2017高考新课标全国1卷文科数学试题和答案解析

2017 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷共 5 页，满分 150 分。

考生注意：1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5 分，共 60分。

在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。

1．已知集合 A = x|x 2 ， B = x|3 2x 0 ，则别为 x 1， x 2，⋯， x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A ． x 1， x ，⋯ ， x n 的平均数B ． x 1， x 2，⋯， x n 的标准差C ．x 1，x 2，⋯， x n 的最大值 D ． x 1， x 2，⋯， x n 的中位数 3．下列各式的运算结果为纯虚数的是2A ． i(1+i) 2 2B ． i 2(1-i)2C ． (1+i) 2D ．i(1+i)4．如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图 . 正方形内切圆中的黑色部分和白色 部分关于正方形的中心成中心对称 . 在正方形内随机取一点， 学 科 &网则此点取自黑色部分的概率是绝密★启用前3A ．AB = x|x 32C ． A B x|x2．为评估一种农作物的种植效果，选了 B ． A B D ． A B=Rn 块地作试验田 . 这 n 块地的亩产量（单位： kg ）分是(1,3). 则△ APF 的面积为在这四个正方体中，直接 AB 与平面 MNQ 不平行的是x 3y 3,7．设 x ， y 满足约束条件 x y 1, 则 z =x +y 的最大值为y 0,A ． 0B ．1C ．2sin2x8．. 函数 y的部分图像大致为1 cosxA ．B ．C ．D ．25．已知 F 是双曲线 C ： x 2- y =1 的右焦点， 3P 是 C 上一点，且 PF 与 x 轴垂直，点 A 的坐标A ．B ．C ．23D ．326．如图，在下列四个正方体中， A ，B 为正方体的两个顶点， M ，N ，Q 为所在棱的中点，则D ．34C ．y = f (x) 的图像关于直线 x =1对称D ．y = f (x)的图像关于点( 1,0 )对称10．如图是为了求出满足 3n 2n 1000的最小偶数 n ，学| 科网那么在和 两个空白框中，可以分别填入a =2， c = 2 ，则 C = ππA ．B ．12 6A ． f (x) 在( 0,2 )单调递增B ． f(x) 在( 0,2 )单调递减A ．A >1000 和 n =n +1C ． A ≤1000 和 n =n +1B ． A >1000和 n =n +2D ．A ≤1000和 n =n +211．△ ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。

已知 sin B sin A(sin C cosC) 0 ， C ． D ．2212．设 A 、 B 是椭圆 C ： x y 1长轴的两个端点，若 C 上存在点 M 满足∠ AMB =120°， 3m则 m 的取值范围是A ． （0,1] [9, ）B ． （0, 3] [9, ）C ． （0,1] [4, ）D ． （0, 3] [4,）二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。

13．已知向量 a =（–1，2），b =（m ，1）.若向量 a +b 与 a 垂直，则 m = ____________ .2114．曲线 y x 2在点（ 1， 2）处的切线方程为 _______________________ .x ππ15．已知a （0， ） ,tan α =2，则 cos （） = ________ 。

16．已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， SC 是球 O 的直径。

若平面 SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥 S-ABC 的体积为 9，则球 O 的表面积为 __ 。

三、解答题： 共 70 分。

解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。

第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。

一）必考题： 60 分。

记 S n 为等比数列 a n 的前 n 项和，已知 S 2=2， S 3=-6.1）求 a n 的通项公式；2）求 S n ，并判断 S n+1，S n ，S n+2 是否成等差数列 。

82）若 PA =PD =AB =DC , APD 90 , 且四棱锥 P-ABCD 的体积为 ，求该四棱锥的侧面 3积.17． 12 分）18． 12 分）如图，在四棱锥901）证明：平面19．（ 12 分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔取一个零件，并测量其尺寸（单位： cm ）．下面是检验员在一天内依次抽取的 16 个零件的 尺寸：1 16 1 16 1 16 经计算得 x 116 i 1 x i 9.97，s 116i 1(x i x)2 116( i 1 x i 216x 2) 0.212，1618.439，(x i x)(i 8.5) 2.78，其中x i为抽取的第 i1i 1,2, ,16 ．（1）求（x i , i ） （i 1,2, ,16） 的相关系数 r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺 寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若 |r | 0.25 ，则可以认为零件的尺寸不随生 产过程的进行而系统地变大或变小）．（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 （x 3s,x 3s ） 之外的零件，就认为这条 生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）从这一天抽检的结果看，学 . 科网是否需对当天的生产过程进行检查？（ⅱ） 在 （x 3s,x 3s ） 之外的数据称为离群值， 试剔除离群值， 估计这条生产线当天 生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到 0.01 ）n（x i x ）（y i y ）附 ： 样本 （x i ,y i ） （i 1,2, ,n ） 的 相 关 系 数 r0.008 0.09 ．20．（ 12 分）x 2设 A ，B 为曲线 C ：y = 上两点， A 与 B 的横坐标之和为 4.30 min 从该生产线上随机抽(i 8.5)2i1i 个零件的尺寸，i1(x i x)2(y i y)24（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM BM，求直线AB的方程.21．（12 分）已知函数f （x）=e x（e x﹣a）﹣a2x．（1）讨论f （x）的单调性；（2）若f （x） 0，求 a 的取值范围．（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4―4：坐标系与参数方程] （10分）x 3cos ,在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ 为参数），直线l 的参数y sin ,x a 4t,方程为（t为参数）.y 1 t,（1）若a=- 1，求C与l 的交点坐标；（2）若C上的点到l 的距离的最大值为17 ，求a.23．[选修4—5：不等式选讲]（10 分）已知函数f（x）=–x2+ax+4，g（x）=│x+1│+│ x–1│.（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式 f （x）≥g（x）的解集包含[ –1，1] ，求a的取值范围.2017年高考新课标 1 文数答案1. A2. B3. C4. B5. D6. A7. D16. 36π17.（12分）【解析】（1）设｛ a n ｝的公比为 q.由题设可得 a1（1 q ） 22，解得 q 2，na 1（1 q q 2）6a 12故｛a n ｝ 的通项公式为 a n （ 2）n .故 S n 1 ， S n ， S n 2 成等差数列18. （ 12分）【解析】（ 1）由已知 ∠BAP ∠CDP 90 ，得 AB AP , CD PD . 由于8.C 9.C 10.D 11.B 12.A 13.7 14.15.3 10 102）由（ 1）可得 S na1（1 q ）1qn123 ( 1)n234n 2n 3由于S n 2 S n 13 ( 1)n32n 2 2 n 2n 1 32 2[ 23 ( 1)n23 ] 2S n ，AB∥CD ，故AB PD，从而AB 平面PAD. 又AB 平面PAB ，所以平面PAB 平面PAD .2）在平面PAD 内作PE AD ，垂足为E .由（ 1）知， AB 平面 PAD ，故 AB PE ，可得 PE 平面 ABCD . 设AB x ，则由已知可得 AD2x ，PE2x . 211 故四棱锥 P ABCD 的体积 V P ABCD 1AB AD PE 1x 3.33 由题设得 1x 3 8 ，故 x 2.33从而 PA PD 2， AD BC 2 2， PB PC 2 2.16(x i x)(i 8.5)i1 16 16(x i x)2(i 8.5)2i 1 i 1由于 |r | 0.25 ，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或 变小. （2）（i ）由于 x 9.97, s 0.212，由样本数据可以看出抽取的第13 个零件的尺寸在（x 3s,x 3s ）以外，因此需对当天的生产过程进行检查 .（ii ）剔除离群值，即第 13 个数据，剩下数据的平均数为 1 （16 9.97 9.22） 10.02 ，15 这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为 10.02.16 x i 2 16 0.2122 16 9.972 1591.134 ，i11 2 2剔除第 13 个数据，剩下数据的样本方差为 （1591.134 9.222 15 10.022） 0.008 ，15 这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为 0.008 0.09.20. （12 分）解：22（1）设 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则 x 1 x 2 ， y 1 x1 ， y 2 x2 ，x 1+x 2=4， 于是直线 AB 的斜率k y1 y2 x1 x21.x 1 x 242(2)由 y x ，得 y' x .42设 M (x 3，y 3)，由题设知 x3 1，解得 x 3 2，于是 M (2， 1).19.P 可11P12分）【解析】（ 1）由样本数据得 (xi ,i)(i 1,2, ,16) 的相关系数为 2.780.212 16 18.4390.18.2设直线AB的方程为y x m，故线段AB的中点为N(2,2+m)，| MN|=| m+1|.2 x 2将y x m 代入y 得x2 4x 4m 0 .4当16(m 1) 0，即m 1时，x1,2 2 2 m 1.从而|AB|= 2|x1 x2 | 4 2(m 1).由题设知| AB| 2|MN |，即 4 2(m 1) 2(m 1)，解得m 7.所以直线AB的方程为y x 7.21.( 12 分) ( 1 ) 函数f(x) 的定义域为( , ，f (x) 2e2x ae x a2 (2e x a)(e x a) ，①若a 0，则f(x) e2x，在( , )单调递增.②若a 0，则由f (x) 0得x lna.当x ( ,ln a)时，f (x) 0；当x (ln a, )时，f (x) 0，所以f(x)在( ,ln a)单调递减，在(ln a, ) 单调递增.③若a 0 ，则由f (x) 0 得x ln( a) .2 aa当x ( ,ln( ))时，f (x) 0；当x (ln( ), )时，f (x) 0，故f(x) 在22aa( ,ln( )) 单调递减，在(ln( ), ) 单调递增.22(2)①若a 0，则f (x) e2 x，所以f (x) 0.②若a 0 ，则由( 1)得，当x lna时，f ( x)取得最小值，最小值为f (lna) a2ln a.从而当且仅当a2 ln a 0 ，即a 1时，f(x) 0.a③若a 0 ，则由(1)得，当x ln( )时，f(x) 取得最小值，最小值为2a 2 3 a 2 3 a f(ln( )) a 2[ ln( )] . 从 而 当 且 仅 当 a 2[ ln( )] 0 ， 2 4 2 4 2 3 即 a 2e 4 时f(x) 0. 3综上， a 的取值范围为 [ 2 e 4 ,1] .22.[ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程 ] (10分)2 解：(1)曲线 C 的普通方程为 x y 2 1.9当 a 1时，直线 l 的普通方程为 x 4y 3 0.x x 2 4y 2 3 0解得 x 3或 x 9 y 2 1 y 0 21 y 2425 y 25 从而C 与l 的交点坐标为 (3,0) ， 21,24 25,25 2)直线 l 的普通方程为 x 4y a 4 0 ，故C 上的点 (3cos ,sin )到l 的距离为 |3cos 4sin a 4| 17 a 4 时， d 的最大值为 a 9 .由题设得 a 9 17，所以 a 8； 17 17a 4 时， d 的最大值为 a 1 a 1 . 由题设得 17 ，所以 a 16.17 17综上， a 8 或 a 16. 、 23.[ 选修 4-5 ：不等式选讲 ] (10分) 解：(1)当 a 1时，不等式 f (x) g(x)等价于 x 2 x |x 1| |x 1| 4 0. ① 当 x 1时，①式化为 x 2 3x 4 0 ，无解；当 1 x 1时，①式化为 x 2 x 2 0，从而 1 x 1；当 x 1 时，①式化为 x 4 0，从而1 x 1 17所以f (x) g( x)的解集为{x| 1 x 1 17} .2(2)当x [ 1,1]时，g(x) 2.所以f (x) g( x)的解集包含[ 1,1]，等价于当x [ 1,1]时f(x) 2.又f(x)在[ 1,1]的学科&网最小值必为f( 1)与f (1)之一，所以f( 1) 2且f(1) 2，得1 a 1. 所以a 的取值范围为[ 1,1].。