2020年陕西高三二模数学试卷(理科)
2020年陕西西安高三二模数学试卷(理科)
，
即 故应选 ．
，解得
．
4. A 解析:
二项式
的展开式的通项公式为
，
令
，求得 ，可得展开式中常数项为
．
故选： ．
5. B
解析:
∵三种型号车的产量为
，
则根据分层抽样 型车应抽
，
型车应抽
，
，
∴
，
．
6. B 7. C
解析: 由三视图可知：该组合体下半部为一半球体，上半部为一三棱锥，
6
该三棱锥中一条侧棱与底面垂直，底面三角形为等腰直角三角形，
的图象向左平移 （
）个单位得到函数
的图象，则
2
10. 已知曲线
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
在点
处的切线方程为
，则（ ）．
11. 已知 是定义在 上的偶函数， ）．
A. B. C. D. 无法计算
是定义在 上的奇函数，则
的值为（
12. 设 是双曲线 ：
（
，
）的右焦点， 为坐标原点，过 的直线交双曲
线的右支于点 ， ，直线 交双曲线 于另一点 ，若 曲线 的渐近线的斜率为（ ）． A.
其中腰长为 ，高为 ，而球体的半径为 ，
所以该组合体的体积为：
半球体
三棱锥
．
故选 ．
8. D
解析:
由
得焦点为
，准线
，
过 作 垂直直线
于，
根据抛物线的定义，抛物线上一点到准线的距离等于到焦点的距离，
所以有
，
连接 ， ，有
，
所以 为 与抛物线的交点时，
点 到点
2020届陕西省咸阳市高三第二次高考模拟检测数学(理)试题(带答案解析)
17．已知等差数列 满足 ， ，其前 项和为 .
（1）求数列 的通项公式 及 ；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
18．已知四棱锥 中，底面 为直角梯形， 平面 ，且 ， ， .
（1）求证：平面 平面 ；
2．C
【解析】
【分析】
按照复数的运算法则进行计算即可得出虚部.
【详解】
由题意得: ，
的虚部为 .
故选：C.
【点睛】
本题考查复数的运算，属于基础题.
3．D
【解析】
【分析】
求出 以及 的值,即可求出向量 在向量 上的投影.
【详解】
解:由题意知, ,
则
故选:D.
【点睛】
本题考查了向量投影的概念,考查了向量的数量积,考查了向量的模.在求一个向量 在另一个向量 的投影时,有两种做题思路:一是直接求,即 ;另外还可以由向量数量积的运算可知, .
（2）是否存在圆心在原点的定圆与直线 总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.
21．已知函数 （ 且 ）.
（1）讨论 的单调性；
（2）对任意 ， 恒成立，求 的取值范围.
22．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数)，曲线 .
（1）在以 为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求 ， 的极坐标方程；
【详解】
依题意 ，由于 为定义域上的减函数，故 ，故A选项不等式成立.由于 为定义域上的增函数，故 ，则 ，所以B选项不等式不成立，D选项不等式成立.由于 ，故 ，所以C选项不等式成立.综上所述，本小题选B.
【点睛】
2020年陕西高三二模数学试卷(理科)
解析:
（ 1 ）由已知得
．
则
，
由
，得
，
由
，得
，
∴函数
在
上单调递减，在
上单调递增．
（ 2 ）由
，
得
，
若
，则
， 单调递减，而
，
∴ 有一个零点．
若
，可得当
时，
，
当
时，
．
14
∴在
上单调递增．在
上单调递减，
∴
．
令
，
则
．
当
时，
．
当
时，
，
∴ 在 上单调递减，在
上单调递增，而
．
∴当
时，
， 有两个零点．
当
时，
， 有一个零点．
，考虑到 ， 关于 轴对称，不妨设
，
，
则点 ， 的坐标分别为
，
，
此时 综上，
． 的面积为定值 ．
22.（ 1 ）直线 的直角坐标方程为
，曲线 的普通方程为
．
（2） ．
解析:
（ 1 ）由
，得
，
由
，
，得
，
因为
，消去 得
，
所以直线 的直角坐标方程为
，曲线 的普通方程为
．
（ 2 ）点 的直角坐标为 ，点 在直线 上，
非高薪收入群体
高薪收入群体 高薪收入群体
合计 合计
专业 专业
合计
，
所以在犯错误的概率不超过
的前提下能够判断“高薪收入群体”与所学专业有关．
（ 2 ）1 月薪频率分布表如下：
月薪（百元）
人数
频率
2020年陕西省高三教学质量检测卷(二)-数理解析(1)
ｘ＝０，则 μ ＝０，标 准 差 是 σ ＝１，而 （１，２］＝（μ ＋σ， μ ＋２σ］，∴Ｐ（１＜Ｘ≤２）＝０．９５４５－２０．６８２７＝０．１３５９，
∴图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为 １－０．１３５９＝０．８６４１．记
“黄 豆 落 入 阴 影 部 分 ”为 事 件 Ａ，则 Ｐ（Ａ）＝
阴影部分的面积 正方形面积
（ｋ∈Ｚ），∴ｋ＜ １ ４（ｋ∈Ｚ），∴ｋ的最大值为 ０，∴ａｍｉｎ＝
π １２，故选 Ｃ． １０．Ｄ 【解析】本题考查棱柱外接球表面积的运算．由题意
可知△ＡＢＣ外接圆的半径 ｒ＝槡３３ａ．设该三棱柱外接球
( ) ( ) ２
的半径为 Ｒ，则 Ｒ２ ＝ 槡３３ａ ＋
ｂ ２
２
．由
ａ＋ｂ＝２
可得
ｂ＝２－ａ，∴Ｒ２
８ ７时取得最 小 值，∴该 三 棱 柱 外 接 球 的 表 面 积 的 最 小值为 ４πＲ２＝１７６π，故选 Ｄ．
— 数学（理科）·答 １—
【一题多解】由题意可知△ＡＢＣ外接圆的半径 ｒ＝槡３３ａ．
( )２
设该三棱 柱 外 接 球 的 半 径 为 Ｒ，则 Ｒ２ ＝ 槡３３ａ ＋
( )ｂ ２
２
＝
ａ２ ３
２．Ｂ 【解析】本题考查集合并集的运算 ．由题意可知集合 Ｂ＝｛ｙ｜ｙ＝ｘ２，ｘ∈ Ａ｝＝｛ｙ｜０≤ ｙ≤ １｝，∴Ａ∪ Ｂ＝ ｛ｘ｜－１≤ ｘ≤１｝，故选 Ｂ．
３．Ａ 【解析】本题考查简单的线性规划 ．如图所示，图中 的阴影部分为不等式组所表示的平面区域（含边界），
( ) 其中 Ａ（０，３），Ｂ（１，２），Ｃ ４ ３，７３ ．先作出 ２ｘ－ｙ＝０
８．Ｄ 【解析】本题考查三角恒等变换．由题意可得 ｃｏｓβ ＝ １５３．∵－π２＜α－β ＜０，∴ｓｉｎ（α －β）＝－１ ６６ ５，∴ｓｉｎα ＝
2020届陕西省铜川市高三第二次高考模拟考试数学(理)试题及答案
绝密★启用前2020届陕西省铜川市高三第二次高考模拟考试数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{}2|2150A x x x =-->，{}|07B x x =<<，则()R A B 等于()A ．[)5,7-B ．[)3,7-C ．()3,7-D ．()5,7-解：由题意{}2|2150A x x x =-->{|3x x =<-或5}x >，∴{|35}RA x x =-≤≤，(){|37}R A B x x =-≤<．故选：B. 点评：本题考查集合的综合运算，以及一元二次不等式的解法，属于基础题型． 2．复数12iz i=+的共轭复数在复平面内所对应的点位于() A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：(12)22112(12)(12)555i i i i z i i i i -+====+++-，2155z i =-，对应点为21(,)55-，在第四象限． 故选：D. 点评：本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，考查复数的几何意义．掌握复数的运算法则是解题关键．3．设,,a b c 分别是,,ABC A B C ∆∠∠∠中所对边的边长，则直线sin 0A x ay c ⋅--=与sin sin 0bx B y C +⋅+=的位置关系是A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直 答案：C试题分析：由题意aA k sin 1=，Bb k sin 2-=，由正弦定理得1221sin sin 21-=⨯-=⨯-=R RB b a A k k ，故两直线垂直 【考点】两直线位置关系4．甲在微信群中发了一个6元“拼手气”红包,被乙､丙､丁三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“最佳手气”(即乙领到的钱数多于其他任何人)的概率是（） A ．13B ．310C ．25D ．34答案：B将所有可能的情况全部枚举出来,再根据古典概型的方法求解即可. 解：设乙,丙,丁分别领到x元,y元,z元,记为(,,)x y z ,则基本事件有(1,1,4),(1,4,1) ,(4,1,1),(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),(2,2,2),共10个,其中符合乙获得“最佳手气”的有3个,故所求概率为310, 故选：B. 点评：本题主要考查了枚举法求古典概型的方法,属于基础题型.5．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则m β⊥的一个充分条件是（） A ．αβ⊥且m α⊂B ．//m n 且n β⊥C ．αβ⊥且//m αD ．m n ⊥且//n β 答案：B由//m n 且n β⊥可得m β⊥，故选B.6．等比数列{}n a 的各项均为正数，且384718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=()A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+答案：B由等比数列的性质求得110a a ，再由对数运算法则可得结论． 解：∵数列{}n a 是等比数列，∴3847110218a a a a a a +==，1109a a =， ∴53132310312103110log log log log ()log ()a a a a a a a a +++==35log 910==．点评：本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则，掌握等比数列的性质是解题关键．7．函数1()1xxe f x e+=-（其中e 是自然对数的底数）的大致图像为（） A ． B ． C ．D ．答案：D由题意得，函数点定义域为x ∈R 且0x ≠，所以定义域关于原点对称，且()1111()1111xx x xx x e e e f x f x e e e ----+++-===-=----，所以函数为奇函数，图象关于原点对称， 故选D. 8．已知111M dx x =+⎰，20cos N xdx π=⎰，由程序框图输出的S 为（）A ．1B ．0C ．2πD ．ln 2试题分析：111ln(1)ln 201M dx x x ==+=+⎰，20cos sin 120N xdx x ππ===⎰，所以M N <，所以由程序框图输出的S 为ln 2.故选D ． 【考点】1、程序框图；2、定积分．9．博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P 1，P 2，则（） A ．P 1•P 2＝14B ．P 1＝P 2＝13C ．P 1+P 2＝56D ．P 1＜P 2答案：C将三辆车的出车可能顺序一一列出，找出符合条件的即可. 解：三辆车的出车顺序可能为：123、132、213、231、312、321 方案一坐车可能：132、213、231，所以，P 1＝36； 方案二坐车可能：312、321，所以，P 1＝26； 所以P 1+P 2＝56故选C. 点评：本题考查了古典概型的概率的求法，常用列举法得到各种情况下基本事件的个数，属于基础题. 10．三棱锥S ABC -中，侧棱SA ⊥底面ABC ，5AB =，8BC =，60B ∠=︒，SA =，则该三棱锥的外接球的表面积为（） A ．643π B ．2563π C ．4363π D答案：B由题，侧棱SA ⊥底面ABC ，5AB =，8BC =，60B ∠=︒，则根据余弦定理可得7BC ==，ABC △的外接圆圆心2sin BC r r B ===三棱锥的外接球的球心到面ABC 的距离12d SA ==则外接球的半径R ==，则该三棱锥的外接球的表面积为225643S R ππ== 点睛：本题考查的知识点是球内接多面体，熟练掌握球的半径R 公式是解答的关键．11．已知斜率为2的直线l 过抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的纵坐标为1，则p ＝（）A ．1 BC ．2D ．4答案：C设直线l 的方程为x ＝12y 2p+，与抛物线联立利用韦达定理可得p ． 解： 由已知得F （2p ，0），设直线l 的方程为x ＝12y 2p +，并与y 2＝2px 联立得y 2﹣py ﹣p 2＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 的中点C （x 0，y 0）， ∴y 1+y 2＝p ，又线段AB 的中点M 的纵坐标为1，则y 012=（y 1+y 2）＝12p =，所以p=2,故选C ． 点评：本题主要考查了直线与抛物线的相交弦问题，利用韦达定理是解题的关键，属中档题．12．已知函数f(x)＝223,1ln ,1x x x x x ⎧--+≤⎨>⎩,若关于x 的方程f(x)＝kx －12恰有4个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( )A ．12⎛⎝ B ．12⎡⎢⎣C ．1,2e ⎛ ⎝⎦D ．12⎛ ⎝⎭答案：D由已知可将问题转化为：y ＝f(x)的图象和直线y ＝kx －12有4个交点，作出图象，由图可得：点(1,0)必须在直线y ＝kx －12的下方，即可求得：k ＞12；再求得直线y ＝kx －12和y ＝lnx 相切时，k ＝ee；结合图象即可得解. 解：若关于x 的方程f(x)＝kx －12恰有4个不相等的实数根， 则y ＝f(x)的图象和直线y ＝kx －12有4个交点．作出函数y ＝f(x)的图象，如图，故点(1,0)在直线y ＝kx －12的下方． ∴k ×1－12＞0，解得k ＞12.当直线y ＝kx －12和y ＝lnx 相切时，设切点横坐标为m ，则k ＝1ln 2m m+＝1m，∴m e 此时，k ＝1m e f(x)的图象和直线y ＝kx －12有3个交点，不满足条件， 故所求k 的取值范围是12e ⎛ ⎝⎭，故选D.. 点评：本题主要考查了函数与方程思想及转化能力，还考查了导数的几何意义及计算能力、观察能力，属于难题． 二、填空题 13．已知3sin ,,52πααπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_____。
2020年陕西省汉中市高考数学二模试卷(理科)(含答案解析)
2020年陕西省汉中市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A ={4,5，7，9}，B ={3,4，7，8，9}，全集U =A ∪B ，则集合∁U (A ∩B)中的元素共有( ) A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 2. 在复平面内，复数1+i(1−i)2对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 3. 若a <b <0下列不等式中不成立的是的是( )A. |a|>|b|B. 1a−b >1aC. 1a >1bD. a 2>b 24. 总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204923449358200362348696938748108 07 02 015. 已知函数f(x)=cos2x +√3sin2x +1，则下列判断错误的是( )A. f(x)的最小正周期为πB. f(x)的值域为[−1,3]C. f(x)的图象关于直线x =π6对称D. f(x)的图象关于点(−π4,0)对称6. 已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l ⊥β”是“α⊥β”的( ) A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件7. 设f(x)={x −2,(x ≥10)f[f(x +6)],(x <10)，则f(5)的值为( )A. 10B. 11C. 12D. 138. 在直角△ABC 中，∠C =π2，AB =4，AC =2，若AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −18 B. −6√3 C. 18 D. 6√39. 图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内(阴影部分由四条四分之一圆弧围成)的概率是( )A. 12B. 13C. 4π−1D. 2−4π10. 函数f(x)=2|x|⋅sin2x 的图象大致是( )A. B. C. D.11.直线l过抛物线y2=4x的焦点F且与抛物线交于A，B两点，若线段AF，BF的长分别为m，n，则4m+n的最小值是()A. 10B. 9C. 8D. 712.已知函数f(x)=x2−3x+5，g(x)=ax−lnx，若对∀x∈(0,e)，∃x1，x2∈(0,e)且x1≠x2，使得f(x)=g(x i)(i=1,2)，则实数a的取值范围是()A. (1e ,6e) B. [1e,e74) C. [6e,e74) D. (0,1e]∪[6e,e74)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.(1+1x)(1+x)6展开式中x2的系数为______．14.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2−b2=√3bc，sinC=2√3sinB，则A=______．15.“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现已日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门app.该款软件主要设有“阅读文章”和“视听学习”两个学习板块和“每日答题”、“每周答题”、“专项答题”、“挑战答题”四个答题板块．某人在学习过程中，将六大板块依次各完成一次，则“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有______种．16.已知三棱锥P−ABC的四个顶点都在球O的球面上，PA=PB=PC，AB=2，BC=√5，AC=3，E，F分别为AC，PB的中点，EF=32，则球O的体积为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.设等差数列{a n}满足a3=−9，a10=5．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)求{a n}的前n项和S n及使得S n最小的n的值．18.如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE//AB．(Ⅰ)求证：CE⊥平面PAD；(Ⅱ)若PA=AB=1，AD=3，CD=√2，∠CDA=45°，求二面角P−CE−B的正弦值．19.眼保健操是一种眼睛的保健体操，主要是通过按摩眼部穴位，调整眼及头部的血液循环，调节肌肉，改善眼的疲劳，达到预防近视等眼部疾病的目的．某学校为了调查推广眼保健操对改善学生视力的效果，在应届高三的全体800名学生中随机抽取了100名学生进行视力检查，并得到如图的频率分布直方图．(1)若直方图中后三组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以上的人数；(2)为了研究学生的视力与眼保健操是否有关系，对年级不做眼保健操和坚持做眼保健操的学生进行了调查，得到表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系？(3)在(2)中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取8人，进一步调查他们良好的护眼习惯，在这8人中任取2人，记坚持做眼保健操的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．是否做操不做操做操是否近视近视4432不近视618附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K2≥k0.100.050.0250.0100.005 k 2.706 3.841 5.024 6.6357.87920.如图，椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为4，点A，B，C为椭圆上的三个点，A为椭圆的右端点，BC过中心O，且|BC|=2|AB|，S△ABC=3．(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)设P，Q是椭圆上位于直线AC同侧的两个动点(异于A，C)，且满足∠PBC=∠QBA，试讨论直线BP与直线BQ斜率之间的关系，并求证直线PQ的斜率为定值．21.已知函数f(x)=lnx+(a−12)x2−2ax，a∈R．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)在定义域内是增函数，且存在不相等的正实数x1，x2使得f(x1)+f(x2)=−3，证明：x1+x2>2．22. 已知曲线C 的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l 的参数方程为{x =1+√32t y =12t(t 为参数)．(1)求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；(2)已知点M(1,0)，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求||MA|−|MB||．23. 已知函数f(x)=|2x −a|+a ．(1)当a =2时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)设函数g(x)=|2x −1|，当x ∈R 时，f(x)+g(x)≥3，求a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：A∪B={3,4，5，7，8，9}，A∩B={4,7，9}∴∁U(A∩B)={3，5，8}故选A．也可用摩根律：∁U(A∩B)=(∁U A)∪(∁U B)故选：A．根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解．本题考查集合的基本运算，较简单．2.答案：B解析：解：1+i(1−i)2=1+i−2i=(1+i)i−2i⋅i=−12+12i对应的点(−12,12)位于第二象限．故选：B．利用复数的运算法则、几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．3.答案：B解析：解：∵a<b<0，∴a<a−b<0，∴1a−b <1a．因此B不正确．故选：B．由a<b<0，可得a<a−b<0，可得1a−b <1a.即可判断出．本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．4.答案：D解析：【分析】本题主要考查简单随机抽样．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，…，其中08，02，14，07，01符合条件，故可得结论．【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，第三个数为08，符合条件，以下符合条件依次为：08，02，14，07，01，故第5个数为01．故选：D．5.答案：D解析：解：f(x)=cos2x +√3sin2x +1=2sin(2x +π6)+1， 对于选项A ，由于f(x)的最小正周期为2π2=π，故正确；对于选项B ，由于sin (2x +π6)∈[−1,1]，可得f(x)=2sin(2x +π6)+1∈[−1,3]，故正确； 对于选项C ，由于f(π6)=2sin(2×π6+π6)+1=3为f(x)最大值，故正确； 对于选项D ，由于f(−π4)=2sin(−2×π4+π6)+1=1−√3≠0，故错误． 故选：D ．利用两角和的正弦公式对已知函数进行化简可得f(x)=2sin(2x +π6)+1，然后结合正弦函数的性质进行判断即可得解．本题主要考查了两角和的正弦公式在三角函数式化简中的应用及正弦函数的性质的应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题． 6.答案：B解析：解：由面面垂直的定义知，当l ⊥β”时，“α⊥β”成立， 当α⊥β时，l ⊥β不一定成立，即“l ⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件， 故选：B ．根据面面垂直和线面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线和平面垂直的判定定理和性质是解决本题的关键． 7.答案：B解析：【分析】本题主要考查了分段函数、求函数的值．属于基础题．欲求f(5)的值，根据题中给出的分段函数，只要将问题转化为求x ≥10内的函数值即可求出其值． 【解答】解：∵f(x)={x −2(x ≥10)f[f(x +6)](x <10)，∴f(5)=f[f(11)]=f(9)=f[f(15)]=f(13)=11． 故选：B ． 8.答案：C解析：解：在直角三角形ABC 中，∠C =90°，AB =4，AC =2， cos ∠CAB =ACAB =12，若AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 =32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=32×16−52×4×2×12+4=18． 故选：C ．在直角三角形ABC 中，求得cos ∠CAB 的值，再由向量的加减运算，运用平面向量基本定理，结合向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，化简计算即可得到所求值． 本题考查向量的加减运算和数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题 9.答案：C解析：【分析】本题考查了几何概型的概率计算问题，属于基础题．设圆的半径为1，利用几何概型的概率公式计算所求的概率即可． 【解答】解：设圆的半径为1，将图形平均分成四个部分，如下图，则每个图形空白处的面积为2×(14×π−12×1×1)=2×(π4−12)=π2−1， 阴影部分的面积为π×12−4×(π2−1)=4−π， 利用几何概型的概率公式，计算所求的概率为．故选：C ． 10.答案：D解析：解：根据题意，f(x)=2|x|⋅sin2x ，其定义域为R ，有f(−x)=−(2|x|⋅sin2x)=−f(x)，即函数f(x)为奇函数，排除A 、B ，区间(π2,π)上，sin2x <0，有f(x)<0，排除C ； 故选：D ．根据题意，由排除法分析：先分析函数的奇偶性排除A 、B ，进而分析可得区间(π2,π)上，f(x)<0，排除C ，即可得答案．本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性与特殊值的分析，属于基础题． 11.答案：B解析：解：抛物线y 2=4x 的焦点F(1,0)，准线方程为x =−1， 如图所示，过B 点作BD ⊥AD ，作AM ⊥MN ，BN ⊥MN ， 由抛物线的定义可得AM =AF =m ，BN =BF =n ， AD =m −n ，EF =2−n ， ∴2−n m−n=n m+n，化简得：1n +1m =1， ∴4m +n =(4m +n)⋅1=(4m +n)⋅(1n +1m)=4m n+n m+5≥2√4m n⋅n m+5=9，当且仅当n =2m 时等号成立． 所以4m +n 的最小值为9． 故选：B ．先画出抛物线，作出辅助线，利用三角形相似得出关于m 、n 的式子，化简得到1n +1m =1，则4m +n =(4m +n)⋅1=(4m +n)⋅(1n +1m )，从而利用基本不等式求出最小值．本题考查了抛物线的性质，基本不等式的性质及运算，找出m 与n 的关系是关键，属于中档题．12.答案：C解析：【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，难度较大． 对∀x ∈(0,e)，f(x)的值域为[114,5)，g ′(x)=ax−1x，推导出a >0，g(x)min =g(1a )=1+lna ，作出函数g(x)在(0,e)上的大致图象，数形结合由求出实数a 的取值范围． 【解答】解：∵函数f(x)=x 2−3x +5，g(x)=ax −lnx ，x ∈(0,e)， ∴f(x)min =f(32)=94−92+5=114；x →0,f(x)→5∴对∀x ∈(0,e)，f(x)的值域为[114,5)， g ′(x)=a −1x =ax−1x，当a ≤0时，g ′(x)<0，与题意不符， ∴a >0，令g ′(x)=0，得x =1a ，则1a ∈(0,e)， ∴g(x)min =g(1a )=1+lna ，作出函数g(x)在(0,e)上的大致图象，如图，观察图形得到：{1+lna<114g(e)=ae−1≥5，解得6e≤a<e74．∴实数a的取值范围是[6e,e74).故选：C．13.答案：30解析：【分析】本题考查了二项式定理的运用，属于基础题．关键是明确展开式得到x2的两种情况．分析展开式中x2的项的两种可能的来由，结合二项式定理求系数．【解答】解：当(1+1x2)选择1时，(1+x)6展开式选择x2的项为C62x2；当(1+1x2)选择1x2时，(1+x)6展开式选择为C 64x4，所以(1+1x)(1+x)6展开式系数为C62+C64=30；故答案为30．14.答案：30°解析：【分析】本题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．已知sinC=2√3sinB利用正弦定理化简，代入第一个等式用b表示出a，再利用余弦定理列出关系式，将表示出的c与a代入求出cos A的值，即可确定出A的度数．【解答】解：将sinC=2√3sinB利用正弦定理化简得：c=2√3b，代入得a2−b2=√3bc=6b2，即a2=7b2，∴由余弦定理得：cosA=b2+c2−a22bc =2224√3b2=√32，∵A为三角形的内角，∴A=30°．故答案为30°15.答案：432解析：【分析】本题主要考查排列组合的知识，考查了合情推理的能力，本题属中档题．本题要将相邻的情况和“阅读文章”与“视听学习”间恰有一个答题板块的情况分别思考，用排列组合的知识分别计算，最后相加即得结果． 【解答】解：由题意，可知“阅读文章”与“视听学习”相邻的方法数为A 22A 55=240种；“阅读文章”与“视听学习”间恰有一个答题板块的方法数为C 41A 22A 44=192种； 共有240+192=432种方法． 故答案为：432．16.答案：4√3π解析：解：如图所示：由已知可得∠ABC =90°，因PA =PB =PC ， 所以点P 在△ABC 内的投影为△ABC 的外心E ， 所以PE ⊥平面ABC ，PE ⊥BE ， 所以PB =2EF =3，所以PE =√PB 2−BE 2=√32−(32)2=3√32，又球心O 在PE 上，设PO =r ，则(3√32−r)2+(32)2=r 2，所以r =√3，所以球O 体积，V =43πr 3=4√3π，故答案为：4√3π．由已知可得∠ABC =90°，因PA =PB =PC ，所以点P 在△ABC 内的投影为△ABC 的外心E ，所以PE ⊥平面ABC ，PE ⊥BE ，所以PB =2EF =3，所以PE =√PB 2−BE 2=√32−(32)2=3√32，再利用勾股定理求出r =√3，从而求出球O 体积． 本题主要考查了三棱锥的外接球，是中档题．17.答案：解：(1)d =a 10−a 310−3=2，a 1=−13，a n =−13+(n −1)×2=2n −15； (2)S n =n(−13+2n−15)2=n 2−14n ，由于是二次函数， n =7，S n 最小．解析：(1)求出首项，公差，再求a n ，(2)先求S n ，再根据二次函数性质计算最小值． 本题考查等差数列性质，属于基础题．18.答案：(1)证明：∵AB ⊥AD ，CE//AB ，∴CE ⊥AD ∵PA ⊥平面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥CE ，又∵PA ∩AD =A ，∴CE ⊥平面PAD(2)解：由(1)可知，∠PEA 为二面角P −CE −B 的平面角， ∵CE =AB =1，CD =√2，且⊥AD ，得ED =1． 又AD =3，∴AE =2， 又PA =1，∴PE =√5， 则sin ∠PEA =PA PE=√5=√55． ∴二面角P −CE −B 的正弦值为√55．解析：(1)由平行线的性质，结合题设AB ⊥AD 且CE//AB ，证出CE ⊥AD ，利用线面垂直的定义证出PA ⊥CE ，再根据线面垂直判定定理可得CE ⊥平面PAD ；(2)由(1)可得，∠PEA 为二面角P −CE −B 的平面角，再由已知求解三角形得答案．本题考查线面垂直的判定，考查空间角的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题． 19.答案：解：(1)由直方图可知，第一组有100×0.15×0.2=3(人)， 第二组有100×0.35×0.2=7(人)， 第三组有100×1.35×0.2=27(人)；因为后三组的频数成等差数列，共有100−(3+7+27)=63(人)， 所以后三组频数依次为24，21，18； 所以视力在5.0以上的频率为0.18，估计全年级视力在5.0以上的人数约为800×0.18=144(人)； (2)由列联表中数据，计算K 2=100×(44×18−32×6)250×50×76×24=15019≈7.895>7.879，所以能在犯错的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系； (3)在(2)中调查的100名学生中，不近视的学生有24人，从中抽取8人，抽样比例为824=13，这8人中不做眼保健操和坚持做眼保健操的分别有2人和6人， 所以坚持做眼保健操的学生人数X 可能取值为0，1，2； 计算P(X =0)=C 60⋅C 22C 82=128，P(X =1)=C 61⋅C 21C 82=37， P(X =2)=C 62⋅C 20C 82=1528；所以X 的分布列为；数学期望为E(X)=0×128+1×37+2×1528=1.5．解析：(1)由直方图求出第一、二、三组的人数，再求后三组频数和频率，由此估计总体数据； (2)由列联表中数据计算K 2，对照临界值得出结论；(3)利用分层抽样法求出抽取的人数，得出随机变量X 的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求得数学期望值．本题考查了频率分布直方图与独立性检验应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望问题，是中档题．20.答案：解：(Ⅰ)∵|BC|=2|AB|, ∴S △OAB =12S △ABC =32…2 分又△OAB 是等腰三角形，所以B(1, 32)…3 分 把B 点带入椭圆方程x 24+y 2b 2=1，求得b 2=3.…4 分∴椭圆方程为x 24+y 23=1…5 分(Ⅱ)由题易得直线BP 、BQ 斜率均存在， 又∠PBC =∠QBA ，所以k BP =−k BQ …7 分 设直线BP ：y −32=k(x −1)代入椭圆方程x 24+y 23=1，化简得(3+4k 2)x 2−8k(k −32)x +4k 2−12k −3=0…9 分 其一解为1，另一解为x P =4k 2−12k−33+4k 2…10 分可求y p =−12k 2−6k 3+4k 2+32…11 分用−k 代入得x Q =4k 2+12k−33+4k 2,y Q =−12k 2+6k 3+4k 2+32…12 分∴k PQ =y P −yQ x P −x Q=12为定值．…13 分解析：(Ⅰ)先求出B 的坐标，代入椭圆方程，求出b ，即可求椭圆的标准方程； (Ⅱ)设直线BP ：y −32=k(x −1)代入椭圆方程x 24+y 23=1，求出P 的坐标，用−k 代入得x Q =4k 2+12k−33+4k 2,y Q =−12k 2+6k 3+4k 2+32，利用斜率公式，即可求证直线PQ 的斜率为定值．本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查斜率的计算，正确求出P ，Q 的坐标是关键．21.答案：解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，因为f(x)=lnx +(a −12)x 2−2ax ，所以f′(x)=1x+(2a −1)x −2a =(2a−1)x 2−2ax+1x=(x−1)[(2a−1)x−1]x，当a ≤12时，令{f′(x)>0x >0，得0<x <1，令{f′(x)<0x >0，得x >1，当12<a <1时，则12a−1>1，令{f′(x)>0x >0，得0<x <1，或x >12a−1，令{f′(x)<0x >0，得1<x <12a−1， 当a =1时，f′(x)≥0，当a >1时，则0<12a−1<1，令{f′(x)>0x >0，得0<x <12a−1，或x >1，令{f′(x)<0x >0，得12a−1<x <1， 综上，当a ≤12时，f(x)在(0,1)单调递增，在(1,+∞)上递减，当12<a <1时，f(x)在(0,1)，(12a−1,+∞)单调递增，在(1,12a−1)上递减， 当a =1时，f(x)在(0,+∞)单调递增，当a >1时，f(x)在(0,12a−1)，(1,+∞)单调递增，在(12a−1,1)上递减， (2)证明：f(x)在定义域内是增函数，由(1)可知a =1， 此时f(x)=lnx +12x 2−2x ，设x 1<x 2，因为f(x 1)+f(x 2)=−3=2f(1)，则0<x 1<1<x 2， 设g(x)=f(2−x)+f(x)+3，x ∈(0,1)， 则g′(x)=−f′(2−x)+f′(x)=−(1−x)22−x+(x−1)2x=2(1−x)3x(2−x)>0，对任意x ∈(0,1)恒成立，所以g(x)在(0,1)是增函数，所以对任意x ∈(0,1)，有g(x)<g(1)=2f(1)+3=0， 即对任意x ∈(0,1)，有f(2−x)+f(x)+3<0， 因为0<x 1<1，所以f(2−x 1)+f(x 1)+3<0， 即有f(x 2)>f(2−x 1)，又f(x)在(0,+∞)单调递增， 所以x 2>2−x 1，即x 1+x 2>2．解析：(1)定义域为(0,+∞)，求导得f′(x)=(x−1)[(2a−1)x−1]x，分三种情况当a ≤12时，当12<a <1时，当a =1时，当a >1时，讨论函数f(x)的单调性．(2)由(1)可知a =1，此时f(x)=lnx +12x 2−2x ，设x 1<x 2，f(x 1)+f(x 2)=−3=2f(1)，则0<x 1<1<x 2，设g(x)=f(2−x)+f(x)+3，x ∈(0,1)，求导得g′(x)=2(1−x)3x(2−x)>0，对任意x ∈(0,1)恒成立，所以g(x)在(0,1)是增函数，所以对任意x ∈(0,1)，有g(x)<g(1)=2f(1)+3=0，即对任意x ∈(0,1)，有f(2−x)+f(x)+3<0，因为0<x 1<1，所以f(2−x 1)+f(x 1)+3<0，即有f(x 2)>f(2−x 1)，又f(x)在(0,+∞)单调递增，所以x 2>2−x 1，即可得出结论． 本题考查导数的综合应用，属于中档题．22.答案：解：(1)曲线C 的极坐标方程为ρ=4cosθ，转换为直角坐标方程为x 2+y 2−4x =0． 直线l 的参数方程为{x =1+√32t y =12t(t 为参数).转换为直角坐标方程为yx−1=√33，整理得y =√33(x −1)．(2)把直线l 的参数方程为{x =1+√32ty =12t (t 为参数)代入圆的方程整理为t 2−√3t −3=0．所以t 1+t 2=√3，t 1t 2=−3．||MA|−|MB||=√(t1+t2)2−4t1t2=√15．解析：(1)直接把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)当a=2时，f(x)=|2x−2|+2，∵f(x)≤6，∴|2x−2|+2≤6，|2x−2|≤4，|x−1|≤2，∴−2≤x−1≤2，解得−1≤x≤3，∴不等式f(x)≤6的解集为{x|−1≤x≤3};(2)∵g(x)=|2x−1|，∴f(x)+g(x)=|2x−1|+|2x−a|+a≥3，2|x−12|+2|x−a2|+a≥3，|x−12|+|x−a2|≥3−a2，当a≥3时，成立，当a<3时，|x−12|+|x−a2|≥12|a−1|≥3−a2>0，当且仅当(x−12)(x−a2)≤0时等号成立，∴(a−1)2≥(3−a)2，解得2≤a<3，∴a的取值范围是[2,+∞)．解析：本题考查含绝对值不等式的解法及绝对值不等式的三角不等式，同时考查不等式恒成立问题，是简单题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．(1)当a=2时，由已知得|2x−2|+2≤6，由此能求出不等式f(x)≤6的解集．(2)由f(x)+g(x)=|2x−1|+|2x−a|+a≥3，得|x−12|+|x−a2|≥3−a2，由此能求出a的取值范围．。
2020年陕西省高考数学模拟试卷(理科)(二)(含答案解析)
2020年陕西省高考数学模拟试卷(理科)(二)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知复数z =52i−1(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为( )A. −1−2iB. −1+2iC. 2−iD. 2+i2. 设集合A ={x|−5≤x <1}，B ={x|x ≤2}，则A ∪B =( )A. {x|x ≤2}B. {x|−5≤x <1}C. {x|−5≤x ≤2}D. {x|x <1}3. 若x,y 满足约束条件{−3≤x −y ≤1,−9≤3x +y ≤3,则z =x +y 的最小值为( )A. 1B. −3C. −5D. −64. 已知向量a ⃗ =(−1,1)，b ⃗ =(2,x)，若a ⃗ ⊥(a ⃗ +b ⃗ )，则实数x 的值为( )A. 0B. 1C. 2D. 45. 设函数f(x)={(12)x −7(x <0)√x(x ≥0),若f(a)<1，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,−3)B. (1,+∞)C. (−3,1)D. (−∞,−3)∪(1,+∞)6. 已知Z ～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<Z <μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<Z <μ+2σ)=0.9544.若X ～N(5,1)，则P(6<X <7)等于( )A. 0.3413B. 0.4772C. 0.1359D. 0.81857. 等差数列{a n }中，a 3=−5，a 7=1，则a 11等于( )A. 6B. 7C. 8D. 98. 设0<α<β<π2,sinα=35,cos(β−α)=1213，则sinβ的值为( )A. 1665B. 3365C. 5665D. 63659. 将函数f(x)=2cos(2x +π6)的图象向左平移t(t >0)个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为( )A. 2π3B. π6C. π2D. π310.直三棱柱ABC−A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°则此球的表面积等于()A. 52π9B. 20π C. 8π D. 52π311.过抛物线x2=4y的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，2|AF|=|BF|+|BA|，则|AB|=()A. 3B. 72C. 4 D. 9212.函数f(x)=−e x1+x2，若存在x0∈(0,2]使得m−f(x0)>0成立，则实数m的范围是()A. (−15e2,+∞) B. (−1,+∞) C. (1,+∞) D. (−12e,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某超市统计了一个月内每天光顾的顾客人数，得到如图所示的频率分布直方图，根据该图估计该组数据的中位数为______．14.已知(2+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为15，则展开式中所有项的系数和为________．15.在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=3，D为BC的中点，则AD=________．16.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，左顶点为A，O为坐标原点，以OF为直径作圆交双曲线的一条渐近线于点P，且|PA|=|PF|，则双曲线的离心率e=．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图所示，菱形ABCD的边长为2，，点H为DC中点，现以线段AH为折痕将菱形折起使得点D到达点P的位置且平面平面ABCH，点E，F分别为AB，AP的中点．(1)求证：平面PBC//平面EFH；(2)求平面PAH与平面PBC所成锐二面角的余弦值．18.已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a17=33，S7=49．(1)求证：a1，a5，a41成等比数列;(2)求数列{a n·3n}的前n项和T n．19.2017年1月1日，作为贵阳市打造“千园之城”27个示范性公元之一的泉湖公园正式开园，元旦期间，为了活跃气氛，主办方设置了水上挑战项目向全体市民开放，现从到公园游览的市民中随机抽取了60名男生和40名女生共100人进行调查，统计出100名市民中愿意接受挑战和不愿意接受挑战的男女生比例情况，具体数据如图表：(1)根据条件完成下列2×2列联表，并判断是否在犯错误的概率不超过1%的情况下愿意接受挑战与性别有关？愿意不愿意总计男生女生总计(2)现用分层抽样的方法从愿意接受挑战的市民中选取7名挑战者，再从中抽取2人参加挑战，求抽取的2人中至少有一名男生的概率．参考公式与数据：P(K2≥k0)0.10.050.0250.01k0 2.706 3.841 5.024 6.635K2=n(ad−bc)2．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20.已知函数f(x)=2x2+x+2，求函数f(x)的极值．e x21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(2,0)，且离心率为√32．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设直线y=kx+√3与椭圆C交于M，N两点，若直线x=3上存在点P，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k的值．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为θ=π3．(Ⅰ)求曲线C的极坐标方程；(Ⅱ)当0<r<2时，若曲线C与射线l交于A，B两点，求1|OA|+1|OB|的取值范围．23.已知函数f(x)=x2+2|x−1|．(1)求不等式f(x)>|2x|x的解集；(2)若f(x)的最小值为N，且a+b+c=N，(a,b，c∈R).求证：√a2+b2+√b2+c2+√c2+a2≥√2．【答案与解析】1.答案：B解析：解：复数z =52i−1=5(−2i−1)(2i−1)(−2i−1)=−1−2i ， ∴z .=−1+2i 故选：B ．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.答案：A解析：解：∵A ={x|−5≤x <1}，B ={x|x ≤2}； ∴A ∪B ={x|x ≤2}． 故选：A ．进行并集的运算即可．考查描述法的定义，以及并集的运算．3.答案：C解析：【试题解析】解：作出x ，y 满足约束条件{−3≤x −y ≤1−9≤3x +y ≤3，表示的平面区域，如图所示的阴影部分：由z =x +y 可得y =−x +z ，则z 表示直线y =−x +z 在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，由题意可得，{1=x −y−9=3x +y ，解得A(−2,−3)，当y =−x +z 经过点A 时，z 最小， 由A(−2,−3)，此时z =x +y =−5． 故选：C ．作出不等式组表示的平面区域，由z =x +y 可得y =−x +z ，则z 表示直线y =−x +z 在y 轴上的截距，截距越小，z越小，结合图象可求z的最小值．本题主要考查了线性目标函数在线性约束条件下的最值的求解，解题的关键是明确z的几何意义．4.答案：A解析：解：∵向量a⃗=(−1,1)，b⃗ =(2,x)，∴a⃗+b⃗ =(1,1+x)；∵a⃗⊥(a⃗+b⃗ )，∴a⃗⋅(a⃗+b⃗ )=−1+1+x=0，解得x=0．故选：A．利用向量垂直与数量积的关系即可得出．本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量的坐标运算，属于基础题．5.答案：C)a−7<1，解得a>−3，所以−3<a<0；解析：解：a<0时，f(a)<1即(12a≥0时，√a<1，解得0≤a<1综上可得：−3<a<1故选：C．)a−7<1，a≥0时，√a<1，分别求解即可．a<0时，f(a)<1即(12本题考查分段函数、解不等式等问题，属基本题，难度不大．6.答案：C解析：解：P(4<X<6)=0.6826，P(3<X<7)=0.9544，(0.9544−0.6826)=0.1359．∴P(6<X<7)=12故选C．(P(3<X<7)−P(4<X<6))．计算P(4<X<6)，P(3<X<7)，于是P(6<X<7)=12本题考查了正态分布的对称性特点，属于基础题．7.答案：B解析：解：∵等差数列{a n }中，a 3=−5，a 7=1， ∴{a 1+2d =−5a 1+6d =1， 解得a 1=−8，d =32，∴a 11=a 1+10d =−8+10×32=7．故选：B ．利用等差数列通项公式列出方程组，求出a 1=−8，d =32，由此能求出a 11．本题考查等差数列的第11项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.答案：C解析：解：0<α<β<π2,sinα=35,cos(β−α)=1213， ∴cosα=45，sin(β−α)=513，∴sinβ=sin(α+β−α)=sinαcos(β−α)+cosαsin(β−α)=35×1213+45×513=5665，故选：C根据同角的三角函数的关系和诱导公式以及两角和的正弦公式计算即可． 本题考查了同角的三角函数的关系和两角和的正弦公式，属于基础题．9.答案：B解析：解：将函数f(x)=2cos(2x +π6)的图象向左平移t(t >0)个单位长度，可得y =2cos(2x +2t +π6)的图象；∵所得图象对应的函数为奇函数，∴2t +π6=kπ+π2，求得t =kπ2+π6，k ∈Z ，则t 的最小值为π6， 故选：B ．由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得t 的最小值． 本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．10.答案：B解析：解：如图，在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120°，可得BC=2√3，由正弦定理，可得△ABC外接圆半径，设此圆圆心为O′，球心为O，在RT△OBO′中，易得球半径R=√5，故此球的表面积为4πR2=20π．故选：B．通过已知条件求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O′，球心为O，在RT△OBO′中，求出球的半径，然后求出球的表面积．本题考查三棱柱的外接球，考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查球的表面积公式，属于中档题．11.答案：D解析：解：由抛物线x2=4y，得F(0,1)，若直线l⊥x轴，不合题意；设直线l的方程为y=kx+1，代入x2=4y，得y2−(4k2+2)y+1=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1+y2=4k2+2，y1y2=1，①∵|BF|+|BA|=2|FA|，∴|BF|+|BF|+|AF|=2|FA|，∴|FA|=2|BF|，即y1+1=2(y2+1)，即代入①得y2=12，∴y1=2，则|AB|=y1+y2+2=12+2+2=92．故选：D．由题意可设直线方程y=kx+1，与抛物线方程联立，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系得到A，B的纵坐标的乘积，结合2|AF|=|BF|+|BA|，求得A，B的纵坐标，则|AB|可求．。
陕西省2020届高三教学质量检测卷(二)数学 (理科)(word版)
2020年陕西省高三教学质量检测卷(二)数学(理科)一、选择题:本题共12小题每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数4(1zi=+i为虚数单位),则z的虚部为()A.2B.2iC. -2D.-2i2.已知集合A={x|-1≤x<1}2,{|,}B y y x x A==∈,则A∪B=()A,{x|-1≤x<1} B.{x|-1≤x≤1} C.{x|-1<x< 1} D.{x|-1<x≤1}3.若变量x,y满足约束条件3,10,260,x yx yx y+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩则目标函数z=2x- y的最小值是A.-3B.01.3C10.3D4.已知向量a,b满足(1,3),(=a a-2b)⊥a,则b在a上的投影为()A.-1B.11.2C-1.2D5.已知函数2ln,01()43,1x xf xx x x-<≤⎧=⎨-+->⎩,若f(f(a))=1,则满足条件的实数a的个数是( )A.1B.2C.3D.46.设X~N(0,1),其正态分布密度曲线如图所示,点A(1,0),点B(2,0),点C(2,1),点D(1,1),向正方形ABCD内任意投掷一粒黄豆,则该黄豆落入阴影部分的概率是(注:2~(,)X Nμσ则P（μ-σ< X≤μ+σ）=0.6827，P（μ-2σ< X≤μ +2σ）=0.9545，P（μ-3σ< X≤μ +3σ）=0.9973）A.0.8641B.0.6587C.0.5228D.0.97857.在公差不为0的等差数列{}n a中,213461,,a a a a==则2a=7.11A5.11B3.11C1.11D 8.已知(02παβ<<<,且6312cos(),sin 6513αββ-==,则sinα=3.5A -3.5B 4.5C -4.5D 9.若将函数()2sin(3)4f x x π=+的图象向右平移a(a>0)个单位长度，所得图象关于坐标原点对称，则a 的最小值为().4A π5.4B π.12C π5.12D π 10.在直三棱柱111ABC A B C -中,AB= BC= AC=a,1,AA b =若该三棱柱的六个顶点都在同一个球面上，且a+ b=2,则该球的表面积的最小值为()7.3A π13.4B π.2521C π.716D π11.已知抛物线2:4,C y x =点M(3,0),直线l 过焦点F 且与抛物线C 交于A,B 两点,若|AB|=8,则△AMB 的面积为()A.4.42B.43CD.812.已知函数21(),()2x f x xe x x a g x x =+++=lnx + 1,若存在1[2,2],x ∈-,对任意221[,]x e e∈，都有12()(),f x g x =，则实数a 的取值范围是()221.[32,32]A e e e e-----221.(32,32)B e e e e-----23.[32,]2C e e --23.(32,)2D e e --二、 填空题:本题共4小题，每小题5分,共20分.13.如图是样本容量为1000的频率分布直方图，根据该图估计该样本数据的中位数与平均数的差的绝对值是___14.在(51)(1)x ax ++的展开式中，2x 的系数为15,则a=___ 15.在△ABC 中,D 为AC 的中点,且AD: BD :73,AB =若7,BC =则△ABC 的周长为___16.已知双曲线C:22221(0,0)x y a b a b-=>>，过双曲线C 的左焦点F 2的直线交双曲线C 的左支于A,B 两点,若以AB 为直径的圆过坐标原点0,则双曲线C 的离心率为____三、解答题:共70分。
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2020年陕西高三二模数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）．A. B. C. D.2.已知集合 ,，则 （ ）．A. B. C. D.3.若变量，满足约束条件，则目标函数的最小值是（ ）．A. B. C. D.4.已知向量，满足，，则在上的投影为（ ）．A. B. C. D.5.已知函数，若，则满足条件的实数的个数是（ ）．A.B.C.D.6.设，其正态分布密度曲线如图所示，点，点，点，点，向正方形内任意投掷一粒黄豆，则该黄豆落入阴影部分的概率是（ ）．（注：，则，，）A.B.C.D.7.在公差不为的等差数列中，，，则（ ）．A.B.C.D.8.已知，且，，则（ ）．A.B.C.D.9.若将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于坐标原点对称，则的最小值为（ ）．A.B.C.D.10.在直三棱柱中，，，若该三棱柱的六个顶点都在同一个球面上，且，则该球的表面积的最小值为（ ）．A.B.C.D.11.已知抛物线，点，直线过焦点且与抛物线交于，两点，若，则的面积为（ ）．A.B.C.D.12.已知函数，，若存在，对任意，都有，则实数的取值范围是（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图是样本容量为的频率分布直方图，根据该图估计该样本数据的中位数与平均数的差的绝对值是 ．频率组距14.在的展开式中，的系数为，则．15.在，为的中点，且，若，则的周长为 ．16.已知双曲线，过双曲线的左焦点作一斜率为的直线交双曲线的左支于，两点，若以为直径的圆过坐标原点，则双曲线的离心率为 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.如图，正四棱锥的底边长为，侧棱长为，为上一点，且，点，分别为，上的点，且．证明：平面平面．求锐二面角的余弦值．（1）（2）18.已知正项数列的前项和为， ，．求数列的通项公式．若数列满足，令，求证：．19.某市正在进行创建全国文明城市的复验工作，为了解市民对“创建全国文明城市”的知识知晓程度，某权威调查机构对市民进行随机调查，并对调查结果进行统计，共分为优秀和一般两类，先从结果中随机抽取份，统计得出如下列联表：优秀一般总计男女总计（1）（2）（3）根据上述列联表，是否有的把握认为“创城知识的知晓程度是否为优秀与性别有关”？现从调查结果为一般的市民中，按分层抽样的方法从中抽取人，然后再从这人中随机抽取人，求这三位市民中男女都有的概率．以样本估计总体，视样本频率为概率，从全市市民中随机抽取人，用表示这人中优秀的人数，求随机变量的期望和方差．附：（其中）．（1）（2）20.已知函数．求函数的极值．当时，若函数有两个极值点，，且，求证：．（1）（2）21.已知椭圆：的离心率为，点的坐标为，且椭圆上任意一点到点的最大距离为．求椭圆的标准方程．若过点的直线与椭圆相交于，两点，点为椭圆长轴上的一点，求面积的最大值．四、选择题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程．若射线与直线和曲线分别交于，两点，求的值．23.设函数的最小值为．【答案】解析:方法一：本题考查复数的运算．由题意得，∴的虚部为，故选．方法二：∵，∴的虚部为，故选．解析:本题考查集合并集的运算．由题意可知集合，∴．故选．解析:本题考查简单的线性规划．如图所示，图中的阴影部分为不等式组所表示的平面区域（含边界），（1）（2）求的值．若，求证：．C1.B2.A3.其中，， ．先作出的图象，然后通过平移，发现当目标函数的图象经过点时，取到最小值，故选．解析:本题考查平面向量的数量积及向量的投影．由题可得，，∴，∴在上的投影为，故选．解析:本题考查分段函数及分段函数的图象．作函数的图象如图所示，x123y12O由题意可得当时，；当时，．若，则或，解得或，则或，结合函数图象可知的取值有个．故选．解析:B 4.D 5.A 6.本题考查几何概型与正态分布的相关概率的运算．由题意可得正态分布密度曲线的对称轴是，则，标准差是，而，∴，∴图中阴影部分的面积为．记“黄豆落入阴影部分”为事件，则， 故正确，错误．故选．解析:本题考查等差数列的通项公式，由题意可设数列的公差为（），则通项公式，∴，，，，∴，解得（舍去），∴．故选．解析:本题考查三角恒等变换，由题意可得，∵，∴，∴．故选：．解析:本题考查三角函数图象的平移变换与性质．由题意可得平移后的函数解析式为，若该函数图象关于坐标原点对称，则，阴影部分的面积正方形面积A 7.D 8.C 9.解得．∵，∴，∴∴的最大值为，∴．故选．解析:由题意可知外接圆的半径．设该三棱柱外接球的半径为，则．由可得，∴，∴，当且仅当，时取得最小值，∴该三棱柱外接球的表面积的最小值为．故选．解析:方法一：由题意可得抛物线的焦点，设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程得，即，设，两点的坐标为，，则由韦达定理可得，D 10.B 11.，∴，，∴，∴，∴直线的方程为，则点到直线的距离为，∴的面积为．故选．方法二：由题意可得抛物线的焦点，设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程得，即，设，两点的坐标为，，则由韦达定理可得，，∴，∴，即，∵，∴．故选．解析:本题考查函数的图象与性质、导函数及利用导函数解不等式．由题意可得，C 12.令，得，而，，，∴，，∴，∵，令，得，而，，，∴，，∴．由题意可知存在，对任意，都有等价于，即，∴，故选．解析:由样本容量为的频率分布直方图，知：的频率为，的频率为，∴该样本数据的中位数为：，该样本数据的平均数为：，∴该样本数据的中位数与平均数的差的绝对值为：，故答案为：．解析:本题考查二项式定理．∵展开式的通项为，13.或14.则由可知，展开式中的系数为，∴，即，解得或．15.解析:本题考查余弦定理．令，则，，则 ．∵，∴．又点为的中点，∴，在中，由余弦定理得，∴，∴， ，故的周长为 ．16.解析:本题考查双曲线的离心率、直线与双曲线的位置关系．设直线的方程为，与双曲线的方程联立可得，化简得，令，，则，，，∵以为直径的圆过坐标原点，∴，∴，∴，∴，即，又∵，，代入化简可得，即，（1）（2）又∵双曲线的离心率，∴．解析:∵，且，∴四边形为平行四边形，∴．∵，，，∴，∴．∵，平面，，，平面，，∴平面平面．如图：如图，连接，相交于点，连接．∵四棱锥为正四棱锥，∴，，又，∴，且，同理可得，∴，，两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，．，，，（1）证明见解析．（2）．17.，，，，（1）（2）∴，，，令平面的法向量为，则，即，解得，∴取，则，，故，同理可得平面的一个法向量，∴，∴锐二面角的余弦值为．解析:由题意可得当时，，∴；当时，， ，∴，∵，∴，∴数列的奇数项是公差为的等差数列，偶数项也是公差为的等差数列，又∵ ，∴数列是公差为的等差数列，∴．由（）知，，，∴，，两式相减得，，（1）．（2）证明见解析．18.（1）（2）（3）（1）∴，∵当时，，∴．解析:由列联表可得，∴没有的把握认为“创城知识的知晓程度是否为优秀与性别有关”．调查结果为一般的市民中有男人，女人，人数之比为，所以按分层抽样抽取的人中，男人，女人．设“这三位市民中男女都有”为事件，则（或）．由列联表可得在样本中任选一人，其优秀的概率为，∴，，，，，，，∴~，∴，，∴随机变量的期望为，方差为．解析:由题意可得（1）没有．（2）．（3）期望，方差．19.（1）当时，函数的极大值为，极小值为；当时，无极值；当时，函数的极大值为，极小值为．（2）证明见解析．20.（2）（1），当时，，函数的单调性和极值如表：递增极大值递减极小值递增∴，；当时，，，，函数在上单调递增，∴无极值；当，，函数的单调性和极值如表：递增极大值递减极小值递增∴，，综上所述，当时，函数的极大值为，极小值为；当时，无极值；当时，函数的极大值为，极小值为．由题意得，即，，由（）可知，，∴， ，∴，令，则，∴在上单调递减，∴，即，∵，∴．解析:方法一：极大值极小值极大值极小值（1）．（2）．21.（2）由题意可得离心率，又，∴，，令点为椭圆上任意一点，则，∴，∴，，∴椭圆的标准方程为．方法二：由题意可得离心率，又，∴，，令椭圆上任意一点，∴，当时，，∴，满足；当时，，解得（负值舍去），，则，不满足条件，舍去．综上，，，椭圆的标准方程为．设点坐标为，直线的方程为 ，联立直线方程与椭圆方程化简得，令，两点的坐标分别为，，（1）由韦达定理可得，，则，化简得，点到直线的距离，∴的面积，令，则，,当时，，当且仅当，时等号成立，此时，∴，∵，∴当且仅当时，取到最大值为，此时面积取到最大值，即，此时直线的方程为，点的坐标为，综上，面积的最大值为．解析:由得，将（为参数）消去参数，得直线的普通方程为，由得，将，代入上式，得，（1）直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为．（2）．22.（2）（1）（2）所以曲线的直角坐标方程为．由（）可知直线的普通方程为，化为极坐标方程得，当时，设，两点的极坐标分别为，，则，，所以．解析:由可得，则．∵，∴．由（）可知，∴，（当且仅当时等号成立），∴，故．（1）．（2）证明见解析．23.。