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求实数a的值或取值范围专题练习

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新高考数学一轮二轮复习专题-专题二 二次函数、方程与不等式(原卷版)-4月5月真题汇编

新高考数学一轮二轮复习专题-专题二 二次函数、方程与不等式(原卷版)-4月5月真题汇编

专题二 二次函数、方程与不等式一、单选题1．（2020·江苏省通州高级中学高一月考）不等式210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()0,4 B ．[]0,4C ．[)0,4D ．(](),04,-∞⋃+∞2．（2021·山西高三一模（理））已知,,+∈a b c R ，且4,4a ab ac >+=，则2232a b c a b c+++++的最小值是（ ） A ．8B ．6C ．4D ．23．（2021·安徽省泗县第一中学高二月考（文））已知0x >，0y >，211x y+=，若222x y m m +>-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．4m ≥或2m ≤-B ．2m ≥或4m ≤-C ．24m -<<D ．42m -<<4．（2020·河北石家庄市·石家庄一中高一月考）命题:{|19}p x x x ∃∈≤≤，2360x ax -+≤，若p 是真命题，则实数a 的取值范围为（ ）A ．37a ≥B ．13a ≥C ．12a ≥D ．13a ≤5．（2020·河北石家庄市·石家庄一中高一月考）已知0,0,236x y x y >>+=，则xy 的值可能为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．（2021·浙江高三专题练习）已知[]1,1a ∈-时，不等式()24420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为（ ） A ．(-∞，2)∪(3，+∞) B ．(-∞，1)∪(2，+∞) C ．(-∞，1)∪(3，+∞)D ．(1，3)7．（2021·全国高二单元测试）设x y z >>，n N ∈，且11nx y y z x z+≥---恒成立，则n 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58．（2021·安徽高三月考（理））不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支，其内容极为丰富，西方最早研究不定方程的人是希腊数学家丢番图．请研究下面一道不定方程整数解的问题：已知()202022,x y y x Z y Z +=∈∈，则该方程的整数解有（ ）组． A ．1B ．2C ．3D ．49．（2020·河南高二月考（文））函数2y = ）A ．2B ．4C ．6D ．810．（2021·全国高三专题练习（理））已知正数,a b 是关于x 的方程()2240x m x m -++=的两根，则11a b+的最小值为（ ） A ．2 B．C ．4D．二、多选题11．（2020·江苏省包场高级中学高二月考）下列说法正确的是（ ） A ．1x x+的最小值为2 B ．21x +的最小值为1 C ．()32x x -的最大值为2D ．2272x x ++最小值为2 12．（2020·河北石家庄市·石家庄一中高一月考）已知a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题为假命题的是（ )A ．若,a b c d >>，则ac bd >B ．若a b >，则22ac bc ≥C ．若0a b >>，则()0a b c ->D ．若a b >，则a c b c ->-13．（2021·河北张家口市·高三一模）已知0,0a b >>，且281a b +=，则（ ） A．433a b ->B1b C ．22log log 6a b +-D ．221168a b +<14．（2021·江苏南通市·海门市第一中学高二期末）若0a b >>，则（ ） A ．11a b b a+>+ B ．11a b b b a a+<<+ C ．114a b a b +≥+ D ．144b a a ab ++的最小值为2 第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 三、填空题15．（2021·全国高三专题练习）已知1a >，b R ∈，当0x >时，[]24(1)1()02x a x b x---⋅-≥恒成立，则3b a +的最小值是_____. 16．（2021·天津高三一模）设0a >，0b >，且251ab b +=，则+a b 的最小值为___________.17．（2020·江苏常州市·常州高级中学高一期中）已知函数()21,1,23,1,x x f x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩，若()2f a =，则实数a 所有可能的取值组成的集合为______．18．（2021·射阳县第二中学高二开学考试）若命题x R ∃∈，2410mx mx ++≤为假命题，则实数m 的取值范围是__________．19．（2021·江苏苏州市·苏州中学高二月考）已知正数a ，b 满足30a b ab +-+=，则ab 的最小值是________．20．（2021·浙江宁波市·高三月考）若正数,a b 满足2a b ab ++=，则3711a b +--的最小值是________．21．（2020·河北石家庄市·石家庄一中高一月考）已知1,0x y ，且1211x y+=-，则2x y +的最小值为________．22．（2021·江苏高三专题练习）设,a b 为正实数，且11410a b a b+++=，则4a b +的最大值与最小值之差为_______.23．（2020·上海高一专题练习）对于11a -≤≤，不等式()2210x a x a +-+->恒成立的x 的取值范围是_____________ 24．（2020·上海高一专题练习）若1,(0,0,,a bx y a b x y+=>>为正常数且a b ，则实数x y +的取值范围_________.25．（2021·吴县中学高一月考）已知110,0,121a b a b b >>+=++，则+a b 的最小值为________.26．（2021·苏州市第五中学校高一月考）正实数x ，y 满足：21x y +=，则当21x y+取最小值时，x =___________.27．（2021·浙江衢州市·高一月考）已知0a >，0b >且25a b +=，则21ab a b++的最小值为___________.28．（2021·浙江高三月考）设实数a ，b 满足0a >，1a b +=，则22212a b a b ++-的最大值是________.29．（2021·安徽滁州市·高一期末）已知0,0,4a b a b >>+=，则411a b ++的最小值为__________.四、解答题30．（2021·安徽高三二模（文））已知a ，b ，c 为正数，且满足3a b c ++=. （1）证明：1113ab bc ac++≥. （23≥.31．（2021·吉林吉林市·高二三模（文））已知函数()41,f x x x x R =-+-∈ （1）解不等式：()5f x ≤（2）记()f x 的最小值为M ，若正实数,a b 满足a b M +=，试求：1121a b +++的最小值32．（2020·江苏常州市·常州高级中学高一期中）已知0x >，0y >，4xy x y a =++． （1）当12a =时，求xy 的最小值； （2）当0a =时，求41x y x y+++的最小值． 33．（2020·泰州市第二中学高一期中）设函数2(),,,f x ax bx c a b c R =++∈.（1）若1a =，且关于x 的不等式()0f x <的解集是()1,2，解不等式210bx cx ++>； （2）若0,1,1a b a c <=-=-，解关于x 的不等式()0f x >；（3）若0,()a f x >在区间[1,0]-上的最大值是c ，且(1)(3)f f ≤-，求22453||ab a u a-=-的取值范围. 34．（2020·泰州市第二中学高一期中）（1）已知正数a b 、满足121a b+=，求ab 的最小值；（2）已知1x <，求函数1()1f x x x =+-的最大值． 35．（2020·江苏省通州高级中学高一月考）已知(),0a b ∈+∞,，1a b +=，求12y a b=+的最小值. 解法如下：()1212233b ay a b a b a b a b⎛⎫=+=++=++≥+ ⎪⎝⎭， 当且仅当2b a a b =，即1a =，2b =- 则12y a b=+的最小值为3+.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知(),,0,a b c ∈+∞，1a b c ++=，求111y a b c=++的最小值； （2）已知10,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x ，求1812y x x=+-的最小值； （3）已知正数123,,,,n a a a a ，满足1231n a a a a ++++=.求证：2222312122334112n n a a a a a a a a a a a a ++++≥++++. 36．（2020·上海高一专题练习）已知关于x 的一元二次方程x 2－(2k －1)x ＋k 2＋k －1＝0有实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若此方程的两个实数根x 1，x 2满足2212x x +＝11，求k 的值．37．（2020·泰州市第二中学高二月考）关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0 （1）若a=－2解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0（2）若a >0解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<038．（2021·浙江高二期末）设函数2()f x x ax b =-+．（1）若不等式()0f x <的解集是{23}xx <<∣，求不等式210bx ax -+<的解集； （2）当3b a =-时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．39．（2021·全国高三专题练习）已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a ＞1)．若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．40．（2021·安徽芜湖市·高一期末）在“基本不等式”应用探究课中，甲和乙探讨了下面两个问题：（1）已知正数x 、y 满足21x y +=，求12x y+的最小值.甲给出的解法是：由21x y +=≥，则128x y +≥=≥，所以12x y +的最小值为8.而乙却说这是错的.请你指出其中的问题，并给出正确解法；（2）结合上述问题（1）的结构形式，试求函数()1310122f x x x x ⎛⎫=+<< ⎪-⎝⎭的最小值.41．（2020·上海高一专题练习）求下列函数的最小值（1）21(0)x x y x x++=>；（2）2)y x R =∈；（3）226(1)1x x y x x ++=>-.42．（2020·上海高一专题练习）已知a ＞0，b ＞0，且a +b =1（1）求证：11(1)(1)9ab ++≥；（2）求证：4418a b +≥；（3）求证 (a +1a )(b +1b )≥254. 43．（2021·山东日照市·高一期末）已知函数2()21f x kx kx =+-.（1）若不等式()0f x <的解集为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，求实数k 的值；（2）若方程()0f x =在[]12，有解，求实数k 的取值范围. 44．（2020·河南高二月考（文））已知关于x 的不等式222ax x ax -+<. （1）当1a =时，解不等式222ax x ax -+<； （2）当0a ≠时，解等式222ax x ax -+≥. 五、双空题45．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学高一期末）已知a ，b R +∈，且2284a b +=，则2+a b的最大值为______；4122a b ++的最小值为______．。

专题17 函数与导数压轴解答题常考套路归类(精讲精练)(原卷版)

专题17 函数与导数压轴解答题常考套路归类(精讲精练)(原卷版)

专题17 函数与导数压轴解答题常考套路归类【命题规律】函数与导数是高中数学的重要考查内容，同时也是高等数学的基础，其试题的难度呈逐年上升趋势，通过对近十年的高考数学试题，分析并归纳出五大考点：（1）含参函数的单调性、极值与最值； （2）函数的零点问题；（3）不等式恒成立与存在性问题； （4）函数不等式的证明． （5）导数中含三角函数形式的问题其中，对于函数不等式证明中极值点偏移、隐零点问题、含三角函数形式的问题探究和不等式的放缩应用这四类问题是目前高考函数与导数压轴题的热点．【核心考点目录】核心考点一：含参数函数单调性讨论 核心考点二：导数与数列不等式的综合问题 核心考点三：双变量问题 核心考点四：证明不等式 核心考点五：极最值问题 核心考点六：零点问题核心考点七：不等式恒成立问题核心考点八：极值点偏移问题与拐点偏移问题 核心考点九：利用导数解决一类整数问题 核心考点十：导数中的同构问题 核心考点十一：洛必达法则核心考点十二：导数与三角函数结合问题【真题回归】1．（2022·天津·统考高考真题）已知a b ∈R ，，函数()()sin ,x f x e a x g x =-=(1)求函数()y f x =在()()0,0f 处的切线方程； (2)若()y f x =和()y g x =有公共点， （i ）当0a =时，求b 的取值范围； （ii ）求证：22e a b +>．2．（2022·北京·统考高考真题）已知函数()e ln(1)x f x x =+． (1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (2)设()()g x f x '=，讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性； (3)证明：对任意的,(0,)s t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +>+．3．（2022·浙江·统考高考真题）设函数e()ln (0)2f x x x x=+>． (1)求()f x 的单调区间；(2)已知,a b ∈R ，曲线()y f x =上不同的三点()()()()()()112233,,,,,x f x x f x x f x 处的切线都经过点(,)a b ．证明：（ⅰ）若e a >，则10()12e a b f a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭； （ⅰ）若1230e,a x x x <<<<，则22132e 112e e6e 6e a ax x a --+<+<-． （注：e 2.71828=是自然对数的底数）4．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()e e ax x f x x =-． (1)当1a =时，讨论()f x 的单调性；(2)当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围； (3)设n *∈N21ln(1)n n +>++．5．（2022·全国·统考高考真题）已知函数1()(1)ln f x ax a x x=--+． (1)当0a =时，求()f x 的最大值；(2)若()f x 恰有一个零点，求a 的取值范围．6．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()ln xf x x a xx e -=+-．(1)若()0f x ≥，求a 的取值范围；(2)证明：若()f x 有两个零点12,x x ，则121x x <．7．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()x f x e ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值． (1)求a ；(2)证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【方法技巧与总结】1、对称变换主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：（1）定函数（极值点为0x ），即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x 0．（2）构造函数，即根据极值点构造对称函数0()()(2)F x f x f x x =--，若证2120x x x > ，则令2()()()x F x f x f x=-． （3）判断单调性，即利用导数讨论()F x 的单调性．（4）比较大小，即判断函数()F x 在某段区间上的正负，并得出()f x 与0(2)f x x -的大小关系．（5）转化，即利用函数()f x 的单调性，将()f x 与0(2)f x x -的大小关系转化为x 与02x x -之间的关系，进而得到所证或所求．【注意】若要证明122x x f +⎛⎫' ⎪⎝⎭的符号问题，还需进一步讨论122x x +与x 0的大小，得出122x x +所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负．构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法，函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中．某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用．因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的．根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧．许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效2121212ln ln 2x x x xx x -+<-证明极值点偏移：①由题中等式中产生对数； ②将所得含对数的等式进行变形得到1212ln ln x x x x --；③利用对数平均不等式来证明相应的问题．3、 比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可．【核心考点】核心考点一：含参数函数单调性讨论 【规律方法】1、导函数为含参一次型的函数单调性导函数的形式为含参一次函数时，首先讨论一次项系数为0，导函数的符号易于判断，当一次项系数不为雩，讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数图像判定导函数的符号，写出函数的单调区间．2、导函数为含参二次型函数的单调性当主导函数（决定导函数符号的函数）为二次函数时，确定原函数单调区间的问题转化为探究该二次函数在给定区间上根的判定问题．对于此二次函数根的判定有两种情况：（1）若该二次函数不容易因式分解，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域； （2）若该二次函数容易因式分解，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而判断原函数的单调性．3、导函数为含参二阶求导型的函数单调性当无法直接通过解不等式得到一阶导函数的符号时，可对“主导”函数再次求导，使解题思路清晰．“再构造、再求导”是破解函数综合问题的强大武器．在此我们首先要清楚()()()f x f x f x '''、、之间的联系是如何判断原函数单调性的．（1）二次求导目的：通过()f x ''的符号，来判断()f x '的单调性；（2）通过赋特殊值找到()f x '的零点，来判断()f x '正负区间，进而得出()f x 单调性． 【典型例题】例1．（2023春·山东济南·高三统考期中）已知三次函数()()32111212322f x ax a x x =+---.(1)当3a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程， (2)讨论()y f x =的单调性.例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()2122ex f x x a x a -⎡⎤=+-+-⎣⎦，R a ∈，讨论函数()f x 单调性；例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()212ln 212f x a x x a x =+-+，a ∈R ，求()f x 的单调区间.例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()()22ln 211f x x ax a x a =---+∈R .求函数()f x 的单调区间；核心考点二：导数与数列不等式的综合问题 【规律方法】在解决等差、等比数列综合问题时，要充分利用基本公式、性质以及它们之间的转化关系，在求解过程中要树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，并适时地采用“巧用性质，整体考虑”的方法．可以达到减少运算量的目的．【典型例题】例5．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知函数()1ln f x x a x x=--.(1)若不等式()0f x ≥在()1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； (2)证明：()()()22211ln 21ni n n i i n n =+-⎛⎫>⎪+⎝⎭∑.例6．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知函数()e (2)2,x f x x a ax a =-++∈R ． (1)当1a =时，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； (2)若不等式()0f x ≥对0x ∀≥恒成立，求实数a 的范围； (3)证明：当111,1ln(21)23n n n*∈++++<+N ．例7．（2023春·福建宁德·高三校考阶段练习）已知函数()e ax f x x =-（12a ≥）. (1)(0,1)x ∈，求证：1sin ln 1x x x<<-；(2)证明：111sin sin sin()23f n n+++<.(ln20.693,ln3 1.099≈≈)核心考点三：双变量问题 【规律方法】破解双参数不等式的方法：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果． 【典型例题】例8．（2023春·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）已知函数()()ln 1R f x x ax a =-+∈. (1)若过原点的一条直线l 与曲线()y f x =相切，求切点的横坐标；(2)若()f x 有两个零点12x x ，，且212x x >，证明：①1228>e x x ； ②2212220+>e x x .例9．（2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知函数2()e ,2xmx f x m =-∈R . (1)讨论()f x 极值点的个数；(2)若()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，证明:()()122e f x f x m +<-.例10．（2023·全国·高三专题练习）巳知函数()ln(3)f x x x =+-. (1)求函数f （x ）的最大值; (2)若关于x 的方程e ln3,(0)3x a a a x +=>+有两个不等实数根x x ₁，₂，证明: 122e e x xa+>.核心考点四：证明不等式 【规律方法】利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数． （4）对数单身狗，指数找基友 （5）凹凸反转，转化为最值问题 （6）同构变形 【典型例题】例11．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知函数()()22ln ,f x x ax bx a b =-+∈R ．(1)当0b =时，讨论()f x 的单调性;(2)设12,x x 为()f x 的两个不同零点，证明：当()0,x ∈+∞时，()()12212124sin 2e x x f x x x x +-+<++．例12．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知2()(ln 1)f x x x =+． (1)求()f x 的单调递增区间； (2)若124()()ef x f x +=，且12x x <，证明12ln()ln 21x x +>-．例13．（2023·江苏·高三专题练习）已知函数()ln m x nf x x+=在()()1,1f 处的切线方程为1y =. (1)求实数m 和n 的值；(2)已知()(),A a f a ，()(),B b f b 是函数()f x 的图象上两点，且()()f a f b =，求证：()()ln ln 1a b ab +<+.核心考点五：极最值问题 【规律方法】利用导数求函数的极最值问题．解题方法是利用导函数与单调性关系确定单调区间，从而求得极最值．只是对含有参数的极最值问题，需要对导函数进行二次讨论，对导函数或其中部分函数再一次求导，确定单调性，零点的存在性及唯一性等，由于零点的存在性与参数有关，因此对函数的极最值又需引入新函数，对新函数再用导数进行求值、证明等操作．【典型例题】例14．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知函数()31,R 3f x x ax a a =-+∈.(1)当1a =-时，求()f x 在[]22-,上的最值； (2)讨论()f x 的极值点的个数.例15．（2023·江西景德镇·高三统考阶段练习）已知函数21()(2)e e,()2x f x x g x a x x ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，其中a 为大于0的常数，若()()()F x f x g x =-． (1)讨论()F x 的单调区间；(2)若()F x 在()1x t t =≠取得极小值，求()g t 的最小值．例16．（2023·浙江温州·统考模拟预测）已知0a >，函数()()()F x f x g x =-的最小值为2，其中1()e x f x -=，()ln()g x ax =．(1)求实数a 的值；(2)(0,)∀∈+∞x ，有(1)1(e )f x m kx k g x +-≥+-≥，求2mk k -的最大值．核心考点六：零点问题 【规律方法】函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围．求解步骤：第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与x 轴（或直线y k =）在某区间上的交点问题；第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像； 第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数． 【典型例题】例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()2e 2x m f x x m =+∈R ． (1)若存在0x >，使得()0f x <成立，求m 的取值范围；(2)若函数()()2e e x F x x f x =+-有三个不同的零点，求m 的取值范围．例18．（2023·全国·高三专题练习）设0a >，已知函数()e 2xf x a x =--，和()()ln 22g x x a x =-++⎡⎤⎣⎦.(1)若()f x 与()g x 有相同的最小值，求a 的值；(2)设()()()2ln 2F x f x g x a =++-有两个零点，求a 的取值范围.例19．（2023春·广西·高三期末）已知函数()()ln e axxf xg x x ax ==-，. (1)当1a =时，求函数()f x 的最大值；(2)若关于x 的方()()f x g x +=1有两个不同的实根，求实数a 的取值范围.核心考点七：不等式恒成立问题 【规律方法】1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．2、利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥．3、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()y f x =，[],x a b ∈，()y g x =，[],x c d ∈． （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，有()()12f xg x <成立，则()()maxmin f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f xg x <成立，则()()maxmax f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f xg x <成立，则()()minmax f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f xg x =成立，则()f x 的值域是()g x 的值域的子集．【典型例题】例20．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）已知函数()ln 1f x x =+.(1)若函数()()1g x mf x x =+-的图象在1x =处的切线与直线2y x =平行，求函数()g x 在1x =处的切线方程；(2)求证：当12a ≤时，不等式()1af x a +≤在[1,e]上恒成立.例21．（2023·上海·高三专题练习）已知函数()(1)e (R x f x x ax a =--∈且a 为常数）. (1)当0a =，求函数()f x 的最小值；(2)若函数()f x 有2个极值点，求a 的取值范围；(3)若()ln e 1x f x x ≥-+对任意的,()0x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围.例22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()()e 1ln ln 0x f x a x a x a =+--⋅>．(1)若e a =，求函数()f x 的单调区间； (2)若不等式()1f x <在区间()1,+∞上有解，求实数a 的取值范围．核心考点八：极值点偏移问题与拐点偏移问题 【规律方法】1、极值点偏移的相关概念所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性．若函数)(x f 在0x x =处取得极值，且函数)(x f y =与直线b y =交于),(),,(21b x B b x A 两点，则AB 的中点为),2(21b x x M +，而往往2210x x x +≠．如下图所示．图1 极值点不偏移 图2 极值点偏移极值点偏移的定义：对于函数)(x f y =在区间),(b a 内只有一个极值点0x ，方程)(x f 的解分别为21x x 、，且b x x a <<<21，（1）若0212x x x ≠+，则称函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 偏移；（2）若0212x x x >+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 左偏，简称极值点0x 左偏；（3）若0212x x x <+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 右偏，简称极值点0x 右偏．【典型例题】例23．（2022•浙江期中）已知函数()f x x lnx a =--有两个不同的零点1x ，2x ． （1）求实数a 的取值范围； （2）证明：121x x a +>+．例24．（2021春•汕头校级月考）已知，函数()f x lnx ax =-，其中a R ∈． （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若函数()f x 有两个零点， ()i 求a 的取值范围；()ii 设()f x 的两个零点分别为1x ，2x ，证明：212x x e >．例25．（2022•浙江开学）已知a R ∈，()ax f x x e -=⋅（其中e 为自然对数的底数）． （ⅰ）求函数()y f x =的单调区间；（ⅰ）若0a >，函数()y f x a =-有两个零点x ，2x ，求证：22122x x e +>．核心考点九：利用导数解决一类整数问题 【规律方法】分离参数、分离函数、半分离 【典型例题】例26．已知函数()ln 2f x x x =--． （1）求函数在()()1,1f 处的切线方程（2）证明：()f x 在区间()3,4内存在唯一的零点；（3）若对于任意的()1,x ∈+∞，都有()ln 1x x x k x +>-，求整数k 的最大值．例27．已知函数211()ln 2f x x x x a a ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，(0)a ≠． （1）当12a =时，求函数()fx 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）令2()()F x af x x =-，若()12F x ax <-在()1,x ∈+∞恒成立，求整数a 的最大值．（参考数据：4ln 33<，5ln 44<）．例28．已知函数()ln 2f x x x =--．（1）证明：()f x 在区间()3,4内存在唯一的零点；（2）若对于任意的()1,x ∈+∞，都有()ln 1x x x k x +>-，求整数k 的最大值．核心考点十：导数中的同构问题【规律方法】1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式2、同构式的应用：（1）在方程中的应用：如果方程()0f a =和()0f b =呈现同构特征，则,a b 可视为方程()0f x =的两个根（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系．可比较大小或解不等式．<同构小套路>①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”：()xf x x e =⋅，()xf x e x =±；寻找“亲戚函数”是关键；③信手拈来凑同构，凑常数、x 、参数；④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围． （3）在解析几何中的应用：如果()()1122,,,Ax y B x y 满足的方程为同构式，则,A B 为方程所表示曲线上的两点．特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线AB 的方程（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于(),n a n 与()1,1n a n --的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解【典型例题】例29．（2022·河北·高三阶段练习）已知函数()ln f x x x =． （1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且b a a b =，证明：2111e a b<+<．例30．（2022·河南郑州·二模（文））已知函数()e 21e xf x x =⋅-+，()ln 2xg x x=+． （1）求函数()g x 的极值；（2）当x >0时，证明：()()f x g x ≥例31．（2022·河南省浚县第一中学模拟预测（理））已知函数()()e x f x ax a =-∈R ．（1）讨论f （x ）的单调性．（2）若a ＝0，证明：对任意的x >1，都有()4333ln f x x x x x ≥-+．核心考点十一：洛必达法则 【规律方法】法则1、若函数()f x 和()g x 满足下列条件： （1）()lim 0x af x →=及()lim 0x ag x →=；（2）在点a 的去心邻域()(),,a a a a εε-⋃+内，()f x 与()g x 可导且()0g x '≠； （3）()()limx af x lg x →'='，那么()()lim x a f x g x →=()()lim x a f x l g x →'='．法则2、若函数()f x 和()g x 满足下列条件：（1）()lim 0x f x →∞=及()lim 0x g x →∞=； （2）0A ∃>，()f x 和()g x 在(),A -∞与(),A +∞上可导，且()0g x '≠； （3）()()limx f x l g x →∞'='，那么()()limx f x g x →∞=()()limx f x l g x →∞'='．法则3、若函数()f x 和()g x 满足下列条件： （1）()lim x af x →=∞及()lim x ag x →=∞；（2）在点a 的去心邻域()(),,a a a a εε-⋃+内，()f x 与()g x 可导且()0g x '≠； （3）()()limx af x lg x →'='， 那么()()limx af xg x →=()()limx af x lg x →'='． 注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： （1）将上面公式中的x a →，,x x →+∞→-∞，x a +→，x a -→洛必达法则也成立． （2）洛必达法则可处理00，∞∞，0⋅∞，1∞，∞，，∞-∞型．（3）在着手求极限以前，首先要检查是否满足00，∞∞，0⋅∞，1∞，∞，，∞-∞型定式，否则滥用洛必达法则会出错．当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限．（4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止．()()()()()()limlimlimx ax ax a f x f x f x g x g x g x →→→'''=='''，如满足条件，可继续使用洛必达法则． 【典型例题】例32．已知函数()=ln (,)f x a x bx a b R +∈在12x =处取得极值，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线10x y -+=垂直．（1）求实数,a b 的值；（2）若[1,)x ∀∈+∞，不等式()(2)mf x m x x≤--恒成立，求实数m 的取值范围．例33．设函数()1x f x e -=-．（1）证明：当1x >-时，()1xf x x ≥+； （2）设当0x ≥时，()1xf x ax ≤+，求a 的取值范围．例34．设函数sin ()2cos xf x x=+．如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围．22sin 2sin 2sin (sin )x x x x x x =-=-核心考点十二：导数与三角函数结合问题 【规律方法】 分段分析法【典型例题】例35．（2023·河南郑州·高三阶段练习）已知函数()1sin e xx f x x -=+，ππ,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦． (1)求证：()f x 在ππ,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；(2)当[]π,0x ∈-时，()sin e cos sin xf x x x k x --⎡⎤⎣⎦恒成立，求k 的取值范围．例36．（2023春·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）已知函数()sin ()cos f x x x a x =-+（a 为常数），函数3211()32g x x ax =+.(1)证明：（i ）当0x >时，sin x x >； （ii ）当0x <时，sin x x <；(2)证明：当0a ≥时，曲线()y f x =与曲线()y g x =有且只有一个公共点.例37．（2023·全国·高三专题练习）已知函数π()e sin sin ,[0,π]4xf x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.(1)若1a ≤，判断函数()f x 的单调性； (2)证明：e (π)1sin cos x x x x -+≥-.【新题速递】1．（2023·北京·高三专题练习）已知1x =是函数()()ln ln ln 21xf x x ax x=-+++的一个极值点． (1)求a 值；(2)判断()f x 的单调性；(3)是否存在实数m ，使得关于x 的不等式()f x m ≥的解集为()0,∞+?直接写出m 的取值范围．2．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知()214ln 2f x x x a x =-+． (1)若函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若函数()f x 有两个极值点12,x x ，证明：()()1210ln f x f x a +>-+．3．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知函数()()2e 21xf x x ax =+-，其中R a ∈，若()f x 的图象在点()()0,0f 处的切线方程为210x by ++=． (1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()f x 在区间[]3,1-上的最值．4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()1f x x =-，()ln(1)g x m x =-，R m ∈. (1)若直线:20l x y -=与()y g x =在(0,(0))g 处的切线垂直，求m 的值；(2)若函数()()()h x g x f x =-存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：()()1122x h x x h x >.5．（2023·北京·高三专题练习）已知函数()2e x f x =，直线:2l y x b =+与曲线()y f x =相切．(1)求实数b 的值；(2)若曲线()y af x =与直线l 有两个公共点，其横坐标分别为(,)m n m n <． ①求实数a 的取值范围； ②证明：()()1f m f n ⋅>．6．（2023春·陕西西安·高三统考期末）已知函数()()33ln af x x a x x=--+． (1)当0a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)若[]1,e x ∀∈，()0f x <，求实数a 的取值范围．7．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知函数()31f x x ax =-+．(1)当1a =时，过点()1,0作曲线()y f x =的切线l ，求l 的方程； (2)当0a ≤时，对于任意0x >，证明：()cos f x x >．8．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知函数()22e xx f x ax +=++． (1)若()f x 单调递增，求a 的取值范围；(2)若()f x 有两个极值点12,x x ，其中12x x <，求证：2133x x a ->-．9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()43,R,04a f x x ax bx ab a =--∈≠ (1)若0b =，求函数()f x 的单调区间；(2)若存在0R x ∈，使得()()00f x x f x x =+-，设函数()y f x =的图像与x 轴的交点从左到右分别为A ，B ，C ，D ，证明：点B ，C 分别是线段AC 和线段BD 的黄金分割点.（注：若线段上的点将线段分割成两部分，且其中较长部分与全长之比等于较短部分与较长部分之比，则称此点为该线段的黄金分割点）10．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知函数()()2e e xf x x =-+，()()2112g x a x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()()ln 1ln h x x x a =-+，其中a 为常数，若()()()()F x f x g x h x =-+.(1)讨论()F x 的单调区间；(2)若()F x 在()1x t t =≠取得极小值，且()()f t mh t ≥恒成立，求实数m 的取值范围.11．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点P (2，0)作直线l 交抛物线于A ，B 两点．(1)若l 的倾斜角为π4，求△F AB 的面积；(2)过点A ，B 分别作抛物线C 的两条切线1l ，2l 且直线1l 与直线2l 相交于点M ，问：点M 是否在某定直线上？若在，求该定直线的方程，若不在，请说明理由．12．（2023春·江西赣州·高三赣州市赣县第三中学校考期中）已知函数()21ln 2f x x ax =-，()()21e 112x g x x ax a x =--+-，(1)求函数()y f x =的单调区间；(2)若对于定义域内任意x ，()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．。

实数练习题

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实数练习题第六章实数1．如果a?4?b?2?0，那么ab立方根是 A．-2 B．2 C．-2或2 D．8 2．估计76?1的大小在A．5--6之间B．6--7之间C．7--8之间D．8--9之间13．四个数-5 ， 0 ，， 3中为无理数的是21A．-5 B．0 C．D．3 24．下列无理数中，在－2与1之间的是( ) A．?5 B．?3 C．3 D．5 5．在实数5、22、0、?、36、－中，有理数有( ) 27A．1个B．2个C．3个D．4个 6．四个实数－2，0，?2，1中，最大的实数是( ) A．－2 B．0 C． ?2 D．1 7．下列实数中，是无理数的为( ) A．－1 B．?1C．2 D．28．如图，在数轴上表示实数8的点可能是( )A．点P B．点Q C．点M D．点N9．已知三个数－π，－3，?7，则它们的大小顺序是A．?37 B．3??7 C．?7??3 D．7??3 10．下列各组数中互为相反数的是( ) A．－2与(?2)2 B．－2与3?8 C．－2与?1 D．|2|与2 211．下列各数：?1，，，?，3，，3，1，…中，无理数有( )A．3个 B．4个 C．5个 D．6个试卷第1页，总7页12．下列命题正确的是A．有理数一定是有限小数 B．两个无理数的和一定是无理数 C．如果a＞b，那么a2＞b2 D．若a＝b，则a2＝b213．若a、b为实数，且满足a?2??b2?0，则b－a的值为 14．下列说法正确的有( ) ①不存在绝对值最小的无理数；②不存在绝对值最小的实数；③不存在与本身的算术平方根相等的数；④比正实数小的数都是负实数；⑤非负实数中最小的数是0． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个15．比较2，5，7的大小，正确的是 A．2?5?D．5?3337 B．2?7?5 C．337?2?5 7?2 16．绝对值小于3的所有实数的积是 17．计算25?38的结果是( )18．和数轴上的点一一对应的数是 A．有理数 B．无理数 C．整数 D．实数19．如图，数轴上有A、B、C、D四点，根据图中各点的位置，判断哪一点所表示的数与11?239最接近( )A．4 B．B C．C D．D20．在数轴上与原点距离是23的点表示的实数是( ) 21．有一个数值转换器，原理如图所示，则当输入的x为64时，输出的y是( )A．8 B．8 C．12 D．18 22．下列说法正确的是( ) A．无理数包括正无理数，0和负无理数 B．无理数是用根号形式表示的数 C．无理数是开方开不尽的数 D．无理数是无限不循环小数 23．3(?1)2的立方根是( )24．如图，下列各数中，数轴上点A表示的可能是( ) 试卷第2页，总7页A．4的算术平方根 B．4的立方根 C．8的算术平方根D．8的立方根25．若x?3，则x等于 26．下列计算正确的是 A．333?27??3 B．3?27?3 C．??27??3 3D．??27??3 27．在等式x3＝125中，求x的值需用的运算是 A．开平方 B．开立方 C．平方 D．立方 28．下列说法正确的是( )A．64的立方根是?364??4 B．?C．3?27??327 D．立方根等于它本身的数是0和1 29．如果331是1的立方根26，??，则( )A． B． C． D．30．估计68的立方根的大小在( )A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 31．一个数的平方根和立方根都等于它本身，则这个数是 32．估计5在( )A．0～1之间 B．1～2之间 C．2～3之间 D．3～4之间 33．若a是2的平方根，b的一个平方根是2，则a＋b的值是34．如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数是35．已知?，则的算术平方根是( ) A． B． C． D． 36．下列各式表示正确的是( )A．25??5 B．?25?5 C．?25??5 D．?(?5)2?5 237．有下列各数：49，(?)2，0，－4，－|－3|，－，－32．其中有平方根的数共有个 38．下列说法正确的是A．任何数的平方根都有两个 B．只有正数才有平方根C．一个正数的平方根的平方是它本身 D．a2的平方根是a 39．下列说法中不正确的是( )2是2的平方根 B．2是2的平方根 C．A．2的平方根是2试卷第3页，总7页D．2的算术平方根是2 40．下列各式中，正确的是( ) A．(?3)2??3 B．?32??3 C．(?3)2??3 D．32??3 41．以下四个说法：①负数没有平方根；②一个正数一定有两个平方根；③平方根等于它本身的数是0和1；④一个数的立方根不是正数就是负数.其中正确的说法有(). 个个个个42．已知实数a满足2014?a?a?2015?a，那么a?20142的值是A．2015 B．2014 C．2013 D．2012 43．4=___ __；3?8=___ __ _；36的平方根__ ___. 44．16的算数平方根是45．16的平方根为_________．46．的平方根是_____，-27的立方根是______，1?2的相反数是_ _.47． 2-2的相反数是，绝对值是. 48．化简|－π|的结果是________．149．比较大小：?10________?3． 350．－27的立方根与81的平方根之和是________． 51．数轴上到表示数3的点的距离是________． 52．已知：n?________．53．2?3的相反数是________，绝对值是________．54．如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周(不滑动)，圆上的一点原点到达点O′，点O′的数值是________．5的点表示的数是32?m，且m，n是两个连续整数，则mn＝55．如图所示，在数轴上点A和点B之间表示整数的点有________个．试卷第4页，总7页56．若a?5?b?1?0，则a＋b＝________． 57．若无理数5?11的小数部分为a，则a＝________． 58．把7的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为________． 59．若x ＋1是4的平方根，则x＝________；若y＋1是－8的立方根，则y＝________．60．若8x3＋27＝0，则x＝________．61．已知3＝8，则x的值是________． 62．64的平方根的立方根是________．63．若一个数的平方根是±8，则这个数的立方根是________． 64．x?33?y，则x＋y＝________．65．若一个正数的两个平方根分别是2m＋1和m－4，则这个正数是________．66．(?5)2的平方根是________．67．81的平方根是________，算术平方根是________． 68．按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为3，则输出的值为________．69．81的平方根是________，81的平方根是________，81的算术平方根是________．70．算术平方根等于它本身的数是________． 71．16的算术平方根是________．72．对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b=a?b，如3※2=3?2?5，那么6※3= ．a?b3?273．比较大小：? ?6． 74．比较大小：(?25) (25)，“＞、＝、＜”号连结）．75．计算：(1)(2013广东湛江)(2)(2013浙江衢州)322 3 5@8的值．76．定义新运算“@”：x@y?77．已知一个正方体的表面积为2400cm2，求这个正方体的体积．78．计算．33125?27??2； (1?81)??1． 3试卷第5页，总7页79．计算下列各题．23?33；(5?1)?(3?5)． 80．(1)计算：3(2)计算：|1?2?27?(?3)?3?1；2|?|2?3|?|2?1|；322?1?(3)计算(?4)?3(?4)327． ?2?81．先阅读，再回答下列问题．因为12?1? 2，且1?2?2，所以12?1的整数部分是1．因为22?2?6，且2?6?3，所以22?2的整数部分是2．因为32?3?12，且3?12?4，所以32?3的整数部分是3．依此类推，我们发现n2?n的整数部分为________，试说明理．82．计算：(1)3((2)|1?3?2)?2(3?2)；2|?|3?2|?|3?4|．383．若x?5?y?25?0，求xy的值．84．实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，试化简：|c－b|＋|b－a|－|c|．85．求下列各式中x的值． (1)(x－2)3＝8； (2)64x3＋27＝0． 86．计算： 1?；33?5?10． 2787．若a?8与(6－27)2互为相反数，求3a?3b的立方根． 88．已知x＋2的平方根是±2，2x＋y＋7的立方根是3，试求x2＋y的立方根．89．若2x?y?x2?9?0，求3x＋6y的立方根． 90．已知4x2＝144，y3＋8＝0，求x＋y的值．试卷第6页，总7页91．已知a?x?yx?y?3是x＋y＋3的算术平方根，b?x?2y?3x?2y是x＋2y的立方根，试求b－a的立方根． 92．如果a为正整数，14?a为整数，求a可能的所有取值． 93．求下列各式中x的值． 2＝49；25x2－64＝0．94．一个正数a的平方根是3x－4与2－x，则a是多少？95．已知5?35?6，则35的整数部分是多少？如果设35的小数部分为b，那么b是多少？96．若x?2?2，求2x＋5的算术平方根．97．如图所示，某计算装置有一数据的入口A和一运算结果的出口B．下表是小刚输入一些数后所得的结果：A B 0 －2 1 －1 4 0 9 1 16 2 25 3 36 4 (1)若输出的数是5，则小刚输入的数是多少？(2)若小刚输入的数是225，则输出的结果是多少？ (3)若小刚输入的数是n(n≥10)，你能用含n的式子表示输出的结果吗？试一试．98．已知2a－1的立方根是±3，3a＋b－1的算术平方根是4，求50a－17b的立方根．99．已知2a＋1的平方根是±3，5a＋2b－2的算术平方根是4，求a，b的值． 100．已知：?x?5??16，求x 计算：2??6??1?2?3?8??52??2 试卷第7页，总7页本卷【在线组卷网】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

由函数零点或方程根的个数求参数范围问题-高考数学专练

由函数零点或方程根的个数求参数范围问题-高考数学专练

由函数零点或方程根的个数求参数范围问题-高考数学专练【例题选讲】[例1]已知函数f (x )＝x 2＋2x－a ln x (a ∈R )．(1)若f (x )在x ＝2处取得极值，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)当a >0时，若f (x )有唯一的零点x 0，求[x 0]．注：[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.6]＝0，[2.1]＝2，[－1.5]＝－2．(参考数据：ln 2＝0.693，ln 3＝1.099，ln 5＝1.609，ln 7＝1.946)[规范解答](1)∵f (x )＝x 2＋2x －a ln x ，∴f ′(x )＝2x 3－ax －2x 2(x >0)，由题意得f ′(2)＝0，则2×23－2a －2＝0，a ＝7，经验证，当a ＝7时，f (x )在x ＝2处取得极值，∴f (x )＝x 2＋2x－7ln x ，f ′(x )＝2x －2x 2－7x，∴f ′(1)＝－7，f (1)＝3，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －3＝－7(x －1)，即7x ＋y －10＝0．(2)令g (x )＝2x 3－ax －2(x >0)，则g ′(x )＝6x 2－a ，由a >0，g ′(x )＝0，可得x ＝a 6，∴g (x )由于g (0)＝－2<0，故当x g (x )<0，又g (1)＝－a <0，故g (x )在(1，＋∞)上有唯一零点，设为x 1，从而可知f (x )在(0，x 1)上单调递减，在(x 1，＋∞)上单调递增，由于f (x )有唯一零点x 0，故x 1＝x 0，且x 0>1，则g (x 0)＝0，f (x 0)＝0，可得2ln x 0－3x 30－1－1＝0．令h (x )＝2ln x －3x 3－1－1(x >1)，易知h (x )在(1，＋∞)上单调递增，由于h (2)＝2ln 2－107<2×0.7－107<0，h (3)＝2ln 3－2926>0，故x 0∈(2，3)，[x 0]＝2．[例2]已知函数f (x )＝x e x －12a (x ＋1)2．(1)若a ＝e ，求函数f (x )的极值；(2)若函数f (x )有两个零点，求实数a 的取值范围．[破题思路]第(1)问求f (x )的极值，想到求f ′(x )＝0的解，然后根据单调性求极值；第(2)问求实数a 的取值范围，想到建立关于a 的不等式，给出函数f (x )的解析式，并已知f (x )有两个零点，利用f (x )的图象与x 轴有两个交点求解．[规范解答](1)由题意知，当a ＝e 时，f (x )＝x e x －12e(x ＋1)2，函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝(x ＋1)e x －e(x ＋1)＝(x ＋1)(e x －e)．令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝1．当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表所示：x (－∞，－1)－1(－1，1)1(1，＋∞)f ′(x )＋0－0＋f (x )极大值－1e 极小值－e所以当x ＝－1时，f (x )取得极大值－1e ；当x ＝1时，f (x )取得极小值－e ．(2)法一：分类讨论法f ′(x )＝(x ＋1)e x －a (x ＋1)＝(x ＋1)(e x －a )，若a ＝0，易知函数f (x )在(－∞，＋∞)上只有一个零点，故不符合题意．若a <0，当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(－1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．由f (－1)＝－1e <0，且f (1)＝e －2a >0，当x →－∞时，f (x )→＋∞，所以函数f (x )在(－∞，＋∞)上有两个零点．若ln a <－1，即0<a <1e ，当x ∈(－∞，ln a )∪(－1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(ln a ，－1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．又f (ln a )＝a ln a －12a (ln a ＋1)2<0，所以函数f (x )在(－∞，＋∞)上至多有一个零点，故不符合题意．若ln a ＝－1，即a ＝1e ，当x ∈(－∞，＋∞)时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增，故不符合题意．若ln a >－1，即a >1e ，当x ∈(－∞，－1)∪(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(－1，ln a )时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．又f (－1)＝－1e <0，所以函数f (x )在(－∞，＋∞)上至多有一个零点，故不符合题意．综上，实数a 的取值范围是(－∞，0)．法二：数形结合法令f (x )＝0，即x e x －12a (x ＋1)2＝0，得x e x ＝12a (x ＋1)2．当x ＝－1时，方程为－e －1＝12a ×0，显然不成立，所以x ＝－1不是方程的解，即－1不是函数f (x )的零点．当x ≠－1时，分离参数得a ＝2x e x(x ＋1)2．记g (x )＝2x e x (x ＋1)2(x ≠－1)，则g ′(x )＝(2x e x )′(x ＋1)2－[(x ＋1)2]′·2x e x (x ＋1)4＝2e x (x 2＋1)(x ＋1)3．当x <－1时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减；当x >－1时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增．当x ＝0时，g (x )＝0；当x →－∞时，g (x )→0；当x →－1时，g (x )→－∞；当x →＋∞时，g (x )→＋∞．故函数g (x )的图象如图所示．作出直线y ＝a ，由图可知，当a <0时，直线y ＝a 和函数g (x )的图象有两个交点，此时函数f (x )有两个零点．故实数a 的取值范围是(－∞，0)．[题后悟通]利用函数零点的情况求参数范围的方法(1)分离参数(a ＝g (x ))后，将原问题转化为y ＝g (x )的值域(最值)问题或转化为直线y ＝a 与y ＝g (x )的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；(2)利用零点的存在性定理构建不等式求解；(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解[例3]已知函数f (x )＝e x －2x －1．(1)求曲线y ＝f (x )在(0，f (0))处的切线方程；(2)设g (x )＝af (x )＋(1－a )e x ，若g (x )有两个零点，求实数a 的取值范围．[规范解答](1)由题意知f ′(x )＝e x －2，k ＝f ′(0)＝1－2＝－1，又f (0)＝e 0－2×0－1＝0，∴f (x )在(0，f (0))处的切线方程为y ＝－x ．(2)g (x )＝e x －2ax －a ，g ′(x )＝e x －2a ．当a ≤0时，g ′(x )>0，∴g (x )在R 上单调递增，不符合题意．当a >0时，令g ′(x )＝0，得x ＝ln(2a )，在(－∞，ln(2a ))上，g ′(x )<0，在(ln(2a )，＋∞)上，g ′(x )>0，∴g (x )在(－∞，ln(2a ))上单调递减，在(ln(2a )，＋∞)上单调递增，∴g (x )极小值＝g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－a ＝a －2a ln(2a )．∵g (x )有两个零点，∴g (x )极小值<0，即a －2a ln(2a )<0，∵a >0，∴ln(2a )>12，解得a >e 2，∴实数a [例4]已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋x ，a ∈R ．(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线方程；(2)讨论f (x )的单调性；(3)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围．[规范解答](1)当a ＝0时，f (x )＝ln x ＋x ，f (e)＝e ＋1，f ′(x )＝1x ＋1，f ′(e)＝1＋1e，∴曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线方程为y －(e ＋1)x －e)，即y．(2)f ′(x )＝1x －2ax ＋1＝－2ax 2＋x ＋1x ，x >0，①当a ≤0时，显然f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a >0时，令f ′(x )＝－2ax 2＋x ＋1x＝0，则－2ax 2＋x ＋1＝0，易知其判别式为正，设方程的两根分别为x 1，x 2(x 1<x 2)，则x 1x 2＝－12a<0，∴x 1<0<x 2，∴f ′(x )＝－2ax 2＋x ＋1x ＝－2a (x －x 1)(x －x 2)x，x >0．令f ′(x )>0，得x ∈(0，x 2)；令f ′(x )<0，得x ∈(x 2，＋∞)，其中x 2＝1＋8a ＋14a，∴函数f (x )(3)法一：由(2)知，①当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，至多一个零点，不符合题意；②当a >0时，函数f (x )在(0，x 2)上单调递增，在(x 2，＋∞)上单调递减，∴f (x )max ＝f (x 2)．要使f (x )有两个零点，需f (x 2)>0，即ln x 2－ax 22＋x 2>0，又由f ′(x 2)＝0得ax 22＝1＋x 22，代入上面的不等式得2ln x 2＋x 2>1，解得x 2>1，∴a ＝1＋x 22x 22＝．下面证明：当a ∈(0，1)时，f (x )有两个零点．f ln 1e －a e －2＋1e <0，f ln 2a －a ·4a 2＋2a <2a －a ·4a 2＋2a＝0(∵ln x <x )．又x 2＝1＋8a ＋14a <1＋8＋14a ＝1a <2a ，且x 2＝1＋8a ＋14a ＝28a ＋1－1>28＋1－1＝1>1e ，f (x 2)＝ln x 2－ax 22＋x 2＝12(2ln x2＋x 2－1)>0，∴f (x )2∴a 的取值范围为(0，1)．法二：函数f (x )有两个零点，等价于方程a ＝ln x ＋x x 2有两解．令g (x )＝ln x ＋x x 2，x >0，则g ′(x )＝1－2ln x －x x 3．由g ′(x )＝1－2ln x －x x 3>0，得2ln x ＋x <1，解得0<x <1，∴g (x )在(0，1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减，又当x ≥1时，g (x )>0，当x →0时，g (x )→－∞，∴作出函数g(x)的简图如图，结合函数值的变化趋势猜想：当a∈(0，1)时符合题意．下面给出证明：当a≥1时，a≥g(x)max，方程至多一解，不符合题意；当a≤0时，方程至多一解，不符合题意；当a∈(0，1)时，，∴a<0，ln2a＋a，∴a<0．∴∴f(x)有两个零点．∴a的取值范围为(0，1)．[例5](2017·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝a e2x＋(a－2)·e x－x．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．[规范解答](1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2a e2x＋(a－2)e x－1＝(a e x－1)(2e x＋1)．(ⅰ)若a≤0，则f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，＋∞)单调递减．(ⅱ)若a＞0，则由f′(x)＝0得x＝－ln a．当x∈(－∞，－ln a)时，f′(x)＜0；当x∈(－ln a，＋∞)时，f′(x)＞0．所以f(x)在(－∞，－ln a)单调递减，在(－ln a，＋∞)单调递增．(2)(ⅰ)若a≤0，由(1)知，f(x)至多有一个零点．(ⅱ)若a＞0，由(1)知，当x＝－ln a时，f(x)取得最小值，最小值为f(－ln a)＝1－1a＋ln a．①当a＝1时，由于f(－ln a)＝0，故f(x)只有一个零点；②当a∈(1，＋∞)时，由于1－1a＋ln a＞0，即f(－ln a)＞0，故f(x)没有零点；③当a∈(0，1)时，1－1a＋ln a＜0，即f(－ln a)＜0．又f(－2)＝a e－4＋(a－2)e－2＋2＞－2e－2＋2＞0，故f(x)在(－∞，－ln a)有一个零点．设正整数n0满足n0＞f(n0)＝e n0(a e n0＋a－2)－n0＞e n0－n0＞2n0－n0＞0．由于ln a，因此f(x)在(－ln a，＋∞)有一个零点．综上，a的取值范围为(0，1)．[例6]已知a∈R，函数f(x)＝e x－ax(e＝2.71828…是自然对数的底数)．(1)若函数f(x)在区间(－e，－1)上是减函数，求实数a的取值范围；(2)若函数F(x)＝f(x)－(e x－2ax＋2ln x＋a)a的最大值．[规范解答](1)由f(x)＝e x－ax，得f′(x)＝e x－a且f′(x)在R上单调递增．若f(x)在区间(－e，－1)上是减函数，只需f′(x)≤0在(－e，－1)上恒成立．因此只需f′(－1)＝e－1－a≤0，解得a≥1e．又当a＝1e时，f′(x)＝ex－1e≤0，当且仅当x＝－1时取等号．所以实数a 的取值范围是1e ，＋(2)由已知得F (x )＝a (x －1)－2ln x ，且F (1)＝0，则F ′(x )＝a －2x ＝ax －2x ＝x >0．①当a ≤0时，F ′(x )<0，F (x )在区间(0，＋∞)上单调递减，结合F (1)＝0知，当x F (x )>0．所以F (x )②当a >0时，令F ′(x )＝0，得x ＝2a ．若2a ≥12，即a ∈(0，4]时，F (x )又x →0时，F (x )→＋∞．要使F (x )＝－a 2－2ln 12≥0，则0<a ≤4ln 2．若2a <12，即a >4时，则F (x )所以F (x )min ＝2－a －2ln 2a ，令φ(a )＝2－a －2ln 2a ，则φ′(a )＝－1＋2a ＝2－aa <0．所以φ(a )在(4，＋∞)上是减函数，则φ(a )<φ(4)＝2ln 2－2<0．因此，所以F (x )在x综上，函数F (x )a ≤4ln 2，所以实数a 的最大值为4ln 2．【对点训练】1．(2018·全国Ⅱ)已知函数f (x )＝e x －ax 2．(1)若a ＝1，证明：当x ≥0时，f (x )≥1；(2)若f (x )在(0，＋∞)只有一个零点，求a ．1．解析(1)当a ＝1时，f (x )≥1等价于(x 2＋1)e －x －1≤0．设函数g (x )＝(x 2＋1)e －x －1，则g ′(x )＝－(x 2－2x ＋1)e －x ＝－(x －1)2e －x ．当x ≠1时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0，＋∞)单调递减．而g (0)＝0，故当x ≥0时，g (x )≤0，即f (x )≥1．(2)设函数h (x )＝1－ax 2e －x ．当且仅当h (x )在(0，＋∞)只有一个零点时，f (x )在(0，＋∞)只有一个零点．①当a ≤0时，h (x )>0，h (x )没有零点；②当a >0时，h ′(x )＝ax (x －2)e －x ．当x ∈(0，2)时，h ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )>0．所以h (x )在(0，2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增．故h (2)＝1－4a e 2是h (x )在[0，＋∞)的最小值．1)若h (2)>0，即a <e 24，h (x )在(0，＋∞)没有零点；2)若h (2)＝0，即a ＝e 24，h (x )在(0，＋∞)只有一个零点；3)若h (2)<0，即a >e 24，由于h (0)＝1，所以h (x )在(0，2)有一个零点．由(1)知，当x >0时，e x >x 2，所以h (4a )＝1－16a 3e 4a ＝1－16a 3e 2a 2>1－16a 32a 4＝1－1a>0．故h (x )在(2，4a )有一个零点．因此h (x )在(0，＋∞)有两个零点．综上，f (x )在(0，＋∞)只有一个零点时，a ＝e 24．2．设函数f (x )＝ln x ＋x .(1)令F (x )＝f (x )＋a x －x (0<x ≤3)，若F (x )的图象上任意一点P (x 0，y 0)处切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若方程2mf (x )＝x 2有唯一实数解，求正数m 的值．2．解析(1)∵F (x )＝ln x ＋a x ，x ∈(0，3]，∴F ′(x )＝1x －a x 2＝x －a x 2，∴k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20，∵F (x )的图象上任意一点P (x 0，y 0)处切线的斜率k ≤12恒成立，∴k ＝x 0－a x 20≤12在x 0∈(0，3]上恒成立，∴a －12x 20＋x ，x 0∈(0，3]，当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12，∴a ≥12，即实数a 的取值范围为12，＋(2)∵方程2mf (x )＝x 2有唯一实数解，∴x 2－2m ln x －2mx ＝0有唯一实数解．设g (x )＝x 2－2m ln x －2mx ，则g ′(x )＝2x 2－2mx －2m x ．令g ′(x )＝0，则x 2－mx －m ＝0.∵m >0，∴Δ＝m 2＋4m >0，∵x >0，∴x 1＝m －m 2＋4m 2<0(舍去)，x 2＝m ＋m 2＋4m 2，当x ∈(0，x 2)时，g ′(x )<0，g (x )在(0，x 2)上单调递减，当x ∈(x 2，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在(x 2，＋∞)单调递增，当x ＝x 2时，g ′(x 2)＝0，g (x )取最小值g (x 2)．∵g (x )＝0有唯一解，∴g (x 2)＝0，′(x 2)＝0，(x 2)＝0，即x 22－2m ln x 2－2mx 2＝x 22－mx 2－m ，∴2m ln x 2＋mx 2－m ＝0，∵m >0，∴2ln x 2＋x 2－1＝0.(*)设函数h (x )＝2ln x ＋x －1，∵当x >0时，h (x )是增函数，∴h (x )＝0至多有一解．∵h (1)＝0，∴方程(*)的解为x 2＝1，即1＝m ＋m 2＋4m 2，解得m ＝12.3．函数f (x )＝ax ＋x ln x 在x ＝1处取得极值．(1)求f (x )的单调区间；(2)若y ＝f (x )－m －1在定义域内有两个不同的零点，求实数m 的取值范围．3．解析(1)由题意知，f ′(x )＝a ＋ln x ＋1(x >0)，f ′(1)＝a ＋1＝0，解得a ＝－1，当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋x ln x ，即f ′(x )＝ln x ，令f ′(x )>0，解得x >1；令f ′(x )<0，解得0<x <1．∴f (x )在x ＝1处取得极小值，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)．(2)y ＝f (x )－m －1在(0，＋∞)上有两个不同的零点，可转化为f (x )＝m ＋1在(0，＋∞)上有两个不同的根，也可转化为y ＝f (x )与y ＝m ＋1的图象有两个不同的交点，由(1)知，f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (1)＝－1，由题意得，m ＋1>－1，即m >－2，①当0<x <1时，f (x )＝x (－1＋ln x )<0；当x >0且x →0时，f (x )→0；当x →＋∞时，显然f (x )→＋∞．如图，由图象可知，m ＋1<0，即m <－1，②由①②可得－2<m <－1．故实数m 的取值范围为(－2，－1)．4．设函数f (x )＝－x 2＋ax ＋ln x (a ∈R )．(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的单调区间；(2)设函数f (x )在13，3上有两个零点，求实数a 的取值范围．4．解析(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－1时，f ′(x )＝－2x －1＋1x ＝－2x 2－x ＋1x，令f ′(x )＝0，得x ＝12(负值舍去)，当0<x <12时，f ′(x )>0；当x >12时，f ′(x )<0，∴f (x )(2)令f (x )＝－x 2＋ax ＋ln x ＝0，得a ＝x －ln x x ，令g (x )＝x －ln x x，其中x ∈13，3，则g ′(x )＝1－1x ·x －ln x x 2＝x 2＋ln x －1x 2，令g ′(x )＝0，得x ＝1，当13≤x <1时，g ′(x )<0；当1<x ≤3时，g ′(x )>0，∴g (x )的单调递减区间为13，(1，3]，∴g (x )min ＝g (1)＝1，由于函数f (x )在13，3上有两个零点，3ln 3＋13，g (3)＝3－ln 33，3ln 3＋13>3－ln 33，∴实数a ，3－ln 33．5．已知函数f (x )＝(x －2)e x ＋a (x －1)2．(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围．5．解析(1)f ′(x )＝(x －1)e x ＋2a (x －1)＝(x －1)(e x ＋2a )．①设a ≥0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0．所以f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．②设a <0，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )．若a ＝－e 2，则f ′(x )＝(x －1)(e x －e)，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．若a >－e 2，则ln(－2a )<1，故当x ∈(－∞，ln(－2a ))∪(1，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(ln(－2a )，1)时，f ′(x )<0．所以f (x )在(－∞，ln(－2a ))，(1，＋∞)上单调递增，在(ln(－2a )，1)上单调递减．若a <－e 2，则ln(－2a )>1，故当x ∈(－∞，1)∪(ln(－2a )，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，ln(－2a ))时，f ′(x )<0．所以f (x )在(－∞，1)，(ln(－2a )，＋∞)上单调递增，在(1，ln(－2a ))上单调递减．(2)①设a >0，则由(1)知，f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．又f (1)＝－e ，f (2)＝a ，取b 满足b <0且b <ln a 2，则f (b )>a 2(b －2)＋a (b －1)2＝2－32b ，所以f (x )有两个零点．②设a ＝0，则f (x )＝(x －2)e x ，所以f (x )只有一个零点．③设a <0，若a ≥－e 2，则由(1)知，f (x )在(1，＋∞)上单调递增．又当x ≤1时，f (x )<0，故f (x )不存在两个零点；若a <－e 2，则由(1)知，f (x )在(1，ln(－2a ))上单调递减，在(ln(－2a )，＋∞)上单调递增．又当x ≤1时，f (x )<0，故f (x )不存在两个零点．综上，a 的取值范围为(0，＋∞)．6．已知函数f (x )＝(x －1)e x ＋ax 2，a ∈R ．(1)讨论函数f (x )的单调区间；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围．6．解析(1)f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x ＋2ax ＝x (e x ＋2a )．①若a ≥0，则当x >0时，f ′(x )>0；当x <0时，f ′(x )<0．故函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．②当a <0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝ln(－2a )．(ⅰ)若ln(－2a)＝0，即a＝－12，则∀x∈R，f′(x)＝x(ex－1)≥0，故f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；(ⅱ)若ln(－2a)<0，即－12<a<0，则当x∈(－∞，ln(－2a))∪(0，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(ln(－2a)，0)时，f′(x)<0．故函数f(x)在(－∞，ln(－2a))，(0，＋∞)上单调递增，在(ln(－2a)，0)上单调递减．(ⅲ)若ln(－2a)>0，即a<－12，则当x∈(－∞，0)∪(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(0，ln(－2a))时，f′(x)<0．故函数f(x)在(－∞，0)，(ln(－2a)，＋∞)上单调递增，在(0，ln(－2a))上单调递减．(2)①当a>0时，由(1)知，函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．因为f(0)＝－1<0，f(2)＝e2＋4a>0，取实数b满足b<－2且b<ln a，则f(b)>a(b－1)＋ab2＝a(b2＋b－1)>a(4－2－1)>0，所以f(x)有两个零点；②若a＝0，则f(x)＝(x－1)e x，故f(x)只有一个零点．③若a<0，由(1)知，当a≥－12时，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又当x≤0时，f(x)<0，故f(x)不存在两个零点；当a<－12时，则f(x)在(－∞，0)，(ln(－2a)，＋∞)上单调递增；在(0，ln(－2a))上单调递减．又f(0)＝－1，故不存在两个零点．综上所述，a的取值范围是(0，＋∞)．7．已知函数f(x)＝(2－a)x－2(1＋ln x)＋a．(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间．(2)若函数f(x)a的最小值．7．解析(1)当a＝1时，f(x)＝x－1－2ln x，则f′(x)＝1－2x x∈(0，＋∞)．由f′(x)＞0，得x＞2，由f′(x)＜0，得0＜x＜2，故f(x)的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞)．(2)f(x)＝(2－a)x－2(1＋ln x)＋a＝(2－a)(x－1)－2ln x，令m(x)＝(2－a)(x－1)，h(x)＝2ln x，其中x＞0，则f(x)＝m(x)－h(x)．①当a＜2时，m(x)h(x)结合图象知，若f(x)(2－a 1 2，所以a≥2－4ln2，所以2－4ln2≤a＜2．②当a≥2m(x)≥0，h(x)＜0，所以f(x)＞0，所以f(x)由①②得a≥2－4ln2，所以a min＝2－4ln2．8．已知函数F(x)＝ln xx－1－ax＋1．(1)设函数h(x)＝(x－1)F(x)，当a＝2时，证明：当x>1时，h(x)>0；(2)若F(x)有两个不同的零点，求a的取值范围．8．解析(1)当a＝2，x>1时，h′(x)＝(x－1)2x(x＋1)2>0，所以h(x)在(1，＋∞)上单调递增，且h(1)＝0，所以当x>1时，h(x)>0．(2)设函数f(x)＝ln x－a(x－1)x＋1，则f′(x)＝x2＋2(1－a)x＋1x(x＋1)2．令g(x)＝x2＋2(1－a)x＋1，当a≤1，x>0时，g(x)>0，当1<a≤2时，Δ＝4a2－8a≤0，得g(x)≥0，所以当a≤2时，f′(x)≥0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，此时f(x)至多有一个零点，F(x)＝1x－1f(x)至多有一个零点，不符合题意，舍去．当a>2时，Δ＝4a2－8a>0，此时g(x)有两个零点，设为t1，t2，且t1<t2．又t1＋t2＝2(a－1)>0，t1t2＝1，所以0<t1<1<t2．所以f(x)在(0，t1)，(t2，＋∞)上单调递增，在(t1，t2)上单调递减，且f(1)＝0，所以f(t1)>0，f(t2)<0，又f(e－a)＝－2ae a＋1<0，f(e a)＝2ae a＋1>0，且f(x)的图象连续不断，所以存在唯一x1∈(e－a，t1)，使得f(x1)＝0，存在唯一x2∈(t2，e a)，使得f(x2)＝0．又F(x)＝1x－1f(x)，所以当F(x)有两个不同零点时，a的取值范围为(2，＋∞)．9．已知函数f(x)＝x e x－a(ln x＋x)，a∈R．(1)当a＝e时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围．9．解析(1)函数的定义域为(0，＋∞)，当a＝e时，f′(x)＝(1＋x)(x e x－e)x．令f′(x)>0，得x>1，令f′(x)<0，得0<x<1，∴f(x)在(0，1)上单调递减；在(1，＋∞)上单调递增．(2)记t＝ln x＋x，则t＝ln x＋x在(0，＋∞)上单调递增，且t∈R．∴f(x)＝x e x－a(ln x＋x)＝e t－at．设g(t)＝e t－at，∴f(x)在x>0时有两个零点等价于g(t)＝e t－at在t∈R上有两个零点．①当a＝0时，g(t)＝e t在R上单调递增，且g(t)>0，故g(t)无零点；②当a<0时，g′(t)＝e t－a在R上单调递增，又g (0)＝1>0，1e a －1<0，故g (t )在R 上只有一个零点；③当a >0时，由g ′(t )＝e t －a ＝0可知g (t )在t ＝ln a 时有唯一的一个极小值且为最小值g (ln a )＝a (1－ln a )．若0<a <e ，g (ln a )＝a (1－ln a )>0，g (t )无零点；若a ＝e ，g (ln a )＝0，g (t )只有一个零点；若a >e 时，g (ln a )＝a (1－ln a )<0，而g (0)＝1>0，由于f (x )＝ln x x在x >e 时单调递减，可知a >e 时，e a >a e >a 2．从而g (a )＝e a －a 2>0，∴g (x )在(0，ln a )和(ln a ，＋∞)上各有一个零点．综上可知当a >e 时，f (x )有两个零点，即所求a 的取值范围是(e ，＋∞)．10．已知函数f (x )＝e x x，g (x )＝a (x －ln x )(a ∈R )．(1)求函数g (x )的极值；(2)若h (x )＝f (x )－g (x )在[1，＋∞)上有且只有一个零点，求实数a 的取值范围．10．解析(1)函数g (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝0时，函数g (x )＝0无极值，当a ≠0时，g ′(x )＝＝a x －1x ．若a >0，令g ′(x )>0，则x >1；令g ′(x )<0，则0<x <1，所以函数g (x )在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减，所以g (x )的极小值为g (1)＝a ，无极大值．若a <0，令g ′(x )>0，则0<x <1；令g ′(x )<0，则x >1，所以函数g (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以g (x )的极大值为g (1)＝a ，无极小值．(2)令M (x )＝x －ln x ，M ′(x )＝1－1x，当x ∈[1，＋∞)时，M ′(x )≥0，所以M (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以M (x )≥M (1)＝1，所以x －ln x >0．由题可知，h (x )＝f (x )－g (x )在[1，＋∞)上有且只有一个零点，即h (x )＝0在[1，＋∞)上有且只有一个根，等价于a ＝e x x (x －ln x )在[1，＋∞)上有且只有一个根，等价于函数y ＝a 与函数t (x )＝e x x (x －ln x )的图象在[1，＋∞)上只有一个交点，t ′(x )＝e x (x 2－x ln x －2x ＋ln x ＋1)[x (x －ln x )]2，令m (x )＝x 2－x ln x －2x ＋ln x ＋1，则m ′(x )＝2x －ln x ＋1x －3，令μ(x )＝m ′(x )，则μ′(x )＝2－1x －1x 2＝(2x ＋1)(x －1)x 2，当x ∈[1，＋∞)时，μ′(x )≥0，所以m ′(x )在[1，＋∞)上单调递增，则m′(x)≥m′(1)＝0，所以m(x)在[1，＋∞)上单调递增，则m(x)≥m(1)＝0，所以t(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以t(x)≥e，所以a≥e．。

2023年新高考数学大一轮复习专题15 单调性问题(原卷版)

2023年新高考数学大一轮复习专题15 单调性问题(原卷版)

专题15单调性问题【考点预测】知识点一：单调性基础问题 1．函数的单调性函数单调性的判定方法：设函数()y f x =在某个区间内可导，如果()0f x '>，则()y f x =为增函数；如果()0f x '<，则()y f x =为减函数．2．已知函数的单调性问题①若()f x 在某个区间上单调递增，则在该区间上有()0f x '≥恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足()0f x '>，才能得出()f x 在某个区间上单调递增；②若()f x 在某个区间上单调递减，则在该区间上有()0f x '≤恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足()0f x '<，才能得出()f x 在某个区间上单调递减．知识点二：讨论单调区间问题 类型一：不含参数单调性讨论（1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)； （2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；（3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x 轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)；（4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)； （5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)；（6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． （7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)；类型二：含参数单调性讨论（1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)；（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；（3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根；（4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)； （5）导数图像定区间； 【方法技巧与总结】1．求可导函数单调区间的一般步骤 （1）确定函数()f x 的定义域；（2）求()f x '，令()0f x '=，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；（3）把函数()f x 的间断点（即()f x 的无定义点）的横坐标和()0f x '=的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义域分成若干个小区间；（4）确定()f x '在各小区间内的符号，根据()f x '的符号判断函数()f x 在每个相应小区间内的增减性. 注①使()0f x '=的离散点不影响函数的单调性，即当()f x '在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，()f x 在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在(,)-∞+∞上，3()f x x =，当0x =时，()0f x '=；当0x ≠时，()0f x '>，而显然3()f x x =在(,)-∞+∞上是单调递增函数.②若函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递增，则()0f x '≥（()f x '不恒为0），反之不成立.因为()0f x '≥，即()0f x '>或()0f x '=，当()0f x '>时，函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递增.当()0f x '=时，()f x 在这个区间为常值函数；同理，若函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递减，则()0f x '≤（()f x '不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论：()0f x '>⇒()f x 单调递增；()f x 单调递增()0f x '⇒≥； ()0f x '<⇒()f x 单调递减；()f x 单调递减()0f x '⇒≤.【题型归纳目录】题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像 题型二：求单调区间题型三：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围 题型四：不含参数单调性讨论 题型五：含参数单调性讨论 情形一：函数为一次函数 情形二：函数为准一次函数 情形三：函数为二次函数型 1.可因式分解 2.不可因式分解型情形四：函数为准二次函数型 题型六：分段分析法讨论 【典例例题】题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像例1．（2022·陕西·汉台中学模拟预测（文））设函数()f x 在定义域内可导，()f x 的图象如图所示，则其导函数()'f x 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．例2．（2022·云南曲靖·二模（文））设()'f x 是函数()f x 的导函数，()f x ''是函数()'f x 的导函数，若对任意R ()0,()0x f x f x '''∈><，恒成立，则下列选项正确的是（ ）A ．0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<B ．0(3)(2)(2)(3)f f f f ''<-<<C ．0(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<<-D ．0(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<<-例3．（2022·安徽马鞍山·三模（理））已知定义在R 上的函数()f x ，其导函数()f x '的大致图象如图所示，则下列结论正确的是( )A ．()()()f b f c f a >>B ．()()()f b f c f e >=C ．()()()f c f b f a >>D ．()()()f e f d f c >>【方法技巧与总结】原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数()f x 单调递增⇔导函数()0f x '≥（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足()0f x '>）；原函数单调递减⇔导函数()0f x '≤（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足0()0f x <）.题型二：求单调区间例4．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知函数f (x )满足()()()2212e 02x f x f f x x -'=-+，则f (x )的单调递减区间为（ ） A ．(-∞,0)B ．(1,+∞)C ．(-∞,1)D ．(0,+∞)例5．（2021·西藏·林芝市第二高级中学高三阶段练习（理））函数()()3e xf x x =-的单调增区间是( )A ．()2-∞，B ．()03，C ．()14，D ．()2+∞，例6．（2022·全国·高三专题练习（文））函数(2)e ,0()2,0x x x f x x x ⎧-≥=⎨--<⎩的单调递减区间为__________．【方法技巧与总结】求函数的单调区间的步骤如下： （1）求()f x 的定义域 （2）求出()f x '.（3）令()0f x '=，求出其全部根，把全部的根在x 轴上标出，穿针引线.（4）在定义域内，令()0f x '>，解出x 的取值范围，得函数的单调递增区间；令()0f x '<，解出x 的取值范围，得函数的单调递减区间.若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用“”、“或”连接，而应用“和”、“，”隔开.题型三：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围例7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()32391f x x mx mx =-++在()1,+∞上为单调递增函数，则实数m的取值范围为（ ） A ．(),1-∞-B ．[]1,1-C ．[]1,3D ．[]1,3-例8．（2021·河南·高三阶段练习（文））已知函数()()41x f x ax x e =+-在区间[]1,3上不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2,416e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．2,416e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦C ．32,3616e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．3,416e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭例9．（2022·全国·高三专题练习）若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1，3)，则b ＋c ＝（ ） A ．－12B ．－10C ．8D ．10例10．（2022·全国·高三专题练习）若函数()32236f x x mx x =-+在区间()1,+∞上为增函数，则实数m 的取值范围是_______.例11．（2022·全国·高三专题练习）若函数()313f x x ax =-+有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________．例12．（2022·全国·高三专题练习）若函数()324132x a f x x x =-++在区间(1，4)上不单调，则实数a 的取值范围是___________.例13．（2022·河北·高三阶段练习）若函数()2()e xf x x mx =+在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上存在单调递减区间，则m 的取值范围是_________．例14．（2022·全国·高三专题练习（文））若函数h (x )＝ln x －12ax 2－2x (a ≠0)在[1,4]上存在单调递减区间”，则实数a 的取值范围为________.例15．（2020·江苏·邵伯高级中学高三阶段练习）若函数3y x ax =-+在[)1,+∞上是单调函数，则a 的最大值是______.例16．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数f (x )＝3xa－2x 2＋ln x (a >0)，若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，则实数a 的取值范围是________.【方法技巧与总结】（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析导函数的形式及图像特点，如一次函数最值落在端点，开口向上的抛物线最大值落在端点，开口向下的抛物线最小值落在端点等.（2）已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围. （3）已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解. 题型四：不含参数单调性讨论例17．（2022·山东临沂·三模）已知函数()21ln ax f x x-=，其图象在e x =处的切线过点()22e,2e ．(1)求a 的值；(2)讨论()f x 的单调性；例18．（2022·天津·模拟预测）已知函数()()()1ln 10x f x x x++=>.试判断函数()f x 在()0+∞，上单调性并证明你的结论；例19．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学三模）已知函数()()ln 1x a x a f x x+++=(1)若函数()f x 在点()()e,e f 处的切线斜率为0，求a 的值．(2)当1a =时．设函数()()()xf x G x f x '=，求证：()y f x =与()y G x =在[]1,e 上均单调递增；例20．（2022·浙江·杭州高级中学模拟预测）已知函数()()ln ln e1,,0x af x x a x a a +=+-+>->. 当1a =时，求()f x 的单调区间题型五：含参数单调性讨论 情形一：函数为一次函数例21．（2022·江西·二模（文））己知函数()ln 1(),()e 1x f x ax x a R g x x =++∈=-． 讨论()f x 的单调性；例22．（2022·北京八十中模拟预测）已知函数()axf x=. (1)当1a =时，求函数()f x 在(1,(1))f 处的切线方程； (2)求函数()f x 的单调区间；例23．（2022·广东·模拟预测）已知函数()ln(1)(),()22f x x mx m g x x n =--∈=+-R ． 讨论函数()f x 的单调性；情形二：函数为准一次函数例24．（2022·全国·模拟预测（文））设函数()1ln a xf x x+=，其中R a ∈. 当0a ≥时，求函数()f x 的单调区间；例25．（2022·江苏·华罗庚中学三模）已知函数()()2e 3x R f x ax a =-+∈ ，()ln e x g x x x =+（e 为自然对数的底数，25e 9<）． 求函数()f x 的单调区间；例26．（2022·云南师大附中模拟预测（理））已知函数()()21ln 12f x x x ax a x =-+-，其中0a .讨论()f x 的单调性；例27．（2022·云南师大附中高三阶段练习（文））已知函数()ln f x x x ax =-. 讨论()f x 的单调性；情形三：函数为二次函数型 1.可因式分解例28．（2022·全国·模拟预测）已知函数[]21()2ln ln(1),02=-+-≠f x k x x kx k . 讨论()f x 的单调性；例29．（2022·天津·二模）已知函数221()2ln ()2f x a x x ax a R =-++∈． (1)当1a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程； (2)求函数()f x 的单调区间；例30．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））已知函数()()2ln 21f x x ax a x =+++讨论f （x ）的单调性；例31．（2022·浙江省江山中学模拟预测）函数2()ln 1(,0)x f x x a R a a=-+∈≠．讨论函数()y f x =的单调性；例32．（2022·广东·潮州市瓷都中学三模）已知函数()()()322316R f x x m x mx x =+++∈.讨论函数()f x 的单调性；例33．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知函数()()()21ln 2a f x x a x x a R =+--∈． 求函数()f x 的单调区间；例34．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（文））已知函数()()()21212ln R 2f x ax a x x a =-++∈ (1)当1a =-时，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； (2)当0a >时，求函数()f x 的单调递增区间.2.不可因式分解型例35．（2022·江苏徐州·模拟预测）已知函数2()4ln ,f x x x a x a =-+∈R ，函数()f x 的导函数为()'f x ． 讨论函数()f x 的单调性；例36．（2022·天津南开·三模）已知函数()()()211ln 2f x x ax ax x a R =+-+∈，记()f x 的导函数为()g x 讨论()g x 的单调性；【方法技巧与总结】1．关于含参函数单调性的讨论问题，要根据导函数的情况来作出选择，通过对新函数零点个数的讨论，从而得到原函数对应导数的正负，最终判断原函数的增减．（注意定义域的间断情况）．2．需要求二阶导的题目，往往通过二阶导的正负来判断一阶导函数的单调性，结合一阶导函数端点处的函数值或零点可判断一阶导函数正负区间段．3．利用草稿图像辅助说明． 情形四：函数为准二次函数型例37．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））设函数23ln 2()2,()2,e e x xx x f x ax ax g x ax a x =+-=++∈R ． 讨论()f x 的单调性;例38．（2022·全国·二模（理））已知函数()()2x e 2e xf x a ax =+++．讨论()f x 的单调性；例39．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））已知函数()e e x x f x ax -=--（e 为自然对数的底数），其中R a ∈．试讨论函数()f x 的单调性；例40．（2022·浙江·模拟预测）已知函数()()2e 2e x x f x a a x =+--.讨论()f x 的单调性；题型六：分段分析法讨论例41．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知函数()()12211ln x f x a x x x a -+=+-++-（0a >，且1a ≠）求函数()f x 的单调区间；【方法技巧与总结】1．二次型结构2ax bx c ++，当且仅当0a =时，变号函数为一次函数．此种情况是最特殊的，故应最先讨论，遵循先特殊后一般的原则，避免写到最后忘记特殊情况，导致丢解漏解．2．对于不可以因式分解的二次型结构2ax bx c ++，我们优先考虑参数取值能不能引起恒正恒负． 3．注意定义域以及根的大小关系．【过关测试】 一、单选题1．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（理））已知函数()sin 2cos f x a x x =+在ππ,34x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上单调递增，则a 的取值范围为（ ） A ．0a ≥B ．22a -≤≤C ．2a ≥-D ．0a ≥或2a ≤-2．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（理））已知()21cos 4f x x x =+，()f x '为()f x 的导函数，则()y f x '=的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2022·江西师大附中三模（理））下列函数中既是奇函数又是增函数的是（ ）A ．1()f x x x=-B ．122()xxf x ⎛+⎫⎪⎝⎭= C ．3()tan f x x x =+ D ．)()lnf x x =4．（2022·北京·首都师范大学附属中学三模）下列函数中，既是偶函数又在()0,2上单调递减的是（ ） A ．2x y = B ．3y x =- C ．cos 2x y =D ．2ln2xy x-=+ 5．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（文））已知函数()3ln 2f x x x =--，则不等式()()2325f x f x ->-的解集为（ ）A ．()4,2-B ．()2,2-C ．()(),22,∞∞--⋃+D ．()(),42,-∞-+∞6．（2022·江西宜春·模拟预测（文））“函数sin y ax x =-在R 上是增函数”是“0a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．（2022·江西宜春·模拟预测（文））已知函数()()1e x f x x mx =--在区间[]2,4上存在单调减区间，则实数m 的取值范围为（ ）A ．()22e ,+∞B ．(),e -∞C ．()20,2eD ．()0,e8．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知1,1a b >>,且1(1)e e (e a b b a a ++=+为自然对数),则下列结论一定正确的是（ ）A ．ln()1a b +>B ．ln()0-<a bC ．122a b +<D ．3222a b +< 二、多选题9．（2022·广东·信宜市第二中学高三开学考试）已知()ln x f x x =，下列说法正确的是（ ） A ．()f x 在1x =处的切线方程为1y x =+ B ．()f x 的单调递减区间为(),e +∞C ．()f x 的极大值为1eD ．方程()1f x =-有两个不同的解 10．（2022·全国·模拟预测）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，其导函数为()f x '，对于任意,()0x ∈+∞，都有()ln ()0x xf x f x '+>，则使不等式1()ln 1f x x x +>成立的x 的值可以为（ ） A ．12 B ．1 C ．2 D ．311．（2022·全国·高三专题练习）下列函数在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）A ．y ＝x ﹣（12）x B ．y ＝x +sin x C ．y ＝3﹣x D ．y ＝x 2+2x +112．（2022·广东·模拟预测）已知()2121()1e 2x f x a x -=--，若不等式11ln 1f f x x ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭在(1,)+∞上恒成立，则a 的值可以为（ ）A ．B ．1-C ．1D 三、填空题13．（2022·山西运城·模拟预测（理））若命题3:[1,1],2p x x a x ∀∈-≥-为假命题，则实数a 的取值范围是___________.14．（2022·重庆八中模拟预测）写出一个具有性质①②③的函数()f x =____________.①()f x 的定义域为()0,+∞；②()()()1212f x x f x f x =+；③当()0,x ∈+∞时，()0f x '>.15．（2022·全国·高三专题练习）如果5533cos θsin θ7(cos θsin θ),θ[0,2π]->-∈ ，则θ的取值范围是___________．16．（2022·江西萍乡·二模（文））已知函数()f x 是R 上的奇函数，且()33f x x x =+，若非零正实数,m n 满足()()20f m mn f n -+=，则11m n+的小值是_______．四、解答题17．（2022·北京工业大学附属中学三模）已知函数()ln R k f x x k k x =--∈， (1)讨论函数()f x 在区间(1,e)内的单调性；(2)若函数()f x 在区间(1,e) 内无零点，求k 的取值范围．18．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（文））已知函数()21ln 2f x x a x ax =--()0a >． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 恰有一个零点，求a 的值．19．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()(1)=--x f x k x e x ，其中k ∈R.当k 2≤时，求函数()f x 的单调区间；20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()e x f x ax -=+.讨论()f x 的单调性；21．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln e xx a f x +=.当1a =时，判断()f x 的单调性；22．（2022·全国·高三专题练习）讨论函数2(x)e 2x x f x -=+的单调性，并证明当0x >时，(2)e 20x x x -++>.。

专题12 导数与函数的单调性--《2023年高考数学命题热点聚焦与扩展》【解析版】

专题12 导数与函数的单调性--《2023年高考数学命题热点聚焦与扩展》【解析版】

【热点聚焦】单调性是函数的一个重要性质，对函数作图起到决定性的作用，而导数是分析函数单调区间的一个便利工具.在高考导数的综合题中，所给函数往往是一个含参数的函数，且导函数含有参数，在分析函数单调性时面临分类讨论.从高考命题看，对函数单调性的考查主要有：利用导数求函数的单调区间、判断单调性、已知单调性，求参数等．【重点知识回眸】（一）函数的单调性与导数的关系 条件 结论函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上可导f ′(x )＞0 f (x )在(a ，b )内单调递增 f ′(x )＜0 f (x )在(a ，b )内单调递减 f ′(x )＝0f (x )在(a ，b )内是常数函数优先”原则． （二）常用结论1．在某区间内f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)是函数f (x )在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． 2．可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是对∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)且f ′(x )在(a ，b )上的任何子区间内都不恒为零． （三）常见问题解题方法1.导数求单调区间的步骤：利用导数求函数单调区间的方法，大致步骤可应用到解含参函数的单调区间.即确定定义域→求出导函数→令()'0f x >解不等式→得到递增区间后取定义域的补集（减区间）→单调性列出表格.2.求含参函数单调区间的实质——解含参不等式，而定义域对x 的限制有时会简化含参不等式的求解3.求单调区间首先确定定义域，并根据定义域将导数不等式中恒正恒负的项处理掉，以简化讨论的不等式4.含参数问题分类讨论的时机分类时机：并不是所有含参问题均需要分类讨论，当参数的不同取值对下一步的结果影响不相同时，就是分类讨论开始的时机.【典型考题解析】热点一 不含参数的函数的单调性【典例1】（2023·全国·高三专题练习）函数21()ln 2f x x x =-的单调递减区间为（ ） A ．(1,1)- B ．(0,1)C ．(1,)+∞D ．(0,2)【答案】B【分析】求导，解不等式()0f x '<可得. 【详解】()f x 的定义域为(0,)+∞ 解不等式1(1)(1)()0x x f x x x x-+'=-=<，可得01x <<， 故函数21()ln 2f x x x =-的递减区间为(0,1). 故选：B ．【典例2】（广东·高考真题（文））函数的单调递增区间是 （ ）A ．B ．(0,3)C ．(1,4)D ．【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由题意得，()()(3)(3)(2)x x x f x x e x e x e '=-+-=-''，令()0f x '>，解得2x >，所以函数()f x 的单调递增区间为，故选D ．【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知定义在区间(0，π)上的函数f (x )＝x ＋2cos x ，则f (x )的单调递增区间为________． 【答案】(0,)6π，5(,)6ππ【分析】对()f x 求导，令f ′(x )＝0，得x ＝6π或x ＝56π，求出()0f x '> 的解即可求出答案. 【详解】f ′(x )＝1－2sin x ，x ∈(0，π)．令f ′(x )＝0，得x ＝6π或x ＝56π， 当0<x <6π时，f ′(x )>0， 当6π<x <56π时，f ′(x )<0，当56π<x <π时，f ′(x )>0， ∴f (x )在(0,)6π和5(,)6ππ上单调递增，在5(,)66ππ上单调递减．故答案为：(0,)6π，5(,)6ππ.【典例4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数211,0()2,0x f x x x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+>⎩，则函数12()log g x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间为__． 【答案】20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，[1,)+∞ 【分析】先根据题意求出()g x 的解析式，然后在每一段上求出函数的增区间即可 【详解】由12log 0x ≤，得1≥x ，由12log 0x >，得01x <<，所以当1≥x 时，12log 1()112xg x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则()g x 在[1,)+∞上递增，当01x <<时，21122()loglog g x x x =-+，则121212log 11()2log 111lnlnln222x g x x x x x -'=-⋅+=，由()0g x '>，得1212log 0x -<，解得202x <<， 所以()g x 在20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上递增， 综上得函数()g x 的单调递增区间为20,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，[1,)+∞． 故答案为：20,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，[1,)+∞． (1)函数的一阶导数可以用来研究函数图象的上升与下降，函数的二阶导数可以用来研究函数图象的陡峭及平缓程度，也可用来研究导函数图象的上升与下降． (2)求函数的单调区间时，一定要先确定函数的定义域，否则极易出错． 热点二 含参数的函数的单调性【典例5】（2021·全国·高考真题（文））设函数22()3ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()y f x =的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭；（2）1a e >.【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）根据()10f >及（1）的单调性性可得()min 0f x >，从而可求a 的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为()0,∞+， 又()23(1)()ax ax f x x+-'=，因为0,0a x >>，故230ax +>， 当10x a<<时，()0f x '<；当1x a >时，()0f x '>；所以()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭.（2）因为()2110f a a =++>且()y f x =的图与x 轴没有公共点，所以()y f x =的图象在x 轴的上方，由（1）中函数的单调性可得()min 1133ln 33ln f x f a a a ⎛⎫==-=+ ⎪⎝⎭，故33ln 0a +>即1a e>.【典例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()ln R kf x x k k x=--∈，，讨论函数()f x 在区间(1,e)内的单调性. 【答案】见解析 【分析】先求出2()x kf x x +'=-，然后分k -与(1,e)的关系进行分类讨论,从而得出答案. 【详解】由()ln kf x x k k R x=--∈，，(1,e)x ∈ 221()k x k f x x x x+'∴=--=- ①当1k -≤，即1k ≥-时，10x k x +≥->， ()0f x '∴< ，()f x ∴在(1,e)单调递减；②当e k -≥，即e k ≤-时，e 0x k x +≤-<， ()0f x '∴> ，()f x ∴在(1,e)单调递增；③当1e k <-<，即e 1k -<<-时，当1x k <<-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当e k x -<<时，()0f x '<，()f x 单调递减； 综上所述，当1k ≥-时，()f x 在(1,e)单调递减 当e k ≤-时，()f x 在(1,e)单调递增当e 1k -<<-时，()f x 在(1,)k -单调递增，在(,e)k -单调递减.【方法总结】解决含参数的函数的单调性问题应注意两点(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．热点三 已知函数的单调性求参数的取值范围【典例7】（全国·高考真题（文））若函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞上单调递增，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞- B ．(],1-∞- C ．[)2,+∞ D ．[)1,+∞【答案】D 【解析】 【详解】 试题分析：，∵函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞单调递增，∴在区间()1,+∞上恒成立．∴，而在区间()1,+∞上单调递减，∴．∴的取值范围是[)1,+∞．故选D ．【典例8】（全国·高考真题（理））若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ内是减函数，则实数a 的取值范围是_______. 【答案】2a ≤ 【解析】 【详解】试题分析：()()2sin 2cos 4sin cos cos cos 4sin .,62f x x a x x x a x x x a x ππ⎛⎫=-+=-+=-+∈ ⎪⎝'⎭时，()f x 是减函数，又cos 0x >，∴由()0f x '≤得4sin 0,4sin x a a x -+≤∴≤在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，()min 4sin ,,262a x x a ππ⎛⎫⎛⎫∴≤∈∴≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【典例9】（2019·北京·高考真题（理））设函数f （x ）=e x +a e −x （a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________． 【答案】 -1; (],0-∞. 【解析】 【分析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用导函数的解析式可得a 的取值范围. 【详解】若函数()x xf x e ae -=+为奇函数,则()()(),x x x x f x f x e ae e ae ---=-+=-+，()()1 0x x a e e -++=对任意的x 恒成立.若函数()x x f x e ae -=+是R 上的增函数,则()' 0x xf x e ae -=-≥恒成立,2,0x a e a ≤≤.即实数a 的取值范围是(],0-∞ 【规律方法】由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)可导函数在区间D 上单调，实际上就是在该区间上f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，从而构建不等式，求出参数的取值范围，要注意“＝”是否可以取到．(2)可导函数在区间D 上存在单调区间，实际上就是f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)在该区间上存在解集，即f ′(x )max ＞0(或f ′(x )min ＜0)在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围．(3)若已知f (x )在区间D 上的单调性，区间端点含有参数时，可先求出f (x )的单调区间，令D 是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围． 热点四 函数单调性与函数图像【典例10】（2018·全国·高考真题（文））函数()2e e x xf x x --=的图像大致为 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【详解】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴为奇函数，舍去A,1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x ---+---++=='∴>'>，所以舍去C ；因此选B.【典例11】（2023·全国·高三专题练习）函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数y=f (x )的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据导函数的图象判断原函数的单调性，即可判断选项.【详解】原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内.符合条件的只有D. 故选：D【典例12】（2021·浙江·高考真题）已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=，则图象为如图的函数可能是（ ）A ．1()()4y f x g x =+-B ．1()()4y f x g x =--C ．()()y f x g x =D ．()()g x y f x =【答案】D 【解析】 【分析】由函数的奇偶性可排除A 、B ，结合导数判断函数的单调性可判断C ，即可得解. 【详解】对于A ，()()21sin 4y f x g x x x =+-=+，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A ； 对于B ，()()21sin 4y f x g x x x =--=-，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B ； 对于C ，()()21sin 4y f x g x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，则212sin cos 4y x x x x ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭，当4x π=时，221202164y ππ⎛⎫'=+> ⎪⎝⎭，与图象不符，排除C. 故选：D. 【规律方法】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 热点五 函数单调性与比较大小、解不等式 【典例13】（2022·全国·高考真题（理））已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（ ） A ．c b a >> B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】A 【解析】 【分析】由14tan 4c b =结合三角函数的性质可得c b >；构造函数21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，利用导数可得b a >，即可得解. 【详解】 因为14tan 4c b =,因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭ 所以11tan44>,即1cb >,所以c b >；设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞， ()sin 0f x x x '=-+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，则1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,所以131cos 0432->， 所以b a >,所以c b a >>， 故选：A【典例14】（2022·全国·高考真题）设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b <<【答案】C 【解析】 【分析】构造函数()ln(1)f x x x =+-， 导数判断其单调性，由此确定,,a b c 的大小. 【详解】设()ln(1)(1)f x x x x =+->-，因为1()111x f x x x'=-=-++， 当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，当,()0x ∈+∞时()0f x '<，所以函数()ln(1)f x x x =+-在(0,)+∞单调递减，在(1,0)-上单调递增， 所以1()(0)09f f <=，所以101ln 099-<，故110ln ln 0.999>=-，即b c >，所以1()(0)010f f -<=，所以91ln +01010<，故1109e 10-<，所以11011e 109<，故a b <，设()e ln(1)(01)xg x x x x =+-<<，则()()21e 11()+1e 11x xx g x x x x -+'=+=--, 令2()e (1)+1x h x x =-，2()e (21)x h x x x '=+-，当021x <<时，()0h x '<，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递减，211x <<时，()0h x '>，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递增， 又(0)0h =，所以当021x <<时，()0h x <，所以当021x <<时，()0g x '>，函数()e ln(1)x g x x x =+-单调递增， 所以(0.1)(0)0g g >=，即0.10.1e ln 0.9>-，所以a c > 故选：C.【典例15】（2022·重庆南开中学高三阶段练习）已知函数()()3log 912xf x x =+-+，则不等式()()21f x f x -<的解集为（ ） A ．()1,3 B ．(),1-∞ C ．[)1,+∞D ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据导数判断出函数的单调性，根据解析式可判断函数为偶函数，从而可求不等式的解.【详解】函数的定义域为R ，()()()9ln 92991119191ln 391x x x x x x f x ⋅-'=-=-=+++，当0x <时，0f x ；当0x >时，0f x ，故()f x 在(),0-∞上为减函数，在()0,+∞上为增函数. 又()()3391log 912log 29x xx f x x x -+-=+++=++()()3log 9122x x x f x =+-++=，故()f x 为R 上的偶函数，故()()21f x f x -<等价于()()21f x f x -<， 即21x x -<，两边平方得23410x x -+<，故1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故选：D.'()f x 当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是( ) A ．(,1)(0,1)-∞- B ．(1,0)(1,)C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)⋃+∞【答案】A 【解析】 【详解】构造新函数()()f x g x x=,()()()2'xf x f x g x x -='，当0x >时()'0g x <. 所以在()0,∞+上()()f xg x x=单减，又()10f =，即()10g =. 所以()()0f x g x x=>可得01x <<,此时()0f x >， 又()f x 为奇函数，所以()0f x >在()(),00,-∞⋃+∞上的解集为：()(),10,1-∞-⋃. 故选A.【典例17】（2021·山东·临沂市兰山区教学研究室高三开学考试）已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x >时，有()()20f x x xf '+>，则不等式()()()220212021420x f x f +++-<的解集为（ ）A ．()2019,+∞B ．()2021,2019--C ．(),2019-∞-D ．()2019,0-【答案】C【分析】根据已知条件构造函数2()()g x x f x =，可得()g x 在(0,)+∞上为增函数，且()g x 为奇函数，然后将()()()220212021420x f x f +++-<可转化为(2021)(2)g x g +<，从而可求出不等式的解集.【详解】令2()()g x x f x =，则2()2()()[2()()]g x xf x x f x x f x xf x '=+''=+， 因为当0x >时，有()()20f x x xf '+>， 所以当0x >时，()0g x '>， 所以()g x 在(0,)+∞上为增函数，因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-， 所以22()()()()()g x x f x x f x g x -=--=-=-， 所以()g x 为R 上的奇函数， 所以()g x 在R 上为增函数，由()()()220212021420x f x f +++-<，得()()()22021202142x f x f ++<--， ()()()2220212021(2)2x f x f ++<---，所以(2021)(2)g x g +<--，因为()g x 为奇函数，所以(2021)(2)g x g +<， 所以20212x +<，得2019x <-，所以不等式的解集为(),2019-∞-， 故选：C【典例18】（2022·湖北·襄阳五中高三阶段练习）设11166,2ln sin cos ,ln 5101055a b c ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是___________. 【答案】.b a c <<【分析】利用导数研究函数()sin f x x x =-，()ln(1)g x x x =-+，6()ln(1)5h x x x =-+在(0,1)上的单调性，利用函数的单调性可比较,,a b c 的大小.【详解】由已知可得2111112ln sin cos ln sin cos ln(1sin )101010105b ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()sin f x x x =-，(0,1)x ∈，则()1cos 0f x x '=->， 所以()sin f x x x =-在(0,1)上单调递增，所以1(0)05f f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即11sin 55>，所以11ln 1sin ln 155b ⎛⎫⎛⎫=+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()ln(1)g x x x =-+，(0,1)x ∈，则1()1011x g x x x '=-=>++， 所以()ln(1)g x x x =-+在(0,1)上单调递增，所以1(0)05g g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即111ln 1ln 1sin 555⎛⎫⎛⎫>+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a b >，设6()ln(1)5h x x x =-+，(0,1)x ∈，则651()1551x h x x x -'=-=++，当105x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0h x '<，当1,15x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，所以6()ln(1)5h x x x =-+在105⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，在1,15⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以1(0)05h h ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即16166ln 1ln 55555⎛⎫<+= ⎪⎝⎭，所以a c <，所以.b a c << 故答案为：.b a c <<. 构造函数解不等式或比较大小一般地，在不等式中若同时含有f (x )与f ′(x )，常需要通过构造含f (x )与另一函数的和、差、积、商的新函数，再借助导数探索新函数的性质，进而求出结果． 常见构造的辅助函数形式有： (1)f (x )＞g (x )→F (x )＝f (x )－g (x )；(2)xf ′(x )＋f (x )→[xf (x )]′； (3)xf ′(x )－f (x )→()[]'f x x； (4)f ′(x )＋f (x )→[e x f (x )]′；(5)f ′(x )－f (x )→()[]'x f x e′.（6）()()f x f x '<→()()x f x g x e = （7）()()xf x f x '<→()()f x g x x=（8）()()0xf x f x '+<→()()g x xf x =.【精选精练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）函数()y f x =在定义域3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭内可导，图像如图所示，记()y f x =的导函数为()y f x '=，则不等式()0f x '≥的解集为（ ）A ．[)1,12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1481,,233⎡⎤⎡⎤-⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C ．[]31,1,223⎛⎤--⋃ ⎥⎝⎦D ．3148,,2333⎛⎤⎡⎤--⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【答案】C【分析】()0f x '≥的解集即为()y f x =单调递增区间，结合图像理解判断． 【详解】()0f x '≥的解集即为()y f x =单调递增区间 结合图像可得()y f x =单调递增区间为[]31,,1,223⎛⎤-- ⎥⎝⎦则()0f x '≥的解集为[]31,1,223⎛⎤--⋃ ⎥⎝⎦故选：C ．2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的导函数()f x '的图像如图所示，则下列判断正确的是（ ）A ．在区间()1,1-上，()f x 是增函数B ．在区间()3,2--上，()f x 是减函数C ．2-为()f x 的极小值点D ．2为()f x 的极大值点【答案】D【分析】利用函数与导函数的关系及其极值的定义即可求解. 【详解】由导函数()f x '的图像可知，在区间()1,0-上为单调递减，在区间()0,1上为单调递增，则选项A 不正确； 在区间()3,2--上，()0f x '>，则()f x 是增函数，则选项B 不正确；由图像可知()20f '-=，且()3,2--为单调递增区间，()2,0-为单调递减区间，则2-为()f x 的极大值点，则选项C 不正确；由图像可知()20f '=，且()1,2为单调递增区间，()2,3为单调递减区间，则2为()f x 的极大值点，则选项D 正确； 故选：D.3．（2023·全国·高三专题练习）函数()3221343f x x ax a x =---在()3,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．0a ≥ B ．1a ≥ C ．3a ≤-或1a ≥ D ．31a -≤≤【答案】D【分析】结合函数单调性得到()22230f x x ax a -'=-≥在()3,+∞上恒成立，分0a =，0a >和0a <三种情况，数形结合列出不等式，求出实数a 的取值范围. 【详解】∵函数()3221343f x x ax a x =---在()3,+∞上是增函数，∴()22230f x x ax a -'=-≥在()3,+∞上恒成立， ∵()()()22233f x x ax a x a x a =--=-+'，∴当0a =时，()20f x x '=≥恒成立，满足题意；当0a >时，()0f x '>在()(),3,a a ∞∞--⋃+上恒成立，()0f x '<在(),3a a -上恒成立，故只需33a ≤，解得：1a ≤，故可得：(]0,1a ∈ 当0a <时，()0f x '>在()(),3,a a ∞∞-⋃-+上恒成立，()0f x '<在()3,a a -上恒成立，故只需3a -≤，解得：3a ≥-，故可得：[)3,0a ∈- 综上可得：实数a 的取值范围是[]3,1-， 故选：D ．4．（2022·全国·长垣市第一中学高三开学考试（理））已知函数()12ln f x x x x=+-，则不等式()()211f x f x -<-的解集为（ ） A ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】利用导数说明函数的单调性，再根据函数的单调性及定义域将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.【详解】解：由题意可知，函数()12ln f x x x x=+-的定义域为()0,∞+. 因为()22211110f x x x x ⎛⎫'=--=--≤ ⎪⎝⎭恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递减.则由()()211f x f x -<-可得21010211x x x x->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得213x <<，即原不等式的解集为2,13⎛⎫⎪⎝⎭.故选：B.a A ．ln ln ab a b -<-e e B ．ln ln b a a b < C ．e a b ba-> D ．sin sin 1a ba b-<-【答案】D【分析】由题设有0a b >>，分别构造e ln x y x =-、ln xy x=、e x y x =、sin y x x =-，利用导数研究在,()0x ∈+∞上的单调性，进而判断各项的正误. 【详解】由221a b >>，即0a b >>，A ：若e ln x y x =-且,()0x ∈+∞，则1e x y x'=-，故12|e 20x y ='=-<，1|e 10x y ='=->，即y '在1(,1)2上存在零点且y '在(0,)+∞上递增，所以y 在(0,)+∞上不单调，则e ln e ln a b a b -<-不一定成立，排除； B ：若ln x y x =且,()0x ∈+∞，则21ln xy x -'=， 所以(0,e)上0y '>，y 递增；(e,)+∞上0y '<，y 递减； 故y 在(0,)+∞上不单调，则ln ln a ba b<不一定成立，排除； C ：若e x y x =且,()0x ∈+∞，则e (1)0x y x '=+>，即y 在(0,)+∞上递增， 所以e e a b a b >，即e a b ba-<，排除； D ：若sin y x x =-且,()0x ∈+∞，则1cos 0y x '=-≥，即y 在(0,)+∞上递增， 所以sin sin a a b b ->-，即sin sin 1a ba b-<-，正确.故选：D6．（2022·四川成都·高三期末（理））若函数()在区间()上单调递增，则实数k 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞ B ．[)2,+∞ C ．(]0,1 D ．(]0,2【答案】B【分析】根据已知条件等价为()20f x k x =-≥'在()1,+∞上恒成立，即2k x≥在()1,+∞上恒成立，求解()()21g x x x=>的取值情况即可得出结果. 【详解】()2ln f x kx x =-由题意，已知条件等价为()20f x k x=-≥'在()1,+∞上恒成立， 即2k x≥在()1,+∞上恒成立， 令()()21g x x x=>， ()g x 在()1,+∞上单调递减，()2g x ∴<，2k ∴≥，k ∴的取值范围是[)2,+∞.故选：B.7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()3ln 3f x x x ax =--在()2,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）A ．72a >-B ．72a ≥-C ．72a <D ．72a ≤【答案】D【分析】由已知可得()210f x x a x '=--≥在()2,+∞恒成立，从而进行参变分离求最值即可.【详解】解：()210f x x a x'=--≥，因为函数()31ln 3f x x x ax =--在()2,+∞上单调递增，所以()210f x x a x '=--≥在()2,+∞恒成立，即21a x x≤-在()2,+∞恒成立，令()()212g x x x x =->，则()2120g x x x '=+>在()2,+∞恒成立， 故()g x 在()2,+∞单调递增，所以()()722g x g >=， 故a 的取值范围是72⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，，故选：D ．8．（2023·全国·高三专题练习）已知R α∈，则函数()ex x f x =的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】令12α=、2α=、1α=-，结合导数研究()f x 的单调性及值域判断可能的图象，即可得答案.【详解】当12α=时，()e x xf x =且0x ≥，则12()e x x f x x-'=，所以1(0,)2上 ()0f x '>，()f x 递增；1(,)2+∞上 ()0f x '<，()f x 递减，且(0)0f =，所以A 图象可能；当2α=时，2()0ex x f x =≥且R x ∈，则(2)()e x x x f x '-=，所以(,0)-∞上()0f x '<，()f x 递减，(0,2)上 ()0f x '>，()f x 递增，(2,)+∞上 ()0f x '<，()f x 递减，所以B 图象可能； 当1α=-时，1()e x f x x =且0x ≠，则21()e xxf x x +'=-，所以(,1)-∞-上()0f x '>，()f x 递增，(1,0)-上 ()0f x '<，()f x 递减，(0,)+∞上 ()0f x '>，()f x 递增，又0x <时()0f x <，而0x >时()0f x >， 所以D 图象可能； 综上，排除A 、B 、D. 故选：C3232b b =，03c <<且33c c =，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．a c b <<【答案】A【分析】构造函数()ln xf x x=，求导，根据函数的单调性比大小即可. 【详解】由88a a =，两边同时以e 为底取对数得ln ln 88a a =， 同理可得ln ln 3232b b =，ln ln33c c =， 设()ln xf x x=，0x >，则()()8f a f =，()()32f b f =，()()3f c f =， ()21ln xf x x -'=，令()0f x '=，解得e x =，当()0,e x ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 当()e,x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 则(),,0,e a b c ∈，且()()()3832f f f >>， 所以()()()f c f a f b >>， 故c a b >>， 故选：A.10．（2022·江苏·扬中市第二高级中学高三开学考试）已知()f x '是函数()f x 的导数，且()()f x f x -=，当0x ≥时，()3f x x '>，则不等式3()(1)32f x f x x --<-的解集是（ ） A ．1(,0)2-B ．1(,)2-∞-C ．1(,)2+∞D ．1(,)2-∞【答案】D【分析】构造函数23()()2g x f x x =-，根据导数判断单调性，再利用奇偶性求出解集.【详解】设23()()2g x f x x =-，则()()3g x f x x '='-，因为当0x ≥时，()3f x x '>，所以当0x ≥时，()0g x '>， 即()g x 在[0,)+∞上单调递增，因为()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，则()g x 也是偶函数,所以()g x 在(,0]-∞上单调递减. 因为3()(1)32f x f x x --<-,所以2233()(1)(1)22f x x f x x -<---, 即()(1)g x g x <-, 则1x x <-，解得12x <， 故选：D.b a b =下列正确的是（ ） A ．1ab >B ．1(1)b a a b +<+C ．11a b a b a a b b ++->-D ．52+>a b 【答案】B【分析】利用指对数互化及对数的运算性质可得1b a =，进而可得1121a b b<=<<+，然后构造函数，利用函数的单调性即得. 【详解】由log b a a b =，可得1log log log b a b a b a==，所以log 1b a =，或log 1b a =-， ∴b a =(舍去)，或1b a=，即1ab =，故A 错误； 又02b a b <<<，故120a a a<<<， ∴12a <<，对于函数()112y x x x=+<<， 则2221110x y x x-'=-=>，函数()112y x x x =+<<单调递增，∴1322,2a b a a ⎛⎫+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭，故D 错误； ∵02b a b <<<，112a b<=<， ∴1212a b b <<<+<， 令()()ln 12x g x x x=<<，则()21ln 0xg x x -'=>，∴函数()()ln 12xg x x x=<<单调递增， ∴()ln 1ln 1b a a b +<+，即()()1ln ln 1b a a b +<+， ∴()1ln ln 1ab a b +<+，即1(1)b a a b +<+，故B 正确； ∵011b a b <<<<+，∴函数,x x y a y b ==-单调递增，故函数x x y a b =-单调递增， ∴11a a b b a b a b ++-<-，即11a b a b a a b b ++-<-，故C 错误. 故选：B. 12．（2023·全国·高三专题练习）已知0a <，函数322()2f x x ax a x =+-+的单调递减区间是________ ． 【答案】,3a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】求出函数导数，由()0f x '<即可求出单调递减区间. 【详解】22()32(3)()f x x ax a x a x a '=+-=-+，令()0f x '<，解得3ax a <<- ， 所以()f x 的单调递减区间为,3a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：,3a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.13．（2021·河南宋基信阳实验中学高三开学考试（文））若函数4y x x=+在()0,a 上为单调减函数，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】(]0,2【分析】由题可得函数4y x x=+在区间(0,2]上是减函数，结合条件即得. 【详解】对于函数4y x x=+，0x >， ∴()()222222441x x x y x x x+--'=-==，0x >， 由0y '<，可得02x <<， 因为函数4y x x=+在()0,a 上为单调减函数， 所以02a <≤，即实数a 的取值范围是(]0,2. 故答案为：(]0,2.14．（2022·江苏·扬中市第二高级中学高三开学考试）函数()2x x f x =的单调递增区间为__________. 【答案】2(0,)ln 2【分析】先求得导函数，并令'0f x ，再判断导函数的符号，由此可得函数的单调递增区间.【详解】函数2()2x xf x =，则()()()2'22ln 2ln 222222x x xxx fx x x x -⋅-⋅⋅⋅==，令()0f x '=解得20,ln 2x x ==， 当(),0x ∈-∞时,()0f x '<,函数()f x 单调递减，当20,ln 2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '>,函数()f x 单调递增，当2,ln 2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,()0f x '<,函数()f x 单调递减， 故答案为：2(0,)ln 2. 15．（2023·全国·高三专题练习）()3211232f x x x ax =-++，若()f x 在,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上存在单调递增区间，则a 的取值范围是_______【答案】1,9⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【分析】分析可知，2,+3x ⎛⎫∃∈∞ ⎪⎝⎭，使得()212a x x >-，求出函数()212y x x =-在2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上的值域，可得出实数a 的取值范围.【详解】因为()3211232f x x x ax =-++，则()22f x x x a '=-++，有已知条件可得：2,+3x ⎛⎫∃∈∞ ⎪⎝⎭，使得()0f x '>，即()212a x x >-，当()221122122339y x x ⎡⎤⎛⎫=->-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以19a >-.故答案为：1,9⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.16．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知奇函数()的定义域为R ，当0x >讨，()()20f x f x '+>，且()20f =，则不等式()0f x >的解集为___________.【答案】()(2,02,)-⋃+∞【分析】构造函数2()e ()=x g x f x ,利用导函数判断出当x >0时, ()g x 单调递增，得到当x >2时()0g x >，从而()0f x >；当02x <<时，()0g x <，从而()0f x <.由()f x 为奇函数得到不等式()0f x >的解集.【详解】构造函数2()e ()=x g x f x ，则当0x >时，[]2()e 2()()0xg x f x f x ''=+>，所以当x >0时()g x 单调递增.因为f (2)=0，所以()()42e 20g f ==，所以当x >2时()0g x >，从而()0f x >.当02x <<时，()0g x <，从而()0f x <.又奇函数()f x 的图像关于原点中心对称，所以()0f x >的解集为()(2,02,)-⋃+∞. 故答案为: ()(2,02,)-⋃+∞. 三、解答题17．（2022·四川成都·高三期末（理））设函数()()321113f x x x a x =-++--，其中a ∈R ．若函数()f x 的图象在0x =处的切线与x 轴平行． (1)求a 的值；(2)求函数()f x 的单调区间． 【答案】(1)1a =(2)单调递增区间为()0,2；单调递减区间为(),0∞-，()2,+∞【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）由（1）得()32113f x x x =-+-，再求导分析函数的单调区间即可(1)()221f x x x a '=-++-．∵函数()f x 的图象在0x =处的切线与x 轴平行，∴()010f a =-='，解得1a =．此时()010f =-≠，满足题意．∴1a =． (2)由（1）得()32113f x x x =-+-，故()()222f x x x x x '=-+=--．令()0f x '=，解得0x =或2x =．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：x(),0∞-0 ()0,22 ()2,+∞()f x ' - 0 +0 -()f x单调递减1- 单调递增13单调递减∴函数()的单调递增区间为()；单调递减区间为()，()．18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()22ln x f x x a =-（a ∈R 且0a ≠）．(1)2a =，求函数()f x 在()()22f ,处的切线方程． (2)讨论函数()f x 的单调性； 【答案】(1)2ln 2y x =- (2)答案见解析【分析】（1）求得函数的导数，根据导数的几何意义即可求得切线方程；（2）求出函数的导数，分类讨论a 的取值，判断导数的正负，从而确定函数的单调性. (1)当2a =时，()22ln 2x f x x =-，所以()22n2l 2f =-,()2f x x x'=-，所以()22212f '=-=,所以函数()f x 在()()22f ,处的切线方程为()22ln 22y x --=-，即2ln 2y x =-. (2)()f x 的定义域为(0)+∞，， 22()x f x a x'=-,当0a <时， ()0f x '<恒成立，所以()f x 在(0)+∞，上单调递减； 当0a > 时， ()()222()x f x x a x a a x ax'=-=+-,在()0,a 上，()0f x '<，所以()f x 单调递减；在(),a +∞上，()0f x '>，所以()f x 单调递增.。

专题5 充要条件(解析版)

专题5 充要条件(解析版)

专题5 充要条件题组1 充要条件的判断1.设集合A＝{x∈R|x－2＞0}，B＝{x∈R|x＜0}，C＝{x∈R|x(x－2)＞0}，则“x∈(A∪B)”是“x∈C”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】A∪B＝{x∈R|x＜0或x＞2}，C＝{x∈R|x＜0或x＞2}，∵A∪B＝C，∴x∈(A∪B)是x∈C的充要条件．2.若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补．记φ(a，b)＝－a－b，那么φ(a，b)＝0是a与b互补的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若φ(a，b)＝0，即＝a＋b，两边平方得ab＝0，故具备充分性．若a≥0，b≥0，ab＝0，则不妨设a＝0.φ(a，b)＝－a－b＝－b＝0，故具备必要性．故选C.3.方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是()A.0＜a≤1B．a＜1C．a≤1D.0＜a≤1或a＜0【答案】C【解析】方法一(直接法)：当a＝0时，x＝－，符合题意；当a≠0时，若方程两根一正一负(没有零根)，解得a＜0; 若方程两根均负，解得0＜a≤1.综上所述，充要条件是a≤1.方法二 (排除法)：当a ＝0时，原方程有一个负实根，可以排除A ，D ；当a ＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B.故选C.4．在下列三个结论中，正确的有（ ）①x 2>4是x 3<－8的必要不充分条件；②在ABC 中，AB 2＋AC 2＝BC 2是ABC 为直角三角形的充要条件；③若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为0”的充要条件.A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③【答案】C【解析】①，x 2>4即2x >或2x <-，x 3<－8即2x <-，因为2x >或2x <-成立时，2x <-不一定成立，所以x 2>4是x 3<－8的不充分条件；因为2x <-成立时，2x >或2x <-一定成立，所以x 2>4是x 3<－8的必要条件.即x 2>4是x 3<－8的必要不充分条件.所以该命题正确.②，AB 2＋BC 2＝AC 2成立时，ABC 为直角三角形一定成立；当ABC 为直角三角形成立时，AB 2＋BC 2＝AC 2不一定成立，所以在ABC 中，AB 2＋AC 2＝BC 2是ABC 为直角三角形的充分不必要条件，所以该命题错误.③,即判断“0,0a b ==”是“a 2＋b 2=0”的什么条件，由于a 2＋b 2=0即0,0a b ==，所以“0,0a b ==”是“a 2＋b 2=0”的充要条件，所以“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为0”的充要条件，所以该命题正确.故选：C. 题组2 寻求充要条件5.设集合U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，若A ＝{(x ，y )|2x －y ＋m ＞0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －n ≤0}，则点P (2,3)∈A ∩(∁U B )的充要条件是( )A.m ＞－1，n ＜5B.m ＜－1，n ＜5C.m ＞－1，n ＞5D.m ＜－1，n ＞5【答案】A【解析】A ∩(∁U B )满足∵P (2,3)∈A ∩(∁U B )，则∴6.已知关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0①，x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0②，求使方程①②都有实数根的充要条件.【答案】方程①有实数根的充要条件是即m ≤1且m ≠0.方程②有实数根的充要条件是Δ2＝(－4m )2－4(4m 2－4m －5)≥0，即m ≥－.∴方程①②都有实数根的充要条件是－≤m ≤1，且m ≠0，即－≤m ＜0或0＜m ≤1. 题组3 充要条件的证明7.求证：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m ＜.【答案】证明 (1)充分性：当0＜m ＜时，Δ＝4－12m ＞0，所以方程mx 2＋2x ＋3＝0有两个不相等的实根，设为x 1，x 2.由一元二次方程根与系数的关系可知，x 1x 2＝＞0，故方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根.即0＜m ＜⇒方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根.(2)必要性：若方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根，则∴0＜m ＜，即方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根⇒0＜m ＜.综上可知，方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m ＜.8．求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.【答案】见解析．【解析】充分性：若0ac <，则240b ac ->，且0c a<，∴方程20ax bx c ++=方程有一正根和一负根；必要性：若一元二次方程20ax bx c ++=有一正根和一负根，则240b ac ∆=->，12,0,0c x x ac a =<∴<，即可得结论.试题解析：(1)必要性：因为方程20ax bx c ++=有一正根和一负根，所以240b ac ∆=->为12120(,c x x x x a=<方程的两根)，所以ac <0. (2)充分性：由ac <0可推得Δ＝b 2－4ac >0及x 1x 2＝<0(x 1，x 2为方程的两根)．所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．综上所述，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.9．已知,a b 是实数，求证：44221a b b --=成立的充分条件是221a b -=，该条件是否为必要条件？试证明你的结论．【答案】必要条件,证明见解析.【解析】由44221a b b --=，即442210a b b ---=由()()()()244242222221111a b b a b a b a b -++=-+=++--则由()()222222442111021a b a b a b a b b -=⇒++--=⇒--=所以44221a b b --=成立的充分条件是221a b -=另一方面如果()()442222221110a b b a b a b --=⇒++--=因为2210a b ++≠,故()()2222221101a b a b a b ++--=⇒-=,所以44221a b b --=成立的必要条件是221a b -=.题组4 由充分、必要条件求参数的范围10.已知p ：＜1，q ：x 2＋(a －1)x －a ＞0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是() A.(－2，－1]B.[－2，－1]C.[－3,1]D.[－2，＋∞)【答案】A 【解析】不等式＜1等价于－1＜0，即＞0，解得x ＞2或x ＜1，所以p 为(－∞，1)∪(2，＋∞).不等式x 2＋(a －1)x －a ＞0可以化为(x －1)(x ＋a )＞0，当－a ≤1时，解得x ＞1或x ＜－a ，即q 为(－∞，－a )∪(1，＋∞)，此时a ＝－1；当－a ＞1时，不等式(x －1)(x ＋a )＞0的解集是(－∞，1)∪(－a ，＋∞)，此时－a ＜2，即－2＜a ＜－1.综上可知，a 的取值范围为(－2，－1].11.已知p ：|x －4|＞6，q ：x 2－2x ＋1－a 2＞0(a ＞0)，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为________.【答案】0＜a ≤3【解析】依题意，可得p ：A ＝{x |x ＜－2或x ＞10}，q ：B ＝{x |x ＜1－a 或x ＞1＋a ，a ＞0}.∵p 是q 的充分不必要条件，∴A ⊆B 且A ≠B ，⇒0＜a ≤3，∴实数a 的取值范围是0＜a ≤3.12.已知p ：，q ：{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}，若q 是p 的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________.【答案】[9，＋∞) 【解析】由已知，p ⇒q ，q ⇏p . 13.已知M ＝{x |(x ＋3)(x －5)＞0}，P ＝{x |x 2＋(a －8)x －8a ≤0}.(1)求a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的一个充分不必要条件；(2)求a 的一个取值范围，使它成为M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的一个必要不充分条件.【答案】M ＝{x |x ＜－3或x ＞5}，P ＝{x |(x ＋a )(x －8)≤0}.(1)显然，当－3≤－a ≤5，即－5≤a ≤3时，M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}.取a ＝0，由M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}不能推出a ＝0.所以a ＝0是M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的一个充分不必要条件.(2)当M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}时，－5≤a ≤3，此时有a ≤3，但当a ≤3时，推不出M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}.所以a ≤3是M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的一个必要不充分条件.14．命题2:03x P x ->-；命题2:2210q x ax a b +++-> （1）若4b =时，22210x ax a b +++->在x R ∈上恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若p 是q 的充分必要条件，求出实数a ，b 的值【答案】（1）(1,3)-；（2）52a =-，12b =． 【解析】（1）若22230x ax a +++>在x R ∈上恒成立，则()244230a a ∆=-+<， 所以有13a -<<，所以实数a 的范围为()1,3-；（2）()()2023033x x x x x ->⇔-->⇒>-或2x <， 根据条件22210x ax a b +++->的解集是()(),23,-∞⋃+∞，即方程22210x ax a b +++-=的二根为2和3， 根据韦达定理有525,221612a a ab b ⎧-==-⎧⎪⇒⎨⎨+-=⎩⎪=⎩， 所以52a =-，12b =． 15．已知{}2320P x x x =-+≤，{}11S x m x m =-≤≤+.（1）是否存在实数m ，使x P ∈是x S ∈的充要条件？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，请说明理由；（2）是否存在实数m ，使x P ∈是x S ∈的必要条件？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，请说明理由．【答案】（1）不存在实数m ，使x P ∈是x S ∈的充要条件（2）当实数0m ≤时，x P ∈是x S ∈的必要条件【解析】（1）{}{}232012P x x x x x =-+≤=≤≤. 要使x P ∈是x S ∈的充要条件，则P S =，即11,12,m m -=⎧⎨+=⎩此方程组无解，则不存在实数m ，使x P ∈是x S ∈的充要条件；（2）要使x P ∈是x S ∈的必要条件，则S ⊆P ，当S =∅时，11m m ->+，解得0m <；当S ≠∅时，11m m -≤+，解得0m ≥要使S ⊆P ，则有11,1+2m m -≥⎧⎨≤⎩，解得0m ≤，所以0m =， 综上可得，当实数0m ≤时，x P ∈是x S ∈的必要条件．题组5 含有否定性语句的命题处理16.设命题p：(4x－3)2≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.【答案】设A＝{x|(4x－3)2≤1}，B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0}，易知A＝，B＝{x|a≤x≤a＋1}.由p是q的必要不充分条件，从而p是q的充分不必要条件，即AB，∴或故所求实数a的取值范围是.17.已知p：2x2－9x＋a＜0，q：且p是q的充分条件，求实数a的取值范围.【答案】由得即2＜x＜3.∴q：2＜x＜3.设A＝{x|2x2－9x＋a＜0}，B＝{x|2＜x＜3}，∵p⇒q，∴q⇒p.∴B⊆A.∴2＜x＜3满足不等式2x2－9x＋a＜0.设f(x)＝2x2－9x＋a，要使2＜x＜3满足不等式2x2－9x＋a＜0，需即∴a≤9.故所求实数a的取值范围是(－∞，9].17.设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＜0，q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8＞0，且p是q 的必要不充分条件，求a的取值范围.【答案】设A＝{x|x满足p}＝{x|x2－4ax＋3a2＜0，a＜0}＝{x|3a＜x＜a，a＜0}，B＝{x|x满足q}＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8＞0}＝{x|x2－x－6≤0}∪{x|x2＋2x－8＞0}＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x＜－4或x＞2}＝{x|x＜－4或x≥－2}.∵p是q的必要不充分条件，∴q⇒p，且p⇏q.则{x|x满足q}{x|x满足p}，而{x|x满足q}＝∁R B＝{x|－4≤x＜－2}，{x|x满足p}＝∁R A＝{x|x≤3a或x≥a(a＜0)}，∴{x|－4≤x＜－2}{x|x≤3a或x≥a(a＜0)}，则或即－≤a＜0或a≤－4.∴a的取值范围为.。

专题01 含参数与新定义的集合问题 (解析版)

专题01 含参数与新定义的集合问题 (解析版)

专题01 含参数与新定义的集合问题【技巧总结】一．解决与集合有关的创新题的对策：（1）分析含义，合理转化，准确提取信息是解决此类问题的前提．剥去新定义、新法则的外表，利用我们所学集合的性质将陌生的集合转化为我们所熟悉的集合，陌生的运算转化为我们熟悉的运算，是解决这类问题的突破口，也是解决此类问题的关键．（2）根据新定义（新运算、新法则）的要求，“照章办事”，逐条分析、验证和运算，其中要注意应用集合的有关性质．（3）对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错淏选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的．二．解决与集合有关的参数问题的对策（1）如果是离散型集合，要逐个分析集合的元素所满足的条件，或者画韦恩图分析．（2）如果是连续型集合，要数形结合，注意端点能否取到．（3）在解集合的含参问题时，一定要注意空集和元素的互异性．（4）由集合间关系求解参数的步骤：①弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；②看集合中是否含有参数，若A B，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；③将集合间的包含关系转化为不等式(组)或方程(组)，求出相关的参数的取值范围或值.（5）经常采用数形结合的思想，借助数轴巧妙解答.【题型归纳目录】题型一：根据元素与集合的关系求参数 题型二：根据集合中元素的个数求参数 题型三：根据集合的包含关系求参数 题型四：根据两个集合相等求参数 题型五：根据集合的交、并、补求参数 题型六：集合的创新定义 【典型例题】题型一：根据元素与集合的关系求参数 例1．（2022·全国·高一课时练习）已知集合{}212,4,2A a a a =+-，3A -∈，则=a （ ） A ．1- B ．3-或1 C ．3 D ．3-【答案】D【解析】∵3A -∈，∴234a a -=+或32a -=-．若234aa -=+，解得1a =-或3a =-．当1a =-时，2423a a a +=-=-，不满足集合中元素的互异性，故舍去；当3a =-时，集合{}12,3,5A =--，满足题意，故3a =-成立．若32a -=-，解得1a =-，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去． 综上所述，3a =-． 故选：D ．例2．（2022·全国·高一专题练习）已知A 是由0，m ，m 2﹣3m +2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 为（ ）A ．2B ．3C ．0或3D ．0，2，3均可【答案】B【解析】∵2∈A ，∴m ＝2 或 m 2﹣3m +2＝2．当m ＝2时，m 2﹣3m +2＝4﹣6+2＝0，不合题意，舍去； 当m 2﹣3m +2＝2时，m ＝0或m ＝3，但m ＝0不合题意，舍去． 综上可知，m ＝3． 故选：B ．例3．（2022·全国·高一课时练习）设全集{}1,2,3,4,5A =，{}240B x x x m =-+=，若1AB ∉，则B 等于（ ） A ．{}1,3- B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5【答案】C【解析】因为1AB ∉，所以1B ∈，所以140m -+=，解得3m =，所以{}{}24301,3B xx x =-+==∣，故选：C.例4．（多选题）（2022·江苏·扬中市第二高级中学高一开学考试）已知Z a ∈，{(,)|3}A x y ax y =-≤且，(2,1)A ∈，(1,4)A -∉，则a 取值可能为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】BCD【解析】选项A ：当1a =-时，213--≤，143--≤，故(2,1),(1,4)A A ∈-∈，A 错误； 选项B ：当0a =时，13-≤，(4)3-->，故(2,1),(1,4)A A ∈-∉，B 正确； 选项C ：当1a =时，213-≤，1(4)3-->，故(2,1),(1,4)A A ∈-∉，C 正确； 选项D ：当2a =时，2213⨯-≤，21(4)3⨯-->，故(2,1),(1,4)A A ∈-∉，D 正确.故答案为：BCD.题型二：根据集合中元素的个数求参数 例5．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合{}2410A x mx x =++=有两个子集，则m 的值是__________． 【答案】0或4【解析】当0m =时，1{}4A =-，满足题意 当0m ≠时，由题意得1640m ∆=-=，4m = 综上，0m =或4m = 故答案为：0或4例6．（2022·江苏·高一）已知{1}A x x m =∈-<Z∣，若集合A 中恰好有5个元素，则实数m 的取值范围为（ ） A ．45m < B ．45m <C ．34m <D ．34m <【答案】D【解析】由题意可知{}1,0,1,2,3A =-，可得34m <. 故选：D例7．（2022·全国·高一课时练习）已知R a ∈，集合{}2R 320A x ax x =∈-+=.(1)若A 是空集，求实数a 的取值范围； (2)若集合A 中只有一个元素，求集合A ；(3)若集合A 中至少有一个元素，求实数a 的取值范围. 【解析】（1）若A 是空集，则关于x 的方程2320ax x -+=无解，此时0a ≠，且980a ∆=-<，所以98a >，即实数a 的取值范围是9,8⎛⎫+∞⎪⎝⎭. （2）当0a =时，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，符合题意； 当0a ≠时，关于x 的方程2320axx -+=应有两个相等的实数根，则980a ∆=-=，得98a =，此时43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，符合题意. 综上，当0a =时23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当98a =时43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭. （3）当0a =时，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，符合题意； 当0a ≠时，要使关于x 的方程2320axx -+=有实数根，则980a ∆=-≥，得98a ≤. 综上，若集合A 中至少有一个元素，则实数a的取值范围为9,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 例8．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合{}2310C x ax x =-+=，(1)若C 是空集，求a 的取值范围；(2)若C 中至多有一个元素，求a 的值，并写出此时的集合C ； (3)若C 中至少有一个元素，求a 的取值范围.【解析】(1)若C 是空集，则0940a a ≠⎧⎨∆=-<⎩，解得94a >；(2)若C 中至多有一个元素当0a =时，13C ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，符合 当0a ≠时，若940a ∆=-<，解得94a >，此时C =∅若940a ∆=-=，得94a =，此时23C ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭. 综合得：当0a =时，13C ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当94a >，C =∅；当94a =，23C ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭. (3)若C 中至少有一个元素当0a =时，13C ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，符合 当0a ≠时，若940a ∆=-≥，解得94a ≤且0a ≠综合得94a ≤. 题型三：根据集合的包含关系求参数例9．（2022·上海·高一专题练习）集合A ={x |x2=1}，B ={x |ax =1}，若B ⊆A ，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．-1 C ．±1 D ．0或±1【答案】D【解析】A ={x |x2=1}={1，-1}.当a =0时，B =∅，满足B ⊆A ；当a ≠0时，B =1a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，因为B ⊆A ，所以1a =1或1a =-1，即a =±1.综上所述，a =0或a =±1.故选：D例10．（2022·全国·高一课时练习）已知集合{}1,4,M x =，{}21,N x =，若N M ⊆，则实数x 组成的集合为（ ） A ．{}0 B ．{}2,2- C ．2,0,2D ．2,0,1,2【答案】C【解析】因为N M ⊆，所以2x x =，解得0x =，1x =或24x=，解得2x =±，当0x =时，{}1,4,0M =，{}1,0N =，N M ⊆，满足题意. 当1x =时，{}1,4,1M =，不满足集合的互异性. 当2x =时，{}1,4,2M =，1,4N ，若N M ⊆，满足题意. 当2x =-时，{}1,4,2M =-，1,4N ，若N M ⊆，满足题意.故选：C.例11．（多选题）（2022·全国·高一单元测试）设{}29140A x xx =-+=，{}10B x ax =-=，若A B B =，则实数a 的值可以为（ ）A ．2B ．12C ．17D ．0【答案】BCD【解析】集合2{|9140}{2A x x x =-+==，7}，{|10}B x ax =-=，又AB B =，所以B A ⊆，当0a =时，B =∅，符合题意， 当0a ≠时，则1{}B a =，所以12a =或17a =， 解得12a =或17a =， 综上所述，0a =或12或17, 故选：BCD例12．（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）已知集合{}{}24,3,56,3,A m B m =-=，若B A ⊆，则实数m =___________. 【答案】2-或3 【解析】B A ⊆，∴24m =或256m m -=， 解得2m =或2m =-或3m =，将m 的值代入集合A 、B 验证，知2m =不符合集合的互异性， 故2m =-或3. 故答案为：2-或3.例13．（2022·全国·高一专题练习）集合{}1,2A =-，{|20}B x ax =-=，若B A ⊆，则由实数a 组成的集合为____ 【答案】{}2,1,0-.【解析】集合{}1,2A =-，{|20}B x ax =-=，且B A ⊆，B ∴=∅或{}1B =-或{}2B =，0,1,2a ∴=-．则实数a 组成的集合为{}2,1,0-.故答案为：{}2,1,0-.例14．（2022·上海·高一专题练习）集合21242{}{}A B m B A ⊆＝﹣，，，＝，，，则m ＝___． 【答案】2±【解析】∵集合21242{}{}A B m B A -==⊆，，，，，， ∴24m=，解得2m =±．故答案为：±2．例15．（2022·全国·高一专题练习）已知集合{}2230A x x x =--=，{}20B x ax =-=，且B A ⊆，则实数a 的值为___________. 【答案】2a =-或23a =或0【解析】已知集合{}{}22301,3A x xx =--==-，{}20B x ax =-=，当0,a B ==∅，满足B A ⊆； 当0a ≠时，{}220B x ax a ⎧⎫=-==⎨⎬⎩⎭，因为B A ⊆，故得到21a =-或23a =，解得2a =-或23a =； 故答案为：2a =-或23a =或0.例16．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合{|4A x x =≥或}5x <-，{}|13B x a x a =+≤≤+，若B A ⊆，则实数a 的取值范围_________．【答案】{|8a a <-或}3a ≥【解析】用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示，或要使B A ⊆，只需35a +<-或14a +≥，解得8a <-或3a ≥． 所以实数a 的取值范围{|8a a <-或}3a ≥. 故答案为：{|8a a <-或}3a ≥例17．（2022·全国·高一课时练习）已知m 为实数，(){}210A x x m x m =-++=，{}10B x mx =-=．(1)当A B ⊆时，求m 的取值集合； (2)当B A 时，求m 的取值集合.【解析】（1）因为()()()211x m x m x x m -++=--，所以当1m =时，{}1A =，当1m ≠时，{}1,A m =． 又A B ⊆，所以1m =，此时{}1B =，满足A B ⊆． 所以当A B ⊆时，m 的取值集合为{}1． （2）当1m =时，{}1A B ==，B A 不成立； 当0m =时，{}1,0A =，B =∅，B A 成立；当1m ≠且0m ≠时，1B m ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{}1,A m =，由B A ，得1=m m，所以1m =-．综上，m 的取值集合为{}0,1-．例18．（2022·全国·高一专题练习）已知M ＝{x |2≤x ≤5}，N ＝{x |a +1≤x ≤2a ﹣1}．(1)若M ⊆N ，求实数a 的取值范围； (2)若M ⊇N ，求实数a 的取值范围．【解析】(1)∵M ⊆N ，∴12215a a +≤⎧⎨-≥⎩，∴a ∈∅； (2)①若N ＝∅，即a +1＞2a ﹣1，解得a ＜2时，满足M ⊇N ． ②若N ≠∅，即a ≥2时，要使M ⊇N 成立，则12215a a +≥⎧⎨-≤⎩，解得1≤a ≤3，此时2≤a ≤3．综上a ≤3．例19．（2022·全国·高一）已知集合{|32}A x x =-≤≤，集合{|131}B x m x m =-≤≤-． (1)当3m =时，求AB ；(2)若A B ⊆，求实数m 的取值范围 【解析】(1)当3m =时，{|28}B x x =-≤≤，{|32}{|28}{|22}A B x x x x x x ∴⋂=-≤≤⋂-≤≤=-≤≤；(2)由A B ⊆，则有：13312m m -≤-⎧⎨-≥⎩，解得：41m m ≥⎧⎨≥⎩， 即4m ≥，∴实数m 的取值范围为{|4}m m ≥．例20．（2022·福建省龙岩第一中学高一开学考试）设集合{|}R A x xx ∈+=240＝，R R {|()}B x x a x a a ∈=∈222110＝+＋+-， .(1)若0a =，试求AB ；(2)若B A ⊆，求实数a 的取值范围． 【解析】（1）由240xx +=，解得0x =或4x =-，}{,A =-40.当0a =时，得xx -+2210＝，解得12x =--x =12-{}1212B =--，；∴{}041212AB =---，，，.（2）由（1）知，}{,A =-40，B A ⊆， 于是可分为以下几种情况．当A B =时，}{,B =-40，此时方程()x a x a=222110+＋+-有两根为0，4-，则()()()a a a a ⎧∆=+⎪=⎨⎪-+=-⎩-->2224141010214-，解得1a =. 当B A ≠时，又可分为两种情况． 当B ≠∅时，即{}0B =或{}B -4＝， 当{}0B =时，此时方程()x a x a=222110+＋+-有且只有一个根为0，则22241410(0)()1a a a --⎧∆=+⎨-==⎩，解得1a =-， 当{}B -4＝时，此时方程()x a x a=222110+＋+-有且只有一个根为4-，则()2222414104()()()8110a a a a ⎧∆=+⎪⎨-=--=-⎪⎩＋+-，此时方程组无解， 当B =∅时，此时方程()x a x a=222110+＋+-无实数根，则2241410()()a a --∆+<=，解得1a <-.综上所述，实数a 的取值为}{a a a ≤-=11或.例21．（2022·江苏·高一）已知集合{}{}0,,,M x x x R N x x a x R =>∈=>∈． (1)若M N ⊆，求实数a 的取值范围； (2)若M N ⊇，求实数a 的取值范围； (3)若RRMN ，求实数a 的取值范围．【解析】(1)M N ⊆，0a ∴；(2)M N⊇，0a ∴；(3){|0RM x x =，}x R ∈，{|RN x x a=，}x R ∈，且RRMN ，0a ∴>．例22．（2022·全国·高一课时练习）已知集合2{|60}M x xx =+-=，{|20,R}N y ay a =+=∈，若满足MN N =的所有实数a 构成集合A ，则A =____，A的子集有____个．【答案】 20,1{,}3- 8 【解析】由MN N =得N M⊆，而{}3,2M =-，当0a =时，N =∅符合题意； 当0a ≠时，23y a =-=-或22y a =-=， ∴23a =或1a =-， ∴2{0,1,}3A =-， ∴A 的子集个数为328=.故答案为：20,1{,}3-；8.题型四：根据两个集合相等求参数例23．（2022·全国·高一课时练习）已知{}1,,A x y =，{}21,,2B x y =，若A B =，则x y -=（ ） A ．0 B ．1C ．14D ．32【答案】C【解析】因为A B =，所以22x x y y ⎧=⎨=⎩或22x y y x =⎧⎨=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或10x y =⎧⎨=⎩或1214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 又集合中的元素需满足互异性，所以1214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则111244x y -=-=． 故选：C. 例24．（2022·全国·高一课时练习）已知集合{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20222023a b +=______． 【答案】1【解析】易知0a ≠．∵{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，∴0ba =，即0b =，∴21a=，1a =±．又由集合中元素的互异性，知1a ≠， ∴1a =-， 故()2022202220232023101ab +=-+=．故答案为：1例25．（2022·全国·高一课时练习）已知{}21,,3A a =，{}22,1,1B a a=+-.若A B =，则=a ______. 【答案】2 【解析】因为A B =所以22213a a a ⎧=+⎨-=⎩解之得：2a =故答案为：2例26．（2022·浙江丽水·高一期末）已知集合2{|0}A x xax b =++=，{3}=B ，若A B =，则实数a b +=_______【答案】3【解析】因为{3}A B ==， 所以方程20xax b ++=有且只有一个实数根3x =，所以240390a b a b ⎧-=⎨++=⎩，解得6,9a b =-=.所以3a b += 故答案为：3题型五：根据集合的交、并、补求参数例27．（2022·全国·高一课时练习）设a ∈R ，b ∈R ，全集U =R ，{}A x a x b =<<， {2UA x x =≤-或}3x ≥，则a b +=______.【答案】1【解析】因为U =R ，{}A x a x b =<<，所以{UA x x a =≤或}x b ≥.又{2UA x x =≤-或}3x ≥，所以2a =-，3b =，所以1a b +=.故答案为：1.例28．（2022·全国·高一专题练习）已知集合M ={1，2，3}，{}240,N x x x a a M=-+=∈，若M N ≠∅，则a 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．1或2【答案】C【解析】当1a =时，由2410x x -+=，得23=x {23,23}N =+，不满足题意；当2a =时，由2420x x -+=，得22x =即{22,22}N =，不满足题意；当3a =时，由2430x x -+=，得1x =或3x =，即{1,3}N =，满足题意.故选：C例29．（2022·全国·高一课时练习）已知集合{}260M x x x =--=，{}N x x a =<，若MN ≠∅，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{}2a a >-B ．{}2a a ≥-C ．{}3a a >D ．{}3a a ≥【答案】A 【解析】因为{}{}2602,3M x xx =--==-，又{}N x x a =<，所以当2a ≤-时，M N ⋂=∅，要使MN ≠∅，则2a >-，即{}2a a >-．故选：A ．例30．（2022·全国·高一）设全集{}22,4,U a =，集合{}4,2A a =+，{}UA a =，则实数a 的值为（ ） A ．0 B ．-1 C ．2 D ．0或2【答案】A【解析】由集合{}4,2A a =+知，24a +≠，即2a ≠，而{}UA a =，全集{}22,4,U a =，因此，222a aa ⎧=⎨+=⎩，解得0a =，经验证0a =满足条件，所以实数a 的值为0. 故选：A例31．（2022·全国·高一课时练习）已知集合{}|23A a a x a =≤≤+,{1B x x =<-或}5x >，若()R A B B =，求实数a 的取值范围．【解析】由()RA B B ⋂=，得()R B A ⊆，从而A B =∅．①若A =∅，则23a a >+，解得3a >；②若A ≠∅，在数轴上标出集合A ，B ，如图所示，则213523a a a a ≥-⎧⎪+≤⎨⎪≤+⎩，解得122a -≤≤． 综上，实数a 的取值范围是1232a a a ⎧⎫-≤≤>⎨⎬⎩⎭∣或． 例32．（2022·全国·高一课时练习）设集合{}12A x x =-≤≤，{}21B x m x =<<，{1C x x =<-或}2x >．(1)若AB B =，求实数m 的取值范围；(2)若B C ⋂中只有一个整数，求实数m 的取值范围． 【解析】（1）因为AB B =，所以B A ⊆．①当B ≠∅时，由B A ⊆，得2121m m <⎧⎨≥-⎩，解得1122m -≤<； ②当B =∅，即12m ≥时，B A ⊆成立．综上，实数m 的取值范围是12m m ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭． （2）因为B C ⋂中只有一个整数，所以B ≠∅，且322m -≤<-，解得312m -≤<-， 所以实数m的取值范围是312m m ⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩⎭． 例33．（2022·全国·高一课时练习）设集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-． (1)若B A ⊆，求实数m 的取值范围；(2)当集合A 中的x ∈Z 时，求集合A 的非空真子集的个数；(3)若B ≠∅，且不存在元素x ，使得x A ∈与x B ∈同时成立，求实数m 的取值范围．【解析】（1）当121m m +>-，即2m <时，B =∅，满足B A ⊆．当121m m +≤-，即2m ≥时，要使B A ⊆，只需12215m m +≥-⎧⎨-≤⎩，即23m ≤≤． 综上，实数m 的取值范围是{}3m m ≤．（2）当x ∈Z 时，{}2,1,0,1,2,3,4,5A =--，共8个元素， 所以集合A 的非空真子集的个数为822254-=．（3）由B ≠∅，得121m m +≤-，即2m ≥． 又不存在元素x ，使得x A ∈与x B ∈同时成立， 所以15m +>或212m -<-，即4m >或12m <-． 所以实数m 的取值范围是{}4m m >．例34．（2022·全国·高一课时练习）已知集合{}52A x x =-<≤． (1)若{}B x x m =≥，A B B ⋃=，求实数m 的取值范围； (2)若{|2B x x m =<-或}x m >，AB =R ，求实数m 的取值范围．【解析】（1）由A B B ⋃=，知A B ⊆，所以5m ≤-，即实数m 的取值范围为{}5m m ≤-．（2）由题意，得252m m ->-⎧⎨≤⎩，解得32m -<≤，即实数m 的取值范围为{}32m m -<≤． 例35．（2022·全国·高一课时练习）已知集合{}2|8120A x x x =-+=.(1)若集合{}21,23B a a =+-，且A B =，求a 的值；(2)若集合{}2|60C x axx =-+=，且A ∩C ＝C ，求a 的取值范围.【解析】（1）由x 2﹣8x +12＝0得x ＝2或x ＝6，∴A ＝{2，6}， 因为A ＝B ，所以221223223616a a a a +=⎧-=⎧⎨⎨-=+=⎩⎩或，解得15529a a a a =⎧=±⎧⎪⎨⎨==±⎪⎩⎩， 故a ＝5.（2）因为A ∩C ＝C ，所以C ⊆A.当C ＝∅时，△＝1﹣24a ＜0，解得a 124＞；当C ＝{2}时，1﹣24a ＝0且22a ﹣2+6＝0，此时无解； 当C ＝{6}时，1﹣24a ＝0.且62a ﹣6+6＝0，此时无解或a ＝0.综上，a 的取值范围为1024a a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭或. 例36．（2022·全国·高一课时练习）已知集合{}45A x x =<<，{}121B x m x m =+≤≤+，{0C x x =≤或}2x ≥．(1)若A B B ⋃=，求实数m 的取值范围；(2)若BC B =，求实数m 的取值范围．【解析】（1）∵A B B ⋃=，∴A B ⊆．在数轴上标出集合A ，B ，如图1所示，则由图1可知21514m m +≥⎧⎨+≤⎩，解得23m ≤≤． ∴实数m 的取值范围为[]2,3．（2）∵BC B =，∴B C ⊆．当B =∅，即121m m +>+，即0m <时，满足B C ⊆． 当B ≠∅，即0m ≥时，在数轴上标出集合B ，C ， 若B C ⊆，则有两种情况，如图2、图3所示． 由图2可知210m +≤，解得12m ≤-，又0m ≥， ∴无解；由图3可知12m +≥，解得m 1≥．综上，实数m 的取值范围是m 1≥或0m <．例37．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合{}14A x x =<≤，{}12B x a x a =+≤≤. (1)当2a =时，求A B ；(2)若RBA =∅，求实数a 的取值范围.【解析】（1）当2a =时，{}34B x x =≤≤，A B ={}|14x x <≤.（2）A =R{|1x x ≤或4x >}，当B =∅时，B A ⋂=∅R，此时12a a >+，解得1a <；当B ≠∅时，若B A ⋂=∅R ，则241121a a a a ≤⎧⎪>⎨⎪≥⎩，＋，＋，解得12a ≤≤.综上，实数a 的取值范围为{}2a a ≤.例38．（2022·全国·高一课时练习）若集合{}2R 30A x xmx =∈-+=，{}2R 0B x x x n =∈-+=，且{}0,1,3AB =，则m =______，n =______．【答案】 4 0【解析】若0A ∈，则30=，显然不成立，所以0A ∉； 所以0B ∈，即2000n -+=，得0n =，此时{}{}200,1B x R xx =∈-==，所以3A ∈，即23330m -+=，得4m =．故答案为：4；0题型六：集合的创新定义例39．（2022·全国·高一课时练习）已知A ，B 都是非空集合，(){}&A B x x A B =∈⋃且()x A B ∉．若{}02A x x =<<，{}0B x x =≥，则&A B =（ ）A ．{}0x x ≥B ．{}02x x <<C ．{0x x =或}2x <-D ．{0x x =或}2x ≥【答案】D【解析】由题意，得{}0A B x x ⋃=≥，{}02A B x x ⋂=<<， 故{&0A B x x ==或}2x ≥． 故选：D例40．（2022·全国·高一课时练习）已知集合{}2,3,4,5,6A =，(){},,,B x y x A y A x y A =∈∈-∈，则集合B 中元素的个数为______.【答案】6【解析】因为x A ∈，yA ，x y A -∈，所以4x =时，2y =；5x =时，2y =或3y =，6x =时，2y =或3或4.()()()()()(){}4,2,5,2,5,3,6,2,6,3,6,4B =，所以集合B 中元素的个数为6.故答案为：6.例41．（2022·全国·高一课时练习）戴德金分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空子集A 与B ，且满足A B ⋃=Q ，A B =∅，A 中的每一个元素都小于B 中的每一个元素．请给出一组满足A 中无最大元素且B 中无最小元素的戴德金分割______． 【答案】{}Q πA x x =∈<，{}Q πB x x =∈≥（答案不唯一）【解析】以无理数分界写出一组即可，如{}Q πA x x =∈<，{}Q πB x x =∈≥．（答案不唯一）； 故答案为：{}Q πA x x =∈<，{}Q πB x x =∈≥．（答案不唯一）例42．（2022·全国·高一课时练习）已知集合A 中的元素全为实数，且满足：若a A ∈，则11a A a+∈-． (1)若3a =-，求出A 中其他所有元素．(2)0是不是集合A 中的元素？请你取一个实数()3a A a ∈≠-，再求出A 中的元素．(3)根据（1）（2），你能得出什么结论？【解析】（1）由题意，可知3A -∈，则()()131132A +-=-∈--，11121312A ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=∈⎛⎫-- ⎪⎝⎭，1132113A +=∈-，12312A +=-∈-， 所以A 中其他所有元素为12-，13，2．（2）假设0A ∈，则10110A +=∈-，而当1A ∈时，11a a +-不存在，假设不成立，所以0不是A 中的元素．取3a =，则13213A +=-∈-，()()121123A +-=-∈--，11131213A ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=∈⎛⎫-- ⎪⎝⎭，1123112A +=∈-， 所以当3A ∈时，A 中的元素是3，2-，13-，12．（3）猜想：A 中没有元素1-，0，1；A 中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数．由（2）知0，1A ∉，若1A -∈，则()()11011A +-=∈--，与0A ∉矛盾， 则有1A -∉，即1-，0，1都不在集合A 中．若实数1a A ∈，则12111a a A a +=∈-，12131211111111111a a a a A a a a a +++-===-∈+---， 13143121111111111a a a a A a a a a ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭====-∈-+⎛⎫-- ⎪⎝⎭，1415114*********a a a a a A a a a -+++===∈---+． 结合集合中元素的互异性知，A 中最多只有4个元素1a ，2a ，3a ，4a 且131a a =-，241a a =-．显然12a a ≠，否则11111a a a +=-，即211a =-，无实数解．同理，14a a ≠，即A 中有4个元素．所以A 中没有元素1-，0，1；A 中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数．例43．（2022·上海·高一专题练习）已知集合A 为非空数集，定义：{}|,,S x x a b a b A ==+∈，{}|,,T x x a b a b A ==-∈.(1)若集合{}13A =，，求证：2S ∈，并直接写出集合T ； (2)若集合{}1234,,,A x x x x =，1234x x x x <<<，且T A =，求证：1423x x x x +=+.【解析】（1）根据题意，由集合}3{1A =，，计算集合{246}S =，，，{02}T =，，所以2S ∈；（2）由于1234{}A x x x x =，，，，1234x x x x <<<，且T A =， 所以T 中也只包含4个元素，即213141{0}T xx x x x x =---，，，， 剩下的元素满足2143x x x x -=-，即1423x x x x +=+例44．（2022·全国·高一单元测试）给定数集A ，若对于任意a ，b A ∈，有a b A +∈，a b A -∈，则称集合A 为闭集合.(1)判断集合{}14,2,0,2,4A =--，{}3,Z B x x k k ==∈是否为闭集合，并给出证明；(2)若集合C ，D 为闭集合，则C D ⋃是否一定为闭集合？请说明理由；(3)若集合C ，D 为闭集合，且C R ，D R ，证明：()C D ⋃ R .【解析】（1）因为14A ∈，12A ∈，1426A +=∉，所以1A 不是闭集合； 任取x ，yB ∈，设3x m =，3y n =，m ，Z n ∈，则()333x y m n m n +=+=+且Z m n +∈，所以x y B +∈，同理，x y B -∈，故B 为闭集合；（2）结论：不一定；不妨令{}2,C x x k k ==∈Z ，{}3,D x x k k ==∈Z ，则由（1）可知， D 为闭集合，同理可证C 为闭集合，因为2，3C D ∈⋃，235C D +=∉⋃，因此，C D ⋃不一定是闭集合，所以若集合C ，D 为闭集合，则C D ⋃不一定为闭集合； （3）不妨假设R C D ⋃=，则由C R ，可得存在R a ∈且a C ，故a D ∈.同理，存在R b ∈且b D ∉，故b C ∈，因为R a b C D +∈=⋃，所以a b C +∈或a b D +∈.若a b C +∈，则由C 为闭集合且b C ∈，得()a a b b C =+-∈，与a C 矛盾.若a b D +∈，则由D 为闭集合且a D ∈，得()b a b a D =+-∈，与b D ∉矛盾， 综上，R C D ⋃=不成立，故()C D ⋃ R .。

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专题练习求实数a 的值或取值范围1．已知全集U ＝{2,3，a 2－a －1}，A ＝{2,3}，若∁U A ＝{1}，则实数a 的值是________． 2．设集合A ＝{x |x ＋m ≥0}，B ＝{x |－2＜x ＜4}，全集U ＝R ，且(∁U A )∩B ＝∅，求实数m 的取值范围为________．3．已知全集U ＝R ，A ＝{x |－4≤x ＜2}，B ＝{x |－1＜x ≤3}，P ＝{x |x ≤0或x ≥52}，求A ∩B ，(∁U B )∪P ，(A ∩B )∩(∁U P )．4．已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，满足B ∩(∁U A )＝{2}，A ∩(∁U B )＝{4}，U ＝R ，求实数a ，b 的值．5．已知集合A ＝{x |2a －2<x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∁R B ，求实数a 的取值范围．6. 已知集合}33,)1(,2{22++++=a a a a A ，若A ∈1，求a 。

7. 已知集合M ＝{}012|2=++∈x ax R x 中只含有一个元素，求a 的值。

8},01|{},06|{2=+==-+=ax x B x x x A 且B A ，求a 的值。

9. 已知方程02=++c bx x 有两个不相等的实根x 1， x 2. 设C ＝{x 1， x 2}， A ＝{1，3，5，7，9}， B ＝{1，4，7，10}，若C B C C A =Φ= ,，试求b ， c 的值。

10. 设集合}121|{},52|{-≤≤+=≤≤-=m x m x B x x A ，（1）若Φ=B A ， 求m 的范围； （2）若A B A = ， 求m 的范围。

10. 已知A ＝{0，1}， B ＝{x|x ⊆A}，用列举法表示集合B ，并指出集合A 与B 的关系。

11. 设集合M ＝,24},17|{=≤a x x 则（ ） A. M a ∈B. M a ∉C. a ＝ MD. a > M12. 有下列命题：①}{Φ是空集 ② 若N b N a ∈∈,，则2≥+b a ③ 集合}012|{2=+-x x x 有两个元素 ④ 集合},100|{Z x N x x B ∈∈=为无限集，其中正确命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 13. 下列集合中，表示同一集合的是（ ）A. M ＝{（3，2）} ， N ＝{（2，3）}B. M ＝{3，2} ， N ＝{（2，3）}C. M ＝{（x ，y ）|x ＋y ＝1}， N ＝{y|x ＋y ＝1}D.M ＝{1，2}， N ＝{2，1}14. 设集合}12,4{},1,3,2{22+-+=+=a a a N a M ，若}2{=N M ， 则a 的取值集合是（ ）A.}21,2,3{- B. {－3} C. }21,3{- D. {－3，2}15. 设集合A ＝ {x| 1 < x < 2}， B ＝ {x| x < a}， 且B A ⊆， 则实数a 的范围是（ ）A. 2≥aB. 2>aC. 1≤aD. 1>a16. 设x ，y ∈R ，A ＝{（x ，y ）|y ＝x}， B ＝}1|),{(=x y y x ， 则集合A ，B 的关系是（ ）A. A BB. B AC. A ＝BD. A ⊆B17. 已知M ＝{x|y ＝x 2－1} ， N ＝{y|y ＝x 2－1}， 那么M ∩N ＝（ ）A. ΦB. MC. ND. R 18. 已知A ＝ {－2，－1，0，1}， B ＝ {x|x ＝|y|，y ∈A}， 则集合B ＝_________________ 19. 若A B },01|{},023|{22⊆=-+-==+-=且a ax x x B x x x A ，则a 的值为_____20. 若{1，2，3}⊆A ⊆{1，2，3，4，5}， 则A ＝____________21. 已知M ＝{2，a ，b}， N ＝{2a ，2，b 2}，且M ＝N 表示相同的集合，求a ，b 的值22. 已知集合B,A }02|{},04|{22⊆>--=<++=且x x x B p x x x A 求实数p 的范围。

23. 已知}065|{},019|{222=+-==-+-=x x x B a ax x x A ，且A ，B 满足下列三个条件：① B A ≠ ② B B A = ③ ΦB A ，求实数a 的值。

求实数a 的值或取值范围专题练习8．已知全集U ＝{2,3，a 2－a －1}，A ＝{2,3}，若∁U A ＝{1}，则实数a 的值是________．解析：∵U ＝{2,3，a 2－a －1}，A ＝{2,3}，∁U A ＝{1}， ∴a 2－a －1＝1，即a 2－a －2＝0， 解得a ＝－1或a ＝2. 答案：－1或29．设集合A ＝{x |x ＋m ≥0}，B ＝{x |－2＜x ＜4}，全集U ＝R ，且(∁U A )∩B ＝∅，求实数m 的取值范围为________．解析：由已知A ＝{x |x ≥－m }， ∴∁U A ＝{x |x ＜－m }，∵B ＝{x |－2＜x ＜4}，(∁U A )∩B ＝∅， ∴－m ≤－2，即m ≥2， ∴m 的取值范围是m ≥2. 答案：{m |m ≥2}10．已知全集U ＝R ，A ＝{x |－4≤x ＜2}，B ＝{x |－1＜x ≤3}，P ＝{x |x ≤0或x ≥52}，求A ∩B ，(∁U B )∪P ，(A ∩B )∩(∁U P )．解：将集合A 、B 、P 表示在数轴上，如图．X k b 1 . c o m∵A ＝{x |－4≤x ＜2}，B ＝{x |－1＜x ≤3}， ∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}． ∵∁U B ＝{x |x ≤－1或x ＞3}，∴(∁U B )∪P ＝{x |x ≤0或x ≥52}，(A ∩B )∩(∁U P )＝{x |－1＜x ＜2}∩{x |0＜x ＜52}＝{x |0＜x ＜2}． 11．已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，满足B ∩(∁U A )＝{2}，A ∩(∁U B )＝{4}，U ＝R ，求实数a ，b 的值．解：∵B ∩(∁U A )＝{2}， ∴2∈B ，但2∉A .∵A ∩(∁U B )＝{4}，∴4∈A ，但4∉B .∴⎩⎪⎨⎪⎧42＋4a ＋12b ＝022－2a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝87b ＝127.∴a ，b 的值为87，－127.12．已知集合A ＝{x |2a －2<x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∁R B ，求实数a 的取值范围． 解：∁R B ＝{x |x ≤1或x ≥2}≠∅， ∵A ∁R B ，∴分A ＝∅和A ≠∅两种情况讨论． ①若A ＝∅，此时有2a －2≥a ， ∴a ≥2.②若A ≠∅，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －2<a a ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧2a －2<a2a －2≥2.∴a ≤1.综上所述，a ≤1或a ≥2.二、典型例题例1. 已知集合}33,)1(,2{22++++=a a a a A ，若A ∈1，求a 。

解：∴∈A 1 根据集合元素的确定性，得：133,11,1222=++=+=+a a a a 或）或（ 若a ＋2＝1， 得:1-=a ， 但此时21332+==++a a a ，不符合集合元素的互异性。

若1)1(2=+a ，得：2-,0或=a 。

但2-=a 时，22)1(133+==++a a a ，不符合集合元素的互异性。

若,1332=++a a 得：。

或－2,1-=a1)1(-2a 1;2a ,-1a 2=+==+=a 时，时但，都不符合集合元素的互异性。

综上可得，a ＝ 0。

【小结】集合元素的确定性和互异性是解决问题的理论依据。

确定性是入手点，互异性是检验结论的工具。

例2. 已知集合M ＝{}012|2=++∈x axR x 中只含有一个元素，求a 的值。

解：集合M 中只含有一个元素，也就意味着方程0122=++x ax 只有一个解。

（1）012,0=+=x a 方程化为时，只有一个解21-=x （2） 只有一个解若方程时012,02=++≠x ax a1,044==-=∆a a 即需要.综上所述，可知a 的值为a ＝0或a ＝1【小结】熟悉集合语言，会把集合语言翻译成恰当的数学语言是重要的学习要求，另外多体会知识转化的方法。

例3. 已知集合},01|{},06|{2=+==-+=ax x B x x x A 且B A ，求a 的值。

解：由已知，得：A ＝{－3，2}， 若B A ，则B ＝Φ，或{－3}，或{2}。

若B ＝Φ，即方程ax ＋1＝0无解，得a ＝0。

若B ＝{－3}， 即方程ax ＋1＝0的解是x ＝ －3， 得a ＝ 31。

若 B ＝{2}， 即方程ax ＋1＝0的解是x ＝ 2， 得a ＝ 21-。

综上所述，可知a 的值为a ＝0或a ＝31，或a ＝ 21-。

【小结】本题多体会这种题型的处理思路和步骤。

例4. 已知方程02=++c bx x 有两个不相等的实根x 1， x 2. 设C ＝{x 1， x 2}， A ＝{1，3，5，7，9}， B ＝{1，4，7，10}，若C B C C A =Φ= ,，试求b ， c 的值。

解：由B C C B C ⊆⇒= ， 那么集合C 中必定含有1，4，7，10中的2个。

又因为Φ=C A ，则A 中的1，3，5，7，9都不在C 中，从而只能是C ＝{4，10} 因此，b ＝－（x 1＋x 2 ）＝－14，c ＝x 1 x 2 ＝40【小结】对C B C C A =Φ= ,的含义的理解是本题的关键。

例5. 设集合}121|{},52|{-≤≤+=≤≤-=m x m x B x x A ，（1）若Φ=B A ， 求m 的范围； （2）若A B A = ， 求m 的范围。

解：（1）若Φ=B A ，则B ＝Φ，或m ＋1>5，或2m －1<－2 当B ＝Φ时，m ＋1>2m －1，得：m<2 当m ＋1>5时，m ＋1≤2m －1，得：m>4当2m －1<－2时，m ＋1≤2m －1，得：m ∈Φ 综上所述，可知m<2， 或m>4 （2）若A B A = ， 则B ⊆A ， 若B ＝Φ，得m<2若B ≠ Φ，则⎪⎩⎪⎨⎧-≤+≤--≥+12151221m m m m ，得：32≤≤m综上，得 m ≤ 3【小结】本题多体会分析和讨论的全面性。

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