北师大版数学中考专题复习——几何专题

北师大版数学中考专题复习——几何专题
【题型一】考察概念基础知识点型
例1如图1，等腰△ABC 的周长为21，底边BC ＝ 5，AB 的垂直平分线是DE ，则△BEC 的周长为 。

例 2 如图2，菱形ABCD 中，60A ∠=°，E 、F 是AB 、AD 的中点，若2EF =，菱形边长是______．
D
E
B
C
A
图
1 图
2 图3
例3 （切线）已知AB 是⊙O 的直径，PB 是⊙O 的切线，AB ＝3cm ，PB ＝4cm ，则BC ＝ ． 【题型二】折叠题型：折叠题要从中找到对就相等的关系，然后利用勾股定理即可求解。

例4（09绍兴）D E ，分别为AC ，BC 边的中点，沿DE 折叠，若48CDE ∠=°，则APD ∠等于 。

例5如图4.矩形纸片ABCD 的边长AB =4，AD =2．将矩形纸片沿 EF 折叠， 使点A 与点C 重合，折叠后在其
一面着色（图），则着色部分的面积为（ ） A ． 8 B ．
112
C ． 4
D ．5
2
E
D
B
C A
P
图4 图5 图6
【题型三】涉及计算题型：常见的有应用勾股定理求线段长度，求弧长，扇形面积及圆锥体积，侧面积，三角函数计算等。

例6如图3，P 为⊙O 外一点，PA 切⊙O 于A ，AB 是⊙O 的直径，PB 交⊙O 于C ，
PA ＝2cm ，PC ＝1cm,则图中阴影部分的面积S 是 （ ） A.
2235cm π- B 2435cm π- C 24235cm π- D 22
32cm π
- 图3
【题型四】证明题型：
（一）三角形全等
【判定方法1：SAS 】
B
D G
F
F
例1 （2011广州）如图，AC 是菱形ABCD 的对角线，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，且 AE=AF 。

求证：△ACE ≌△ACF
例2 （2010长沙）在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AC 上一点，连接EB 、ED ． （1）求证：△BEC ≌△DEC ；
（2）延长BE 交AD 于F ，当∠BED =120°时，求∠EFD 的度数．
【判定方法2：AAS （ASA ）】
例3 如图，ABCD 是正方形，点G 是BC 上的任意一点，DE AG ⊥于 E ，BF DE ∥，交 AG 于F ，求证：AF BF EF =+．
【判定方法3：SSS 】
例4 （2011浙江台州）如图，在□ABCD 中，分别延长BA ，DC 到点E ，使得AE=AB ， CH=CD 连接EH ，分别交AD ，BC 于点F,G 。

EF=HG,AF=CG 。

求证：△EBG ≌△HDF.
【判定方法4：HL （专用于直角三角形）】
例5 （ 2011重庆江津）在△ABC 中,AB=CB,∠ABC=90º,F 为AB 延长线上一点,点E 在BC 上, 且AE=CF.
(1)求证:Rt △AB E ≌Rt △CBF; (2)若∠CAE=30º,求∠ACF 度数.
（二）相似三角形
Ⅰ.三角形相似的判定
例1 （2010珠海）如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，
连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B.
A
B
C
E
F
D
C
B
A
E F G
A
D
F
E B
C
E
B
D A C F A
F D
E B
C
F E
D
C
B
A
(1)求证：△ADF ∽△DEC
(2)若AB ＝4,AD ＝33,AE ＝3,求AF 的长.
例2（2011襄阳）如图9，点P 是正方形ABCD 边AB 上一点(不与点A ．B 重合)，连接PD 并将线段PD 绕点P 顺
时针方向旋转90°得到线段PE ， PE 交边BC 于点F ．连接BE 、DF 。

（1）求证：∠ADP=∠EPB ； （2）求∠CBE 的度数； （3）当AP
AB
的值等于多少时．△PFD ∽△BFP ？并说明理由．
2.相似与圆结合，注意求证线段乘积，一般是转化证它所在的三角形相似。

将乘积式转化为比例式→比例式边长定位到哪个三角形→找条件证明所在的三角形相似
例3 （2010•日照）如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 与E ，交BC 与D ．
求证：（1）D 是BC 的中点；
（2）△BEC ∽△ADC ； （3）BC 2=2AB•CE ．
3.相似与三角函数结合，
①若题目给出三角函数值一般会将给出的三角函数值用等角进行转化，然后求线段的长度 ②求某个角的三角函数值，一般会先将这个角用等角转化，间接求三角函数值
例4 （2011四川南充市）如图，点E 是矩形ABCD 中CD 边上一点，⊿BCE 沿BE 折叠为⊿BFE,
点F 落在AD 上.(1)求证：⊿ABE∽⊿DFE ;(2)若sin∠DFE=3
1
,求tan∠EBC 的值.
A D B
E 图
6
i =1:3
C
（三）解直角三角形
直角三角形常见模型
1 张华同学在学校某建筑物的C 点处测得旗杆顶部A 点的仰角为30°，旗杆底部B 点的俯角为45°．若旗杆底部B 点到建筑物的水平距离BE=9米，旗杆台阶高1米，试求旗杆AB 的高度。

2．海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A 处看见灯塔B 在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶
到C 处，发现此时灯塔B 在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B 到C 处的距离。

3（2010漠河）某年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，一条船在松花江某段自西向东沿直线航行，在A 处测得航标C 在北偏东60°方向上。

前进100m 到达B 处，又测得航标C 在北偏
东45°方向上（如图），在以航标C 为圆心，120m 为半径的圆形区域内有浅滩，如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？
4: (2009年·东莞市)（本题满分7分）如图6，梯形ABCD 是拦水坝的横断面图，（图中3:1=i 是指坡面的铅直高度DE 与水平宽度CE 的比），∠B=60°，AB=6，AD=4，求拦水坝的横断面ABCD 的面积．（结果保留
三位有效数字.参考数据：3≈1.732，2≈1.414）
3 1.73
≈
A
B
C
D
E
F
（四）四边形
例1 （2011广东）如图，分别以Rt△ABC 的直角边AC 及斜边AB 向外作等边△ACD、等 边△ABE。

已知∠BAC=30º，EF⊥AB，垂足为F ，连结DF 。

（1）试说明AC=EF ；
（2）求证：四边形ADFE 是平行四边形。

例2 （2010安徽省中中考）如图，AD ∥FE ，点B 、C 在AD 上，∠1＝∠2，BF ＝BC
⑴求证：四边形BCEF 是菱形
⑵若AB ＝BC ＝CD ，求证：△ACF ≌△BDE
例3 （2010·潼南中考）如图,四边形ABCD 是边长为2的正方形，点G 是BC 延长线上一 点，连结AG ，点E 、F 分别在AG 上，连接BE 、DF ，∠1=∠2 ， ∠3=∠4.
(1)证明：△ABE≌△DAF； （2）若∠AGB=30°，求EF 的长.
例4 （2009崇左中考）如图，在等腰梯形ABCD 中，已知AD BC ∥，AB DC =，2AD =， 4BC =延长BC 到E ，使CE AD =． （1）证明：BAD DCE △≌△；
（2）如果AC BD ⊥，求等腰梯形ABCD 的高DF 的值．
（五）圆
Ⅰ、证线段相等
A
C
B D
E
F G
1
42
3
D A B E
C F
C
D
例1：（2010年金华）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是的中点，CE ⊥AB 于 E ，BD 交CE 于点F ．（1）求证：CF =BF ；
（2）若CD =6， AC =8，则⊙O 的半径为 ，CE 的长是 ．
2、证角度相等
例2（2010株洲市）如图，AB 是⊙O 的直径，C 为圆周上一点，30ABC ∠=︒，过点B 的切线与CO 的延长线交于点D ．:求证：（1）CAB BOD ∠=∠；（2）ABC ∆≌ODB ∆．
3、证切线
点拨：证明切线的方法——连半径，证垂直。

根据：过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线
例3如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BD 是⊙O 的直径， AE ⊥CD 于点E ，DA 平分∠BDE 。

（1）求证：AE 是⊙O 的切线。

（2）若∠DBC=30°，DE=1cm ，求BD 的长。

例4 （2011•曲靖）如图，点A 、B 、C 、D 都在⊙O 上，OC⊥AB，∠ADC=30°． （1）求∠BOC 的度数；
（2）求证：四边形AOBC 是菱形．
D
C
B
O
A
D
O
B
C
A E 例3图。