习题6-1定积分的元素法2020
第一节 定积分的元素法
高等数学教案 定积分的元素法
1 第六章 定积分的应用
第一节 定积分的元素法
如果某一实际问题中的所求量U 满足:
(1)U 是与x 的变化区间],[b a 有关的量;
(2)U 关于],[b a 具有可加性,即U =
∑∆i i U ;
(3)i i i x f U ∆≈∆)(ξ. 则可用定积分表示该量U .
该方法(即定积分的元素法)的基本步骤是:
(1)选取一个变量如x 为积分变量,并确定积分区间],[b a (即积分变量x 的变化范围); (2)在],[b a 上任取一个小区间],[dx x x +,求出所求量U 在],[dx x x +的元素dU 的表达式(即为被积表达式)
dU =dx x f )(.
其中)(x f 为],[b a 上的连续函数,dx x f U )(-∆是dx x =∆的高阶无穷小.
(3)求定积分,即 ⎰⎰==b
a
b a dx x f x dU U )()(.
注：在上章讨论的曲边梯形的面积问题中，求曲边梯形的面积就是采用元素法。
其它许多实际问题都采用元素法。
定积分的元素法
平面图形的面积、体积及平面曲线的弧长，功，
水压力等．
5
A
y=ƒ(x)
D H
B
o a
E
F x x+Δx
b x
求曲边梯形 AabB 的面积 A 的方法为:
(1) 在[a , b]上任取一个小区间[x , x + dx],并求出总量 A 的
微分dA = ƒ(x)dx ; (面积元素(微元))
(2) 以微分表达式 ƒ(x)dx为被积表达式,在[a , b]上作定积分 (面积元素(微元)进行求和累加)
在区间 [a, b]的任一个子区间[x, x+Δx] 上， 部分量ΔU≈f (x)Δx．
4
二
定积分的元素法
设 U 是可用定积分表达的量，则计算量 U 的步骤为： • 选择函数 f(x)，并确定自变量 x 的变化区间[a, b]; • 在[a, b]内考虑小区间[x, x+dx]，求出相应于这个小 区间的部分量ΔU的近似值 f(x)dx。称f(x)dx为量U的 元素，记为dU= f(x)dx． • 计算 U=a f ( x )dx 应用方向：
A dA f ( x )dx
a a
3
bU具有以下特点： 量U与函数 f(x)及x的变化区间 [a, b]有 关．
若 f(x)≡常数，则 U= f(x)(b－a)．
量U对区间具有可加性。即：把[a,b]分成若干部
分区间， 则 U相应地被分成了许多部分量之和．
第六章 定积分的应用
基本要求
1 掌握用定积分来求一些几何量和物理量的方法(元素法) 2 会建立一些简单的几何量与物理量的积分表达式 (如面积，体积，弧长、功、水压力等)
1
§6.1 定积分的元素法
大学高等数学6-1定积分的元素法精品PPT课件
2
2
2
例 3 求星形线 x 3 y 3 a 3 (a 0)的全长.
x a cos3 t
解
星形线的参数方程为
y
a
sin3
t
(0 t 2)
根据对称性 s 4s1
y
4 2 x2 y2dt 0
4 2 3a sin t cos tdt 0
a
3
四、旋转体的体积和表面积
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴．
圆柱
圆锥
圆台
一般地，如果旋转体是由连续曲线 y f ( x)、
直线 x a 、 x b及x 轴所围成的曲边梯形绕
x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为 x ，
y
y f (x)
A
b
a
f
(
x)dx
y f1( x)
o a xx b x 曲边梯形的面积
A
b[ a
f2(x)
f1( x)]dx
例 1 计算由两条抛物线 y2 x 和 y x2 所围成的
图形的面积.
解 两曲线的交点
(0,0) (1,1) 选 x 为积分变量 x [0,1]
x y2 y x2
面积元素 dA ( x x2 )dx
如果物体在运动的过程中所受的力是变化 的，就不能直接使用此公式，而采用“微元法” 思想.
例 1 把一个带 q 电量的点电荷放在 r 轴上坐
标原点处，它产生一个电场．这个电场对周围的电
荷有作用力．由物理学知道，如果一个单位正电荷
放在这个电场中距离原点为 r 的地方，那么电场
6-1定积分的元素法59653
二、小结
元素法的提出、思想、步骤.
（注意微元法的本质）
思考题
微元法的实质是什么？
terima Kasih
得力马卡系
3） 以 所 求 量 U 的 元 素 f(x)d为 x被 积 表 达 式 ， 在
区 间 [a,b]上 作 定 积 分 ， 得 U a bf(x)d， x
即 为 所 求 量 U 的 积 分 表 达 式 .
这个方法通常叫做元素法．
应用方向：
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 功；水压力；引力和平均值等．
元素法的一般步骤：
1 ） 根 据 问 题 的 具 体 情 况 ， 选 取 一 个 变 量 例 如 x 为 积 分 变 量 ， 并 确 定 它 的 变 化 区 间 [ a ,b ] ；
2）设想把区间[a,b]分成n个小区间，取其中任 一小区间并记为[x,xdx]，求出相应于这小区 间的部分量U的近似值.如果U能近似地表示 为[a,b]上的一个连续函数在x处的值f(x)与 dx 的乘积，就把f(x)dx称为量U的元素且记作 dU，即dU f(x)dx；
第一节 定积分在几何上的应用6-1
所围图形绕 x 轴旋转
而成的椭球体的体积. 解: 方法1 利用直角坐标方程
y b
o x ax
则 V 2 a y2 dx 0
(利用对称性)
2
b2 a2
a
(a
2
x2
)
dx
0
2
b2 a2
a2 x
1 3
x3
a 0
4 ab2
3
方法2 利用椭圆参数方程
则 V 20a y2 dx 2 ab2 sin3t d t
2
0
4 3 a2
3
对应 从 0 变
2 a
o
x
d
例6. 计算心形线
与圆
所围图形的面积 .
1 2cos cos 2
解: 利用对称性 , 所求面积
A
1a2 2
2
1 a2 (1 cos )2 d
2
1 2
(1
cos
2
)
1 a2 a2 (3 2cos 1 cos 2 )d
b
b
A a dA( x) a f ( x)dx.
y
妨此可得（图1）的面积： d
A
d
dA( y)
d
f ( y)dy.
y
c
c
c
（图2）的面积：
y
O
y f2(x)
y f1( x)
oa
x bx
（图2）
A
b[ a
f2(x)
f1( x)]dx
A
x=f(y)
（图1）
及 y 轴所围曲边梯形绕 y 轴的旋转体的体积计算公式
定积分的元素法解析
面积表示为定积分的步骤如下
（1）把区间 [a , b] 分成n个长度分别为 x i 的小区间，
那么相应的曲边梯形被分为 n 个小窄曲边梯形， 第 i 个小窄曲边梯形的面积为
Ai , 则A Ai .
i 1
n
（2）计算Ai 的近似值
Ai f ( i )xi
（3） 求和，得A的近似值
对于区间
如果把区间
a , b 具有可加性，就是说， a , b 分成许多部分区间，则U相
应地分成许多部分量，而 U等于所有部分量之
和.
（3）部分量U i 的近似值可表示为 f ( i )x i ；
U 就可以考虑用定积分来表达这个量
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元素法的一般步骤：
1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如 x 为积分变量，并确定它的变化区间 [a, b]；
dU ，即 dU f ( x)dx；
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3）以所求量 U 的元素 f ( x )dx 为被积表达式，在
区间 [a , b] 上作定积分，得
即为所求量 U 的积分表达式.
U f ( x)dx.
a
b
这个方法通常叫做元素法．
应用方向：
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；
功；水压力；引力和平均值等．
2）设想把区间 [a , b] 分成n个小区间，取其中任
一小区间并记为 [ x , x dx ]，求出相应于这小区 间的部分量 U 的近似值.如果 U 能近似地表示 为 [a , b]上的一个连续函数在 x 处的值 f ( x ) 与 dx 的乘积, 就把 f ( x )dx 称为量 U 的元素且记作
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高等数学教案章节题目第六章、定积分的应用§6-1定积分的元素法
高等数学教案§6-1 定积分的元素法一、 再论曲边梯形面积计算设f x ()在区间],[b a 上连续，且0)(≥x f ，求以曲线y f x =()为曲边，底为],[b a 的曲边梯形的面积A 。
1．化整为零用任意一组分点 b x x x x x a n i i =<<<<<<=- 110将区间分成n 个小区间[,]x x i i -1，其长度为),,2,1(1n i x x x i i i =-=∆-并记 },,,m ax {21n x x x ∆∆∆= λ相应地，曲边梯形被划分成n个窄曲边梯形，第i个窄曲边梯形的面积记为ni A i ,,2,1, =∆。
于是 ∑=∆=ni iA A 12．以不变高代替变高，以矩形代替曲边梯形，给出“零”的近似值 ),,2,1(],[)(1n i x x x f A i i i i i i =∈∀∆≈∆-ξξ 3．积零为整，给出“整”的近似值 ∑=∆≈ni iixf A 1)(ξ4．取极限，使近似值向精确值转化⎰∑=∆==→bani iidx x f x f A )()(lim1ξλ上述做法蕴含有如下两个实质性的问题：（1）若将],[b a 分成部分区间),,2,1(],[1n i x x i i =-，则A 相应地分成部分量),,2,1(n i A i =∆，而∑=∆=ni i A A 1这表明：所求量A 对于区间],[b a 具有可加性。
(2)用i i x f ∆)(ξ近似i A ∆，误差应是i x ∆的高阶无穷小。
只有这样，和式∑=∆ni iixf 1)(ξ的极限方才是精确值A 。
故关键是确定))()(()(i i i i i i i x o x f A x f A ∆=∆-∆∆≈∆ξξ通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼， 我们可以给出用定积分计算某个量的条件与步骤。
二、元素法1．能用定积分计算的量U ，应满足下列三个条件 (1) U 与变量x 的变化区间],[b a 有关； (2) U 对于区间],[b a 具有可加性；(3) U 部分量i U ∆可近似地表示成i i x f ∆⋅)(ξ。
S6-1定积分的元素法
n
S f ( i )xi
i 1
.
分法越细，越接近精确值
o
a x1 x2
xi i xi1
x xn1 b
.
曲边梯形的面积的回顾
f (i) y
oa
x x i i i 1 .
元素法
y=f (x)
1 大化小（分割） 2 常代变（近似）
Si f ( i )xi
3 近似和（求和）
分法越细，越接近精确值
4 取极限
x b
令分法无限变细
n
S =
记
lim
i 1
f
(
i
.). x
i
.
b
f ( x) dx
a
一、什么问题可以用微元分析法（定积分）解决 ?
1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某函数 f (x) 有关的 一个整体量 ;
2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
n
S f ( i )xi i 1
分法越细，越接近精确值
4 取极限
x b
令分法无限变细
.. .
曲边梯形的面积的回顾
f (i) y
S
oa
x x i பைடு நூலகம் i 1 .
元素法
y=f (x)
1 大化小（分割） 2 常代变（近似）
Si f ( i )xi
3 近似和（求和）
n
S f ( i )xi i 1
表示为
定积分定义
二 、如何应用微元分析法（定积分）解决问题 ?
第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量
高数例题 第六章 定积分的应用
s
t t dt
例17. 计算摆线
x a sin y a 1 cos
的
一拱
(0 2 ) 的长度。
2、直角坐标情形 设曲线弧由直角坐标方程
y f x a x b 给出 f x 在a, b
球体体积的一半,试求该圆孔的直径.
(二)平行截面面积为已知的立体的体积
已知立体在过点 x a, x b且垂直于x 轴的两个平面之间，且垂直于轴的截面 面积为 A x , A x 为连续函数， 则
V A x dx
a
b
例14.一平面经过半径为R的圆柱体 的底圆中心,并与底面交成角
,计
算这平面截圆柱体所得立体的体积.
例15．求以半径为R的圆为底，平行 且等于底圆直径的线段为顶，高为h
的正劈锥体的体积。
例16. 证明由平面图形
0 a x b 0 y f ( x)
绕
y
轴旋转所成的旋转体的体积
b
为
V 2 xf x dx
a
三、平面曲线的弧长 (一)平面曲线弧长的概念 1、定义：设A,B是曲线弧上的两个端 点，在弧 AB 上依次任取分点
把区间 a, b 分成许多部分区间,则所求 量相应地分成许多部分量 ui ,而所求 量等于所有部分量之和，这一性质称为 所求量对于区间 a, b 具有可加性。
三.用定积分来表达的量 u 应具备的条件 1. 是与一个变量 x 的变化区间 a, b 有关的量。 2.量 对于区间 a, b 具有数量的可 加性。 3.部分量 ui 的近似值可表示为
在 , 上 , 围成，
定积分的应用元素法
绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,
有
V d π[( y)]2dy c
y
d
y x (y)
c
O
x
例12. 计算由椭圆
所围图形绕 x 轴旋转而
成的椭球体的体积. 解: 方法1 利用直角坐标方程
y b
O x ax
则 V 2 a π y2 dx 0
(利用对称性)
2
π
b2 a2
a (a2 x2 ) dx
t
d
t
π a3
2π
(t
sin
t)2
sin
t
dt
0
注
例15. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 , 并
与底面交成 角, 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .
解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为
x2 y2 R2
垂直于x 轴 的截面是直角三角形, 其面积为
A(x) 1 (R2 x2 ) tan (R x R)
表示为
定积分定义
二 、如何应用定积分解决问题 ?
第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量
近的似值
微分表达式
dU f (x) dx
第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的
精确值
积分表达式
b
U a f (x) dx
这种分析方法称为元素法 (或微元分析法 )
元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等
O
x
例2. 计算抛物线 y2 2x 与直线 y x 4 所围图形
的面积 .
解: 由
得交点
(2, 2) , (8, 4)
y
ydy y