幂指对函数复习专题讲座
幂指对函数复习专题讲座
一．幂函数
1.定义形如αx y =的函数叫幂函数，其中α为常数，在中学阶段只研究α为有理数的情形.
2.根据幂函数在第一象限内图像的特点分析幂函数q p
y x =的性质.
（1）图像必过(1,1)点.
（2） 1q
p
>时，过(0,0)点，且随x 的增大，函数图像向y 轴方向延伸.在第一象限是
增函数.
（3） 1q
p
=时，图像是直线y=x 。在第一象限内是增函数.（在整个定义域内都是增函
数.）
（4）10q
p >>时,随x 的增大，函数图像向x 轴方向延伸.在第一象限是增函数.
（5）0q
p
<时，随x 的增大，函数图像与x 轴、y 轴无限接近，但永不相交。在第一象
限是减函数.
二．指数函数和对数函数
1.幂的有关概念：
(1)规定：① ∈???=n a a a a n ( N *
);② )0(10≠=a a ;
n 个 ③∈=-p a
a
p p
(1Q ）;④m a a a n m n m
,0(>=、∈n N *
且)1>n (2)指数运算性质： ①r a a
a a s
r s
r
,0(>=?+、∈s Q ）;②),,0(Q s r a a a
a s r s r
∈>=-；
③r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）;④∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）;
⑤),0,0(Q s b a b a b a s s s
∈>>=???
??.（注）上述性质对r 、∈s R 均适用.
2．对数的概念：
(1)定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数.
①以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ，
②以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数，N e log 记作N ln (2)基本性质：
①真数N 为正数（负数和零无对数）; ② 01log =a ; ③1log =a a ;④对数恒等式：N a N a =log . (3)运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则
①N M MN a a a log log )(log +=;②N M N
M
a a a
log log log -=; ③M n M a n a log log =;④n a n a =log ; ⑤N n
N a a n log 1
log =
⑥换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=
N m m a a a
N
N m m a
⑦1log log =?a b b a ，⑧ N m
n
N a n a m log log =
3.指数函数
（1）指数函数的定义
一般地，函数y =a x （a ＞0且a ≠1）叫做指数函数. （2）指数函数的图象
O
x
y
O
x
y
y =a x 1
1
a > ）
1y =a x (
(0＜a ＜1)
底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y 轴对称.
（3）指数函数的性质 ①定义域：R . ②值域：（0，＋∞）. ③过点（0，1），即x =0时，y =1.
④当a ＞1时，在R 上是增函数；当0＜a ＜1时，在R 上是减函数. 4. 对数函数
（1）对数函数的定义
函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数. （2）对数函数的图象
O x y
y = l o g x a > O x
y
( ( ) ) 底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R . ③过点（1，0），即当x =1时，y =0. ④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数. 5.指数函数y=a x (a ＞0，且a ≠1)与对数函数y=log a x(a ＞0，且a ≠1)的图象和性质如表1-2． (注)指数函数y=a x 与对数函数y=log a x 互为反函数． 6.抽象函数 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子（等式（方程）或不等式等）的一类函数。中学阶段遇到的抽象函数大多是如下几种以常见初等函数为模型的抽象函数： （1） ()() ()()()();()22 x y f x f y f x ax b f x y f x f y b f ++=+→+=+-= （2() ()()()();()() x f x f x a f x y f x f y f x y f y =→+=-= （3 ()log ()()();()()()a x f x x f xy f x f y f f x f y y =→=+=- （4() ()()()();()() n x f x f x x f xy f x f y f y f y =→== 三．典型例题 【例1】 图中曲线是幂函数n x y =在第一象限的图象，已知n 取±2、±2 1 四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为（ ） （A ） -2，-21，21，2. （B ） 2, 21, -21 ,-2. （C ） -21,-2, 2, 21. （D ） 2, 21, -2，-21 . 【例2】 在下列图形中找出所给函数的大致图象 （1）2 3 x y = ；（2）x 1y = ；（3）32x y = ；（4）2x y -= ；（5） y = x 1/2 ； （6） y = x 1/3 ；（7） y = x 4/3 ； （8） y = x –1/2 ； （9） y = x 5/3 . y y y 0 x 0 x 0 x y y y 0 x 0 x 0 x （ ） （ ） （ ） y y y 0 x 0 x 0 x （ ） （ ） （ ） 【例3】解答下述问题： （1）计算：25.021 21 3 2 5 .032 0625.0])32.0()02.0()008.0()9 45()833[(÷?÷+--- （2）计算1 .0lg 2 1 036.0lg 21600lg )2(lg 8000lg 5lg 2 3--+?. （3）化简： .)2(248533233 23 233 23 134a a a a a b a a ab b b a a ???-÷++-- （4）已知：36log ,518,9log 3018求==b a 值. 【例4】已知函数2log (1)(0,1)a y x mx a a =++≠. (1)若定义域为R ，求m 的取值范围；(2)若值域为R ，求m 的取值范围. 【例5】 函数||(1)x y a a =的图象是（ ） 【例6】若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值； （2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）. 1 o 1 y x C 1 C 2 C 3 C 4 幂指对函数练习题 一．选择题： 1.若210,5100==b a ，则b a +2= （ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 2.若0≠xy ，那么等式y xy y x 2432-=成立的条件是 （ ） A 、0,0>>y x B 、0,0<>y x C 、0,0> D 、0,0< ①lg （ab ）=lg a +lg b ②lg b a =lg a －lg b ③b a b a lg )lg(212= ④lg （ab ）=10log 1ab A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4.已知x =2+1，则lo g 4（x 3－x －6）等于（ ） A ． 23 B ．45 C ．0 D ．2 1 5.已知m >0时10x =lg （10m ）+lg m 1 ，则x 的值为( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1 6.若log a b ·log 3a =5，则b 等于( ) A ．a 3 B ．a 5 C ．35 D ．53 7. 若(10)x f x =，则(5)f = （ ） A 、510 B 、105 C 、lg10 D 、lg 5 8. 已知0,1a a >≠，下列说法中，正确的是 （ ） ①若M N =则log log a a M N =； ②若log log a a M N =则M N =； ③若22log log a a M N =则M N =； ④若M N =则22log log a a M N =。 A 、①②③④ B 、①③ C 、②④ D 、② 9. 已知3log 2a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ） A 、52a - B 、2a - C 、23(1)a a -+ D 、 231a a -- 10. 若21025x =，则10x -等于 （ ） A 、15 B 、15- C 、150 D 、1 625 11.给出的函数中，是幂函数的是（ ） A ．3x y -= B ．3-=x y C ．32x y = D ．13-=x y 12.下列函数一定是指数函数的是（ ） A.12+=x y B.3x y = C.x y -=3 D.x y 23?= 13.若函数x a a a y ?+-=)33(2是指数函数，则有（ ） A 、21==a a 或 B 、1=a C 、2=a D 、10≠>a a 且 14.已知c a b 2 12 12 1log log log <<，则( ) A ． 2b >2a >2c B ．2a >2b >2c C ．2c >2b >2a D ．2c >2a >2b 15.设 1.5 0.90.4812314,8,2y y y -?? === ? ?? ，则 （ ） A 、312y y y >> B 、213y y y >> C 、132y y y >> D 、123y y y >> 16.函数4 3)21(--=x y 的定义域为 （ ） A 、R x ∈ B 、21≠ x C 、21>x D 、2 1 1-x 的定义域为（ ） A ．（21，+∞） B ．［1，+∞) C ．（ 21，1] D ．（－∞，1） 18.函数x y -=1)2 1 (的单调递增区间是 （ ） A 、),(+∞-∞ B 、),0(+∞ C 、),1(+∞ D 、)1,0( 19.下列等式中成立的是 （ ） A 、 x x x 5.055<<- B 、 x x x -<<55.05 C 、x x x 5.055<<- D 、 x x x 555.0<<- 20.若函数()log (01)a f x x a =<<在区间[],2a a 上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为（ ） A 、 24 B 、22 C 、14 D 、12 21.下列图像正确的是 （ ） 22.若函数)1,0(1≠>-+=a a m a y x 的图象在第一、三、四象限内，则（ ） A 、1>a B 、1>a 且0 C 、010>< D 、10< 23.函数y =lg （x +12 －1）的图象关于（ ） A ．x 轴对称 B ．y 轴对称 C ．原点对称 D ．直线y =x 对称 24.已知03 1 log 31log >>b a ，则a 、b 的关系是（ ） A ．1＜b ＜a B ．1＜a ＜b C ．0＜a ＜b ＜1 D ．0＜b ＜a ＜1 25.已知f （x ）=a x ，g （x ）=－log b x ，且lg a +lg b =0，a ≠1，b ≠1，则y =f （x ）与y =g （x ）的图象（ ） A.关于直线x +y =0对称 B.关于直线x －y =0对称 C.关于y 轴对称 D.关于原点对称 26.当x∈(1,+∞)时,函数y=x a 的图像恒在直线y=x 的下方,则a 的取值范围是 (A)a ＜1 (B)0＜a ＜1 (C)a ＞0 (D)a ＜0 27.下图中曲线是对数函数y =log a x 的图象，已知a 取431 3,,, 3510 四个值，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次为( ) A ．101,53,34,3 B ．53,101,34,3 C ． 101 ,53,3,34 D ．5 3,101,3,34 28.函数3 4 x y =的图象是（ ） 29.下列命题中正确的是 （ ） A ．当0=α时函数αx y =的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点 C ．若幂函数αx y =是奇函数，则αx y =是定义域上的增函数 D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限 30.如图1—9所示，幂函数αx y =在第一象限的图象， 比较1,,,,,04321αααα的大小（ ） A ．102431<<<<<αααα B ．104321<<<<<αααα C ．134210αααα<<<<< D ．142310αααα<<<<< 31.下列函数中既是偶函数又是 （ ） A ．3 4x y =B ．2 3x y = C ．2-=x y D ． 32.函数f (x )=a 2+log a (x +1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为 A ．41 B ．21 C ．2 D ．4 33.已知a>0，a 0，函数y=a x 与y=log a (-x)的图象只能是 ( ) 34.若函数1 ()21 x f x = +, 则该函数在(-∞,+∞)上是 ( ) 1α 3α 4α 2α (A)单调递减无最小值 (B) 单调递减有最小值 (C)单调递增无最大值 (D) 单调递增有最大值 35.函数f(x)的图像沿x 轴向左平移一个单位,再沿y 轴翻折180o ,得到y=lgx 的图像, 则f(x)的解析式为( ) (A)f(x)=lg(1+x) (B)f(x)=lg[－(x+1)] (C)f(x)=lg(1－x) (D)f(x)=－lg(1－x) 36. 下图中三条对数函数图像,若a ＞1,则x 1、x 2、x 3的大小关系是 (A)x 1＞x 2＞x 3 (B)x 3＞x 2＞x 1 (C)x 3＞x 1＞x 2 (D)x 2＞x 1＞x 3 37.函数f(x)=a x －b －1(a ＞0,a≠1)图像只在第一、三、四象限.则 ( ) (A)a ＞1,b∈R (B)0＜a ＜1,b ＞0 (C)0＜a ＜1,b∈R (D)a ＞1,b ＞0 38.函数y=2x 的图像向左平移一个单位得图像C 1,再将C 1向上平移一个单位得到图像C 2,作出C 2关于直线y=x 的对称图像C 3,则C 3的解析式是 ( ) (A)y=log 2(x+1)+1(B)y=log 2(x+1)－1(C)y=log 2(x －1)+1(D)y=log 2(x －1)－1 39.某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是（ ） A 、减少7.84% B 、增加7.84% C 、减少9.5% D 、不增不减 40.定义在区间（－∞,＋∞)的奇函数f(x)为增函数,偶函数g(x)在区间[0,＋∞)的图像与f(x)的图像重合,设a ＞b ＞0,给出下列各式： ①f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b); ②f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b); ③f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a); ④f(a)－f(－b)＜g(b)－g(－a). 其中正确的是 ( ) (A)①与④ (B)②与③ (C)①与③ (D)②与④ 二、填空题： 1.化简22log (123)log (123)+= . 2.[]643log log (log 81)的值为 . 3.某企业生产总值的月平均增长率为p ，则年平均增长为 . 4.若) log 211x =-，则x = . 5.设1052==b a ,则=+b a 11_________. 6. 函数11+=-x a y )10(≠>a a 且的图象必经过定点________;函数y=log a (4x-7)对a ＞0且a ≠1的所有实数,必过定点__________. 7.) 34(log 1 )(2 2-+-= x x x f 的定义域为 ;函数y=)1(log 5.0-x 的定义域是 . 8.函数y=x 121?? ? ??的值域是_________. 9.若011log 2 2<++a a a ，则a 的取值范围是 . 10.若函数)1,0( )(log )(3≠>-=a a ax x x f a 在区间)0,2 1 (-内单调递增，则a 的取值范围 是 . 11.方程2lg lg(2)0x x -+=的解集是 . 方程2log 2x+3log x 2=7的解集是____. 12.函数y =（2 1）2 22 +-x x 的递增区间是___________;函数y=log 2(x 2-4x+3)的递增区间是 __________. 13.f －1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －1（x ）的值域为_ . 14.设函数x x x f -+=11ln )(，则函数)1 ()2()(x f x f x g +=的定义域为_ . 15.函数y=lg(5x+7)的反函数是_____，反函数的值域是_____. 16.函数y=x·的最大值是________. 17.已知f （x ）=log 3 1［3－（x －1）2 ］，则f （x ）的值域为 ,单调增区间为 , 单调减区间为 . 18.已知函数f （x ）=?????<+≥, 4),1(, 4,)21(x x f x x 则f （2+log 23）的值为 19.若直线y =2a 与函数y =|a x －1|（a ＞0且a ≠1）的图象有两个公共点，则a 的取值范围是______________. 20.若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1＝在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于 . 21.设f －1（x ）是f （x ）=log 2（x +1）的反函数，若[ ][ ] 8)(1)(11 1 =+?+--b f a f ，则f （a +b ）的值为 . 22.满足等式lg （x －1）+lg （x －2）=lg2的x 集合为______________。 23.若关于x 的方程3 3 5-+=a a x 有负根，则实数a 的取值范围是_____________. 24.f （x ）=)12(log 12+-x a 在（－21 ，0）上恒有f （x ）>0，则a 的取值范围_______． 25.当0>x 时，函数x a y )8(2-=的值恒大于1，则实数a 的取值范围是________. 26.若43-->a a )1,0(≠>a a ，则a 的取值范围是____________. 27.若log a (a 2+1)＜log a 2a ＜0,则a 的取值范围是__________. 28.函数f （x ）=|lg x |，则f （41），f （31 ），f （2）的大小关系是__________ 29.使x 2 ＞x 3 成立的x 的取值范围是_______. 30.函数y=x －2+的最小值是________;最大值是________. 三、解答题 1.化简或求值： （1） () () () 2 2 3 3 111a a a -+ -+ -； （2）() 2 81lg500lg lg 6450lg 2lg552+-++. 2.求log 2．56．25+lg 1001 +ln e +3log 122+的值． 3.已知 1,222 2>=+-x x x ，求22x x --的值 4.已知u a a x x =+-，其中a >0, R x ∈，试用u 将下列各式分别表示出来： （1）2 2 x x a a -+ ； （2） 2 32 3x x a a -+. 5.已知225x x -+=，求（1）44x x -+；（2）88x x -+ 6.判断函数 ( )2()lg 1f x x x =+-的奇偶性、单调性 7.求函数y= x 23 13log log log 的定义域. 8.已知 2 1()log 1x f x x +=-，则 （1）求()f x 的定义域；（2）求使()0f x >的x 的取值范围。 9.已知f(x)=x 2-bx+c,f(0)=3,对定义域中的所有x,都有f(1+x)=f(1-x),试比较f(b x ),与f(c x )的大小. 10.函数y=a 2x +2a x -1 (a ＞0,a ≠1),当x ∈[-1,1]时,最大值为14,求a. 11.已知f(x)=1+log 2x,x ∈[1,8].求y=f 2(x)+f(x 2)的值域. 12.设a ∈(0,1),log a y=log 2a x-log a x 3+3,函数y 的最大值为 4 2 ,求a 、x. 13.已知4x -9·2x+1 +32≤0,求函数y=log 2 18log 22 1x x ?的最大、最小值. 14.已知f(x)=x 2+(lga ＋2)x ＋lgb ，且f(-1)=-2，若f(x)≥2x 对于任意x ∈R 恒成立， （1）求a,b 的值；（2）指出f(x)的奇偶性并判断f(-4)与f(-1)的大小. 15.设A={x|1＜x ＜3},集合B 是关于x 的不等式组 的解集.试确定a,b 的取值范围,使得A ≠ ?B. 16.解下列方程： （1） ；（2） . 17.已知f(x)=1+log x 3,g(x)=2log x 2 (x ＞0,x ≠1) (1)比较f(x)、g （x ）的大小； (2)若|f （x ）-g （x ）|+f （x ）+g （x ）=4，求x. 18.关于x 的方程log 2(x+3)-log 4x 2=a 在(3,4)内有实数解,求实数a 的取值范围. 19.a ＞0,a ≠1,解关于x 的不等式1+log 2 1(4-a x )≤log 2 1 (a x -1). 20. 求函数y=2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值. 21.已知f(x)=x 2-x+k,f(log 2a)=k,log 2f(a)=2(a ≠1). (1)求f(log 2x)的最小值及取得最小值时的x 值; (2)x 为何值时,有f(log 2x)＞f(1)且log 2f(x)＜f(1)成立? 22.已知函数f （x ）=3x +k （k 为常数），A （－2k ，2）是函数y= f －1（x ）图象上的点.求实数k 的值及函数f －1（x ）的解析式； 23. 设0a >， ()x x e a f x a e =+是R 上的偶函数 （1）求a 的值；（2）证明()f x 在(0,)+∞上为增函数 24.已知函数f(x)在R +上有定义，且具有如下性质： ① f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)； ② 若f(x)≥f(y)，则x≥y； ③ f(2)＝1， (1)求f(1)、f(4)的值； (2)若f(x)＋f(x ＋3)≤2，求x 的范围. 25.已知函数3234+?-=x x y 的值域为[7，43]，试确定x 的取值范围. 26.定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(-x),当x ∈(0,1]时, 2()41x x f x =+; (1)求证:f(x)是以4为周期的周期函数; (2)求f(x)在[-1,0]上的解析式; 27.已知过原点O 的一条直线l 与函数y=log 8x 的图象交于A 、B 两点.分别过A 、B 作y 轴的平行线与函数y=log 2x 的图象交于C 、D 两点. (1)证明C 、D 和原点在同一条直线上； (2)当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标. 28.已知函数f(x)=log m 33 +-x x . (1)若f(x)的定义域为[α、β]（β＞α＞0），判断f （x ）在定义域上的增减性，并加以证明； (2)当m ∈（0，1）时，使f （x ）的值域是[log m m （β-1），log m m （α-1）]的定义域 区间[α、β]（β＞α＞0）是否存在？若存在，求出定义域区间 [α、β]；若不存在，请说明理由. 29.要使函数y =1+2x +4x a 在x ∈（－∞，1）上y ＞0恒成立，求a 的取值范围. 30.设定义在(0,)+∞上函数()f x 满足下列两个条件：①对一切正实数1m 、n ，都有 ()()()m f f m f n n =-；②当x ＞1时，()f x ＜0. （1）求(1)f 的值；（2）判断()f x 的单调性并加以证明； （3）若1212,(0,),,x x x x ∈+∞≠且试比较12121 [()()]()22 x x f x f x f ++与的大小. 3 幂函数知识点归纳 一、 幂函数定义：对于形如：() x f x α=，其中α为常数.叫做幂函数 定义说明： 1、 定义具有严格性，x α 系数必须是1，底数必须是x 2、 α取值是R . 3、 《考试标准》要求掌握α=1、2、3、?、-1五种情况 二、 幂函数的图像 幂函数的图像是由α决定的，可分为五类： 1）1α＞时图像是竖立的抛物线.例如：()2x f x = 2）=1α时图像是一条直线.即() x f x = 3）01α＜＜ 时图像是横卧的抛物线.例如()1 2 x f x = 4）=0α时图像是除去（0,1）的一条直线.即() 0x f x =（0x ≠） 5）0α＜时图像是双曲线（可能一支）.例如 ()-1 x f x = 具备规律: ①在第一象限内x=1的右侧：指数越大，图像相对位置越高（指大图高） ②幂指数互为倒数时，图像关于y=x 对称 ③结合以上规律，要求会做出任意一种幂函数图像 练习：做出下列函数的图像： 1、1α> ①3 y x =或53y x = ②2y x =或43y x = ③32y x =或74 y x = 2、01α<< ①13y x = ②23y x = ③12 y x = 3、0α< ①2 y x -= ②1 y x -= ③32 y x - = ④43 y x =— 三、 幂函数的性质 y=x 3 幂函数的性质要结合图像观察，随着α取值范围的变化，性质有所不同。 1、 定义域、值域与α有关，通常化分数指数幂为根式求解 2、 奇偶性要结合定义域来讨论 3、 单调性：α＞0时，在（0，+∞）单调递增：α=0无单调性；α＜0时，在（0，+∞）单调递减 4、 过定点：α＞0时，过（0,0）、（1,1）两点；α≤0时，过（1,1） 5、 由 ()0 x f x α=＞可知，图像不过第四象限 四、 幂函数类型题归纳 （一） 定义应用： 1、下列函数是幂函数的是 ______ ①21()y x -= ②22y x = ③21 (1)y x -=+ ④0 y x = ⑤1y = 2、若幂函数()y f x = 的图像过点2????? ，则函数()y f x =的解析式为______. 3、已知函数()() 22 1 44m m f x m m x --=--是幂函数，且经过原点，则实数m 的值为__________. 4、已知函数()()2 2 k k f x x k Z -++=∈满足()()23f f <，则k 的值为________ ,函数()f x 的 解析式为__________ 5、设1112,1,,,,1,2,3232a ? ? ∈--- ???? ，已知幂函数()f x x α=是偶函数，且在区间()0,+∞上是减函数，则满足要求的α值的个数是__________. 6、设()y f x =和()y g x =是两个不同的幂函数，集合()(){} |M x f x g x ==，则集合M 中 元素的个数是（ ） （Ａ）1或2或0 (Ｂ) 1或2或3（Ｃ）1或2或3或4 (Ｄ)0或1或2或3 （二） 图像及性质应用 1、 右图为幂函数y x α =在第一象限的图像，则 ,,,a b c d 的大小关系是 （ ） ()A a b c d >>> ()B b a d c >>> d y=x ()C a b d c >>> ()D a d c b >>> 2、如图：幂函数n m y x =（m 、n N ∈，且m 、n 互质）的图象在第一，二象限，且不经过原点，则有 （ ） ()A m 、n 为奇数且 1m n < ()B m 为偶数，n 为奇数，且1m n > ()C m 为偶数，n 为奇数，且1m n < b c 高考数学（指数、对数、幂函数）知识点总结2 整理人：沈兴灿 审核人：沈兴灿 一、指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． ◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m ， )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m ◆ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质(1) (0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈. (2)()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈.(3)()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈. （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2、指数函数的图象和性质 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○ 2 x N N a a x =?=log ；规律：底数a 保持不变 3注意对数的书写格式． 两个重要对数：○1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数Λ71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化。规律：底数a 保持不变 幂值 真数 （二）对数的运算性质 (1)负数和零没有对数； (2)1的对数是0，即01log =a (a ＞0,且a ≠1)；特殊地：ln10= (3)底的对数是1，即1log =a a (a ＞0,且a ≠1)；特别地：ln 1e = （三）对数运算法则。若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a a a M M N N =-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈. (4)N n N a n a log 1log = （5）对数的换底公式 log log log m a m N N a = (0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >). 推论 log log m n a a n b b m =(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). a b b a log 1 log = (a ＞0,且 b ＞0). （6）指数恒等式：a N a N l o g = （由②N log b ①N a a b ==，,将②代入①得a N a N l o g =） 高一数学幂函数知识点总结 函数是高中数学中比较重要的一项知识，学好函数可以提高自己的数学知识水平。下面就让小编给大家分享一些高一数学幂函数知识点总结吧，希望能对你有帮助! 高一数学幂函数知识点总结篇一一、一次函数定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。 特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。 即：y=kx(k为常数，k0) 二、一次函数的性质： 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数) 2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。 三、一次函数的图像及性质： 1.作法与图形：通过如下3个步骤 (1)列表; (2)描点; (3)连线，可以作出一次函数的图像一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴 和y轴的交点) 2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。 3.k，b与函数图像所在象限： 当k0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大; 当k0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 当b0时，直线必通过一、二象限; 当b=0时，直线通过原点 当b0时，直线必通过三、四象限。 特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。 这时，当k0时，直线只通过一、三象限;当k0时，直线只通过二、四象限。 四、确定一次函数的表达式： 已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。 (1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。 (2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b①和y2=kx2+b② (3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。 (4)最后得到一次函数的表达式。 一、幂函数 1、幂的有关概念 正整数指数幂： ...() n n a a a a n N =∈ 零指数幂： 01(0) a a =≠ 负整数指数幂： 1 (0,) p p a a p N a -=≠∈ 分数指数幂：正分数指数幂的意义是： (0,,,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 且 负分数指数幂的意义是： 1 (0,,,1) m n m n m n a a m n N n a a - ==>∈> 且 2、幂函数的定义 一般地,函数 a y x =叫做幂函数,其中x是自变量，a是常数（我们只讨论a是有理数的情况)． 3、幂函数的图象 幂函数a y x = 当 11 ,,1,2,3 32 a= 时的图象见左图；当 1 2,1, 2 a=--- 时的图象见上图： 由图象可知，对于幂函数而言,它们都具有下列性质: a y x =有下列性质： （1)0a >时： ①图象都通过点(0,0)，(1,1); ②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数． （2）0a <时： ①图象都通过点(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． （3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； （4）任何幂函数图象都不经过第四象限； (5）任何两个幂函数的图象最多有三个交点． 二、指数函数 ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数, 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞； 3）当10<a 时函数为增函数. 4）有两个特殊点:零点(0,1)，不变点(1,)a . 5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=?-= 三、对数函数 如果b a N =（0a >，1a ≠)，那么b 叫做以a 为底N 的对数,记作log a N b = log b a a N N b =?=(0a >，1a ≠，0N >）． 1．对数的性质 ()log log log a a a MN M N =+． log log log a a a M M N N =-． 〖2.1〗指数函数 [2.1.1】指数与指数幂的运算 (1) 根式的概念 ① 如果x " = aa R, x ? R, n 1 ,且n N .，那么x 叫做a 的n 次方 根.当 n 是奇数时，a 的n 次方根用符号：a 表示；当n 是偶数时， 正数a 的正的n 次方根用符号 蔦表示，负的n 次方根用符号一蔦 表示；0的n 次方根是0 ;负数a 没有n 次方根. ② 式子蔦叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数.当 n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，a_0 . ③根式的性质：(n .a)n =a ;当口为奇数时，n -a n =a ;当n 为偶 (2) 分数指数幂的概念 m ① 正数的正分数指数幂的意义是： a 下「n /(a 0, m, n ?N ,且 n 1). 0 的正分数指数幂等于0. ② 正数的负分数指数幂的意义是： a n =([)n (丄)m (a 〉0,m,门邛十且nn1) . 0 的负分数指数幂没有 a , a 意义. 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数. (3) 分数指数幂的运算性质 ① a r a $ = a r s (a 0,r, s R) ③(ab)r =a r b r (a 0,b 0,r R) 【2.1.2】指数函数及其性质 数时， Wa (a —0) (a ： ②(a r )s = a rs (a 0,r,s R) (4)指数函数 〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算 （1）对数的定义 ①若a?N（a 0,且a=1），贝卩x叫做以a为底N的对数，记作x=log a N，其中a叫做底数，N叫做真数. 高一数学指数对数幂函数知识点 知识点一：指数及指数幂的运算 1.根式的概念 的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中 当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为. 负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0. 式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数. 2.n次方根的性质： (1)当为奇数时，；当为偶数时， (2) 3.分数指数幂的意义： ； 注意：0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质： (1) (2) (3) 知识点二：指数函数及其性质 1.指数函数概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为. 函数 指数函数 名称 定义函数且叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点图象过定点，即当时，. 奇偶性非奇非偶 单调性在上是增函数在上是减函数 函数值的 变化情况 变化对图象的影响在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小. 知识点三：对数与对数运算 1.对数的定义 (1)若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数. (2)负数和零没有对数. (3)对数式与指数式的互化：. 2.几个重要的对数恒等式 ，，. 3.常用对数与自然对数 常用对数：，即；自然对数：，即(其中…). 4.对数的运算性质 如果，那么 ①加法：②减法： ③数乘：④ ⑤ ⑥换底公式： 知识点四：对数函数及其性质 1.对数函数定义 一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域. 函数 名称 对数函数 定义函数且叫做对数函数图象 定义域 值域 【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时， a 的n n 是偶数时，正数a 的正的n n 次方 根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当 n 为偶数时，0a ≥． ③根式的性质 ： n a =；当 n 为奇数时 ， a =；当 n 为偶数时， (0) || (0) a a a a a ≥?==? -∈且1)n >．0的正分数指数 幂等于0． ②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0 的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③() (0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 【2.2.1】对数与对数运算 （1）对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数， N 叫做真数． ②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式 log 10a =，log 1a a =，log b a a b =． （3）常用对数与自然对数 常用对数：lg N ，即10 log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1, 0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N -= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N = ⑤log log (0,)b n a a n M M b n R b = ≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且 【2.2.2】对数函数及其性质 指数函数、对数函数及幂函数 Ⅰ.指数与指数函数 1.指数运算法则：（1）r s r s a a a +=； （2）() s r rs a a =； （3）()r r r ab a b =； （4）m n m n a a =； （5）m n n m a a - = （6）,||,n n a n a a n ?=? ?奇偶 2. 指数函数： 【基础过关】 类型一：指数运算的计算题 此类习题应牢记指数函数的基本运算法则，注意分数指数幂与根式的互化，在根式运算或根 指数函数 0 式与指数式混合运算时，将根式化为指数运算较为方便 1 、5+的平方根是______________________ 2、 已知2=n a ，16=mn a ，则m 的值为………………………………………………( ) A ．3 B ．4 C ．3 a D ．6 a 3、 化简 (b a b +-的结果是………………………………( ) A 、a - 、a a D 、2b a + 4、已知0.001a = ，求：413 3 223 3 8(14a a b a b -÷-+=_________________ 5、已知1 3x x -+=，求（1）1 12 2 x x - +=________________（2）332 2 x x -+=_________________ 6 、若y y x x -+=，其中1,0x y ><，则y y x x --=______________ 类型二：指数函数的定义域、表达式 指数函数的定义域主要涉及根式的定义域，注意到负数没有偶次方根；此外应牢记指数函数的图像及性质 函数) (x f a y =的定义域与)(x f 的定义域相同 1、若集合A={ 113x x y -= },B={ x s A B =?= 则____________________ 2、如果函数()y f x =的定义域是[1,2],那么函数 1(2)x y f -=的定义域是________ 3、下列函数式中，满足f(x+1)=1 2f(x)的是……………………………………………( ) A 、()1 12x + B 、 1 4x + C 、2x D 、 〖2.１〗指数函数 【２.1.1】指数与指数幂的运算 (1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>,且n N +∈,那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时,a 的n ;当n 是偶数时,正数a 的正的n n 次方根用 符号表示;0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根. 这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当n 为奇数时，a 为任意实数;当n 为 偶数时，0a ≥． ③根式的性质 : n a =;当 n 为奇数时 , a =；当 n 为偶数时 , (0) || (0) a a a a a ≥?==? -∈且1)n >.０的正分数指数幂 等于0. ②正数的负分数指数幂的意义是 : 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >.0 的 负分数指数幂没有意义. 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数. (3）分数指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③() (0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 【2.１.2】指数函数及其性质 (4）指数函数 〖2．2〗对数函数 【2．2.１】对数与对数运算 （1）对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数,记作log a x N =,其中a 叫做底 数,N 叫做真数. ②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化:log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>. （２）几个重要的对数恒等式 log 10a =，log 1a a =,log b a a b =． （3)常用对数与自然对数 常用对数:lg N ，即10 log N ；自然对数:ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）. (４）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法:log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N -= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N = 幂函数 （1）幂函数的定义： 一般地，函数y x α =叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． （2）幂函数的图象 （3）幂函数的性质 ①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)． ③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴． ④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当q p α= （其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q p y x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q p y x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q p y x =是非奇非偶函数． ⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α =∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方． 幂函数练习题 一、选择题： 1．下列函数中既是偶函数又是(,)-∞0上是增函数的是 （ ） A ．y x =43 B ．y x =32 C ．y x =-2 D ．y x =- 14 2．函数2 -=x y 在区间]2,2 1[上的最大值是 （ ） A ． 4 1 B ．1- C ．4 D ．4- 3．下列所给出的函数中，是幂函数的是 （ ） A ．3 x y -= B ．3 -=x y C ．3 2x y = D ．13 -=x y 4．函数3 4x y =的图象是 （ ） A ． B ． C ． D ． 5．下列命题中正确的是 （ ） A ．当0=α时函数α x y =的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点 C ．若幂函数αx y =是奇函数，则α x y =是定义域上的增函数 D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限 6．函数3 x y =和3 1x y =图象满足 （ ） A ．关于原点对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线x y =对称 7． 函数R x x x y ∈=|,|，满足 （ ） A ．是奇函数又是减函数 B ．是偶函数又是增函数 C ．是奇函数又是增函数 D ．是偶函数又是减函数 8．如图1—9所示，幂函数α x y =在第一象限的图象，比较1,,,,,04321αααα的大小（ ） A ．102431<<<<<αααα B ．104321<<<<<αααα C ．134210αααα<<<<< D ．142310αααα<<<<< 1α 3α 4α 2α 【 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用符号 n 是偶数时，正数a 的正的n n 次方根用符号 0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． ②式子 n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为 偶数时，0a ≥． ③根式的性质 ： n a =；当 n 为奇数时 ， a =；当 n 为偶数时， (0) || (0) a a a a a ≥?==? -∈且1)n >．0 的正分数指数幂等 于0． ②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0 的负 分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③() (0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 【 （1）对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫 做真数． ②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式 log 10a =，log 1a a =，log b a a b =． （3）常用对数与自然对数 常用对数：lg N ，即10 log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N -= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N = ⑤log log (0,)b n a a n M M b n R b = ≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且 (6)反函数的概念 高一数学幂函数知识点 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高一数学幂函数知识点 1.概念：y x α=（x 是自变量，α是常数） 注意：（1）.只有形如y x α=（α为任意实数，x 为自变量）的函数才是幂函数，否则就不是； （2）.判断是否为幂函数的依据：y x α= ①．指数为常数 ②. 底数为自变量 ③. 底数系数为1 如：()3,2,5, y x y x y x α αα===+等都不是幂函数. 2.幂函数的图象 按0,1,1,01,0ααααα==><<<五种类型分 3.幂函数y x α=在第一象限图象特征 （1）.当1α>时，图象过（0,0），（1,1），下凸递增，如3y x = （2）.当01α<<时，图象过（0,0），（1,1），上凸递增，如12 y x = （3）.当0α<时，图象过（1,1），下凸递减，且以两坐标轴为渐近线.如1 2 y x -= 4.幂函数的性质 （1）.所有的幂函数在()0,+∞上都有意义，图象都过（1,1）. （2）.如果0α>，则幂函数过原点，在()0,+∞上单调递增. （3）.如果0α<，图象在()0,+∞上单调递减，在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时， 图象在y 轴右方无限逼近y 轴；当x 趋向于+∞时，图象在x 轴上方无限逼近x 轴. （4）.①.当α为奇数时，幂函数为奇数 ②.当α为偶数时，幂函数为偶数 ③.当(),,p p q p q N q α+= ∈为互质，时 a. 若q 为奇数，则当p 为奇数时p q y x =为奇函数，当p 为偶数时p q y x =为偶函数 b. 若q 为偶数，则p 必为奇数，此时p q y x =为非奇非偶函数 （5）.幂函数的定义域 ①.当N α+∈时，定义域为R ②.当0α=时，定义域为{}|,0x x R x ∈≠ ③.当α为负整数时，定义域为{}|,0x x R x ∈≠ ④.当(),,1,,p p q N q p q q α+= ∈>且互质时 a. q 为偶数时，定义域为[)0,+∞ b. q 为奇数时，定义域为R ⑤.当()-,,1,,p p q N q p q q α+=∈>且互质时 a. q 为偶数，定义域为()0,+∞ b. q 为奇数，定义域为{}|,0x x R x ∈≠. 〖2.1〗指数函数 【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时， a 的n n 是偶数时，正数a 的正的n n 次方 根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当 n 为偶数时，0a ≥． ③根式的性质 ： n a =；当 n 为奇数时 ， a =；当 n 为偶数时， (0) || (0) a a a a a ≥?==? -∈且1)n >．0的正分数指数 幂等于0． ②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0 的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③() (0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数 〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算 （1）对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数， N 叫做真数． ②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式 log 10a =，log 1a a =，log b a a b =． （3）常用对数与自然对数 常用对数：lg N ，即10 log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N -= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N = 幂函数知识点总结 掌握幂函数的内部规律及本质是学好幂函数的关键所在，下面是整理的幂函数公式大全，希望对广大朋友有所帮助。 定义： 形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称 为幂函数。 定义域和值域： 当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数 的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x 为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0 的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域 性质： 周恩来1953年，提出和平共处五项原则;1956年，提出“向科学进军”的口号;1963年，周恩来将我们党的一系列和平解决台湾问题的思想、政策和主张归纳为“一纲四目”。 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 以阿拉伯人为主的国家(阿拉伯人占人口多数的国家)被称为阿拉伯国家。西亚是世界 上阿拉伯人的主要聚居地区之一。除了阿富汗、伊朗、土耳其、塞浦路斯、以色列、格鲁 吉亚、亚美尼亚、阿塞拜疆8个国以外，其他国家和地区的居民主要是阿拉伯人，均属于 阿拉伯国家。此外，非洲北部地中海沿岸的埃及、利比亚、突尼斯、阿尔及利亚、摩洛哥 等五个国家也属于阿拉伯国家。 首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果 q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。当指数n是负 整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此 可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶 数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道： 排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数; 排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数; 【】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时， a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a n 次方 根用符号n a - 表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当 n 为偶数时，0a ≥． ③根式的性质： ()n n a a =；当 n 为奇数时， n n a a =；当 n 为偶数时， (0) || (0) n n a a a a a a ≥?==? -∈且1)n >．0的正分数指数 幂等于0． ②正数的负分数指数幂的意义是： 11 ()()(0,,,m m m n n n a a m n N a a -+==>∈且1)n >．0 的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③() (0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 函数名称 指数函数 定义 函数 (0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数 图象 1a > 01a << 定义域 R x a y =x y (0,1) O 1 y =x a y =x y (0,1)O 1 y = （一）指数与指数函数 1．根式 （1）根式的概念 （2）．两个重要公式 ① ? ? ? ? ? ? ? ? < - ≥ = = )0 ( )0 ( | | a a a a a a a n n； ②a a n n= ) (（注意a必须使n a有意义）。 2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1) m n m n a a a m n N n * =>∈> 、且; ②正数的负分数指数幂: 1 0,,1) m n m n m n a a m n N n a a - * ==>∈> 、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s=a r+s(a>0,r、s∈Q); ②(a r)s=a rs(a>0,r、s∈Q); ③(ab)r=a r b s(a>0,b>0,r∈Q);. 3．指数函数的图象与性质 y=a x a>1 0 图象 定义域R 值域（0，+∞） 性质（1）过定点（0，1） （2）当x>0时，y>1; x<0时,0 1.根式的概念 的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中 当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为. 负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0. 式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数. 2.n次方根的性质： (1)当为奇数时，；当为偶数时， (2) 3.分数指数幂的意义： ； 注意：0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质： (1) (2) (3) 1.指数函数概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为. 2.指数函数函数性质： 函数 名称 指数函数 定义函数且叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点图象过定点，即当时，. 奇偶性非奇非偶 单调性在上是增函数在上是减函数 函数值的 变化情况 变化对图象的影响在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小. 1.对数的定义 (1)若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数， 叫做真数. (2)负数和零没有对数. (3)对数式与指数式的互化：. 2.几个重要的对数恒等式 ，，. 3.常用对数与自然对数 常用对数：，即；自然对数：，即(其中…). 4.对数的运算性质 如果，那么 ①加法： ②减法： ③数乘： ④ ⑤ ⑥换底公式： 1.对数函数定义 一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域. 2.对数函数性质： 函数 名称 对数函数 定义函数且叫做对数函数 图象 定义域 值域 过定点图象过定点，即当时，. 奇偶性非奇非偶 单调性在上是增函数在上是减函数 函数值的 变化情况 变化对图象的影响在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小. 一、 幂函数 1、幂的有关概念 正整数指数幂： ...() n n a a a a n N =∈ 零指数幂： 01(0) a a =≠ 负整数指数幂： 1 (0,) p p a a p N a -=≠∈ 分数指数幂：正分数指数幂的意义是： (0,,,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 且 负分数指数幂的意义是： 1 (0,,,1) m n m n m n a a m n N n a a - ==>∈> 且 2、幂函数的定义 一般地，函数 a y x =叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数(我们只讨论a是有理数 的情况)．3、幂函数的图象 幂函数a y x = 当 11 ,,1,2,3 32 a= 时的图象见左图；当 1 2,1, 2 a=--- 时的图象见上图： 由图象可知，对于幂函数而言，它们都具有下列性质： a y x =有下列性质： (1)0a >时： ①图象都通过点(0,0)，(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数． (2)0a <时： ①图象都通过点(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． (3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； (4)任何幂函数图象都不经过第四象限； (5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点． 二、指数函数 ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞； 3）当10<a 时函数为增函数. 4）有两个特殊点：零点(0,1)，不变点(1,)a . 5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=?-= 三、对数函数 如果b a N =（0a >，1a ≠），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N b = log b a a N N b =?=（0a >，1a ≠，0N >）．专题13幂函数知识点归纳
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