二次函数与方程的关系
二次函数与二次方程的关系
二次函数与二次方程的关系在数学中，二次函数和二次方程是密不可分的概念。
二次函数可以用来描述二次方程的图像特征，而二次方程则是用来求解二次函数的根的工具。
本文将解析二次函数与二次方程之间的关系。
一、二次函数的定义与性质二次函数的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数且a≠ 0。
二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
其中，参数a决定了抛物线的开口方向和形状，正值使得抛物线开口向上，负值则使得抛物线开口向下；参数b决定了抛物线的位置，正值使得抛物线右移，负值则使得抛物线左移；参数c决定了抛物线与y轴的交点位置。
二、二次方程的定义与性质二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的一元二次方程，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
解二次方程的根就是使方程等于0的x值。
根据求根公式，可以得到二次方程的解：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a其中，±代表两个不同的解，即方程可能有两个解、一个解或无解。
根据判别式Δ = b^2 - 4ac的正负与零的关系，可以进一步判断二次方程的解的情况。
当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；当Δ < 0时，方程无实数根，但可以有复数根。
三、二次函数与二次方程的关系1. 根与零点对于二次函数y = ax^2 + bx + c，其根就是使得函数值等于0的x值，也就是二次方程ax^2 + bx + c = 0的解。
反之，二次方程的解也可以作为二次函数的零点，即对应的x值。
2. 抛物线与图像二次函数的图像是一个抛物线，而二次方程的解决定了抛物线与x轴的交点，也就是抛物线的顶点或者零点。
具体而言：- 当二次方程有两个实数根时，抛物线与x轴有两个交点，分别对应于方程的两个解；- 当二次方程有两个相等的实数根时，抛物线与x轴有一个交点，即抛物线在该点处切线与x轴重合；- 当二次方程无实数根时，抛物线与x轴没有交点，抛物线位于x轴上方或下方。
九年级二次函数与一元二次方程的联系和区别
二次函数与一元二次方程的联系和区别一、二次函数1、自变量x 和因变量y 之间存在如下关系：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a≠0，且a 决定函数的开口方向）①a>0时，开口方向向上 ②a<0时，开口方向向下③|a|还可以决定开口大小a 绝对值越大开口就越小,|a|越小开口就越大④一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置。
当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右。
⑤常数项c 决定抛物线与y 轴交点。
抛物线与y 轴交于（0，c ）⑥抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线 x =2ab-,。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P 。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y 轴（即直线x=0）⑦抛物线有一个顶点P ，坐标为 P [2a b -，a b 4ac 42- ]。
当2ab -=0时，P 在y 轴上；当Δ= b 2-4ac=0时，P 在x 轴上。
2、二次函数的两种表达式①一般式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a≠0） ②顶点式：y=a(x-h)2+k [抛物线的顶点P （h ，k ）] 3、抛物线与x 轴交点个数 Δ= b2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点。
Δ= b2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点。
Δ= b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点。
二、一元二次方程y= ax 2+bx+c ，当y=0时，二次函数为关于x 的一元二次方程，即ax 2+bx+c=0 三、两者之间的联系①ax 2+bx+c=0,即为y= ax 2+bx+c ，y=0时 ②方程的根x 1，x 2是使ax 2+bx+c 为零的x 的取值③x 1，x 2对应图像上是y =ax 2+bx+c 函数与x 轴交点的横坐标。
④方程根的个数即是使ax 2+bx+c=0的x 的个数即是y= ax 2+bx+c y=0,为y= ax 2+bx+c 图像与x 轴的交点个数。
二次函数与二次方程的关系
二次函数与二次方程的关系二次函数和二次方程是高中数学中重要的概念，它们之间存在紧密的联系。
本文将介绍二次函数与二次方程的定义、性质以及它们之间的转化关系。
一、二次函数的定义二次函数是指形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a$、$b$、$c$为实数且$a \neq 0$。
其中，$a$决定了二次函数的开口方向和曲线的开口程度，$b$控制了曲线与$y$轴的位置，$c$决定了曲线与$x$轴的交点。
二次函数的图像通常为一个平滑的曲线，可以是一个开口向上的抛物线（当$a > 0$时），也可以是一个开口向下的抛物线（当$a <0$时）。
二、二次方程的定义二次方程是指形如$ax^2 + bx + c = 0$的方程，其中$a$、$b$、$c$为实数且$a \neq 0$。
在二次方程中，$x$是未知数，而$a$、$b$、$c$是已知系数。
一个二次方程一般有两个根或零个根。
二次方程的解可以通过因式分解、配方法、求根公式等方法来求得。
三、1. 根与零点二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图像与$x$轴的交点称为二次函数的零点。
而二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的解就是使得方程等式成立的$x$值，即方程的根。
因此，二次函数的零点与二次方程的根是对应的。
2. 极值点二次函数的图像可能存在极值点，也就是函数的最大值或最小值。
通过求导可以得到二次函数的导数，进而通过导数的变化情况推断出极值点的位置。
对于二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$来说：- 当$a > 0$时，二次函数的图像开口向上，且有最小值，极值点为最小值点；- 当$a < 0$时，二次函数的图像开口向下，且有最大值，极值点为最大值点。
3. 方程与函数的转化通过转化，可以把二次函数转化为二次方程，也可以将二次方程转化为二次函数。
例如，给定二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，如果要求解$f(x) = 0$的根，那么可以将函数转化为方程：$ax^2 + bx + c = 0$，然后求解该方程。
初中数学知识归纳二次函数与二次方程的关系
初中数学知识归纳二次函数与二次方程的关系二次函数与二次方程是数学中的重要概念，它们之间有着密切的关系。
在初中数学的学习中，掌握二次函数与二次方程的关系对于解题和理解数学概念都是至关重要的。
本文将从不同角度归纳分析二次函数与二次方程之间的关系。
一、基本概念二次函数是指具有形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c 为实数且a≠0。
而二次方程是指具有形式为ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为实数且a≠0。
可以看出，二次函数与二次方程都包含了二次项。
二、图象特点1. 对称性：二次函数的图象是关于抛物线的对称轴对称的。
对于二次方程，其图象是经过顶点的抛物线，也是关于对称轴对称的。
2. 开口方向：若a>0，则抛物线开口向上；若a<0，则抛物线开口向下。
对于二次方程来说，若a>0，则抛物线开口向上；若a<0，则抛物线开口向下。
3. 零点：二次函数的零点即为二次方程的解。
三、求解方法1. 根的性质：二次函数的零点对应二次方程的解。
通过二次方程求解，可以得到函数的零点。
2. 相关性质：由二次函数的图象特点可知，若抛物线与x轴有两个交点，则二次方程有两个解；若抛物线与x轴有一个交点，则二次方程有一个解（重根）；若抛物线与x轴无交点，则二次方程无解。
四、应用示例1. 已知二次函数f(x)=2x^2+3x+1，求解f(x)的零点（即求解二次方程）。
解：将f(x)设为0，得2x^2+3x+1=0，通过求解二次方程可以得到x 的值。
2. 已知二次方程x^2-4x+3=0，求解方程的解，并将解代入二次函数y=x^2-4x+7中求函数值。
解：通过求解二次方程可得到x的解为x=1和x=3，将这两个解代入二次函数中可得到对应的函数值。
通过以上归纳分析可以看出，二次函数与二次方程之间有着密切的关系。
通过解析几何和代数解方程两个角度来分析二次函数与二次方程的关系，可以帮助学生更好地理解这两个概念，并且在解题时也能够灵活运用相关性质和求解方法。
二次函数与方程的关系
二次函数与方程的关系二次函数和二次方程是数学中常见的概念，它们之间存在着密切的关系。
本文将从定义、图像、性质以及解析式等角度，探讨二次函数与方程之间的关系。
一、二次函数的定义二次函数是指一个自变量为x的函数，其一般形式为f(x)=ax^2+bx+c，其中a、b、c是实数且a≠0。
其中x是自变量，f(x)是因变量。
二次函数的图像为抛物线。
二、二次方程的定义二次方程是指形式为ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c是实数且a≠0。
其中x是未知数。
三、二次函数的图像二次函数的图像是抛物线，其开口的方向由二次项系数a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
抛物线的顶点坐标为(xv, yv)，其中xv=-b/2a，yv=f(xv)。
四、二次方程的解对于二次方程ax^2+bx+c=0，可以通过求解得到其根的解。
根的个数和判别式Δ有关，Δ=b^2-4ac。
1. 当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。
根的公式为x1=(-b+√Δ)/2a，x2=(-b-√Δ)/2a。
2. 当Δ=0时，方程有两个相等的实根。
根的公式为x=-b/2a。
3. 当Δ<0时，方程没有实根，有两个共轭复根。
根的公式为x1=(-b+i√|Δ|)/2a，x2=(-b-i√|Δ|)/2a。
五、二次函数与二次方程的联系1. 抛物线的顶点坐标：二次函数的解析式中，顶点的横坐标xv=-b/2a对应着二次方程的根的公式中x1和x2的值。
2. 方程的解与函数的零点：二次方程的实根对应着二次函数与x轴（y=0）的交点，也就是函数的零点。
可以通过求解方程获得函数的零点。
3. 方程求解问题：通过建立二次方程解题可以推导出二次函数的性质和特点，例如最值点、单调性等。
六、结论通过上述分析可以看出，二次函数和方程之间存在着密切的关联。
二次函数的图像为抛物线，方程的解对应着函数的零点。
掌握了二次函数和方程的关系，可以更好地理解和应用二次函数和方程在实际问题中的应用。
二次函数与二次方程的关系与解法
二次函数与二次方程的关系与解法二次函数（Quadratic Function）和二次方程（Quadratic Equation）是高中数学中重要的概念，它们之间存在着密切的关系。
本文将探讨二次函数与二次方程之间的关系，并介绍二次方程的解法。
一、二次函数与二次方程的关系二次函数是一个以x为自变量的函数，表达式一般为f(x) = ax² + bx + c（其中a、b、c为常数，a ≠ 0）。
它的图像是一个抛物线，开口方向由a的正负确定，特点是对称于抛物线的顶点。
二次方程是一个含有未知数x的二次项的等式，一般形式为ax² + bx + c = 0（其中a、b、c为常数，a ≠ 0）。
求解二次方程就是要找到使等式成立的x的值，即方程的解。
二次函数和二次方程之间的联系在于，二次函数的图像上的点的横坐标对应于二次方程的解。
换句话说，对于二次函数的图像上任意一点(x, y)，x的值正好是对应二次方程的解。
二、二次方程的解法为了解二次方程ax² + bx + c = 0，通常采用以下的解法：1. 因式分解法（Factorization Method）：当二次方程存在可分解的因式时，可以通过因式分解的方法求解。
对于形如x² + px + q = 0的二次方程，如果存在两个实数m、n，满足(m x n = q) 且 (m + n = p)，那么可以将二次方程分解为(x + m)(x + n) = 0的形式，然后令每个因式等于0，求解得到方程的解。
2. 公式法（Formula Method）：当二次方程无法直接因式分解时，可以使用求根公式来解方程。
对于一般形式的二次方程ax² + bx + c = 0，它的求根公式为x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)。
通过带入方程的系数a、b、c，计算出实数解。
需要注意的是，二次方程的解可能有不同的情况：- 当二次方程的判别式D = b² - 4ac > 0时，方程有两个不相等的实数解；- 当D = b² - 4ac = 0时，方程有两个相等的实数解；- 当D = b² - 4ac < 0时，方程没有实数解，但可以有复数解。
二次函数抛物线,与方程关系,例题及解析
练习：1、已知抛物线2y ax bx c =++（a ＜0）过A （2-，0）、O （0，0）、B （3-，1y ）、C （3，2y ）四点，则1y 与2y 的大小关系是（ A ）A ．1y ＞2yB ．1y 2y =C ．1y ＜2yD ．不能确定 2、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，下列结论错误．．的是（ B ） A. ab ＜0 B. ac ＜0C. 当x ＜2时，函数值随x 增大而增大；当x ＞2时，函数值随xD. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标就是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根.3、如图是二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)在平面直角坐标系中的图象，根据图形判断 ①c ＞0；②a +b +c ＜0；③2a -b ＜0；④b 2+8a ＞4ac 中，正确的是（填写序号） ② 、④ ．4、二次函数221=++-y ax x a 的图象可能是（ B ）5、在反比例函数ay x=中，当0x >时，y 随x 的增大而减小，则二次函数2y ax ax =-的图象大致是下图中的（ A ）6、在同一坐标系中一次函数y ax b =+和二次函数2y ax bx =+的图象可能为（ A ）7、已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论：（ D ）①240b ac ->； ②0abc >； ③80a c +>；④930a b c ++<． 其中，正确结论的个数是A. 1B. 2C. 3D. 48、已知二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象开口向上，并经过点AB A ．B ．C ．(-1，2)，(1，0) . 下列结论正确的是( D)A. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而增大B. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而减小C. 存在一个负数x 0，使得当x <x 0时，函数值y 随x 的增大而减小；当x > x 0时，函数值y 随x 的增大而增大D. 存在一个正数x 0，使得当x <x 0时，函数值y 随x 的增大而减小；当x >x 0时，函数值y 随x 的增大而增大 9、已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列5个结论：① 0>abc ；② c a b +<；③ 024>++c b a ；④ b c 32<； ⑤ )(b am m b a +>+，（1≠m 的实数）其中正确的结论有（B ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个10、如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A （－3，0），对称轴为x ＝－1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b =0；③a －b ＋c =0；④5a ＜b ．其中正确结论是（ B ）． A.②④B. ①④C. ②③D. ①③11、已知二次函数y =x 2-x+a (a ＞0)，当自变量x 取m 时，其相应的函数值小于0，那么下列结论中正确的是（ B ）(A) m -1的函数值小于0 (B) m -1的函数值大于0(C) m -1的函数值等于0 (D) m -1的函数值与0的大小关系不确定12、定义[,,a b c ]为函数2y ax bx c =++的特征数, 下面给出特征数为[2m ，1 – m , –1– m ] 的函数的一些结论：① 当m = – 3时，函数图象的顶点坐标是（31，38）； ② 当m > 0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于23； ③ 当m < 0时，函数在x >41时，y 随x 的增大而减小； ④ 当m ≠ 0时，函数图象经过同一个点. 其中正确的结论有（ B ）A. ①②③④B. ①②④C. ①③④D. ②④(Ⅳ) 二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)图象的平移二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)平移：a 不变，函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)移），，对于旋转、对称变换也是一样。
二次函数与二元一次方程、不等式的解的对应关系
二次函数与二元一次方程、不等式的解的对应关系二次函数与二元一次方程、不等式的解的对应关系在数学领域中，二次函数与二元一次方程、不等式的解之间存在着密切的对应关系。
本文将从简单到复杂的角度，全面评估这一主题，并据此撰写一篇有价值的文章，以便读者更深入地理解这一关系。
一、二次函数的基本形式我们首先来了解二次函数的基本形式。
二次函数通常具有以下标准形式：f(x) = ax^2 + bx + c。
其中，a、b、c分别代表二次项系数、一次项系数和常数项。
1. 二次函数图像的特点二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由二次项系数a的正负决定。
当a > 0时，图像开口向上；当a < 0时，图像开口向下。
二次函数的顶点坐标为：(-b/2a, f(-b/2a))。
2. 二次函数的零点二次函数的零点即为方程f(x) = 0的解，也就是函数图像与x轴的交点。
要求出二次函数的零点，可以使用求根公式或配方法，进而得到对应的解。
二、二元一次方程、不等式的基本形式接下来，我们将了解二元一次方程和不等式的基本形式，以及它们与二次函数解之间的联系。
1. 二元一次方程的一般形式二元一次方程一般可表示为：ax + by = c。
在解二元一次方程时，通常采用代入、相消、加减消元法等方法，最终得到方程的解。
2. 二元一次不等式的一般形式二元一次不等式的一般形式为：ax + by > c或ax + by < c。
解二元一次不等式时，同样可以通过代入法等方式，最终得到不等式的解集合。
三、二次函数与二元一次方程、不等式解的对应关系了解了二次函数和二元一次方程、不等式的基本形式后，接下来我们来探讨它们之间的对应关系。
1. 二次函数的解与二元一次方程的关系对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其解即为方程f(x) = 0的解。
而方程f(x) = 0可以化为ax^2 + bx + c = 0的形式，与一元二次方程的形式一致。
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淇滨区第一中学教案
九年级班执课教师：执课时间：年月日课题二次函数与方程的关系课时安排第课时
教学课型新授课□实（试）验课□复习课□实践课□其他□
教学目标1理解一元二次函数与一元二次方程的关系，并会求有关字母的值。
2. 会用一次函数与二次函数的图象的交点求方程组的解及由方程组的解求交点坐标
教学重点
利用一元二次函数与一元二次方程的关系，并会求有关字母的值教学难点
抛物线图象与x轴交点的位置来判断方程的根．
课前准备二次函数的解析式中的一般式是: y = a x²+ bx +c (a≠0)
顶点式：y = a(x-h) 2+ k
交点式：y = a(x-x1)(x-x2)
教学环
节
内容设计意图
教学构架
一、知识梳理二、错题再现三、知识新授四、小结与
预习
一、一元二次函数与一元二次方程的关系
1、从形式上看：
二次函数：y=ax²＋bx＋c (a≠0)
一元二次方程：ax²＋bx＋c=0 (a≠0)
2、从内容上看：
二次函数表示的是一对(x，y)之间的关系，它有无数对解；
一元二次方程表示的是未知数x的值，最多只有2个值
3、相互关系：
二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的
根。
如：y=x²－4x＋3与x轴的交点是(1，0)、(3，0)，则一元二
次方程x²－4x＋3=0的根是x=1或x=3
（1）二次函数y=a x²+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:
a、有两个交点,
b、有一个交点,
c、没有交点.
(2)当二次函数y=a x²+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横
坐标就是当y=0时自变量x的值, 即
一元二次方程a x²+bx+c=0的根.
教学环节教学内容设计意图
(3)完成下列表格，观察二次函数y=a x²+bx+c的图象和x
轴交点的坐标与一元二次方程a x²+bx+c=0的根及一元二
次方程的根的判别式有什么关系?
二次函数
y=a x²+bx+c的图象和x轴交点一元二次方程
a x²+bx+c=0的根
一元二次方程
a x²+bx+c=0根的
判别式Δ=b2-4ac
有两个交点有两个相异的实
数根
b2-4ac > 0
有一个交点有两个相等的实
数根
b2-4ac = 0
没有交点没有实数根b2-4ac ＜0
（4）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线
与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故
二、一次函数的图像与二次函数
的图像的交点，由方程组
的解的数目来确定：
①方程组有两组不同的解时与有两个交点；
②方程组只有一组解时与只有一个交点；
③方程组无解时与没有交点．
例2. 已知函数的图象与x轴只有一个交点，且交点在y轴左侧，抛物线开口向下，求此交点的横坐标．
解：∵抛物线与x轴只有一个交点，例1、下列抛物线中，与x轴有两个焦点
的是（）
A.y=5 x²-7x+5
B .y=16 x²-24x+9
C. y=2 x²+3x-4
D.y=3 x²-26x+2
变式1.抛物线
2
283
y x x
=--与x轴有____个交点，因为其判别式
____0，相应二次方程2
3280
x x
-+=
的根的情况为____
．
变式2.函数
22
y mx x m =+-
（m是常数）的图像与x轴的交点个数为______
教学环节教学内容设计意图
∴关于x的方程有两个相等的实数根∴△＝
解得，．
∵抛物线开口向下，∴即，∴．
将代入得：
将代入得：
解得
即交点的横坐标是．
点拨：本题主要是由抛物线图象与x轴交点的个数来判断的正负性．
例3. 已知二次函数
（1）求证：无论k为何值，图象与x轴总有交点；
（2）当k为何值时，图象经过原点？
（3）在（2）图象中，当x取何值时，？当取何值时，？
解：∵△＝
无论取何值，即△
∴无论k取何值时，抛物线与x轴总有交点．
（2）∵图象经过原点，∴k＝0．
（3）当k＝0时，二次函数解析式为
若，即>0，则或．
若，即，则
∴当时，．
点拨：1）抛物线与x轴交点的个数由△的正负决定；
2）图象经过原点，则．
3）注意结合图象来判断不等式的解集．
例4. 已知二次函数
（1）若的
图象如图所示，且OA+OB＝6，
求此函数解析式．
（2）如图，C、D在抛物线
对称轴上，求．变式1：二次函数
y＝－2 x²+x－½，当x＝______时，y有最______值，为______．它的图象与x轴______交点（填“有”或“没有”）．
2.抛物线
y＝k x²－7x－7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（）
变式3：如果抛物线
y＝－2 x²+mx－3的顶点在x轴正
半轴上，则m＝______．
（2
6）
5. 不论自变量x取什么实数，二次函数y＝2 x²－6x+m的函数值总是正值，你认为m 的取值范围是______，此时关于一元二次方程
2 x²－6x+m＝0的解的情况是______（填“有解”或“无解”）．6. 某一抛物线开口向下，且与x 轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为______（只写一个），此类函数都有______值（填“最大”“最小”）．9. 关于二次函数
y＝a x²+bx+c 的图象有下列命题，其中是假命题
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教学环节教学内容设计意图
解：（1）设A、B两点的坐标为A（，0），B（，0）．∵OA+OB＝6，∴
令，则：
∴，∴
（2）
∴顶点坐标C（，12），∴CD＝12．
＝∴
点拨：由OA+OB＝6可得从而可以求得m值
的个数是（）
①当c＝0时，函数的图象经过原点；②当b ＝0时，函数的图象关于y轴对称；
③函数的图象最高点的纵坐标是
；
④当c>0且函数的图象开口向下时，方程
a x²+bx+c＝0必有两个不相等的实根
作业设计
板书设计一、一元二次函数与一元二次方程的关系
二、一次函数的图像与二次函数的图像的交点
教学随笔或教学反思。