线性规划基础
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第六章线性规划基础
12x1 3x2 4
s.t.
2 x1 3x1
3x2 15x2
2 36
x1 x2 1
x1 0, x2 0 max z' 3x1 2x2
12x1 3x2 x3
4
s.t.
2 x1 3x1
3x2 15x2
x4
2
x5 5
x1
x2
1
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
x1 +2x2≤ 8
s.t.
x2≤ 3
x1≥0, x2 ≥0
线性规划的数学表达
即求一组变量x1 , x2 ,…, xn ,在满足约束条件： a11x1 + a12x2 + … +a1nxn≤b1 a21x1 + a22x2 + … +a2nxn≤b2 ……
am1x1 + am2x2 + … +amnxn≤bm x1 , x2 , … , xn ≥0 的情况下，使目标函数：
XB所含 分量个
数恰为 阶数m， XN含nm个0分 量
线性规划解的性质
• 性质1：LP问题的可行域R为一凸集 • 性质2：LP问题的一个基本可行解与可行域R的一
个极点互相对应 • 性质3：线性规划的基本定理：对于任何一个给定
的标准形LP问题M来说，若M有可行解，则必有基 本可行解；如M有最优解，则必有最优基本可行解。 • 性质4：若LP问题的可行域R≠Ф，则R至少有一极 点 • 性质5：LP问题可行域R的极点数量必为有限多个
基本解
可行解 基本可行解
约束矩阵A中
基的数目最多 为Cnm，因而 基本解的个数
最多也只能有 Cnm个，所以 基本可行解的
运 筹 学 课 件
12/3 4
z
1 2
x4
x5 42
x3
2 3
x4
1 3
x5
4
新典式
主元化 为1，主 元所在
x2
1 2
x4
6
列的其 余元素
x1
2 3
x4
1 3
x5
4
化为0
观察最后一个典式，所有检验数均为非负， 故其对应的基本可行解为最优解，即
X * 4,6,6,0,0T z* 42
去掉引入变量，得原问题的最优解为：
运筹学课件
目录
运筹学概论 第一章 线性规划基础 第二章 单纯形法 第三章 LP对偶理论 第四章 灵敏度分析 第五章 运输问题 第六章 整数规划 第七章 动态规划 第八章 网络分析
第二章 单纯形法
(SM-Simplex Method)
1947年，美国运筹学家Dantzig提出，原理是 代数迭代。
单纯形法中的单纯形的这个术语，与该方法毫 无关系，它源于求解方法的早期阶段所研究的一 个特殊问题，并延用下来。
CB B1b B1b
z
CB B1N CN X N X B B1NX N
CB B1b B1b
上述方程组的矩阵形式为
10
0 I
CB
B1N B1N
CN
z XB XN
CB B1b B1b
上式的系数增广阵称为对应于基B的单纯形表：
T(B)
CB B1b B1b
0 I
CB
B1N B1N
CN
形式的LP问题，必须解决三个问题： ⑴初始基本可行解的确定； ⑵解的最优性检验； ⑶基本可行解的转移规则。 这里先放一下⑴，研究⑵和⑶，为此，
线性规划基础
➢2.线性规划的图解法
12
线性规划问题的图解法
例题中的线性规划模型只有两个变量，可以采用 图解法求解。
根据约束条件，在二维平面上画出两个变量可行 区域。
判断目标函数在何处达到最优值，找到最优解。 求解步骤：
第一步，得到可行域。 第二步，在可行域中找到使目标函数最优的点。
13
图解法要点1—约束
线性规划基础
北京大学光华管理学院 蓝 颖杰
ylan@
1
内容摘要 ➢1.线性规划的概念 ➢2.线性规划的图解法 ➢3.线性规划的标准型 ➢4.线性规划的基本解 ➢5 .线性规划的单纯形法
2
➢1.线性规划的概念
3
线性规划的概念
线性规划－Linear Programming， 简称为LP
0.8x3 400 x3 250
x1 0,x2 0
5
线性规划的特点
线性规划是目前应用得最为广泛最为成 功的运筹学模型
由于线性函数的特殊性，线性规划问题 是大规模的运筹学问题中相对而言最容 易得到最优解的模型。
有些更复杂的模型可能借助线性规划求 解，或简化为线性规划模型。
6
线性函数的性质
线性函数：z=ax，x为自变量，a为参数。 当a>0时，z随着x的增加而增加。
当a>0时， 若没有约束条件，max z=ax 是不存在的，趋向于无穷大。
所以现实问题的模型应包括对自变量取 值的限制。
7
例1.1：生产问题
例题 1.1：某企业可以生产产品A和B。所需机 器、人工、资源总量及产品售价由下表给出。
X2
20
800X1+300X2=4500
101X0X1+1+5X5X2<2==110000
运筹学基础-线性规划(方法)
问题描述
线性规划问题通常由三个基本部分组成，即决策变量、约束条件 和目标函数。决策变量是问题中需要求解的未知数，约束条件是 限制决策变量取值的条件，目标函数是要求最大或最小的函数。
线性规划的应用领域
01
02
03
04
生产计划
在制造业中，线性规划可以用 于制定最优的生产计划，以最 大化利润或最小化成本。
02
线性规划的基本概念
线性方程组
线性方程组是由多个线性方程组成的数学模型，描 述了多个变量之间的线性关系。
线性方程组可以用矩阵和向量表示，通过矩阵运算 和代数方法求解。
线性方程组有多种解法，如高斯消元法、LU分解、 迭代法等。
约束条件与目标函数
02
01
03
约束条件是限制变量取值的条件，通常表示为变量的 上界、下界或等式约束。
目标函数是描述问题目标的数学表达式，通常是最小 化或最大化的线性或非线性函数。
约束条件和目标函数共同构成了线性规划问题的数学 模型。
线性规划的解
线性规划的解是指满足 所有约束条件并使目标 函数取得最优值的变量 取值。
线性规划问题可能有多 个解，也可能无解或无 界解。
最优解的性质包括最优 性、可行性和唯一性。
最优解可以通过求解线 性方程组或使用专门的 优化软件获得。
03
线性规划的求解方法
单纯形法
01
基本概念
单纯形法是一种求解线性规划问题的迭代算法，通过 不断迭代寻找最优解。
02 1. 初始化 选择一个初始可行解，并确定初始基可行解。
03
2. 迭代
根据目标函数系数和约束条件系数，计算出单纯形表 格，然后进行迭代更新。
运筹学基础-线性规划(方法)
线性规划问题通常由三个基本部分组成，即决策变量、约束条件 和目标函数。决策变量是问题中需要求解的未知数，约束条件是 限制决策变量取值的条件，目标函数是要求最大或最小的函数。
线性规划的应用领域
01
02
03
04
生产计划
在制造业中，线性规划可以用 于制定最优的生产计划，以最 大化利润或最小化成本。
02
线性规划的基本概念
线性方程组
线性方程组是由多个线性方程组成的数学模型，描 述了多个变量之间的线性关系。
线性方程组可以用矩阵和向量表示，通过矩阵运算 和代数方法求解。
线性方程组有多种解法，如高斯消元法、LU分解、 迭代法等。
约束条件与目标函数
02
01
03
约束条件是限制变量取值的条件，通常表示为变量的 上界、下界或等式约束。
目标函数是描述问题目标的数学表达式，通常是最小 化或最大化的线性或非线性函数。
约束条件和目标函数共同构成了线性规划问题的数学 模型。
线性规划的解
线性规划的解是指满足 所有约束条件并使目标 函数取得最优值的变量 取值。
线性规划问题可能有多 个解，也可能无解或无 界解。
最优解的性质包括最优 性、可行性和唯一性。
最优解可以通过求解线 性方程组或使用专门的 优化软件获得。
03
线性规划的求解方法
单纯形法
01
基本概念
单纯形法是一种求解线性规划问题的迭代算法，通过 不断迭代寻找最优解。
02 1. 初始化 选择一个初始可行解，并确定初始基可行解。
03
2. 迭代
根据目标函数系数和约束条件系数，计算出单纯形表 格，然后进行迭代更新。
运筹学基础-线性规划(方法)
数学建模基础知识 线性规划-单纯形方法
量Pm+k≤0,则原问题无最优解。（无界解的情况）
线性规划为求最小化的标准型时，相应的结 果？
单纯形表：
T（B）= B-1b
B-1A
CB B-1b C-CB B-1A = B-1b I B-1N
CB B-1b 0 CN - CB B-1N
注意： A=（B，N）
检验数σ=C - CB B-1A= （0， CN - CB B-1N ）
3.若存在检验数大于零，且对应的系数 列有大于零的分量，则需要换基迭代。
三.换基迭代
1.确定换入变量Xk，其中 max(σj> 0)= σk, xk为换入变量 j=1,2,…,m
x4 = 16- 4x1
(I)
x5 = 12 - 4x2
S = 0+ 2x1 +3x2
令非基变量 （ x1 , x2）T=（0，0） T 得基础可行解： x(1)=(0,0,8,16,12) T S1=0 经济含义：不生产产品甲乙，利润为零。
二、已知初始可行基求最优解
线性规划标准型的矩阵形式(3)：
c1 … x1 … 1… 0… 0… 0…
0…
cm cm+1 … xm xm+1 … 0 a1,m+1 … 0 a2,m+1 … 0…… 1 am,m+1 …
0 cm+1 -∑ciai,m+1…
cn
xn
θi
a1,n
θ1
a2,n
θ2
……
am,n
θn
cn -∑ciai,n
m
j c j ciaij , j m 1,, n i 1
非基变量检验数σ= CN - CB B-1N
m
线性规划为求最小化的标准型时，相应的结 果？
单纯形表：
T（B）= B-1b
B-1A
CB B-1b C-CB B-1A = B-1b I B-1N
CB B-1b 0 CN - CB B-1N
注意： A=（B，N）
检验数σ=C - CB B-1A= （0， CN - CB B-1N ）
3.若存在检验数大于零，且对应的系数 列有大于零的分量，则需要换基迭代。
三.换基迭代
1.确定换入变量Xk，其中 max(σj> 0)= σk, xk为换入变量 j=1,2,…,m
x4 = 16- 4x1
(I)
x5 = 12 - 4x2
S = 0+ 2x1 +3x2
令非基变量 （ x1 , x2）T=（0，0） T 得基础可行解： x(1)=(0,0,8,16,12) T S1=0 经济含义：不生产产品甲乙，利润为零。
二、已知初始可行基求最优解
线性规划标准型的矩阵形式(3)：
c1 … x1 … 1… 0… 0… 0…
0…
cm cm+1 … xm xm+1 … 0 a1,m+1 … 0 a2,m+1 … 0…… 1 am,m+1 …
0 cm+1 -∑ciai,m+1…
cn
xn
θi
a1,n
θ1
a2,n
θ2
……
am,n
θn
cn -∑ciai,n
m
j c j ciaij , j m 1,, n i 1
非基变量检验数σ= CN - CB B-1N
m
线性规划基础
知识详解1.线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x，y的约束条件，这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x，y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．2.用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解3.解线性规划实际问题的步骤：（1）列出约束条件与目标函数；（2）根据求最值方法：①画：画可行域；②移：移与目标函数一致的平行直线；③求：求最值点坐标；④答；求最值；（3）验证.4. 主要的目标函数的几何意义:（1）-----直线的截距；（2）-----两点的距离或圆的半径；（3）-----直线的斜率一．二元一次不等式(组)表示的平面区域例1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2<0表示的平面区域是( )例2. (2020·汉中质检)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －y －1≥0，y ≥0所表示的平面区域的面积等于________．二.目标函数形如z=ax+by 型：例1（2008.全国Ⅱ）设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩，，．≥≤≥，则y x z 3-=的最小值是（ ）A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-解：画出可行域（如图1），由y x z 3-=可得331z x y -=，所以3z -表示直线331zx y -=的纵截距，由图可知当直线过点A （-2，2）时，z 的最小值是-8，选D.三.目标函数形如ax by z --=型：：画出可行域（如图2），yx表示可行域内的点（x,y=6，KOC =59，所以6≤，选A.1.已知变量满足约束条件，则的最大值为( )2. (2012年高考·辽宁卷 理8)设变量满足，则的最大值为4. A.⎣⎡C ．6A ．C ．7. 8如果点P 在平面区域⎪⎩⎨≥-≤-+01202y y x 上,点O 在曲线的那么上||,1)2(22PQ y x=++最小值为____9.设,x y 满足约束条件3602000x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，若目标函数,(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为6，则46a b +的最小值为_______、10.某糖果厂生产A 、B 两种糖果，A 种糖果每箱获利润40元，B 种糖果每箱获利润50元，其生产过程分为混,x y 241y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩3z x y =+()A 12()B 11()C 3()D -1,x y -100+20015x y x y y ≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩2+3x y合、烹调、包装三道工序，下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间（单位：分钟）每种糖果的生产过程中，混合的设备至多能用12机器小时，烹调的设备至多只能用机器30机器小时，包装的设备只能用机器15机器小时，试用每种糖果各生产多少箱可获得最大利润．11.某工厂利用两种燃料生产三种不同的产品A、B、C，每消耗一吨燃料与产品A、B、C有下列关系：现知每吨燃料甲与燃料乙的价格之比为3:2，现需要三种产品A、B、C各50吨、63吨、65吨．问如何使用两种燃料，才能使该厂成本最低？。
1-线性规划基本概念
n
aij x j y j = bi
=
yi 0是非负的松驰变量
若约束条件是“”不等式
n
aij x j z j = bi
=
zi 0是非负的松驰变量
3.若约束条件右面的某一常数项 bi<0; 这时只要在bi相对应的约束方程两边乘
上-1。
4.若变量 xj无非负限制
引进两个非负变量xj xj 0 令xj= xj- xj（可正可负）
x2=生产椅子的数量 2．确定目标函数：家具厂的目标是销售收入最大
max z=50x1+30x2 3．确定约束条件：
4x1+3x2120（木工工时限制） 2x1+x2 50 （油漆工工时限制） 4．变量取值限制： 一般情况，决策变量只取正值（非负值） x1 0, x2 0
数学模型
max z=50x1+30x2
桌子售价50元/个，椅子销售价格30元/个， 生产桌子和椅子要求需要木工和油漆工两种 工种。生产一个桌子需要木工4小时，油漆工 2小时。生产一个椅子需要木工3小时，油漆 工1小时。该厂每个月可用木工工时为120小 时，油漆工工时为50小时。问该厂如何组织 生产才能使每月的销售收入最大？
解：将一个实际问题转化为线性规划模型有以下几 个步骤： 1．确定决策变量：x1=生产桌子的数量
•确定性假定：线性规划问题中的所有参数都是确定 的参数。线性规划问题不包含随机因素。
练习
某公司通过市场调研，决定生产高中档新型拉杆箱。某分 销商决定买进该公司3个月内的全部产品。拉杆箱生产需经过 原材料剪裁、缝合、定型、检验和包装4过程。
通过分析生产过程，得出：生产中档拉杆箱需要用7/10小 时剪裁、5/10小时缝合、1小时定型、1/10小时检验包装；生产 高档拉杆箱则需用1小时剪裁、5/6小时缝合、2/3小时定型、 1/4小时检验包装。由于公司生产能力有限，3月内各部的最大 生产时间为剪裁部630小时、缝合部600小时、定型部708小时、 检验包装部135小时。
aij x j y j = bi
=
yi 0是非负的松驰变量
若约束条件是“”不等式
n
aij x j z j = bi
=
zi 0是非负的松驰变量
3.若约束条件右面的某一常数项 bi<0; 这时只要在bi相对应的约束方程两边乘
上-1。
4.若变量 xj无非负限制
引进两个非负变量xj xj 0 令xj= xj- xj（可正可负）
x2=生产椅子的数量 2．确定目标函数：家具厂的目标是销售收入最大
max z=50x1+30x2 3．确定约束条件：
4x1+3x2120（木工工时限制） 2x1+x2 50 （油漆工工时限制） 4．变量取值限制： 一般情况，决策变量只取正值（非负值） x1 0, x2 0
数学模型
max z=50x1+30x2
桌子售价50元/个，椅子销售价格30元/个， 生产桌子和椅子要求需要木工和油漆工两种 工种。生产一个桌子需要木工4小时，油漆工 2小时。生产一个椅子需要木工3小时，油漆 工1小时。该厂每个月可用木工工时为120小 时，油漆工工时为50小时。问该厂如何组织 生产才能使每月的销售收入最大？
解：将一个实际问题转化为线性规划模型有以下几 个步骤： 1．确定决策变量：x1=生产桌子的数量
•确定性假定：线性规划问题中的所有参数都是确定 的参数。线性规划问题不包含随机因素。
练习
某公司通过市场调研，决定生产高中档新型拉杆箱。某分 销商决定买进该公司3个月内的全部产品。拉杆箱生产需经过 原材料剪裁、缝合、定型、检验和包装4过程。
通过分析生产过程，得出：生产中档拉杆箱需要用7/10小 时剪裁、5/10小时缝合、1小时定型、1/10小时检验包装；生产 高档拉杆箱则需用1小时剪裁、5/6小时缝合、2/3小时定型、 1/4小时检验包装。由于公司生产能力有限，3月内各部的最大 生产时间为剪裁部630小时、缝合部600小时、定型部708小时、 检验包装部135小时。
线性规划基础
x3
x4
x5
x6
1
x6
a
3
0
-14/3
0
1
1
0
x2
5
6
d
2
0
5/2
0
28
x4
0
0
e
f
1
0
0
Cj-Zj
b
c
0
0
-1
g
6．用单纯形法求解下列线性规划。
（1）min Z =-5x1-4x2（2）max Z =5x1+2x2+3x3-x4+x5
x1+2x2≤6 x1+2x2+2x3+x4=8
2x1-x2≤4 3x1+ 4x2+x3+x5=7
2．建立模型并求解。
（1）、某厂生产甲、乙、丙三种产品，已知有关数据如下表所示：
消耗产品
原料
甲
乙
丙
原料量
A
6
3
5
45
B
3
4
5
30
单件利润
4
1
5
求使该厂获利最大的生产计划。
（2）、从M1、M2、M3三种矿石中提炼A、B两种金属。已知每吨矿石中金属A、B的含量和各种矿石的价格如下表所示：
金属品种
矿石中金属含量（克/吨）
3．线性规划一般模型中的变量不一定是非负的。
4．用图解法求最优解时，只需求出可行域顶点对应的目标值，通过比较大小，就能找
出最优解。
5．一般情况下，松弛变量和多余变量的目标函数系数为零。
二．简答题
1．简述线性规划问题数学模型的组成部分及其特征。
2．简述建立线性规划问题数学模型的步骤。
x4
x5
x6
1
x6
a
3
0
-14/3
0
1
1
0
x2
5
6
d
2
0
5/2
0
28
x4
0
0
e
f
1
0
0
Cj-Zj
b
c
0
0
-1
g
6．用单纯形法求解下列线性规划。
（1）min Z =-5x1-4x2（2）max Z =5x1+2x2+3x3-x4+x5
x1+2x2≤6 x1+2x2+2x3+x4=8
2x1-x2≤4 3x1+ 4x2+x3+x5=7
2．建立模型并求解。
（1）、某厂生产甲、乙、丙三种产品，已知有关数据如下表所示：
消耗产品
原料
甲
乙
丙
原料量
A
6
3
5
45
B
3
4
5
30
单件利润
4
1
5
求使该厂获利最大的生产计划。
（2）、从M1、M2、M3三种矿石中提炼A、B两种金属。已知每吨矿石中金属A、B的含量和各种矿石的价格如下表所示：
金属品种
矿石中金属含量（克/吨）
3．线性规划一般模型中的变量不一定是非负的。
4．用图解法求最优解时，只需求出可行域顶点对应的目标值，通过比较大小，就能找
出最优解。
5．一般情况下，松弛变量和多余变量的目标函数系数为零。
二．简答题
1．简述线性规划问题数学模型的组成部分及其特征。
2．简述建立线性规划问题数学模型的步骤。
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3x1+4x2≤9 x1+x2≤5
5x1+2x2≤8 2x1+3x2≥6
x1，x2≥0 -x1+x2≤3
x1，x2≥0
（3）max Z = x1+2x2（4）min Z = x1+3x2
-x1+2x2≤4 x1+x2≤1
x1，x2≥0 x1+2x2≥4
x2≥0
4．给定线性规划问题
max Z =2x1+3x2
三．简答题
1．针对不同形式的约束（≥，=，≤）简述初始基本可行解的选取方法。
2．简述如何在单纯型表上判别问题是否具有唯一解、无穷多解、无界解或无可行解。
3．简述若标准型变为求目标函数最小，则用单纯形法计算时，如何判别问题已取得最优解。
四、解答题
1．找出下列线性规划问题的一组可行解和基本可行解。
（1）max Z = 40x1+45x2+24x3（2）min Z =x1-2x2+x3-3x4
1
0
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
0
x3
8
0
a12
1
2
0
1
x1
2
1
a22
0
1
0
0
x5
9
0
a32
0
3
1
Zj
1
Z2
0
1
0
Cj-Zj
0
C2-Z2
0
-1
0
5．求出单纯形表中未知数的值，并判断解是否最优解。
（1）、目标函数为max Z =5x1+3x2，约束形式为“≤”，且x3,x4为松弛变量，表中的解代入目标函数中得Z=10，求出a~g的值。
Cj
5
3
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
0
x3
2
c
0
1
1/5
5
x1
a
d
e
0
1
Cj-Zj
b
-1
f
g
（2）、目标函数为max Z =28x4+x5+2x6，约束形式为“≤”，且x1，x2，x3为松弛变量，
表中的解代入目标函数中得Z=14，求出a~g的值，并判断是否最优解。
Cj
0
0
0
28
1
2
CB
XB
b
x1
x2
时间消耗
前道过程
后道过程
A
2
3
B
3
4
可利用时间
16
24
在不增加任何费用的情况下，每生产一个单位的B会产生2单位的副产品C；C可以出售赢利，其余只能加以销毁。出售每单位A能赢利4元，每单位B能赢利10元，每单位C赢利3元，若卖不出，每单位C的销毁费用是2元，预测表明，最多可以出售5个单位的副产品C。要求确定使总利润达到最大的A和B的产量，建立线性规划模型。
机车类型
机车台数
日产1号零件（千件/台）
日产2号零件（千件/台）
1
30
15
20
2
10
30
55
（3）、某化工厂生产宽度为60个单位长的标准玻璃纸，现需将这种玻璃纸截成宽度分别为28、20和15个单位长的三种规格的产品。已知它们的市场需求分别为30、60和80卷，问应以怎样的方法裁剪，可使消耗的标准玻璃纸最少而又能满足市场需要。
3x1+3x2+x3=3 3x1+4x2≥1.5
xj≥0 j=1，2，3 xj≥0 j=1，2
2．给定线性规划问题，判断下列向量是否能作为可行解。
min Z =4x1+5x2-2x3
x1+x2+x3=1
2x1+3x2=1
xj≥0 j=1，2，3
(1). X=(2,-1,0) (2). X=(0,1/3,2/3) (3). X=(1/2,0,1/2) (4). X=(5,-3,-1)
2．将下列线性规划模型化为标准型。
（1）min Z =2x1+x2-2x3（2）max Z=2x1+x2+3x3+x4
-x1+x2+x3=4 x1+ x2+ x3+ x4≤7
-x1+x2-x3≤6 2x1-3x2+5x3=-8
x1≤0，x2≥0, x3无约束x1-2x3+2x4≥1
x1，x3≥0，x2≤0，x4无约束
A1
A2
资
源
i
资源1
9
4
3600
资源2
4
5
2000
资源3
3
10
3000
利润Cj
70
120
（2）、某厂车间有B1、B2两个工段，可生产A1、A2和A3三种产品。各工段开工一天的产量和成本以及合同对三种产品的最低需求量由下表给出。建立求使成本最低并能满足需求的开工计划的模型。
生产定额（吨/天）
工段Bj
合同每周最低需
第一章线性规划基础
一．判断正误
1．线性规划问题的一般模型中不能出现等式约束。
2．在线性规划模型的标准型中,bj（j=1，2，…m）一定是非负的。
3．线性规划一般模型中的变量不一定是非负的。
4．用图解法求最优解时，只需求出可行域顶点对应的目标值，通过比较大小，就能找
出最优解。
5．一般情况下，松弛变量和多余变量的目标函数系数为零。
M1
M2
M3
A
300
200
60
B
200
240
320
矿石价格（元/吨）
60
48
56
如需金属A为48千克，B为56千克，问用各种矿石多少吨，可使总的费用最少。
第四章对偶问题及对偶单纯形法
一．填空：
1．对偶单纯形法与单纯形法的主要区别是每次迭代的基变量都满足最优检验但不完全满足约束。
二．简答题
1．简述本章范围内线性规划所能解决的实际问题的类型及建模方法。
三．解答题
1．建立下列应用问题的线性规划模型
（1）、某饲养厂饲养动物出售，设每头动物每天至少需700克蛋白质、30克矿物质和100毫克维生素，现有三种饲料可供选择，各饲料每公斤的营养成分和单价如下Hale Waihona Puke 所示：饲料蛋白质（克）
矿物质（克）
x3
x4
x5
x6
1
x6
a
3
0
-14/3
0
1
1
0
x2
5
6
d
2
0
5/2
0
28
x4
0
0
e
f
1
0
0
Cj-Zj
b
c
0
0
-1
g
6．用单纯形法求解下列线性规划。
（1）min Z =-5x1-4x2（2）max Z =5x1+2x2+3x3-x4+x5
x1+2x2≤6 x1+2x2+2x3+x4=8
2x1-x2≤4 3x1+ 4x2+x3+x5=7
5x1+3x2≤15 xj≥0，i=1，2，…5
x1，x2≥0
（3）min Z =3x1-x2（4）max Z =3x1+5x2
-x1+3x2≤3 x1≤4
-2x1-3x2≤6 2x2≤12
2x1+x2≤2 3x1+2x2≤18
x1，x2无约束x1，x2≥0
7．分别用大法和两阶段法求解下列线性规划。
求量（吨）
B1
B2
产
品
Ai
A1
1
1
5
A2
3
1
9
A3
1
3
9
成本（元/天）
1000
2000
（3）、假定市场上有i种食品，单位售价是ci，有m种营养成分。为达到营养平衡，每人每天必须摄取不少于bj个单位的第j种营养成分。第i种食品的每个单位含有aij个单位的第j种营养，建立确定最佳饮食水平的模型（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）。
二．简答题
1．简述线性规划问题数学模型的组成部分及其特征。
2．简述建立线性规划问题数学模型的步骤。
3．简述化一般线性规划模型为标准型的方法。
三．解答题
1．判断下列模型是否为线性规划模型（其中a，b，c均为常数）
（1）min Z = cjxj（2）max Z = cjxj
aijxj≤bi aijxj≤bi
（3）min Z =3x1-4x2+2x3-5x4
4x1-x2+2x3-x4≥2
x1+x2+3x3+4x4≤20 x1≤0，x2≥0，x3≥0，x4无约束
（4）max Z= cijxij
xij≤ai
xij= bjxij≥0,（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）
3．用图解法解下列线性规划问题。
（1）max Z =10x1+5x2（2）min Z =-x1+2x2
（4）、某工厂生产A、B两种产品，已知生产A每公斤要用煤9吨、电4度、劳动力3个；生产B每公斤要用煤4吨、电5度、劳动力10个。又知每公斤A、B的利润分别为7万元和12万元。现在该工厂只有煤360吨、电200度、劳动力300个。问在这种情况下，各生产A、B多少公斤，才能获最大利润，请建立模型。
5x1+2x2≤8 2x1+3x2≥6
x1，x2≥0 -x1+x2≤3
x1，x2≥0
（3）max Z = x1+2x2（4）min Z = x1+3x2
-x1+2x2≤4 x1+x2≤1
x1，x2≥0 x1+2x2≥4
x2≥0
4．给定线性规划问题
max Z =2x1+3x2
三．简答题
1．针对不同形式的约束（≥，=，≤）简述初始基本可行解的选取方法。
2．简述如何在单纯型表上判别问题是否具有唯一解、无穷多解、无界解或无可行解。
3．简述若标准型变为求目标函数最小，则用单纯形法计算时，如何判别问题已取得最优解。
四、解答题
1．找出下列线性规划问题的一组可行解和基本可行解。
（1）max Z = 40x1+45x2+24x3（2）min Z =x1-2x2+x3-3x4
1
0
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
0
x3
8
0
a12
1
2
0
1
x1
2
1
a22
0
1
0
0
x5
9
0
a32
0
3
1
Zj
1
Z2
0
1
0
Cj-Zj
0
C2-Z2
0
-1
0
5．求出单纯形表中未知数的值，并判断解是否最优解。
（1）、目标函数为max Z =5x1+3x2，约束形式为“≤”，且x3,x4为松弛变量，表中的解代入目标函数中得Z=10，求出a~g的值。
Cj
5
3
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
0
x3
2
c
0
1
1/5
5
x1
a
d
e
0
1
Cj-Zj
b
-1
f
g
（2）、目标函数为max Z =28x4+x5+2x6，约束形式为“≤”，且x1，x2，x3为松弛变量，
表中的解代入目标函数中得Z=14，求出a~g的值，并判断是否最优解。
Cj
0
0
0
28
1
2
CB
XB
b
x1
x2
时间消耗
前道过程
后道过程
A
2
3
B
3
4
可利用时间
16
24
在不增加任何费用的情况下，每生产一个单位的B会产生2单位的副产品C；C可以出售赢利，其余只能加以销毁。出售每单位A能赢利4元，每单位B能赢利10元，每单位C赢利3元，若卖不出，每单位C的销毁费用是2元，预测表明，最多可以出售5个单位的副产品C。要求确定使总利润达到最大的A和B的产量，建立线性规划模型。
机车类型
机车台数
日产1号零件（千件/台）
日产2号零件（千件/台）
1
30
15
20
2
10
30
55
（3）、某化工厂生产宽度为60个单位长的标准玻璃纸，现需将这种玻璃纸截成宽度分别为28、20和15个单位长的三种规格的产品。已知它们的市场需求分别为30、60和80卷，问应以怎样的方法裁剪，可使消耗的标准玻璃纸最少而又能满足市场需要。
3x1+3x2+x3=3 3x1+4x2≥1.5
xj≥0 j=1，2，3 xj≥0 j=1，2
2．给定线性规划问题，判断下列向量是否能作为可行解。
min Z =4x1+5x2-2x3
x1+x2+x3=1
2x1+3x2=1
xj≥0 j=1，2，3
(1). X=(2,-1,0) (2). X=(0,1/3,2/3) (3). X=(1/2,0,1/2) (4). X=(5,-3,-1)
2．将下列线性规划模型化为标准型。
（1）min Z =2x1+x2-2x3（2）max Z=2x1+x2+3x3+x4
-x1+x2+x3=4 x1+ x2+ x3+ x4≤7
-x1+x2-x3≤6 2x1-3x2+5x3=-8
x1≤0，x2≥0, x3无约束x1-2x3+2x4≥1
x1，x3≥0，x2≤0，x4无约束
A1
A2
资
源
i
资源1
9
4
3600
资源2
4
5
2000
资源3
3
10
3000
利润Cj
70
120
（2）、某厂车间有B1、B2两个工段，可生产A1、A2和A3三种产品。各工段开工一天的产量和成本以及合同对三种产品的最低需求量由下表给出。建立求使成本最低并能满足需求的开工计划的模型。
生产定额（吨/天）
工段Bj
合同每周最低需
第一章线性规划基础
一．判断正误
1．线性规划问题的一般模型中不能出现等式约束。
2．在线性规划模型的标准型中,bj（j=1，2，…m）一定是非负的。
3．线性规划一般模型中的变量不一定是非负的。
4．用图解法求最优解时，只需求出可行域顶点对应的目标值，通过比较大小，就能找
出最优解。
5．一般情况下，松弛变量和多余变量的目标函数系数为零。
M1
M2
M3
A
300
200
60
B
200
240
320
矿石价格（元/吨）
60
48
56
如需金属A为48千克，B为56千克，问用各种矿石多少吨，可使总的费用最少。
第四章对偶问题及对偶单纯形法
一．填空：
1．对偶单纯形法与单纯形法的主要区别是每次迭代的基变量都满足最优检验但不完全满足约束。
二．简答题
1．简述本章范围内线性规划所能解决的实际问题的类型及建模方法。
三．解答题
1．建立下列应用问题的线性规划模型
（1）、某饲养厂饲养动物出售，设每头动物每天至少需700克蛋白质、30克矿物质和100毫克维生素，现有三种饲料可供选择，各饲料每公斤的营养成分和单价如下Hale Waihona Puke 所示：饲料蛋白质（克）
矿物质（克）
x3
x4
x5
x6
1
x6
a
3
0
-14/3
0
1
1
0
x2
5
6
d
2
0
5/2
0
28
x4
0
0
e
f
1
0
0
Cj-Zj
b
c
0
0
-1
g
6．用单纯形法求解下列线性规划。
（1）min Z =-5x1-4x2（2）max Z =5x1+2x2+3x3-x4+x5
x1+2x2≤6 x1+2x2+2x3+x4=8
2x1-x2≤4 3x1+ 4x2+x3+x5=7
5x1+3x2≤15 xj≥0，i=1，2，…5
x1，x2≥0
（3）min Z =3x1-x2（4）max Z =3x1+5x2
-x1+3x2≤3 x1≤4
-2x1-3x2≤6 2x2≤12
2x1+x2≤2 3x1+2x2≤18
x1，x2无约束x1，x2≥0
7．分别用大法和两阶段法求解下列线性规划。
求量（吨）
B1
B2
产
品
Ai
A1
1
1
5
A2
3
1
9
A3
1
3
9
成本（元/天）
1000
2000
（3）、假定市场上有i种食品，单位售价是ci，有m种营养成分。为达到营养平衡，每人每天必须摄取不少于bj个单位的第j种营养成分。第i种食品的每个单位含有aij个单位的第j种营养，建立确定最佳饮食水平的模型（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）。
二．简答题
1．简述线性规划问题数学模型的组成部分及其特征。
2．简述建立线性规划问题数学模型的步骤。
3．简述化一般线性规划模型为标准型的方法。
三．解答题
1．判断下列模型是否为线性规划模型（其中a，b，c均为常数）
（1）min Z = cjxj（2）max Z = cjxj
aijxj≤bi aijxj≤bi
（3）min Z =3x1-4x2+2x3-5x4
4x1-x2+2x3-x4≥2
x1+x2+3x3+4x4≤20 x1≤0，x2≥0，x3≥0，x4无约束
（4）max Z= cijxij
xij≤ai
xij= bjxij≥0,（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）
3．用图解法解下列线性规划问题。
（1）max Z =10x1+5x2（2）min Z =-x1+2x2
（4）、某工厂生产A、B两种产品，已知生产A每公斤要用煤9吨、电4度、劳动力3个；生产B每公斤要用煤4吨、电5度、劳动力10个。又知每公斤A、B的利润分别为7万元和12万元。现在该工厂只有煤360吨、电200度、劳动力300个。问在这种情况下，各生产A、B多少公斤，才能获最大利润，请建立模型。