根号的估算思想_估算
初中数学知识点精讲精析 估算
（1）在按四舍五入法求近似值时，一定要比要求精确的数位多考查一位，这一点往往易出错．
（2）“精确到”与“误差小于”意义不同．如精确到1 m是四舍五入到个位，答案唯一；误差小于1 m，答案在真值左右1 m都符合题意，答案不唯一．在本章中误差小于1 m就是估算到个位，误差小于10 m就是估算到十位．
用估算法比较含根号的数的大小，一般可采取下列方法：
（1）先估算含根号的数的近似值，再和另一个数进行比较；
（2）当符号相同时，把不含根号的数平方，和含根号的数的被开方数比较．本方法的实质是比较被开方数，被开方数越大，其算术平方根越大；
（3）若同分母或同分子的，可比较它们分子或分母的大小．
5．估算的实际应用
例1. 一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（ ）
A．2与3之间
B．3与4之间
C．4与5之间
D．5与6之间
【答案】B
【解析】∵一个正方形的面积是15，∴该正方形的边长为 ，∵9＜15＜16，∴3＜ ＜4．
例2. 若n= -6，则估计n的值所在范围，下列最接近的是（ ）
A．4＜n＜5
B．3＜n＜4
C．在11-12之间
D．在12-13之间
1.【答案】B
【解析】∵ ≈3.16，∴ 的整数部分是3．
2.【答案】C
【解析】∵5＜ ＜6∴3＜ −2＜4
3.【答案】C
【解析】∵121＜138＜144，∴11＜ ＜12
课外拓展
中国古代数学的发展
在古代世界四大文明中，中国数学持续繁荣时期最为长久。从公元前后至公元14世纪，中国古典数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，并在宋元时期达到顶峰。
根号估算的方法
根号估算的方法根号是数学中一种非常常见的数学符号，用来表示平方根。
在日常生活中，我们经常需要对一些数值进行估算，而根号估算就是一种简单而常用的方法。
在本文中，我们将介绍根号估算的方法以及其应用。
根号估算的基本原理是利用根号的近似值来对一个数进行估算。
根号的近似值可以通过一些常见的数学方法和技巧来获得。
下面我们将介绍几种常用的根号估算方法。
1. 简化法：对于一个数的平方根，如果该数的个位数是1、4、5、6、9中的一个，那么它的平方根的个位数只可能是1、2、5、6、9中的一个。
例如，根号16约等于4，根号25约等于5。
这种方法适用于对整数的平方根进行估算。
2. 近似法：对于一个非整数的平方根，我们可以通过近似法来估算。
首先，找到该数的两个完全平方数之间的数字，然后将其平均值作为该数的估算值。
例如，要估算根号8的值，我们可以找到两个完全平方数4和9，它们的平均值为6.5，因此根号8约等于6.5。
这种方法适用于对非整数的平方根进行估算。
3. 分解法：对于一个较大的数，我们可以通过分解法来估算其平方根。
首先，将该数分解成两个较小的数的乘积，然后对这两个数进行根号估算。
例如，要估算根号80的值，我们可以将80分解成8和10的乘积，它们的平方根分别约等于2.8和3.2，因此根号80约等于2.8乘以3.2，即8.96。
这种方法适用于对较大数的平方根进行估算。
根号估算方法在实际生活中有着广泛的应用。
例如，在购物时，我们经常需要估算商品的价格折扣，而根号估算可以帮助我们快速而准确地估算出商品的实际价格。
此外，在科学研究和工程设计中，根号估算也经常用于对实验数据和物理量进行估算和分析。
根号估算的优点是简单易用，不需要复杂的计算过程和专业的数学知识。
然而，它也有一定的局限性。
根号估算只能提供一个数的近似值，并不能给出其精确的数值。
因此，在需要高精度计算的情况下，我们仍然需要借助计算器或计算软件来进行准确计算。
在使用根号估算的过程中，我们应该注意估算结果的精度和误差。
根号的解读
根号的解读根号是数学运算中一个重要的概念，它也被称作平凡根或索引。
根号的应用涉及到几何图形、分析几何、近似估算、实际问题、科学计算等众多领域，今天，我们就来解读一下根号的概念、定义、运算、特性以及实际应用。
一、根号概念根号表示一个数字或式子的根，即所求数等于式子或方程的解。
根号是一个符号，表示求解式子或方程的过程。
它是由一个带有指数的算式组成的，表明某一数的多少次方根。
例如：$sqrt{x^2+1}$示$x^2+1$的平方根；$sqrt[3]{27}$表示27的立方根。
二、根号定义一个正数的平方根是指该正数的一个正数，它的平方等于该正数。
即：如果$y$是$x$的平方根，则有：$y^2=x$。
一个正数的$m$次根（$m$为自然数）是指该正数的一个正数，它的$m$次方等于该正数。
即：如果$y$是$x$的$m$次根，则有：$y^m=x$。
以上定义也可以表示为：$x$的$m$次根是使$x=y^m$成立的正数$y$。
三、根号运算（1）平方根若干个正数的乘积的平方根，等于他们分别求平方根后各自的乘积。
例如：$sqrt{9times 16}=sqrt{9}timessqrt{16}$，即$sqrt{144}=3times4=12$（2）立方根若干个正数的乘积的立方根，等于他们分别求立方根后各自的乘积。
例如：$sqrt[3]{8times 27}=sqrt[3]{8}timessqrt[3]{27}$，即$sqrt[3]{216}=2times3=6$（3）多次根若一个正数的$m$次根，是他的$n$次根的$k$次根，则称$m$为$n$的$k$次方表示：$m=n^k$例如：$sqrt[4]{256}=sqrt[4]{sqrt[3]{8}}$，即$4=3^2$四、根号特性（1）正数的根号等于该正数的对根，即$sqrt{x}=sqrt{y}$当且仅当 $x=y$;（2）平方根的取值范围为$[0,+infty)$，立方根的取值范围为$[0,+infty)$；（3）两个正数的乘积的根号，等于他们分别求根号后各自的乘积；（4）根号是一种折衷手段，它可以减少解题过程中的复杂性，便于计算。
初二数学立方根与估算讲义
学科教师辅导讲义体系搭建一、知识梳理1、立方根的概念，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）。
一般地，如果一个数x的立方等于a，即3x a注意：每一个数a有且只有一个立方根，记为3a，读作“三次根号a”。
2、立方根的性质（1）正数的立方根是正数；（2）0的立方根是0；（3）负数的立方根是负数。
注意：任何数都只有一个立方根，不可以与平方根的性质混淆。
3、开立方求一个数a 的立方根的运算叫做开立方，其中a 叫做被开方数。
注意：（1）开立方与立方是互逆运算，在开立方时，往往通过立方运算去完成；（2）开平方时，被开方数a 是非负数；开立方时，被开方数可以是正数、负数，也可以是0； （3）()33a a = ，33a a = 。
4、估算（1）用估算法确定无理数的大小对于带根号的无理数的近似值的求解，可以通过平方运算或立方运算采用“夹逼法”逐级夹逼，首先确定其正数部分，再确定十分位、百分位等小数部分。
（2）用估算的方法比较数的大小用估算法比较两个数的大小时，一般至少有一个是无理数。
在比较大小时，通常先通过分析，估算出无理数的大致范围，在进行具体的比较。
注意：（1）0a b a b >≥⇔> ；（2）33a b a b >⇔> 。
考点一：立方根的概念 例1、﹣8的立方根是（ ）A ．2B ．﹣2C ．±2D ．﹣例、﹣64的立方根是（ ）A ．8B ．4C ．﹣4D ．﹣8例3、若是一个正整数，满足条件的最小正整数n= ．例4、计算的结果是 ．例5、已知m+2的算术平方根是4，2m+n+1的立方根是3，求m﹣n的平方根．例6、已知一个正数x的平方根是3a+2与2﹣5a．（1）求a的值；（2）求这个数x的立方根．考点二：实数大小比较例1、下列四个数中，最大的一个数是（）A．2 B．C．0 D．﹣2例2、下面实数比较大小正确的是（）A．3＞7 B．C．0＜﹣2 D．22＜3例3、在下列实数中，﹣3，，0，2，﹣1中，绝对值最小的数是（）A．﹣3 B．0C．D．﹣1例4、比较大小：﹣3．例5、先比较大小，再计算．（1）比较大小：与3，1.5与；（2）依据上述结论，比较大小：2与；（3）根据（2）的结论，计算：|﹣|﹣|﹣2|．考点三：估算无理数的大小例1、估计的值在（）A．2到3之间B．3到4之间C．4到5之间D．5到6之间例2、估计+1的值（）A．在1和2之间 B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间例3、判断2﹣1之值介于下列哪两个整数之间？（）A．3，4 B．4，5 C．5，6 D．6，7例4、若a、b分别是、的整数部分，则a+b的平方根是．实战演练➢课堂狙击1．下列叙述中，不正确的是（）A．绝对值最小的实数是零B．算术平方根最小的实数是零C．平方最小的实数是零D．立方根最小的实数是零2．的值为（）A．3 B．﹣3 C．﹣2 D．23．在实数，﹣2，0，3中，大小在﹣1和2之间的数是（）A．B．﹣2 C．0 D．34．下列实数中，﹣（﹣π），|﹣3|，3中，最大的是（）A．B．﹣（﹣π）C．|﹣3| D．35．已知a、b为两个连续整数，且a＜﹣＜b，则a+b=（）A．4 B．5 C．6 D．86．把表示成幂的形式是．7．的立方根是．8．比较大小：1（填“＜”或“＞”或“=”）．9．设a=﹣|﹣2|，b=﹣（﹣1），c=，则a、b、c中最大实数与最小实数的差是．10．若n＜＜n+1，且n是正整数，则n=．11．已知：2x+3y﹣2的平方根为±3，3x﹣y+3的立方根为﹣2，求的平方根．12．已知实数x、y满足，求2x﹣的立方根．13．设A=+，B=+，试比较A，B的大小．➢课后反击1.下列说法正确的是（）A．9的倒数是﹣B．9的相反数是﹣9C．9的立方根是3 D．9的平方根是32. 设a是小于1的正数，且，则a与b的大小关系是（）A．a＞b B．a＜b C．a=b D．不能确定3. 给出四个数0，，π，﹣1，其中最小的是（）A．0 B．C．π D．﹣14. ﹣2的值在（）A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间5. 若a2=64，则=．6. 已知x+2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，则x2+y的立方根为．7. 比较大小：4﹣1（填“＞”、“=”或“＜”）8．比较大小：．9．已知x的两个平方根分别是2a﹣1和a﹣5，且，求x+y的值．10．如果A=是a +3b 的算术平方根，B=的1﹣a 2的立方根．试求：A ﹣B 的平方根．11．已知，比较a ，b 的大小．12．已知m ，n 分别表的整数部分和小数部分，则2m +n= ．1．【2016•博野】比较大小：﹣﹣（填“＞“或“＜“）2．【2010•温州】（1）用“＜”、“＞”或“=”填空： ＜， ＜ （2）由以上可知：①|1﹣|= ﹣1 ．②||=﹣．（3）计算：|1﹣|+||+||+…+||（结果保留根号）1、立方根的概念：一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即3x a ，那么这个数x 就叫做a 的立方根重点回顾直击中考（也叫做三次方根）。
立方根与估算
立方根与估算1、定义“若x的平方等于a，则x叫a的平方根，记作x=±2a，读作x等于正、负二次根号a，简称为x等于正，负根号a.若x的立方等于a，则x叫a的立方根，记作x=±3a，读作x等于正、负三次根号a，简称x等于正、负根号a.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，则求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中a叫做被开方数.2、立方根的性质：正数有一个正的立方根、负数有一个负的立方根，0的立方根有一个，是0.3、平方根与立方根的区别与联系：联系：(1)0的平方根、立方根都有一个是0.(2)平方根、立方根都是开方的结果.区别：(1)定义不同：“如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根”；“如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根.”(2)个数不同：一个正数有两个平方根，一个正数有一个立方根；一个负数没有平方根，一个负数有一个立方根.(3)表示法不同正数a的平方根表示为±a，a的立方根表示为3a.(4)被开方数的取值范围不同±a中的被开方数a是非负数；3a中的被开方数可以是任何数.一、类比学习立方根1、立方根的表示，高次方根的表示及意义2、练习：求下列各数的立方根（1）64 （2）-8 （3） 4 （4）610 （5）-1 （6）-3 （7）2783、正数，0，负数的立方根情况是什么样呢？4、对立方根与平方根的被开方数的取值有什么要求吗？5、应用（1）计算()23527---（2）求各式中X 的值02783=+x ()0343.013=--x ()161814=+x二、探究立方根的性质 1、=-38=-38 =-3a有何发现？2、=33)8( =33)27(=-33)8( =-33)27( =33)(a=332 =333=-33)2( =-33)3( =33a3、如果正方形面积变为原来的4倍，它的边长变为原来的多少倍？面积变为原来的16倍呢？它的边长变为原来的多少倍？面积变为原来的m 倍呢？有何发现？三、巩固训练（一）、知识点1、一般，若一个数x 的平方等于a ，即2x a ，那么 就叫做 的平方根。
求根号近似值的方法
求根号近似值的方法求根号近似值的方法根号作为数学中常见的符号之一，常常出现在各种公式和问题中。
然而，由于根号是一种无理数，因此为了计算和处理方便往往需要对其进行近似。
本文将从几个方面介绍一些求根号近似值的方法。
一、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种通过不断逼近而求出根号近似值的方法。
其基本思想是，在函数的某个初始点处，通过计算函数在该点的导数和函数值，确定该点处的切线，该切线与x轴的交点即为一个更接近根号的点。
然后再在该点处重复上述过程，直到达到一定的精度为止。
具体而言，设$f(x)=x^2-a$，则对于根号$a$，有$f(\sqrt{a})=0$。
根据导数的定义，可得$f'(x)=2x$。
因此，在第$i$次迭代中，将当前点的切线方程与x轴求交，能得到一个新的迭代点$x_{i+1}$：$$x_{i+1}=x_i-\frac{f(x_i)}{f'(x_i)}=x_i-\frac{x_i^2-a}{2x_i}=\frac{x_i}{2}+\frac{a}{2x_i}$$重复上述过程，直到满足精度要求为止。
二、二分法二分法是一种简单且有效的求根号近似值的方法。
其基本思想是，根据实数的有理数近似性，将根号所在的区间不断缩小，直到满足精度要求为止。
具体而言，设$a>0$，则$x=\sqrt{a}$满足不等式$0<x<max\{1,a\}$。
可以将该区间等分，设左右端点为$l_0=0$，$r_0=max\{1,a\}$，则取出中点$c_0=\frac{l_0+r_0}{2}$。
若$f(c_0)^2<a$，则根号在区间$[c_0,r_0]$中，否则根号在区间$[l_0,c_0]$中。
取出新的区间左右端点$l_1$和$r_1$，重复以上步骤，直到满足精度要求为止。
三、泰勒展开法泰勒展开法是一种将根号表达为一个无穷级数的方法，通过截断该级数求出一个近似值。
根据泰勒公式，对于函数$f(x)=\sqrt{x}$在点$x_0$处展开得：$$\sqrt{x}=\sqrt{x_0}+\frac{1}{2\sqrt{x_0}}(x-x_0)-\frac{1}{8x_0\sqrt{x_0}}(x-x_0)^2+\frac{1}{16x_0\sqrt{x_0}^3}(x-x_0)^3-...$$显然，只需要取到一定的项数就可以得到一个逼近根号的值。
求根号近似值的方法
求根号近似值的方法根号是数学中常见的一个符号，表示一个数的平方根。
在实际生活中，我们经常需要求根号的近似值，比如计算房屋面积、计算圆的面积等等。
那么，如何求根号的近似值呢？下面就介绍几种常见的方法。
一、二分法二分法是一种简单粗暴的方法，它的基本思想是：不断将待求值的区间缩小，直到求出一个满足要求的近似值为止。
具体步骤如下： 1.确定待求值的区间[a,b]，其中a为根号的下限，b为根号的上限，一般情况下，a=0，b为待求的数。
2.计算区间的中点c=(a+b)/2。
3.计算c的平方，如果c^2等于待求的数，则c就是所求的近似值；如果c^2小于待求的数，则将a更新为c，进入第2步；如果c^2大于待求的数，则将b更新为c，进入第2步。
4.重复步骤2和步骤3，直到求出满足要求的近似值为止。
二分法的优点是简单易懂，缺点是速度比较慢，特别是在求精度较高的近似值时，需要进行多次迭代，效率比较低。
二、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种比较高效的方法，它的基本思想是：在待求值的某个点上，通过求函数的切线来逼近函数的零点。
具体步骤如下：1.确定待求值的初始点x0。
2.计算函数f(x)在x0处的导数f'(x0)。
3.计算函数f(x)在x0处的函数值f(x0)。
4.计算切线的截距b=f(x0)-f'(x0)*x0。
5.计算切线与x轴的交点x1=b/f'(x0)。
6.将x1作为新的初始点，重复步骤2到步骤5，直到求出满足要求的近似值为止。
牛顿迭代法的优点是速度快，精度高，缺点是需要计算函数的导数，如果导数计算复杂或者不存在，该方法就无法使用。
三、二次逼近法二次逼近法是一种比较精确的方法，它的基本思想是：在待求值的某个点上，通过构造一个二次函数来逼近原函数。
具体步骤如下：1.确定待求值的初始点x0。
2.计算函数f(x)在x0处的函数值f(x0)和导数f'(x0)。
3.构造一个二次函数g(x)=f(x0)+f'(x0)*(x-x0)+(x-x0)^2/2f''(x0)，其中f''(x0)为函数f(x)在x0处的二阶导数。
公考速算技巧
公考速算技巧公考是许多人梦寐以求的机会，而在公考中，速算技巧的掌握是非常重要的。
通过运用一些简单而实用的速算技巧，可以在有限的时间内高效地解决数学运算问题，提高答题速度和准确性。
本文将介绍一些常用的公考速算技巧，帮助考生更好地应对数学题。
一、快速计算百分数在公考中，经常需要计算百分数。
如果直接进行计算，往往会耗费较多的时间。
而利用速算技巧可以帮助我们快速计算百分数。
1. 计算某数占另一个数的百分比时，可以先将两个数除以10，再进行相应的运算。
例如，计算75占300的百分比，可以先将75除以10得到7.5，再将300除以10得到30，最后计算7.5/30=0.25，即75占300的25%。
2. 计算百分数的增减时，可以利用近似数进行快速计算。
例如，计算120增加了25%后的结果，可以先将120的四分之一计算出来，即120/4=30，然后将30和120相加得到150，即120增加了25%后的结果是150。
二、快速计算乘法在公考中，乘法是一个常见的运算，而快速准确地计算乘法可以有效提高答题速度。
1. 乘法交换律：对于两个两位数相乘的计算，可以通过交换乘数的位置来简化计算。
例如，计算32*45时，可以将其改写为45*32，然后利用竖式乘法进行计算。
这样做可以减少计算过程中的进位和计算错误，提高准确性。
2. 乘法平方：对于两个相等的数相乘，可以直接计算其平方。
例如，计算12*12时，可以直接计算12的平方，即144。
三、快速计算除法除法是一个常见的运算，而快速准确地计算除法可以帮助我们在公考中更好地解决问题。
1. 除法转化：对于除法计算，可以将除数、被除数或商转化为更容易计算的形式。
例如，计算75/25时，可以将75除以25，得到3。
又如，计算375/5时，可以将375除以5，得到75。
2. 除法倍数：对于除法计算，如果除数或被除数是10的倍数，可以通过移动小数点的方式来快速计算。
例如，计算480/60时，可以将480的小数点向左移动一位，得到48，即480/60=48。