无初始可行基和有初始可行的单纯形解法
单纯形法的几种特殊情况
单纯形法的几种特殊情况单纯形法是一种线性规划的解法方法，用于寻找最优解。
在实际应用中，存在一些特殊情况，需要对单纯形法进行一些调整或者使用其他方法来解决。
下面将介绍几种特殊情况：1.无解情况（不可行解）：在一些情况下，约束条件可能是冲突的，导致不存在可行解。
例如，所有约束条件加在一起可能无法满足，或者一些约束条件是矛盾的，比如两个约束条件同时要求一些变量分别为正和负。
在这种情况下，单纯形法无法找到最优解，因为没有可行解。
解决方法：可以使用其他的线性规划求解方法，或者对约束条件进行调整，使其变为可行的。
例如，可以通过增加松弛变量或引入人工变量来处理不等式约束条件，在目标函数中增加人工变量的惩罚项，逐步通过单纯形法逼近可行解。
2.多个最优解：在一些情况下，线性规划问题可能存在多个最优解。
这种情况下，目标函数的值相同，但对应的解并不相同。
单纯形法只能找到一个最优解，无法得知是否存在其他最优解。
解决方法：需要使用其他算法或方法来找到额外的最优解。
例如，可以通过改变目标函数的系数或增加一些额外的约束条件，以影响单纯形法的方向，从而找到其他的最优解。
3.无界问题：在一些情况下，线性规划问题可能是无界的，即目标函数可以无限大地增加或无限小地减小。
这种情况下，单纯形法将无法找到有限的最优解。
解决方法：可以通过增加约束条件或调整目标函数的系数，使得问题变为有界的。
另外，也可以使用其他线性规划求解方法来处理无界问题。
4.退化情况：在单纯形法中，可能存在一些情况下的解陷入循环，无法继续优化。
这种情况下，称为退化。
解决方法：可以使用退化处理技术，例如人工变量法、卡工法、两阶段法等，来克服退化问题，并继续求解最优解。
5.基变量的选择：在单纯形法中，需要选择初始基变量，以便进行迭代求解。
但是，对于一些问题，选择合适的初始基变量可能非常困难，并且可能会影响最终的最优解。
解决方法：可以使用启发式的方法，例如字典法，以确定合适的初始基变量。
第二章单纯形法
s.t.
32x1x133x2x22xx33
100 120
x1, x2, x3 0
CB XB b 0 x4 100 0 x5 120
OBJ = 0 zj cj-zj
40 45 24 0 0
x1 x2 x3 x4 x5
23110 33201 00000 40 45 24 0 0
求解过程：
序
40 45 24 0 0
基本步骤：
始
确定初试基础可行解
检查是否为
是
最优解？
否 确定改善方向
求新的基础可行解
求最优解的目标函数值
1、初始基本可行解的确定
对目标函数为(MAX≤)形式的线性规划背景模型，通过标准化， 每一个约束方程引入一个松弛变量，松弛变量为基变量，其 他变量为非基变量，得到一个初始基本可行解。
n
max f (x) cj xj j 1
cB
p
' j
c ia
' ij
,
j
m
1,
n;
机会成本
i1
j c j z j, j m 1, n ;
检验数
线性规划问题的典式展开式：
max z cBB1b (cm1 cB pm' 1)xm1 (cj cB p'j )xj
(cn cB pn' )xn
x1 x2
a x ' 1,m1 m1
a1', j xj
a' 1,n
xn
b1'
a x ' 2,m1 m1a2' , xja' 2,n
xn
b2'
xm
a x ' m,m1 m1
单纯形法原理
单纯形法原理单纯形法，求解线性规划问题的通用方法。
单纯形是美国数学家G.B.丹齐克于1947年首先提出来的。
它的理论根据是：线性规划问题的可行域是n维向量空间Rn中的多面凸集，其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到。
顶点所对应的可行解称为基本可行解。
单纯形法的基本思想是：先找出一个基本可行解，对它进行鉴别，看是否是最优解；若不是，则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解,再鉴别；若仍不是，则再转换,按此重复进行。
因基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能得出问题的最优解。
如果问题无最优解也可用此法判别。
单纯形法是从某一基可行解出发，连续地寻找相邻的基可行解，直到达到最优的迭代过程，其实质是解线性方程组。
概述：根据单纯形法的原理，在线性规划问题中，决策变量（控制变量）某1，某2，…某n的值称为一个解,满足所有的约束条件的解称为可行解。
使目标函数达到最大值（或最小值）的可行解称为最优解。
这样，一个最优解能在整个由约束条件所确定的可行区域内使目标函数达到最大值（或最小值）。
求解线性规划问题的目的就是要找出最优解。
最优解可能出现下列情况之一：①存在着一个最优解；②存在着无穷多个最优解；③不存在最优解，这只在两种情况下发生，即没有可行解或各项约束条件不阻止目标函数的值无限增大（或向负的方向无限增大）。
单纯形法的一般解题步骤可归纳如下：①把线性规划问题的约束方程组表达成典范型方程组，找出基本可行解作为初始基本可行解。
②若基本可行解不存在，即约束条件有矛盾，则问题无解。
③若基本可行解存在，从初始基本可行解作为起点，根据最优性条件和可行性条件，引入非基变量取代某一基变量，找出目标函数值更优的另一基本可行解。
④按步骤3进行迭代,直到对应检验数满足最优性条件（这时目标函数值不能再改善），即得到问题的最优解。
⑤若迭代过程中发现问题的目标函数值无界，则终止迭代。
用单纯形法求解线性规划问题所需的迭代次数主要取决于约束条件的个数。
程序求解 单纯形法
程序求解单纯形法
单纯形法是一种求解线性规划问题的常用方法。
它通过一系列的迭代步骤，从一个初始的基本可行解开始，逐步改进解，直到找到最优解或证明问题无最优解。
以下是使用单纯形法求解线性规划问题的一般步骤：
1. 构建初始基本可行解：选择一个初始的基本可行解，通常可以通过引入松弛变量或人工变量来构建。
2. 计算目标函数值：计算当前基本可行解下的目标函数值。
3. 检查最优性：如果当前基本可行解满足最优性条件（目标函数值最小或最大），则停止迭代，当前解即为最优解。
4. 寻找改进方向：如果当前基本可行解不满足最优性条件，则需要找到一个改进的方向。
这可以通过计算每个非基变量（即未被选入基本可行解的变量）的检验数来完成。
5. 选择进入变量：根据检验数，选择一个具有正检验数的非基变量作为进入变量。
6. 确定离开变量：为了保持基本可行解的可行性，需要选择一个离开变量。
通常选择一个具有最小比值的基变量作为离开变量。
7. 更新基本可行解：通过替换离开变量和进入变量，构建一个新的基本可行解。
8. 重复步骤 2 至步骤 7，直到找到最优解或证明问题无最优解。
需要注意的是，单纯形法的具体实现可能因问题的规模和结构而有所不同。
在实际应用中，可以使用编程语言或优化软件来实现单纯形法。
希望以上内容对你有所帮助。
如果你有具体的线性规划问题需要求解，我可以根据具体问题提供更详细的帮助。
求解线性规划初始可行基的常规算法
求解线性规划初始可行基的常规算法摘要：本文通过对求线性规划初始可行基的一些常规方法和近年来的主要研究成果进行归纳，简介和总结，并加以比较，给出各种方法的优势与不足．以便读者在解决具体问题时根据自身的实际情况，找出相应的方法，以使达到方便解决所研究的问题．关键词：线性规划；单纯形法；解法1.求线性规划初始可行基的一些的常规算法[1]单纯形法：单纯形解法最初是在20世纪40年代由George Dantzig研究出来的．它的基本思路是：先求得一个初始基可行解，以这个初始基可行解在可行域中对应的极点为出发点，根据最优准则来判断这个基可行解是否是最优解，如果不是最优解,则转换到相邻的一个极点，即得到一个新的基可行解，并使目标函数值下降，这样重复进行有限次后，可找到最解或判断问题无最优解．单纯形法是求解线性规划最基本，最常用的方法，通常情况下，大多数的线性规划问题都可以得以解决。
但不足之处在于单纯形法必须在己知一个基本可行解(初始点)既线性规划的约束方程为G-J方程组的前提下才能进行求解．然而在大多数情况下，线性规划问题并没有明显的初始基本可行解，于是，很多人就提出了多种新的解决思路，给出了求初始基本可行解的许多算法，这些算法各有所长所短．归纳起来，具有代表性的是下面介绍的几种。
[2]大M法：此方法系在目标函数中，加上人工变元与一个很大很大的正数M的积（此称罚函数），这样，当基本可行解中人工变元非0时，此人工变元项将是一个大数，因它在目标函数中被加上，从而此解不可能最优（注意目标函数求极小）．换言之，在迭代中，人工变元会很快出基．说明：若原来的问题为（Ⅰ），而用大M法构造的新方法为（Ⅱ），则（1）设（Ⅱ）有最优解，其中为人工变元：若，则问题（Ⅰ）有最优解 ;若，则问题无解．（2）设（Ⅱ）有无界解：若，则问题（Ⅰ）也有无界解;若，则问题（Ⅰ）无解．还有一点要说明的是：在实际运算中（计算机程序）大M法里的M需适当赋值，若M赋值过大，则容易引起计算误差：而M赋值过小，则影响求解过程的实施．[3]两阶段法：对一般的线性规划，往往很难找到初始基可行解，甚至连有无可行基都难以判定，这时就需要应用两阶段法来求解线性规划．二阶段法就是把解线性规划问题划分为两个阶段，第一阶段求出原问题的一个基可行解或判断原问题可行域为空：第二阶段在得到的基可行解基础上求解原问题．方法如下：第一阶段：人为地在原约束矩阵中增加一些变量使得到单位矩阵，增加的变量称为人工变量，目标函数是人工变量之和．该线性规划一定有最优解，设为：．则可能有三种情形：1）若：在最优解的基变量中，不存在人工变量，即人工变量都是非基变量．则的前个分量便是（LP）的一个基可行解．可进入第二阶段；2）若：在最优解的基变量中，包括某些人工变量，并且最优值．则（LP）的可行域为空，（LP）无解；3）若在最优解的基变量中，包括某些人工变量，但最优值，此时为基变量的人工变量都取值为0．设是一个人工变量的基变量，其在最优解的单纯形表中对应第行，设是非人工变量中非基变量的下标集．如果单纯形表的第行中，所有的，( )此示原约束中第行为其余行的线性组合，即是个多余的约束，应当删去；如果存在( )，则无论是正还是负，以它为变换轴心，进基，离基．如果新表中的基变量中还有人工变量，重复以上步骤，有限次可得到1）的情形．第二阶段：1）以第一阶段最优解对应的单纯形表为基础，删去人工变量对应的列，并且将原规划（已标准化）的作为检验数，放在第一行，然后用用行变换将基变量对应的检验数消为零；2）以步1结束时建立单纯形表为原线性规划的初始单纯形表，求解原线性规划；通常认为，上述两方法相比较，手算时大M法比两阶段法简单，但在编制计算机程序时，由于大M法的赋值成了制约该方法的障碍（赋值太大，引起大误差，太小起不到惩罚作用）．若把大M法中的M视为参数，另在求解过程中把检验数向量分成两部分（且把M看成一个大数），先来考虑人工变元的影响，则大M法实际上已化为两阶段法了．[4]Khachyian多项式算法：该算法又称椭球算法，它是在原苏联学者肖尔关于非线性规划椭球算法基础上提出来的．Khachyian算法可求解线性不等式方程组：，其中是矩阵，和是列向量．没有任何非负约束，也不存在在任何限定的极大化或极小化目标函数，因此，首要的问题是把线性规划问题转换为等价的与（LP）有相同解的不等式方程组，两者都有相同的解．第一步迭代时，以原点为球心，取一个较大的正数为半径（把所有的可行点包括在内）得到一个超球面围成的可行域，选定的被违反的约束方程．超平面通过当前中心原点，与第一个约束的平面平行，割去初始的左半部分．新的椭球体积变小但包含了留下的右半椭球及可行域．重复迭代，直到椭球中心点收敛于可行域．[1][5]Karmarkar多项式算法：1984年Karmarkar提出了解LP问题的另一个由多项式时间的算法．从理论上讲，Karmarkar算法比Khachyian算法的阶有所降低，实算效果也较好．它的基本思想是：不沿可行域多面体（如单纯形法那样）搜索，而是直接穿过多面体每部的某个点开始（解）．Karmarkar算法每次迭代次数上界是 (nl)，这里l是问题的输入规模（问题转换成数码0，1的个数）：此外算法中变换了系数矩阵，运用矩阵计算技巧，使每步迭代（矩阵求逆）的计算是约为 ( )，从而使总算法时间复杂性为（）．此方法的完善与改进，极为人们所关注，且有许多新的方法派生：．投影方法；．仿射均衡尺度法；．路径跟踪法；．仿射均衡势函数方法等．[3]参考文献[1] 杨富贵,梁邦助.求线性规划初始基本可行解的一种直接方法[J],天津商学学报,2002(03):21-25.[2]吴振奎.运筹学[M].北京:中国人民大学出版社,2005:37-46.[3]于庆年,王晓辉.用预备表法寻找线性规划问题第一可行基[J],丹东师专学报,1995(03):8-10.[4]周誓达.线性规划问题求初始可行基一种新的解法[J],首都师范大学学报,1996(04):11-15.[5]曹细玉.求解线性规划问题的新方法及影子价格[J],华中师范大学学报,2000(01):4-8.[6]孟俊婷.求单纯形法中初始基本可行解的新方法-外点法[J],内蒙古科技与经济,2000(02):39-241.[7]肖蓬.求第一个可行基的一种不同的方法[J],福建师范大学学报,2002(02):20-23.[8]安中华,周树民,安琼.线性规划初始基本可行解的新算法[J],武汉理工大学学报,2004(07):72-74.[9]王章雄,陈耀辉.线性规划初始基可行解的一种直接算法[J],数学杂志,1996(02):217-222.[10]吴延东.求线性规划问题可行基的一种方法[J],运筹与管理,1999(01):41-45.[11]孙可钦.寻求线性规划初始可行基的一种新算法[J],云南师范大学学报,1999(04):17-20.[12]严文利.一类线性规划问题初始可行基产生的新方法[J],运筹与管理,2001(02):79-85.4。
单纯形法基本原理
工程优化设计中单纯形法的基本原理张云龙（大连海洋大学土木工程学院辽宁大连116023)摘要：从实例出发提出线性规划的数学模型，给出图解法的基本原理，进而重点讲述它的标准解法——单纯形法。
在此基础上进一步讨论单纯形法的推广，即大M法和两相法。
关键词：线性规划图解法单纯形法大M法THE BASIC PRINCIPLES OF SIMPLEX METHOD TO THE ENGINEERING OPTIMIZE DESIGNZHANG Yun-long(Dalian Ocean University, College of Civil Engineering, Liaoning, Dalian 16023)Abstract: From the instance of the starting linear programming mathematical model of the basic principles of the graphic method, and then focus on the standard solution - simplex method. To promote further discussion on this basis, the simplex method, that is, the big M method and two-phase method.Key Words: Linear programming；Graphic method；Simplex Method; Big M Method1引言在工程优化设计问题中，当约束集由一组线性函数所确定时，其最优化问题的求解已有比较系统的技巧。
如果连目标函数也是线性的，也即线性规划问题，则是目前对规划问题研究最透彻最完善的一类问题，而且有比较成熟的解法。
线性规划在工程实例中的应用已相当广泛。
虽然大多数设计问题是非线性的，但对线性规划的研究仍然占据突出地位。
近年来求线性规划初始可行基的一些方法
近年来求线性规划初始可行基的一些方法摘要：本文通过近年来对求线性规划初始可行基的一些常规方法和的主要研究成果，进行归纳、简介和总结，并加以类比以及分析，给出各种方法的优势与不足．以便读者在解决具体问题时，根据所探讨问题的实际情况，找出相应的方法，以使达到方便解决所研究的问题．关键词：线性规划；初始可行基；单纯形法；解法1.近年来求线性规划初始可行基的一些方法[1]外点法：外点法的基本原理：外点法具体作法是在可行域L的外部先选出一个点，一般选原点，然后按照一定的准则在可行域的外部进行迭代，每次迭代得到一个新外点，该点更靠近可行域的某个顶点，如此继续，直到在某一时刻达到可行域的某个顶点即单纯形法中的初始基本可行解为止．外点法步骤：1)写出约束条件中的线性方程组的增广矩阵形式；2)找出系数矩阵中形成单位矩阵的子矩阵的列向量所对应的变量为基变量，其余变量为非基变量得初始点，若中无单位矩阵的子矩阵，则取原点为初始点；3)设外点处无基变量的行指标集为G，非基变量的下标集为H，若，停止运算，否则转；4)求，再求以为主元素进行旋转运算得到新矩阵，相应得到新外点，若与在同一行即相同，则，数量不变，但距离变小了，否则比多一个基变量，，的数目也相应减少，如此继续，直到运算结束，此时即为所求的初始基本可行解[5]．[2]最小比值旋转迭代法：最小比值旋转迭代法的基本原理：利用最小比值规则在全局范围内（不包括基变量所在行）选取主元．最小比值旋转迭代法的计算步骤：1）建立的初始旋转迭代表；2）在表中若存在一行，对于所有的有且或者所有的j均有但另有，则问题无可行解，停止计算；3）考察所有正数项，利用最小比值规则，确定主元素．以为主元作旋转迭代的运算；4）如果还没有得到一个可行基，则考察下方出现的基变量所在行以外的所有数，转入2）：如果得到一个可行基，则以下按单纯形法计算检验数，并求最优解[4]．[3]初等变换法：初等变换法的基本原理：找出个基变量的方法是：对线性方程组的增广矩阵做行初等变换．在座行初等变换的过程中，由于每一步要求常数项皆为非负，因而对行的初等变换有所限制，这是问题的关键．初等变换法算法：1)在增广矩阵中，用所有变量的正系数分别去除所在行的常系数，比值最小值的除数作为主元，并用方框框上；2)对单纯形矩阵作行初等变换：以主元所在行作为基准行，先将主元化为1，再将主元所在列其余主元化为0．于是把主元为系数的变量作基变量；3)在新的增广矩阵中，去掉主元所在列，用所有变量的正系数分别去除所在行的常数项，若比值最小者的除数与原主元不在同一行，则比值最小者的除数作为新主元，也用方框框上，并重复2的算法，把以新主元为系数的变量也选作基变量：若比值最小值的除数于主元在同一行，则去掉比值最小者的除数所在列，继续运用上述做法寻求新主元．重复上述步骤，如果找出位于不同行的个主元，则得到由个相应基变量构成的初始可行变量构成的初始可行基，则不存在初始可行解：如果找不到位于不同行的个主元，即得不到个基变量，则不存在初始可行基，说明线性规划问题无初始可行解．[3]—[16][4]预备表法：预备表法的基本原理：第一部分是对预备表实施行初等变换球第一个可行基，第二部分是在第一张单纯形表上运用单纯形法求最优解．预备表法算法：1）以增广矩阵为基础建立“第1张预备表”．2）在预备表上实施行次初等变换，直到得到（LP）.的第一个可行基． 3）在第张预备表基础上计算非基变量的检验数，做出单纯形表，然后再按照一定的方法求最优解[2]．[5]广义单纯形法:广义单纯形法的基本原理：从所有列(不包括基变量所在列)作和结果中从左至右选取第一个非负元素为主元．广义单纯形法的步骤：1）建立初始表，此时列是空的;2）若对于所有的，则转4）：否则转3）．如果存在一些k使得，那么将是一个基变量;3)根据规则确定主元像单纯形的迭代一样对本表迭代一次，返回2）;4）若，此时无可行解，停止运算：若，那么，此时表中将包含个线性无关单位列向量，我们已经获得一个初始可行解，这时，在列对应位置上填写．在这张表中计算，，并将替换为；5）若所有的，得到最优解：否则，若存在，以下按单纯性法计算．[6]—[8]2.对以上方法进行比较以上介绍的五种常用的方法，它们的共同特点是，不需要引入人工变量，并且各有其特色。
运筹学 单纯形法的迭代原理讲解
运筹学单纯形法的迭代原理讲解
单纯形法是一种用于解决线性规划问题的常用方法，其基本思想是通过迭代的方式逐步接近最优解。
下面是单纯形法的迭代原理的讲解：
1. 初始解的选择：首先需要选择一个初始解，通常选择的方法是构造一个基可行解，即使所有的约束条件都满足的解。
2. 判断最优性：在每一次迭代中，需要判断当前解是否为最优解。
首先，计算当前解对应的目标函数值。
然后，检查是否存在非基变量的系数大于等于0（对于最小化问题）或者小于等于0（对于最大化问题），如果存在这样的非基变量，则当前解不是最优解；如果不存在这样的非基变量，则当前解是最优解。
3. 生成新解：如果当前解不是最优解，则需要生成新的解。
首先，选择一个非基变量，使得目标函数的值可以通过增加（对于最小化问题）或减少（对于最大化问题）该变量的值来改善。
然后，需要计算这个非基变量能够增加或减少的最大量，称为变量的进步长度。
最后，通过调整基变量的值来生成新的解。
4. 更新目标函数和约束条件：在生成新解之后，需要更新目标函数和约束条件，以便于下一次迭代。
具体操作包括计算新解对应的目标函数值，计算新解对应的约束条件的值，调整目标函数和约束条件的系数。
5. 重复迭代：根据判断最优性的结果，进行下一次迭代。
如果当前解是最优解，
则算法结束；否则，继续进行下一次迭代。
通过不断重复这一迭代过程，直到找到最优解或者确定问题无解为止。
单纯形法的迭代过程一般会在有限次数内结束，并且能够得到最优解。
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在线性规划中，无初始可行基和有初始可行基是单纯形法的两种不同情况下的解法。
1. 无初始可行基的单纯形解法：
无初始可行基意味着初始解不满足约束条件，此时需要通过人工构造一个初始可行基，并将其转化为标准型。
具体步骤如下：- 添加人工变量：为每个约束条件添加一个人工变量，并将问题转化为最小化问题，使其成为线性规划问题的标准型。
- 人工变量的目标函数：将人工变量的系数设为1，并将其加入目标函数中。
- 单纯形法求解：使用单纯形法求解标准型线性规划问题，直到目标函数无法再继续优化为止。
- 最终结果判断：如果最终的目标函数值为0，说明找到了一个可行解。
否则，说明原问题无可行解。
2. 有初始可行基的单纯形解法：
有初始可行基意味着初始解已经满足约束条件，因此可以直接使用单纯形法进行求解。
具体步骤如下：
- 将问题转化为标准型：如果问题不是标准型的，需要先将其转化为标准型。
- 单纯形法求解：选择一个初始可行基，通过迭代计算找到最优解。
在每一步中，根据目标函数和约束条件，计算入基变量和出基变
量，再进行迭代计算，直到达到最优解。
- 最终结果判断：如果计算结果满足约束条件，并且无法再继续优化目标函数，那么找到了最优解。
否则，问题可能是无界的或无可行解的。
无初始可行基和有初始可行基的单纯形解法都是线性规划中常用的优化算法。
选择使用哪种方法取决于初始解是否满足约束条件。