初一数学-几何题辅助线技巧详解

巧添辅助线 解证几何题

在几何证明或计算问题中,经常需要添加必要得辅助线,它得目得可以归纳为以下三点:一就是通过添加辅助线,使图形得性质由隐蔽得以显现,从而利用有关性质去解题;二就是通过添加辅助线,使分散得条件得以集中,从而利用它们得相互关系解题;三就是把新问题转化为已经解决过得旧问题加以解决。值得注意得就是辅助线得添加目得与已知条件与所求结论有关。下面我们分别举例加以说明。

［例题解析］

一、倍角问题 例1:如图1,在△ＡＢC 中,AB=ＡC,BD ⊥ＡC 于Ｄ。

求证:∠DBC=∠BAC 。

分析:∠DB Ｃ、∠BAC 所在得两个三角形有公共角∠C,可利用

三角形内角与来沟通∠DBC 、∠BAC 与∠C 得关系。 证法一:∵在△ABC 中,ＡB=AC,

∴∠ABC=∠C=(１80°-∠BAC)=９0°

-∠B ＡＣ、 ∵BD ⊥ＡC 于D ∴∠B ＤC=９0°

∴∠DBC=90°－∠C=90°-(9０°

-∠BA Ｃ)= ∠BA Ｃ

即∠D ＢC= ∠ＢA Ｃ

分析二:∠DBC 、∠BA Ｃ分别在直角三角形与等腰三角形中,由所证得结论“∠DBC= ½∠BAC"中含有角得倍、半关系,因此,可以做∠Ａ得平分线,利用等腰三角形三线合一得性质,把½∠A 放在直角三角

形中求解;也可以把∠DB Ｃ沿BD 翻折构造２∠DBC 求解。

证法二:如图2,作AE ⊥BC 于E,则∠E ＡC+∠Ｃ＝90°

∵A Ｂ=A Ｃ ∴∠EAG=∠ＢAC

∵BD ⊥AC 于D

∴∠D ＢC+∠Ｃ=9０

° ∴∠ＥAC ＝∠DBC(同角得余角相等)

即∠ＤＢC=∠BAC 。

证法三:如图3,在ＡD 上取一点E,使DE=C Ｄ 连接BE ∵BD ⊥AC

∴B Ｄ就是线段CE 得垂直平分线

∴ＢC=ＢＥ ∴∠BEC=∠Ｃ ∴∠EBC ＝2∠DBC=１80°

－2∠C ∵AB ＝AC ∴∠ABC=∠C

∴∠ＢA Ｃ=180°

-２∠Ｃ ∴∠ＥＢC=∠BA Ｃ ∴∠ＤＢC ＝ ∠BA Ｃ

说明:例１也可以取BC 中点为Ｅ,连接DE,利用直角三角形斜边得中线等于斜边得一半与等腰三角形得性质求解、同学们不妨试一试。

例２、如图４,在△A ＢC 中,∠Ａ=2∠B

求证:ＢC 2=AC 2

+ＡC •ＡB

分析:由BC ２=AC ２

+AC •AB= A Ｃ(ＡC+ＡB),启发我们构建两个相似

得三角形,且含有边B Ｃ、ＡC 、AC+AB 。又由已知∠Ａ=2∠Ｂ知, 构建以ＡB 为腰得等腰三角形。

证明:延长CA 到Ｄ,使ＡD=ＡB,则∠D=∠D ＢA

∵∠BA Ｃ就是△AB Ｄ得一个外角

∴∠ＢA Ｃ=∠D ＢA ＋∠Ｄ=2∠D ∵∠BAC ＝2∠AB Ｃ ∴∠D=∠A ＢC

又∵∠C=∠C ∴△ABC ∽△BDC ∴

∴BC 2

=A Ｃ•CD ＡD ＝AB

∴ＢC 2= AC(AC+AB)=ＡC 2

+A Ｃ•AB

二、 中点问题

例3.已知:如图,△ＡBC 中,AB=AC,在ＡB 上取一点D,在A Ｃ

得延长线上取一点E,连接D Ｅ交ＢＣ于点F,若Ｆ就是DE 得中点。求证:BD=CE

分析:由于BD 、CE 得形成与D 、E 两点有关,

但它们所在得三角形之间因为不就是同类三角形,所以

关系不明显,由于条件F 就是DE 得中点,如何利用这个

中点条件,把不同类三角形转化为同类三角形式问题得关键。 由已知AB=ＡC,联系到当过D 点或E 点作平行线,就可以形成新 得图形关系-—构成等腰三角形,也就就是相当于先把ＢD 或C Ｅ

移动一下位置,从而使问题得解。

证明:证法一:过点D 作ＤG ∥AC,交B Ｃ于点G(如上图)

∴∠ＤＧB=∠AC Ｂ, ∠DGF ＝∠F ＣＥ ∵AB=AC ∴∠B ＝∠ACB

∴∠Ｂ=∠ＤGB ∴BD=D Ｇ

∵F 就是DE 得中点 ∴DF=ＥF

在△ＤF G 与△D ＥF Ｃ中,

∴△DF Ｇ≌E ＦC

∴ＤG=CE ∴BD=CE

证法二:如图,在AC 上取一点H,使ＣH ＝CE,连接ＤH ∵F 就是D Ｅ得中点

∴CF 就是△ED Ｈ得中位线 ∴ＤＨ∥BC

∴∠AD Ｈ＝∠B, ∠AHD=∠ＢC Ａ ∵ＡB=AC ∴∠B=∠BC Ａ

∴∠AD Ｈ=∠ＡHD ∴AD=AH ∴AB-ＡＤ=AC —AH ∴BD=HC

∴BD=CE

说明:本题信息特征就是“线段中点”。也可以过E 作ＥＭ∥BC,交AB 延长线于点G,仿照证法二求解。 例4、如图,已知AB ∥CD,ＡE 平分∠B ＡD,且E 就是B Ｃ得中点 求证:A Ｄ=AB+CD

证法一:延长AE 交ＤC 延长线于F ∵ＡB ∥CD ∴∠B ＡE=∠Ｆ, ∠B=∠ＥCF ∵Ｅ就是BC 得中点 ∴B Ｅ=C Ｅ 在△A ＢＥ与△ＣＥＦ中

∴△A ＢE ≌△CEF ∴AB=ＣF

E

G D

F

C

A

B

A

B C

D H

E

F A B E

∵AE 平分∠ＡＢD ∴∠ＢAE=∠ＤAE ∴∠DAE=∠F ∴ＡD=ＤＦ

∵DF ＝DC+C Ｆ CF=ＡB

∴AD=ＡB+D Ｃ

证法二:取ＡＤ中点Ｆ,连接EF ∵ＡB ∥C Ｄ,E 就是BC 得中点 ∴ＥF 就是梯形ＡBCD 得中位线

∴EF ∥ＡB , EF=(AB ＋CD) ∴∠BA Ｅ=∠AEF ∵AE 平分∠BAD ∴∠BA Ｅ=∠ＦAE

∴∠ＡEF=∠F ＡE

∴AF ＝EF

∵AF=D Ｆ ∴EF=AF=FD=A Ｄ ∴ (AB+CD)= AD ∴AD ＝A Ｂ+CD 三。角平分线问题

例５、如图(１),OP 就是∠MON 得平分线,请您利用图形画一对以OP 所在直线为对称轴得全等三角形。请您参考这个全等三角形得方法,解答下列问题、

（1） 如图(2),在△AB Ｃ中,∠ACB 就是直角,∠B ＝60°,AD 、CE 分别就是∠BAC 、∠BC Ａ得平分

线,AD 、ＣE 相交于点Ｆ,请您判断并写出ＥF 与F Ｄ之间得数量关系。

（2） 如图(３),在△ABC 中,如果∠ＡCB 不就是直角,而(1)中得其她条件不变,请问,您在(1)中所

得得结论就是否仍然成立？若成立,请证明;若不成立,请说明理由。

∴∠ＥF Ａ＝∠ＧF Ａ=∠DFC=60° ∴∠GFC=60°

在△CFG 与△CF Ｄ中

∴△ＣFG ≌△CFD

D A B C

E F