数据的n次拟合多项式
《数值计算方法》试题集及答案(1-6)#优选.
《计算方法》期中复习试题一、填空题：1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得⎰≈31_________)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。
答案：2.367，0.252、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。
答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+5、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式⎰1d )(xx f ≈(⎰++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )；12、 为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+ 。
13、 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。
n次泰勒多项式
n次泰勒多项式
次泰勒多项式是用来描述不同函数曲线的拟合问题，是一种高级数学概念，在实际应用中有着广泛的应用，比如计算机图像处理，机器人控制等等。
次泰勒多项式的本质是将一个函数的连续局部片段进行逼近，使每一段函数片段都符合某一种特定的数学形式，以便解决实际问题。
它的典型表达式的形式是：
f(x)=f[0]+f[1]*x+f[2]*x^2+f[3]*x^3+……+f[n]*x^n
其中f [0], f [1], f [2]等是预先设定的常数系数，这些系数不受外部条件影响。
次泰勒多项式有很多应用，首先，它能快速解决寻找最优解的问题，比如途径最短的一段路线；其次，它可以帮助我们快速计算某个区域的面积。
此外，次泰勒多项式也广泛用于机器学习，在机器学习中我们采用次泰勒多项式可以更好地拟合数据，从而使算法输出得到改进。
次泰勒多项式是一个强大的工具，可以有效地对不同函数曲线进行逼近，为我们解决实际问题，给出最优解提供帮助。
它可以用于机器学习，挖掘数据，并实现自动拟合；它也可以快速精准计算函数曲线下特定区域的面积，求解最短路径等。
由此可见，次泰勒多项式在多个领域的实用价值，帮助我们更好地解决实际问题，它的重要性不言而喻。
多项式的插值多项式与Newton插值知识点
多项式的插值多项式与Newton插值知识点多项式的插值多项式是数值分析中的一个重要概念，它用于将给定的一组数据点拟合为一个多项式函数。
在多项式的插值问题中，给定n + 1个数据点(x0, y0), (x1, y1), ... , (xn, yn)，其中xi不相等，yi可以是任意实数，要求找到一个n次多项式P(x)，使得P(xi) = yi，i = 0, 1, ..., n。
插值多项式的目的是通过已知的数据点，找到一个多项式函数，从而能够在这些数据点上精确地插值。
Newton插值是一种常用的插值方法，它采用了差商的概念。
差商是一种用于表示多项式系数的方法，通过递推关系可以快速计算出插值多项式的系数。
为了使用Newton插值，首先需要计算出差商表。
差商表的第一列是给定的数据点的纵坐标值，第二列是相邻数据点的差商，第三列是相邻差商的差商，以此类推。
差商表的对角线上的元素即为插值多项式的系数。
插值多项式的计算过程可以通过以下步骤来完成：1. 根据给定的数据点，构建差商表。
2. 根据差商表的对角线上的元素，计算插值多项式的系数。
3. 根据插值多项式的系数，构建插值多项式。
在实际应用中，多项式的插值多项式可以用于数据的拟合和插值计算。
通过插值多项式，我们可以通过已知数据点推断出未知数据点的值，从而实现对数据的预测和估计。
总结起来，多项式的插值多项式与Newton插值是数值分析中常用的方法。
它们通过利用已知的数据点，构建插值多项式来拟合数据，从而实现数据的预测和插值计算。
在实际应用中，我们可以根据具体的问题和数据特点选择适合的插值方法，并利用插值多项式进行数据的分析和处理。
matlab多元多次曲线拟合
matlab多元多次曲线拟合
在实际数据处理过程中，经常会遇到需要对多个变量进行拟合的情况，此时就需要用到matlab多元多次曲线拟合。
该方法可以通过实现多元多项式模型来拟合多个变量之间的复杂关系，使得数据更加精确、有用。
在matlab中，可以使用“polyfitn”函数实现多元多次曲线拟合。
该函数可以接收处理数据的X,Y和拟合次数N，然后返回多项式系数P。
对于N次多项式拟合，P将包含（N+1）×M个元素，其中每M个元素对应于一个变量。
使用“polyvaln”函数，可以用返回的多项式系数P对新数据进行拟合，从而得到预测结果。
同时，还可以使用“rsquare”函数评估模型的拟合程度，得到模型的预测能力。
需要注意的是，多元多次曲线拟合可能会出现过拟合问题。
因此，使用交叉验证等方法进行模型选择和优化是非常重要的。
总之，matlab多元多次曲线拟合是一种非常有效的数据处理方法，可以应用于多变量拟合的场合。
通过掌握该方法，可以更好地理解数据之间的复杂关系，并提高数据处理的效率和准确性。
matlab输入数据求拟合函数方程
matlab输入数据求拟合函数方程
在使用MATLAB进行数据分析和处理时，有时需要对一组数据进行拟合，并得到拟合函数方程。
以下是一些常见的方法：
1. 线性拟合：使用polyfit函数进行线性拟合，得到一个一次函数的系数，即拟合函数方程为y=ax+b。
代码示例：
```matlab
x = [1 2 3 4 5];
y = [2 4 6 8 10];
p = polyfit(x,y,1);
a = p(1);
b = p(2);
f = @(x) a*x+b;
```
2. 多项式拟合：使用polyfit函数进行多项式拟合，得到一个n次函数的系数，即拟合函数方程为y=a0+a1*x+a2*x^2+...+an*x^n。
代码示例：
```matlab
x = [1 2 3 4 5];
y = [2 4 6 8 10];
p = polyfit(x,y,2);
a0 = p(1);
a1 = p(2);
a2 = p(3);
f = @(x) a0+a1*x+a2*x^2;
```
3. 非线性拟合：使用fit函数进行非线性拟合，需要指定拟合
函数模型和初始参数值，得到拟合函数方程。
代码示例：
```matlab
x = [1 2 3 4 5];
y = [2.2 3.8 6.5 8.1 10.5];
f = fit(x',y','a*exp(b*x)+c','StartPoint',[1 1 1]);
```
以上是几种常见的方法，根据具体问题选择合适的方法进行拟合。
离散点拟合曲线算法
离散点拟合曲线算法一、概述离散点拟合曲线算法是一种通过给定的离散数据点来拟合出一条连续的曲线的方法。
这种算法在实际应用中非常常见，比如在图像处理、机器学习、数据分析等领域都有广泛的应用。
二、常见的离散点拟合曲线算法1. 多项式拟合多项式拟合是最简单和最常用的拟合方法之一。
它通过给定的数据点，构造一个多项式函数来逼近真实曲线。
通常情况下，多项式函数为n次多项式，其中n为给定数据点数减1。
多项式函数可以表示为：f(x) = a0 + a1*x + a2*x^2 + ... + an*x^n其中a0, a1, ..., an是待求解的系数。
2. 最小二乘法拟合最小二乘法是另一种常见的离散点拟合方法。
它通过最小化误差平方和来得到一个最优解。
误差平方和可以表示为：S = Σ(yi - f(xi))^2其中yi是给定数据点中第i个点的y坐标，f(xi)是x坐标为xi时多项式函数f(x)的值。
3. 样条插值样条插值是一种基于分段多项式函数的拟合方法。
它将曲线分成若干个小段，每个小段内部使用一个低次数的多项式函数来拟合数据点。
这种方法可以得到非常平滑的曲线，但是对于数据点较少或者分布不均匀的情况下可能会出现过拟合的问题。
三、如何选择合适的离散点拟合曲线算法在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的离散点拟合曲线算法。
以下是一些选择算法的建议：1. 数据量较少且分布均匀时，可以使用多项式拟合。
2. 数据量较大或者存在一定噪声时，可以使用最小二乘法拟合。
3. 需要得到平滑曲线时，可以使用样条插值。
4. 如果需要同时考虑多个因素来进行拟合，则可以使用多元回归分析。
四、常见问题及解决方案1. 过拟合问题过拟合是指模型在训练集上表现很好，但在测试集上表现很差的情况。
解决过拟合问题有以下几种方法：a. 增加训练数据量；b. 减小模型复杂度；c. 正则化。
2. 数据量不足问题如果数据量不足，可能会导致拟合曲线的精度不高。
解决这个问题的方法是增加数据量或者使用更加复杂的模型。
VB开发的N次多项式拟和程序
Sub grid()
'
' For j = 0 To MSFlexGrid1.Cols - 1
'
' MSFlexGrid1.ColWidth(j) = 800
'
' Next j
'For j = 0 To MSFlexGrid1.Cols - 1
'
' MSFlexGrid1.ColAlignment(j) = 4
If (Hmax <> i) Then
For K = i To E + 1
T = a(Hmax, K)
a(Hmax, K) = a(i, K)
a(i, K) = T
Next K
End If '****************************
For j = i + 1 To E
Y = a(j, i) / a(i, i)
Y = Y + a(i, j) * X(j)
Next j
X(i) = (a(i, E + 1) - Y) / a(i, i)
Next i
For j = 1 To E
Text1(j - 1).Text = X(j)
Next j
'
MSFlexGrid2.TextMatrix(0, 1) = "X"
MSFlexGrid2.TextMatrix(0, 2) = "Y"
Next P
For j = 1 To E
a(j, E + 1) = X(j)
Next j
Dim Zmax, Hmax As Double
《数值计算方法》试题集及答案(1-6) 2
《计算方法》期中复习试题一、填空题：1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生(辛卜生）公式计算求得⎰≈31_________)(dx x f ，用三点式求得≈')1(f 。
答案:2。
367,0。
252、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。
答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；4、设)(x f 可微，求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+5、对1)(3++=x x x f ，差商=]3,2,1,0[f ( 1 ）,=]4,3,2,1,0[f （ 0 ）；6、计算方法主要研究（ 截断 ）误差和（ 舍入 )误差；7、用二分法求非线性方程f (x ）=0在区间（a ,b ）内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n ab ）；8、已知f (1)＝2，f （2）＝3,f （4）＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 ）； 11、 两点式高斯型求积公式⎰1d )(xx f ≈(⎰++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f ），代数精度为( 5 ）；12、 为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ,为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为 199920012+ 。
13、 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间［0,1]内的根，进行一步后根的所在区间为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5,0.75 。
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数据的n次拟合多项式第一章绪论1.1课题国内外研究动态，课题研究背景及意义1.2国内外的研究现状1.3发展趋势第二章数据拟合的基本理论2.1 最小二乘曲线拟合2.2 线性拟合函数2.3 二次拟合函数2.4多项式拟合函数2.5 小结第三章数据拟合的应用实例3.1 数据拟合在物理实验中的应用3.2 数据拟合在经济监控中的应用3.3 模型评价参考文献附录第一章绪论1.1课题国内外研究动态，课题研究背景及意义数学分有很多学科，而它主要的学科大致产生于商业计算的需要、了解数字间的关系、测量土地及预测天文事件。
而在科技飞速发展的今天数学也早已成为众多研究的基础学科。
尤其是在这个信息量巨大的时代，实际问题中得到的离散数据的处理也成为数学研究和应用领域中的重要的课题。
在解决实际工程问题和科学实验的过程中，经常需要通过研究某些变量之间的函数关系，帮我们去认识事物内在的规律和本质属性，这些变量间的未知的关系一般隐含在从观测、试验而得到的一组离散的数据之中。
所以，是否能够根据一组试验观测数据来找到变量之间的相对准确的函数关系成为了解决工程实际问题的关键。
在实际问题中，通过观测数据能否正确揭示某些变量之间的关系，进而正确认识事物的内在规律与本质属性，往往取决于两方面因素。
其一是观测数据的准确性或准确程度，这是因为在获取观测数据的过程中一般存在随机测量误差，导致所讨论的变量成为随机变量。
其二是对观测数据处理方法的选择，即到底是采用插值方法还是用拟合方法[1-3]，插值方法之中、拟合方法之中又选用哪一种插值或拟合技巧来处理观测数据。
插值问题忽略了观测误差的影响，而拟合问题则考虑了观测误差的影响。
但由于观测数据客观上总是存在观测误差，而拟合函数大多数情况下是通过经验公式获得的，因此要正确揭示事物的内在规律，往往需要对大量的观测数据进行分析，尤为重要的是进行统计分析。
统计分析的方法有许多，如方差分析、回归分析等。
数据拟合虽然较有效地克服了随机观测误差的影响，但从数理统计的角度看，根据一个样本计算出来的拟合函数(系数)，只是拟合问题的一个点估计，还不能完全说明其整体性质。
因此，还应该对拟合函数作区间估计或假设检验，如果置信区间太大或包含零点，则由计算得到的拟合函数系数的估计值就毫无意义。
所以，据科学和工程问题可以通过比如采样、实验等方法而得到若干的离散的数据，根据这些离散的数据，我们往往希望能得到一个连续函数(也就是曲线)或者更加密集的离散方程与已知数据相吻合。
这个过程叫做拟合。
也就是说，如果数据不能满足某一个特定的函数的时候，而要求我们所要求的逼近函数“最优的” 靠近那些数据点，按照误差最小的原则为最优标准来构造出函数。
我们称这个函数为拟合函数。
现在，对数据点进行函数拟合以获得信息模型是许多工程应用领域的一个核心问题。
而为了适应这个多元化的世界中，为了能够满足各种各样的应用领域的要求，针对他们而对各种拟合方法的改进和研究也从未停止过。
1.1.1国内外的研究现状在通过对国内外有关的学术刊物(如《计算机科学》、《宇航学报》、《中原工学院学报》等)、国际国内有关学术会议和网站的论文进行分析。
数据拟合的研究和应用主要是面对各种工程问题，有着系统的研究和很大的发展。
通过研究发展使得数据拟合有着一定的理论研究基础。
尤其是关于数据拟合基本的方法最小二乘法[4-9]的研究有着各种研究成果。
但是，由于现实问题的复杂性，数据拟合还拥有很好的研究空间，还有很多能够优化和创新的问题需要去研究和探索。
各种算法的改进和应用以及如何得到合适的模型一直是一个比较热门的研究领域。
例如，国内外文献里提出了很多基于形状的描述方法，比如傅氏描述子法、多边形法、累积角法等, 其中以二次曲线和超二次曲线来拟合物体的边界形状并进行物体的描述已获得广泛应用。
现在,我们应用高次隐式多项式曲线来作为物体的几何模型受到广泛的重视。
应用高次隐式多项式曲线和曲面[10-15]为各个领域的数据进行可视化建模还没有广泛的研究。
用隐式多项式曲线来描述数据点集合的轮廓有天然的优势,在数据点集合轮廓的拟合过程中，为业务信息建模所具有的优点，其它建模方法根本无法比拟，这主要是因为隐式多项式曲线有着精确的表达能力，隐式多项式曲线的参数完全取决于它的次数和系数，解析式明确，操纵和使用方便，它还具有着天然的数据噪声过滤能力和修补能力。
所以说，在现在这个各个工程领域飞速发展的今天，数据拟合在实际应用与研究中仍然有着不小的发展空间1.2发展趋势应用高次隐式多项式曲线和曲面为各个领域的数据进行可视化建模还没有广泛的研究。
用隐式多项式曲线来描述数据点集合的轮廓有天然的优势,在数据点集合轮廓的拟合过程中，为业务信息建模所具有的优点，其它建模方法根本无法比拟，这主要是因为隐式多项式曲线有着精确的表达能力，隐式多项式曲线的参数完全取决于它的次数和系数，解析式明确，操纵和使用方便，它还具有着天然的数据噪声过滤能力和修补能力。
隐式多项式曲线的信息建模近年有了很大的发展。
对隐式多项式曲线进行分析看出，MinMax算法十分精确地拟合了数据点的形状，并且非常的稳定，只需要对3L集合的权值参数调整问题做进一步的研究，MinMax等隐式多项式曲线的拟合算法抛弃了需要迭代的优化算法，只需要求解一个线性方程组就能够确定隐式多项式曲线方程的系数，可以说已经趋于成熟。
我们可以预见，把这种建模思想应用到各种数据点集合之中必将带来很大的发展空间。
随着计算机的广泛应用，利用计算机相关软件解数据拟合问题也已经成为了不可缺少的步骤。
第二章 数据拟合的基本理论科学和工程问题可以通过比如采样、实验等方法而得到若干的离散的数据，根据这些离散的数据，我们往往希望能得到一个连续函数(也就是曲线)或者更加密集的离散方程与已知数据相吻合。
这个过程叫做拟合。
也就是说，如果数据不能满足某一个特定的函数的时候，而要求我们所要求的逼近函数最优的靠近那些数据点，按照误差最小的原则为最优的标准来构造出函数。
在科学计算中经常要建立实验数据的数学模型。
给定函数的实验数据，需要用比较简单和合适的函数来逼近(或拟合)实验数据。
这种逼近的特点是：(1) 是需要适度的精度的； (2) 实验数据有一些小的误差；(3) 对于一些问题，可能有一些特殊的信息能够用来选择实验数据的数学模型。
逼近离散数据的基本方法就是曲线拟合，常采用最小二乘拟合。
曲线拟合问题的数学描述是，已知一组(二维)数据),(y x i i ，i = 1,2,…,n (即平面上的n 个点),(y x i i ，i = 1,2,…,n )，i x 互不相同，寻找一个函数(曲线)y = f (x )，使得f (x )在某种准则下与所有的数据点最接近，即曲线拟合得最好。
2.1 最小二乘法的基本原理从整体上考虑近似函数)(x p 同所给数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)误差i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m) 的大小，常用的方法有以下三种：一是误差ii i y x p r -=)((i=0,1,…,m)绝对值的最大值imi r ≤≤0max ，即误差 向量Tm r r r r ),,(10 =的∞—范数；二是误差绝对值的和∑=mi ir 0，即误差向量r 的1—范数；三是误差平方和∑=mi ir2的算术平方根，即误差向量r 的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算 ，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和∑=mi ir02来 度量误差i r (i=0，1，…，m)的整体大小。
数据拟合的具体作法是：对给定数据 ),(i i y x (i=0,1,…，m)，在取定的函数类Φ中,求Φ∈)(x p ,使误差i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)的平方和最小，即∑=mi ir2[]∑==-mi i iy xp 02min)(从几何意义上讲，就是寻求与给定点),(i i y x (i=0,1,…,m)的距离平方和为最小的曲线 )(x p y =（图6-1）。
函数)(x p 称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数p(x)的方法称为曲线拟合的最小二乘法。
在曲线拟合中，函数类Φ可有不同的选取方法.6—12.2线性拟合函数原理给定一组数据，做拟合直线，均方误差为（6.2）是二元函数，的极小值要满足整理得到拟合曲线满足的方程：（6.3）或称式（6.3）为拟合曲线的法方程。
用消元法或克莱姆法则解出方程：a==2.3 二次拟合函数给定数据序列，用二次多项式函数拟合这组数据。
设，作出拟合函数与数据序列的均方误差：（6.4）由多元函数的极值原理，的极小值满足整理得二次多项式函数拟合的法方程：（6.5）解此方程得到在均方误差最小意义下的拟合函数。
方程组（6.5）称为多项式拟合的法方程，法方程的系数矩阵是对称的。
当拟保多项式阶时，法方程的系数矩阵是病态的，在计算中要用双精度或一些特殊算法以保护解的准确性。
2.4 多次拟合函数假设给定数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)，Φ为所有次数不超过)(m n n ≤的多项式构成的函数类，现求一Φ∈=∑=nk kkn x ax p 0)(,使得[]min )(00202=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=∑∑∑===mi mi n k i ki k i i ny x a y x pI (1)当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的)(x p n 称为最小二乘拟合多项式。
特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。
显然∑∑==-=m i nk i k i ky x aI 02)(为n a a a ,,10的多元函数，因此上述问题即为求),,(10n a a a I I =的极值 问题。
由多元函数求极值的必要条件，得nj x y x a a I mi ji nk i ki k j,,1,0,0)(20==-=∂∂∑∑== (2)即nj y xa xnk mi i j ik mi k j i,,1,0,)(0==∑∑∑===+ (3)（3）是关于n a a a ,,10的线性方程组，用矩阵表示为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑=====+==+====m i i n i m i i i m i i n mi n i mi n imi n i mi n i mi im i i mi nimi iy x y x y a a a x xx x xx x xm 000100201001020001(4)式（3）或式（4）称为正规方程组或法方程组。
可以证明，方程组（4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。