第一节 定积分的元素法
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定积分的元素法
b
平面图形的面积、体积及平面曲线的弧长，功，
水压力等．
5
A
y=ƒ(x)
D H
B
o a
E
F x x+Δx
b x
求曲边梯形 AabB 的面积 A 的方法为:
(1) 在[a , b]上任取一个小区间[x , x + dx],并求出总量 A 的
微分dA = ƒ(x)dx ; (面积元素(微元))
(2) 以微分表达式 ƒ(x)dx为被积表达式,在[a , b]上作定积分 (面积元素(微元)进行求和累加)
在区间 [a, b]的任一个子区间[x, x+Δx] 上， 部分量ΔU≈f (x)Δx．
4
二
定积分的元素法
设 U 是可用定积分表达的量，则计算量 U 的步骤为： • 选择函数 f(x)，并确定自变量 x 的变化区间[a, b]; • 在[a, b]内考虑小区间[x, x+dx]，求出相应于这个小 区间的部分量ΔU的近似值 f(x)dx。称f(x)dx为量U的 元素，记为dU= f(x)dx． • 计算 U=a f ( x )dx 应用方向：
A dA f ( x )dx
a a
3
bU具有以下特点： 量U与函数 f(x)及x的变化区间 [a, b]有 关．
若 f(x)≡常数，则 U= f(x)(b－a)．
量U对区间具有可加性。即：把[a,b]分成若干部
分区间， 则 U相应地被分成了许多部分量之和．
第六章 定积分的应用
基本要求
1 掌握用定积分来求一些几何量和物理量的方法(元素法) 2 会建立一些简单的几何量与物理量的积分表达式 (如面积，体积，弧长、功、水压力等)
1
§6.1 定积分的元素法
平面图形的面积、体积及平面曲线的弧长，功，
水压力等．
5
A
y=ƒ(x)
D H
B
o a
E
F x x+Δx
b x
求曲边梯形 AabB 的面积 A 的方法为:
(1) 在[a , b]上任取一个小区间[x , x + dx],并求出总量 A 的
微分dA = ƒ(x)dx ; (面积元素(微元))
(2) 以微分表达式 ƒ(x)dx为被积表达式,在[a , b]上作定积分 (面积元素(微元)进行求和累加)
在区间 [a, b]的任一个子区间[x, x+Δx] 上， 部分量ΔU≈f (x)Δx．
4
二
定积分的元素法
设 U 是可用定积分表达的量，则计算量 U 的步骤为： • 选择函数 f(x)，并确定自变量 x 的变化区间[a, b]; • 在[a, b]内考虑小区间[x, x+dx]，求出相应于这个小 区间的部分量ΔU的近似值 f(x)dx。称f(x)dx为量U的 元素，记为dU= f(x)dx． • 计算 U=a f ( x )dx 应用方向：
A dA f ( x )dx
a a
3
bU具有以下特点： 量U与函数 f(x)及x的变化区间 [a, b]有 关．
若 f(x)≡常数，则 U= f(x)(b－a)．
量U对区间具有可加性。即：把[a,b]分成若干部
分区间， 则 U相应地被分成了许多部分量之和．
第六章 定积分的应用
基本要求
1 掌握用定积分来求一些几何量和物理量的方法(元素法) 2 会建立一些简单的几何量与物理量的积分表达式 (如面积，体积，弧长、功、水压力等)
1
§6.1 定积分的元素法
定积分的元素法平面图形的面积PPT课件
右脑思维的核心是形象思维， 在大脑中多出现形象的东西，在 各项思维活动中，多借助形象， 就训练了右脑。
1
第六章 定积分的应用
第一节 定积分的元素法 第二节 平面图形的面积 第三节 体积 第四节 平面曲线的弧长 第五节 功 水压力和引力 第六节 平均值
2
第一节 定积分的元素法
求由 x a, x b, y 0 和 y f ( x) 所围成的曲边梯形的
x 1( y)
y dy
x 2( y)
y
A
d c
2
(
y
)
1
(
y
)dy
c
x穿出 x穿入
Y型
x
8
例１计算由 y2 x , y x2
解 解方程组
y2 x
y
x2
所围成的图形的面积。
y
(1,1) 1
得抛物线的两个交点 (0,0)和 (1,1)
取x为积分变量，积分区间为 0,1,
P(r, ) y
x
以极点O为圆心，以 a为半径的的圆的极坐标方程: r a.
x2 y2 a2
以点(a,0) 为圆心，以 a 为半径的的圆的极坐标方程 r 2a cos r 2a cos r 2 2a r cos x 2 y 2 2ax
20
二. 极坐标情形
之间，一般没有一一对应的关系。
但若规定r 0,0 2 ，除极点O外，平面上的点与极坐标
之间就一一对应了。
在通常情况下,我们规定: r 0 ，而极角可以取任意实数。
17
2．极坐标方程
曲线上点的极坐标 r 与 之间的关系可以用式 r r 表示， 称 r r 为曲线的极坐标方程。
1
第六章 定积分的应用
第一节 定积分的元素法 第二节 平面图形的面积 第三节 体积 第四节 平面曲线的弧长 第五节 功 水压力和引力 第六节 平均值
2
第一节 定积分的元素法
求由 x a, x b, y 0 和 y f ( x) 所围成的曲边梯形的
x 1( y)
y dy
x 2( y)
y
A
d c
2
(
y
)
1
(
y
)dy
c
x穿出 x穿入
Y型
x
8
例１计算由 y2 x , y x2
解 解方程组
y2 x
y
x2
所围成的图形的面积。
y
(1,1) 1
得抛物线的两个交点 (0,0)和 (1,1)
取x为积分变量，积分区间为 0,1,
P(r, ) y
x
以极点O为圆心，以 a为半径的的圆的极坐标方程: r a.
x2 y2 a2
以点(a,0) 为圆心，以 a 为半径的的圆的极坐标方程 r 2a cos r 2a cos r 2 2a r cos x 2 y 2 2ax
20
二. 极坐标情形
之间，一般没有一一对应的关系。
但若规定r 0,0 2 ，除极点O外，平面上的点与极坐标
之间就一一对应了。
在通常情况下,我们规定: r 0 ，而极角可以取任意实数。
17
2．极坐标方程
曲线上点的极坐标 r 与 之间的关系可以用式 r r 表示， 称 r r 为曲线的极坐标方程。
第6章定积分的应用1元素法
0 λ→
∑f (ξ ) ∆x =∫
i i
i=1 =
b
a
f (x) dx
一、什么问题可以用定积分解决 ? 什么问题可以用定积分解决
1) 所求量 U 是 与区间[a , b]上 的某函数 f (x) 有关的 的某函数 与区间[ 一个整体量 ; 2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过 具有可加性 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
U = ∫a f (x)dx
微元分析法 分析法) 称为元素 元素法 这种分析方法 称为元素法 (或微元分析法) 元素的几何形状常取为 元素的几何形状常取为:条, 环, 扇等 的几何形状常取为:
b
∆ xi
定积分定义
二 、如何应用定积分解决问题 ? 如何应用定积分解决问题
第一步 利用“化整为零 , 常代变”求出局部量的 局部量的 利用“ 以常代变”求出局部量 微分表达式 微分表达式 近似值
dU = f (x)dx
第二步 利用“ 积零为整 无限累加 ”求出整体量的 利用“ , 精确值 积分表达式
小曲边梯形面积
∆Ai ∆An
∆A ∆A2 1
f (ξ1f (ξ2f (ξ3 f (ξi) ) ) )
x0 x x2 xi−1 xi xn−1xn 1
3) 近似和. 近似和
∆A ≈ f (ξi ) ∆xi i ∆xi = xi − xi−1
A=∑∆A = i
i=1 = n
n
取极限. 4) 取极限. A= lim ≈
复习 曲边梯形的面积 设曲边梯形 是由连续曲线 是由连续 连续曲线 以及两直线 所围成 , 求其面积 A . 1) 大化小. 在区间 [a , b]中 任意插入 n –1 个分点 大化小.
∑f (ξ ) ∆x =∫
i i
i=1 =
b
a
f (x) dx
一、什么问题可以用定积分解决 ? 什么问题可以用定积分解决
1) 所求量 U 是 与区间[a , b]上 的某函数 f (x) 有关的 的某函数 与区间[ 一个整体量 ; 2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过 具有可加性 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
U = ∫a f (x)dx
微元分析法 分析法) 称为元素 元素法 这种分析方法 称为元素法 (或微元分析法) 元素的几何形状常取为 元素的几何形状常取为:条, 环, 扇等 的几何形状常取为:
b
∆ xi
定积分定义
二 、如何应用定积分解决问题 ? 如何应用定积分解决问题
第一步 利用“化整为零 , 常代变”求出局部量的 局部量的 利用“ 以常代变”求出局部量 微分表达式 微分表达式 近似值
dU = f (x)dx
第二步 利用“ 积零为整 无限累加 ”求出整体量的 利用“ , 精确值 积分表达式
小曲边梯形面积
∆Ai ∆An
∆A ∆A2 1
f (ξ1f (ξ2f (ξ3 f (ξi) ) ) )
x0 x x2 xi−1 xi xn−1xn 1
3) 近似和. 近似和
∆A ≈ f (ξi ) ∆xi i ∆xi = xi − xi−1
A=∑∆A = i
i=1 = n
n
取极限. 4) 取极限. A= lim ≈
复习 曲边梯形的面积 设曲边梯形 是由连续曲线 是由连续 连续曲线 以及两直线 所围成 , 求其面积 A . 1) 大化小. 在区间 [a , b]中 任意插入 n –1 个分点 大化小.
大学高等数学6-1定积分的元素法精品PPT课件
弧长 s 2(t ) 2(t )dt.
2
2
2
例 3 求星形线 x 3 y 3 a 3 (a 0)的全长.
x a cos3 t
解
星形线的参数方程为
y
a
sin3
t
(0 t 2)
根据对称性 s 4s1
y
4 2 x2 y2dt 0
4 2 3a sin t cos tdt 0
a
3
四、旋转体的体积和表面积
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴．
圆柱
圆锥
圆台
一般地，如果旋转体是由连续曲线 y f ( x)、
直线 x a 、 x b及x 轴所围成的曲边梯形绕
x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为 x ，
y
y f (x)
A
b
a
f
(
x)dx
y f1( x)
o a xx b x 曲边梯形的面积
A
b[ a
f2(x)
f1( x)]dx
例 1 计算由两条抛物线 y2 x 和 y x2 所围成的
图形的面积.
解 两曲线的交点
(0,0) (1,1) 选 x 为积分变量 x [0,1]
x y2 y x2
面积元素 dA ( x x2 )dx
如果物体在运动的过程中所受的力是变化 的，就不能直接使用此公式，而采用“微元法” 思想.
例 1 把一个带 q 电量的点电荷放在 r 轴上坐
标原点处，它产生一个电场．这个电场对周围的电
荷有作用力．由物理学知道，如果一个单位正电荷
放在这个电场中距离原点为 r 的地方，那么电场
2
2
2
例 3 求星形线 x 3 y 3 a 3 (a 0)的全长.
x a cos3 t
解
星形线的参数方程为
y
a
sin3
t
(0 t 2)
根据对称性 s 4s1
y
4 2 x2 y2dt 0
4 2 3a sin t cos tdt 0
a
3
四、旋转体的体积和表面积
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴．
圆柱
圆锥
圆台
一般地，如果旋转体是由连续曲线 y f ( x)、
直线 x a 、 x b及x 轴所围成的曲边梯形绕
x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为 x ，
y
y f (x)
A
b
a
f
(
x)dx
y f1( x)
o a xx b x 曲边梯形的面积
A
b[ a
f2(x)
f1( x)]dx
例 1 计算由两条抛物线 y2 x 和 y x2 所围成的
图形的面积.
解 两曲线的交点
(0,0) (1,1) 选 x 为积分变量 x [0,1]
x y2 y x2
面积元素 dA ( x x2 )dx
如果物体在运动的过程中所受的力是变化 的，就不能直接使用此公式，而采用“微元法” 思想.
例 1 把一个带 q 电量的点电荷放在 r 轴上坐
标原点处，它产生一个电场．这个电场对周围的电
荷有作用力．由物理学知道，如果一个单位正电荷
放在这个电场中距离原点为 r 的地方，那么电场
定积分元素法课件
02
确定被积函数
03
建立积分方程
根据物理或工程问题的数学模型 ，确定被积函数，即需要求解的 未知函数。
根据定积分的定义和性质，将问 题转化为数学模型中的积分方程 。
离散化方程的推导
离散化方法
将连续的积分元素离散化为有限个离散点，常用的离散化方法有矩形法、三角形法等。
离散化方程推导
根据离散化方法和定积分的性质，推导离散化方程，即将积分方程转化为有限元方程。
二维问题的求解
总结词
定积分元素法在解决二维问题时，通过 将二维平面离散化为网格，将复杂的二 维积分运算转化为一系列的一维积分运 算，降低了求解难度。
VS
详细描述
二维问题涉及平面上的形状、面积、体积 等的求解。定积分元素法将二维平面离散 化为网格，每个网格点上的积分值相等。 通过求解每个网格点的积分值，再求和得 到整体解。这种方法简化了二维积分运算 ，提高了计算精度和效率。
三维问题的求解
总结词
定积分元素法在解决三维问题时，通过将三 维空间离散化为体素，将复杂的三维积分运 算转化为一系列的二维积分运算，降低了求 解难度。
详细描述
三维问题涉及空间中的形状、体积等的求解 。定积分元素法将三维空间离散化为体素， 每个体素上的积分值相等。通过求解每个体 素的积分值，再求和得到整体解。这种方法 简化了三维积分运算，提高了计算精度和效 率。
步骤 1. 将问题分解为若干个元素或单元；
定积分元素法的应用场景
物理问题
定积分元素法广泛应用于物理问题的求解 ，如静力学、动力学、热力学等领域。
工程问题
在土木工程、机械工程、航空航天等领域 ，定积分元素法也被广泛应用。
数值分析
在数值分析中，定积分元素法是数值求解 微分方程的重要方法之一。
数学分析定积分应用讲课文档
y
星形线
(圆内旋轮线)
一圆沿另一圆内缘无滑动地
滚动，动圆圆周上任一点
P
所画出的曲线。
2
2
2
x3 y3 a3
或
. . –a
o
ax
x a cos 3
y
a
sin
3
0 2 .
第三十一页，共83页。
例3 求曲线y段 x2,x[0,1],与直线 y0, x1所围图形分x轴 别, y绕 轴旋转所得旋 转体体积。
一拱与 y 0所围成的图形分别绕 x轴、y轴旋转
构成旋转体的体积.
y( x)
解 绕 x 轴 旋 转 的 旋 转 体 体 积
Vx
2a
y2
(x)dx
0
a
2a
2 a 2 (1 cto )2a s (1 cto )dst 0
a 32 ( 1 3 cto 3 c s2 o t c s3 o t) d s5t2a3. 0
[x, x+dx] (区间微元)，
用A表示[x, x+dx]上的小曲边梯形的面积， (2) 近似. 计算A的近似值 Af(x)dx
并记dA f(x)dx称为面积面微元积y元素yfx
(3) 求和. (4) 求极限.
则 Aa bf(x)d x
0 a x x+dx b x
这种方法通常称为微元法或元素法
第四页，共83页。
4ab2.
3
(3) 绕y c旋转所得旋转体体积
d c V a ba2x2c 2 a ba2x2c 2 dx
dV c 4baca2x2dx
2c a.b
V c4a b2 c0 a第三十五a 页，2 共8 3页。 x2d x22ab . c
定积分元素法课件
元素法的应用范围
01 02 03
适用于被积函数为连续函数的定积 分计算。
适用于被积函数为分段函数的定积 分计算。
适用于被积函数为周期函数的定积 分计算。
03
元素法的具体应用
求解定积分的具体方法
01
矩形法
将积分区间[a,b]分成n个小区间，每个小区间的长度为$\Delta x$，用
矩形近似代替该小区间上的曲线，求出矩形面积之和，即得定积分的近
计算方法则是通过数值计算方法（如梯形法、辛普森法等）来求解近似值。 • 两者都可以得到较为精确的结果，但数值计算方法需要更多的计算量。
元素法与物理方法的比较研究
元素法是通过数学模型和数值计 算方法来得到近似解，而物理方 法则是通过实验测量数据来得到 近似解。
在求解积分问题时，物理方法通 常是通过实验测量数据来得到近 似解。
元素法在求解积分问题时，将积分区间划分为若干个小区间，用近似函数代替被积 函数，从而将积分转化为求和。
微积分提供了一般的理论框架，而元素法是一种具体的计算方法，两者相辅相成。
元素法与数值计算方法的比较研究
• 数值计算方法是一种通过数值计算求解数学问题的方法，包括数值积分、数值微分、数值求解方程等。 • 元素法与数值计算方法在求解积分问题时，都采用了近似代替的方法。 • 元素法在求解积分问题时，将积分区间划分为若干个小区间，用近似函数代替被积函数，从而将积分转化为求和。而数值
近似方法的选取
根据具体问题的特点，选择合适的近 似方法（矩形法、梯形法或辛普森法 ），以保证近似值的精度和计算效率 。
求解定积分的实例分析
计算定积分$\int_{0}^{1}e^{x}dx$
通过矩形法、梯形法和辛普森法分别计算该定积分的近似值，并比较其精度和计算效率 。
6-1 定积分的元素法
(3) 求和. 得A的近似值
n
A f ( i )xi
y
i 1
n
(4) 求极限. A lim 0
f ( i ) xi
i 1
y = f (x)
b
f ( x)dx a
0 1 2 i
x0 a x1 xi1 xi
xn返1nb回xxn
把上述步骤略去下标，改写为：
(1) 分割. 把区间[a, b]分成n个小区间，任取其中一个小
区间[x, x+dx]（区间微元），用A表示[x, x+dx]上
的小曲边梯形的面积，于是 A A
(2) 近似. 计算A的近似值 A f ( x) dx
并记 dA f ( x)dx 称为面面积积元微元素y
y f Leabharlann x返回b 回顾曲边梯形面积A转化为定积分
f ( x)dx 的计算过程：
a
n
(1) 分割. 把区间[a, b]分成n个小区间, 有 A Ai
i 1
总量A 对于[a, b]具有区间可加性, 即A可以分割成
n个部分量Ai 的和.
(2) 近似. 计算Ai的近似值 Ai f ( i )xi ( xi1 i xi )
(2) 求全量
应用方向：
元素积分得 U
b
f ( x)dx
a
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 功；水压力；引力和平均值等．
返回
微元法 (Element Method)
例1. 写出长为l的非均匀细直棒质量的积分表达式
任一点的线密度是长度的函数。 解:建立坐标如图,
o x x+dx
lx
则任意点x的密度为 ( x)
第一节 定积分的元素法
大的曲边梯形也就分成了 n 个小的曲边梯形，
n
y
A Ai ;
i 1
Step2 近似
y f (x)
Ai f (i )xi (xi1 i xi ) ;
Step3 求和
n
Oa
bx
A f (i )xi ;
i 1
lim Step4 取极限
n
b
A
0
f (i )xi
i 1
a
f (x)dx .
把区间[a , b] 而 U等于所有部分量的和.
(3) 那么 U 可用元素法计算.
第一节 定积分的元素法
元素法的步骤：
Step1 选取积分变量 选择一个变量(例如 x) 作为积分
变量，并确定它的变化区间 [a , b];
Step2 求元素 设想把区间 [a , b] 分成 n 个小区间，
取其中任一小区间并记作 [x , x + x]，求出相应于这个
第一节 定积分的元素法
一、引例
二、元素法的步骤
第一节 定积分的元素法
一、引例
引例 曲边梯形的面积
回顾第五章第一节，曲边梯形的面积计算：
b
y
A a f (x)dx .
y f (x)
得到上述计算公式的步骤如下： Oa
A
bx
第一节 定积分的元素法
Step1 分割 把区间 [a , b] 任意分成 n 个小区间，
小区间的部分量 U 的近似值 dU = f (x) dx ；
U的元素
Step3 构造定积分
U
bf (x)dx .a来自第一节 定积分的元素法
在工程技术中，如旋转体的体积、平行截面面积 为已知的立体立体、曲线构件的长度、变力沿直线所 作的功、水压力、引力等，这些量的计 算都要用这种 方法转化为定积分的计算.
S定积分的元素法
“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
表示为
定积分定义
二 、如何应用微元分析法（定积分）解决问题 ?
第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量 的 微分表达式 近似值
d U f ( x ) dx
第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的 精确值 积分表达式
U a f ( x ) dx
第一节 定积分的元素法
一、微元分析法 ? 二 、微元分析法的步骤 ?
第六章
曲边梯形的面积的回顾 f ( i) y y=f (x)
元素法
1 大化小（分割） 2 常代变（近似）
S i f ( i )xi
3 近似和（求和）
S f ( i )x i
i 1 n
.
分法越细，越接近精确值
x i i x i 1
b
S = lim f ( i ) . x i
记
n
b
i 1
.
.
a
f ( x ) dx
一、什么问题可以用微元分析法（定积分）解决 ?
1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某函数 f (x) 有关的
一个整体量 ;
2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过
这种分析方法成为元素法 (或微元分析法) 元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等
b
x
.
4 取极限
令分法无限变细
b
.
.
.
曲边梯形的面积的回顾 f ( i) y y=f (x)
元素法
1 大化小（分割） 2 常代变（近似）
S i f ( i )xi
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本科高等数学
第六章 定积分的应用
教学内容与基本要求：掌握用定积分表达和计算一些几何量和物理量（平面图形面积，平面曲线的弧长、体积、变力作功、引力、压力等）
第一节 定积分的元素法
㈠．本课的基本要求
掌握掌握定积分的元素法的思想
㈡．本课的重点、难点
元素法的思想为重点，其条件为难点
㈢．教学内容
1．定积分的定义（略）
注：1.所求量A 与[a,b]有关且所求量对积分区间具有可加性，即积分区间分为若干个区间，总体量也分为若干部分且等于这若干部分之和
2.i i i A x f ∆≈∆)(ξ, i i i x x f ∆∆是)(ξ的线性函数，且与i A ∆之差是比i x ∆还要高阶的无穷小──线性性
⎰=b
a dx x f A )( 方法：1.取典型子区间：],[dx x x +其对应的部分量为ΔA
2.dx x f A )(≈∆──A 的微元（面积元素），∑∆=
=i A A dx x f dA ,)( 3.⎰=b
a dx x f A )( 所求量总体I 满足下列条件才能用定积分
1.I 与某变量x 所在的区间有关
2.I 对于[a,b]具有可加性
3.部分量dx x f I )(=∆ （线性性）
可简化为两步：
1．分割区间[a,b]，取其中任上小区间],[dx x x +，求出相应的部分量I 的近似值dx x f )(，称它为所求量I 的微元，记为I=dx x f )(，即不变代变求积分
2．对这些微分在[a,b]上无限求和，即在整个区间上求积分得所求量⎰=b
a dx x f I )(，即微分累积成积分
上面这种“无限细分”及“无限求和”两步解决问题的方法称为微元法（或称元素法） 以下各节，我们就用微元法的思想来讨论定积分在几何、物理方面的一些应用。