数），则A N=（用含有n 的式子表示）ClCiCfi直角坐标系.（1）画出四边形 OAB （关于y 轴对称的四边形 OAB i C ，并写出点B 的坐标是（2）画出四边形 OAB （绕点O 顺时针方向旋转 90°后得到的四边形 OABQ ，并求出点C 旋2.（吉林长春）图①、图②均为 7x6的正方形网格，点 A B C 在格点上.（1）在图①中确定格点D ，并画出以 A B C 、D 为顶点的四边形，使其为轴对称图形.（画一个即可）（3分）形.（画一个即可）（3分）（2）在图②中确定格点 E ，并画出以 AB 、C 、E 为顶点的四边形，使其为中心对称图- L . ’： ■B •「■ b _ J = ''f ! 1 i图①…A ,.…■■ -■ ■ ■・4 ■■ ■・* ■■ ■..■ . .jf .、.事B;i 1 …j i …■ ■ ■■ * ■■■ -ll ■■■ : : ■ ■ ■ 1 ■ 11■ j C i1ii-i_.,；.iJ转到点C 2经过的路径的长度.图②3. （湖北恩施）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧, AB = 50km，A、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客.小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S = PA + PB，图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A，连接BA交直线X于点P），P到A、B的距离之和（1 ）求S、S2，并比较它们的大小;（2）请你说明S^PA + PB的值为最小;（3）拟建的恩施到张家界高速公路丫与沪渝高速公路垂直，建立.如图（3）所示的直角坐标系，B到直线丫的距离为30km，请你在X旁和丫旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.Ft4.(广西南宁)已知△ ABC 在平面直角坐标系中的位置如图10所示.(1 )分别写出图中点 A 和点C 的坐标;(2)画出△ ABC 绕点C 按顺时针方向旋转 90°后的△ A'BC'；(3)求点A 旋转到点A 所经过的路线长(结果保留n ).5.（湖南益阳） 如图，△ .ABC 中，已知/ BAC= 45 ° , ADI BC 于 D, BD= 2, DG= 3,求 AD 的小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题 请按照小萍的思路，探究并解答下列问题:(1)分别以AB AC 为对称轴，画出△ ABD △ ACD 勺轴对称图形，D 点的对称点为 E 、F ,延利用勾股定理，建立关于 X 的方程模型，求出 X 的值.— —「IT★ —丄11 | I K 11「11—1「1」1」- - ■- " f - - U rIrlhILIIr -• I -一 ■一 ■ r ■\-一 ■一 - /i -- — II-I 4-1-I —I*、1■-1 41 —- - ■ - 4 - - - A ■- ■-- ■- F 37654321nu长EB FC 相交于G 点，证明四边形 AEGF 是正方形;⑵设ADX ,A•••/ ADC / A DC=85°,.・./ A DE =10°，故选4. 5. 6. 7.只有D 即是轴对称图形又是中心对称图形8. C填空题（2）如图:90 X 兀L= ------------180【参考答案】 选择题1. 2. 3.解析：本题考查轴对称的有关知识，由折叠可知,/ ACD / A CD=45°, / A =/ CA D=50°【解析】A B 均是轴对称图形但不是中心对称图形,C 是中心对称图形但不是轴对称图形1. --（或-0.4）52.73 J 2n —13. 4.解答题1.解：（1） 如图:B i 的坐标是（-6 , 2）(2)有以下答案供参考:B 作 BCL AP,垂足为 C,则 PC=40，又 AP =10,在 Rt △ ABC 中，AB=5O AC=3O •• BC=4O•- BP = J cp 2 +BC 2 = 4O 72S = 4O 72 +10⑵图10 (2)中，过 B 作BC L AA'垂足为 C ,贝U A 0=50,又 BC=4O• BA'= j 402 +502 = 10#不•••S 2=BA'= 10(41由轴对称知: PA=PA' A/ s—•••AC=30二 S 1 > S 2⑵ 女0图10 (2),在公路上任找一点 M,连接 MA,MB,MA ，,由轴对称知 MA=MA' ••• MB+MA=MB+M A 'A'B ••• S 2=BA'为最小(3) 过A 作关于X 轴的对称点A',过B 作关于丫轴的对称点B'，连接A'B',交X 轴于点P,交丫轴于点Q,则P,Q 即为所求 过A'、B'分别作X 轴、丫轴的平行线交于点 G,A'B'= Jl002 + 502 = 5OJ5(2)图略..(3) AC = 3V 25. (1)证明：由题意可得：△ ABD^A ABE △ ACD^A ACF.•••/ DAB=/ EAB , / DAC=/ FAC ，又/ BAC= 45°,•••/ EAF= 90°又••• AD 丄 BC•••/ E =/ ADB= 90 ° / F =/ ADC= 90°又••• AE= AD AF = AD ••• AE = AF•••四边形AEGF 是正方形.⑵ 解：设 AD= x ，贝y AE= EG= GF= x .••• BD= 2, DC= 3•- BE = 2 , CF = 3•- BG= x — 2, CG= x —3.4.解：(1)A(0,4 卜C(3,1 );AA ・=空归180•••所求四边形的周长为 50 +50在Rt △ BGC中, BG2＋CG2= BC2• ( x—2) 2＋(x—3) 2= 52.化简得, x —5x —6= 0解得x1= 6, x2 =—1(舍)所以AD= x= 6。