高中数学解析几何专题之双曲线(汇总解析版)

圆锥曲线第2讲双曲线

【知识要点】

一、双曲线的定义

1. 双曲线的第一定义：

平面内到两个定点、的距离之差的绝对值等于定长（）的点的轨迹叫双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。

注1：在双曲线的定义中，必须强调：到两个定点的距离之差的绝对值（记作），不但要小于这两个定点之间的距离（记作），而且还要大于零，否则点的轨迹就不是一个双曲线。具体情形如下：

（ⅰ）当时，点的轨迹是线段的垂直平分线；

（ⅱ）当时，点的轨迹是两条射线；

（ⅲ）当时，点的轨迹不存在；

（ⅳ）当时，点的轨迹是双曲线。

特别地，若去掉定义中的“绝对值”，则点的轨迹仅表示双曲线的一支。

注2：若用表示动点，则双曲线轨迹的几何描述法为（，），

即。

2. 双曲线的第二定义：

平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数（）的点的轨迹叫做双曲线。

二、双曲线的标准方程

1.双曲线的标准方程

（1）焦点在轴、中心在坐标原点的双曲线的标准方程是（，）；

（2）焦点在轴、中心在坐标原点的双曲线的标准方程是（，）.

注：若题目已给出双曲线的标准方程，那其焦点究竟是在轴还是在轴，主要看实半轴跟谁走。若实半轴跟走，则双曲线的焦点在轴；若实半轴跟走，则双曲线的焦点在轴。

2.等轴双曲线

当双曲线的实轴与虚轴等长时（即），我们把这样的双曲线称为等轴双曲线，其标准方程为

（）

注：若题目已明确指出所要求的双曲线为等轴双曲线，则我们可设该等轴双曲线的方程为

（），再结合其它条件，求出的值，即可求出该等轴双曲线的方程。进一步讲，若求得的，则该等轴双曲线的焦点在轴、中心在坐标原点；若求得的，则该等轴双曲线的焦点在轴、中心在坐标

原点。

三、双曲线的性质

以标准方程（，）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。

（1）范围：，即或；

（2）对称性：关于轴、轴轴对称，关于坐标原点中心对称；

（3）顶点：左、右顶点分别为、；

（4）焦点：左、右焦点分别为、；

（5）实轴长为，虚轴长为，焦距为；

（6）实半轴、虚半轴、半焦距之间的关系为；

（7）准线：；

（8）焦准距：；

（9）离心率：且. 越小，双曲线的开口越小；越大，双曲线的开口越大；

（10）渐近线：；

（11）焦半径：若为双曲线右支上一点，则由双曲线的第二定义，有，；

（12）通径长：.

注1：双曲线（，）的准线方程为，渐近线方程为。

注2：双曲线的焦准距指的是双曲线的焦点到其相应准线的距离。以双曲线的右焦点和

右准线：为例，可求得其焦准距为；

注3：双曲线的焦点弦指的是由过双曲线的某一焦点与该双曲线交于不同两点的直线所构成的弦。双曲线的通径指的是过双曲线的焦点且垂直于其对称轴的弦。通径是双曲线的所有焦点弦中最短的弦。设双曲线的方

程为（，），过其焦点且垂直于轴的直线交该双曲线于、两点（不妨令点在轴的上方），则，，于是该双曲线的通径长为.

四、关于双曲线的标准方程，需要注意的几个问题

（1）关于双曲线的标准方程，最基本的两个问题是：其一，当题目已指明曲线的位置特征，并给出了“特征值”（指、、的值或它们之间的关系，由这个关系结合，我们可以确定出、、的值）时，我们便能迅速准确地写出双曲线的标准方程；其二，当题目已给出双曲线的标准方程时，我们便能准确地判断出双曲线的位置特征，并能得到、、的值。

（2）双曲线的标准方程中的参数、、是双曲线所固有的，与坐标系的建立无关；、、三者之间的关系：必须牢固掌握。

（3）求双曲线的标准方程，实质上是求双曲线的标准方程中的未知参数、。根据题目已知条件，我们列出以、为未知参数的两个方程，联立后便可确定出、的值。特别需要注意的是：若题目中已经指明双曲线的焦点在轴或轴上，则以、为未知参数的方程组只有一个解，即、只有一个值；若题目未指明双曲线的焦点在哪个轴上，则以、为未知参数的方程组应有两个解，即、应有两个值。

（4）有时为方便解题，中心在坐标原点的双曲线的方程也可设为，但此时、必须满足条件：.

（5）与椭圆不同，双曲线中，最大，离心率，它除了有准线，还有渐近线，而且渐近线是双曲线特有的性质。对于渐近线：①要掌握渐近线的方程；②要掌握渐近线的倾斜角、斜率的求法；③会利用渐近线方程巧设双曲线方程，再运用待定系数法求出双曲线的方程。

（6）双曲线（，）的渐近线方程可记为，即；双曲线

（，）的渐近线方程可记为，即. 特别地，等轴双曲线

（）的渐近线方程为. 反过来讲，若已知某一双曲线的渐近线方程为（，

为给定的正数），则该双曲线的实半轴与虚半轴具有关系：或.

（7）双曲线的焦点到其渐近线的距离为.

证明：设双曲线的方程为（，），其左、右焦点为、，渐近线方程为，即.

则焦点到渐近线的距离，

焦点到渐近线的距离.

显然

故双曲线的焦点到其渐近线的距离为

（8）与椭圆类似，求双曲线的离心率的值，就是要寻找除这一等量关系之外、、之间的另一等量关系；求双曲线的离心率的取值范围，就是要寻找、、之间的不等关系，有时还要适当利用放缩法，这里面体现了方程和不等式的数学思想。

【例题选讲】

题型1：双曲线定义的应用

1. 若一动点到两个定点的距离之差的绝对值为常数（），求点的轨迹方程.

解：由题意知，（），

（ⅰ）当时，

此时点的轨迹是线段的垂直平分线，其方程为

（ⅱ）当时，

此时点的轨迹是两条射线，其方程分别为或

（ⅲ）当时，

此时点的轨迹是以为左、右焦点的双曲线，其中实半轴长为，半焦距，虚半轴

，所以其方程为.

2. 方程表示的曲线是（）

A. 椭圆

B. 双曲线

C. 双曲线的左支

D. 双曲线的右支

解：设是平面内一点，，

则方程即为

该式表示平面内一点到两个定点、的距离之差等于定长8. 显然。故由双曲线的第一定义知，点的轨迹是双曲线，但仅是双曲线的左支。

3. 已知两圆：，：，动圆与两圆、都相切. 则动圆圆心

的轨迹方程是__________.

解：圆：的圆心为，半径为；圆：的圆心为，半径为.

动圆与两圆、都相切，有以下四种情况：