!第八章压杆稳定性
压杆稳定(工程力学课件)
桁架结构
在轴向压力作用下，
短粗压杆 只要满足杆受压时的强度
条件，就能正常工作
细长压杆
破坏形式呈现出与强度问题 截然不同的现象
FN [ ]
A
压杆失稳
细长压杆:
临界压力或临界力ห้องสมุดไป่ตู้Fcr
F Fcr F Fcr
稳定的平衡 不稳定的平衡
压杆失稳
在轴向压力 F 由小逐渐增大 的过程中，压杆由稳定的平衡 转变为不稳定平衡，这种现象 称为压杆失稳。
首先判断压杆的失稳方向
(1)两端约束 1
(2)截面形状
Fcr （2 El）I2
Iz
hb3 12
140 803 12
597.3104
mm4
Iy
bh3 12
80 1403 12
1829.3104
mm4
Fcr1
2 EImin
(l)2
2 10 103 MPa 597.3104 (1 3103 mm)2
mm4
65 435 N 65.44 kN
（N、mm、MPa）
【例 1】 细长压杆，两端为球形铰支，
矩形横截面, E 10 GPa ，求其临界力。
Fcr （2 El）I2
长度影响
【例 2】细长压杆，上端约束为球形铰支，
下端约束在 xOz平面内可视为两端铰支，
Fcr （2 El）I2
在 xOy 平面内可视为一端铰支、一端固定
M
Wz
[ ]
81.67
πD4 i I 64 D 40mm
A πD2 4 4
l 1 3103 75
i
40
查表： 0.54
81.67
第八章 压杆稳定
（2）当 l = 3/4 lmin 时，Fcr=?
3 l lmin 1.2m 4
l
i
4 l 75 1 2 2 D d
a σs 304 240 2 57 b 1.12
用直线公式计算
π 2 Fcr A σcr (a b ) ( D d 2 ) 155.5 kN 4
可取 E=206GPa，p=200MPa，得
E 206 109 1 π π 100 6 σp 200 10
当 ＜1 时，即cr ≥p，但cr ≤s，此时压杆仍属于稳定性问题， 但不能应用欧拉公式，此时需用经验公式.
Ⅲ. 常用的经验公式 直线公式 或
σcr a b s
问哪个杆先失稳?
F
F
F
B
1.6 a
a
A
1.3 a
C
d
F
F
F
B
1.6 a
a
A
1.3 a
C
d
解：
杆A 杆B
2
l 2a
1
l 1.3a
杆C
0.7
由柔度的计算公式：
l 0.7 1.6a 1.12a l 可知A杆先失稳.
i
例题 外径 D = 50 mm，内径 d = 40 mm 的钢管，两端铰支，材料为 Q235钢，承受轴向压力 F. 试求 （1）能用欧拉公式时压杆的最小长度； （2）当压杆长度为上述最小长度的 3/4 时，压杆的临界压力. （已知： E = 200 GPa， p= 200 MPa ， s = 240 MPa ，用直 线公式时，a = 304 MPa， b =1.12 MPa.）
压杆稳定
表 细长压杆临界力与杆端支承的关系
两端铰支
Fcr
L l 相当（折算）长度
（与支承有关的）长度系数
Fcr
π 2 EI
L 2
l
EI
L 1l
O
一端固定一端自由
Fcr
一端固定一端铰支
Fcr
两端固定
Fcr
L 0.7l
l
EI
l
EI L 0.5l
O
O
EI l
L 2l
O
图示材料相同，直径相同的四根细长圆杆， （ ）杆能承受的压力最大。
Fcr=?
●其它构件的稳定性问题
深梁失稳
薄壁圆管失稳
压杆稳定
Stability of Compressed Columns
2 细长压杆的临界力
2.1 两端铰支细长压杆的临界力——欧拉公式
临界状态： 微弯状态的平衡 杆的任一横截面上的弯矩：
x Fcr
Fcr wM x
Fcr
M x Fcrw
EI
l
cr F
A
cr
1 安全系数法
cr
nst
cr
nst：稳定安全系数
[cr]：稳定许用应力
稳定条件：
F A
cr
例5： 图示结构中，支承柱CD的直径d=20mm，
材料为A3钢，A、C、D三铰均为球铰。已知： P=25kN，l1=1.25m，l2=0.55mm，E=106 GPa，规定 的稳定安全系数nst=2.0，试校核CD杆是否安全。
压杆稳定
1 压杆稳定性的概念 2 细长压杆的临界力 3 压杆的柔度与压杆的非弹性失稳 4 压杆的稳定计算 5 提高压杆稳定性的措施
压杆稳定
第八章-压杆稳定
第八章 压杆稳定在某些特殊情况下（特别是杆件受压时），尽管杆件满足强度及刚度设计要求，但是，由于受力状态的改变，使得杆件仍然处于不安全状态，这种情形就是稳定的范畴。
§8.1压杆稳定的概念物体保持静止或匀速直线状态称平衡状态。
工程中的平衡状态主要指静止的平衡状态。
杆件受到压力后，保持静止的平衡状态可能是稳定的，也可能是不稳定的。
平衡状态的稳定性定义为：杆件在荷载作用下处于一定的位置（初始平衡位置）保持的平衡状态称（初始平衡状态），受到微小外界扰动使其偏离初始平衡位置，若外界扰动除去后仍能回到初始平衡位置，则称杆件的初始平衡状态是稳定的平衡状态；若外界扰动除去后不能回到初始平衡位置，且偏离初始平衡位置越来越远，则称杆件的初始平衡状态是不稳定的平衡状态；若外界扰动除去后不能回到初始平衡位置，但仍能停留在新的平衡位置，则称杆件的初始平衡状态是临界平衡状态，也称随遇平衡状态。
压杆稳定问题就是指受压杆件处于静止的平衡状态的稳定性问题。
图8.1工程中实际的压杆，其轴线不可避免的存在初弯曲，即压杆未受力时，已呈微弯状态，这时可简化为具有微小弯曲的压杆模型，如图8.1(a)所示，称为初弯曲压杆。
杆件所受轴向压力的作用线，实际上也不可能与杆件轴线绝对重合，即存在初偏心，这时可简化为具有小偏心矩的压杆模型，如图8.1(b)所示，称为小偏心压杆。
初弯曲压杆和为小偏心压杆在轴向压力作用下除产生压缩变形外，还要产生弯曲变形。
实质上是偏心受压杆件。
如果小偏心压杆的偏心距极小（近似等于零）或初弯曲压杆的微小弯曲极小（近似等于零），则压杆简化学习指导本章分4节内容，本章的学习目标是：（１）学习掌握压杆稳定的工程概念、压杆临界力的欧拉公式、压杆稳定的工程计算及提高压杆稳定性的措施。
（２）了解工程中常见的压杆稳定现象，掌握压杆稳定工程计算的基本方法，培养工作岗位有关受压构件设计的能力。
本章重点难点为：稳定的工程概念、压杆稳定的工程计算；理解两类稳定问题的实质。
材料力学课件(压杆稳定性)
2 EI
2 a2
改变力F指向，BD成为压杆，临界压力
F2
2 EI
2a 2
Fcr
比较：Fcr Fcr
1 2 EI
2FAB FBD 2 a 2
例9-4.一端固定一端自由压杆，长为 l，弯曲刚度
为EI，设挠曲线方程
w
2l 3
(3lx 2
x3)
，为自由
端挠度。试用能量法去定临界压力的近似值。
思考： P 3169-4，习题9-11，13，14，18
练习： P 319习题9-10，12，15，17
（3）合理稳定性设计
[ ]st
与
L
i
成反比
合理截面：约束性质接近时，iminimax ——组合截面 提高 i ——使截面积远离形心
增强约束：缩短相当长度
思考：含有压杆的超静定问题
温度变化引起的稳定性问题
、[]st与 成反比
值：木杆——式（9 11，12）
钢杆——表 92，3
（2）稳定性条件
F A
[ ]st
[ ]
稳定性r 或 与 或 i 为非线性关系，选择截面
尺寸时需用迭代法
例9-5. Q235钢连杆，工字型截面A＝552mm2，Iz＝ 7.40×104mm4，Iy＝1. 41×104mm4，有效长度l＝ 580mm，两端柱形铰约束，xy平面失稳μz＝1，xz 平面失稳μy＝0.6，属 a 类压杆，轴向压力F＝35kN， [σ]＝206MPa。试求稳定许用应力，并校核稳定性。
思考：比较一根杆的柔度与柔度的界限值
影响大柔度、中柔度和小柔度杆临 界应力因素的异同
3. 压杆的稳定性条件与合理设计
（1）稳定许用应力
实际压杆与理想压杆的差异：初曲率、压力偏心、 材料缺陷等
压杆的稳定ppt
定义
01
边界条件是指压杆在支撑条件下的限制条件，如固定、自由、
简支等。
描述
02
不同的边界条件对压杆的稳定性产生不同的影响。例如，固定
边界条件下的压杆比自由边界条件下的压杆更稳定。
影响因素
03
边界条件对压杆稳定性的影响主要表现在支撑反力的分布和大
小上，从而影响压杆的临界载荷和屈曲载荷。
03
压杆稳定性问题的解决策略
合理选择材料和截面形状
选择高强度材料
如合金钢、不锈钢等，能够提高压杆的屈服强度和抗拉强度 ，增加压杆的稳定性。
选择合适的截面形状
如圆形、方形、工字形等，能够改变压杆的截面面积和惯性 矩，进而改变压杆的稳定性。
对压杆进行合理支撑和固定
增加支撑点
通过在压杆的适当位置增加支撑点，能够提高压杆的稳定性，防止其发生屈 曲变形。
船舶设计
在船舶设计中，压杆被用于船体结构的支撑和固定。特 别是在海洋环境中，压杆的稳定性对于抵御海浪冲击和 保证船舶的安全至关重要。
地下工程
在隧道、地铁等地下工程中，压杆被用于支撑和固定土 石方及结构物。其稳定性对于保障地下工程的稳定性和 安全性至关重要。
06
总结与展望
总结
压杆稳定的定义
压杆稳定的重要性
05
压杆稳定性问Leabharlann 的工程应用建筑结构中的压杆稳定性问题
建筑物的支撑结构
在建筑设计中，压杆常被用于支撑和固定建筑结构，如桥梁、高层建筑等。其稳定性直接 影响到建筑物的安全性和使用寿命。
抗风和抗震设计
在地震或强风天气中，建筑物的压杆稳定性显得尤为重要。压杆能够提供必要的支撑力， 帮助建筑物抵御自然灾害。
定义
材料力学第八章压杆的稳定性
压杆的稳定性
§8-1 压杆稳定性的概念
工程中存在着很多受压杆件。 受轴向压缩的直杆，其破坏有两种形式： 1）短粗的直杆，其破坏是由于横截面上的正应力达到 材料的极限应力，为强度破坏。 2）细长的直杆，其破坏 是由于杆不能保持原有的直线 平衡形式，为失稳破坏。 对于相对细长的压杆，其 破坏并非由于强度不足，而是 由于荷载（压力）增大到一定 数值后，不能保持原有直线平 衡形式而失效。
z y x 轴销
解：先计算压杆的柔度。 在xz面内，压杆两端可视为铰支，μ=1。查型钢表，得 l 1 2 iy=4.14cm，故 y 48.3 i y 0.0414
在xy面内，压杆两端可视为固支， μ=0.5。查型钢表，得iz=1.52cm， 故 l 0.5 2 z 65.8 iz 0.0152
n2π2EI l2
(n = 0,1,2…）
（Euler公式）
x Fcr
π w =Asin l x （半波正弦曲线） l x= 2 时 w0= A
A是压杆中点的挠度w0。为任意的微小值。
l
w
F与中点挠度w0之间的关系 （1） 若采用近似微分方程，则F 与如折线OAB所示； （2） 若采用精确的挠曲线微 分方程，则可得F与w0之间的 关系如曲线OAB'所示； F B'
例 某钢柱长7m，由两根16b号槽钢组成，材料 为Q235钢，横截面如图所示，截面类型为b类。钢柱 的两端截面上有4个直径为30mm的螺栓孔。钢柱μ=1.3 ， 受260kN的轴向压力，材料的[σ]=170MPa。 （1）求两槽钢的间距h。 （2）校核钢柱的稳定性和强度。
解：(1) 确定两槽钢的间距h 钢柱两端约束在各方向均相同， 因此，最合理的设计应使Iy=Iz , 从 而使钢柱在各方向有相同的稳定性。
船舶结构力学-第八章杆及板的稳定性精品文档
§8－1 概述
稳定平衡 中性平衡 失稳或屈曲 临界压力
§8－1 概述
稳定平衡 中性平衡 失稳或屈曲 临界压力
§8－2 单跨压杆稳定性
确定结构临界载荷的方法很多，其中最基本和最重 要的是解析法和能量法。
1.解析法 通过直接求解结构的中性平衡微分方程确定结构临 界载荷。
计算出弯矩，再应用式（8-11）就能得到等准确的
应变能从而最终得到更加精确的欧拉力近似值。
§8－2 单跨压杆稳定性
本例。
M xT a 1vxT1 1 a2 3 x l 21 2 x l 3
将上式代入式（8-11），积分后，得：
这样双跨压杆便被分成两根情况完全相同的两端自由支持的压杆便被分成两根情况完全相同的两端自由支持的811b11b显然其欧拉力等于显然其欧拉力等于由此可见由此可见等截面等跨度双跨压杆的临界力就等截面等跨度双跨压杆的临界力就等于等于22eieill22上述结论可以推广至两端自由支持的刚性支座上述结论可以推广至两端自由支持的刚性支座上等跨度等截面任意多跨压杆上等跨度等截面任意多跨压杆也就是不论跨也就是不论跨度有多少他的欧拉力就等于每跨单独时两端自由度有多少他的欧拉力就等于每跨单独时两端自由支持压杆的欧拉力
中性平衡状态除了用微分方程来描述外，还可用 位能驻值原理：
V U 0
(8-6)
来描述。不过，此时总位能的驻值不是最小值，而 是中性值（2＝0），这将在例题中加以说明。
§8－2 单跨压杆稳定性
设压杆处于中性平衡状态时的挠曲线（失稳形状） 为v(x)，则应变能（由于弯曲变形是主要的，故只考 虑弯曲应变能）为：
§8－2 单跨压杆稳定性
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15-1 两端为球铰的压杆，当它的横截面为图示各种不同形状时，试问杆件会在哪个平面内失去稳定（即在失稳时，杆的截面绕哪一根轴转动）？解：(a),(b),(e)任意方向转动，(c),(d),(f)绕图示Z 轴转动。
15-2 图示各圆截面压杆，横截面积及材料都相同，直径d ＝1.6cm ，杆材A 3钢的弹性模量E =200MPa ，各杆长度及支承形式如图示，试求其中最大的与最小的临界力之值。
解：(a) 柔度： 2301500.4λ⨯== 相当长度：20.30.6l m μ=⨯=(b) 柔度： 1501250.4λ⨯==相当长度：10.50.5l m μ=⨯=(c) 柔度： 0.770122.50.4λ⨯==相当长度：0.70.70.49l m μ=⨯=(d) 柔度： 0.590112.50.4λ⨯==相当长度：0.50.90.45l m μ=⨯=(e) 柔度： 145112.50.4λ⨯==相当长度：10.450.45l m μ=⨯=由E=200Gpa 及各柔度值看出：各压杆的临界力可用欧拉公式计算。
即：()22cr EJP l πμ=各压杆的EJ 均相同，故相当长度最大的压杆(a)临界力最小，压杆(d)与(e)的临界力最大，分别为：()2948222320010 1.610640.617.6410cr EJP l Nπππμ-⨯⨯⨯⨯⨯===⨯()2948222320010 1.610640.4531.3010cr EJP l Nπππμ-⨯⨯⨯⨯⨯===⨯15-3 某种钢材P σ=230MPa ，s σ=274MPa ，E =200GPa ，直线公式λσ22.1338-=cr ，试计算该材料压杆的P λ及S λ值，并绘制1500≤≤λ范围内的临界应力总图。
解：962001092.62301033827452.51.22p p s s Ea b λππσσλ⨯===⨯--===()ejMPa σej z σσ=338 1.22ej σλ=-22ej E πσλ=274274225 216 137 87 λ52.5≤52.592.610012015015-4 6120型柴油机挺杆为45钢制成的空心圆截面杆，其外径和内径分别为，12mm 和10mm ，杆长为383mm ，两端为铰支座，材料的E ＝210GPa ，P σ=288MPa ，试求此挺杆的临界力cr P 。
若实际作用于挺杆的最大压缩力P =2.33kN ，规定稳定安全系数W n =2~5。
试校核此挺杆的稳定性。
解：(1)()()()344442222222101084.332886411641210 3.90544413839884.833.905p p p EJ D d D d J i D d mm AD d liλππσπππμλλ⨯====--===+=+=-⨯===>=该压杆属大柔度杆()()2229222223210100.0120.019847.4610cr EJ E P A l N ππππλμ⨯⨯===⨯+=⨯ （2） 7.463.22.33cr w P n n ===>工作P该杆的稳定性足够。
15-5 设图示千斤顶的最大承载压力为P ＝150kN ，螺杆内径d ＝52mm ，l =50cm ．材料为A 3钢，E =200GPa 。
稳定安全系数规定为3=W n 。
试校核其稳定性。
解：千斤顶螺杆简化为一端固定一端自由的压杆，故2μ=。
柔度应为：2500771001524p li μλλ⨯===<=⨯应采用经验公式计算其临界力：由表中查出：304a MPa = 1.12b MPa =。
则：32304 1.1277218218100.05246244623.083150ej ej ej ej w a b MPaP A KN P n n Pσλπσ=-=-⨯===⨯⨯⨯====>=工作所以满足稳定性要求。
15-6 10t 船用轻型吊货杆AB ，长为16cm ，截面为空心圆管，壁厚35Dt =，轴向压缩力P =222kN ，规定稳定安全系数5.5=W n ，材料为A 3钢，E =210GPa ，吊杆两端均为铰支座。
试确定用杆的截面尺寸。
解：先按大柔度杆解()()4292222722101064351168.345810cr D D D EJ P l Nπππμ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⨯=⨯7438.3458105.5 5.522210cr w P D n ⨯⨯>==⨯P 44222553473508.345810D mm mm ⨯==⨯ 1035D t mm == 330d mm ∴=校核应用的公式是否对：22221350330120.2644116000133120.26pD d i mmul i λλ-==-=⨯===> 所以上面的计算有效。
15-7 图示托架中的AB 杆，直径d ＝40mm ，长l ＝800mm ，两端铰支，材料为A 3钢，试求 (a )托架的权限载荷max Q ；(b )若工作载荷Q ＝70kN ，稳定安全系数W n ＝2.0，问此托架是否安全？ 解： （1）AB 杆1,10480018008010di mm l mm ul i μλ====⨯===3A 钢100p λ=p λλ∴< 属于等杆2304 1.1280214.4214.440269.44cr cr cr ABa b MPa P A KN N σλπσ=-=-⨯===⨯⨯==22900sin 600800600600800118.8900cr cr Q P P Q KN θ⨯=⨯-⨯==极限极限 （2）118.81.702.070w Q n Q η===<=极限工作工作所以托架不安全。
15-8 两端固支的A 3钢管，长6m ，内径为60mm ，外径为70mm ，在C T20=时安装，此时管子不受力。
已知钢的线膨胀系数C/1105.126-⨯=α，弹性模量E =206GPa ．当温度升高到多少度时，管子将失稳？ 解:2222117060 2.3440.5600130.51002.3p J i D d cm A l i μλλ==-=-=⨯===>= 属大柔度杆设温度t C ∆;则管子变形tl δα=∆ 伸长管子受压力cr P P = 变形cr P lEA∆=缩短 变形协调条件0δ+∆=或者δ=∆()222222646.4130.512.510cr P l E ltl AEA EAt παλππλα-∆==∴∆===⨯⨯即升至2046.466.4T C =+=的管子失稳.15-9 有一结构ABCD ，由3根直径均为d 的圆截面钢杆组成如图，在B 点铰支，而在C 点和D 点固定，A 点为铰接。
π10=dL。
若此结构由于杆件在ABCD 平面内弹性失稳而丧失承载能力。
试确定作用于节点A 处的载荷P 的临界值。
解：AB 杆为铰支1μ=AC ，AD 杆为一端铰支一端固定0.7μ=AB 失稳此结构仍能继续承载，直到AC,AD 杆也失稳，此时整个结构才丧失承载能力。
由于对称()()cr cr AC AD P P =()()222220:2cos3036.12cos300.7cos30crcrcr ABAC y P P P EJEJEJ l l l ππ==+=+⨯=⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭∑15-10 铰接杆系ABC 如图示，是由两根具有相同截面和同样材料的细长杆所组成，若由于杆件在ABC 平面内失稳而引起毁坏。
试确定载荷P 为最大时的θ角。
⎪⎭⎫⎝⎛<<20πθ。
解：当AB,BC 杆的轴力同时达到临界力时，P 最大。
两杆的临界力为：()()2222cos sin ABACcr AB cr AC EJP P l EJP P l πθπθ====设BC 间距为L ，则cos ,sin AB AC l L l L ββ==代入上式222222cos sin sin sin A EJ P L EJP L πθβπθβ⎫=⎪⎪⎬⎪=⎪⎭ 消去P 得 222222cos cos sin sin EJ EJL L ππβθβθ= 即：2tg ctg θβ= ()2arctg ctg θβ∴=15-11 某快锻水压机工作台油缸柱塞如图示。
已知油压力p =32 MPa ，柱塞直径d =120mm ，伸入油缸的最大行程l ＝1600mm ，材料为45钢，E ＝210Gpa 。
试求柱塞的工作安全系数。
解：工作压力()()2632100.12361.734P pA KN π==⨯⨯⨯=工作2.0μ= 1.6l m =()10.120.03442 1.6106.70.03i d m l i μλ====⨯∴=== 45钢86p pλλλ===∴>属细长杆2222922621010 5.7106.73210cr cr cr EE P P πσλσσππησλ∴=⨯⨯=====⨯⨯工作工作15-12 蒸汽机车的连杆如图所示，截面为工字形，材料为A 3钢，连杆所受最大输向压力为465kN 。
连杆在摆动平面（xy 平面）内发生弯曲时，两端可认为是固定支座，试确定其安全系数。
解：（1）xy 平面内：()()()337421,3100119614096148512121.77551014096859614647052.391310059.252.39z l mmEi A J mm A mm i mml i μμλ===⎡⎤=⨯--⨯⎣⎦=⨯=⨯-⨯-=∴=⨯∴=== 3A 钢：100,106p s λλ==xy ∴面内属短杆p λλ<()6623510647010152015203.27465cr s cr xy P A KN P mm P ση-∴==⨯⨯⨯=∴===工作（2）xz 面内：()33640.5,31001185142140859612124.0741025.102310024725.10y pl mm E i A J mm i mm l iμμλλ===⎡⎤=⨯⨯+⨯-⨯⎣⎦=⨯∴=⨯∴===> 所以属细长杆。
()229622200106470102472092091465cr cr xy E P A KN P P ππλη-⨯⨯∴==⨯⨯=∴==<工作所以不安全。
15-13钢结构压杆由两个85656⨯⨯等边铰钢组成，杆长1.5m ，两端铰支，P =150kN ，铰钢为A 3钢，计算临界应力的公式有：（1）欧拉公式。
（2）抛物线公式。
试确定压杆的临界应力及工作安全系数。
解：1, 1.5,150l m P KN μ===工作查表：56568⨯⨯角钢：244min 28.367223.63247.24223.631.6828.3671 1.589.30.0168z y z A cm J cm J cm J i cm A l i μλ=⨯=⨯=⨯⨯∴===⨯⨯∴===3A 钢：123e λλ=>所以采用抛物线公式计算：226432400.006822400.0068289.3185.6185.61028.36710 2.0715010cr cr a MPa b MPaa b MPa P P σλη-===-=-⨯=⨯⨯⨯⨯∴===⨯工作工作15-14 图示结构，用A 3钢制成，E ＝200GPa ，P σ＝200MPa ，试问当q ＝20N/mm 和q =40N/mm 时，横梁截面B 的挠度分别为多少？BD 杆长2m ，截面为圆形，直径d =40mm 。