半导体物理第五章5
§5.5 电流连续性方程及其应用
一、电流连续性方程
如果电流在进出一个具有单位截面积的微小体积元?x 时发生电流密度的变化，则该体积元内必有载流子密度随时间的变化；如果再考虑到体积元内额外载流子的产生和复合，则电流所经之处x 的载流子密度随时间的变化率（单位时间载流子密度的改变），对n 型半导体中的空穴可表示为
p p
p p p p g p x J q g p x x x J x J q t p +?-??-=+?-??+-=??ττ1)()(1 (5-127) 式中右边第一项表示单位时间内电流进出该体积元引起的空穴积累，第二项表示单位时间内因复合而减少的空穴数目，g p 表示其他产生复合因素引起的单位时间单位体积中空穴的变化。若?p /τp 表示净复合率，则g p 可略去。
式中，空穴电流由扩散电流和漂移电流两部分组成，即
dx
p
d qD E qp J J J p
p pD pS p ?-=+=μ 因此，
x
E
p q x p qD x p E q x J p p p p
??+???-??=??μμ22 (5-128) 代入式（5－127）即得漂移和扩散同时存在并考虑产生与复合对载流子密度的改变时，少数载流子所遵守的瞬态方程，即电流连续性方程：
p p p p g p x E p x p E x p D t p +?-??-??-???=??τ
μμ22 (5-129)
二、稳态连续性方程及其解
在上述情况下，若额外载流子的注入恒定不变，且g p =0，则p 不随时间变化，即?p /?t ＝0。这时的连续性方程称为稳态连续性方程。为了简化讨论，假定材料是均匀的，因而平衡空穴密度p 0与x 无关；电场是均匀的，因而?│E │/?x ＝0。则式(5-129)变为
02
2=?-??-?p
p p p
x p d E dx p d D τμ (5-130)
令)(E E p p p =τμ，将该微分方程改写为
0)(2
22
=?-?-?p dx p
d E dx p d L p
p
其普遍解为
x x Be Ae p 21λλ+=?
(5-131)
其中λ1和λ2是算子方程
01)(22=--λλE L p p
(5-132)
的两个根。式中， (E)表示额外空穴在其平均寿命的时间内在电场作用下漂移的距离，称为空穴的牵引长度。算子方程(5-134)的解为
2222,124)()(p
p
p p L L E E +±=
λ
显然，λ1＞0，λ2＜0。对于这里讨论的情况，额外载流子密度必随x 衰减，所以式(5-131)的第一项必须为零。于是知稳态连续性方程的解应是
x Be p 2λ=?
根据边界条件x ＝0时?p ＝?p (0)，可知B=?p (0)，所以
x e p p 2)0(λ?=?
此结果表明额外载流子密度随x 按指数规律衰减。式中
22222)
(41)()(p
p p p p L
E L E E +
-=
λ
如果电场很强，以致牵引长度 p (E)>>L p ，则可对式中的根式作如下近似处理
++
=+)
(21)
(412222E L E L p
p p
p
于是得)(/12E p -≈λ，稳态连续性方程的解为
))
(exp()0(E x
p p p -
?=? 上式表示，电场很强时，扩散运动可以忽略。这时，由表面注入的额外载流子能够深入样品的平均距离是牵引长度 p (E)，而不是扩散长度L p 。
但若电场很弱，以致牵引长度 p (E)<< L p ，则p L /12-≈λ，稳态连续性方程的解为
)exp()0(p
L x p p -
?=? 这就是讨论扩散运动时得到的衰减规律。事实上，若忽略电场的影响，式(5-130)就变成稳态扩散方程式(5-81)。
三、连续性方程的应用
1、均匀光注入载流子的衰减
若光照在均匀半导体内部均匀地注入额外载流子，则?p /?x ＝0。同时假定没有电场且g p =0。在t ＝0时刻，光照停止，额外载流子将不断复合而消失。这时，连续性方程式(5-129)变成
τ
p
t p ?-=??? 这就是本章开头所讨论的额外载流子随时间衰减的微分方程式(5-4)。其解为
)/exp()0()(τt p t p -?=?
2、局部注入的额外载流子脉冲及其在电场中的漂移（The Haynes －Shockley Experiment ）
在一块均匀的n 型半导体材料中，用光脉冲在其中局部注入额外载流子，如图5-19(a)所示。
1）无外加电场
当脉冲停止后，空穴的一维连续性方程是
p p p
x
p D t p τ?-???=???2
2
(5-142) 假设这个方程有如下形式的解
)/exp(),(p t t x f p τ-=? (5-143)
将它代入式(5-142)，得到
2
2)
,(),(x t x f D t t x f p ??=?? (5-144)
这是一维热传导方程的标准形式。若t ＝0时，额外空穴只局限于x = 0附近的很窄区域内，则式(5-144)的解是
)4exp(),(2t D x t
B
t x f p -= (5-145)
式中，B 是常数。将上式代入式(5－143)，得到
)4e x p (2p p t t D x t
B
p τ--=?
(5-146)
上式在t ＝0时对x 从-∞－∞积分所得到的结果应该是光脉冲通过单位面积表面产生的额外空穴数N ，由此确定积分常数
p
D N B π4=
(5-148)
最后得到
)4exp(42p p p t t D x t D N
p τπ--=
? (5-149)
上式表明，没有外加电场时，光脉冲停止以后，注入的空穴由注入点向两边扩散，同时不断发生复合，其峰值随时间下降。如图5-19(b)所示。
图5-19 额外载流子的脉冲光注入
在这种情况下，额外载流子随时间衰减有下列特点： ① 衰减曲线关于注入点x =0对称； ② 在t ＜＜τ 时，exp(-t /τ )≈1，因而
)4exp(42
t D x t D N
p p p -=
?π
这相当于忽略了复合的作用。该式即扩散问题在粒子数守恒条件下的高斯分布函数。积分
?
∞
∞
-=?N dx t x p ),(
为常数。
③ 当复合项不能忽略时，不但在注入点x =0处的额外载流子密度,
)exp(4p
p p t
t
D N p τπ-
=
?
随时间衰减，积分面积
)exp(),(p
t
N dx t x p τ-
=??
∞
∞
-
也即额外载流子的数目也随时间衰减。
2）有外加电场
如果样品加上一均匀电场，则连续性方程是
τμp
x p E x
p D t p p p ?-??-???=??22 (5-150)
这时，可认为注入的额外载流子整体以漂移速度 μp │E │沿电场方向移动，其中心在t 时刻的位置是μp │E │t 。因此作变量代换，令
t E x x p μ-='
(5-151)
将其带入无电场情况下的解，即式(5-149)中，即得有电场情况下的解：
)4)(exp(42
p
p p p p t
t
D t
E x t
D N p τμπ-
--=
? (5-152)
上式表示光脉冲停止后，整个额外载流子“包” 在电场驱使下以漂移速度μp │E │向样品的负端漂移，同时也像无电场时一样向包外扩散并通过复合而消失。这种情形如图5-19(c)所示。
这就是著名的测量半导体中载流子迁移率的Haynes －Shockley Experiment 。实验原理如图5-19(a)所示。实验中所加电场也是脉冲形式，称为扫描脉冲。扫描脉冲和被测脉冲之间的时间间隔显示在示波器上。若已知电场强度│E │及脉冲漂移的距离x ，则由x =μp │E │t 即可算出迁移μ。这样测得的迁移率称为漂移迁移率。当然要获得精确的测量结果，必须准确地测量时间间隔和电场。用这个实验也可以测量额外载流子的寿命，这时需要两根隔开一定距离的收集探针。利用这两根探针观测到的额外载流子“包”面积之比为1/e 时，收集到这两个信号的时间之差就是寿命τ。
3.稳态下的表面复合
若稳定光在一块掺杂均匀的n 型半导体中持续均匀注入额外载流子，产生率为g p ，则达到稳态时?p ＝p -p 0=τp g p 。如果在样品的一端存在表面复合，则这个面上的额外空穴密度将比体内低，体内的额外空穴就要流向这个表面，并在那里复合掉。在小注入的情况下，忽略电场的影响，注入空穴的连续性方程是
02
2=+?-???p p g p x p D τ
将发生表面复合的面定位于x =0处，则该方程应满足如下两个边界条件：
p p g p τ=∞?)(
)0()
(0
p s x x p D p x p
?=???=
式中s p 是表面复合速度。方程满足第一个边界条件的解是
p p p
g L x
C x p τ+-
=?)exp()( 其中，待定常数C 由第二个边界条件确定为
p
p p p p p
p s L s g C τττ+-=
因而其解为
p p p p p p p p g L x s L s x p τττ???
?
????-+-=?)exp(1)(
如图5-20所示，该解表明：
1） 当S p 趋于零时，?p (x )＝τp g p 为一常数，即额外空穴从里到外均匀分布。 2） 当S p 趋于无穷大时，
p p p g L x x p τ???
?
????--=?)exp(1)(
这时，?p (0)＝0，?p (∞)＝τp g p ，?p (L p )＝τp g p （1－1/e ）。
图5-20 稳态表面复合条件下的载流子分布
半导体物理学第五章习题答案电子版本
半导体物理学第五章 习题答案
第五章习题 1. 在一个n 型半导体样品中，过剩空穴浓度为1013cm -3, 空 穴的寿命为100us 。计算空穴的复合率。 2. 用强光照射n 型样品，假定光被均匀地吸收，产生过剩 载流子，产生率为,空穴寿命为 。 （1）写出光照下过剩载流子所满足的方程； （2）求出光照下达到稳定状态时的过载流子浓度。 3. 有一块n 型硅样品，寿命是1us ，无光照时电阻率是10 cm 。今用光照射该样品，光被半导体均匀的吸 收，电子-空穴对的产生率是1022 cm -3s-1 ,试计算光照下样 品的电阻率，并求电导中少数在流子的贡献占多大比例？ s cm p U s cm p U p 31710 10010 313/10U 100,/10613 ==?= ====?-??-τ τμτ得：解：根据？求：已知：τ τ τ ττ g p g p dt p d g Ae t p g p dt p d L L t L =?∴=+?-∴=?+=?+?-=?∴-. 00 )2()(达到稳定状态时，方程的通解：梯度，无飘移。 解：均匀吸收，无浓度g p L 0 .=+?-τ 光照达到稳定态后
4. 一块半导体材料的寿命=10us ，光照在材料中会产生 非平衡载流子，试求光照突然停止20us 后，其中非平衡载流子将衰减到原来的百分之几？ 5. n 型硅中，掺杂浓度N D =1016 cm -3 , 光注入的非平衡载流子浓度 n=p=1014cm -3 。计算无光照和有光照的电导率。 % 2606 .38 .006.3500106.1109.,.. 32.0119161 0' '==???=?∴?>?Ω==-σσ ρp u p p p p cm 的贡献主要是所以少子对电导的贡献献 少数载流子对电导的贡 。 后，减为原来的光照停止%5.1320%5.13) 0() 20()0()(1020 s e p p e p t p t μτ ==???=?-- cm s q n qu p q n p p p n n n cm p cm n cm p n cm n K T n p n i /16.21350106.110:,/1025.2,10/10.105.1,30019160000003403160314310=???=≈+=?+=?+=?===?=??==---μμσ无光照则设本征 空穴的迁移率近似等于的半导体中电子、注：掺杂有光照131619140010(/19.20296.016.2)5001350(106.11016.2)(: --=+=+???+≈+?++=+=cm cm s nq q p q n pq nq p n p n p n μμμμμμσ
半导体物理学课后习题第五章第六章答案
可修改 第五章习题 1. 在一个n 型半导体样品中，过剩空穴浓度为1013cm -3, 空穴的寿命为 100us 。计算空穴的复合率。 2. 用强光照射n 型样品，假定光被均匀地吸收，产生过剩载流子，产生率为,空穴寿命为。 （1）写出光照下过剩载流子所满足的方程； （2）求出光照下达到稳定状态时的过载流子浓度。 3. 有一块n 型硅样品，寿命是1us ，无光照时电阻率是10cm 。今用光照 射该样品，光被半导体均匀的吸收，电子-空穴对的产生率是1022cm -3s-1,试 计算光照下样品的电阻率，并求电导中少数在流子的贡献占多大比例？ s cm p U s cm p U p 3171010010313/10U 100,/10613==?=====?-??-τ τμτ得：解：根据？求：已知：τ ττττg p g p dt p d g Ae t p g p dt p d L L t L =?∴=+?-∴=?+=?+?-=?∴-.00)2()(达到稳定状态时，方程的通解：梯度，无飘移。解：均匀吸收，无浓度cm s pq nq q p q n pq np cm q p q n cm g n p g p p n p n p n p n L /06.396.21.0500 106.1101350106.11010.0:101:1010100.1916191600'0003 16622=+=???+???+=?+?++=+=Ω=+==?==?=?=+?-----μμμμμμσμμρττ光照后光照前光照达到稳定态后
可修改 4. 一块半导体材料的寿命=10us ，光照在材料中会产生非平衡载流子，试求 光照突然停止20us 后，其中非平衡载流子将衰减到原来的百分之几？ 5. n 型硅中，掺杂浓度N D =1016cm -3, 光注入的非平衡载流子浓度n=p=1014cm -3。计算无光照和有光照的电导率。 %2606.38.006.3500106.1109. ,..32.0119161 0' '==???=?∴?>?Ω==-σσ ρp u p p p p cm 的贡献主要是所以少子对电导的贡献献 少数载流子对电导的贡Θ。后，减为原来的光照停止%5.1320%5.13)0()20()0()(1020s e p p e p t p t μτ==???=?--cm s q n qu p q n p p p n n n cm p cm n cm p n cm n K T n p n i /16.21350106.110:,/1025.2,10/10.105.1,30019160000003403160314310=???=≈+=?+=?+=?===?=??==---μμσ无光照则设半导体的迁移率） 本征空穴的迁移率近似等于的半导体中电子、注：掺杂有光照131619140010(/19.20296.016.2) 5001350(106.11016.2) (:--=+=+???+≈+?++=+=cm cm s nq q p q n pq nq p n p n p n μμμμμμσ
半导体物理学第五章习题答案
第五章习题 1. 在一个n 型半导体样品中，过剩空穴浓度为1013cm -3, 空穴的寿命为100us 。计算空穴的复合率。 2. 用强光照射n 型样品，假定光被均匀地吸收，产生过剩载流子，产生率为,空 穴寿命为。 （1）写出光照下过剩载流子所满足的方程； （2）求出光照下达到稳定状态时的过载流子浓度。 3. 有一块n 型硅样品，寿命是1us ，无光照时电阻率是10??cm 。今用光照射该样品，光被半导体均匀的吸收，电子-空穴对的产生率是1022cm -3s-1,试计算光照下样品的电阻率，并求电导中少数在流子的贡献占多大比例 s cm p U s cm p U p 31710 10010 313/10U 100,/10613 ==?= ====?-??-τ τμτ得：解：根据？求：已知：τ τ τ ττ g p g p dt p d g Ae t p g p dt p d L L t L =?∴=+?-∴=?+=?+?-=?∴-. 00 )2()(达到稳定状态时，方程的通解：梯度，无飘移。 解：均匀吸收，无浓度cm s pq nq q p q n pq np cm q p q n cm g n p g p p n p n p n p n L /06.396.21.0500106.1101350106.11010.0:101 :1010100 .19 16191600'000316622=+=???+???+=?+?++=+=Ω=+==?==?=?=+?-----μμμμμμσμμρττ光照后光照前光照达到稳定态后
4. 一块半导体材料的寿命=10us ，光照在材料中会产生非平衡载流子，试求光照突然停止20us 后，其中非平衡载流子将衰减到原来的百分之几 5. n 型硅中，掺杂浓度N D =1016cm -3, 光注入的非平衡载流子浓度n=p=1014cm -3。计算无光照和有光照的电导率。 6. 画出p 型半导体在光照（小注入）前后的能带图，标出原来的的费米能级和光照时的准费米能级。 % 2606.38.006.3500106.1109. ,.. 32.0119 161 0' '==???=?∴?>?Ω==-σσ ρp u p p p p cm 的贡献主要是所以少子对电导的贡献献 少数载流子对电导的贡Θ。 后，减为原来的光照停止%5.1320%5.13) 0() 20()0()(1020 s e p p e p t p t μτ ==???=?--cm s q n qu p q n p p p n n n cm p cm n cm p n cm n K T n p n i /16.21350106.110:,/1025.2,10/10.105.1,30019160000003403160314310=???=≈+=?+=?+=?===?=??==---μμσ无光照则设半导体的迁移率） 本征 空穴的迁移率近似等于的半导体中电子、 注：掺杂有光照131619140010(/19.20296.016.2)5001350(106.11016.2)(: --=+=+???+≈+?++=+=cm cm s nq q p q n pq nq p n p n p n μμμμμμσ
半导体物理学第七章知识点
第7章 金属－半导体接触 本章讨论与pn 结特性有很多相似之处的金－半肖特基势垒接触。金－半肖特基势垒接触的整流效应是半导体物理效应的早期发现之一： §7.1金属半导体接触及其能级图 一、金属和半导体的功函数 1、金属的功函数 在绝对零度，金属中的电子填满了费米能级E F 以下的所有能级，而高于E F 的能级则全部是空着的。在一定温度下，只有E F 附近的少数电子受到热激发，由低于E F 的能级跃迁到高于E F 的能级上去，但仍不能脱离金属而逸出体外。要使电子从金属中逸出，必须由外界给它以足够的能量。所以，金属中的电子是在一个势阱中运动，如图7-1所示。若用E 0表示真空静 止电子的能量，金属的功函数定义为E 0与E F 能量之差，用W m 表示： FM M E E W -=0 它表示从金属向真空发射一个电子所需要的最小能量。W M 越大，电子越不容易离开金属。 金属的功函数一般为几个电子伏特，其中，铯的最低，为1.93eV ；铂的最高，为5.36 eV 。图7-2给出了表面清洁的金属的功函数。图中可见，功函数随着原子序数的递增而周期性变化。 2、半导体的功函数 和金属类似，也把E 0与费米能级之差称为半导体的功函数，用W S 表示，即 FS S E E W -=0 因为E FS 随杂质浓度变化，所以W S 是杂质浓度的函数。 与金属不同，半导体中费米能级一般并不是电子的最高能量状态。如图7-3所示，非简并半导体中电子的最高能级是导带底E C 。E C 与E 0之间的能量间隔 C E E -=0χ 被称为电子亲合能。它表示要使半导体导带底的电子逸出体外所需要的最小能量。 利用电子亲合能，半导体的功函数又可表示为 )(FS C S E E W -+=χ 式中，E n =E C －E FS 是费米能级与导带底的能量差。 图7-1 金属中的电子势阱 图7－2 一些元素的功函数及其原子序数 图7-3 半导体功函数和电子亲合能
半导体物理第五章习题答案
第五篇 题解-非平衡载流子 刘诺 编 5-1、何谓非平衡载流子？非平衡状态与平衡状态的差异何在？ 解：半导体处于非平衡态时，附加的产生率使载流子浓度超过热平衡载流子浓度，额外产生的这部分载流子就是非平衡载流子。通常所指的非平衡载流子是指非平衡少子。 热平衡状态下半导体的载流子浓度是一定的，产生与复合处于动态平衡状态 ，跃迁引起的产生、复合不会产生宏观效应。在非平衡状态下，额外的产生、复合效应会在宏观现象中体现出来。 5-2、漂移运动和扩散运动有什么不同？ 解：漂移运动是载流子在外电场的作用下发生的定向运动，而扩散运动是由于浓度分布不均匀导致载流子从浓度高的地方向浓度底的方向的定向运动。前者的推动力是外电场，后者的推动力则是载流子的分布引起的。 5-3、漂移运动与扩散运动之间有什么联系？非简并半导体的迁移率与扩散系数之间有什么联系？ 解：漂移运动与扩散运动之间通过迁移率与扩散系数相联系。而非简并半导体的迁移率与扩散系数则通过爱因斯坦关系相联系，二者的比值与温度成反比关系。即 T k q D 0= μ 5-4、平均自由程与扩散长度有何不同？平均自由时间与非平衡载流子的寿命又有何不同？ 答：平均自由程是在连续两次散射之间载流子自由运动的平均路程。而扩散长度则是非平衡载流子深入样品的平均距离。它们的不同之处在于平均自由程由散射决定，而扩散长度由扩散系数和材料的寿命来决定。 平均自由时间是载流子连续两次散射平均所需的自由时间，非平衡载流子的寿命是指非平衡载流子的平均生存时间。前者与散射有关，散射越弱，平均自由时间越长；后者由复合几率决定，它与复合几率成反比关系。 5-5、证明非平衡载流子的寿命满足()τ t e p t p -?=?0，并说明式中各项的物理意义。 证明： ()[]p p dt t p d τ?=?- =非平衡载流子数 而在单位时间内复合的 子的减少数单位时间内非平衡载流 时刻撤除光照 如果在0=t
半导体物理学第七版 完整课后题答案
第一章习题 1.设晶格常数为a 的一维晶格,导带极小值附近能量E c (k)与价带极大值附近 能量E V (k)分别为: E c =0 2 20122021202236)(,)(3m k h m k h k E m k k h m k h V -=-+ 0m 。试求： 为电子惯性质量，nm a a k 314.0,1==π (1)禁带宽度; （2） 导带底电子有效质量; （3）价带顶电子有效质量; (4)价带顶电子跃迁到导带底时准动量的变化 解:(1) eV m k E k E E E k m dk E d k m k dk dE Ec k k m m m dk E d k k m k k m k V C g V V V c 64.012)0()43(0,060064 30382324 30)(2320212102 2 20 202 02022210 1202==-==<-===-== >=+== =-+ηηηηηηηη因此：取极大值处，所以又因为得价带： 取极小值处，所以：在又因为：得：由导带： 04 3222* 83)2(1m dk E d m k k C nC ===η
s N k k k p k p m dk E d m k k k k V nV /1095.704 3)()()4(6 )3(25104300222* 11-===?=-=-=?=-==ηηηηη所以：准动量的定义： 2、 晶格常数为0、25nm 的一维晶格,当外加102V/m,107 V/m 的电场时,试分别计 算电子自能带底运动到能带顶所需的时间。 解:根据:t k h qE f ??== 得qE k t -?=?η s a t s a t 13719282 1911027.810106.1) 0(1027.810106.1) 0(----?=??--= ??=??-- =?π πηη 补充题1 分别计算Si(100),(110),(111)面每平方厘米内的原子个数,即原子面密度(提示:先 画出各晶面内原子的位置与分布图) Si 在(100),(110)与(111)面上的原子分布如图1所示: (a)(100)晶面 (b)(110)晶面
半导体物理学第八章知识点
第8章 半导体表面与MIS 结构 许多半导体器件的特性都和半导体的表面性质有着密切关系，例如，晶体管和集成电路的工作参数及其稳定性在很大程度上受半导体表面状态的影响；而MOS 器件、电荷耦合器件和表面发光器件等，本就是利用半导体表面效应制成的。因此．研究半导体表面现象，发展相关理论，对于改善器件性能，提高器件稳定性，以及开发新型器件等都有着十分重要的意义。 §8.1 半导体表面与表面态 在第2章中曾指出，由于晶格不完整而使势场的周期性受到破坏时，禁带中将产生附加能级。达姆在1932年首先提出：晶体自由表面的存在使其周期场中断，也会在禁带中引入附加能级。实际晶体的表面原子排列往往与体内不同，而且还存在微氧化膜或附着有其他分子和原子，这使表面情况变得更加复杂。因此这里先就理想情形，即晶体表面无缺陷和附着物的情形进行讨论。 一、理想一维晶体表面模型及其解 达姆采用图8-l 所示的半无限克龙尼克—潘纳模型描述具有单一表面的一维晶体。图中x ＝0处为晶体表面；x ≥0的区域为晶体内部，其势场以a 为周期随x 变化；x ≤0的区域表示晶体之外，其中的势能V 0为一常数。在此半无限周期场中，电子波函数满足的薛定谔方程为 )0(20202≤=+-x E V dx d m φφφη (8-1) )0()(2202≥=+-x E x V dx d m φφφη (8-2) 式中V (x)为周期场势能函数，满足V (x +a )=V(x )。 对能量E ＜V 0的电子，求解方程(8-1)得出这些 电子在x ≤0区域的波函数为 ])(2ex p[)(001x E V m A x η -=φ (8-3) 求解方程(8-2)，得出这些电子在x ≥0区域中波函数的一般解为 kx i k kx i k e x u A e x u A x ππφ22212)()()(--+= (8-4) 当k 取实数时，式中A 1和A 2可以同时不为零，即方程(8-2)满足边界条件φ1(0)=φ2(0)和φ1'(0)=φ2'(0)的解也就是一维无限周期势场的解，这些解所描述的就是电子在导带和价带中的允许状态。 但是，当k 取复数k =k '+ik ''时（k '和k ''皆为实数），式(8-4)变成 x k x k i k x k x k i k e e x u A e e x u A x '''--''-'+=ππππφ2222212)()()( (8-5) 此解在x→∞或-∞时总有一项趋于无穷大，不符合波函数有限的原则，说明无限周期势场不能有复数解。但是，当A 1和A 2任有一个为零，即考虑半无限时，k 即可取复数。例如令A 2＝0，则 x k x k i k e e x u A x ''-'=ππφ2212)()( (8-6) 图8-l 一维半无限晶体的势能函数
半导体物理学(刘恩科第七版)课后习题解第一章习题及答案
第一章习题 1．设晶格常数为a 的一维晶格，导带极小值附近能量E c (k)和价带极大值附近能量 E V (k)分别为： E c =0 2 20122021202236)(,)(3m k h m k h k E m k k h m k h V - =-+ 0m 。试求： 为电子惯性质量，nm a a k 314.0,1== π （1）禁带宽度; （2）导带底电子有效质量; （3）价带顶电子有效质量; （4）价带顶电子跃迁到导带底时准动量的变化 解：（1） eV m k E k E E E k m dk E d k m k dk dE Ec k k m m m dk E d k k m k k m k V C g V V V c 64.012)0()43 (0,060064 3 382324 3 0)(2320 212102220 202 02022210 1202==-==<-===-==>=+===-+ 因此：取极大值 处，所以又因为得价带： 取极小值处，所以：在又因为：得：由导带： 04 32 2 2*8 3)2(1 m dk E d m k k C nC ===
s N k k k p k p m dk E d m k k k k V nV /1095.704 3 )() ()4(6 )3(25104 3002 2 2*1 1 -===?=-=-=?=- == 所以：准动量的定义： 2. 晶格常数为0.25nm 的一维晶格，当外加102V/m ，107 V/m 的电场时，试分别计算 电子自能带底运动到能带顶所需的时间。 解：根据：t k h qE f ??== 得qE k t -?=? s a t s a t 137 19 282 1911027.810 10 6.1)0(102 7.810106.1) 0(----?=??-- =??=??-- = ?π π 补充题1 分别计算Si （100），（110），（111）面每平方厘米内的原子个数，即原子面密度（提 示：先画出各晶面内原子的位置和分布图） Si 在（100），（110）和（111）面上的原子分布如图1所示： （a ）(100)晶面 （b ）(110)晶面
半导体物理第七章总结复习_北邮全新
第七章 一、基本概念 1.半导体功函数: 半导体的费米能级E F 与真空中静止电子的能量E 0的能量之差。 金属功函数：金属的费米能级E F 与真空中静止电子的能量E 0的能量之差 2.电子亲和能: 要使半导体导带底的电子逸出体外所需的最小能量。 3. 金属-半导体功函数差o: (E F )s-(E F )m=Wm-Ws 4. 半导体与金属平衡接触平衡电势差: q W W V s m D -= 5.半导体表面空间电荷区 : 由于半导体中自由电荷密度的限制，正电荷分布在表面相当厚的一层表面层内，即空间电荷区。表面空间电荷区=阻挡层=势垒层 6.电子阻挡层：金属功函数大于N 型半导体功函数（Wm>Ws ）的MS 接触中，电子从半导体表面逸出到金属，分布在金属表层，金属表面带负电。半导体表面出现电离施主，分布在一定厚度表面层内，半导体表面带正电。电场从半导体指向金属。取半导体内电位为参考，从半导体内到表面，能带向上弯曲，即形成表面势垒，在势垒区，空间电荷主要有带正电的施主离子组成，电子浓度比体内小得多，因此是是一个高阻区域，称为阻挡层。 【电子从功函数小的地方流向功函数大的地方】 7.电子反阻挡层：金属功函数小于N 型半导体功函数（Wm 第七章 半导体表面层和MIS 结构 （1）p 型Si 的掺杂浓度分别为N =1015/cm 3，1017/cm 3。求表面刚刚达到强反型时的表面层电荷面密度，空间电荷层厚度和表面最大电场。 N =1015/cm 3时, 1710=N /cm 3时, 2/10)4(A F s M eN V d εε=2/10)4(A F s M B N eV Q εε-=kT eV i kT E E i F F Fi e n e n p ==-0i A i F n N e kT n p e kT V ln ln 0==00εεεεs BM s n BM M Q Q Q E -≈+-=]/[1076.8)4(2102/10cm e N eV Q A F s M B ?-=-=εε??==A eN V d A F s M 32/101076.8)4(εε]/[1032.140 0cm V Q Q Q E s BM s n BM M ?=-≈+-=εεεε)(41.0105.110ln 026.01017 V V F =?=]/[1004.1)4(2122/10cm e N eV Q A F s M B ?-=-=εε??==A eN V d A F s M 32/101004.1)4(εε （2）氧化层厚度为1μm 的Si MOS 结构的p 型衬底的掺杂浓度分别为N =1015/cm 3，1016/cm 3，比较这两种结构的氧化层电容和耗尽层电容在决定结构总电容中的作用。 N A 大d s 小, C D 大, C i 作用大。 （3）在MOS 结构C V -特性测量的应用中，平带电容有什么作用？ 可根据平带电容来确定平带电压 （4）从物理上说明C FB /C i 随氧化层厚度及掺杂浓度的变化趋势。由 图查N =1015/cm 3，d i =1000A 0的Si MOS 结构的C FB /C i 值，由此估算 德拜长度。与直接算得的值进行比较。 d i 大, C FB /C i 更接近1; p 0大, L D 小, C FB /C i 更接近1. 查图得C FB /C i =0.7, 估算L D =1.35?103 A ? 直接计算得L D =1.31?103 A ? （5）试讨论平带电压V FB 及阈值电压V T 中各个项的来源： i BM F FB T i ox i fc ms FB C Q V V V C Q C Q V V -+='--=2; V FB 各项的来源分别为：功函数之差、“附着”于半导体表面的电 荷、和氧化层中的电荷对半导体表面层内能带弯曲产生的影响。 V T 各项的来源分别为：平带电压、理想情况半导体内部的电压降 V s =2V F 、理想情况绝缘层上的电压降V i 。 ] /[1057.1500cm V Q Q Q E s BM s n BM M ?=-≈+-=εεεεD i s s i i C C d d C 11100+=+=εεεεi s D i i s D i i FB d L C L d C εεεεεε+=+=1100020p e kT L s D εε= §5.5 电流连续性方程及其应用 一、电流连续性方程 如果电流在进出一个具有单位截面积的微小体积元?x 时发生电流密度的变化，则该体积元内必有载流子密度随时间的变化；如果再考虑到体积元内额外载流子的产生和复合，则电流所经之处x 的载流子密度随时间的变化率（单位时间载流子密度的改变），对n 型半导体中的空穴可表示为 p p p p p p g p x J q g p x x x J x J q t p +?-??-=+?-??+-=??ττ1)()(1 (5-127) 式中右边第一项表示单位时间内电流进出该体积元引起的空穴积累，第二项表示单位时间内因复合而减少的空穴数目，g p 表示其他产生复合因素引起的单位时间单位体积中空穴的变化。若?p /τp 表示净复合率，则g p 可略去。 式中，空穴电流由扩散电流和漂移电流两部分组成，即 dx p d qD E qp J J J p p pD pS p ?-=+=μ 因此， x E p q x p qD x p E q x J p p p p ??+???-??=??μμ22 (5-128) 代入式（5－127）即得漂移和扩散同时存在并考虑产生与复合对载流子密度的改变时，少数载流子所遵守的瞬态方程，即电流连续性方程： p p p p g p x E p x p E x p D t p +?-??-??-???=??τ μμ22 (5-129) 二、稳态连续性方程及其解 在上述情况下，若额外载流子的注入恒定不变，且g p =0，则p 不随时间变化，即?p /?t ＝0。这时的连续性方程称为稳态连续性方程。为了简化讨论，假定材料是均匀的，因而平衡空穴密度p 0与x 无关；电场是均匀的，因而?│E │/?x ＝0。则式(5-129)变为 02 2=?-??-?p p p p x p d E dx p d D τμ (5-130) 令)(E E p p p =τμ，将该微分方程改写为 0)(2 22 =?-?-?p dx p d E dx p d L p p 其普遍解为 x x Be Ae p 21λλ+=? (5-131) 其中λ1和λ2是算子方程 第5章 非平衡载流子 1. 一个n 型半导体样品的额外空穴密度为1013cm -3，已知空穴寿命为100μs ，计算空穴的复合率。 解：复合率为单位时间单位体积内因复合而消失的电子-空穴对数，因此 13 17306 101010010 U cm s ρτ--===?? 2. 用强光照射n 型样品，假定光被均匀吸收，产生额外载流子，产生率为g p ， 空穴寿命为τ，请 ①写出光照开始阶段额外载流子密度随时间变化所满足的方程； ②求出光照下达到稳定状态时的额外载流子密度。 解：⑴光照下，额外载流子密度?n =?p ，其值在光照的开始阶段随时间的变化决定于产生和复合两种过程，因此，额外载流子密度随时间变化所满足的方程由产生率g p 和复合率U 的代数和构成，即 ()p d p p g dt τ =- ⑵稳定时额外载流子密度不再随时间变化，即() 0d p dt =，于是由上式得 0p p p p g τ?=-= 3. 有一块n 型硅样品，额外载流子寿命是1μs ，无光照时的电阻率是10Ω?cm 。今用光照射该样品，光被半导体均匀吸收，电子-空穴对的产生率是1022/cm 3?s ，试计算光照下样品的电阻率，并求电导中少数载流子的贡献占多大比例？ 解：光照被均匀吸收后产生的稳定额外载流子密度 226163101010 cm p p n g τ-?=?==?=－ 取21350/()n cm V s μ=?，2 500/()p cm V s μ=?，则额外载流子对电导率的贡献 1619()10 1.610(1350500) 2.96 s/cm n p pq σμμ-=?+=???+= 无光照时00 1 0.1/s cm σρ= =，因而光照下的电导率 0 2.960.1 3.06/s cm σσσ=+=+= 相应的电阻率 1 1 0.333.06 cm ρσ = = =Ω? 第一章习题 1．设晶格常数为a 的一维晶格，导带极小值附近能量E c (k)和价带 极大值附近能量E V (k)分别为： E c =0 2 20122021202236)(,)(3m k h m k h k E m k k h m k h V - =-+ 0m 。试求： 为电子惯性质量，nm a a k 314.0,1== π （1）禁带宽度; （2） 导带底电子有效质量; （3）价带顶电子有效质量; （4）价带顶电子跃迁到导带底时准动量的变化 解：（1） eV m k E k E E E k m dk E d k m k dk dE Ec k k m m m dk E d k k m k k m k V C g V V V c 64.012)0()43 (0,060064 3 382324 3 0)(2320 2121022 20 202 02022210 1202== -==<-===-==>=+===-+ηηηηηηηη因此：取极大值处，所以又因为得价带： 取极小值处，所以：在又因为：得：由导带： 04 32 2 2*8 3)2(1 m dk E d m k k C nC ===η s N k k k p k p m dk E d m k k k k V nV /1095.704 3 )() ()4(6 )3(25104 3002 2 2*1 1 -===?=-=-=?=- ==ηηηηη所以：准动量的定义： 2. 晶格常数为0.25nm 的一维晶格，当外加102V/m ，107 V/m 的电场 时，试分别计算电子自能带底运动到能带顶所需的时间。 解：根据：t k h qE f ??== 得qE k t -?=?η 半导体物理第五章习题 答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第5章 非平衡载流子 1. 一个n 型半导体样品的额外空穴密度为1013cm -3，已知空穴寿命为100s ，计算空穴的复合率。 解：复合率为单位时间单位体积内因复合而消失的电子-空穴对数，因此 13 17306 101010010 U cm s ρτ--===?? 2. 用强光照射n 型样品，假定光被均匀吸收，产生额外载流子，产生率为g p ， 空穴寿命为，请 ①写出光照开始阶段额外载流子密度随时间变化所满足的方程； ②求出光照下达到稳定状态时的额外载流子密度。 解：⑴光照下，额外载流子密度n =p ，其值在光照的开始阶段随时间的变化决定于产生和复合两种过程，因此，额外载流子密度随时间变化所满足的方程由产生率g p 和复合率U 的代数和构成，即 ()p d p p g dt τ =- ⑵稳定时额外载流子密度不再随时间变化，即() 0d p dt =，于是由上式得 0p p p p g τ?=-= 3. 有一块n 型硅样品，额外载流子寿命是1μs ，无光照时的电阻率是10Ω?cm 。今用光照射该样品，光被半导体均匀吸收，电子-空穴对的产生率是 1022/cm 3?s ，试计算光照下样品的电阻率，并求电导中少数载流子的贡献占多大比例？ 解：光照被均匀吸收后产生的稳定额外载流子密度 226163101010 cm p p n g τ-?=?==?=－ 取21350/()n cm V s μ=?，2500/()p cm V s μ=?，则额外载流子对电导率的贡献 1619()10 1.610(1350500) 2.96 s/cm n p pq σμμ-=?+=???+= 无光照时00 1 0.1/s cm σρ= =，因而光照下的电导率 第七章 1、功函数：表示一个起始能量等于费米能级的电子，由金属内部逸出到真空中所需要的最小能量。W m=E0-(E F)m W s=E0-(E F)S 2、电子亲和能：使半导体导带底的电子逸出体外所需要的最小能量。?=E0-E c 3、接触电势差：一块金属和一块n型半导体，假定wm>ws接触时，半导体中的电子向金属流动，金属电势降低，半导体电势升高，最后达到平衡状态，金属和半导体的费米能级在同一个水平面上，他们之间的电势差完全补偿了原来费米能级的不同。Vms=(Vs-Vm)/q这个由于接触而产生的电势差称为接触电势差。 4、阻挡层与反阻挡层n p Wm>Ws 阻上弯反阻上弯 Wm 半导体物理 SEMICONDUCTOR PHYSICS 编写：刘诺独立制作：刘诺电子科技大学微电子与固体电子学院微电子科学与工程系刘诺 第五篇非平衡载流子 §5.1 非平衡载流子的注入与复合一、非平衡载流子及其产生非平衡态：系统对平衡态的偏离。相应的：n=n0+ ⊿n p=p0+ ⊿p 且⊿n= ⊿p 非平衡载流子：⊿n 和⊿p（过剩载流子）刘诺 当非平衡载流子的浓度△n和△p《多子浓度时，这就是小注入条件。结论?小注入条件下非平衡少子?p对平衡少子p0的影响大非平衡载流子?非平衡少子刘诺 二、产生过剩载流子的方法光注入电注入高能粒子辐照… 刘诺 注入的结果产生附加光电导σ = nq μ n + pq μ p = (n0 qμn + p0 qμ p + (?nqμn + ?pqμ p = (n0 + ?n qμn + ( p0 + ?p qμ p = σ 0 + ?σ 故附加光电导?σ 0 = ?nqμ n + ?pqμ p = ?nq (μ n + μ p 刘诺 三、非平衡载流子的复合光照停止，即停止注入，系统从非平衡态回到平衡态，电子空穴对逐渐消失的过程。即：△n=△p 0 刘诺 §5.2 非平衡载流子的寿命 1、非平衡载流子的寿命寿命τ ?非平衡载流子的平均生存时间1 τ ?单位时间内非平衡载流子的复合几率?1 ?→ ?τ ?单位时间内非平衡电子的复合几率? n ? 1 ??单位时间内非平衡空穴的复合几率?→?τ p 刘诺?例如 d [?p (t ] 则在单位时间内非平衡载流子的减少数= ? dt ?p 而在单位时间内复合的非平衡载流子数= τp 如果在t = 0时刻撤除光照在小注入条件下，τ为常数.解方程(1得到则d [?p (t ] ?p ? = ? (1 ?→ dt τp ? t ?p(t = ?p(0 e ? t τp ? (2 ?→ 同理也有?n(t = ?n(0 e 刘诺τn ? (3 ?→ 对 (2 式求导 2、寿命的意义?p (t d [? p (t ] = ? τp ∞ dt ?衰减过程中从 t到 t + dt 内复合掉的过剩空穴因此?(?p 0 个过剩载流子的平均可生存时间为∫ td [?p(t ] 半导体物理学 第一章习题 (公式要正确显示，请安装字体MT extra) 1．设晶格常数为a 的一维晶格，导带极小值附近能量E c (k)和价带极大值附近能量E V (k)分别为： ........................................................................................... 1 2. 晶格常数为0.25nm 的一维晶格，当外加102V/m ，107 V/m 的电场时，试分别计算电子自能带底运动到能带顶所需的时间。 (3) 1．设晶格常数为a 的一维晶格，导带极小值附近能量E c (k)和价带极大值附近能量E V (k)分别为： 2 20122021202236)(,)(3Ec m k m k k E m k k m k V - =-+= 0m 。试求： 为电子惯性质量，nm a a k 314.0,1== π （1）禁带宽度; （2）导带底电子有效质量; （3）价带顶电子有效质量; （4）价带顶电子跃迁到导带底时准动量的变化 解：109 11010 314.0＝-?= =π π a k （1） J m k m k m k E k E E m k k E E k m dk E d k m k dk dE J m k Ec k k m m m dk E d k k m k k m k dk dE V C g V V V V c C 17 31 210340212012202 1210 12202220 21731 2 103402 12102 02022210120210*02.110 108.912)1010054.1(1264)0()43(6)(0,0600610*05.310108.94)1010054.1(4Ec 430 382324 3 0)(232------=????==-=-== =<-===-==????===>=+== =-+= 因此：取极大值处，所以又因为得价带： 取极小值处，所以：在又因为：得：由导带： 04 32 2 2* 8 3)2(1 m dk E d m k k C nC === s N k k k p k p m dk E d m k k k k V nV /1095.71010054.14 3 10314.0210625.643043)()()4(6)3(2510349 3410 4 3 222 * 1 ----===?=???= ?? ??=-=-=?=-==ππ 所以：准动量的定义： 麦拉福https://www.360docs.net/doc/4b11207807.html,/view/757c39bff121dd36a32d825c.html 半导体物理学第5章习题及答案 1. 在一个n 型半导体样品中，过剩空穴浓度为1013cm -3, 空穴的寿命为100us 。计算空穴的复合率。 2. 用强光照射n 型样品，假定光被均匀地吸收，产生过剩载流子，产生率为, 空穴寿命为τ。 （1）写出光照下过剩载流子所满足的方程； （2）求出光照下达到稳定状态时的过载流子浓度。 3. 有一块n 型硅样品，寿命是1us ，无光照时电阻率是10Ω?cm 。今用光照射该样品，光被半导体均匀的吸收，电子-空穴对的产生率是1022cm -3?s-1,试计算光照下样品的电阻率，并求电导中少数在流子的贡献占多大比例？ s cm p U s cm p U p 31710 10010 313/10U 100,/10613 ==?= ====?-??-τ τμτ得：解：根据？求：已知：τ τ τ ττ g p g p dt p d g Ae t p g p dt p d L L t L =?∴=+?-∴=?+=?+?-=?∴-. 00 )2()(达到稳定状态时，方程的通解：梯度，无飘移。解：均匀吸收，无浓度cm s pq nq q p q n pq np cm q p q n cm g n p g p p n p n p n p n L /06.396.21.0500106.1101350106.11010.0:101 :1010100 .19 16191600'000316622=+=???+???+=?+?++=+=Ω=+==?==?=?=+?-----μμμμμμσμμρττ光照后光照前光照达到稳定态后半导体物理第七章作业答案
半导体物理第五章5
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刘恩科 半导体物理学(第七版)第五章