第三章随机过程作业资料
第三章 随机过程
3-1、设X 是0, 1a σ==的高斯随机变量，试确定随机变量Y cX d =+的概率密度函数( f y ，其中, c d 均为常数。
解：由题得：2( 0, ( 1E x a D x σ====( ( ( E y E cx d cE x d c a d d=+=+=+=222( ( D y D cx d c c σ=+==22( ( ]2x d f y c -=-3-2、设随机过程( t ξ可表示成( 2cos(2 t t ξπθ=+，式中θ是一个离散随机变量，且11(0 , ( 222P P πθθ====, 试求(1E ε和(0,1R ε解：首先应理解(1E ε和(0,1R ε的含义，(1E ε是指当t=1时，所得随机变量的均值，(0,1R ε 是指当t=0和t=1时，所得的两个随机变量的自相关函数。
111[2cos(2][2cos(2]2(cos0cos 1222t E E E εππθπθ==+=+=+=22211(0,1[(0(1][2cos2cos(2]4[cos]4(cos 0cos 2222R E E E επξξθπθθ==⨯+==+=3-3、设1020( cos sin z t x t x t ωω=-是一随机过程，若1x 和2x 是彼此独立且具有均值为0，方差为2σ的正态随机变量，试求：（1）2[(],[(]E z t E z t（2）z(t的一维分布密度函数f(z；（3）12(, B t t 和12(, R t t解：（1）由已知条件12[][]0E X E X ==且1x 和2x 彼此相互独立。
所以1212[][][]0E X X E X E X == 212( ( D x D x σ==，而222[][]E x E x σ=- 所以222111[]( []E x D x E x σ=+=同理222[]E x σ=10200102[(][cos sin ]cos []sin []0E z t E x t x t tE x tE x ωωωω=-=-=22102022200[(][(cos sin ][cos sin 2cos sin ]cos 2[]sin []2cos sin [](cossin E z t E x t x t E x t x t x x t t tE x tE x t tE x x t t ωωωωωωωωωωωωσσ=-=+-=+-=+=（2）由于1x 和2x 是彼此独立的正态随机变量且( z t 是1x 和2x 的线性组合，所以z 也是均值为0，方差为2σ的正态随机变量，其一维概率密度为22( 2z f z σ=-（3）[coscos sin sin ][cos(]R t t E z t z t E x t x t x t x t t t t t t t ωωωωσωωωωσω==--=+=-令12t t γ-=，则21, 20( cos R t t σωγ==2121212120(, (, [(][(](, cos B t t R t t E z t E z t R t t σωγ=-==3-4、已知( x t 与( y t 是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为12(, a a τ，自相关函数分别为(, ( x y R R ττ。
第3章 随机过程及答案
互相关函数 R (t1 , t 2 ) E[ (t1 )(t 2 )]
式中 (t) 和 (t) 分别表示两个随机过程。 R(t1, t2)又称为自相关函数。
10
3.2 平稳随机过程 3.2.1 平稳随机过程的定义
12
数字特征：
E (t ) x1 f1 ( x1 )dx1 a
R( t1 , t 2 ) E[ ( t1 ) ( t1 )]
x1 x2 f 2 ( x1 , x2 ; )dx1dx2 R( )
可见，（1）其均值与t 无关，为常数a ； （2）自相关函数只与时间间隔 有关。
P ( f ) 0
P ( f ) P ( f )
这与R()的实偶性相对应。
23
例题
[例3-2] 求随机相位余弦波(t) = Acos(ct + )的功率谱密度。 [解] 在[例3-1]中，我们已经考察随机相位余弦波是一个平稳 过程，并且求出其相关函数为
1 (t ) 2 (t )
n (t )
0
t
3
角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。
在一个固定时刻t1上，不同样本的取值{i (t1), i = 1, 2, …, n} 是一个随机变量，记为 (t1)。
样本空间
随机过程是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。
S1 x1(t)
t
T /2
T / 2
x( t ) x( t )dt
aa R( ) R( )
随机过程第3章习题
ψ N ( Δt ) ( s ) − 1
Δt
Δt → 0
= λ ( s − 1) 或
∂ψ N ( t ) ( s ) ∂t
（在证明过程中运用泊松过程的四个假设） 解（1） ：
ψ N ( t ) ( s) = ∑ P{N (t = n)} ⋅ s n
n=0 ∞
∞
=∑
(λt ) n − λt n e s n! n=0 (λts) n n! n =0
⎛1⎞ 1 =⎜ ⎟ = ⎝ 3⎠ 9
解ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2） ：
P = 1 − P{N (20) = 0 / N (60) = 2} ⎛ 20 ⎞ = 1− ⎜ ⎟ ⎝ 60 ⎠
2 0
⎛ 20 ⎞ ⎜1 − ⎟ ⎝ 60 ⎠
2
⎛2⎞ 5 = 1− ⎜ ⎟ = ⎝3⎠ 9
1
第3题 设 {N (t ), t ≥ 0} 为泊松过程，其参数为 λ 。设ψ N ( t ) ( s ) 是随机变量 N(t)的母函数，证明 （1）ψ N ( t + Δt ) ( s ) = ψ N ( t ) ( s )ψ N ( Δt ) ( s )
无法写成泊松过程特征函数的形式
exp{λ t (e jv − 1)}
5
由于特征函数与概率有相同的特性
∴ N 0 (t ) = N1 (t ) − N 2 (t )不符合泊松过程的分布规律.
第8题 有复合泊松过程 { X (t ) =
N (t ) n =1
∑Y , t ≥ 0} ，其中 Y , n = 1,2,3,L 是彼此统计独立、同分布的随
0
φN (v) = E{exp{ jvN0 (t )}
0
= E{exp{ jv( N1 (t ) − N 2 (t )} = E{exp{ jvN1 (t ) ⋅ exp{− jvN 2 (t )} = E{exp{ jvN1 (t )}E{exp{− jvN 2 (t )} = φN1 (v)φN2 (−v) = exp{λ1t (e jv − 1)}exp{λ2t (e− jv − 1)} = exp{λ1te jv + λ2te− jv + (λ1 + λ2 )t}
(解答)《随机过程》第三章习题
第三章 Poisson 过程（Poisson 信号流）习题解答1、 设}0),({≥t t N 是一强度为λ的齐次泊松过程，而12/)()(-=t N t X ，0≥t 。
对0>s ，试求：（1） 计算)}()({s t N t N E +及})()({s N t s N E +的分布律；（2） 证明过程)(t X ，0≥t 是马氏过程并写出转移概率),;,(j t i s p ，其中t s ≤。
解：（1）由泊松过程状态空间可知)(t X 的状态空间为：},2,1,0:2/)2{(},2,2/3,1,2/1,0,2/1,1{ =-=--=k k St s t t s t t s t t s t N t N E λλλλ++=+++=+)(},min{)()}()({22由于tn e m t n m e n k t k n k t N kP n s N P n s N k t s N P k n s N k t s N kP n s N t s N E m tm n k t n k n k n k nk λλλλλ+=+=-=-=====+===+==+∑∑∑∑∑∞+=-∞+=--∞+=∞+=+∞=0!)()()!()(})({})({})(,)({})()({})()({因此t s N s N t s N E λ+=+)(})()({其分布列为：sn e n s n s N P t n s N t s N E P λλλ-===+=+!)(})({}})()({{（2）由泊松过程的独立增量性可知过程)(t X 也是独立增量的，又因为1)0(-=X ，因此可知过程)(t X 是一马氏过程，其转移概率为：),(;)]!(2[)]([)}1(2)({)}(2)({)}1(2)({)}1(2)({)}1(2)(),1(2)({})({})(,)({),;,()()(2s t i j e i j s t i s N P i j s t N P i s N P i s N P j t N i s N P i s X P j t X i s X P j t i s p s t i j ≥≥--=+=-=-+==+=+=+======---λλ),(;0),;,(s t i j j t i s p ≥<=附：泊松过程相关函数的计算： 设210t t ≤<，我们有：∑∑+∞=+∞=+==+=002121})(,)({)()}()({m n n m t N m t N P n m m t N t N E由于当210t t ≤<时，,2,1,0,,!!)(})(,)({212121=-=+==-+n m e n m t t t n m t N m t N P t nm n m λλ因此，我们有：1212)(1212)(1)(2121112111111212121111101222122121112110121201211112110121001210012120012100212112121212121222222222222)()!1()(!)1()(!)(!)1(!)(!)2(!)1(!)1()(!!)1()(!!)2()(!)1(!)1()(!!)1()(!!)(!!)(!!)()(})(,)({)()}()({t t t e e e t t t e e e t e e e t n t t m t et t t n t t m t et n t t m t et e n m t t t e n m t t t en m t t t en m t t t e n m t t t m en m t t t n m e n m t t t m e n m t t t n m m n m t N m t N P n m m t N t N E t t t t t t t t t t t t n n n m m m t n nn m m m t n nn m m m t m n t n m n m m n t nm n m m n t nm n m m n t n m n m m n t n m n m m n t n m n m m n t n m n m m n t nm n m m n λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ+=-++=----+--+--=---++--+--=---+--=-+-=-+=+==+=------∞+=--∞+=---∞+=∞+=---∞+=∞+=---∞+=∞+=-+∞+=∞+=-+∞+=∞+=-+∞+=∞+=-+∞+=∞+=-+∞+=∞+=-+∞+=∞+=-+∞+=∞+=-++∞=+∞=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑同理我们有：当120t t ≤<时221221)}()({t t t t N t N E λλ+=因此，有：},min{)}()({),(212122121t t t t t N t N E t t R N λλ+==2、 设}0);({≥t t X 与}0);({≥t t Y 是相互独立，参数分别为1λ与2λ的Poisson 过程。
随机过程作业和答案第三章
第三章 马尔科夫过程1、将一颗筛子扔多次。
记X n 为第n 次扔正面出现的点数，问{X(n) , n=1,2,3,···}是马尔科夫链吗？如果是，试写出一步转移概率矩阵。
又记Y n 为前n 次扔出正面出现点数的总和，问{Y(n) , n=1,2,3,···}是马尔科夫链吗？如果是，试写出一步转移概率矩阵。
解：1)由已知可得，每次扔筛子正面出现的点数与以前的状态无关。
故X(n)是马尔科夫链。
E={1,2,3,4,5,6} ,其一步转移概率为:P ij = P ij =P{X(n+1)=j ∣X(n)=i }=1/6 (i=1,2,…,6,j=1,2,…,6) ∴转移矩阵为2)由已知可得，每前n 次扔正面出现点数的总和是相互独立的。
即每次n 次扔正面出现点数的总和与以前状态无关，故Y(n)为马尔科夫链。
其一步转移概率为其中2、一个质点在直线上做随机游动，一步向右的概率为p , (0<p<1)，一步向左的概率为 q , q =1-p 。
在x = 0 和x = a 出放置吸收壁。
记X(n)为第n 步质点的位置，它的可能值是0,1,2,···,a 。
试写出一步转移概率矩阵。
解：由已知可得, 其一步转移概率如下：故一步转移概率为3、做一系列独立的贝努里试验，其中每一次出现“成功”的概率为p ( 0<p<1 ) ,出现“失败”的概率为q , q = 1-p 。
如果第n 次试验出现“失败”认为 X(n) 取得数值为零；如果第n 次试验出现“成功”，且接连着前面k 次试验都出现“成功”，而第 n-k 次试验出现“失败”，认为X(n)取值k ，问{X(n) , n =1,2,···}是马尔科夫链吗？试写出其一步转移概率。
解：由已知得：故为马尔科夫链，其一步转移概率为616161616161616161616161616161616161P ={6,,2,1,6/1,,8,7,,0)1,(+++=<++==+i i i j i j i i i j ij n n P 或)1(6,,2,1;6,,2,1,+++=++=n n n j n n n n i {}α,,2,1,0 =E )(0,1;)0(0,1)1,1(0,,1,,2,1101,1,ααααα≠==≠==+-≠===-=-+j P P j P P i i j P q P P P x j j ij i i i i 而时，当 10000000000000001Pp q p q p q ={}{}m m m m m m i n X l n X i n X i n X i n X l n X P ==+=====+)(0)()(,,)(,)(0)(2211 {}{}mm m m m m in X k l n X i n X i n X i n X k l n X P ==+=====+)()()(,,)(,)()(22114、在一个罐子中放入50个红球和50个蓝球。
电子科大 应用随机过程及应用 (陈良均 朱庆棠)第三章作业
(ii) 分解 对于参数为λ 对于参数为λ的Poisson过程， 过程，假设发生的每一个事件 独立的以概率做了记录， 独立的以概率做了记录，未做记录的概率为1-p。令 N1(t)是到t为止做了记录的事件数， 为止做了记录的事件数，而N2(t)是未做记录 的事件数， 的事件数，则{N1(t)；t ≥0}和 {N2(t)；t ≥0}分别是具 有参数pλ 和(1-p)λ的独立Poisson过程。 过程。
相互独立。 相互独立。而且
P ( N (t ) = k ) = ∑ P ( N 1 (t ) = j, N 2 (t ) = k − j ) = ∑ P ( N 1 (t ) = j )P ( N 2 (t ) = k − j )
j=0 j=0 j k− j k k
(λ t ) (λ t ) = ∑ 1 e − λ1 t 2 e −λ2t j! ( k − j )! j=0
[
]
( )
( )
(
)
ρ=
(
)(
)
一维概率密度函数
一维特征函数 二维概率函数 f (s , t , x , y ) = −
[X − m (t )]2 t ∈ T 1 exp − 2 D (t ) 2 λ D (t ) x∈ R t∈T ϕ (t , u ) = exp im (t )u − 1 D (t )u 2 2 x∈ R f (t , x ) =
i i i =1
n
X (t )为正态分布 m X (t ) = E [X (t )] = E [ξ t + W (t )] = E (t )E (ξ ) + E [W (t )] = 0
(t > s ) E [X 2 (t )] = E [ξ 2 t 2 + W (t )W (s ) + W (t )ξ s + W (s )ξ t ] = ts + s σ 2 D (t ) = t 2 + t 2σ 2 D (s ) = s 2 + s 2 σ 2 C (s , t ) = C (t , s ) = R (t , s ) = ts + s σ 2
第三章通信原理 随机过程
体 x1t, x2 ，t,就,是xn 一t个
随机过程，记作 。
t
因此从这个角度得到随机过程的这种定义： 随机过程是所有样本函数的集合。
角度2：现在，我们在某一特定时刻如 时t1刻观察
各台接收机的噪声，可以发现在同一时刻，每个接 收机的输出噪声值是不同的，它在随机变化。
（1）随机过程的协方差函数:B(t1,t2) 描述了随机过程§(t)在任意两个时刻t1和t2，相对
均值的起伏量之间的相关程度。
B(t1, t2 ) E (t1) a(t1) (t2 ) a(t2 )
B(t1, t2 ) x1 a(t1 ) x2 a(t2 ) f2( x1, x2;t1, t2 )dx1dx2
f1x,t
F1x, t
x
F1x, t
x
f1 y, tdy
F1和x, t f即1x是, t 的函数，x 又是时间 的函数。t很显然，
一维分布函数及一维概率密度函数仅仅表示了随机过程 在任一瞬间的统计特性，它对随机过程的描述很不充分， 通常需要在足够多的时间上考察随机过程的多维分布。
测试结果表明，得到的 n张记录图形并不因为有 相同的条件而输出相同 的波形。恰恰相反，即 使n足够大，也找不到两 个完全相同的波形。这 就是说，通信机输出的 噪声电压随时间的变化 是不可预知的，因而它 是一个随机过程。
N部通信机的噪声输出记录
测试结果的每一个记录， 都是一个确定的时间函
数 ，xi 称t 之为样本函数
式中 是一个离散随机变量，且
P
、0
1 2
P 2， 试12求 和E 1。 R 0,1
《概率论与随机过程》第3章习题答案
《概率论与随机过程》第三章习题答案3.2 随机过程()t X 为()()ΦωX +=t cos A t 0式中，A 具有瑞利分布，其概率密度为()02222>=-a eaa P a A ，σσ，()πΦ20，在上均匀分布，A Φ与是两个相互独立的随机变量，0ω为常数，试问X(t)是否为平稳过程。
解：由题意可得:()[]()()002121020022222002222=⇒+=*+=⎰⎰⎰⎰∞--∞φφωπσφπσφωX E πσσπd t cos da e a a dad eat cos a t a a ()()()[]()()()()()()[]()()()()()12021202120202120202221202022021012022022202010022222200201021212122112210212212121221212222222222222t t cos t t cos t t cos det t cos da e e a t t cos dea d t t cos t t cos a d ea d t cos t cos da eaadad e at cos a t cos a t t t t R a a a a a a a -=-⨯=-⨯-=-⨯⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫-∞+-=-⨯-=⎩⎨⎧⎭⎬⎫+++---=++=++==-∞∞---∞∞-∞--∞⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ωσωσωσωωφφωωπσφπφωφωσφσπφωφωX X E σσσσπσπσσπXX ）（，可见()[]t X E 与t 无关，()21t t R ，XX 与t 无关，只与()12t t -有关。
∴()t X 是平稳过程另解：()[][]0022000000[cos()][cos()][];(,)cos()cos(())cos()cos(())t E A t E A E t E A R t t E A t t E A E t t E X ωΦωΦτωΦωτΦωΦωτΦ⎡⎤=+=+=⨯=⎣⎦⎡⎤⎡⎤+=+++=+++⎣⎦⎣⎦[][][])cos()cos())cos((τωτωτωω0200022222A E t E A E =+Φ++= ∴()t X 是平稳过程3.3 设S(t) 是一个周期为T 的函数，随机变量Φ在（0，T ）上均匀分布，称X(t)=S （t+Φ）,为随相周期过程，试讨论其平稳性及各态遍历性。
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第三章随机过程作业
第三章随机过程作业
1.设A 、B 是独立同分布的随机变量，求随机过程的均
值函数、自相关函数和协方差函数。
2.设是独立增量过程，且，方差函数为。
记随机过程
，、为常数，。
（1）证明是独立增量随机过程；
（2）求的方差函数和协方差函数。
3.设随机过程，其中是相互独立的随机变量且均值为
0、方差为1，求的协方差函数。
4.设U是随机变量，随机过程.
(1) 是严平稳过程吗？为什么？
(2) 如果，证明：的自相关函数是常数。
5.设随机过程,其中U与V独立同分布。
(1) 是平稳过程吗？为什么？
(2) 是严平稳过程吗？为什么？
6.设随机变量的分布密度为, 令, 试求的一
维概率分布密度及。
7.若从t = 0开始每隔1/2分钟查阅某手机所接收的短信息 , 令
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试求：的一维分布函数
8.设随机过程, 其中是相互独立的随机变量 , 且
, 试求的均值与协方差函数 .
9.设其中为常数 , 随机变量 , 令
, 试求 :和。
10.设有随机过程，并设x 是一实数，定义另一个随机过程
试证的均值和自相关函数分别为随机过程的一维和二维分布函数。
11.设有随机过程,，其中为均匀分布于间的
随机变量，即试证：
（1）自相关函数
（2）协相关函数
12.质点在直线上作随机游动，即在时质点可以在轴上往右或往左作一
个单位距离的随机游动。
若往右移动一个单位距离的概率为，往左移动一个单位距离的概率为，即，且各次游动是相互统计独立的。
经过n 次游动，质点所处的位置为。
（1）的均值；
（2）求的相关函数和自协方差函数和。
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13.设，其中服从上的均匀分布。
试证 :
是宽平稳序列。
14.设其中服从上的均匀分布. 试证 :既不是宽
平稳也不是严平稳过程 .
15.设随机过程和都不是平稳的，且其
中和是均值为零的相互独立的平稳过程，它们有相同的相关函数，求证
是平稳过程。
16.设是均值为零的平稳随机过程。
试证 :
仍是一平稳随机过程 , 其中为复常数，为整数。
17.若平稳过程满足条件，则称是周期为的平稳
过程。
试证是周期为的平稳过程的充分必要条件是其自相关函数
必为周期等于的周期函数。
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