数据拟合与最小二乘法.
第3章曲线拟合的最小二乘法计算方法
最小二乘拟合,特别是多项式拟合,是最流行的数据处理 方法之一.它常用于把实验数据(离散的数据)归纳总结为经 验公式(连续的函数),以利于进一步的推演分析或应用.
1
结束
§3.2 线性拟合和二次拟合函数
1. 线性拟合
计 已知数据点为 ( xi , yi ), i 1,2,..., n
算 用直线 p( x) a bx作为近似曲线,均方误差为
计
i xi yi xi yi xi2 xi2yi xi3
xi4
0 3 5 15 9 45 27
81
算
1 5 2 10 25 50 125 625
方
2 6 1 6 36 36 216 1296
法
3 8 2 16 64 128 512 4096
课
4 10 4 40 100 400 1000 10000
件
Y ln y, A ln a Y A bx
8
i
xi
0
1
yi
Yi
15.3
2.7279
xi2
xiYi
1
2.7279
1
2
20.5
3.0204
4
6.0408
计
2
3
27.4
3.3105
9
9.9315
算
3
4
36.6
3.6000
16
14.4000
方
4
5
49.1
3.8939
25
19.4695
法
5
6
65.6
4
例1 设5组数据如下表,用一多项式对其进行拟合。
x 3 5 6 8 10
计
最小二乘法excel拟合
在Excel中进行最小二乘法线性拟合的步骤如下：
1.在Excel中输入或打开要进行最小二乘法拟合的数据。
2.按住“shift”键的同时，用鼠标左键单击以选择数据。
3.单击菜单栏上的“插入”》“图表”》“散点图”图标。
4.弹出下拉列表，单击“散点图”》“仅带数据标记的散点图”图标。
5.此时，在窗口中间弹出散点图窗口。
6.鼠标左键单击其上的散点，单击鼠标右键，弹出列表式对话框，
再单击“添加趋势线(R)”。
7.弹出“设置趋势线格式”对话框。
8.勾选“设置截距(S)”、“显示公式(E)和“显示R平均值(R)”前的
方框，此时，在原散点图中增加了一条趋势线及其公式、R平均值。
以上步骤仅供参考，具体操作可能会因Excel版本的不同而略有差异。
如果需要更详细的信息，建议查看Excel的帮助文档或相关教程。
最小二乘方法
最小二乘方法：原理、应用与实现一、引言最小二乘方法是数学优化中的一种重要技术，广泛应用于各种实际问题中。
它的基本原理是通过最小化误差的平方和来估计未知参数，从而实现数据拟合、线性回归等目标。
本文将对最小二乘方法的原理、应用与实现进行详细介绍，并探讨其在实际问题中的应用。
二、最小二乘方法的原理最小二乘方法的基本原理可以概括为：对于一组观测数据，通过最小化误差的平方和来估计未知参数。
具体而言，设我们有一组观测数据{(xi, yi)}，其中xi是自变量，yi是因变量。
我们希望找到一个函数f(x)，使得f(xi)与yi之间的差距尽可能小。
为了量化这种差距，我们采用误差的平方和作为目标函数，即：J = Σ(f(xi) - yi)²我们的目标是找到一组参数，使得J达到最小值。
这样的问题称为最小二乘问题。
在实际应用中，我们通常采用线性函数作为拟合函数，即：f(x) = a + bx其中a和b是待估计的参数。
此时，最小二乘问题转化为求解a 和b的问题。
通过求解目标函数J关于a和b的偏导数，并令其为零，我们可以得到a和b的最优解。
这种方法称为最小二乘法。
三、最小二乘方法的应用数据拟合：最小二乘方法在数据拟合中有广泛应用。
例如，在物理实验中，我们经常需要通过一组观测数据来估计某个物理量的值。
通过采用最小二乘方法，我们可以找到一条最佳拟合曲线，从而得到物理量的估计值。
这种方法在化学、生物学、医学等领域也有广泛应用。
线性回归：线性回归是一种用于预测因变量与自变量之间关系的统计方法。
在回归分析中，我们经常需要估计回归系数，即因变量与自变量之间的相关程度。
通过采用最小二乘方法，我们可以得到回归系数的最优估计值，从而建立回归方程。
这种方法在经济学、金融学、社会科学等领域有广泛应用。
图像处理：在图像处理中，最小二乘方法常用于图像恢复、图像去噪等问题。
例如，对于一幅受到噪声污染的图像，我们可以采用最小二乘方法对图像进行恢复，从而得到更清晰、更真实的图像。
最小二乘法在误差分析中的应用
最小二乘法在误差分析中的应用最小二乘法（Least Squares Method）是一种常用的数学优化方法，其在误差分析中有广泛的应用。
最小二乘法的核心思想是通过找到最小化观测数据与理论模型之间的残差平方和来确定模型的参数值。
在误差分析领域，最小二乘法可以用于拟合数据、估计测量误差、确定模型的准确性等方面。
一、数据拟合最小二乘法在数据拟合中起到了很重要的作用。
在实际测量中，我们经常需要通过一组数据来拟合一个函数模型。
然而，由于观测数据通常存在一定的误差，因此完全匹配所有数据点是不可能的。
最小二乘法通过最小化残差平方和，找到了一个最佳拟合曲线，使得拟合曲线与数据点的残差最小。
二、测量误差估计在许多实际问题中，我们需要估计测量误差的大小，以便评估实验数据的可靠性。
最小二乘法可以通过计算残差的标准差来估计测量误差。
具体方法是将观测数据代入拟合曲线，计算其残差，并根据残差的平方和和自由度计算均方根误差或标准差。
通过对残差的分析，我们可以估计测量系统的精度、稳定性以及实验数据的可靠性。
三、参数估计在许多科学和工程问题中，我们经常需要估计模型的未知参数。
最小二乘法提供了一种有效的方法来估计参数的值。
通过最小化残差平方和，最小二乘法可以用于确定参数的最佳估计。
例如，在线性回归问题中，最小二乘法可以用来估计线性方程的斜率和截距。
此外，最小二乘法还可以用于非线性模型的参数估计，如指数衰减模型和多项式曲线拟合等。
四、模型评估最小二乘法在误差分析中还可以用于评估模型的准确性。
一般来说，通过最小二乘法拟合得到的模型并不一定就是真实的模型。
因此，我们需要对拟合曲线的质量进行评估。
最小二乘法提供了一种有效的评估方法，即通过残差分析、F检验、相关系数等指标来评估模型的拟合程度和统计显著性。
这样可以帮助我们判断模型是否具有较好的可用性，以及是否需要对模型进行改进。
五、加权最小二乘法在一些情况下，观测数据的误差方差可能是不均匀的，即不同数据点的测量精度可能不同。
函数拟合最小二乘法用法
函数拟合最小二乘法用法
最小二乘法是一种在数学上用于拟合函数的常用方法。
它的目标是找到一个函数，使得该函数与给定的数据点之间的差异最小化。
以下是使用最小二乘法进行函数拟合的一般步骤：
1. 收集数据：首先，需要收集与要拟合的函数相关的数据点。
这些数据点通常包含自变量和对应的因变量的值。
2. 选择函数形式：根据数据的特征和所要拟合的函数类型，选择一个合适的函数形式。
常见的函数形式包括线性函数、多项式函数、指数函数等。
3. 建立函数模型：使用所选择的函数形式，建立一个函数模型。
该模型将包含一些待确定的参数。
4. 定义损失函数：为了衡量函数模型与数据点之间的差异，需要定义一个损失函数。
常见的损失函数是平方和函数，即计算每个数据点与函数模型预测值之间的平方差。
5. 最小化损失函数：使用优化算法（如梯度下降法、牛顿法等）来最小化损失函数。
这将通过调整函数模型中的参数，使得损失函数的值最小。
6. 确定最佳参数：当损失函数最小化时，所得到的函数模型中的参数就是最佳参数。
7. 评估拟合效果：使用拟合得到的函数模型来预测新的数据点，并与实际值进行比较，以评估拟合效果。
需要注意的是，最小二乘法是一种基于数据的拟合方法，它假设数据中存在噪声或误差。
因此，拟合结果可能会受到数据质量和噪声的影响。
在实际应用中，需要根据具体情况进行适当的误差分析和模型验证。
java 最小二乘法数据拟合
java 最小二乘法数据拟合最小二乘法是一种常用的数据拟合方法，可以通过拟合出的函数来预测未知数据或者对现有数据进行分析。
在Java中，我们可以使用最小二乘法来进行数据拟合，下面将详细介绍如何在Java中实现最小二乘法数据拟合。
我们需要明确最小二乘法的原理。
最小二乘法的目标是找到一个函数，使得该函数与实际数据的误差最小。
具体而言，最小二乘法通过最小化实际数据与拟合函数之间的残差平方和来拟合数据。
在Java中，我们可以使用线性回归来实现最小二乘法。
线性回归是一种最简单的最小二乘法拟合方法，适用于一元线性回归问题。
一元线性回归是指拟合一个线性函数 y = ax + b 来预测变量 y 和自变量 x 之间的关系。
要使用最小二乘法进行线性回归，我们首先需要收集一组已知的数据。
这些数据包括自变量 x 和对应的因变量 y。
然后，我们可以使用最小二乘法的公式来计算出拟合函数的系数 a 和 b。
在Java中，我们可以通过编写一个线性回归类来实现最小二乘法数据拟合。
该类可以包含以下方法：1. 构造方法：用于初始化线性回归对象。
2. 输入数据方法：用于输入已知数据。
3. 计算方法：用于计算拟合函数的系数。
4. 预测方法：用于根据拟合函数预测未知数据。
下面是一个示例代码：```javapublic class LinearRegression {private double[] x; // 自变量private double[] y; // 因变量private double a; // 拟合函数的系数 aprivate double b; // 拟合函数的系数 bpublic LinearRegression(double[] x, double[] y) { this.x = x;this.y = y;}public void input(double[] x, double[] y) {this.x = x;this.y = y;}public void compute() {double sumX = 0;double sumY = 0;double sumXY = 0;double sumXX = 0;for (int i = 0; i < x.length; i++) {sumX += x[i];sumY += y[i];sumXY += x[i] * y[i];sumXX += x[i] * x[i];}double n = x.length;a = (n * sumXY - sumX * sumY) / (n * sumXX - sumX * sumX);b = (sumY - a * sumX) / n;}public double predict(double x) {return a * x + b;}}```使用示例：```javapublic class Main {public static void main(String[] args) {double[] x = {1, 2, 3, 4, 5}; // 自变量double[] y = {2, 4, 6, 8, 10}; // 因变量LinearRegression lr = new LinearRegression(x, y);pute();double xNew = 6; // 需要预测的自变量double yNew = lr.predict(xNew);System.out.println("预测结果：" + yNew);}}```以上代码通过最小二乘法实现了简单的线性回归，可以用于数据拟合和预测。
最小二乘法及数据拟合
实验五 最小二乘法及数据拟合建模的回归分析一、实验目的:1．掌握用最小二乘建立回归数学模型。
2．学习通过几个数据拟合的回归分析来判断曲线（直线）拟合的精度，通过回归分析来判断模型建立是否正确。
3．应用建立的模型进行预测。
二、基本原理和方法 1．建立回归数学模型在进行建模和仿真分析时，人们经常面临用已知系统实测数据应用数学模型描述对应系统，即对数据进行拟合。
拟合的目的是寻找给定的曲线（直线），它在某种准则下最佳地拟合数据。
最佳拟合要在什么准则下的最佳？以及用什么样的曲线模型去拟合。
常用的拟合方法之一是多项式的最小二乘拟合，其准则是最小误差平方和准则，所用的拟合曲线为多项式。
本实验在Matlab 平台上，以多项式最小二乘拟合为例，掌握回归模型的建立（包括参数估计和模型建立）和用模型进行预测的方法，并学习回归分析的基本方法。
2．在MATLAB 里，用于求解最小二乘多项式拟合问题的函数如下： polyfit 最小二乘多项式拟合p=polyfit(x,y,n) 对输入数据y 的n 阶最小二乘拟合多项式p(x)的系数Y=polyval(p,x) 求多项式的函数值Y )1n (p x )n (p x )2(p x )1(p Y 1n n +++++=−L以下是一个多项式拟合的例子。
已知 x=0,0.1,0.2,0.3,...,0.9,1 共11个点（自变量），实测数据y=-0.447, 1.978, 3.28, 6.16, 7.08, 7.34, 7.66, 9.56,9.48, 9.30, 11.2求：2阶的预测方程，并用8阶的预测方程与之比较。
x=linspace(0,1,11);y=[-.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2]; p=polyfit(x,y,2)%求2阶的预测方程 2210x b x b b y ++= 的系数 p= b 2 b 1 b 0z=polyval(p,x); %求预测的y 值 （z 表示y )） p2=polyfit(x,y,8) %求8阶的预测方程 z1=polyval(p2,x);plot(x,y,'om',x,z,':*r'x,z1, ':+b')图中：”0” 代表散点图 “+”代表8阶预测方程“*”代表2阶预测方程图1 散点图与2阶预测方程3．回归模型的检验回归模型的检验是判断数据拟合的好坏即模型建立的正确与否，为建立模型和应用模型提供支持。
高中数学最小二乘法
高中数学最小二乘法最小二乘法是一种常用的统计学方法，通常应用于数据拟合。
在高中数学中，最小二乘法主要用于线性回归分析，即寻找一条直线来拟合一组数据点。
假设有一组数据 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),cdots,(x_n,y_n)$，我们希望找到一条直线 $y = ax + b$，使得这条直线与这些数据点的误差平方和最小。
换句话说，就是让这条直线尽可能地接近这些数据点。
假设直线 $y = ax + b$ 与数据点 $(x_i,y_i)$ 的误差为 $e_i$，则有：$$e_i = y_i - (ax_i + b)$$将所有数据点的误差平方和表示出来，可以得到：$$sum_{i=1}^n e_i^2 = sum_{i=1}^n(y_i - (ax_i + b))^2$$ 我们的目标是使得上式的值最小，因此需要对 $a$ 和 $b$ 分别求偏导数并令其为0，得到：$$begin{cases}frac{partial}{partial a}sum_{i=1}^n e_i^2 = 0 frac{partial}{partial b}sum_{i=1}^n e_i^2 = 0end{cases}$$ 将上式展开并整理可得到：$$begin{cases}displaystylesum_{i=1}^n x_i(y_i - ax_i - b) = 0displaystylesum_{i=1}^n(y_i - ax_i - b) = 0end{cases}$$ 解出 $a$ 和 $b$ 即可得到最小二乘法的结果，即：$$a = frac{displaystyle nsum_{i=1}^nx_iy_i -sum_{i=1}^nx_isum_{i=1}^ny_i}{displaystyle nsum_{i=1}^nx_i^2 - (sum_{i=1}^nx_i)^2}$$$$b = frac{displaystyle sum_{i=1}^ny_i - asum_{i=1}^nx_i}{n}$$这就是高中数学中最小二乘法的基本原理和公式。
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最小二乘原理
设已知某物理过程y=f(x)在n个互异点的观测数据
xi yi x1 y1 x2 … .. xn y2 … .. yn
求一个简单的近似函数p(x)，使之 “最好”地逼 近f(x)，而不必满足插值原则。称函数y= p(x)为经验
y=[42 39
37
35
32
29.5 23.8 21 19];
p1=polyfit(x,y,1) u_m=abs(p1(1))
%拟合一次多项式，返回系数向量
y1=polyval(p1,x); plot(x,y, 'r*',x,y1) k_jam=exp(p1(2)/u_m)
【例3】已知：u-k观测数据，试采用Underwood速度—密度模 型在Matlab平台上进行数据拟合，P.23 ki 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70
n
n
n n R 2 ri 2 ( yi b axi ) 0, b i 1 i 1 n n R 2 ri xi 2 ( yi b axi )xi 0, a i 1 i 1
法方程组
bn a xi yi 2 b xi a xi xi原理： 求出使R取最小值时的a、 b、c R取最小值的条件：
R 0, a
R 0, b
R 0 c
R ri ( yi axi2 bxi c)2
u_f=exp(p1(2))
k_jam=abs(1/p1(1))
• 2、推广到2次多项式拟合
• 物理过程y=f(x)为2次多项式
y p( x) ax 2 bx c
• 超定方程组 曲线拟合问题中的偏差：
y1 ax bx1 c 2 y2 ax2 bx2 c y ax 2 bx c n n n
公式或拟合曲线。这就是曲线拟合问题。
广泛用于工程中的参数标定问题。
• 多项式拟合
• 1、直线拟合
y p( x ) ax b
曲线拟合问题中的偏差：
超定方程组
y1 ax1 b y ax b 2 2 yn axn b
r1 y1 ax1 b r y ax b 2 2 2 rn yn axn b
解法方程组，求出a、b
【例1】已知：u-k观测数据，试采用Greenshields速度—密度 线性模型在Matlab平台上进行数据拟合，P.22 ki 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 u u f (1 k ) kj ui 107 96 88 86 73 67 58 48 42 38 29
ui lnui
99 94 89 85 80 76 73 69 64 62 59 55 52
k u u f exp( ) km k ln u ln u f km
u f exp(p1(2)) 1 km p1(1)
Underwood速度—密度模型在Matlab平台上的数据拟合
clear all; close all
令：
R r 2 ri ( yi b axi )
2 2 i 1 i 1
n
n
2
最小二乘原理：求出使R取最小值时的a、 b R取最小值的条件：
R 0, b
R 0 a
R r 2 ri2 ( yi b axi )2
2 i 1 i 1
clear all; close all
x=[20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 ];
y=[107 96 88 86 73 67 58 48 42 p1=polyfit(x,y,1) u_f=p1(2) k_jam=-u_f/p1(1) 38 29]; %拟合一次多项式，返回系数向量
x=[10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 ]; y=[log(99) log(94) log(89) log(85) log(80) log(76) log(73) log(69) log(64) log(62) log(59) log(55) log(52) ]; p1=polyfit(x,y,1) %拟合一次多项式，返回系数向量 y1=polyval(p1,x); plot(x,y, 'r*',x,y1)
2 1
r1 y1 ax12 bx1 c 2 r2 y2 ax2 bx2 c r y ax 2 bx c n n n n
令： R r r 2 ( y ax 2 bx c)2 i i i i 2
y1=polyval(p1,x); plot(x,y, 'r*',x,y1)
【例2】已知：u-k观测数据，试采用Greenberg速度—密度模 型在Matlab平台上进行数据拟合，P.22 ki 80 85 90 95 100 105 110 115 120
ui 32 33 29 26 27 26.5 25.8 24 22 lnki 4.38 4.44 4.5 4.55 4.61 4.65 4.7 4.74 4.79
u um ln(
kj k
) um ln k j um ln k
um p1(1)
p1(2) k j exp( ) um
Greenberg速度—密度模型在Matlab平台上的数据拟合
clear all; close all
x=[log(80) log(85) log(90) log(95) log(100) log(105) log(110) log(115) log(120)];