函数的增减性PPT优选课件
合集下载
函数的增减性曲线的凹凸性与拐点优秀课件
当 x 1时， f (x) 0 ， 则 (, 1) 是函数的单调增区间
当 1 x 0 时， f (x) 0 ，则 (1,0) 是函数的单调减区间；
当 x 0 时， f (x) 0 ， 则 (0, ) 是函数的单调增区间.
经验 x1 1, x2 0 是两个很重要的点，它们把 (, ) 分
2
所以
11x 1x, (x0)
2
12.10.2020
7
目录
上页
下页
返回
二、函数的极值 1．极值定义 设函数 f (x) 在点 x0 的某邻域内
有定义，若对该邻域内异于 x0 任意一点 x ，都有
f (x) f (x0 ) 或 f (x) f (x0 ) , 则称 f (x0 ) 是函数 f (x) 的一个极大值（或极小值），点 x0 是 f (x) 的一个极大值点（或极小值点），函数的极大值、
f (x) 0 (图 1). 反过来，我们也可以用函数的导数的符号 来判定函数的单调性.
12.10.2020
2
目录
上页
下页
返回
定理 1 (函数单调性的判定法） 设函数 y f (x) 在 [a,b] 上 连 续 , 在 (a,b) 内 可 导 ．（ 1 ） 如 果 在 (a,b) 内 ， f (x) 0 ，则 y f (x) 在 [a,b] 上单调增加；（2）如果在 (a,b) 内， f (x) 0 ，则 y f (x) 在[a,b] 上单调减少．
成了三个区间，完成了对函数单调性的判断，并且在 x1 1, x2 0 处均有 f (x) 0 .
12.10.2020
4
目录
上页
下页
返回
一般地，使得函数 f (x) 的导数 f (x) 0 的点，称为该函数 的驻点. x1 1, x2 0 就是函数 f (x) (x 1) earctan x 的驻点.
函数的增减性课件
增函数的几何意义
增函数在直角坐标系中的图像是单调 上升的曲线。
减函数的定义
减函数的定义
如果对于函数$f(x)$在区间$I$上的任意两个数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$） ，都有$f(x_1) > f(x_2)$，则称函数$f(x)$在区间$I$上是减函数。
减函数的几何意义
减函数在直角坐标系中的图像是单调下降的曲线。
研究方法的局限性
目前对函数增减性的研究方法相对 单一，需要探索更多元化的研究手 段和角度。
展望未来函数增减性的研究方向
拓展理论框架
未来研究可以尝试突破传统数学 分析理论框架的限制，探索更广 泛、更深入的函数增减性理论。
跨学科应用
进一步拓展函数增减性在各个领 域的应用，特别是与其他学科的 交叉应用，以解决更多实际问题
当$a > 0$时，开口向上，函数在对称轴左侧为减函数，右侧为增函数；当$a < 0$时 ，开口向下，函数在对称轴左侧为增函数，右侧为减函数。
高次函数的增减性
要点一
高次函数
一般形式为 $y = ax^n + bx + c$，其中 $n geq 3, a, b, c$ 是常数。
要点二
高次函数的增减性取决于系数$a$ 的正负和函数的导数
解决数学问题
利用函数的增减性，可以 解决代数、几何、概率统 计等领域的数学问题。
证明数学定理
通过分析函数的增减性， 可以证明数学定理和公式 的正确性。
优化算法性能
在算法设计和分析中，利 用函数的增减性可以优化 算法的性能，提高计算效 率。
05
增减性的实例分析
一次函数的增减性
一次函数：$y = ax + b$，其中$a$和$b$是常数，$a neq 0$。
增函数在直角坐标系中的图像是单调 上升的曲线。
减函数的定义
减函数的定义
如果对于函数$f(x)$在区间$I$上的任意两个数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$） ，都有$f(x_1) > f(x_2)$，则称函数$f(x)$在区间$I$上是减函数。
减函数的几何意义
减函数在直角坐标系中的图像是单调下降的曲线。
研究方法的局限性
目前对函数增减性的研究方法相对 单一，需要探索更多元化的研究手 段和角度。
展望未来函数增减性的研究方向
拓展理论框架
未来研究可以尝试突破传统数学 分析理论框架的限制，探索更广 泛、更深入的函数增减性理论。
跨学科应用
进一步拓展函数增减性在各个领 域的应用，特别是与其他学科的 交叉应用，以解决更多实际问题
当$a > 0$时，开口向上，函数在对称轴左侧为减函数，右侧为增函数；当$a < 0$时 ，开口向下，函数在对称轴左侧为增函数，右侧为减函数。
高次函数的增减性
要点一
高次函数
一般形式为 $y = ax^n + bx + c$，其中 $n geq 3, a, b, c$ 是常数。
要点二
高次函数的增减性取决于系数$a$ 的正负和函数的导数
解决数学问题
利用函数的增减性，可以 解决代数、几何、概率统 计等领域的数学问题。
证明数学定理
通过分析函数的增减性， 可以证明数学定理和公式 的正确性。
优化算法性能
在算法设计和分析中，利 用函数的增减性可以优化 算法的性能，提高计算效 率。
05
增减性的实例分析
一次函数的增减性
一次函数：$y = ax + b$，其中$a$和$b$是常数，$a neq 0$。
九年级数学课件：函数的增减性
x1
x2
x
函数f(x)在给定区间D 上为减函数.
给定区间、任意性 以y=x2为例：
2 1
f ( 2) 4
y
1 2
f 1 1 f 2 4
f (1) 1
-2
-1
1
2
x
试问：我们能不能说 y=x2增函数还是减函数？
内 涵
（1）函数是增函数还是减函数，是对定义 域内某个区间而言的，并且单调区间是函 数定义域的子集.
任意 x1 , x2 ∈ [0，+∞ ),且x1< x2，都有f(x1) < f(x2), 那么就说 y=x2 在[0，+∞ )上是增函数.
任意 x1 , x2 ∈ (-∞,0 ),且x1< x2，都有f(x1) > f(x2), 那么就说 y=x2 在（-∞，0 )上是减函数.
定义
一般地,设函数f(x)的定义域为I,对于I内的某个区间D,
x 是减函数.
小结
1、函数的单调性——增函数和减函数、 函数的单 调区间.
函数y= f(x)在其单调递增区间上的图象是上升的， 在单调递减区间上的图象是下降的. 2、根据函数的图象确定函数的单调性、单调区间. 并注意写单调区间不要轻易用并集连接。
3、用定义判断函数的单调性
其步骤：作差—变形—定号—判断.
（2）函数单调性反映的是函数在相应
区间上函数值y随x而变化的趋势. 在单调区间上从左往右看增函数的图 象是上升的，减函数的图象是下降的. （3）函数的单调性也叫增减性.
外 f(x ) f(x ) D上任取 x , xx ,1 x2 延 在给定区间 f x1 f x2 0 1 等价形式
函数的单调性_PPT课件
同理可得f（x）在（0, a］上是减函数.
当x<0时，由奇函数的性质知函数f（x）
在（-∞, a］上是增函数，在［ ,a0）上是 减函数.
综上，函数f（x）在［ a ,0）,（0, a］
上是减函数，在（-∞, ］a ,［ ,a+∞）上是增 函数.
18
【评注】研究函数的单调性一般有两种方 法，即定义法和导数法.定义法是基础，掌握定 义法的关键是作差（f（x2）-f（x1）），运算 的结果可以判断正、负.本题判断正、负的依据 是代数式“x1x2-a”，处理这个代数式的符号是 一个难点，要有一定的数学功底作基础.把x1、 x2看成自变量，则转化为判断“x2-a”的符号， 于是转化为判断“x ”的 符a 号，自然过渡 到x= 是函数a单调区间的分界点.
0(x [2, ,
3a 0
))
解得-4<a≤4.
所以实数a的取值范围是（-4,4］.
28
【评注】利用函数单调性讨论参数的取 值范围是高考试题考查能力的知识结合点， 一般要弄清三个环节：（1）考虑函数的定义 域，保证研究过程有意义.本题中，不能忽视 u=x2-ax+3a>0;（2）保证常见函数的单调区间 与题目给出的单调区间的同一性.本题中， ［ a ,+∞）上是单调增区间与［2,+∞）一致； （32）注意防止扩大参数的取值范围，本题中， u（2）>0.
1 2
.
33
题型5 抽象函数的单调性
已知函数f（x）的定义域为
（0，
+∞），当x>1时，f（x）>0，且对于任意的正
数x,y都有f（xy）=f（x）+f（y）.
（1）证明：函数f（x）在定义域上是增函 数；
《函数的增减性》课件
增减函数的图像特征
增函数图像特征
增函数的图像从左至右上升，即随着$x$的增大，$y$的 值也相应增大。
减函数图像特征
减函数的图像从左至右下降，即随着$x$的增大，$y$的 值相应减小。
判断增减性的方法
通过观察函数的图像特征，可以判断函数的增减性。如果 图像从左至右上升，则是增函数；如果图像从左至右下降 ，则是减函数。
二次函数的增减性分析
二次函数
$y = ax^2 + bx + c$
增函数实例
$y = x^2$，在区间$(0, +infty)$上，随着$x$的增大，$y$增 大。
减函数实例
$y = -x^2$，在区间$(0, +infty)$上，随着$x$的增大，$y$减 小。
对数函数的增减性分析
对数函数
$y = log_a x$
在数学领域的应用
解决数学问题
增减函数是数学中常见的一种函 数类型，通过研究增减函数的性 质可以解决一些数学问题，例如 ，求函数的极值、判断函数的单
调性等。
建立数学模型
在数学建模中，可以利用增减函 数来建立数学模型，例如，在微 积分中利用增减函数来描述物体
的运动轨迹。
探究数学规律
通过研究增减函数的性质，可以 探究数学规律，例如，利用增减 函数的性质探究函数的极限和连
续性等。
04 增减函数的实例分析
一次函数的增减性分析
一次函数
$y = ax + b$
增函数实例
$y = x$，在区间$(-infty, +infty)$上，随着$x$的增大，$y$也增 大。
减函数实例
$y = -x$，在区间$(-infty, +infty)$上，随着$x$的增大，$y$减 小。
函数的基本性质ppt课件
答案 [－2，＋∞)
►单调性的两个易错点：单调性；单调区间.
（2）函数的单调递增(减)区间有多个时，不能用并集表示， 可以用逗号或“和”。
例如 函数 f(x)＝x＋1x的单调递增区间为________.
解析 由f(x)图象易知递增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞). 答案 (－∞，－1]，[1，＋∞)
变式训练：
已知奇函数f (x)的定义域为- 2,2，且在区间 - 2,0上递减，则满足f (1 m) f (1 m2) 0的 实数m的取值范围是-1,1
题型五、函数的周期性解题方略
1.有关函数周期性的常用结论 (1)若 f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为 2|a|； (2)若 f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为 2|a|； (3)若 f(x＋a)＝f（1x），则函数的周期为 2|a|； (4)若 f(x＋a)＝－f（1x），则函数的周期为 2|a|.
叫做f(x)的最小正周期.
题型归纳
题型一 判断函数的单调性 判断函数的单调性或求单调区间的方法 (1)利用已知函数的单调性. (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义.
(3) 图 象 法 ： 如 果 f(x) 是 以 图 象 形 式 给 出 的 ， 或 者 f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单
域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________.
解析 由定义域关于原点对称得 a－1＋2a＝0，解得 a＝13，即
f(x)＝13x2＋bx＋b＋1，又 f(x)为偶函数，由 f(－x)＝f(x)得 b＝0.
答案
1 3
0
（2）若函数 f(x)为奇函数且在原点有意义，则 f(0)＝0
[点评] 解题(1)的关键是会判断复合函数的单调性；解题(2) 的关键是利用奇偶性和单调性的性质画出草图.
►单调性的两个易错点：单调性；单调区间.
（2）函数的单调递增(减)区间有多个时，不能用并集表示， 可以用逗号或“和”。
例如 函数 f(x)＝x＋1x的单调递增区间为________.
解析 由f(x)图象易知递增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞). 答案 (－∞，－1]，[1，＋∞)
变式训练：
已知奇函数f (x)的定义域为- 2,2，且在区间 - 2,0上递减，则满足f (1 m) f (1 m2) 0的 实数m的取值范围是-1,1
题型五、函数的周期性解题方略
1.有关函数周期性的常用结论 (1)若 f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为 2|a|； (2)若 f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为 2|a|； (3)若 f(x＋a)＝f（1x），则函数的周期为 2|a|； (4)若 f(x＋a)＝－f（1x），则函数的周期为 2|a|.
叫做f(x)的最小正周期.
题型归纳
题型一 判断函数的单调性 判断函数的单调性或求单调区间的方法 (1)利用已知函数的单调性. (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义.
(3) 图 象 法 ： 如 果 f(x) 是 以 图 象 形 式 给 出 的 ， 或 者 f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单
域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________.
解析 由定义域关于原点对称得 a－1＋2a＝0，解得 a＝13，即
f(x)＝13x2＋bx＋b＋1，又 f(x)为偶函数，由 f(－x)＝f(x)得 b＝0.
答案
1 3
0
（2）若函数 f(x)为奇函数且在原点有意义，则 f(0)＝0
[点评] 解题(1)的关键是会判断复合函数的单调性；解题(2) 的关键是利用奇偶性和单调性的性质画出草图.
《函数单调性的性质》课件
单调性在求解不等式问题中的应用
总结词
详细描述
实例
利用单调性求解不等式问题
通过分析函数的单调性，可以将不等 式问题转化为函数值的大小比较问题 ，从而简化求解过程。例如，对于形 如$f(x) > g(x)$的不等式，可以通过 分析$f(x)$和$g(x)$的单调性，找到 满足不等式的$x$的取值范围。
判定函数单调性的导数方法
01
02
03
导数大于零
若函数在某区间内的导数 大于零，则函数在此区间 内单调递增。
导数小于零
若函数在某区间内的导数 小于零，则函数在此区间 内单调递减。
ห้องสมุดไป่ตู้
导数等于零
若函数在某区间内的导数 等于零，则需要进一步分 析函数在该点的左右极限 来判断函数的单调性。
判定函数单调性的其他方法
控制工程系统的稳定性
在工程控制领域，单调性的分析可以帮助工程师了解系统的稳定性，从而更好地进行系 统设计和控制。
提高生产效率
在生产过程中，通过对生产数据的单调性进行分析，可以帮助企业优化生产流程，提高 生产效率。
THANKS
感谢观看
实例
对于函数$f(x) = x^2$，其在区间$[0, +infty)$上是单调递增的，因此在该区间内函数的最小值为0，最 大值为正无穷大。
04 函数单调性与函 数其他性质的关 系
单调性与函数奇偶性的关系
总结词
单调性与奇偶性相互影响，奇函数在区间内单调递增或递减，偶函数在区间内单调递减或递增。
详细描述
复合函数单调性判定
利用同增异减原则，即内外函数的单调性相同，则复合函 数单调递增；内外函数的单调性不同，则复合函数单调递 减。
函数的基本性质 复习课件.ppt
优秀课件
29
规律方法总结
(3)①若f(x)是偶函数，则f(x)＝ f(|x|)，反之亦真．
②若f(x)为奇函数，且0在定义域 内，则f(0)＝0.
③若f(x)＝0且f(x)的定义域关于 原点对称，则f(x)既是奇函数又是偶 函数．
优秀课件
30
(2)作差：即f(x2)－f(x1)(或f(x1)－ f(x2))，并通过通分、配方、因式分解 等方法，向有利于判断差的符号的方 向变形．
优秀课件
18
课堂互动讲练
(3)定号：根据给定的区间和x2－ x1的符号，确定差f(x2)－f(x1)(或f(x1) －f(x2))的符号．当符号不确定时，可 以进行分类讨论．
优秀课件
27
规律方法总结
2．理解函数的奇偶性应注意的问题 (1)定义域在数轴上关于原点对称是 函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充 分条件．f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定 义域上的恒等式．
优秀课件
28
规律方法总结
(2)奇偶函数的定义是判断函数奇偶性 的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性 有时需要先将函数进行化简，或应用定义 的等价形式：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)∓f(x)＝ 0⇔f(f－(xx) )＝±1(f(x)≠0)．
13
三基能力强化
3．(教材习题改编)函数f(x)＝x2－ 2x，x∈[a2＋1,4]的最大值为________．
答案：8
优秀课件
14
课堂互动讲练
考点一 函数单调性的判断与证明
函数的单调性用以揭示随着自 变量的增大，函数值的增大与减小 的规律．在定义区间上任取x1、x2， 且x1<x2的条件下，判断或证明 f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)，这一过程 就是实施不等式的变换过程．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
f(x1)-f(x2)=(3 x1 +2)-(3 x2+2)
作差
= 3( x1- x2)
变形
由x1<x2 ，得 x1- x2 <0
于是 f(x1)-f(x2)<0
定号
即 f(x1)<f(x2) 所以，函数f(x)=3x+2在R上是增函数。
判断
2020/10/18
13
例3：判断函数f(x)=1/x在(-∞,0)上的单调性。
f(x)=1/x是不是减函数呢？
反例：取x1= - 1 , x2=1，则f(-1)=-1,f(1)=1
可见 x1 < x2 时; f(x1) > f(x2)不一定成立。
2020/10/18
16
课堂小结
1. 函数单调性定义、图象特征、范围。
设定义域为I。在I内某个区间上的任意两个 自变量x1、x2的值，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2) ， 那么就说f(x)在这个区间上是增函数。
多媒体辅助教学数学课件：函数的单调性
2020/10/18
1
波阳一中数学教研组 陈建文
2020/10/18
2
革新教育模式、推进教育改革！
2020/10/18
3
波阳一中数学教研组 陈建文
2020/10/18
4
多媒体辅助教学数学课件：函数的单调性
2020/10/18
5
向各位数学界的同仁们学习！
2020/10/18
2020/10/18
14
例3：判断函数f(x)=1/x在(-∞,0)上的单调性。
证明： 设x1,x2是(-∞,0)上的任意两个实数， 且 x1<x2，
f(x1)-f(x2)=1/x1 – 1/ x2
=(x2 - x1 )/ x1 x2
取值
作差 变形
由x1<x2 <0，得 x2 - x1 > 0 而x想1 x2一>0想？
课外作业
1. 课本60页练习4
2. 2.Байду номын сангаас求y=-x2-6x+10的单调增区间、单调减区 间。
3. 3. 研究函数 f ( x ) = x +1/x 在其定义域内的
单调性 2020/10/18
18
谢谢您的聆听与观看
THANK YOU FOR YOUR GUIDANCE.
感谢阅读！为了方便学习和使用，本文档的内容可以在下载后随意修改，调整和打印。欢迎下载！
注意！ 用逗号 间隔开
答：函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1), [1,3), [3,5], 其中 单调减区间是 [-5, -2), [1,3) ， 单调增区间是 [-2,1), [3, 5] 。
2020/10/18
12
例2：证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数。
证明： 设x1,x2是R上的任意两个实数，且 x1<x2，取值
图像特征： 增函数
y
y = f (x)
f(x1)
f(x2)
a
x1 O x2 b
x
减函数
y
y = f (x)
f(x1) f(x2)
a x1 O x2 b
x
2020/10/18
10
2020/10/18
11
例1：如图是定义在闭区间[-5,5]上的函数y=f(x) 的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在 每一个单调区间上， y=f(x)是增函数还是减函数。
如果对于属于定义域I内某个区间的任意两个 自变量x1、x2的值，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2) ， 那么就说f(x)在这个区间上是减函数。
2. 单调性的证明步骤。
取值 作差 变形
2020/10/18
定号
判断
17
3.可利用函数的图象直接判断函数的增 减性。
4.用特殊的反例可否定函数的增减性
解答：如果下雨仍不止，8月10日0时水库水位将
达到警戒线。最迟8月9日0时，全市将发布紧急
动员令。 2020/10/18
7
函数的单调性
2020/10/18
8
研究下列函数的图象：
（1）y = x 2
（2） y = x 3
1 （3）y =x
X -2 -1 0 1 2 y 41014
X -2 -1 0 1 2 y -8 -1 0 1 8
于是 f(x1)-f(x2)>0
定号
即 f(x1)>f(x2)
所以，函数f(x)= 1/x在(-∞,0)上是单调减函数。判断
2020/10/18
15
例3：证明函数f(x)=1/x在(-∞,0)上是减函数。
想一想：在课本59页例3已
证明函数f(x)=1/x在(0，+∞) 上也是减函数。
在整个定义域内
汇报人：XXX 日期：20XX年XX月XX日
X -2 -1 0 1 2 y -0.5 -1 1 0.5
y
x1 x2 o
x
2020/10/18
y
x1
o x2 x
y
o
x
9
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量值x1和x2，
当x1 < x2 时，都有f (x1) < f (x2) , 则 y = f (x) 叫做增函数，
当x1 < x2 时，都有f (x1) > f (x2) , 则 y = f (x) 叫做减函数。
6
实例分析
我市某水库8月1日0时的水位距警戒线4.5米。 据气象部门预报8月1日后我市区域仍将持续降雨， 水库水位将以每天0.5米的速度上涨，若全市抗洪 紧急动员后，全体抗洪人员到位还需1天。
问：最迟到几号如果下雨仍不止，全市将发布紧 急动员令？
分析：可应用函数 y=0.5x，当x增大时、y随之增大。 故 x= 9（天）时，y= 4.5（米）