求实数a的取值范围例题2
绝对值不等式(高考版2)(含经典例题+答案)
绝对值不等式（二）
例1：解不等式|23||3|4xx；
解：3339|23|3||||3||42222xxxxxx；故不等式的解集为R。
例2：3232xx
解：3337|23|2||||2||32222xxxxxx；故不等式的解集为。
例3：（2016•池州二模）设函数f（x）=|2x﹣1|+|x﹣3|．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）若任意x，y∈R，不等式f（x）＞m（|y+1|﹣|y﹣1|）恒成立，求m的取值范围．
解：（Ⅰ）25212521213312xxxxxxxf，当仅当21x时，等号成立。
（Ⅱ）11yymxf，由于2112yy，故mxf2恒成立，即m225，故45,m。
例4：设函数f（x）=2|x﹣1|+|x+2|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥4的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）＜|m﹣2|的解集是非空集合，求实数m的取值范围．
解：（Ⅰ）f（x）=1312423xxxxxx，令﹣x+4=4 或 3x=4，得x=0，x=34，所以，不等式 f（x）≥4的解集是,0,34；
（Ⅱ）f（x）在（﹣∞，1]上递减，[1，+∞）上递增，所以，f（x）≥f（1）=3，由于不等式f（x）＜|m﹣2|的解集是非空的集合，所以，|m﹣2|＞3，解之，m＜﹣1或m＞5，即实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）．
例5：关于x的二次方程x2＋6x＋|a＋2|＋|2a－1|＝0有实根，求a的取值范围．
解：∵原方程有实根，Δ＝36－4[|a＋2|＋|2a－1|]≥0，∴|a＋2|＋|2a－1|≤9.
①当a≥12时，∵a＋2＋2a－1≤9，∴12≤a≤83.②当－2≤a＜12时，∵a＋2＋1－2a≤9，∴－2≤a＜12. 秒杀秘籍:bxnaxmxf
函数有1个零点求a的范围
函数有1个零点求a的范围
函数有1个零点求a的范围 1
仅有一个零点，即该函数的图像与X轴只有一个交点⒈a=0,-x-1=0,x=1,满足⒉a≠0，△=1+4a=0，a=-1/4综合，a=0或-1/4
函数有1个零点求a的范围 2
①若a=0，则f(x)=-x-1，显然只有一个零点x=-1②若a≠0，f(x)=ax^2-x-1有且只有1个零点则，△=1+4a=0所以，a=-1/4综上，a=0，或者a=-1/4
函数有1个零点求a的范围 3
解：函数的零点是f（x）=0对应的解。
一个零点，f(x)=0只有一个实数解。
ax∧2-x-1=0只有一个实数解。
1. a=0,-x-1=0
x=-1
有一个实数解，复合题意
2.a/=0,
1+4a=0
4a=-1
a=-1/4 综上，a={0,1/4}
函数有1个零点求a的范围 4
解：依题意f(0)f(1)<0(-1)(2a-2)<02a-2>0a>1
函数有1个零点求a的范围 5
有问题可以去裙豪:一个领子两个爸爸在一起就是我，谐音。老师一般都是晚上7点到11点的半夜，没有人愿意白干。
函数f（x）=ax 2 -x-1仅有一个零点，则实数a的取值范围______
若a=0，则f（x）=-x-1，令f（x）=-x-1=0，得x=-1，符合题意；若a≠0，则f（x）=ax 2 -x-1是二次函数，∴f（x）有且仅有一个零点?△=1+4a=0 ?a=-综上所述，a=0或 a=-
故答案为： {a|a=0或a=-
} ．
若函数y=ax^2-x-1只有一个零点，求实数a的取值范围
a=0,可以a不等于0时，判别式=0(-1)^2-4a*(-1)=1+4a=0a=-1/4故：a=0或a=-1/4
f(x)=(1-a)x^2-ax-1 若函数只有一个零点， 求实数a的取值范围
1、如果是一次方程，a=1，-x-1=0，零点是-1。2、如果是二次方程，△=a^2+4(1-a)=0，a=2，-x^2-2x-1=0，零点还是-1。那么，a=1或2。 若函数y=2ax^2-x-1在区间(0,1)内只有一个零点,求实数a的取值范围
专题03 利用函数的单调性求参数取值范围(解析版)
专题03利用函数的单调性求参数取值范围
一、单选题
1．已知函数
321fxxxax在R上为单调递增函数，则实数a
的取值范围为（）
A．1
,
3
B．1
,
3
C．1
,
3
D．1
,
3
【解析】232fxxxa，
因为
fx在R上为单调递增函数，故()0fx¢
³在R上恒成立，
所以4120a即1
3a，故选：A.
2．若函数lnyxax
在区间
1,内单调递增，则a的取值范围是（）
A．
,2B．
,1C．
2,D．
1,【解析】由ln1a
yxaxy
x，
因为函数lnyxax
在区间
1,内单调递增，
所以有0y在
1,上恒成立，即10a
x在
1,上恒成立，
因为
1,x，所以由100a
xaax
x，
因为
1,x，所以(,1]x
，于是有1a，故选：D
3．若函数
cosfxaxx在
,上单调递增，则实数a的取值范围是（）
A．（-1，1）B．
1,C．（-1，+∞）D．（-1，0）
【解析】
sinfxax，由题意得：
sin0fxax，
即sinax在
,上恒成立，
因为
sin1,1yx，所以1a恒成立，故实数a的取值范围是
1,.故选：B
4．若函数()2sinfxbxx在ππ
,
42x
上单调递增，则实数b的取值范围是（）
A．0bB．0b
C．2bD．2b
【解析】由题意()2cos0fxbx在ππ
,
42
上恒成立，
2cosbx，ππ
,
42x
时，2cosyx是增函数，
max0y（π
2x
时取得），所以0b．故选：A．
5．若函数2()ln2fxxax在区间1
,1
4
高二数学集合的运算试题答案及解析
高二数学集合的运算试题答案及解析
1. 设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|log2x<1}，Q＝{x||x－2|<1}，那么P－Q＝（ ）
A．{x|0
【答案】B
【解析】因为，
所以
【考点】新定义下的集合的运算.
2. 设全集I＝R，已知集合M＝{x|（x＋3）2≤0}，N＝{x|x2＋x－6＝0}．
（1）求（∁IM）∩N；
（2）记集合A＝（∁IM）∩N，已知集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若B∪A＝A，求实数a的取值范围．
【答案】（1）{2}；（2）{a|a≥3}
【解析】（1）已知两集合若求交、并、补应注意端点值以及结合数轴完成；（2）已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解恒成立问题一般需转化为最值，利用单调性证明在闭区间的单调性.（3）一元二次不等式在上恒成立，看开口方向和判别式.（4）含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立的问题通常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是分离参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单，对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：（1），（2）.
试题解析：（1）∵M＝{x|≤0}＝{－3}， N＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，
∴＝{x|x≠－3}， ∴（）∩N＝{2}．
（2）A＝（）∩N＝{2}，
∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴B＝或B＝{2}，
当B＝时，a－1>5－a，∴a>3；
当B＝{2}时，，解得a＝3，
综上所述，所求a的取值范围为{a|a≥3}．
【考点】（1）集合间的基本关系；（2）利用最值证明恒成立问题.
3. 已知集合A={0，1，2}，B={x|1＜x＜4}，则A∩B=（ ）
A．{0} B．{1} C．{2} D．{1，2}
【答案】C.
【解析】由题意所给的集合及交集定义易知，既在集合A又在集合B中的元素仅有元素2，故A∩B={2}.
集合全章中档解答题
第1页（共16页）
1、集合全章中档解答题
一．解答题（共24小题）
1．（2016春•如皋市期末）已知集合A={x|}，B={x|（x+a）（x﹣a﹣2）＜0}．
（1）当a=0时，求A∪B；
（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．
2．（2016春•莆田校级期末）已知集合A={x|x2﹣5x﹣6＜0}，集合B={x|6x2﹣5x+1≥0}，集合C={x|（x﹣m）（x﹣m﹣9）＜0}
（1）求A∩B；
（2）若A⊆C，求实数 m的取值范围．
3．（2016春•蚌埠期末）已知集合A={x|x2﹣2x﹣8＜0}，B={x|x2+2x﹣3＞0}，C={x|x2﹣3ax+2a2＜0}
（Ⅰ）求集合A，B；
（Ⅱ）若C⊆（A∩B），求实数a的取值范围．
4．（2016春•定州市校级期末）已知集合A={x|x2﹣2mx+m+6=0}，B={x|x＜0}，若命题“A∩B=∅”是假命题，求实数m的取值范围．
5．（2016春•抚州校级期中）已知集合A={x|x2﹣2x﹣8≤0}，B={x|x2﹣（2m﹣3）x+m（m﹣3）≤0，m∈R}．
（1）若A∩B=[2，4]，求实数m的值；
（2）设全集为R，若A⊆（∁RB），求实数m的取值范围．
6．（2015•张家港市校级模拟）设集合M={x|x2+2（1﹣a）x+3﹣a≤0，x∈R}，M⊆[0，3]，求实数a的取值范围．
7．（2015秋•石家庄校级期末）集合A={x|x2﹣3x﹣10≤0}，集合B={x|m+1≤x≤2m﹣1}．
（1）若B⊆A，求实数m的取值范围；
（2）当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．
8．（2015春•福州校级期末）已知三个集合A={x|x2﹣5x+6=0}，B={x|x2﹣（a+2）x+2a=0}，C={x|bx2﹣x+1=0}，问同时满足B⊊A，A∪C=A的实数a、b是否存在？若存在，求出a、b的取值情况；若不存在，请说明理由．
2023届高考数学导数满分通关：含参函数的极值、最值讨论
专题10 含参函数的极值、最值讨论
考点一 含参函数的极值
【例题选讲】
[例1] 设a＞0，函数f(x)＝12x2－(a＋1)x＋a(1＋ln x)．
(1)若曲线y＝f(x)在(2，f(2))处的切线与直线y＝－x＋1垂直，求切线方程．
(2)求函数f(x)的极值．
解析 (1)由已知，得f′(x)＝x－(a＋1)＋ax(x＞0)，又由题意可知y＝f(x)在(2，f(2))处切线的斜率为1，
所以f′(2)＝1，即2－(a＋1)＋a2＝1，解得a＝0，此时f(2)＝2－2＝0，故所求的切线方程为y＝x－2．
(2)f′(x)＝x－(a＋1)＋ax＝x2－(a＋1)x＋ax＝(x－1)(x－a)x(x＞0)．
①当0＜a＜1时，若x∈(0，a)，则f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；若x∈(a，1)，则f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；若x∈(1，＋∞)，则f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．此时x＝a是f(x)的极大值点，x＝1是f(x)的极小值点，函数f(x)的极大值是f(a)＝－12a2＋aln a，极小值是f(1)＝－12．
②当a＝1时，f′(x)＝(x－1)2x≥0，所以函数f(x)在定义域(0，＋∞)内单调递增，
此时f(x)没有极值点，故无极值．
③当a＞1时，若x∈(0，1)，则f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；
若x∈(1，a)，则f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；若x∈(a，＋∞)，则f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．
此时x＝1是f(x)的极大值点，x＝a是f(x)的极小值点，
函数f(x)的极大值是f(1)＝－12，极小值是f(a)＝－12a2＋aln a．
综上，当0＜a＜1时，f(x)的极大值是－12a2＋aln a，极小值是－12；当a＝1时，f(x)没有极值；当a＞1时f(x)的极大值是－12，极小值是－12a2＋aln a．
[例2] 已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．
[VIP专享]求实数a的值或取值范围专题练习
专题练习求实数a的值或取值范围
1．已知全集U＝{2,3，a2
－a－1}，A＝{2,3}，若∁
UA＝{1}，则实数a的值是
________．
2．设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2＜x＜4}，全集U＝R，且(∁
UA)∩B＝∅，求实数
m的取值范围为________．
3．已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，P＝{x|x≤0或x≥}，求5
2
A∩B，(∁
UB)∪P，(A∩B)∩(∁
UP)．
4．已知集合A＝{x|x2
＋ax＋12b＝0}和B＝{x|x2
－ax＋b＝0}，满足B∩(∁
UA)＝{2}，
A∩(∁
UB)＝{4}，U＝R，求实数a，b的值．
5．已知集合A＝{x|2a－2
A∁
RB，求实数a的取值范围．
6. 已知集合}33,)1(,2{22
aaaaA
，若A1
，求a。
7. 已知集合M＝
012|2
xaxRx
中只含有一个元素，求a的值。
8},01|{},06|{2
axxBxxxA
且
BA，求a的值。9. 已知方程02
cbxx
有两个不相等的实根x
1， x
2. 设C＝{x
1， x
2}，
A＝{1，3，5，7，9}， B＝{1，4，7，10}，若CBCCA,
，试求b，
c的值。
10. 设集合}121|{},52|{mxmxBxxA
，
（1）若BA
， 求m的范围； （2）若ABA
， 求m的范围。
10. 已知A＝{0，1}， B＝{x|x
A}，用列举法表示集合B，并指出集合A与B的关系。
11. 设集合M
＝,24},17|{axx
则（ ）
A. Ma
B. Ma
C. a ＝ M D. a > M
12. 有下列命题：①}{
是空集 ② 若NbNa,
，则2ba
③ 集合
}012|{2
xxx
有两个元素 ④
集合},100
|{ZxN
xxB
为无限集，其中正确命
题的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2 D. 3
07 二次函数(2)
二次函数（二）
【基础再现】
1．一元二次方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的一根比1大，另一根比－1小，则实数a的取值范围是________．
【答案】－2
[解析] 设f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)，由题意可知，f(－1)<0，f(1)<0，即 a2＋a－2<0，a2－a>0，解得－2
2．设k∈R，x1，x2是方程x2－2kx＋1－k2＝0的两实根，则x12＋x22的最小值为________．
【答案】1.
分析：二元函数（多元）求最值，两种思路：（1）确定二元之间的关系；(2) 将二元化为一元，消元或者换元．
【解析】由根与系数的关系可知，x1＋x2＝2k，x1x2＝1－k2，则x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝6k2－2
又△＝4k2＋4k2－4≥0，∴k2≥12，x12＋x22≥1，∴x12＋x22的最小值为1．
3．若关于x的方程x2＋mx＋m－1＝0有一个正根和一个负根，且负根的绝对值较大，则m的取值范围是______．
【答案】m∈(0，1)．
【典型例题】
例1已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>－2x的解集为（1，3）．
（1）若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的根，求f(x)的解析式；
（2）若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围．
本小题主要考查二次函数、方程的根与系数关系，考查运用数学知识解决问题的能力．
【解析】（1）∵f(x)＋2x>0的解集为（1，3），则f(x)＋2x ＝a(x－1)(x－3)，且a＜0，因此
f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3a①
由方程f(x)＋6a＝0得ax2－(2＋4a)x＋9a＝0②
因为方程②有两个相等的根，所以△＝[－(2＋4a)]2－36a2＝0，
即5a2－4a－1＝0，得a＝1或a＝－15．
由于a＜0，舍去a＝1．将a＝－15代入①得f(x)的解析式f(x)＝－15x2－65x－35．
Y集合中典型例题的汇总
集合中元素性质的理解
例2、求集合2{,2,}xxx中的元素x的取值范围.
【拓展·变式】
2.已知集合22{2,(1),33}Aaaaa且1A，求实数a的值.
对集合分类的考查
例4、判断下列集合是有限集还是无限集.对于有限集，指出其元素的个数.
（1）{|4012124031}AxZx；
（2）平面内到线段AB的两个端点距离距离相等的点P的集合.
例5、已知集合2{|210},AxRaxxa为实数.
（1）若集合A是空集，求实数a的取值范围；
（2）若集合A是单元素集，求实数a的值；
（3）若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围.
子集概念的考查
例1. 写出集合{,,,}abcd的所有子集.
例2.设(,)|1yxAxyyx，2(,)|21yxBxyyx，判断集合A是否是集合B的子集，BA成立吗？
集合相等概念的考查
例3.（1）设2{|213},{|10}AxmxxBxRx，问m为何值时能使得?AB
（2）已知{|21,},{|41,}XxxnnZYyykkZ，求证：.XY
【拓展·变式】
2. 设集合A={a|a=3n＋2,n∈Z}，集合B={b|b=3k－1, k∈Z}，则集合A、B的关系是________．
空集的作用
例4.已知集合A={x|x2－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若BA，则实数p的取值范围是________．
【拓展·变式】
3. 已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-mx+2=0}，若BA，求实数m范围．
例9. 设集合{1,,}Aab，集合2{,,}Baaab，且AB，求实数,ab的值.
例10.（2007年上海卷）已知{1,3,}Am，集合{3,4}B，若BA,则实数___m.
方程lnx=bx-a两实根和的范围及应用
方程ｌｎｘ＝ｂｘ－ａ两实根和的范围及应用
许银伙
(福建省泉州外国语学校 ３６２０００)
摘 要:方程ｌｎｘ＝ｂｘ－ａ两实根和的范围证明ꎬ是高考模拟卷中高频率出现的压轴题型ꎬ在近几年的高考
中也曾出现.本文通过研究得出常见的六个相关结论ꎬ展示结论相应的推证过程ꎬ并介绍结论的应用.
关键词:方程两根ꎻ范围ꎻ函数导数ꎻ单调性
中图分类号:Ｇ６３２ 文献标识码:Ａ 文章编号:１００８－０３３３(２０２１)０４－００２９－０４
收稿日期:２０２０－１１－０５
作者简介:许银伙(１９６３.９－)ꎬ男ꎬ福建省惠安人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事中学数学教学研究. 方程ｌｎｘ＝ｂｘ－ａ两实根和的范围问题ꎬ通常牵涉极
值点偏移ꎬ是近几年高考模拟卷中的热点题型ꎬ在高考中
也曾出现.本文通过研究得出常见的六个相关结论ꎬ并展
示结论相应的推证方法及应用ꎬ旨在帮助同学们掌握这
类压轴题型的解决方法.
一、结论及证明
结论一 当ｂ＝１时ꎬ若方程ｌｎｘ＝ｘ－ａ有两不同实
根ｘ１ꎬｘ
２ꎬ则ｘ
１＋ｘ
２>２.
证明 令ｆ(ｘ)＝ｘ－ａ－ｌｎｘꎬ则ｆ′(ｘ)＝ｘ－１ｘ(ｘ>０)ꎬ
由ｆ′(ｘ)＝０得:ｘ＝１.当ｘ∈(０ꎬ１)时ꎬｆ′(ｘ)<０ꎬｆ(ｘ)单
调递减ꎻ当ｘ∈(１ꎬ＋¥)时ꎬｆ′(ｘ)>０ꎬ在区间(１ꎬ＋∞)上
单调递增.由已知得:ｆ(１)<０ꎬ求出ａ>１ꎬ设ｘ１
２ꎬ则０
１<１ꎬｘ
２>１.
方法一 设ｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－ｆ(２－ｘ)ꎬ令ｕ＝２－ｘꎬ运用
复合函数求导法则得:ｇ′(ｘ)＝－２(ｘ－１)２
ｘ(２－ｘ)<０对ｘ∈(０ꎬ
１)恒成立ꎬｇ(ｘ)在区间(０ꎬ１)上单调递减ꎬ因为ｇ(１)＝０ꎬ
所以ｇ(ｘ１)>０ꎬｆ(ｘ
１)>ｆ(２－ｘ
１).由ｆ(ｘ
１)＝ｆ(ｘ
２)＝０得:
ｆ(ｘ２)>ｆ(２－ｘ
１).
又因为ｘ２>１ꎬ２－ｘ
１>１ꎬｆ(ｘ)在(１ꎬ＋¥)上单调递
增ꎬ所以ｘ２>２－ｘ
１ꎬｘ
１＋ｘ
２>２成立.
方法二 由ｌｎｘ１＝ｘ
１－ａꎬｌｎｘ
２＝ｘ
２－ａ相减得:ｌｎｘ
２－