最小二乘法数据拟合

最小二乘法数据拟合

设给定数据),(i i f x ，),,2,1(m i =

在集合},,,{Span 10n ϕϕϕ =Φ中找一个函数

)()(*

0**

x a x S k n

k k ϕ∑==，)(m n < (1) 其误差是

i i i f x S -=)(*δ，),,2,1(m i = (2)

使)(*

x S 满足

2

1

)(2

*1

1

2

])()[(min ])()[(i i m

i i x S i i m

i i m

i i

f x S x f x S x -=-=∑∑∑=Φ

∈==ωωδ

(3)

0)(≥x ω是],[b a 上给定的权函数。上述求逼近函数)(*x S 的方法就称为曲线拟合的最小二

乘法。满足关系式(3)的函数)(*

x S 称为上述最小二乘问题的最小二乘解。 并且有结论：

1)对于给定的函数表),(i i f x ，),,2,1(m i =，在函数类},,,{Span 10n ϕϕϕ =Φ中存在唯一的函数)()(*0**

x a x S k n

k k ϕ∑==

，使得关系式(3)成立。 2)最小二乘解的系数*

*1*0,,,n a a a 可以通过解法方程

),(),(0

ϕϕϕf a

k

n

k j

k

=∑=，),,2,1,0(n j = (4)

作为曲线拟合的一种常用的情况，如果讨论的是代数多项式拟合，即取

},,,,1{},,,{210n n x x x =ϕϕϕ

那么相应的法方程(4)就是

⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢

⎣⎡∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑++i n i i i i i i i n n i i n i

i n i

i n i

i i

i i i n

i

i i

i i

f x f x f a a a x x

x x

x

x x x ωωωωωωωωωωωω

102112 (5)

其中，)(i i x ωω=，并且将

∑

=m

i 1

简写成“

∑

”。

此时，k

n

k k

x

a x S ∑==

**

)(，称它为数据拟合多项式，上述拟合称为多项式拟合。

例：已知某高度传感器测得的数据如下表：

试用最小二乘法求多项式曲线与此数据组拟合。

（一）算法：

解：取二次方多项式去拟合（当然也可以取三次、四次等，次数越高计算越复杂），

2210)(x a x a a x f y ++==

由式(5)可建立法方程组（其中取1)(=i x ω）

⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑============712

7

171

21071

7

1

7143271717132717

17

12

1i i i i i i i i i i i i i

i i i i i i

i i i i i

i

y x y x y a a a x x

x x x x x x

(6)

由表1的数据可以计算出

∑=71

i i x ，∑=7

1

2i i

x

，

∑=7

1

3i i

x

，

∑=7

1

4i i

x

，

∑=71

i i

y ，∑=71

i i

i y x ，∑=7

1

2i i i

y x

将表2中算得的结果代入法方程(6)，可得：

⎪⎩

⎪

⎨⎧=++=++=++14762

-354100304926-10030101980-30104210210210a a a a a a a a a 解方程组可得：

⎪⎩⎪

⎨⎧-==-=88.3445472

10a a a 故所求拟合曲线为：

23864.04321.33185.1)(x x x f y -+-==

（二）用MATLAB 编程求解： 多项式函数 使用 polyfit （x,y,n ），n 为次数

拟合曲线 x=[1,2,3,4,6,7,8]; y=[2,3,6,7,5,3,2];

解：MATLAB 程序如下：

x=[1,2,3,4,6,7,8]; y=[2,3,6,7,5,3,2]; p=polyfit(x,y,2) x1=0:0.01:10; y1=polyval(p,x1); plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b')

计算结果为： p =

-0.3864 3.4318 -1.3182