求二次函数的关系式
二次函数关系式
二次函数关系式一、二次函数的定义二次函数是形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
它的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
二、二次函数关系式1. 顶点式二次函数的顶点式为f(x) = a(x - h)² + k，其中(h, k)为顶点坐标。
2. 标准式二次函数的标准式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c分别表示抛物线的形状和位置。
3. 一般式二次函数的一般式为y = ax² + bx + c，其中x和y表示平面直角坐标系中某个点的横纵坐标。
三、二次函数图像特征1. 对称轴二次函数的对称轴是过顶点且垂直于x轴的直线。
对称轴方程为x = h。
2. 开口方向当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
3. 最值当a>0时，最小值等于k；当a<0时，最大值等于k。
4. 零点二次函数在x轴上与x轴交点称为零点。
零点可以通过求解ax²+bx+c=0得到。
四、二次函数的应用1. 求解问题二次函数可以用来求解各种实际问题，如求解最大值、最小值、零点等。
2. 经济学应用在经济学中，二次函数可以用来表示成本、收益、利润等与产量相关的关系。
3. 物理学应用在物理学中，二次函数可以用来表示自由落体运动的高度和时间之间的关系。
五、二次函数的图像绘制1. 找出顶点坐标通过顶点式或标准式可以找到抛物线的顶点坐标。
2. 找出对称轴方程对称轴方程为x = h，其中h为顶点横坐标。
3. 找出零点通过一般式可以求得零点，也可以通过图像上与x轴交点得到。
4. 确定开口方向和最值根据a的正负性可以确定抛物线开口方向和最值。
5. 绘制图像根据以上步骤确定抛物线的各个特征后，就可以绘制出完整的二次函数图像了。
六、总结本文介绍了二次函数的定义、关系式、图像特征以及应用，并详细说明了如何绘制一个完整的二次函数图像。
二次函数根与系数的关系公式
二次函数根与系数的关系公式二次函数是代数中的一种重要函数类型，其形式为：f(x) = ax² + bx + c其中，a、b、c是常数且a≠0。
二次函数的根是使得函数等于零的x值。
根据二次函数的定义，当f(x) = ax² + bx + c = 0时，求解x的值就是求二次函数的根。
求二次函数的根是我们经常需要做的一种数学问题。
在计算过程中，我们需要了解二次函数的根与系数之间的关系公式，以便更好地理解和解决这类问题。
从解二次方程的角度来看，二次函数的根可以通过求解相应的二次方程来获得。
对于一般的二次方程ax² + bx + c = 0，我们可以使用以下公式来求解：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a这个公式称为二次方程的求根公式，它给出了二次方程的根与系数a、b、c之间的关系。
根据这个公式，可以看出：1. 根的个数：二次方程的根的个数由判别式决定，即b² - 4ac。
如果判别式大于零，则方程有两个不相等的实数根；如果判别式等于零，则方程有两个相等的实数根；如果判别式小于零，则方程没有实数根。
2.根的取值：根的取值由公式中的正负号决定。
在求根公式中，我们可以看到±号，这表示在求解根的过程中，我们需要考虑两个可能的根。
取正号的根对应着加号，取负号的根对应着减号。
此外，二次函数的系数a、b、c之间也存在一定的关系。
我们可以看出：1.a的正负：二次函数的系数a的正负决定了抛物线开口的方向。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2.a的绝对值：二次函数的系数a的绝对值决定了抛物线的背离x轴的程度。
绝对值越大，抛物线与x轴的交点越远。
3.根的和与积：根的和可以通过系数b/a得到，根的积可以通过常数项c/a得到。
具体地，根的和为-b/a，根的积为c/a。
这些关系对于解决一些实际问题时，可以提供便利。
已知三点确定二次函数的表达式
解法一: 设所求二次函数关系式为：y = ax2+bx+c.
又抛物线过点（1，0），（3，0），（2，-1），
依题意得: a+b+c=0
a 1
9a+3b+c = 0 解得 b 4
4a + 2b + c=-1
c3
∴所求的函数关系式为
y x2 。4x 3
解法二 ∵点（1，0）和（3，0）是抛 物线与x轴的两个交点， ∴设二次函数关系式为：y=a(x-1)(x-3), 又抛物线过点（2，-1）， ∴ -1=a（2-1)（2-3） 解得a 1
确定二次函数的关系式
①设 设二次函数的关系式 ②代 将相关数值代入关系式得到方程或
方程组 ③解 解方程或方程组得出待定系数的值 ④写 写出该二次函数的关系式
例1：已知抛物线图象上三个点的坐标（1，0）， （3，0），（2，-1）求二次函数关系式。
例1：已知抛物线图象上三个点的坐标（1，0）， （3，0），（2，-1），求二次函数关系式。
小 结：
如何选择不同形式的二次函数的关系式？
1.一般式：y ax2 bx c(a 0)
（已知抛物线上三点或三对x、y的值，用一般式.）
2．顶点式： y a x h2 k(a 0)
（已知抛物线的顶点或对称轴或最值，用顶点式.）
3．交点式 ： y a(x x1)(x x2 )(a 0)
求c的值
∴设二次函数的关系式为y=a(x-1)2+2
∵图象经过点（3，-6）
∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的关系式为y=-2(x-1)2+2
即： y=-2x2+4x
二次函数的关系式
（2）已知抛物线与x轴交于点A（-1,0）、 B（2,0），且经过点（1,2）.
当堂检测：
课本第21页练习第1、2、3题.
课堂小结
1、二次函数的三种关系式式：
2 bx c(a 0) (1)一般式: y ax
(2)顶点式：顶点坐标为（h,k )的抛物线是
y a( x h) k (a 0).
课堂小结
通过本课的学习，你有什么收获？有什么 疑问？觉得还有什么需要研究？
作业
课本P22习题第4、5题.
求二次函数的关系式
知识梳理
二次函数的三种关系式：
2 bx c(a 0) (1)一般式: y ax
(2)顶点式：顶点坐标为（h,k )的抛物线是
y a( x h) k (a 0).
2
(3)交点式（双根式）：
与x轴交于两点交于两点（x1 ,0)、 2 ,0) (x 的抛物线是y a( x x1 )( x x 2 )( a 0).
2
(3)交点式（双根式）：
与x轴交于两点交于两点（x1 ,0)、 2 ,0) (x 的抛物线是y a( x x1 )( x x 2 )( a 0).
要求：（1）合理选择；（2）灵活运用.
2、求二次函数关系式时 图象过一般三点: 常设一般式 知顶点坐标: 知抛物线与X 轴的两交点 常设顶点式 常设交点式
学习目标
1.会根据不同的条件，利用待定系数法 求二次函数的关系式；
2.会用描点法画出二次函数的图象.
自学指导
自学课本P19~21练习之的内容， 并完成名师学案P15自主研学.（时 间10分钟）
练习
根据下列条件，分别求出对应的二次 函数的关系式：
二次函数关系式的确定
二次函数关系式的确定二次函数关系式的确定，听起来像是数学课上那些让人头疼的概念，实际上，它比想象中有趣多了。
想象一下你在公园里，看到小朋友们在滑滑梯，他们一滑下来，那种弯曲的轨迹就是一个典型的抛物线。
嘿，你可能没注意到，这就是二次函数的一种表现形式。
是不是觉得突然生活中多了点数学的味道？二次函数就像是一种魔法，能帮我们理解很多现实中的现象。
好了，接下来我们来聊聊怎么确定二次函数的关系式。
你可能会问，这到底是什么呢？简单来说，二次函数的标准形式是y = ax² + bx + c。
这几个字母可不是随便写的哦，a、b、c各自代表不同的意思。
特别是那个“a”，它决定了抛物线的开口方向，向上还是向下。
想象一下，开口向上就像一朵盛开的花，开口向下则像是个悲伤的小鸟，感觉一下子就不同了吧？接下来我们要如何找到这个关系式呢？其实很简单，先得知道几个点。
比如说，如果我们有一个小球，从某个高度自由落下，记录下它每一秒的高度。
这样，我们就能得到一组数据。
然后，把这些数据带入到公式里去，慢慢分析，最终就能找出那个神秘的a、b、c。
这就好比在拼拼图，找到了每一块，最后一看，哎呀，整个画面都清晰了。
还记得我们刚开始提到的小朋友吗？假如你在他们身边，观察他们滑下来，记录下时间和高度，那就是最直接的体验。
数学不是冷冰冰的，它其实是生活的一部分。
像是你做饭时的调料配比，掌握了其中的关系，才能做出美味的菜肴。
同样，掌握了二次函数的关系式，你就能更好地理解许多实际问题。
有趣的是，二次函数在我们生活中无处不在。
比如，开车时，汽车的加速过程就是一个二次函数的体现。
当你踩下油门，车子加速的那一瞬间，速度的变化就像那抛物线一样，开始慢慢增加，接着迅速上升，最后又逐渐平稳下来。
想象一下，在高速公路上飞驰的感觉，真是让人热血沸腾。
数学的魅力不止于此，二次函数还可以用来解决很多实际问题，比如计算物体的最高点、最远距离等等。
想要投一个篮球，你得计算好角度和力度，才能把球投进篮筐。
九年级数学求二次函数的函数关系式
龙胆草的功效是。A.既能清热燥湿，又能止血、安胎B.既能清热燥湿，又能泻火解毒C.既能清热解毒，又能凉血消斑D.既能清热燥湿，又能清肝火E.既能清热凉血，又能养阴生津 [单选,案例分析题]男，45岁，原位肝移植（胆管端端吻合术）术后1周，胆汁分泌每日100ml，ALT由72U/L升至253U/L，TBiL由43μmol/L升至134μmol/L诊断肝移植术后急性排斥反应的金标准是A.B超B.肝穿活检C.肝功能检查D.MRCPE.T管造影 智能网是在的基础上为快速提供新业务而设置的附加网络结构。 在衡量太阳电池输出特性参数中，表征最大输出功率与太阳电池短路电流和开路电压乘积比值的是。A.转换效率B.填充因子C.光谱响应D.方块电阻 医疗卫生机构、医疗废物集中处置单位违反《医疗废物管理条例》相关规定并逾期不改正的，最高可处以元以下的罚款；转让、买卖医疗废物，邮寄或者通过铁路、航空运输医疗废物的，可处以违法所得的罚款。 采用热装法装配轴承时，将轴承放入机油槽中加热，温度不超过℃为宜A.200B.150C.100D.50 下列哪项为乌梅丸的主要功效A.温脏清腑B.平调寒热C.缓急止痛D.温脏安蛔E.驱蛔消疳 下列各项，不属外阴阴道念珠菌病的治疗药物。A.制霉菌素栓B.克霉唑栓C.甲硝唑D.伊曲康唑E.达克宁栓 触酶是A.过氧化氢酶B.氧化酶C.细胞色素氧化酶D.超氧化物歧化酶E.还原酶 心理学家的研究表明．中学生一般达到了()A．前运算阶段B．感知运动阶段C．具体运算阶段D．形式运算阶段 下列合同及证照，不缴纳印花税的是。A.以电子形式签订的购销凭证B.商标注册证C.企业集团内部执行使用的出库单D.专利申请转让协议 下列哪一种植物性饲料将引起犬的红细胞和骨髓受到破坏，从而导致溶血和贫血。A、块根饲料的芽B、谷类饲料的糠麸C、洋葱D、胡萝卜 加强型塑料件维修用的工具主要是。A．黏合剂枪和搅拌配料器B．电热工具C．超声波焊枪 若外界的温度在-18℃—35℃之间，ECB将APU速度设置到A、98%B、99%C、100% 国家对部分重点中药材购销实行严格管理，下列属于第二类的是A.川芎B.甘草C.杜仲D.厚朴E.麝香 适合做大规模筛检的疾病是A.原位子宫颈癌B.艾滋病C.麻疹D.流行性感冒E.全民检查HBsAg 二尖瓣狭窄时左心房内附壁血栓在SE序列表现为A.无信号B.极低信号C.高信号D.中高信号E.中低信号 为规范空间开发秩序，形成合理的空间开发结构，我国根据资源环境承载能力、现有开发密度和发展潜力，将国土空间划分为四类主体功能区。A.鼓励开发、允许开发、限制开发和禁止开发B.优先开发、一般开发、限制开发和禁止开发C.优化开发、重点开发、限制开发和禁止开发D.优先开发、重 党执政兴国的第一要务是A．改革B．发展C．依法治国D．依德治国 行政机关对于申请人申请延续行政许可的申请逾期未作出决定的，视为 产后出血的主要原因不包括A.胎膜早破，宫内感染B.胎盘因素C.软产道裂伤D.子宫收缩乏力E.凝血功能障碍 矿业工程进度计划编制的基本程序是。A.调查研究、确定方案、划分工序并估算时间、绘制进度计划图表B.调查研究、确定方案、分组编制、总体合成C.调查研究、划分项目、确定方案、分组编制、总体合成D.调查研究、划分项目、确定方案、划分工序、计算时间、编制计划、审查计划、确定计 分配阀紧急放风阀膜板鞲鞴上侧是列车管压力，下侧为压力。 《医疗机构从业人员行为规范》的执行和实施情况，应列入A.医疗机构校验管理和医务人员年度考核B.定期考核和医德考评C.医疗机构等级评审D.医务人员职称晋升、评先评优的重要依据E.以上都对 男性，55岁。喉结核不规则服用异烟肼半年，2周前突发言语不清，右侧肢体肌力下降，胸片两肺弥漫性小结节影，上中部较多部分有融合，颅脑CT示脑梗死。其治疗方案为。A.2HRE/4HRB.2HRS2/4HRC.4HRE/2HED.顺铂+长春碱酰胺E.顺铂+异环磷酰胺 在客户服务中心品质监控中监听人员应在完成电话监听后及时给予客服代表与指导。 甘油试验阳性是指()A．250～1000Hz气导听力改善≥5dBB．250～1000Hz气导听力改善≥10dBC．250～1000Hz气导听力改善≥15dBD．250～1000Hz气导听力改善≥20dBE．250～1000Hz气导听力改善≥25dB 补中益气汤和参苓白术散中均有的药是苓、桔梗B.当归、陈皮C.黄芪、甘草D.白术、人参E.山药、升麻 货物平均运价率的影响因素有()。A.个别运价率B.货运量按货种别的构成C.零担货物比重D.平均运程比重 家畜环境 多发性抽动症的基本病理改变是A.瘀血阻窍B.痰瘀互阻C.肝风内动D.肝风痰火胶结成疾E.痰蒙清窍 以下属于宣传类展览会的是。A.广交会B.高交会C.投洽会D.反走私展 对于公路工程注册建造师施工管理签章文件目录中未涵盖的内容，应按照相关，补充表格，并签章生效。A.行政主管部门要求B.业主对项目管理的规定C.监理工程师对项目管理的规定D.建设单位对项目管理的规定E.承包单位对项目管理的规定 [配伍题,B1型题]“五脏六腑之大主”是。</br>“气血生化之源”是。A.肝B.心C.脾D.肺E.肾 有关休克的临床表现中，不包括A.烦躁不安或表情淡漠、神志昏迷B.呼吸急促、脉搏细速C.血压均下降D.面色苍白或潮红、发绀E.尿少或无
九年级数学求二次函数的函数关系式
求二次函数解析式几种常用方法
求二次函数的解析式的几种方法山东省沂水县高桥镇初级中学 王瑞辉二次函数解析式的求法是二次函数知识的重点，也是中考必考内容。
现在举例，说明求二次函数解析式的常用方法，希望对同学们学习有所帮助。
一、二次函数常见的三种表达式：（1）一般式：y ax bx c a =++≠20()；（2）交点式：y a x x x x =--()()12，其中点(,)()x x 1200，，为该二次函数与x 轴的交点；（3）顶点式：()2()0y a x h k a =-+≠，其中点(),h k 为该二次函数的顶点。
二、利用待定系数法求二次函数关系式(1)、已知二次函数图象上任意三个点的坐标，可设一般式求二次函数的关系式。
例1、已知抛物线2y ax bx c =++，经过点（2，1）、（-1，-8）、（0，-3）．求这个抛物线的解析式． 解：根据题意得421,8,3,a b c a b c c ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=-⎩ 解之得1,4,3,a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以抛物线为243;y x x =-+-说明：用待定系数法求系数a b c 、、需要有三个独立条件，若给出的条件是任意三个点，可设解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，然后将三个点的坐标分别代入，组成一次方程组用加减消元法来求解．(2)、已知抛物线与x 轴的两个交点坐标和图象上另一个点坐标，可设交点式求二次函数的关系式。
若知道二次函数与x 轴有两个交点()()1200x x ，，，，则相当于方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根12x x ，，从而212()()ax bx c a x x x x ++=--，故二次函数可以表示为12()()(0)y a x x x x a =--≠．例2、已知一个二次函数的图象经过点A （－1，0），B （3，0），C （0，－3）三点．求此二次函数的解析式．解：根据题设，设此二次函数的解析式为(1)(3)y a x x =+-．又∵该二次函数又过点（0，－3）， ∴(01)(03)3a +-=-． 解得1a =．因此，所求的二次函数解析式为(1)(3)y x x =+-，即223y x x =--．说明：在把函数与x 轴的两个交点坐标代入12()()(0)y a x x x x a =--≠求值时，要注意正确处理两个括号内的符号．(3)、已知抛物线顶点和另外一个点坐标时，设顶点式y =a (x -h )2+k (a ≠0)例3、对称轴与y 轴平行的抛物线顶点是(-2，-1)，抛物线又过(1，0)，求此抛物线的函数解析式。
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求二次函数的关系式
求二次函数的关系式，是初中数学的重要内容之一.学会求二次函数的关系式，可使许多问题迎刃而解，怎样求二次函数的关系式呢?有什么技巧呢?现举例说明如下.
一、用二次函数的性质求
例1已知某二次函数的图像关于y轴对称，且过点(0，8)，其形状和y=2x2+3x+5的图像形状相同，位置不同，开口方向相反.求此二次函数的关系式?
分析与解：此题必须熟知二次函数关系式中的系数和图像的关系.二次项的系数的绝对值决定它的形状，只要其绝对值相等，其形状就形同，二次项系数的正负决定它的开口方向，二次项的系数是正数，则图像开口向上，是负数则开口向下.一次项的系数决定图像的左右位置：开口向上时，一次项的系数增大，图像向左平移，一次项的系数减小，图像向右平移;开口向下时，一次项的系数增大，图像向右平移，一次项的系数减小，图像向左平移;一次项的系数为零时，图像关于y轴对称.常数项就是图像与y轴的交点纵坐标.知道了如上知识，不难知道，本题中的二次函数的二次项系数为负2，一次项系数为0，常数项为8，所以此二次函数的关系式为y=-2x2+8.此题的技巧在于弄清并利用系数与图像的关系.
二、用一般式求
例2已知某二次函数的图像过点(0，0)，(1，-6)和(2，-8).求此二次函数的关系式.
分析与解：此函数的图像过点(0，0)，说明其常数项为0，所以，可设其函数关系式为：y=ax2+bx，把点(1，-6)和点(2，-8)代入得方程-6=a+b和-8=4a+2b，这二个方程组成方程组，解之可得：a=2，b=-8.所以此函数的表达式为y=2x2-8x.此方法的技巧是利用坐标与图像的关系，推出常数项为0，使列的方程组较简便.
三、用顶点式或两根式求
例3已知某二次函数过点(1，0)，(5，0)和(3，8).求此二次函数的关系式.
1. 用顶点式求
分析与解：仔细观察，不难发现，给出的三个点的横坐标分别是1，3，5.其中3恰好在1和5的中间，根据二次函数图像的对称性可知，3就是它的顶点
横坐标，那么(3，8)就是它的顶点坐标，所以此题也可用顶点式来求，设它的关系式为：y=a(x-3)2+8.把点(1，0)代入得0=a(1-3)2+8 解此方程可得a=-2，所以此二次函数的关系式为y=-2(x-3)2+8，化为一般形式为y=-2x2+12x-10.此方法的技巧在于：利用二次函数的对称性，发现(3，8)是顶点坐标，利用顶点式求解，又快又对.
2.用两根式求
分析与解：仔细观察还可发现，点(1，0)，(5，0)都在x轴上，所以还可用两根式求解，设y=a(x-1)(x-5)，把点(3，8)代入此关系式得8=a(3-1)(3-5)，解得a=-2，所以此二次函数关系式为y=-2(x-1)(x-5).化为一般形式为y=-2x2+12x-10 此方法的技巧是：仔细观察，发现两根，再用两根式求解.。