优选最小二乘法与曲线拟合
最小二乘曲线拟合excel
最小二乘曲线拟合excel在Excel中使用最小二乘法进行曲线拟合最小二乘法是数据分析中常用的一种方法，用于计算一个数学模型与试验数据之间的误差最小的拟合曲线。
在Excel中，我们可以使用最小二乘法进行曲线拟合，以获得一个最符合数据的曲线。
1. 数据导入首先，我们需要将拟合曲线所需的数据导入Excel中。
将独立变量和对应的因变量数据分别放在两列中。
示例数据如下所示：独立变量(X) 因变量(Y)1 3.52 6.83 8.94 12.55 16.76 19.22. 绘制散点图为了更直观地观察数据之间的关系，我们可以在Excel中绘制出散点图。
选中数据范围，然后点击“插入”选项卡中的“散点图”图标，选择所需的散点图类型即可。
3. 添加趋势线接下来，我们需要给散点图添加趋势线。
在Excel中，趋势线可以帮助我们更好地观察数据拟合的情况。
右击散点图上的任意一组数据点，选择“添加趋势线”选项。
在弹出的对话框中，选择“多项式”作为趋势线类型，并输入所需的阶数。
4. 计算拟合方程在添加趋势线之后，Excel会自动计算出拟合方程的系数，并在图表中显示。
我们可以通过以下步骤获取拟合方程：右击趋势线，选择“添加标签”，勾选“显示方程式”。
拟合方程将显示在图表中。
例如，一个二次多项式拟合的方程可能如下所示：y = ax^2 + bx + c。
其中a、b、c分别为二次、一次和常数项的系数。
5. 检验拟合效果拟合曲线的好坏可以通过判断拟合曲线与原始数据的偏离程度来评估。
在Excel中，我们可以通过计算决定系数（R²）来进行评估。
右击趋势线，选择“添加标签”，勾选“显示R²值”。
决定系数的范围从0到1，越接近1表示拟合效果越好。
6. 绘制拟合曲线我们也可以在Excel中绘制出拟合曲线，以便更直观地展示拟合效果。
选择刚才绘制的散点图，右击任意数据点，选择“选择数据”。
在弹出的对话框中，选择原始数据列和拟合曲线所对应的数据列，然后点击“确定”。
最小二乘法曲线拟合_原理及matlab实现
曲线拟合（curve-fitting ）：工程实践中，用测量到的一些离散的数据},...2,1,0),,{(m i y x i i =求一个近似的函数)(x ϕ来拟合这组数据，要求所得的拟合曲线能最好的反映数据的基本趋势（即使)(x ϕ最好地逼近()x f ，而不必满足插值原则。
因此没必要取)(i x ϕ=i y ，只要使i i i y x -=)(ϕδ尽可能地小）。
原理：给定数据点},...2,1,0),,{(m i y x i i =。
求近似曲线)(x ϕ。
并且使得近似曲线与()x f 的偏差最小。
近似曲线在该点处的偏差i i i y x -=)(ϕδ，i=1,2,...,m 。
常见的曲线拟合方法:1.使偏差绝对值之和最小2.使偏差绝对值最大的最小3.使偏差平方和最小最小二乘法：按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。
推导过程：1. 设拟合多项式为：kk x a x a a x +++=...)(10ϕ2. 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下：3. 问题转化为求待定系数0a ...k a 对等式右边求i a 偏导数，因而我们得到了：.......4、 把这些等式化简并表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵：5. 将这个范德蒙得矩阵化简后可得到:6. 也就是说X*A=Y ，那么A = (X'*X)-1*X'*Y ，便得到了系数矩阵A ，同时，我们也就得到了拟合曲线。
MATLAB实现：MATLAB提供了polyfit（）函数命令进行最小二乘曲线拟合。
调用格式：p=polyfit(x,y,n)[p,s]= polyfit(x,y,n)[p,s,mu]=polyfit(x,y,n)x,y为数据点，n为多项式阶数，返回p为幂次从高到低的多项式系数向量p。
x 必须是单调的。
矩阵s包括R（对x进行QR分解的三角元素）、df(自由度）、normr(残差）用于生成预测值的误差估计。
第三章 最小二乘法与曲线拟合
实例：考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系,下表 是实际测定的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数 是记录:
编 号 拉伸倍数 1 1.9 2 2 3 2.1 4 2.5 5 2.7 6 2.7 7 3.5 8 3.5 9 4 10 4 11 4.5 12 4.6
xi
强 度 1.4 1.3 1.8 2.5 2.8 2.5 3 2.7 4 3.5 4.2 3.5
n n 即 aij aik x j aik bi j 1 i 1 i 1 m
2
(k 1, 2,, m)
——（2）
称（2）为（1）的正规方程组（法方程组）。 （2）的解即为（1）的解，称此方法为最小二乘法。
例：利用最小二乘法求矛盾方程组： 2x +4y =11 3 x 5 y 3 x 2 y 6 4 x 2 y 14
曲线拟合问题：
要求近似曲线严格通过所给定的点——插值法 作近似曲线，考虑初值误差——最小二乘法
一、最小二乘原则：
1. 偏差：一般的，对给定的一组数据，不能要求 y = f(x)严格通过所有数据点( xi，yi )。若拟合曲线 为y ( x)，称 i ( xi ) yi为偏差(i =1,2, n)。
2 （3） 使偏差平方和最小，即 i 2 ( xi ) yi］ ［ 最小。 i 1 i 1 m m
※常用第三种方法，称为最小二乘原则。
二、矛盾方程组：
1、 a11 x1 a12 x2 a1m xm b1
a x a x a x b 21 1 22 2 2m m 2 ——（1） an1 x1 an 2 x2 anm xm bn
曲线拟合最小二乘法ppt课件
这里
1( x), ,l ( x)
是线性无关函数系，
为待定常数.
i (i 1, 2, , l)
9
在例1中，设函数
1( x) 1, 2( x) x, 3( x) x2
误 n,
我们希望猜想的数学模型应尽量接近观测数据，
m
2 i
m
[s * ( xi )
f ( xi )]2
i0
i0
m
min
s( x)
[s(
i0
xi
)
f ( xi )]2.
11
（1）直线拟合
设已知数据点 xi , yi , i 1,2,, m ,分布大致为一
条直线。作拟合直线 y(x) a0 a1x ,该直线不是通
的方法称为曲线拟称合为“，残f(差x)”
1
x
x0 x1 x2 …… xn
y
y0
y1
y2
…… yn
y=p(x) y=f(x)
插值
2
求一条曲线,使数据点均在离此曲线的上方或下方不远处, 所求的曲线称为拟合曲线,它既能反映数据的总体分布,又 不至于出现局部较大的波动,更能反映被逼近函数的特性, 使求得的逼近函数与已知函数从总体上来说其偏差按某种 方法度量达到最小。
解得 a0 0.562302 , a1 0.772282
由 a0 ln a 得 a ea0 e0.562302 1.754708,
23
由a1 b 得 b a1 0.772282
于是得到拟合指数函数为 y 1.754708 e0.772282x
（4）超定方程组的最小二乘解
第六章 最小二乘法与曲线拟合
第六章 最小二乘法与曲线拟合
从给定的一组实验数据( xi , yi ) (i 1,2,, n) 出发，寻求一 个逼近函数 y ( x) ，使得逼近函数从总体上来说产生的偏 差按照某种方法度量能达到最小而又不一定过全部的实验数 据点 ( xi , yi ) ，这就是曲线拟合法。最常用的曲线拟合法就是 本章所要介绍的最小二乘曲线拟合法。 插值和拟合是构造逼近函数的两种方法。曲线拟合问题 的特点在于，被确定的曲线原则上并不要求通过给定的数据 点，而只是要求尽可能从给定点附近通过。插值法确定的曲 线要求通过所有给定数据点，对于含有观测误差的数据来说 ，不通过给定数据点的原则显然更为合适。因为这样的处理 ，可以部分地抵消数据中含有的观测误差，从总体上与实际 函数曲线更为符合。
y a bx
上面5组数据大致满足如下方程组：
a 2b 2.01 a 4b 2.98 a 5b 3.50 a 8b 5.02 a 9b 5.47
式中 a , b 为待定参数。
§1 用最小二乘法求解矛盾方程组
确定a , b 的最简单方法是选点法，即在给定的5个点中， 任选两个构造直线。也就是从上述5个等式中任选2个联立即 可解出 a , b。例如选择前两个点可得
m Q aij x j bi i 1 i 1 j 1
n 2 i n
j 1
如果 x j ( j 1,2,, m) 的取值使上式的值达到最小，则称这组 值是矛盾方程组的最优近似解。
§1 用最小二乘法求解矛盾方程组
最优近似解的求解：
偏差平方和最小的必要条件：
excel最小二乘法曲线拟合
excel最小二乘法曲线拟合
最小二乘法曲线拟合是一种常用的数据拟合方法，它可以通过计算数据点到拟合曲线的距离平方和的最小值来确定最优解。
在 Excel 中，可以通过以下步骤进行最小二乘法曲线拟合：
1. 首先，将需要拟合的数据点以 x 和 y 的形式输入到 Excel 表格中。
2. 在 Excel 中选择“插入”菜单，并在“图表”中选择“散点图”。
3. 在图表中右键单击数据系列，并选择“添加趋势线”。
4. 在趋势线选项卡中选择“多项式”类型，并输入所需的拟合阶数。
5. 选择“显示方程式”和“显示 R2 值”，并点击“确定”按钮进行拟合。
6. Excel 将自动计算出拟合曲线方程式和 R2 值，并在图表上显示。
需要注意的是，在使用最小二乘法进行曲线拟合时，需要选择适当的拟合阶数来确保拟合曲线与实际数据的匹配程度。
同时，还需要通过检验 R2 值来评估拟合曲线的拟合程度。
数值分析论文--曲线拟合的最小二乘法
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 数值分析论文--曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法姓名：徐志超学号：2019730059 专业：材料工程学院：材料科学与工程学院科目：数值分析曲线拟合的最小二乘法一、目的和意义在物理实验中经常要观测两个有函数关系的物理量。
根据两个量的许多组观测数据来确定它们的函数曲线，这就是实验数据处理中的曲线拟合问题。
这类问题通常有两种情况：一种是两个观测量 x 与 y 之间的函数形式已知，但一些参数未知，需要确定未知参数的最佳估计值；另一种是 x 与 y 之间的函数形式还不知道，需要找出它们之间的经验公式。
后一种情况常假设 x 与 y 之间的关系是一个待定的多项式，多项式系数就是待定的未知参数，从而可采用类似于前一种情况的处理方法。
在两个观测量中，往往总有一个量精度比另一个高得多，为简单起见把精度较高的观测量看作没有误差，并把这个观测量选作x，而把所有的误差只认为是y 的误差。
设 x 和 y 的函数关系由理论公式 y＝f（x； c1， c2， cm）1 / 13（0-0-1）给出，其中 c1， c2， cm 是 m 个要通过实验确定的参数。
对于每组观测数据（xi， yi） i＝1， 2，， N。
都对应于 xy 平面上一个点。
若不存在测量误差，则这些数据点都准确落在理论曲线上。
只要选取m 组测量值代入式（0-0-1），便得到方程组yi＝f （x；c1，c2，cm）（0-0-2）式中 i＝1，2，， m.求 m 个方程的联立解即得 m 个参数的数值。
显然Nm 时，参数不能确定。
在 Nm 的情况下，式（0-0-2）成为矛盾方程组，不能直接用解方程的方法求得 m 个参数值，只能用曲线拟合的方法来处理。
excel拟合曲线用的最小二乘法
Excel拟合曲线用的最小二乘法1. 介绍Excel作为一款常用的办公软件，被广泛应用于数据分析和处理，而拟合曲线是数据分析中常用的方法之一。
拟合曲线用的最小二乘法是一种常见的拟合方法，通过最小化数据点与拟合曲线之间的距离来找到最佳拟合曲线，从而对数据进行预测和分析。
在本文中，我将从深度和广度的角度来探讨Excel拟合曲线用的最小二乘法，带你深入探索这一主题。
2. 最小二乘法的原理在Excel中进行曲线拟合时，最小二乘法是一种常用的拟合方法。
其原理是通过最小化残差平方和来找到最佳拟合曲线。
残差是指每个数据点到拟合曲线的垂直距离，最小二乘法通过调整拟合曲线的参数，使得残差平方和最小化，从而得到最佳拟合曲线。
在Excel中，可以利用内置函数或插件来实现最小二乘法的曲线拟合，对于不同类型的曲线拟合，可以选择不同的拟合函数进行拟合。
3. Excel中的拟合曲线在Excel中进行拟合曲线时，首先需要将数据导入Excel，然后利用内置的数据分析工具或者插件来进行曲线拟合。
通过选择拟合函数、调整参数等操作，可以得到拟合曲线的相关信息，如拟合优度、参数估计值等。
可以根据拟合曲线的结果来对数据进行预测和分析，从而得到对应的结论和见解。
4. 个人观点与理解对于Excel拟合曲线用的最小二乘法，我认为这是一种简单而有效的数据分析方法。
它能够快速对数据进行拟合，并得到拟合曲线的相关信息，对于数据的预测和分析具有一定的帮助。
然而，也需要注意到拟合曲线并不一定能够准确描述数据的真实情况，需要结合实际背景和专业知识进行分析和判断。
在使用最小二乘法进行曲线拟合时，需要注意数据的可靠性和拟合结果的可信度，以避免出现不准确的结论和偏差的情况。
5. 总结通过本文的探讨，我们对Excel拟合曲线用的最小二乘法有了更深入的了解。
最小二乘法的原理、Excel中的实际操作以及个人观点与理解都得到了充分的展示和探讨。
在实际应用中，需要结合具体情况和专业知识来灵活运用最小二乘法进行曲线拟合，从而得到准确的分析和预测结果。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
因为
Q
xk
n
2a1k ( a1 j x j
j 1
b1)
n
n
2a2k ( a2 j x j b2 ) 2aNk ( aNj x j bN )
j 1
j 1
n a1 j x j b1
j1
n
2 a1k
a2k
aNk
a2 j x j
N
ai1ai2
i 1
N
ai22
i 1
N
ai2ain
i 1
N
ai1ai3
i 1 N
ai2ai3
i 1
N
ai3ain
i 1
N
ai1ain
i1 N i 1
ai 2 ain
2 AT
A
N
ai2n
i 1
由引理2知，当rankA=n时，矩阵M是对称正定阵， M满足引理1的条件（2），故由引理1知，二次函数 Q存在极小值。
实际中需要寻N求矛盾方程组的一组解，以使得偏差的
绝对值之和 尽i 可能地小。为了便于分析 i 1
计算和应用，常采用使偏差的平方和
2
Q
N
2 i
N
n
aij x j bi
i 1
i1 j 1
达到最小值，这一条件称为最小二乘原则。
按照最小二乘原则来选择未知数x1,x2,…,xn的一
组取值的方法称为求解矛盾方程组的最小二乘法。 符合条件的一组取值称为矛盾方程组的最小二乘解。
rankA＝n（A的秩为n）的矛盾方程组（N>n），
我们寻求其最小二乘意义下的解。
二、用最小二乘法求解矛盾方程组
1.最小二乘原则
由于矛盾方程组的精确解不存在，我们转而
寻求其某种意义下，即最小二乘意义下的解。
n
令
i aij x j bi
(i 1,2,, N )
称i为偏差。 j1
工程实际中的许多问题都可以归结为矛盾方程组，
引理2说明,在条件RankA=n下,无论线性方程组
Ax=b是否有解,构造的n阶方程组ATAx=ATb一定有
定理：设矛盾方程组的唯系一数解矩。阵的秩为n，则二次
函数
Q f (x1, x2 ,, xn ) N n aij x j bi 2
i1 j 1
一定存在最小值。
证明：因为Q是x1,x2,…,xn的二次函数，故Q不仅是
即二元函数Q存在点P0，使xQk
1的条件（1）。
P0
0
(k 。1,2故, 满,n足) 引理
因为
2Q xk xt
2(a1k a1t
a2k a2t
aNk aNt )
N
2 aikait i 1
(k,t 1,2,, n)
故
N
ai21
M
2
i 1 N
ai1ai
i 1
2
N
i 1
ai1ain
引理1：设n元实函数f(x1,x2,…,xn)在点P0(a1,a2,…,an)
的某个邻域内连续，且有一阶及二阶连续的偏导数，如
果 (1) (2)矩阵
f
0
(k 1,2,, n)
xk P0
2 f
x12
P0
2 f x1x2 P0
2 f
x1xn
P0
M
2 f
x2x1
P0
2 f x22 P0
2 f
或写为 其矩阵形式为
a11x1 a12x2 a1n xn b1 a21x1 a22x2 a2n xn b2
aN1x1 aN 2 x2 aNn xn bN
n
aij x j bi ( j 1,2,, N )
j 1
Ax b
当方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩不相等时， 方程组无解，此时方程组称为矛盾方程组。对于
j 1
b2
n
aNj x j
bN
j1
2a1k
a2k
a
Nk
(
Ax
b)
Q
故
x1
Q
x2
Q
2
AT
(
Ax
b)
2(
AT
Ax
AT
b)
xn
令
Q 0
(k 1,2,, n)
即
ATxAk x
AT b
（*）
因为rankA=n，故由引理2知，上式有唯一解。设
解为x1=a1, x2=a2,…, xn=an，记为点P0(a1,a2,…,an)，
3.最小二乘法解矛盾方程组
从给定的一组试验数据出发，寻求函数的一个近似
表达式y=(x)，要求近似表达式能够反映数据的基本 趋势而又不一定过全部的点(xi,yi)，这就是曲线拟合 问题，函数的近似表达式y=(x)称为拟合曲线。本章
介绍用最小二乘法求拟合曲线。
§5.1 用最小二乘法求解矛盾方程组
一、矛盾方程组的定义
设线性方程组
优选最小二乘法与曲线拟合
§5.0 问题的提出
如果实际问题要求解在[a,b]区间的每一点都“很 好地” 逼近f(x)的话，运用插值函数有时就要失败。
另外，插值所需的数据往往来源于观察测量，本身有 一定的误差。要求插值曲线通过这些本身有误差的点， 势必使插值结果更加不准确。
如果由试验提供的数据量比较大，又必然使得插值 多项式的次数过高而效果不理想。
又因方程组（*）式有唯一解，故Q存在的极小值就
是最小值，线性方程组（*）式的解就是最小值点。
证毕 Remark1：线性方程组（*）式称为正则方程组。 Remark2：该定理说明，只要矛盾方程组的系数矩
阵A的秩rankA=n，则
（1）矛盾方程组的最小二乘解存在；
（2）正则方程组有唯一解，此解就是矛盾方程组的 最小二乘解。
把Q看成是n个自变量x1,x2,…,xn的二次函数， 记为Q＝f(x1,x2,…,xn)，因此，求矛盾方程组的最 小二乘解就是求二次函数Q＝f(x1,x2,…,xn)的最小
值点。
问题：二次函数Q＝f(x1,x2,…,xn)是否存在最小值？
若最小值存在，如何求出该最小值点？
2.最小二乘解的存在唯一性
证设明齐：次（线1性）方矩程阵组ATAA显x 然0是对称矩阵。
因因为 此( Ar，xa)n对T k( A于Ax=任)n，意x故T的( A齐xT A次)0x方，程有0 组Ax有唯0，一从零而解。
故矩阵ATA是对称正定矩阵。 (从2而)因线为性矩方阵程A组TAAT是A正x 定A矩有T b阵唯，一故的r解an。k(ATA证)=毕n，
x2xn
P0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 f
2 f
2 f
xnx1 P0 xnx2 P0
xn2 P0
是正（负）定矩阵，则f(a1,a2,…,an)是n元实函 数f(x1,x2,…,xn)的极小（大）值。
引理2：设非齐次线性方程组
Ax
的b 系数矩阵
A=(aij)N×n，若rankA=n，则
((12))矩n阶阵线AT性A是方对程称组正AT 定Ax矩 阵有AT；唯b 一的解。