河海大学《数学分析》习题16 三重积分的计算
三重积分计算方法
三重积分计算方法
三重积分是数学中的一种重要的计算方法，用于计算三维空间中某个区域内的物理量。
它在物理学、工程学、计算机图形学等领域中具有广泛的应用。
三重积分可以理解为对一个三维区域进行体积的累加。
在直角坐标系下，三重积分可以表示为f(x, y, z)dV，其中f(x, y, z)为被积函数，dV表示微元体积。
计算三重积分的方法有多种，常见的方法包括直接计算法、柱坐标法和球坐标法。
直接计算法是最基本的计算方法，即将三重积分的积分区域分成小立方体，并对每个小立方体进行积分，然后将这些小立方体的积分结果相加。
这种方法适用于积分区域较简单的情况，但对于复杂的积分区域来说，计算量较大。
柱坐标法是一种将直角坐标系转换为柱坐标系进行计算的方法。
通过将积分区域转换为柱坐标系下的一个圆柱体，可以简化积分的计算过程。
这种方法尤其适用于具有旋转对称性的问题。
球坐标法是一种将直角坐标系转换为球坐标系进行计算的方法。
通过
将积分区域转换为球坐标系下的一个球体，可以进一步简化积分的计算过程。
这种方法尤其适用于具有球对称性的问题。
除了以上提到的方法外，还有其他一些积分变换方法，如椭球坐标法、柱坐标系下的旋转变换等，根据具体情况选择合适的方法进行计算。
需要注意的是，对于一些复杂的积分区域，可能需要将其分解为多个简单的子区域，然后对每个子区域进行积分。
此外，在实际计算中，还需要注意积分的顺序以及积分限的确定，以避免出现错误结果。
综上所述，三重积分是一种重要的计算方法，通过选择合适的计算方法和注意计算细节，可以有效地求解三维空间中的问题。
三重积分的几种计算方法
z z=1
解：先对 z 积分，将
向 xy 平面投影.
z= x2+y2
z= x2+y2
x2+y2=1
z=1
z=1
y
0
1
x
Dxy
D: x2+y2≤1
z z=1
z= x2+y2
y
0
1
x
Dxy
f(x,y,z)dxdydz
1 1d x1 1 xx 22d yx 1 2y2f(x,y,z)d z
其中 ={(x, y, z) | x2+y2+z2≤1, z≥0}.
解：x2+y2+z2=1 r=1
z
用 = 截 得 D()
而 0≤ ≤2 故
0
x
y
原积分
rc o s r2sid n rd d
*
02dr3cossindrd D()
x
0
dxdy02xycoxs(z)dz
y y y x
D
0 2d x0xd y0 2 xyco x sz)d (z
D
x
0
2
2 1
16 2
z
Dxz
y=y1(x, z) y=y2(x, z)
0
x
y
f(x,y,z)dxdydz
dxdzy2(x,z)f(x,y,z)dy
与三个坐标面所围闭区域.
解： D(x): 0≤ y ≤1–x, 0≤ z ≤ 1xy
z
1
0
x1
x:0≤x≤1
xdxdydz01xdxD(x
三重积分的计算方法
D xyyxyΩzxOD xy三重积分◆三重积分的物理意义：一个密度不均匀的空间物体，求其质量。
◆计算方法(一)直角坐标法①投影穿线法(先1后2法、先 z 后 xy 法)适用于无侧面，或者侧面为柱面的立体图形∭f (x ，y ，z )Ωdxdydz=∬dxdy D xy∫f (x ，y ，z )φ2(x ，y )φ1(x ，y )dz口诀： 后积先定限， 限内划条线。
先交写下限， 后交写上限。
释义：后面的积分，即dz 先进行限定，限定的上下限即位上表面和下表面的函数。
从投影面D xy 引出一条垂射线，方向向上。
第一次碰到Ω时，即下表面的函数写在下限的位置， 离开Ω时，即上表面的函数，写在上限的位置。
D zyΩzxOba②定限截面法、先2后1法、先 xy 后 z 法 适用于旋转体的立体图形∭f (x ，y ，z )Ωdxdydz=∫dz ba∬f (x ，y ，z )dxdy D z步骤：第一步：限内截个面，z =φ(x ，y )第二步：找出 z 的上下限。
做外层。
适用范围：{Ω边界曲面含有：x2+y2 f(x，y，z)含有：x2+y2方法同投影穿线法：第一步：投影，写出D xy的函数，φ1(x，y)≤z≤φ2(x，y)第二步：令{x=r cosθy=r sinθz=zα<θ<β，r1(θ)<r<r2(θ)则∭f(x，y，z)Ωdxdydz=∭f(r cosθ，r sinθ，z)Ωr dr=∫θdθβα∫r drr2(θ)r1(θ)∫f(r cosθ，r sinθ，z)φ2(r cosθ，r sinθ)φ1(r cosθ，r sinθ)dz上式积分是以常用次序，实际考题中，积分次序可以改变。
但注意上下限写法的规则：外层上下限不依赖内层，故最外层的上下限为常数，而内层是函数，其自变量为其外层积分的字母。
D xy yΩzx OyxDxyD xyyΩzxOD xyyΩzxOyxDxy令{x=r∙sinφ∙cosθy=r∙sinφ∙sinθz=r∙cosφα<θ<β，n<r<m则∭f(x，y，z)Ωdxdydz=∭f(r∙sinφ∙cosθ，r∙sinφ∙sinθ，r∙cosφ)Ωr2sinφdr=∫θdθβα∫φdφθ2θ1∫f(r cosθ，r sinθ，z)∙r2sinφr2(φ，θ)r1(φ，θ)dr极坐标的变换，上下限的写法：θ：一扇门xOz，绕着x轴转动，第一次碰到Ω时，记录θ1离开Ω时，记录θ2φ：一个与z轴的夹角为φ的圆锥喇叭，其逐渐扩大，第一次触及Ω时，记录φ1离开Ω时，记录φ2r：原点产生了爆炸源，冲击波看作球面，半径为r其第一次波及Ω时，记录r1离开Ω时，记录r2应用(1)体积V=∭Ωdv(2)总质量m=∭ρ(x，y，z)Ωdv (3)重心x=∭xρ(x，y，z)Ωdv∭ρ(x，y，z)Ωdv；y=∭yρ(x，y，z)Ωdv∭ρ(x，y，z)Ωdv；z=∭zρ(x，y，z)Ωdv∭ρ(x，y，z)Ωdv(4)转动惯量I x=∭(y2+z2)ρ(x，y，z)Ωdv；I y=∭(x2+z2)ρ(x，y，z)Ωdv；I z=∭(x2+y2)ρ(x，y，z)Ωdv。
高等数学 -三重积分的计算
dv r2 sin drd d
5
23
例3. 设由锥面
和球面
所围成 , 计算
提示:
I (x2 y2 z2 2 xy 2 yz 2 xz) dv
z 2
利用对称性
(x2 y2 z2 ) dv
4
oy
用球坐标
x
2 d
0
4 sin d
0
2r 4 d r 32 2
0
5
2
24
常数 常数
z 常数
圆柱面 半平面 平面
o
y
x
(x,
y,0)
13
如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为
d v d dd z
z d
因此 f (x, y, z)dxdydz
z
d
dz
d d dz
o
其中 F(, , z) f ( cos , sin , z )
适用范围:
x
d
d
y
1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ;
f (x, y, z) d v f (,, )V
2
二、三重积分的计算 1） 利用直角坐标计算三重积分
先假设连续函数 f (x, y, z) 0, 并将它看作某物体
的密度函数 , 通过计算该物体的质量引出下列各计算 方法:
方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法2. 截面法 (“先二后一”)
最后, 推广到一般可积函数的积分计算.
3
方法1. 投影法 (“先一后二” )
:
z1
( (
x, x,
y) y)
z D
z2
(x,
y)
z z2 (x, y)
高数课件9-3 三重积分的计算法(1)(直角坐标)
其结果为 z 的函数 F ( z )； c2 (4)最后计算单积分 c F ( z )dz 即得三重积分值.
1
河海大学理学院《高等数学》
例 计算 I xdxdydz , 由三个坐标平面
z
及平面 x 2 y z 1 围成 .
1
例 计算三重积分 z dxdydz
0 i 1
其中dxdydz叫做直角坐标系中的体积元素.
河海大学理学院《高中将三重积分化为三次积分． z 闭区域 在 xoy 如图， z z ( x, y) z S 面上的投影为闭区域 D, S1 :z z1 ( x , y ), z S XY 型区域 S2 :z z2 ( x , y ), z z ( x, y) 过点 ( x, y ) D 作直线, o a D 从 z1 穿入，从 z2 穿出． ( x, y) y y ( x) b
河海大学理学院《高等数学》
f ( x , y , z )dz ]d . 1 D D 先一后二型 D : y1 ( x ) y y2 ( x ), a x b, 得 f ( x , y, z )dv
F ( x , y )d [ z ( x , y )
z2 ( x , y )
注意 这是平行于 z 轴且穿过闭区域 内部的直线与 闭区域 的边界曲面 S 相交不多于两点情形．
a dx y1 ( x ) dy z1 ( x , y )
b
y2 ( x )
z2 ( x , y )
f ( x , y , z )dz .
河海大学理学院《高等数学》
例 化三重积分 I f ( x , y , z )dxdydz
三重积分的定义和计算方法
三重积分的定义和计算方法在多元微积分中，三重积分被用来计算三维空间中复杂曲面或体积的性质。
本文将介绍三重积分的定义和计算方法，以帮助读者更好地理解和应用这个概念。
一、定义三重积分是对一个三维空间区域内的函数进行积分。
类似于二重积分用来计算二维平面区域内的函数性质，三重积分将函数在三维空间内的性质展现出来。
它可以用于计算体积、质心、质量等相关问题。
二、直角坐标系下的三重积分计算在直角坐标系下，三重积分的计算可以通过以下步骤进行：1. 建立坐标系：确定一个适当的坐标系，常见的是笛卡尔坐标系(x, y, z)。
2. 划定积分区域：确定要求解的函数所在的空间区域，通常使用不等式或图形的方程来描述。
3. 分割积分区域：将积分区域划分为许多小立方体或长方体。
4. 选择积分方式：根据问题的要求选择适当的积分方式，常见的有直角坐标系下的直角坐标形式、柱坐标形式和球坐标形式。
5. 计算积分：根据所选择的积分方式，将函数进行变量替换并进行积分计算。
三、柱坐标系和球坐标系下的三重积分计算柱坐标系和球坐标系是常用的坐标系，它们在计算具有对称性的问题时非常有用。
1. 柱坐标系下的三重积分计算：柱坐标系中，用(r, θ, z)表示点的坐标。
三重积分的计算在柱坐标系下往往更加便捷，特别适用于具有圆柱对称性的问题。
2. 球坐标系下的三重积分计算：球坐标系中，用(ρ, φ, θ)表示点的坐标。
球坐标系下的三重积分计算常常用于具有球对称性的问题。
四、应用举例三重积分在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用举例：1. 计算体积：通过三重积分可以计算具有复杂形状的立体体积。
2. 计算质心：对于有一定密度分布的物体，可以使用三重积分来计算其质心坐标。
3. 计算质量：类似地，通过三重积分可以计算具有复杂密度分布的物体的总质量。
4. 计算电荷分布：在电磁学中，可以利用三重积分来计算复杂电荷分布下的电势。
五、总结本文介绍了三重积分的定义和计算方法，包括在直角坐标系、柱坐标系和球坐标系下的计算。
数学分析课件：16-5三重积分的换元
规定： 0 r ,
0 2,
z .
• M(x, y,z)
or
•
y
P(r, )
x
如图，三坐标面分别为
r 为常数
圆柱面；
z
为常数 半平面；
z 为常数 平 面．
柱面坐标与直角坐
o
标的关系为
y
x r cos ,
y
r
sin
,
x
z z.
柱面坐标变换的Jacobi行列式为
cos J ( x, y, z) sin
(r, , z)
0
r sin r cos
0
0 0 r, 1
f ( x, y, z)dxdydz
V
f (r cos , r sin , z)rdrddz.
V'
定理条件? 计算方法?
例2 计算I zdxdydz，其中V 是球面
V
x2 y2 z2 4与抛物面 x2 y2 3z
所围的立体.
V
2
d
4 d
a
cos r 4 sin 3dr000
2
4 0
sin
3
1 5
(
a5 cos5
0)d
a5. 10
解 2 采用柱面坐标
x2 y2 z2 z r, D : x2 y2 a2,
V : r z a, 0 r a, 0 2 ,
I
x r cos
解
由
y
r
sin
,
z z
知交线为
r2 z2 4
r2 3z
z 1, r 3,
V : r 2 z 4 r 2， 3 0 r 3,
0 2 .
三重积分的计算及重积分的应用
三重积分的计算及重积分的应用三重积分是在三维空间中计算一些函数在一个有界区域内的体积的方法。
它是对二重积分的一种扩展，可以应用于多种问题中，包括物理、工程和数学等领域。
本文将从三重积分的计算方法开始，然后介绍一些三重积分的应用，以及如何解决这些应用问题。
一、三重积分的计算方法要计算三重积分，首先需要定义积分的坐标系和被积函数。
常用的坐标系有直角坐标系、柱坐标系和球坐标系。
选择合适的坐标系可以简化计算过程。
被积函数通常是一个连续函数或分段连续函数，也可以是具有一些特殊性质的函数，如奇函数或偶函数。
在直角坐标系中，三重积分的一般形式为∭f(x,y,z)dV，其中f(x,y,z)是被积函数，dV表示元体积元素。
元体积元素可以表示为dx dy dz，也可以写成其他坐标系对应的形式。
根据积分的定义，三重积分可以分解为对三个变量的依次积分。
具体方法为，先对z进行积分，然后再对y进行积分，最后对x进行积分。
以直角坐标系为例，三重积分可以表示为∭f(x,y,z)dxdydz。
其中，积分范围为对每个变量的积分范围进行限定。
对被积函数的积分范围的限定可以通过对空间区域的几何性质进行分析得到。
常见的限定方式有矩形区域和曲线边界。
根据具体问题，可以采用不同的方法来确定积分限定条件。
计算三重积分时，可以选择适当的计算工具，如数值积分、符号计算软件或计算机程序，并利用计算机进行数值计算。
三重积分在许多领域都有广泛的应用。
以下将介绍几个常见的应用以及解决这些应用问题的方法。
1.计算物体体积三重积分可以用于计算复杂形状的物体的体积。
通过将物体分解为无穷小的体积元素，然后对每个体积元素进行积分，最后将所有体积元素的积分结果相加，就可以得到整个物体的体积。
例如，计算一个以球面为上下界的圆锥体的体积。
首先可以选择球坐标系，然后确定积分限定条件，如半径和角度范围。
然后将球坐标系下的体积元素转换为直角坐标系下的体积元素进行积分。
最后将所有体积元素的积分结果相加，即可得到圆锥体的体积。