最小二乘法数据拟合

最小二乘法数据拟合
设给定数据),(i i f x ，),,2,1(m i =
在集合},,,{Span 10n ϕϕϕ =Φ中找一个函数
)()(*
0**
x a x S k n
k k ϕ∑==，)(m n < (1) 其误差是
i i i f x S -=)(*δ，),,2,1(m i = (2)
使)(*
x S 满足
2
1
)(2
*1
1
2
])()[(min ])()[(i i m
i i x S i i m
i i m
i i
f x S x f x S x -=-=∑∑∑=Φ
∈==ωωδ
(3)
0)(≥x ω是],[b a 上给定的权函数。

上述求逼近函数)(*x S 的方法就称为曲线拟合的最小二
乘法。

满足关系式(3)的函数)(*
x S 称为上述最小二乘问题的最小二乘解。

并且有结论：
1)对于给定的函数表),(i i f x ，),,2,1(m i =，在函数类},,,{Span 10n ϕϕϕ =Φ中存在唯一的函数)()(*0**
x a x S k n
k k ϕ∑==
，使得关系式(3)成立。

2)最小二乘解的系数*
*1*0,,,n a a a 可以通过解法方程
),(),(0
ϕϕϕf a
k
n
k j
k
=∑=，),,2,1,0(n j = (4)
作为曲线拟合的一种常用的情况，如果讨论的是代数多项式拟合，即取
},,,,1{},,,{210n n x x x =ϕϕϕ
那么相应的法方程(4)就是
⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎣⎡∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑++i n i i i i i i i n n i i n i
i n i
i n i
i i
i i i n
i
i i
i i
f x f x f a a a x x
x x
x
x x x ωωωωωωωωωωωω
102112 (5)
其中，)(i i x ωω=，并且将
∑
=m
i 1
简写成“
∑
”。

此时，k
n
k k
x
a x S ∑==
**
)(，称它为数据拟合多项式，上述拟合称为多项式拟合。

例：已知某高度传感器测得的数据如下表：
试用最小二乘法求多项式曲线与此数据组拟合。

（一）算法：
解：取二次方多项式去拟合（当然也可以取三次、四次等，次数越高计算越复杂），
2210)(x a x a a x f y ++==
由式(5)可建立法方程组（其中取1)(=i x ω）
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑============712
7
171
21071
7
1
7143271717132717
17
12
1i i i i i i i i i i i i i
i i i i i i
i i i i i
i
y x y x y a a a x x
x x x x x x
(6)
由表1的数据可以计算出
∑=71
i i x ，∑=7
1
2i i
x
，
∑=7
1
3i i
x
，
∑=7
1
4i i
x
，
∑=71
i i
y ，∑=71
i i
i y x ，∑=7
1
2i i i
y x
将表2中算得的结果代入法方程(6)，可得：
⎪⎩
⎪
⎨⎧=++=++=++14762
-354100304926-10030101980-30104210210210a a a a a a a a a 解方程组可得：
⎪⎩⎪
⎨⎧-==-=88.3445472
10a a a 故所求拟合曲线为：
23864.04321.33185.1)(x x x f y -+-==
（二）用MATLAB 编程求解： 多项式函数 使用 polyfit （x,y,n ），n 为次数
拟合曲线 x=[1,2,3,4,6,7,8]; y=[2,3,6,7,5,3,2];
解：MATLAB 程序如下：
x=[1,2,3,4,6,7,8]; y=[2,3,6,7,5,3,2]; p=polyfit(x,y,2) x1=0:0.01:10; y1=polyval(p,x1); plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b')
计算结果为： p =
-0.3864 3.4318 -1.3182。