平新乔课后习题详解(第16讲--一般均衡与福利经济学的两个基本定理)
平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解(一般均衡与福利经济学的两个基本定理)
第16讲 一般均衡与福利经济学的两个基本定理1．考虑一种两个消费者、两种物品的交易经济，消费者的效用函数与禀赋如下()()211212,u x x x x = ()118,4e = ()()()21212,ln 2ln u x x x x =+ ()23,6e =（1）描绘出帕累托有效集的特征（写出该集的特征函数式）； （2）发现瓦尔拉斯均衡。
解：（1）由消费者1的效用函数()()211212,u x x x x =，可得121122MU x x =，122122MU x x =，故消费者1的边际替代率为1211112212121212122MU x x x MRS MU x x x ===。
同理可得消费者2的边际替代率为22212212x MRS x =。
在帕累托有效集上的任一点，每个消费者消费两种物品的边际替代率都相同，即：121212MRS MRS = 从而有：122212112x x x x = ① 又因为212210x x =-，211121x x =-，把这两个式子代入①式中，就得到了帕累托有效集的特征函数：1122111110422x x x x -=- ② （2）由于瓦尔拉斯均衡点必然位于契约曲线上，所以在均衡点②式一定成立。
此外在均衡点处，预算线和无差异曲线相切（如图16-1所示），这就意味着边际替代率等于预算线的斜率，即：1112121211211418x p x MRS p x x -===- ③联立②、③两式，解得：1158/4x =，1258/11x =。
进而有21112126/4x x =-=，21221052/11x x =-=。
图16-1 均衡时边际替代率等于预算线的斜率2．证明：一个有n 种商品的经济，如果（1n -）个商品市场上已经实现了均衡，则第n 个市场必定出清。
证明：假设第k 种商品的价格为k p ，{}1,2,,k n ∈。
系统内存在I （I 为正整数）个消费者，第i 个消费者拥有第k 种物品的初始禀赋为ik e ，而第i 个消费者对第k 种商品的消费量为k i x ，根据瓦尔拉斯定律可知系统中的超额的市场价值为零，即：()10ni ik k k k i Ii Ip x e =∈∈-=∑∑∑当前1n -个商品市场已经实现均衡，即前1n -个商品市场的超额需求为零，这时有：()()()11n i i i ik k k n k k k i Ii Ii Ii Ii i nkki Ii Ii i k ki Ii Ip x e p x e p x e x e -=∈∈∈∈∈∈∈∈-+-=∑∑∑∑∑-=∑∑=∑∑由此就可以得出第n 个市场的超额需求也为零，即第n 个商品市场也实现了均衡。
平新乔《微观经济学十八讲》章节题库含名校考研真题(第16~18讲)【圣才出品】
平新乔《微观经济学十八讲》章节题库含名校考研真题
第 16 讲 一般均衡与福利经济学的两个基本定理
一、简答题 1．瓦尔拉斯均衡和纳什均衡有何区别？（北京大学国家发展研究院 2008 研） 答：瓦尔拉斯均衡又称一般均衡，是指在一种价格体系下，整个经济中所有相关市场上 供给和需求同时达到均衡的状态。而纳什均衡是博弈论中的一组最优的策略组合，即在给定 其他参与者的策略的条件下，每个参与者都采取他所能采取的最优策略。 瓦尔拉斯均衡与纳什均衡的区别是：一般均衡只是纳什均衡多个解中的一个特例。如果 一个可自由交换的竞争经济能够实现无限而且重复交换的纳什均衡，那么这个纳什均衡解就 是一般均衡解。因此，纳什均衡比一般均衡更具一般性，是现代经济的普适解，一般均衡则 是经济系统的最优解。
二、计算题 1．假设一个 2×2 的交换经济消费者 A 和 B 交换两种商品 x 和 y ，消费者 A 的效用函
数是 uA xA , yA xA yA ，消费者 B 的效用函数是 uB xB , yB xB yB 。他们拥有两种商品的 初始禀赋分别是WA 40,60 和WB 40, 40 。标准化商品 x 的价格 Px 1 ，商品 y 的价格为 P 。
2．请用规模经济递增、规模经济不变和规模经济递减，来分析福利经济学的第一定理 和第二定理。（中国人民大学 802 经济学综合 2010 研）
答：（1）规模报酬变化是指在其他条件不变的情况下，企业内部各种生产要素按相同 比例变化时所带来的产量变化。企业规模报酬变化可以分为规模报酬递增、规模报酬不变和 规模报酬递减三种情况。产量增加的比例大于各种要素增加的比例，称之为规模报酬递增； 产量增加的比例等于各种要素增加的比例，称之为规模报酬不变；产量增加的比例小于各种 要素增加的比例，称之为规模报酬递减。
一般均衡和福利经济学概论
Pareto-Improvements
Further trade cannot improve both A and B’s welfares.
路漫漫其悠远
The Core (核心)OB NhomakorabeaOA The set of Paretoimproving reallocations
路漫漫其悠远
路漫漫其悠远
埃奇渥斯盒状图
The Edgeworth Box Diagram of Production
Edgeworth,1845-1926 （1881年《数学心理学》）
路漫漫其悠远
Exchange
Two consumers, A and B.
Their endowments of goods 1 and 2
交
C
换
的
埃
齐
沃
思
盒
状
图
MRSA12 > MRS1B2 MRSA21 < MRSB21
UA3
UA2
UB1
U UA1 UB2 B3
路漫漫其悠远
Pareto-Improvements: 只要两个消费者的边际替 代率不等，就有互利贸易 的余地……
路漫漫其悠远
Pareto-Improvements
Further trade cannot improve both A and B’s welfares.
are
and
E.g.
and
The total quantities available
are
units of good 1
and
units of good 2.
路漫漫其悠远
平狄克《微观经济学》(第7版)习题详解(第16章 一般均衡与经济效率)
平狄克《微观经济学》（第7版）第4篇 信息、市场失灵以及政府的角色第16章 一般均衡与经济效率课后复习题详解跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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1．为什么反馈效应能使一般均衡分析与局部均衡分析发生很大的差异？答：（1）局部均衡分析主要研究的是一个市场上供给和需求的相互影响，它忽略了其他市场如替代品、互补品、要素投入市场对单一产品市场的供给和需求的影响。
一般均衡分析则是考虑反馈效应，同时决定所有市场的价格和数量。
反馈效应是指某一个市场的价格和数量调整所导致的相关市场的价格或数量调整。
（2）忽略反馈效应可能导致对单一市场上的变动的预测不准确。
需求在单一市场上的移动可能导致其他相关市场上的需求移动，最终又导致原市场上需求的再次移动。
局部均衡分析停留在初始移动，而一般均衡分析则根据反馈效应继续分析相关市场的需求变动情况，并最终反馈到原市场，对初始的需求曲线发生影响。
由此可知，反馈效应能使得一般均衡分析与局部分析发生很大的差异。
（3）考察录像带租赁和影剧院门票这两个竞争市场。
这两个市场有紧密的联系，现在假定政府对购买每一张电影票征收1美元的税。
这一税收的局部均衡效应就是使对电影的需求曲线向上提高1美元。
因为电影和录像是替代品，一般均衡分析则认为电影税会提高录像的需求，录像市场受到影响后，又通过反馈效应进一步影响电影票价格，结果必然同时决定电影和录像两者的均衡价格和均衡数量，与局部均衡分析的结果存在很大差异。
2．解释埃奇沃思盒形图中的一点是如何同时代表两个消费者所拥有的商品配置的。
答：假定两种产品分别为X 和Y ，其既定数量为X '和Y '，两个消费者分别为A 和B ，如图16-6所示的埃奇沃思盒形图，盒子的水平长度表示整个经济中的第一种产品X 的消费量X '，盒子的垂直长度表示第二种产品Y 的数量Y '，A O 表示第一个消费者A 的原点，B O 表示第二个消费者B 的原点，从A O 水平向右测量消费者A 对第一种商品X 的消费量A X ，垂直向上测量它对第二种商品Y 的消费量A Y ；从B O 水平向左测量消费者B 对第一种商品X 的消费量B X ，垂直向下测量消费者B 对第二种商品Y 的消费量B Y 。
平新乔课后习题详解(第16讲--一般均衡与福利经济学的两个基本定理)
平新乔《微观经济学十八讲》第16讲 一般均衡与福利经济学的两个基本定理1．考虑一种两个消费者、两种物品的交易经济，消费者的效用函数与禀赋如下()()211212,u x x x x = ()118,4e = ()()()21212,ln 2ln u x x x x =+ ()23,6e =（1）描绘出帕累托有效集的特征（写出该集的特征函数式）； （2）发现瓦尔拉斯均衡。
解：（1）由消费者1的效用函数()()211212,u x x x x =，可得121122MU x x =，122122MU x x =，故消费者1的边际替代率为1211112212121212122MU x x x MRS MU x x x ===。
同理可得消费者2的边际替代率为22212212x MRS x =。
在帕累托有效集上的任一点，每个消费者消费两种物品的边际替代率都相同，即：121212MRS MRS =从而有：122212112x x x x = ① 又因为212210x x =-，211121x x =-，把这两个式子代入①式中，就得到了帕累托有效集的特征函数：1122111110422x x x x -=- ② （2）由于瓦尔拉斯均衡点必然位于契约曲线上，所以在均衡点②式一定成立。
此外在均衡点处，预算线和无差异曲线相切（如图16-1所示），这就意味着边际替代率等于预算线的斜率，即：1112121211211418x p x MRS p x x -===- ③ 联立②、③两式，解得：1158/4x =，1258/11x =。
进而有21112126/4x x =-=，21221052/11x x =-=。
图16-1 均衡时边际替代率等于预算线的斜率2．证明：一个有n 种商品的经济，如果（1n -）个商品市场上已经实现了均衡，则第n 个市场必定出清。
证明：假设第k 种商品的价格为k p ，{}1,2,,k n ∈ 。
一般均衡理论与福利经济学课件
一般均衡理论与福利经济学课件一般均衡理论与福利经济学一、引言一般均衡理论是现代经济学的一个重要理论框架，它的核心概念是“均衡”。
福利经济学是一种用于评估社会福利的经济学方法。
本文将详细介绍一般均衡理论和福利经济学的基本概念、原理和应用。
二、一般均衡理论1. 定义一般均衡理论是指整个经济系统内部各个部门之间、不同经济主体之间、现在和未来之间达到一种互相协调、相互依存的均衡状态的理论。
它强调了供求关系的相互作用和互动，通过分析市场的均衡条件来揭示整个经济系统运行的规律。
2. 基本原理一般均衡理论有两个基本原理：供给和需求的相互匹配以及价格的自动调整。
- 供求匹配：市场上的供给和需求必须相互匹配，即供求数量相等，这样才能实现市场的均衡。
- 价格调整：当供求不匹配时，价格会自动调整，通过价格的上升或下降来达到供求的平衡，从而实现一般均衡。
3. 数学模型一般均衡理论使用数学模型来描述经济系统，其中最著名的模型是沃尔拉斯（Walras）模型和莱昂考夫（Leontief）模型。
这些模型基于供求关系和市场交易的基本原理，通过建立方程组来求解均衡状态。
4. 应用和扩展一般均衡理论被广泛应用于经济政策制定、国际贸易、产业组织和金融领域等。
同时，也有一些学者对一般均衡理论进行了扩展和改进，例如增加不完全信息、不确定性和动态因素等，以更加贴近真实的经济现象。
三、福利经济学1. 定义福利经济学是一种研究如何评估和衡量社会福利的经济学方法。
它强调了通过经济政策的选择和实施，最大限度地提高社会福利。
2. 基本原理福利经济学的基本原理有两个：效用最大化和社会公正。
- 效用最大化：福利经济学认为个体的目标是追求自己的效用最大化，通过优化个人的选择来实现整体的福利最大化。
- 社会公正：在追求效用最大化的同时，福利经济学还强调了对社会弱势群体的关注和保护，以实现社会的公正和平等。
3. 应用和扩展福利经济学的应用范围广泛，包括社会保障、税收制度、环境政策、教育和医疗等方面。
微观经济学之一般均衡理论与福利经济学
微观经济学之一般均衡理论与福利经济学一般均衡理论是微观经济学的核心理论之一，它对经济体中各种经济因素之间的相互关系进行了系统的研究和分析。
福利经济学是一种分析经济活动对社会福利影响的经济学分支，它关注的是经济活动对社会整体福利的影响。
本文将详细介绍一般均衡理论和福利经济学，并探讨二者之间的关系。
一般均衡理论是从19世纪下半叶开始起步的，是对亚当·斯密的“看不见的手”理论的拓展和发展。
一般均衡理论的出发点是认为经济体是一个复杂的相互联系的整体，各种经济因素之间存在着密切的相互依赖关系。
当一个经济因素发生变化时，它将会对其他经济因素产生影响，进而影响整个经济体系。
一般均衡理论试图通过研究各种经济因素之间的相互作用，揭示这种相互依赖关系，并对整个经济体系的运行和发展进行分析和预测。
一般均衡理论中的一个重要概念是均衡状态。
均衡状态指的是经济体中各种经济因素之间的相互作用达到一种稳定的状态，这种状态下，供给等于需求，市场上不存在剩余和缺口。
一般均衡理论认为，只有在均衡状态下，经济体才能实现资源的最优配置，实现最大的社会福利。
福利经济学是研究经济活动对社会福利影响的一门学科。
福利经济学通过对个体行为和市场机制的分析，揭示经济活动对社会福利的影响，并探讨如何通过政府干预来实现社会福利的最大化。
福利经济学的核心问题是如何在有限的资源下，分配社会资源以实现最大的整体福利。
福利经济学研究的一个重要工具就是一般均衡理论。
一般均衡理论将供给和需求、价格和数量等因素纳入考虑，对整个经济体系进行了全面的分析。
福利经济学通过一般均衡理论，研究不同的资源分配机制对社会福利的影响，以及通过税收、补贴等政府干预手段来改善资源配置和实现社会福利最大化的可能性。
一般均衡理论和福利经济学有着密切的关系。
一般均衡理论提供了福利经济学分析的基础和工具，通过对市场和经济体系的整体分析，揭示市场机制对社会福利的影响。
福利经济学则将一般均衡理论的观点和方法运用到实际政策分析中，通过对各种政策措施的评估，来实现社会福利的最大化。
一般均衡论和福利经济学(参考练习与答案).doc
第十章一般均衡论和福利经济学7.1 判断题7.11 局部均衡分析方法忽略了市场之间的相互影响，影响我们真正理解市场经济。
（）7.12 契约曲线显示了所有的可能进行互利贸易的配置点。
（）7.13 不在生产契约线上的每一点所代表的投入组合都是无效率的。
（）7.14 只要生产是有效率的，产出组合就必然位于生产可能性曲线上的某一点。
（）7.15 只有商品的边际转换率与边际替代率相等时，商品的生产结构才是最有效率的。
（）7.16 为了达到帕累托最优，必须使任何只消费两种商品的消费者所消费的这两种产品之间的边际替代率相等。
（）7.17 处于非帕累托最优位置的经济要达到帕累托最优经济的福利水平是不可能的。
（）7.18 帕累托最优的理论基础是序数效用理论，但对于基数效用理论也同样成立。
（）7.19 现代经济学所说的最有经济效率的状态，一般就是指帕累托最优状态。
（）7.110 从社会观点来看，契约曲线上所有的点都是理想的。
（）7.111 消费者均衡条件满足后，帕累托状态也达到最优。
（）7.112 社会福利函数应该能够代表全社会所有人对福利的判断。
（）7.113 福利经济学第一定理即任何竞争性市场均衡都是有效率的。
（）7.114 如果个人偏好是凸型的，则每一个帕累托有效配置对于商品的某个初始禀赋来说，是一个竞争性均衡。
（）7.115 资源配置如果无法做到改善某些人的福利，同时又不损害其他人的福利，从经济学意义上看就是有效率的。
（）7.116 在不存在垄断的情况下，没有管制的市场将使收入分配均等。
（）7.117 竞争性均衡必然是公平的。
（）7.118 如果两种商品之间的边际转换率不是对所有消费这两种商品的消费者来说都等于它们之间的边际替代率，那种两种商品中至少有一种不是有效地生产出来的。
（）7.119 从埃奇斯盒状图中某一初始禀赋开始，如果通过讨价还价达到的自由交易契约是符合帕累托最适度状态所要求的，那么该交换契约可以位于契约曲线的任何地方。
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平新乔《微观经济学十八讲》第16讲 一般均衡与福利经济学的两个基本定理1．考虑一种两个消费者、两种物品的交易经济，消费者的效用函数与禀赋如下()()211212,u x x x x = ()118,4e = ()()()21212,ln 2ln u x x x x =+ ()23,6e =（1）描绘出帕累托有效集的特征（写出该集的特征函数式）； （2）发现瓦尔拉斯均衡。
解：（1）由消费者1的效用函数()()211212,u x x x x =，可得121122MU x x =，122122MU x x =，故消费者1的边际替代率为1211112212121212122MU x x x MRS MU x x x ===。
同理可得消费者2的边际替代率为22212212x MRS x =。
在帕累托有效集上的任一点，每个消费者消费两种物品的边际替代率都相同，即：121212MRS MRS =从而有：122212112x x x x = ① 又因为212210x x =-，211121x x =-，把这两个式子代入①式中，就得到了帕累托有效集的特征函数：1122111110422x x x x -=- ② （2）由于瓦尔拉斯均衡点必然位于契约曲线上，所以在均衡点②式一定成立。
此外在均衡点处，预算线和无差异曲线相切（如图16-1所示），这就意味着边际替代率等于预算线的斜率，即：1112121211211418x p x MRS p x x -===- ③ 联立②、③两式，解得：1158/4x =，1258/11x =。
进而有21112126/4x x =-=，21221052/11x x =-=。
图16-1 均衡时边际替代率等于预算线的斜率2．证明：一个有n 种商品的经济，如果（1n -）个商品市场上已经实现了均衡，则第n 个市场必定出清。
证明：假设第k 种商品的价格为k p ，{}1,2,,k n ∈ 。
系统内存在I （I 为正整数）个消费者，第i 个消费者拥有第k 种物品的初始禀赋为i k e ，而第i 个消费者对第k 种商品的消费量为k i x ，根据瓦尔拉斯定律可知系统中的超额的市场价值为零，即：()10ni ik k k k i Ii Ip x e =∈∈-=∑∑∑当前1n -个商品市场已经实现均衡，即前1n -个商品市场的超额需求为零，这时有：()()()11n i i i ik k k n k k k i Ii Ii Ii Ii i nkki Ii Ii i k ki Ii Ip x e p x e p x e x e -=∈∈∈∈∈∈∈∈-+-=∑∑∑∑∑-=∑∑=∑∑由此就可以得出第n 个市场的超额需求也为零，即第n 个商品市场也实现了均衡。
3．有一种两个消费者、两种物品的交易经济，消费者的效用函数与禀赋如下(){}11212,min ,u x x x x = ()130,0e =()212,2v p y p p =()20,20e =注意：第2个消费者的效用函数在这里是间接效用函数。
（1）发现瓦尔拉斯一般均衡。
（2）如果禀赋状态为()15,0e =，()20,2e =，重新计算一般均衡。
解：（1）由消费者1的效用函数的形式可以得到相应的马歇尔需求函数为：11112121230p mx x p p p p ===++ 对消费者2，根据罗伊恒等式(),ii v p x p m v m∂∂=-∂∂，可以得到他的马歇尔需求函数为：22101,22i i ip m x i p p ===均衡时，每种商品市场都会出清，这就意味着：1212230202002p p p p p +-=+ 解得1212p p =，从而有：111210x x ==；2120x =；2210x =。
（2）若禀赋状态为()15,0e =，()20,2e =。
此时消费者1的马歇尔需求函数为：1111212125p mx x p p p p ===++ 消费者2的马歇尔需求函数为：222i i ip mx p p ==，1,2i =。
由均衡时，每种商品市场出清，即：12122520p p p p p +-=+，解得1214p p =，进而可得11121x x ==；214x =，221x =。
4．假定在一个经济中只有三种商品（1x ，2x ，3x ），对于2x 与3x 的超额需求函数为221313/2/1ED p p p p =-+- 321314/2/2ED p p p p =-- （1）请证明这些函数关于1p 、2p 与3p 是零次齐次的。
（2）运用瓦尔拉斯法则表示，如果230ED ED ==，1ED 也一定为零。
能否同样用瓦尔拉斯法则去计算1ED ？（3）请解有关均衡相对价格21/p p 与31/p p 的方程组，32/p p 的均衡值是多少？解：（1）对任意的0t >，有：()()()()33222211113322331111321321422422tp p tp pED tp ED p tp tp p p tp p tp pED tp ED p tp tp p p =-+-=-+-==--=--=所以2ED 和3ED 关于1p 、2p 与3p 是零次齐次的。
（2）根据瓦尔拉斯法则可知，均衡时每种商品的超额需求的价值之和为零，即：1230ED ED ED ++= ①如果230ED ED ==由①可知10ED =，把2ED 和3ED 的表达式代入①式中，可以解得：332221111113214223p p p p pED p p p p p =-+-++=-+ （3）当市场达到均衡时，必有230ED ED ==，即：32113211321422p p p p p p p p ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 解得：213135p p p p ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩于是33122153p p p p p p ==。
5．考虑一种两人、两物品的纯粹交易经济。
消费者的效用函数与禀赋如下()()11121212,123 8,30u x x x x x x e =++= ()()22121212,89 10,10u x x x x x x e =++=求：（1）对两种物品的超额需求函数。
（2）为该经济决定均衡价格比率。
解：（1）由题设所给的效用函数可以得出每个消费者的马歇尔需求函数为：()()112111221212511,21 ,922p p x p p x p p p p =+⨯=⨯+ ()()222111221212119,9 ,122p p x p p x p p p p =+⨯=⨯+ 所以两种商品的超额需求函数为：12222111111121112222225181021918301522111910309140153022p p p ED x x p p p p pp ED x x p p p =+--=+++-=-=+--=⨯++⨯+-=-（2）当经济达到均衡时，每个市场的超额需求为零，即：2112301515300p pp p -=-= 解得：122p p =。
6．判断下列命题，并给出理由：（1）如果知道了契约线，则我们就知道了任何交易的结果。
（2）如果已达到了帕累托有效，则就无法使任何人的状况再得以改善。
答：（1）错误。
理由如下：契约线是埃奇沃斯方框图中所有帕累托有效的分配点的集合，但是对于一个具体的交易而言，其最终结果还依赖于每个消费者的初始禀赋，如图16-2所示，其中A 和B 是初始禀赋点，可见不同的初始禀赋导致不同的均衡结果。
图16-2 不同的初始禀赋导致不同的均衡（2）错误。
理由如下：帕累托有效是指在不损害其他任何人的利益的条件下，不能使经济系统中某些人的境况变得更好。
但是如果允许损害某些人的利益，那么对帕累托有效的配置而言，就有可能使某些人的境况变得更好。
比如在一个包括两个消费者和一种商品的经济中，其中一个人拥有全部的商品，而另一个人一无所有，这是一个帕累托有效的配置；但是现在让情况反过来，使得原来一无所有的人拥有全部商品，那么这个人的境况就得到了改善。
7．请证明：在两物品、两个消费者的纯粹交易经济里，帕累托有效的一个必要条件是112211112222u x u x u x u x ∂∂∂∂=∂∂∂∂ 这里，上标表示人，下标表示物。
证明：根据定义，帕累托有效的资源配置可以通过以下最大化问题得到：()()12121122111122221212max,, 1,2x x x x i i i u x x u x x ux s x i t e =.+=.=，，，，构造这个问题的拉格朗日函数：()()()()()112211122212121212121211112222,,,,,L x x x x u x x u u x x x x e x x e λμμ⎡⎤=---+--+-⎣⎦效用最大化的一阶条件为：1111111111222222112222220000L u x x L u x x L u x x L u x x μμλμλμ∂∂=-=∂∂∂∂=-=∂∂∂∂=-=∂∂∂∂=-=∂∂从而可得到：11221111122222u x u x u x u x μμ∂∂∂∂==∂∂∂∂8．在—个岛上，有200磅粮食要在两个孤立无援的水手之间分配。
第一个水手的效用函数为1u 1F 是由第一个水手消费的数量。
对于第二个水手，其粮食消费的效用函数为2u =（1）如果粮食在两个人之间平均分配，他们各自的效用是多少？ （2）如果他们的效用相等，粮食应如何分配？（3）要使两个人的效用之和最大，应如何分配粮食？（4）假设第二个水手的能够求生的效用水平是5，如果想要在第二个水手得到最低效用水平的前提下使效用之和最大化，应如何分配粮食？（5）假定两个水手都赞成的社会福利函数为1/21/212W u u =。
那么，在两个水手之间应怎样分配粮食才能使社会福利最大化？解：（1）如果粮食在两个人之间平均分配，即12100F F ==。
他们各自的效用分别是：110u ==20.55u == （2=时，解得120.25F F =。
又因为12200F F +=，从而解得140F =，2160F =。
故他们的效用相等，则第一个水手消费40磅粮食，第二个水手消费160磅粮食。
（3）两个人的效用和最大化问题为：121212..200.50F F F F F s F t +=，从约束条件中解出2F ，并把它代入目标函数式中，就有：()0.50.5110200max 0.5200F F F ≤≤+-从一阶条件解得：1160F =，240F =。
要使两人效用之和最大，第一个水手和第二个水手分别消费粮食160磅、40磅。