人教版九年级数学上册22.3 实际问题与二次函数③ 拱桥问题与二次函数(共22张PPT)
5
知识点一：拱桥类抛物线问题
新知探究
图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水 面2m时，水面宽4m.水面下降1m，水面宽度 增加多少?
分析：为解题简便，以抛物线的顶点为原点，
以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系如 图所示：
2m
4m
y
1 -2 -1-10 1 2 x
-2 -3
6
知识点一：拱桥类抛物线问题
新知探究
合作探究
先独立完成导学案互动探究1-3，再同桌相互交 流，最后小组交流；
8
知识点一：拱桥类抛物线问题
归纳总结
利用二次函数解决抛物线形的建筑物问题的方法
需要先建立合适的坐标系，一般选择顶点作为原点 或选择对称轴作为y轴,然后确定某些点的坐标，再用待定 系数法求出函数解析式，最后利用二次函数的图象和性质 解题.
速度上升从警戒线开始,再持续多少小时就
20m 20m
能到达拱桥的拱顶?
解： (2)由(1)知CD距拱顶的距离为1m,水位以每小时0.2 m的
速度上升,从警戒线开始，到达拱顶的时间为1÷0.2 =5 (h).
故从警戒线CD开始，再特续5 h就能到达拱桥的拱顶.
11
知识点一：拱桥类抛物线问题
学以致用 y
(1)直接写出c的值;
(2)现因筹备庆典活动,计划沿供桥的台阶表面铺设一条宽度为
1.5 米的地毯，地毯的价格为20元/平方米，求购买地毯需
多少钱.
19
思维导图
建立二次函数模 型解决抛物线型 问题的一般步骤
①建立适当的平面直角坐标系. ②从已知条件中获得所需条件. ③利用待定系数法求出解析式. ④利用已求的解析式解决问题.
20
蓦然回首
对自己说，你有什么收获？ 对同学说，你有什么温馨提示？ 对老师说，你还有什么困惑？
21
作业布置
1.《能力》； 2.《导学测评》.
22
5
示，若命中篮圈中心，则他与篮底的 距离 l 是( ) A.4.5m B.4m C.3.5m D.1.5m
18
知识点二：运动中的抛物线问题
学以致用
3.某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ACB.其横截面如图所
示，在图中建立的直角坐标系，
设抛物线的解析式为y=
-
1 20
x2+c，
且过顶点C(0,5)(单位:米).
解法2：以A为原点，AB所在直线为x
10m
轴建立平面直角坐标系如下图. 设抛物线的解析式为 y=ax2+bx.
20m
0
x
根据题意知，点A，B，C，D的坐标分别为A(0,0) ，B(20,0)，
C(5，3),D(15，3).将点B,C的坐标分别代入抛物线的解析式可
得：
400a+20b=0, 25a+5b=3,
重点:根据实际情境建立适当的平面直角坐标系. 难点:利用二次函数知识解决拱桥问题.
3
复习备用
①设自变量；
用二次函数取值范围
④根据顶点坐标公式或配方法求出 最大值或最小值（在自变量取值范围内)
4
复习备用
以 为原点， 以 所在直线为x轴， 以 所在直线为 y 轴， 建立直角坐标系.
A.3 B.4 C.5 D.6
13
‹#›
知识点二：运动中的抛物线问题
合作探究
解：(1)∵y= -
3 5
x²+3x+1，即y=-
3 5
(x-
5 2
)2+
19 4
,
∴当x=
5 2
时,y有最大值，最大值=
19 ，
4
因此， 演员弹跳离地面的最大高度是 19 m.
4
(2)能成功表演.理由如下:
当x=4时,y= - 35×42 +3×4+1=3.4.
设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2.
由抛物线经过点(2，﹣ 2),可得﹣2=a×22.
解得：a= - 1 ，
2
∴这条抛物线表示的二次函数为y= - 1 x2.
2
∴当水面下降1 m时，水面的纵坐标为﹣3. 水面宽度增加 （2 6 - 4）m.
2m
4m
y
1 -2 -1-10 1 2 x
-2 -3
7
知识点一：拱桥类抛物线问题
学以致用
1、解决引言问题如图所示，其拱形图形为拋 物线的一部分，栅栏的跨径是AB,图中只标注
y
C
0
x
了如下数据:每相邻两根立柱的间距相同，均为0. 2米，用5根
立柱加固，拱高OC为0.6米.爸爸发愁了，一共要用多长的钢
筋做立柱才符合要求呢?
17
知识点二：运动中的抛物线问题
学以致用
2.小明在某次投篮中，球的运动路线是 抛物线 y= - 1 x2+3.5的一部分，如图所
所以点B(4.3,4)在抛物线
y=
-
3 5
x²+3x+1上，
因此，能表演成功.
15
知识点二：运动中的抛物线问题
归纳总结
利用二次函数解决抛物线形的运动路线问题的方法
利用二次函数解决抛物线形运动路线问题时，一定 要分析清楚抛物线的横、纵坐标的实际意义，再利用二次 函数的图象和性质解题.
16
知识点二：运动中的抛物线问题
子，说:“我来帮您吧!”你知道马小虎是如何解决的吗?
1
人教版九年级数学上册 第二十二章 二次函数
22.3 实际问题与二次函数
22.3.3 拱桥问题与二次函数
2
学习目标
1.能根据题意建立适当的平面直角坐标系，利用 情境中的条件求二次函数解析式. 2.能利用二次函数的有关知识，解决拱桥问题.
重点难点
9
知识点一：拱桥类抛物线问题
学以致用
1.如图所示，某河面上有一座抛物线形拱桥,
y
0
x
10m
∟ ∟
桥下水面在正常水位 AB时，宽为20m,若水
20m
位上升3m,水面就会达到警戒线CD,这时水面宽度为10m.
(1)建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的解析式;
解： (1)以抛物线的顶点为原点,抛物线的对称轴为y轴,建立如
情景引入
爸爸马大虎拿到一张围墙上端栅
栏的设计图，它由一段段相同的凹曲
y
C
拱形栅栏组成，如图所示，其拱形图
形为拋物线的一部分，栅栏的跨径是
0
x
AB,图中只标注了如下数据:每相邻两
根立柱的间距相同，均为0. 2米，用5根立柱加固，拱高
OC为0.6米.爸爸发愁了，一共要用多长的钢筋做立柱才
符合要求呢?正上九年级的马小虎看到爸爸一筹莫展的样
图所示的平面直角坐标系. 设所求抛物线的解析式为 y=ax2,点
D的坐标为D(5,m),则B(10,m-3). 由抛物线经过点D和点B,可得：
25a=m,
a= -
∴
,
100a=m-3, m= -1,
10
知识点一：拱桥类抛物线问题
学以致用
1.(2)若洪水到来时，水位以每小时0.2 m的
y
0
x
10m
∟ ∟
解得：
a= - , b= 4 ,
5
12
知识点一：拱桥类抛物线问题
学以致用
2.如图是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物 线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m,拱桥的跨度为 10m,桥洞与水面的最大距离是5m,桥洞两侧壁上各有一盏距 离水面4m的景灯.若把拱桥的截面图放 在平面直角坐标系中，则两盏景灯之 间的水平距离是（ C ）m.
知识点一：拱桥类抛物线问题
新知探究
图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水 面2m时，水面宽4m.水面下降1m，水面宽度 增加多少?
分析：为解题简便，以抛物线的顶点为原点，
以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系如 图所示：
2m
4m
y
1 -2 -1-10 1 2 x
-2 -3
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知识点一：拱桥类抛物线问题
新知探究
合作探究
先独立完成导学案互动探究1-3，再同桌相互交 流，最后小组交流；
8
知识点一：拱桥类抛物线问题
归纳总结
利用二次函数解决抛物线形的建筑物问题的方法
需要先建立合适的坐标系，一般选择顶点作为原点 或选择对称轴作为y轴,然后确定某些点的坐标，再用待定 系数法求出函数解析式，最后利用二次函数的图象和性质 解题.
速度上升从警戒线开始,再持续多少小时就
20m 20m
能到达拱桥的拱顶?
解： (2)由(1)知CD距拱顶的距离为1m,水位以每小时0.2 m的
速度上升,从警戒线开始，到达拱顶的时间为1÷0.2 =5 (h).
故从警戒线CD开始，再特续5 h就能到达拱桥的拱顶.
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知识点一：拱桥类抛物线问题
学以致用 y
(1)直接写出c的值;
(2)现因筹备庆典活动,计划沿供桥的台阶表面铺设一条宽度为
1.5 米的地毯，地毯的价格为20元/平方米，求购买地毯需
多少钱.
19
思维导图
建立二次函数模 型解决抛物线型 问题的一般步骤
①建立适当的平面直角坐标系. ②从已知条件中获得所需条件. ③利用待定系数法求出解析式. ④利用已求的解析式解决问题.
20
蓦然回首
对自己说，你有什么收获？ 对同学说，你有什么温馨提示？ 对老师说，你还有什么困惑？
21
作业布置
1.《能力》； 2.《导学测评》.
22
5
示，若命中篮圈中心，则他与篮底的 距离 l 是( ) A.4.5m B.4m C.3.5m D.1.5m
18
知识点二：运动中的抛物线问题
学以致用
3.某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ACB.其横截面如图所
示，在图中建立的直角坐标系，
设抛物线的解析式为y=
-
1 20
x2+c，
且过顶点C(0,5)(单位:米).
解法2：以A为原点，AB所在直线为x
10m
轴建立平面直角坐标系如下图. 设抛物线的解析式为 y=ax2+bx.
20m
0
x
根据题意知，点A，B，C，D的坐标分别为A(0,0) ，B(20,0)，
C(5，3),D(15，3).将点B,C的坐标分别代入抛物线的解析式可
得：
400a+20b=0, 25a+5b=3,
重点:根据实际情境建立适当的平面直角坐标系. 难点:利用二次函数知识解决拱桥问题.
3
复习备用
①设自变量；
用二次函数取值范围
④根据顶点坐标公式或配方法求出 最大值或最小值（在自变量取值范围内)
4
复习备用
以 为原点， 以 所在直线为x轴， 以 所在直线为 y 轴， 建立直角坐标系.
A.3 B.4 C.5 D.6
13
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知识点二：运动中的抛物线问题
合作探究
解：(1)∵y= -
3 5
x²+3x+1，即y=-
3 5
(x-
5 2
)2+
19 4
,
∴当x=
5 2
时,y有最大值，最大值=
19 ，
4
因此， 演员弹跳离地面的最大高度是 19 m.
4
(2)能成功表演.理由如下:
当x=4时,y= - 35×42 +3×4+1=3.4.
设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2.
由抛物线经过点(2，﹣ 2),可得﹣2=a×22.
解得：a= - 1 ，
2
∴这条抛物线表示的二次函数为y= - 1 x2.
2
∴当水面下降1 m时，水面的纵坐标为﹣3. 水面宽度增加 （2 6 - 4）m.
2m
4m
y
1 -2 -1-10 1 2 x
-2 -3
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知识点一：拱桥类抛物线问题
学以致用
1、解决引言问题如图所示，其拱形图形为拋 物线的一部分，栅栏的跨径是AB,图中只标注
y
C
0
x
了如下数据:每相邻两根立柱的间距相同，均为0. 2米，用5根
立柱加固，拱高OC为0.6米.爸爸发愁了，一共要用多长的钢
筋做立柱才符合要求呢?
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知识点二：运动中的抛物线问题
学以致用
2.小明在某次投篮中，球的运动路线是 抛物线 y= - 1 x2+3.5的一部分，如图所
所以点B(4.3,4)在抛物线
y=
-
3 5
x²+3x+1上，
因此，能表演成功.
15
知识点二：运动中的抛物线问题
归纳总结
利用二次函数解决抛物线形的运动路线问题的方法
利用二次函数解决抛物线形运动路线问题时，一定 要分析清楚抛物线的横、纵坐标的实际意义，再利用二次 函数的图象和性质解题.
16
知识点二：运动中的抛物线问题
子，说:“我来帮您吧!”你知道马小虎是如何解决的吗?
1
人教版九年级数学上册 第二十二章 二次函数
22.3 实际问题与二次函数
22.3.3 拱桥问题与二次函数
2
学习目标
1.能根据题意建立适当的平面直角坐标系，利用 情境中的条件求二次函数解析式. 2.能利用二次函数的有关知识，解决拱桥问题.
重点难点
9
知识点一：拱桥类抛物线问题
学以致用
1.如图所示，某河面上有一座抛物线形拱桥,
y
0
x
10m
∟ ∟
桥下水面在正常水位 AB时，宽为20m,若水
20m
位上升3m,水面就会达到警戒线CD,这时水面宽度为10m.
(1)建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的解析式;
解： (1)以抛物线的顶点为原点,抛物线的对称轴为y轴,建立如
情景引入
爸爸马大虎拿到一张围墙上端栅
栏的设计图，它由一段段相同的凹曲
y
C
拱形栅栏组成，如图所示，其拱形图
形为拋物线的一部分，栅栏的跨径是
0
x
AB,图中只标注了如下数据:每相邻两
根立柱的间距相同，均为0. 2米，用5根立柱加固，拱高
OC为0.6米.爸爸发愁了，一共要用多长的钢筋做立柱才
符合要求呢?正上九年级的马小虎看到爸爸一筹莫展的样
图所示的平面直角坐标系. 设所求抛物线的解析式为 y=ax2,点
D的坐标为D(5,m),则B(10,m-3). 由抛物线经过点D和点B,可得：
25a=m,
a= -
∴
,
100a=m-3, m= -1,
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知识点一：拱桥类抛物线问题
学以致用
1.(2)若洪水到来时，水位以每小时0.2 m的
y
0
x
10m
∟ ∟
解得：
a= - , b= 4 ,
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知识点一：拱桥类抛物线问题
学以致用
2.如图是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物 线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m,拱桥的跨度为 10m,桥洞与水面的最大距离是5m,桥洞两侧壁上各有一盏距 离水面4m的景灯.若把拱桥的截面图放 在平面直角坐标系中，则两盏景灯之 间的水平距离是（ C ）m.
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人教版九年级数学上册第22章 二次函数 二次函数与拱桥问题
转化
实际问题
回归
（实物中的抛物线型问题）
数学模型
（二次函数的图象和性质）
拱 桥 问 题
运动中的抛
物 线 问 题
转化的关键
建立恰当的
直角坐标系
① 能够将实际距离准确
地转化为点的坐标
② 选择运算简便的方法
【教材习题】完成课本52页习题3题。
【作业本作业】完成 对应练习。
【实践性作业】在体育课上，观察抛实心球时，实心球所经过
（2）现有一辆货运卡车，高4.4 m，宽2.4 m，它能通过该隧道吗？
(2)当 =
.
= . 时, = . > . ,故这辆货
运卡车能通过该隧道.
例4 如图，小明的父亲在相距2 m的两棵树间拴一根绳子，给小明做了一
个简易的秋千，拴绳子的地方 A , B 距地面的距离都是2.5 m，绳子自然下
+
例3 如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长 BC 为
8 m，宽AB为2 m. 以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，
建立平面直角坐标系，顶点E与坐标原点O的距离为6 m.
（1）求抛物线的解析式；
解：(1)由题意，可设抛物线的解析式为 = ² + .易知D(4,2).
提疑惑：你有什么疑惑？
教师讲评
知识点．二次函数与抛物线型问题（重难点）
1.建立二次函数模型解决实际问题：
利用二次函数解决抛物线型的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当
地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而
确定抛物线的解析式，通过解析式解决问题。
2.解决此类问题的基本思路：
人教版九年级上册22.3 实际问题与二次函数 拱桥问题课件
这时水面宽度为 2
6m
30.5x2 x 6
∴当水面下降1m时,水面宽
度增加了(2 64)m
返回
解 二
如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物线 的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系.
此时,抛物线的顶点为(0,2)
∴可设这条抛物线所表示
的二次函数的解析式为:
yax22
当拱桥离水面2m时,水面宽4m
1 0 .5 (x 2)2 2
x2x126m
∴当水面下降1m时,水面宽 度增加了(2 64)m
学以致用
课堂小结
（1）这节课学习了用什么知识解决哪类问题？ （2）解决问题的一般步骤是什么？应注意哪 些问 题？ （3）你学到了哪些思考问题的方法？用函数 的思想 方法解决抛物线形拱桥问题应注意什么？
此时,抛物线的顶点为(2,2)
∴可设这条抛物线所表示
的二次函数的解析式为:
ya(x2)22
∵抛物线过点(0,0)
0a(2)22
a 0.5
∴这条抛物线所表示的二
次函数为: y 0 .5 (x 2)22
x 1 2 6 ,x 2 2 6
∴这时水面的宽度为:
当水面下降1m时,水面的 纵坐标为y=-1,这时有:
2. 图F22-26-2中是抛物线形拱桥，当拱顶离水 面4 m时，水面宽8 m．水面上升3 m，水面宽度 减少多少？
解：如答图F22-26-1,建立平面直角坐标系. 由题意知，抛物线过点(4,－4). 设抛物线的解析式为y=ax2. 将点(4,－4)代入上式，得16a=－4. 解得a=－ . 所以抛物线的解析式为y=－ x2. 当y=－1时，－ x2=－1. 解得x=2或x=－2. 这时水面宽度为2-(-2)=4 (m). 则水面的宽度减少了8－4=4(m)．
22_3_3 实际问题与二次函数(三)-拱桥问题中的抛物线【人教版九上数学优质课件】
你有其它解法吗？
如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.水面下降1m，
水面宽度增加多少？
解：以离拱顶2m时的水面为x轴，以抛物线的对
称轴为y轴建立直角坐标系.
设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2+2.由抛物
线经过点(2，0)，可得
1
2
0=a×2 +2，解得，a=2
∴
1 2
这条抛物线表示的二次函数为：y=- x +2
轴是_____，当a____时，开口向上，当a____时，开口向下.
＜0
2.二次函数解析式的形式有：
①一般式：____________，
y=ax2+bx+c
②顶点式：_____________，
y=a(x-h)2+k
y=a(x-x1)(x-x2)
③交点式：________________.
y=ax2+2
3.(1)如图所示的抛物线，可以根据顶点所在的位置设为_________，也可以
y=a(x+2)(x-2)
根据抛物线与x轴的交点坐标设为______________.
(2)由A，B两点的横坐标，可以求得线段AB的长
为______.
4
如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.水面下降1m，
第二十二章 二次函数
1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．(重点)
2.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．(重、难点)
3.能运用二次函数的图象与性质进行决策．
(0,0)
1.函数y=ax2(a≠0)的图象是一条_______，它的顶点坐标是_______，对称
22.3+实际问题与二次函数(拱桥问题)课件++2023—2024学年人教版数学九年级上册
了筹备材料，需测算“脚手架”三根钢杆AB、AD、DC的长度
之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．
1
•(3)设点A的坐标为(m，- m²+2m)，
6
1
•∴OB=m，AB=DC=- m²+2m
6
•根据抛物线的轴对称可得OB=CM=m，
•∴BC=12-2m，即AD=12-2m
1
1
•∴L=AB+AD+DC=- m²+2m+12=- (m-3)²+15
角坐标系，可得抛物线解析式为y=-0.1x2+8.1．
例4.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高
度为6米，宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直
线为x轴建立直角坐标系(如图1所示)．
•(1)求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值
范围；
解：（1）∵M（12，0），P（6，6）．
图象是这条抛物线呢？
由于顶点坐标系是（0.0），因此这个
二次函数的形式为 y ax 2
y
我们来比较一下
（2，2）
y
（0，0）
x
o
o
（0，0）
（4，0） x
o
（2，0）
（2，-2）
（-2，2）
y （0，2）
（-2，0）
（-2，-2）
y
谁最
合适
o
x
（-4，0）
（0，0） x
知识要点
建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？
【分析】(1)首先设所求抛物线的解析式为：
y=ax²(a≠0)，把D(5，b)，则B(10，b-3)代入解
方程组即可；
之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．
1
•(3)设点A的坐标为(m，- m²+2m)，
6
1
•∴OB=m，AB=DC=- m²+2m
6
•根据抛物线的轴对称可得OB=CM=m，
•∴BC=12-2m，即AD=12-2m
1
1
•∴L=AB+AD+DC=- m²+2m+12=- (m-3)²+15
角坐标系，可得抛物线解析式为y=-0.1x2+8.1．
例4.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高
度为6米，宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直
线为x轴建立直角坐标系(如图1所示)．
•(1)求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值
范围；
解：（1）∵M（12，0），P（6，6）．
图象是这条抛物线呢？
由于顶点坐标系是（0.0），因此这个
二次函数的形式为 y ax 2
y
我们来比较一下
（2，2）
y
（0，0）
x
o
o
（0，0）
（4，0） x
o
（2，0）
（2，-2）
（-2，2）
y （0，2）
（-2，0）
（-2，-2）
y
谁最
合适
o
x
（-4，0）
（0，0） x
知识要点
建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？
【分析】(1)首先设所求抛物线的解析式为：
y=ax²(a≠0)，把D(5，b)，则B(10，b-3)代入解
方程组即可；
人教版九年级数学上册22.3.3实际问题与二次函数拱桥问题教学设计
2.难点：
（1）理解并运用二次函数的顶点式和交点式分析拱桥问题。
（2）运用二次函数求最值的方法，解决拱桥设计的优化问题。
（3）将数学知识与现实问题相结合，培养学生的创新思维和解决问题的能力。
（二）教学设想
1.创设情境：以我国著名的拱桥为例，如赵州桥，引入拱桥问题的探讨，激发学生的学习兴趣，使他们感受到数学与生活的紧密联系。
7.教学评价：采用多元化的评价方式，关注学生在课堂上的表现，包括小组讨论、操作实践、问题解决等方面，全面评估学生的学习效果。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动：教师出示一张我国著名拱桥的图片，如赵州桥，引导学生观察并思考拱桥的形状、结构等特点。
2.提出问题：拱桥的形状与二次函数有什么关系？如何利用二次函数的知识解决拱桥问题？
3.拓展作业：
（5）研究其他类型的实际问题，如抛物线形天线、拱形门等，运用二次函数的知识进行分析和解答。
（6）分组进行项目研究，选取一个实际工程项目，如桥梁、隧道等，运用二次函数进行优化设计，撰写项目报告，并在课堂上进行分享。
4.创新作业：
（7）结合所学知识，发挥创意，设计一个具有独特形状的拱桥，并运用二次函数进行求解和分析，将设计图与解题过程整理成册。
2.自主探究：引导学生运用二次函数的知识，自主探究拱桥问题，培养学生的问题意识和解决问题的能力。
（1）提出问题：如何根据拱桥的形状和跨度，确定二次函数的表达式？
（2）合作交流：学生分组讨论，分享各自的想法和解决方法，互相学习，共同进步。
3.演示与讲解：教师通过多媒体演示或板书，讲解二次函数在拱桥问题中的应用，重点解析顶点式和交点式的运用，以及如何求解最值。
2.归纳要点：
（1）二次函数与拱桥问题的关系。
（1）理解并运用二次函数的顶点式和交点式分析拱桥问题。
（2）运用二次函数求最值的方法，解决拱桥设计的优化问题。
（3）将数学知识与现实问题相结合，培养学生的创新思维和解决问题的能力。
（二）教学设想
1.创设情境：以我国著名的拱桥为例，如赵州桥，引入拱桥问题的探讨，激发学生的学习兴趣，使他们感受到数学与生活的紧密联系。
7.教学评价：采用多元化的评价方式，关注学生在课堂上的表现，包括小组讨论、操作实践、问题解决等方面，全面评估学生的学习效果。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动：教师出示一张我国著名拱桥的图片，如赵州桥，引导学生观察并思考拱桥的形状、结构等特点。
2.提出问题：拱桥的形状与二次函数有什么关系？如何利用二次函数的知识解决拱桥问题？
3.拓展作业：
（5）研究其他类型的实际问题，如抛物线形天线、拱形门等，运用二次函数的知识进行分析和解答。
（6）分组进行项目研究，选取一个实际工程项目，如桥梁、隧道等，运用二次函数进行优化设计，撰写项目报告，并在课堂上进行分享。
4.创新作业：
（7）结合所学知识，发挥创意，设计一个具有独特形状的拱桥，并运用二次函数进行求解和分析，将设计图与解题过程整理成册。
2.自主探究：引导学生运用二次函数的知识，自主探究拱桥问题，培养学生的问题意识和解决问题的能力。
（1）提出问题：如何根据拱桥的形状和跨度，确定二次函数的表达式？
（2）合作交流：学生分组讨论，分享各自的想法和解决方法，互相学习，共同进步。
3.演示与讲解：教师通过多媒体演示或板书，讲解二次函数在拱桥问题中的应用，重点解析顶点式和交点式的运用，以及如何求解最值。
2.归纳要点：
（1）二次函数与拱桥问题的关系。
22.3实际问题与二次函数 课件人教版数学九年级上册
【综合拓展类作业】
(2)设利润为w 当22≤x≤30 时 ，w=(x-20)(-x+70)=-x²+90x-1400=-(x45)²+625 ∵在22≤x≤30 范 围 内 ，w 随着x的增大而增大， ∴当x=30 时 ，w 取得最大值为400;
当30<x≤45 时 ，w=(x-20)(-2x+100)=-2x²+140x-2000=2(x-35)²+450 ∴当x=35 时 ，w 取得最大值为450 ∵450>400,
篱笆总长为900 m (篱笆的厚度忽略不计),当AB=_ 150 _m 时，矩形土
地ABCD 的面积最大.
B
F
C
【知识技能类作业】选做题：
3. 北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1),它由五个高度不同，跨径也不 同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近 似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A, B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米),跨径为90米(即AB=90 米), 以最高点O 为坐标原点，以平行于AB 的直线为x轴建立平面直角坐标系，则此抛物 线钢拱的函数表达式为( B )
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少? (3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
解：1)S=x(24 -4x)=-4x²+24x(0<x<6)
2)当
时，
3)∵墙的可用长度为8米 ∴0<24 -4x ≤8 ∴4≤x<6 ∴当x=4cm时，S最大值=32平方米
有关抛物线形的实际问题的一般解题思路。 (1)建立适当的平面直角坐标系。 (2)根据题意找出已知点的坐标。 (3)求出抛物线解析式。 (4)直接利用图象解决实际问题。
22.3实际问题与二次函数-拱桥问题解析
通过建立平面直角坐标系,可以将有关抛物线的 实际问题转化为二次函数的问题.
试一试：
如图所示，有一座抛物线型拱桥，在正常水位 AB时，水面宽20米，水位上升3米，就达到警戒 线CD,这时水面宽为10米。
（1）求抛物线型拱桥的解析式。
（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度 上升，从警戒线开始，在持续多少小时才能达到 拱桥顶？
抛物线的顶点在象限内，对称轴平行于_y__轴， 抛物线的形式为____y_=_a_(_x_-_h_)_2+_k.
探究1：
如图是某公园一圆形喷水池，水流在各方向沿形状相
同的抛物线落下，如果喷头所在处A距地面1.25米,水流路
线最高处B距地面2.25米,且距水池中心的水平距离为1米.
以A处的竖直方向为y轴,水平方向为x轴建立直角坐标系,
该抛物线的解析式为 y= －(x-1)2 +2.25 ,如果不考虑其他
因素，那么水池的半径至少要 2.5 米，才能使喷出的水流
不致落到池外。
y
. 1 BB．(1,2.25 ） .AA(0,1.25)
1.25 2.25
O
Cx
探究2：
如图的抛物线形拱桥,当水面在 l时,拱桥顶离水面
2 m,水面宽 4 m,水面下降 1 m, 水面宽度增加多少?
所以，水面下降1m，水面的
宽度为2 6 m.
∴水面的宽度增加了 2 6 4 m
y
(0,0)
●
0
解：设这条抛物线表示的二次函数为
y a(x 2)2 2
(2,2)
由抛物线经过点（0，0），可得
(4, 0)
a1
●
2
x 所以，这条抛物线的解析式为：
y 1 (x 2)2 2
试一试：
如图所示，有一座抛物线型拱桥，在正常水位 AB时，水面宽20米，水位上升3米，就达到警戒 线CD,这时水面宽为10米。
（1）求抛物线型拱桥的解析式。
（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度 上升，从警戒线开始，在持续多少小时才能达到 拱桥顶？
抛物线的顶点在象限内，对称轴平行于_y__轴， 抛物线的形式为____y_=_a_(_x_-_h_)_2+_k.
探究1：
如图是某公园一圆形喷水池，水流在各方向沿形状相
同的抛物线落下，如果喷头所在处A距地面1.25米,水流路
线最高处B距地面2.25米,且距水池中心的水平距离为1米.
以A处的竖直方向为y轴,水平方向为x轴建立直角坐标系,
该抛物线的解析式为 y= －(x-1)2 +2.25 ,如果不考虑其他
因素，那么水池的半径至少要 2.5 米，才能使喷出的水流
不致落到池外。
y
. 1 BB．(1,2.25 ） .AA(0,1.25)
1.25 2.25
O
Cx
探究2：
如图的抛物线形拱桥,当水面在 l时,拱桥顶离水面
2 m,水面宽 4 m,水面下降 1 m, 水面宽度增加多少?
所以，水面下降1m，水面的
宽度为2 6 m.
∴水面的宽度增加了 2 6 4 m
y
(0,0)
●
0
解：设这条抛物线表示的二次函数为
y a(x 2)2 2
(2,2)
由抛物线经过点（0，0），可得
(4, 0)
a1
●
2
x 所以，这条抛物线的解析式为：
y 1 (x 2)2 2
人教版九年级上册22.3 实际问题与二次函数 拱桥问题课件
∴抛物线的解析式为y=－
(x－5)2+ .
解：如图，以AB所在的直线为x轴， 以AB的垂直平分线为y轴，建立平面 直角坐标系.
∵AB=4 ∴A(-2,0) B(2,0)
∵OC=4.4 ∴C(0,4.4) 设抛物线所表示的二次函数为
yax 24.4
∵抛物线过A(-2,0)
4 a 4 .4 0
a1.1
∴抛物线所表示的二次函数为 y1.1x24.4
B组
3. 飞机着陆后滑行的距离y（单位：m)关于滑行时
间t（单位：s)的函数解析式是y=60t－ t2，则飞
机从着陆至停下来共滑行了
（D ）
A. 25 m
B. 50 m
C. 625 m
D. 750 m
C组
4. 如图F22-26-3,在一次高尔夫球的练习中，小成在O处 击球，球的飞行路线是抛物线y=－ x2+ x的一部分， 其中y(m)是球的飞行高度，x(m)是球飞出的水平距离.结 果球离球洞的水平距离还有2 m． （1）请写出抛物线的顶点坐标； （2）若小成再一次从O处击球，要想让球飞行的最大高 度不变且球刚好进洞，则球的飞 行路线应满足怎样的抛物 线？求出其解析式．
这时水面宽度为 2
6m
30.5x2 x 6
∴当水面下降1m时,水面宽
度增加了(2 64)m
返回
解 二
如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物线 的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系.
此时,抛物线的顶点为(0,2)
∴可设这条抛物线所表示
的二次函数的解析式为:
yax22
当拱桥离水面2m时,水面宽4m
y O
C A
h
DB x
人教版九年级上册数学《22-3第3课时 二次函数与拱桥问题》课件
现实生活中你一定见过各式各样的抛物线 形拱桥(如图)吧？能不能利用二次函数的知识 解决与之相关的问题呢？
活动2 探究新知
探究：图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m时，水面 宽 4 m．水面下降 1 m，水面宽度增加多少？
拱桥的纵截面是抛 物线，所以应当是 个二次函数
活动2 探究新知
探究：图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m时，水面宽 4
7、 礼仪、礼节、礼貌、文明、文雅、 文化。
8、 礼仪是一种文明规范，礼仪是一种 素质修养。
9、 礼仪体现的是细节，细节展现的是 素质。
10、别给我雪白的衣服涂上颜色。
谢谢 大家
9
（4，4），篮圈中心的坐标是（7，3）．
设抛物线的解析式是y=a（x-4）2+4，
∴
20 9
=16a+4
解得：a=
1 9
∴当抛x=物7时线，解y析= 式 19为×y（= 7-194（）x2-+44）=32+，4．
∴篮圈的中心点在抛物线上，
∴能够投中．
（2）∵当x=1时，y=
1 9
×（1-4）2+4=3＜3.1，
第二十二章 二次函数
22.3 实际问题与二次函数
第3课时 二次函数与拱桥问题
教学目标
教学重难点
教学设计
作业布置
教学目标 1．让学生能够用二次函数知识解决拱桥问题． 2．让学生能够根据实际问题构建二次函数模型．
教学重难点 重点 建坐标系解决拱桥问题．
难点 建立适当的坐标系解决抛物线形实际问题．
教学设计 活动1 新课导入
面6 m(即MO＝6 m)，小孔顶点N距水面4.5 m(即NC＝4.5 m)．当
活动2 探究新知
探究：图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m时，水面 宽 4 m．水面下降 1 m，水面宽度增加多少？
拱桥的纵截面是抛 物线，所以应当是 个二次函数
活动2 探究新知
探究：图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m时，水面宽 4
7、 礼仪、礼节、礼貌、文明、文雅、 文化。
8、 礼仪是一种文明规范，礼仪是一种 素质修养。
9、 礼仪体现的是细节，细节展现的是 素质。
10、别给我雪白的衣服涂上颜色。
谢谢 大家
9
（4，4），篮圈中心的坐标是（7，3）．
设抛物线的解析式是y=a（x-4）2+4，
∴
20 9
=16a+4
解得：a=
1 9
∴当抛x=物7时线，解y析= 式 19为×y（= 7-194（）x2-+44）=32+，4．
∴篮圈的中心点在抛物线上，
∴能够投中．
（2）∵当x=1时，y=
1 9
×（1-4）2+4=3＜3.1，
第二十二章 二次函数
22.3 实际问题与二次函数
第3课时 二次函数与拱桥问题
教学目标
教学重难点
教学设计
作业布置
教学目标 1．让学生能够用二次函数知识解决拱桥问题． 2．让学生能够根据实际问题构建二次函数模型．
教学重难点 重点 建坐标系解决拱桥问题．
难点 建立适当的坐标系解决抛物线形实际问题．
教学设计 活动1 新课导入
面6 m(即MO＝6 m)，小孔顶点N距水面4.5 m(即NC＝4.5 m)．当
22.3实际问题与二次函数(拱桥问题)同步练习++2024-2025学年人教版数学九年级上册
22.3 实际问题与二次函数（拱桥问题）一、选择题1．如图是抛物线型拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m．水面上升1.5m，水面宽度为（）A．1m B．2m C．√3m D．2√3m2．某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为y=−125x2，当水面宽度AB为20m时，水面与桥拱顶的高度CO等于（）A．2m B．4m C．10m D．16m3．如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥，按如图2所示建立坐标系，在正常水位时水面宽AB=30米，当水位上升5米时，则水面宽CD=20米，则函数表达式为（）A．y=−115x2B．y=−125x2C．y=115x2D．y=125x24．如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC构成．按照图中所示的平面直角坐标系，拋物线可以用y=−16x2+2x+4表示．在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，如果灯离地面的高度为8m．那么两排灯的水平距离是（）A．2m B．4m C．4√2m D．4√3m5．廊桥是我国古老的文化遗产．如图是某座抛物线形廊桥的示意图，已知水面AB宽48m，拱桥最高处点C到水面AB的距离为12m，为保护该桥的安全，现要在该抛物线上的点E，F处安装两盏警示灯，若要保证两盏灯的水平距离EF是24m，则警示灯E距水面AB的高度为（）A．12m B．11m C．10m D．9mx2 + 8（单位：米），施工队计划在隧道正中搭6．如图，某隧道美化施工，横截面形状为抛物线y =－12建一个矩形脚手架DEFG，已知DE：EF = 3：2，则脚手架高DE为（）A．7米B．6.3米C．6米D．5米7．三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（）A．4 √3米B．5 √2米C．2 √13米D．7米8．图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=﹣（x﹣80）2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为（）A．16 米B．米C．16 米D．米二、填空题x2+3.25，一辆车高3米，宽4米，该车9．单行隧道的截面是抛物线形，且抛物线的解析式为y=−18（填“能”或“不能”）通过该隧道．10．如图，图2是图1的拱形大桥的示意图.桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y =−1（x﹣80）2+16，桥拱与桥墩AC的交400点C恰好在水面上，AC⊥x轴.若OA＝20米，则桥面离水面的高度AC为11．如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A，B两点，拱桥最高点C 到AB的距离为8m，AB=24m，D，E为拱桥底部的两点，且DE//AB，若DE的长为36m，则点E到直线AB的距离为.12．如图，某大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的解析式为y＝ax2＋bx，小强骑自行车从拱梁一端O匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶到6分钟和14分钟时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需分钟.13．如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为8 m，以隧道底部宽AB所在直线为x轴，以AB垂x2＋b，则隧道底部宽AB 直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线的表达式为y＝－12为m．三、解答题14．有一个抛物线形的拱形桥洞，当桥洞的拱顶P（抛物线最高点）离水面的距离为4米时，水面的宽度OA为12米．现将它的截面图形放在如图所示的直角坐标系中．（1）求这条抛物线的解析式．（2）当洪水泛滥，水面上升，水面的宽度小于5米时，则必须马上采取紧急措施．某日涨水后，观察员测得桥洞的拱顶P到水面CD的距离只有1.5米，问：是否要采取紧急措施？并说明理由．15．如图，某隧道口的横截面是抛物线型，已知隧道底部宽AB为10m，最高点离地面的距离OC为5m，以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴，OC所在的直线为y轴，1m为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系．（1）求抛物线的函数表达式；（2）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度为3m，求两排灯之间的水平距离．16．如图，某市青少年活动中心的截面由抛物线的一部分和矩形组成，其中OA=20米，OC=7米，最高点P离地面的距离为9米，以地面OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系．（1）求抛物线的表达式；（2）暑期来临之际，该活动中心工作人员设计了6米长的竖状条幅从顶棚拋物线部分悬挂下来（条幅的宽可忽略不计），为了安全起见，条幅最低处不能低于底面上方2米．设条幅与OC的水平距离为m米，求出m的取值范围．17．如图，隧道的截面由抛物线DEC和矩形ABCD构成，矩形的长AB为4m，宽BC为3m，以DC所在的直线为x轴，线段CD的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系。