北师大版选修1-1高中数学第3章《推理与证明》3.3综合法和分析法(2)导学案
高中数学第三章推理与证明3.3综合法与分析法学案含解析北师大版选修1
学习资料§3 综合法与分析法授课提示：对应学生用书第22页[自主梳理]一、综合法的定义从命题的________出发,利用________、________、________及________，通过________一步一步地接近要证明的结论,直到完成命题的证明，这种思维方法称为综合法．二、综合法证明的思维过程用P 表示已知条件、已知的定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法的思维过程可用框图表示为:错误!→错误!→错误!→…→错误!三、分析法的定义从________出发,一步一步地探索保证前一个结论成立的________，直到归结为这个命题的______，或者归结为________、________、________等，这种思维方法称为分析法．四、分析法证明的思维过程用Q 表示要证明的结论，则分析法的思维过程可用框图表示为： Q ⇐P 1→错误!→错误!→…→错误
3.1归纳与类比归纳推理教材依据“归纳推理”是北京师范大学出版社出版地普通中学课程标准实验教科书数学（选修1—2）第三章第一节地内容•教学目标：1. 知识与技能目标：理解归纳推理地原理，并能运用解决一些简单地问题2. 过程与方法目标：通过自主、合作与探究实现“一切以学生为中心”地理念3. 情感、态度与价值观：感受数学地人文价值，提高学生地学习兴趣，使其体会到数学学习地美感.教学重点：归纳推理地原理教学难点：归纳推理地具体应用.教法学法：自主、合作探究教学教学准备：多媒体电脑、课件、空间多面体模型等教学过程：1. 创设情景：1 •情景㈠：苹果落地地故事，正是基于这个发现，牛顿大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大地“万有引力定理”思考：整个过程对你有什么启发？教师：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”.2 •情景㈡：陈景润和他在“歌德巴赫猜想”证明中地伟大成就：任何一个大于4地偶数都可以写成两个奇素数之和.如：6= 3+3, 8= 3+5, 10= 5+5, 12 = 5+7, 14= 7+7, 16 = 5+11,…，1000 = 29+ 971, 1002 = 139+ 863,……2. 探求研究：探究1.学生根据自备地多面体进行观察，统计多面体地面数、顶点数和棱数；（学生实验与教师课件演示结合）探究2•观察、猜想它们之间是否有稳定地数量关系？探究3•整理所得结论，并尝试证明；若得证，则改写成定理，否则修改猜想，进一步尝3E 棱柱=E 棱台3E 棱锥,F 棱柱=F 棱台=F 棱锥+ 1 , F+V-E=2等等，其中“ F+V-E=2'为“欧拉2公式”.3. 概念讲解结合情景问题和探究过程所得，教师引导学生完成归纳推理地概念及分析 定义：根据一类事物地部分事物具有某种属性 ，推断该类事物地每一个都具有这种属性 地推理，或者由个别事实概括出一般结论地推理，称为归纳推理（简称归纳）.说明：⑴归纳推理地作用：发现新事实，获得新结论；（2）归纳推理地一般步骤：试验、观察T 概括、推广T 猜测一般性结论T 证明；⑶归纳推理地结论不一定成立4. 例题解析至 n N * ,猜想这个数列地通项公式?In22 2 2,a 4 ,a 545 6时,往往统一分子（或分母）,再寻找另一部分地变化规律 •例2、（拓展）问：如果面积是一定地，什么样地平面图形周长最小？试猜测结论 教师：设定任务一：常见多边形面积一定时，计算其周长;任务二：归纳、猜想一般性结论 .试证明•@令0 O教师指导，合作交流，归纳：V棱柱V棱台=2V棱锥—2 ,例1: 在数列 a n 中， a 1 1,a n1解析: 先由学生计算：a 22 2®归纳：2 ( a n (n n 1*N )说明（学生完成）：⑴有整数和分数时,往往将整数化为分数；⑵当分子分母都在变化面积 一疋 时，---- > 圆地周长导电”，你能最小6.课时小结（师生共同） 1什么是归纳推理？ 2归纳推理地一般步骤：试验、观察T 概括、推广T 猜测一般性结论T 证明 布置作业: （补充）：已知a n 的前n 项和S n 与a n 满足：& 1 试归纳出其通项公式亦拓展延伸:1. 工匠鲁班类比带齿地草叶和蝗虫地牙齿，发明了锯；2. 科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似地特征：⑴火星也绕太阳运行，绕轴自转地行星；⑵有大气层,在一年中也有季节变更;⑶火星上大部分时间地温度适合地球上某些已知生物地生存等等；边形 3 46 8最小 周长4. 56 4 3. 72 3. 642 •观察下列式子，归纳结论:13 12 , 13 23 9 (1 2)2 ,13 233313 23 33 43 100 (12 34)2问:13 23 33 L n 33.右图中5个图形及相应点地个数地变化规律，试猜测第n 个图形中有 占； 八(1) (2) (3)4.已知数列 a n 中，a 1 1,且aa n（n N ），试归纳这个数列地通项公式 a n答案：1.金属导电;2 . 1323 33n 3 (1 2 3n)2 ；3. n 2 n 1； 4 • a n 1 (n nN ).纳出什么结论?科学家猜想；火星上也可能有生命存在•说明：以上两练习使用地是类比推理•目地是知识上承上启下，把本节知识延伸，既拓宽了学生视野，也为下一节“类比推理”地教学作了铺垫教后反思：⑴要实现数学新知识地建构学习，教师要创设适当地情境，情境应符合实际•包括生活场景地实际，数学教学内容地实际，学生知识状况地实际，学生思维发展地实际等等•⑵学生通过“经历”，“体会”，“感受”，最后形成概念地过程学习，充分体现了以学生为本地现代教育观；同时练习和作业地分层设计尽量满足多样化地学习需求做到因材施教，促进全体地参与.附：板书设计。
高中数学第三章推理与证明3综合法与分析法3.1综合法课件北师大版选修1_2
[边听边记] 证明：证法一：(1)∵a＋b＋c＝1， ∴(a＋b＋c)2＝1， ∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝1.① 又 2ab≤a2＋b2,2bc≤b2＋c2,2ca≤c2＋a2， ∴2ab＋2bc＋2ca≤2(a2＋b2＋c2)， ∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≤3(a2＋b2＋c2)． 结合①可得 a2＋b2＋c2≥13.
•§3 综合法与分析法 •3．1 综合法
课前预习学案
若ax＋by＝1(a、b、x、y∈R＋，且 a≠b)， 求证：x＋y≥( a＋ b)2. 提示： 证明：∵x、y、a、b＞0 且ax＋by＝1， ∴x＋y＝(x＋y)ax＋by＝a＋b＋yxa＋xyb ≥a＋b＋2 yxa·xyb＝a＋b＋2 ab＝( a＋ b)2
1．综合法的定义
• 从命题的条件出发，利用__定__义___、_公_理____、_定_理____
运及 的算_结法_则论__，__直__到__演完通绎成过推理命__题__的__证__明__，一这步种步思地维接方近法要称证为明
________．
综合法
2．综合法的推证过程
A命题的条件或已有的定义、公理、定理等 ⇒ 结论B ⇒ 结论C ⇒ 命题的结论D
• 3．设p＝2x4＋1，q＝2x3＋x2，x∈R，则p与q的大小 关系是______．
解析： p－q＝2x4＋1－(2x3＋x2) ＝2x4－2x3＋1－x2＝2x3(x－1)＋(1－x)(1＋x) ＝(x－1)(2x3－1－x)＝(x－1)2(2x2＋2x＋1)
＝(x－1)22x＋122＋12≥0 ∴p≥q.
•
综合法的特点
• 1．从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，由
因导果，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条 件．
2019_2020学年高中数学第三章推理与证明本章整合课件北师大版选修1_2
+
������������-������������������ ������������-������������������
+
������������-������������������ ������������-������������������
=
������������-������������������
������������' ������������'
+
������������' ������������'
=
������������-������������������ ������������-������������������
+
������������-������������������ ������������-������������������
������������' ������������'
+
������������' ������������'
=
������△������������������ ������△������������������
+
������△������������������ ������△������������������
1
3
= 4 − 2 cos(2������ + 60°) + 2 cos(2������ + 60°) = 4,
专题一 专题二 专题三 专题四 专题五
综合应用
所以原结论成立.
专题一 专题二 专题三 专题四 专题五
高中数学第三章推理与证明3.3综合法与分析法学案北师大选修1_2
3.3综合法与分析法课前预习学案一、预习目标：了解综合法与分析法的概念，并能简单应用。
二、预习内容：证明方法可以分为直接证明和间接证明1．直接证明分为和2．直接证明是从命题的或出发，根据以知的定义，公里，定理，推证结论的真实性。
3．综合法是从推导到的方法。
而分析法是一种从追溯到的思维方法，具体的说，综合法是从已知的条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论，分析法则是从待证的结论出发，一步一步寻求结论成立的条件，最后达到题设的以知条件或以被证明的事实。
综合法是由导，分析法是执索。
三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中课内探究学案一、学习目标让学生理解分析法与综合法的概念并能够应用二、学习过程：例1．已知a,b∈R+≥例2 已知a,b,c∈R，求证：（1);a b≥+（2).++a b c课后练习与提高1．（A 级）函数⎩⎨⎧≥<<-=-0,;01,sin )(12x e x x x f x π，若,2)()1(=+a f f 则a 的所有可能值为 （ ）A ．1B ．22-C ．1,2-或D ．1,2或 2．（A 级）函数x x x y sin cos -=在下列哪个区间内是增函数 （ ）A ．)23,2(ππ B ．)2,(ππC ．)25,23(ππ D ．)3,2(ππ 3．（A 级）设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是 （ ） A ．22- B ．335-C ．－3D ．27-4．（A 级）下列函数中,在),0(+∞上为增函数的是 （ ） A ．x y 2sin = B ．xxe y =C ．x x y -=3D ．x x y -+=)1ln(5．（A 级）设c b a ,,三数成等比数列，而y x ,分别为b a ,和c b ,的等差中项，则=+ycx a （ ）A ．1B ．2C ．3D ．不确定6．（A 级）已知实数0≠a ，且函数)12()1()(2ax x a x f +-+=有最小值1-，则a =__________。
北师大版高中数学选修1-2课件第三章推理与证明《综合法与分析法》教学课件2(共14张)
为了证明 只需 为了证明 只需证明 也只需
通常以分析法寻求 思路，再用综合法有条理地 表述解题过程
因为是对顶角，所以它们相等，从而 成立，因此命题成立.
直接证明（练习）
直接证明（练习）
证
要证
只需证明
只需证明 只需证明
所以原命题成立.
直接证明
3.△ABC三边长 证明： 因为a,b,c为△ABC三边 所以a+c>b
不同
直接证明
综合法和分析法的推证过程如下： 综合法
已知条件 结论
分析法
结论 已知条件
直接证明（例题）
直接证明
证（综合法）因为 所以 因为 所以 又因为 所以 所以
直接证明
证（分析法）要证明CE=DF，只需证明 为此只需证明
分析法解题方向比较明确，
利于寻找解题思路； 综合法条理清晰，易于表述。
因为最后一个不等式成立，故结论成立。
直接证明（数学理论）
上述两种证法有什么异同？
相同
都是直接证明 证法1从已知条件出发，以已知的定义、公理、 定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论 为止综合法 证法2从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条 件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条 件吻合为止分析法
直接证明
直接证明（问题情境）
如图，四边形ABCD是平行四边形
求证：AB=CD，BC=DA
证连接AC，因为四边形ABCD
是平行形四边形，所以
故AB=CD,BC=DA.
直接证明
1概念
直接从原命题的条件逐步推得命题成立
2直接证明的一般形式：
直接证明（学生活动）
证法1对于正数a,b,有
直接证明
【精编】北师大版高中数学选修1-2课件第3章推理与证明本章整合-精心整理
如:������������△△������������������������12������������12
=
������������1 ������������2
·��������������������������1������1 ������△������������2������2
证明:不妨设直线 a 与平面 α 相交,假设直线 b 不与平面 α 相交,则 b⫋α 或 b∥平面 α.
①若 b⫋α,由 a∥b,a⊈α,得 a∥α 或 a⫋α,这与“a 与平面 α 相交”矛盾. ②若 b∥α,则平面 α 内有直线 b',使 b'∥b. 而 a∥b,故 a∥b',因为 a⊈α,所以 a∥α,这与“a 与平面 α 相交”矛盾. 综上所述,假设不成立,则直线 b 与平面 α 只能相交.
只需证(2cos α-1)2≥0.上式显然成立. 所以原不等式成立,即 2sin 2α≤1s-cino���s���������.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题四 反证法
1.反证法是间接证明的一种基本方法,它不是直接证明结论,而是先否 定结论,在否定结论的基础上,运用正确的推理,导出矛盾,从而肯定结论的 真实性.在证明一些否定性命题、唯一性命题或含有“至多”、“至少”等字 句的命题时,正面证明较难,可考虑反证法,即“正难则反”.
·������������������������12
专题一
专题二
专题三
专题四
专题三 综合法与分析法
综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法,分析法既可用于寻 找解题思路,也可以是完整的证明过程.分析法与综合法相互转换、相互渗 透,充分利用这一辩证关系,在解题中综合法与分析法联合运用,转换解题思 路,增加解题途径.
高中数学第三章推理与证明3.3综合法与分析法课件北师大版选修1_2
1 3
.
∴x2+y2+z2≥3 当且仅当������ = ������ = ������ = 3 时,取等号 .
二、分析法 从求证的结论出发,一步一步地探索保证前一个结论成立的充分 条件,直到归结为这个命题的条件,或者归结为定义、公理、定理 等.我们把这种思维方法称为分析法. 名师点拨分析法的特点: (1)分析法的特点是从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”. (2)用分析法书写证明过程的格式为“要证……,只需证……,只需 证……,由于……显然成立(已知,已证等),所以原结论成立.”其中的 关联词语不能省略. ������2 +������2 【做一做2 】 将下面用分析法证明 ≥ab的步骤,补充完整: 2 2 2 ������ +������ 要证 2 ≥ab,只需证a2+b2≥2ab,也就是证 ,即 证 ,由于 显然成立,因此原不等式成立. 答案:a2+b2-2ab≥0 (a-b)2≥0 (a-b)2≥03 Nhomakorabea√3
探究一
探究二
探究三
规范解答
反思感悟综合法证明问题的思路: (1)分析条件,选择方向.即分析题目的已知条件及已知与结论之 间的联系,选择相关的定理、公式等,确定恰当的解题方法. (2)转化条件,组织过程.即把已知条件转化成所需要的语言,主要 是文字、符号、图形三种语言之间的转化. (3)适当调整,回顾反思.即回顾解题过程,对部分步骤进行调整,并 对一些语言进行适当修饰,反思总结解题方法的选取.
探究一
探究二
探究三
规范解答
变式训练 1 已知 a,b,c 都是正数,求证:
1 1 + . ������+������ ������+������
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学第3章《推理与证明》3.3综合法和分析法（2）导学案
北师大版选修1-2
学习目标
1. 会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.
2. 根据问题的特点，结合分析法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P48~ P50，找出疑惑之处）
复习1：综合法是由导 ;
复习2：基本不等式:
新知：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.
反思：框图表示
要点：逆推证法；执果索因
※典型例题
例1求证3526
+>+
变式：求证:3725+<
小结：证明含有根式的不等式时,用综合法比较困难,所以我们常用分析法探索证明的途径.
例2 在四面体S ABC -中,,SA ABC AB BC ⊥⊥面,过A 作SB 的垂线,垂足为E ,过E 作SC 的垂线,垂足为F ,求证AF SC ⊥.
变式：设,,a b c 为一个三角形的三边,
1()2
s a b c =++,且22s ab =,试证2s a <.
小结：用题设不易切入,要注意用分析法来解决问题.
※动手试试
练1. 求证:当一个圆和一个正方形的周长相等时,圆的面积比正方形的面积大.
练2. 设a, b, c是的△ABC三边，S是三角形的面积，求证：222443
c a b ab S
--+≥
三、总结提升
※学习小结
分析法由要证明的结论Q 思考，一步步探求得到Q 所需要的已知12,,P P ⋅⋅⋅，直到所有的已知P 都成立.
※ 知识拓展
证明过程中分析法和综合法的区别:
在综合法中,每个推理都必须是正确的,每个推论都应是前面一个论断的必然结果,因此语气必须是肯定的.
分析法中,首先结论成立,依据假定寻找结论成立的条件，这样从结论一直到已知条件.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 要证明3725+<可选择的方法有以下几种,其中最合理的是 A.综合法 B.分析法 C.反证法 D. 归纳法
2.不等式①233x x +>;②2b a a b
+≥,其中恒成立的是 A.① B.② C.①② D.都不正确
2. 设,a b R +∈,且a b ≠,求证:3322a b a b ab +>+。