(完整版)2019年全国I卷理科数学高考真题

2019年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项:

1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目

要求的。

1.已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<,,则M N I = A .}{43x x -<<

B .}42{x x -<<-

C .}{22x x -<<

D .}{23x x <<

2.设复数z 满足=1i z -,z 在复平面内对应的点为(x ,y ),则 A .2

2

+11()x y +=

B .221(1)x y +=-

C .22(1)1y x +-=

D .2

2(+1)1y x +=

3.已知0.20.32

log 0.220.2a b c ===,,,则 A .a b c <<

B .a c b <<

C .c a b <<

D .b c a <<

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4.古希腊时期,0.618,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚

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.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm ,头顶至脖子下端的长度为26 cm ,则其身高可能是

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A .165 cm

B .175 cm

C .185 cm

D .190 cm

5.函数f (x )=

2

sin cos ++x x

x x

在[,]-ππ的图像大致为 A .

B .

C .

D .

6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是

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A .

516

B .

1132

C .

2132

D .

1116

7.已知非零向量a ,b 满足||2||=a b ,且()-a b ⊥b ,则a 与b 的夹角为 A .

π6

B .

π3

C .

2π3

D .

5π6

8.如图是求

112122

+

+的程序框图,图中空白框中应填入

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A .A =

12A

+ B .A =12A

+

C .A =

1

12A

+

D .A =112A

+

9.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知4505S a ==,,则 A .25n a n =-

B . 310n a n =-

C .2

28n S n n =-

D .2

122

n S n n =

- 10.已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -(),(),过F 2的直线与C 交于A ,B 两点.若22||2||AF F B =,

1||||AB BF =,则C 的方程为

A .2

212x y += B .22

132x y += C .22

143x y += D .22

154

x y += 11.关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论:

①f (x )是偶函数

②f (x )在区间(

2

π,π)单调递增

③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2

其中所有正确结论的编号是 A .①②④

B .②④

C .①④

D .①③

12.已知三棱锥P ?ABC 的四个顶点在球O 的球面上,P A =PB =PC ,△ABC 是边长为2的正三角形,E ,F

分别是P A ,AB 的中点,∠CEF =90°,则球O 的体积为

A .

B .

C .

D

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二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

13.曲线23()e x

y x x =+在点(0)0,

处的切线方程为____________. 14.记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若2

1461

3

a a a ==,,则S 5=____________.

15.甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前

期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是____________.

16.已知双曲线C :22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线与C 的两条渐近线

分别交于A ,B 两点.若1F A AB =u u u r u u u r ,120F B F B ?=u u u r u u u u r

,则C 的离心率为____________.

三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生

都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共60分。

17.(12分)

ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-.

(1)求A ;

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(22b c +=,求sin C . 18.(12分)

如图,直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形,AA 1=4,AB =2,∠BAD =60°,E ,M ,N 分别是BC ,BB 1,A 1D 的中点.

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(1)证明:MN ∥平面C 1DE ; (2)求二面角A?MA 1?N 的正弦值. 19.(12分)

已知抛物线C :y 2=3x 的焦点为F ,斜率为3

2

的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x 轴的交点为P . (1)若|AF |+|BF |=4,求l 的方程;

(2)若3AP PB =u u u r u u u r

,求|AB |.

20.(12分)

已知函数()sin ln(1)f x x x =-+,()f x '为()f x 的导数.证明: (1)()f x '在区间(1,)2

π-存在唯一极大值点; (2)()f x 有且仅有2个零点. 21.(12分)

为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,

若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得1-分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得1-分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X . (1)求X 的分布列;

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,(0,1,,8)i p i =L 表示“甲药的累计得分为i 时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则00p =,81p =,11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =L ,其中

(1)a P X ==-,(0)b P X ==,(1)c P X ==.假设0.5α=,0.8β=.

(i)证明:1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =L 为等比数列; (ii)求4p ,并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性.

(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。 22.[选修4—4:坐标系与参数方程](10分)

在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t ?-=??+?

?=?+?

,(t 为参数).以坐标原点O 为极点,x 轴的

正半轴为极轴建立极坐标系,直线l

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的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ+=. (1)求C 和l 的直角坐标方程; (2)求C 上的点到l 距离的最小值. 23.[选修4—5:不等式选讲](10分)

已知a ,b ,c 为正数,且满足abc =1.证明: (1)

222111

a b c a b c

++≤++; (2)3

3

3

()()()24a b b c c a +++≥++.

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理科数学?参考答案

一、选择题

1.C 2.C 3.B 4.B 5.D 6.A 7.B 8.A 9.A 10.B 11.C 12.D 二、填空题 13.y =3x 14.

121

3

15.0.18 16.2

三、解答题

17.解:(1)由已知得2

22sin

sin sin sin sin B C A B C +-=,故由正弦定理得222b c a bc +-=.

由余弦定理得2221

cos 22

b c a A bc +-=

=. 因为0

180A ?

?<<,所以60A ?=.

(2)由(1)知120

B C ?

=-()sin 1202sin A C C ?+-=,

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1cos sin 2sin 222C C C ++=,可得()cos 602

C ?+=-.

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由于0

120C ?

?<<,所以()sin 602

C ?+=

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,故 ()sin sin 6060C C ??=+-

()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ????=+-+

4

=

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. 18.解:(1)连结B 1C ,ME .

因为M ,E 分别为BB 1,BC 的中点, 所以ME ∥B 1C ,且ME =

1

2

B 1

C . 又因为N 为A 1

D 的中点,所以ND =

1

2

A 1D .

由题设知A 1B 1=P DC ,可得B 1C =P A 1D ,故ME =

P ND , 因此四边形MNDE 为平行四边形,MN ∥ED . 又MN ?平面EDC 1,所以MN ∥平面C 1DE . (2)由已知可得DE ⊥DA .

以D 为坐标原点,DA uuu r

的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D ?xyz ,则

(2,0,0)A ,A 1(2,0,4)

,2)M ,(1,0,2)N ,1(0,0,4)A A =-u u u r

,1(12)A M =--u u u u r

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,1(1,0,2)A N =--u u u u r

,(0,MN =u u u u r

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设(,,)x y z =m 为平面A 1MA 的法向量,则1

100

A M A A ??=???=??u u u u r u u u r m m ,

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所以2040x z z ?-+-=??-=??

可取=m .

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设(,,)p q r =n 为平面A 1MN 的法向量,则100MN A N ??=???=??u u u u r u u u u

r ,

.n n

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所以020p r ?=??--=??

.可取(2,0,1)=-n .

于是cos ,||???=

==

‖m n m n m n ,

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所以二面角1A MA N --

的正弦值为

5

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. 19.解:设直线()()11223

:,,,,2

l y x t A x y B x y =

+. (1)由题设得3,04F ??

???

,故123||||2AF BF x x +=++,由题设可得1252x x +=.

由232

3y x t y x

?

=+???=?,可得22

912(1)40x t x t +-+=,则1212(1)9t x x -+=-. 从而12(1)592t --

=,得7

8

t =-. 所以l 的方程为37

28

y x =

-. (2)由3AP PB =u u u r u u u r

可得123y y =-. 由232

3y x t y x

?

=+???=?,可得2220y y t -+=. 所以122y y +=.从而2232y y -+=,故211,3y y =-=. 代入C 的方程得121

3,3

x x ==

故||3

AB =

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. 20.解:(1)设()()g x f 'x =,则1

()cos 1g x x x

=-

+,21sin ())(1x 'x g x =-++.

当1,2x π?

?∈- ???时,()g'x 单调递减,而(0)0,()02g'g'π><,可得()g'x 在1,2π?

?- ???

有唯一零点,

设为α.

则当(1,)x α∈-时,()0g'x >;当,

2x α?

π?

∈ ???

时,()0g'x <.

所以()g x 在(1,)α-单调递增,在,2απ?? ???单调递减,故()g x 在1,2π?

?- ???存在唯一极大值点,

即()f 'x 在1,2π?

?- ??

?存在唯一极大值点.

(2)()f x 的定义域为(1,)-+∞.

(i )当(1,0]x ∈-时,由(1)知,()f 'x 在(1,0)-单调递增,而(0)0f '=,所以当(1,0)x ∈-时,()0f 'x <,故()f x 在(1,0)-单调递减,又(0)=0f ,从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点.

(ii )当0,2x ?π?∈ ???时,由(1)知,()f 'x 在(0,)α单调递增,在,2απ??

???单调递减,而(0)=0f ',

02f 'π??< ???,所以存在,2βαπ??∈ ???,使得()0f 'β=,且当(0,)x β∈时,()0f 'x >;当,2x βπ??

∈ ?

??时,()0f 'x <.故()f x 在(0,)β单调递增,在,2βπ??

???

单调递减.

又(0)=0f ,1ln 1022f ππ????=-+> ? ?????,所以当0,2x ?π?∈ ???时,()0f x >.从而,()f x 在0,2??

?

??

π没有零点.

(iii )当,2x π??∈π ???时,()0f 'x <,所以()f x 在,2π??

π ???单调递减.而

02f π??

> ???

,()0f π<,所以()f x 在,2π??

π ???

有唯一零点.

(iv )当(,)x ∈π+∞时,ln(1)1x +>,所以()f x <0,从而()f x 在(,)π+∞没有零点. 综上,()f x 有且仅有2个零点.

21.解:X 的所有可能取值为1,0,1-.

(1)(1)(0)(1)(1)(1)(1)P X P X P X αβαβαβαβ=-=-==+--==-,

所以X 的分布列为

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(2)(i )由(1)得0.4,

0.5,0.1a b c ===.

因此11=0.4+0.5 +0.1i i i i p p p p -+,故()()110.10.4i i i i p p p p +--=-,即

()114i i i i p p p p +--=-.

又因为1010p p p -=≠,所以{}1(0,1,2,,7)i i p p i +-=L 为公比为4,首项为1p 的等比数列. (ii )由(i )可得

()()()88877610087761013

4 1 p p p p p p p p p p p p p p p -=-+-++-+=-+-++-=L L .

由于8=1p ,故18

3

41

p =

-,所以 ()()()()44433221101411

.325 7

p p p p p p p p p p -=-+-+-+=-=

4p 表示最终认为甲药更有效的概率,由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治

愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为41

0.0039257

p =≈,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理.

22.解:(1)因为221111t t --<≤+,且()

2

2

2

22

222141211y t t x t t ??-??+=+= ? ?+????+,所以C 的直角坐标方程为2

2

1(1)4

y x x +=≠-.

l

的直角坐标方程为2110x +=.

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(2)由(1)可设C 的参数方程为cos ,

2sin x y αα

=??

=?(α为参数,ππα-<<).

C 上的点到l

π4cos 11

α?

?-+ ?=.

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当2π3α=-

时,π4cos 113α?

?-+ ??

?取得最小值7,故C 上的点到l .

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23.解:(1)因为2

2

2

2

2

2

2,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥,又1abc =,故有

222111

ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c

++++≥++=

=++.

所以

222111

a b c a b c

++≤++. (2)因为, , a b c 为正数且1abc =,故有

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333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c a c

3≥???

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=24.

所以3

3

3

()()()24a b b c c a +++++≥.

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