二次函数与方程不等式的关系
函数的零点、二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
1．函数 f(x)＝xx＋ 2－21，，xx＜＞00，的零点为________． 解析：当 x＜0 时，x＋2＝0，则 x＝－2. 当 x＞0 时，x2－1＝0，则 x＝1，x＝－1(舍)． 所以函数 f(x)的零点为－2 和 1. 答案：－2 和 1
2．若 2 是函数 f(x)＝x2－m 的一个零点，则 m＝________． 解析：因为 2 是 f(x)＝x2－m 的一个零点，所以 4－m＝0，m＝ 4. 答案：4
(3)一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有两个正根的条件为
Δ ≥0，
Δ ≥0，
x1＋x2＝－ba＞0， 有 两 个 负 根 的 条 件 为 x1＋x2＝－ba＜0， 有
x1·x2＝ac＞0；
x1·x2＝ac＞0；
一个正根一个负根的条件为 x1·x2＝ac＜0.
a＋b 的值为( )
A．14
B．－10
C．10
D．－14
(2)已知一元二次不等式 x2＋px＋q＜0 的解集为x－12＜x＜13， 求不等式 qx2＋px＋1＞0 的解集．
【解】 (1)选 D.由已知得，ax2＋bx＋2＝0 的解为－12，13，且 a＜0.所以－ 2a＝ba＝ －－1212×＋1313，，解得ab＝＝－－122，，所以 a＋b＝－14. (2)因为 x2＋px＋q＜0 的解集为x－12＜x＜13，所以 x1＝－12与 x2＝13是方程 x2＋px＋q＝0 两个实数根，
2．二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 一般地，由一元二次方程解集的情况可知，对于二次函数 f(x) ＝ax2＋bx＋c(a≠0)： (1)当 Δ＝b2－4ac__＞__0__时，方程 ax2＋bx＋c＝0 的解集中有两 个元素 x1，x2，且 x1，x2 是 f(x)的两个零点，f(x)的图像与 x 轴 有_两__个___公共点___(_x_1，__0_)___，___(_x_2_，__0_) __；
二次函数与方程不等式的关系ppt课件
x2-2x+2=0
△＜0 无实数根
y=x2-2x+1 y=x2-2x+2
1个
（1，0） 0个
与x轴交点 个数 交点坐标
2个
（0，0） （-2，0）
无
归 纳 总 结
1、函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点个数 与方程ax2+bx+c=0(a≠0)解的个数一致。 △＞0 △＝0 △＜0 有两个交点 有一个交点 没有交点
-1 0
3
x
归 纳 总 结
不等式ax2+bx+c＞0 的解集就是函数 y=ax2+bx+c的图象在x轴上方的部分 所对应的x的取值范围； 不等式ax2+bx+c＜0 的解集就是函数 y=ax2+bx+c的图象在x轴下方的部分 所对应的x的取值范围；
拓 展 延 伸
如图: 二次函数y1=ax2+bx+c 与一次函数y2=kx+b的图象相 交于点A (-1,3) 和 B (5,2),
不等式ax2+bx+c＜0 的解集就是函数y=ax2+bx+c的图 象在x轴下方的部分所对应的x的取值范围； 4. 数学方法：类比、转化；数学思想：数形结 合的思想.
作
业
活页练习18.19.20.21.
谢谢合作
2、你能做出它的大致图象吗？
Байду номын сангаас
问 题 探 究 一
议一议
y
你能说出方程x2-2x-3=0 的根吗？ 你能猜出函数y=x2-2x-3 的图像与x轴的交点个数 及交点的坐标吗？你是怎 样思考的？
二次函数与方程不等式的关系
二次函数与方程不等式的关系一、知识点梳理1、二次函数表达式的几种常见方法（1）三点式（或一般式）：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 为常数且，表达式的右边是二次三项式的一般形式，当已知抛物线上不共线的三点坐标时，通常把三点坐标代入表达式，然后列出关于c b a ,,的三元一次方程组求解.（2）顶点式：k h x a y +-=2)()0,,(≠a k h a 为常数且由抛物线的表达式右边可知，抛物线的顶点坐标为),(k h ，当已知抛物线的顶点和抛物线上另一点时，通常设函数表达式为顶点式，然后代入另一个点的坐标，解关于a 的一次方程来求。
当已知两点的坐标和对称轴时，亦可将其代入k h x a y +-=2)(中求解.2、二次函数 c bx ax y ++=2与一元二次方程02=++c bx ax 的关系抛物线：c bx ax y ++=2与x 轴交点的横坐标，恰为一元二次方程02=++c bx ax 的实根. 因为x 轴上的点的纵坐标都为0,所以求抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交点的横坐标，可利用函数表达式c bx ax y ++=2来求，只需令0=y ,得一元二次方程02=++c bx ax ,方程的解即为交点的横坐标.抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点有三种情况：（1）当042＞ac b -时，方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根21,x x ，拋物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点)0,(),0,(21x x ；（2）当042=-ac b 时，方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根2a -21b x x ==， 抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有一个交点，恰好就是抛物线的顶点)0,2(ab -; （3）当042＜ac b -时，方程02=++c bx ax 没有实数根，抛物线与x 轴没有交点.3、二次函数的图像与一次函数图像的交点一次函数()0≠+=k n kx y 的图像L 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组⎩⎨⎧++=+=cbx ax y ,n kx y 2的解的个数来确定： （1）方程组有两组不同的解-----L 与G 有两个交点；（2）方程组只有一组解-----L 与G 只有一个交点；（3）方程组无解-----L 与G 没有交点。
函数、方程、不等式之间的关系
函数、方程和不等式的关系很多学生在学习中把函数、方程和不等式看作三个独立的知识点。
实际上，他们之间的联系非常紧密。
如果能熟练地掌握三者之间的联系，并在做题时灵活运用，将会有事半功倍的收效。
★函数与方程之间的关系。
先看函数解析式：(0)y ax b a =+≠，这是一个一次函数，图像是一条直线。
对于这个函数而言，x 是自变量，对应的是图像上任意点的横坐标；y 是因变量，也就是函数值，对应的是图像上任意点的纵坐标。
如果令0y =，上面的解析式也就变成了0ax b +=，也就是一个一元一次方程了。
我们知道，一般在求一个函数图像与x 轴交点的时候，令0y =（同理求一个函数图像与y 轴交点的时候，令0x =）。
所以上面的意义可以这样表达：将函数解析式中的y 变为0，那么就得到相应的方程。
这个方程的解也就是原先的函数图像与x 轴交点的横坐标。
这就是函数解析式与方程之间的关系，它适用于所有的函数解析式。
举例说明如下：例如函数23y x =-的图像如右所示： 该函数与x 轴的交点坐标为3(,0)2，也就是在函数 解析式23y x =-中，令0y =即可。
令0y =也 就意味着将一元一次函数23y x =-变成了一元 一次方程230x -=，其解和一次函数与x 轴的交 点的横坐标是相同的。
接下来推广到二次函数：例如函数2252y x x =-+的图像如右图所示： 很容易验证，该函数图象与x 轴的交点的横坐标 正是方程22520x x -+=的解。
如果右边的函数图象是通过列表、描点、连线 的方式作出来的，虽然比较精确，但过程十分繁琐。
在实际中，很多时候并不要求我们把函数图象作得 很精准。
有时候只需要作出大致图像即可。
既然上面讲述了函数图象与对应的方程之间 的关系，我们可不可以通过利用方程的根来绘制 对应的函数图象呢？函数2252y x x =-+对应的方程是22520x x -+=，先求出这个方程的两个解。
很容易根据十字相乘法(21)(2)0x x --=得出该方程的两个解分别为12和2。
二次函数与一元二次方程及不等式的关系探析
程 ax2+bx+c=0（a≠0）在实数范围内无解
（或称无实数根）。
二次函数是我们初中数学中的一个
难点，我们一定要掌握好二次函数与一元
二次方程的关系，使我们在面对二次函数
时，能够巧妙地结合方程来解决二次函数 的相关问题。
四、进一步的拓展应用
在二次函数与一元二次方程关系的 基础上，我们其实还可利用二次函数的图 像去解一元二次不等式，我们可以结合二 次函数图像与 x 轴交点的情况来判断一 元二次不等式的解集；下面以 a>0 为例说 明，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴无交 点时，不等式 ax2+bx+c>0（或 <0）（a>0）的 解集为全体实数或无解；抛物线
参考文献： [1]石慧英，秦继东.从“有形无图”到 “以形助数”— —— 一道中考题的解法与变 式探究[J].中学数学，2020(14):67-69. [2]仓猛.复习课“三个关注”：目标、教 材与“考向”———以“二次函数与一元二次 方程”复习课为例[J].中学数学，2019(22): 41-42. [3]徐章韬.从二次函数到一元二次方 程———教育数学研究之九[J].教育研究与 评论(中学教育教学)，2019(08):43-46. [4]沈莉.基于机会的教学立意———以 “二次函数与方程、不等式的关系”教学为 例[J].中学数学，2018(18):10-12. [5]陆炜锋.重新建构学材，提升学习 能力—— —以“二次函数与一元二次方程” 教学为例[J].中学数学，2017(18):15-17.
2021·9
解：（1）①当 m=0 时，原方程可化为
x-2=0，解得 x=2；
②当 m≠0 时，方程为一元二次方程，
一元二次不等式、方程和函数的关系
一元二次函数、方程和不等式一、定义1、等式的定义等式是数学中表示两个量或两个表达式之间相等关系的式子。
它由等号（=）连接，等号两边的数值或表达式在特定条件下是相等的。
换句话说，如果两个量或两个表达式用等号连接，那么这两个量或表达式就构成了等式。
2、不等式的定义不等式是数学中表示两个量或两个表达式之间大小关系的式子。
它不使用等号（=）连接，而是使用大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）或不等号（≠）这样的关系符号来连接两边的数值或表达式。
二、性质1、等式的性质：性质1：如果a=b ，那么b=a性质2：如果a=b ，b=c ，那么a=c性质3：如果a=b ，那么a±c=b±c性质4：如果a=b ，那么ac=bc 。
性质5：如果a=b ，c ≠0，那么c b c a =2、不等式的性质：性质1：如果a ＞b ，那么b ＜a;如果b ＜a ，那么a ＞b ．即：a ＞b ⇔b ＜a 。
性质2：如果a ＞b ，b ＞c ，那么a ＞c 。
即：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ．性质3：如果a ＞b ，那么cb c a ++＞性质4：如果a ＞b ，c>0，那么ac ＞bc ；如果a>b ，c<0，那么ac<bc性质5：如果d c b a ＞，＞，那么db c a ++＞性质6：如果0d c 0b a ＞＞，＞＞，那么bdac >性质7：如果a ＞b ＞0，那么），（＞2n n b a nn ≥∈N三、基本不等式对于∀a ＞0，b ＞0，ab 2b a ≥+变形为2b a ab +≤①当且仅当a=b 时，等号成立．通常我们称不等式①为基本不等式。
其中2b a +叫做正数a ，b 的算术平方根，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数四、用分析法证明基本不等式分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使他成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理）为止要证明2b a ab +≤，只要证明b a ab 2+≤，要证明b a ab 2+≤，只要证明0b a ab 2≤--，要证明0b a ab 2≤--，只要证明0b a 2≤--）（，要证明0b a 2≤--）（，只要证明0b a 2≥-）（，很显然，平方恒大于等于0，0b a 2≥-）（成立，当且仅当a=b 时，0b a 2≥-）（中的等号成立。
二次函数与二元一次方程、不等式的解的对应关系
二次函数与二元一次方程、不等式的解的对应关系二次函数与二元一次方程、不等式的解的对应关系在数学领域中，二次函数与二元一次方程、不等式的解之间存在着密切的对应关系。
本文将从简单到复杂的角度，全面评估这一主题，并据此撰写一篇有价值的文章，以便读者更深入地理解这一关系。
一、二次函数的基本形式我们首先来了解二次函数的基本形式。
二次函数通常具有以下标准形式：f(x) = ax^2 + bx + c。
其中，a、b、c分别代表二次项系数、一次项系数和常数项。
1. 二次函数图像的特点二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由二次项系数a的正负决定。
当a > 0时，图像开口向上；当a < 0时，图像开口向下。
二次函数的顶点坐标为：(-b/2a, f(-b/2a))。
2. 二次函数的零点二次函数的零点即为方程f(x) = 0的解，也就是函数图像与x轴的交点。
要求出二次函数的零点，可以使用求根公式或配方法，进而得到对应的解。
二、二元一次方程、不等式的基本形式接下来，我们将了解二元一次方程和不等式的基本形式，以及它们与二次函数解之间的联系。
1. 二元一次方程的一般形式二元一次方程一般可表示为：ax + by = c。
在解二元一次方程时，通常采用代入、相消、加减消元法等方法，最终得到方程的解。
2. 二元一次不等式的一般形式二元一次不等式的一般形式为：ax + by > c或ax + by < c。
解二元一次不等式时，同样可以通过代入法等方式，最终得到不等式的解集合。
三、二次函数与二元一次方程、不等式解的对应关系了解了二次函数和二元一次方程、不等式的基本形式后，接下来我们来探讨它们之间的对应关系。
1. 二次函数的解与二元一次方程的关系对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其解即为方程f(x) = 0的解。
而方程f(x) = 0可以化为ax^2 + bx + c = 0的形式，与一元二次方程的形式一致。
专题05 二次函数与一元二次方程、不等式的关系(知识串讲+7大考点)(解析版)
专题05 二次函数与一元二次方程、不等式的关系考点类型知识串讲（一）二次函数与一元二次方程的关系a>0(示意图)a<0(示意图)一元二次方程根的情况有两个不相等的实数根b2-4ac>0b2-4ac=0有两个相等的实数根无实数根b2-4ac<0（二）利用函数图像解不等式考点训练考点1：求抛物线与x轴的交点典例1：（2022秋·九年级单元测试）已知函数y=x2―6x+5的部分图象（如图），满足y<0的x的取值范围是____．【答案】1<x<5【分析】首先由图象可求得该抛物线与x轴的另一个交点的横坐标，再根据图象即可求解．【详解】解：由y=x2―6x+5，当x=0时，x2―6x+5=0解得：x1=1,x2=5∴该抛物线与x轴的交点的横坐标1，5，∵该抛物线的开口向上，∴当y<0时，x的取值范围是1<x<5，故答案为：1<x<5．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，从图象中获取相关信息是解决本题的关键．【变式1】（2023春·安徽蚌埠·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2―2x―3的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，P是二次函数图象上位于x轴上方的一点，且S△APC=S△APB．（1）点C的坐标为__________．（2）点P的坐标为__________．【答案】(0,―3)(4,5)【分析】（1）因为与y轴交于点C，所以横坐标为0，代入后即可得到纵坐标；（2）先让纵坐标为0，求出点A，B的横坐标，进而求出直线BC的表达式，再依据S△APC=S△APB，求出直线AP的表达式，再联立方程组，得到点P的坐标，注意两个答案排除一个．【详解】（1）∵y=x2―2x―3与y轴交于点C∴当x=0时，y=―3∴C(0,―3)故填：(0,―3)．（2）∵因为y=x2―2x―3与x轴交于点A，B∴当y=0时，x2―2x―3=0∴x1=3，x2=―1∴A(―1,0),B(3,0)∵C(0,―3),B(3,0),设直线BC为y=kx+b∴b=―3 3k+b=0∴b=―3 k=1∴直线BC为y=x―3∵S△APC=S△APB∴AP∥BC∴设直线AP为y=x+m ∵A(―1,0)∴直线AP为y=x+1∵解方程组y=x2―2x―3y=x+1得，x=―1y=0或x=4y=5∴P(―1,0)（舍去）,P(4,5)故填：(4,5)．【点睛】本题考查了二次函数与两坐标轴交点坐标的求法，待定系数法，利用坐标求三角形面积等，解题时要应用数形结合思想．【变式2】（2022秋·九年级单元测试）抛物线y=(x―3)(x+2)与x轴的交点坐标是____．【答案】(3,0)，(―2,0)【分析】令y=0，解关于x的一元二次方程，即可得到答案；【详解】解：令y=0，则：(x―3)(x+2)=0解得：x1=3，x2=―2∴抛物线y=(x―3)(x+2)与x轴的交点坐标是(3,0)，(―2,0)；故答案为：(3,0)，(―2,0)．【点睛】本题主要考查了二次函数图像与x轴的交点问题，解题的关键在于能够熟知二次函数y=ax2+bx +c(a≠0)与x轴交点的横坐标是令y=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0的解．【变式3】（2023春·陕西西安·九年级校考阶段练习）将抛物线y=x2―1向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为_____．【答案】6【分析】根据平移规律得出平移后的二次函数的解析式为y=x2―9，令x2―9=0，求其解即可得抛物线与x轴的交点坐标，进而可得答案．【详解】解：将抛物线y=x2―1向下平移8个单位长度后其解析式为y=x2―9，当x2―9=0时，解得：x1=―3，x2=3，∴抛物线y=x2―9与x轴的交点为―3，0，3，0，∴抛物线y=x2―1向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为6，故答案为：6．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减．考点2：求抛物线与y轴的交点典例2：（2023·上海·一模）抛物线y=―x2―3x+3与y轴交点的坐标为____．【答案】(0,3)【分析】把x=0代入抛物线y=―x2―3x+3，即得抛物线y=―x2―3x+3与y轴的交点．【详解】解：∵当x=0时，抛物线y=―x2―3x+3与y轴相交，∴把x=0代入y=―x2―3x+3，求得y=3，∴抛物线y=―x2+3x―3与y轴的交点坐标为(0,3)．故答案为：(0,3)．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较简单，掌握y轴上点的横坐标为0是解题的关键．【变式1】（2023·上海·一模）抛物线y=(x+1)2―2与y轴的交点坐标是_________．【答案】(0,―1)【分析】求出x=0时y的值即可得到抛物线与y轴的交点坐标．【详解】解：当x=0时，y=(x+1)2―2=1―2=―1，所以抛物线与y轴的交点坐标是(0,―1)，故答案为：(0,―1)．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据y轴上点的横坐标为0求出交点的纵坐标是解题的关键．【变式2】（2022秋·浙江温州·九年级校考期中）如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”．已知点A、B、C、D分别是“芒果”与坐标轴的交点，AB是半圆的直径，抛物线的解析式为y=x2+b，若AB长为4，则图中CD的长为______．故答案为：(0,3)；(2,―1)【点睛】本题考查了抛物线与y轴的交点坐标，二次函数的图像与性质，明确抛物线与y轴的交点的横坐标为0与将抛物线的一般式化为顶点式是解题的关键．考点3：由函数值求自变量x的值【答案】―2+22或5【答案】4【分析】先求得点C的坐标，然后由标代入函数解析式求得m【详解】解：当x＝0时，【答案】2【分析】根据题意，将y=4分别代入进而即可求得BC的长．【详解】解：∵x≥0，则y y【答案】x1=―3，x2=1【分析】利用图象法即可解决问题，方程的解就是两个函数图象的交点的横坐标．【详解】解：由图象可知，关于x的方程ax2―bx―c=0的解，就是抛物线y=ax2（a≠0）与直线y=bx+ c（b≠0）的两个交点坐标分别为A(﹣3，6)，B(1，3)的横坐标，即x1=―3，x2=1．故答案为：x1=―3，x2=1．【点睛】本题考查抛物线与x轴交点、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题．【变式2】（2022秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）设一元二次方程(x+1)(x―3)=m(m>0)的两实数根分别为α、β且α<β，则α、β满足_____．【答案】α<―1且β>3【分析】方程的两实数根α、β可看作抛物线y=(x+1)(x―3)与直线y=m的两交点的横坐标，然后画出导致图象可确定正确选项．【详解】方程(x+1)(x―3)=m(m>0)的两实数根α、β可看作抛物线y=(x+1)(x―3)与直线y=m的两交点的横坐标，而抛物线y=(x+1)(x―3)与x轴的交点坐标为―1，0和3，0，如图，典例5：（2022春·全国·九年级专题练习）如图，抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A (―3,―6)，B(1,―2)，则关于x的不等式ax2+bx>mx+n的解集为__________．【答案】―3<x<1【答案】―1<x<4/4>x>―【分析】观察图象，当抛物线位于直线的下方时，即可求得【详解】解：由图象知，当―1故答案为：―1<x<4．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图象，数形结合是关键．（1）二次函数y=ax2+bx+（2）不等式ax2+bx+c≥0的解集是)【答案】(―1,―43【分析】（1）根据抛物线的对称轴和抛物线过点范围即可．【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=―1，与x轴的一个交点坐标为(3,0)，∴与x轴的另一个交点坐标为(―5,0)，∴y>0时，x的取值范围为：―5<x<3，故答案为：―5<x<3．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点及二次函数的性质，解题的关键是根据对称轴求得另一个交点坐标，难度不大．考点6：利用不等式求自变量、函数值的范围【分析】先求出二次函数的对称轴和顶点坐标，再利用二次函数的增减性即可得出结论．【详解】解：∵y=x2+2x―3=(x+1)2―4，∴该抛物线的对称轴为直线x=―1，当x=―3时，y=9―6―3=0，当x=―1时，最小值为y=―4，当y=1时，y=1+2―3=0，∴―4≤y<0，故答案为：―4≤y<0．【点睛】本题主要考查二次函数的增减性和最值，关键是要牢记抛物线的对称轴的公式，理解抛物线的增减性．考点7：抛物线与x轴的交点问题【答案】49【分析】过点C作CD⊥x轴于点=4，设点A的坐标为(m,0)，则式和顶点式，即可求解．【详解】解：过点C作CD⊥x轴于点∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与AB=3，∴AD=BD=12∵AC=5，∴CD=AC2―AD2=4，设点A的坐标为(m,0)，则B(m同步过关一、单选题1．（2023·安徽·九年级专题练习）已知二次函数y=（k﹣2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）A．k≥3B．k＜3C．k≤3且k≠2D．k＜2【答案】C【分析】根据二次函数图象与x轴有交点可得出关于x的一元二次方程有解，根据根的判别式结合二次项系数非零即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【详解】解：∵二次函数y=（k﹣2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，∴一元二次方程（k﹣2）x2+2x+1=0有解，∴k―2≠0△=22―4(k―2)=12―4k⩾0，解得：k≤3且k≠2．故选C．【点睛】考查了抛物线与x轴的交点、根的判别式以及解一元一次不等式组，根据根的判别式△≥0结合二次项系数非零找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．2．（2022·浙江·九年级专题练习）二次函数y=x2-x-12与y轴的交点坐标为（）A．-3，0B．6，0C．0，-12D．2，16【答案】C【分析】图象与y轴相交则x=0，代入得到y的值，即可解答．【详解】解：由图象与y轴相交则x=0，代入得：y=-12，∴与y轴交点坐标是0，-12；故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式．3．（2022秋·山东枣庄·九年级统考期末）抛物线y=x2+x―2与y轴的交点坐标是（）A．（0，2）B．（0，－2）C．（-2，0）D．（－2，0）、（1，0）【答案】B【分析】令x＝0，求出y的值即可．【详解】解：令x＝0，则y＝−2，∴抛物线y＝x2＋x−2与y轴的交点坐标是（0，−2）．故选：B．【点睛】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，熟知y轴上点的坐标特点是解答此题的关键．4．（2022秋·广东珠海·九年级珠海市第九中学校考阶段练习）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标是（﹣2，0），（5，0），则一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个解是（ ）A．x1＝﹣2，x2＝5B．x1＝2，x2＝﹣5C．x1＝﹣2，x2＝﹣5D．x1＝2，x2＝5∵抛物线与y轴的交点为（∴当y＝3时x的值为0∴当函数值y＜3时，0＜故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据对称轴和与【详解】当x=0时，y=2×(0―1)×(0―m―3)=2m+6，∵函数图像与y轴的交点坐标是（0，2m+6）.∵该函数图象与y轴交点在x轴上方，∴2m+6>0，∴m>―3.故选B.【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图像与与坐标轴的交点是解答本题的关键.13．（2023秋·安徽淮北·九年级阶段练习）已知函数与x轴交点是（m，0），（n，0），则的值是（）A．2013B．2014C．2015D．2023【答案】B【详解】试题分析：∵抛物线与x轴的交点为（m，0），（n，0），∴,且m,n是一元二次方程的两个根∴．故选B考点：抛物线与x轴的交点点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，揭示了二次函数与一元二次方程间的联系，应用了方程的根的定义14．（2023·山东临沂·统考模拟预测）关于x的二次函数y＝x2+2kx+k﹣1，下列说法正确的是（ ）A．对任意实数k，函数图象与x轴都没有交点B．对任意实数k，函数图象没有唯一的定点C．对任意实数k，函数图象的顶点在抛物线y＝﹣x2﹣x﹣1上运动D．对任意实数k，当x≥﹣k﹣1时，函数y的值都随x的增大而增大二、填空题16．（2023·全国·九年级专题练习）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+m交于A(―4,―1)、B(0,2)两点，则关于x的不等式ax2+bx+c>kx+m的解集是______．【答案】―4<x<0【分析】根据图象，写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．【详解】由图象可知，当―4<x<0时，抛物线在直线的上方，∴关于x的不等式ax2+b+c>kx+m的解集是―4<x<0，故答案为：―4<x<0．【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图象的理解，题目中的不等式的含义为：二次函数的图象在一次函数图象上方时，自变量x的取值范围．17．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如果二次函数y=mx2―2mx―3m的图象与y轴的交点为(0,3)，那么m=______________．【答案】-1【分析】把(0,3)代入函数解析式即可求出m的值．【详解】解：把(0,3)代入y=mx2―2mx―3m得，3=―3m，解得m=―1，故答案为：-1．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题关键是把点的坐标代入求未知系数的值．18．（2022秋·江苏南通·九年级校考阶段练习）若抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有两个公共点，则m的取值范围是________．【答案】m＜9【分析】根据抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有两个公共点，可知b2﹣4ac＞0，从而可以求得m的取值范围．【详解】解：∵抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有两个公共点，∴Δ=b2―4ac=（﹣6）2﹣4m＞0，解得：m＜9，故答案为：m＜9．【点睛】此题考查了二次函数与x轴的交点问题，解题的关键是明确题意，熟练掌握二次函数与x轴的交点个数和判别式的关系．抛物线与x轴交点个数由Δ决定：当Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；当Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．19．（2022秋·九年级单元测试）如果抛物线y=(x―2)2+k不经过第三象限，那么k的值可以是______．（只需写一个）【答案】k=2（答案不唯一）【分析】抛物线y=(x―2)2+k不经过第三象限，可得抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴或原点，可得4+k≥0,从而可得答案.【详解】解：∵抛物线y=(x―2)2+k的开口向上，又不经过第三象限，∴抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴或原点，而当x=0时，y=4+k,∴4+k≥0,解得：k≥―4,所以当k=2时，符合题意，故答案为：k=2（答案不唯一）【点睛】本题考查的是抛物线的性质，掌握“抛物线与y轴的交点的位置与图象的关系”是解本题的关键. 20．（2023秋·九年级单元测试）二次函数y=x2+x―2与x轴交于点________，与y轴交于点________．（填点的坐标）【答案】(―2, 0)(1, 0),(0, ―2)【分析】根据抛物线与x轴的交点问题，通过解方程x2＋x−2＝0可得到二次函数图象与x轴的交点坐标，然后计算自变量为0时的函数值可确定二次函数图象与y轴的交点坐标．【详解】当y＝0时，x2＋x−2＝0，解得x1＝−2，x2＝1，则二次函数图象与x轴的交点坐标为（−2，0），（1，0）；当x＝0时，y＝x2＋x−2＝−2，则二次函数图象与y轴的交点坐标为（0，−2）．故答案为（−2，0），（1，0）；（0，−2）．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程问题是解决本题的关键．21．（2022秋·北京顺义·九年级统考期末）若抛物线y=x2―2x+k―1与x轴有交点，则k的取值范围是令y=0，则x2+4x―12=0，解得，x1=―6，x2=2，∵图象与x轴的一个交点坐标是(2,0)，∴它与x轴的另一个交点坐标是(―6,0)，故答案为：(―6,0)．【点睛】本题考查了求解二次函数交点坐标，正确理解交点坐标的特征是解题关键，另外，此题还可以运用韦达定理求解．三、解答题26．（2022春·九年级课时练习）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，根据图象回答下列问题：（1）写出方程ax2+bx+c=0的根；（2）写出不等式ax2+bx+c＜0的解集；（3）若方程ax2+bx+c=k无实数根，写出k的取值范围．【答案】（1）x1=0，x2=2；（2）x<0或x>2；（3）k>2【分析】（1）找到抛物线与x轴的交点，即可得出方程ax2+bx+c=0的两个根；（2）找出抛物线在x轴下方时，x的取值范围即可；（3）根据图象可以看出k取值范围．【详解】解：（1）观察图象可知，方程ax2+bx+c=0的根，即为抛物线与x轴交点的横坐标，∴x1=0，x2=2．（2）观察图象可知：不等式ax2+bx+c<0的解集为x<0或x>2．（3）由图象可知，k>2时，方程ax2+bx+c=k无实数根．【点睛】本题考查了二次函数的图象与方程和不等式的关系，求方程ax2+bx+c=0的两个根，即为抛物线与x轴的交点的横坐标；判断y＞0，y=0，y＜0时，x的取值范围，要结合开口方向，图象与x轴的交点而定；方程ax2+bx+c=k有无实数根，看顶点坐标的纵坐标即可．（1）求a的值和该抛物线顶点（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线经过原点，并写出平移后抛物线的解析式．【答案】（1）a=1，P【分析】（1）把C（5,4（2）根据原点坐标(0，【详解】（1）把C（5,42-5x＋4=(x―29．（2022秋·河南新乡·九年级校考阶段练习）如图，已知抛物线y=x2与直线y=―x+2交于A、B两点．(1)求交点A、B的坐标；(2)直接写出不等式x2≤―x+2的解集．【答案】(1)A―2，4，B1，1(2)―2≤x≤1【分析】（1）将抛物线y=x2与直线y=―x+2联立解方程组y=x2y=―x+2即可得到A、B的坐标；（2）直接观察图象，抛物线在直线下方的符合题意，即可得到答案．【详解】（1）解：解方程组y=x2y=―x+2得：x1=―2y1=4，x2=1y2=1，∴A―2，4，B1，1；（2）解：由图象观察可得：不等式x2≤―x+2的解集为：―2≤x≤1．【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，函数图象的性质，解题的关键是列出方程组y=x2y=―x+2，解方程组得到点A、B的坐标．30．（2022秋·广东广州·九年级广州市第三中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y1=ax2+x +m(a≠0)的图象与x轴交于A、C两点，与直线y2=―x―4交于点A、B，其中点B坐标为(0,―4)，点C坐标为2，0(1)求此抛物线的函数解析式．（3）由图象可得，当―1【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点式、二次函数的图象、二次函数的性质等知识点，准确画出二次函数的图象成为解答本题的关键．32．（2022秋·北京朝阳·九年级北京市陈经纶中学校考期中）在初中阶段的函数学习中我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程分过程，请按要求完成下列各小题（1）自变量x的取值范围是全体实数，与（3）根据函数图象，下列关于该函数性质的说法正确的有①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为②该函数在自变量的取值范围内，没有最大值，但有最小值③当x=―2时，函数取得最小值0④当x<―2或x>0时，y随x的增大而减小；当（4）在同一坐标系中作出函数y=x解__________________.（保留1位小数，误差不超过【答案】（1）1.5，（2）画图见解析；（2）描点：(―1，0.5)，(0,0),(1,1.5),(2,4),再用平滑的曲线连接各点补全图像如下：（3）由函数的图像可得：该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为直线x=―1,故①错误；该函数在自变量的取值范围内，没有最大值，但有最小值，说法正确，故②正确；当x=―2或x=0时，函数取得最小值0，故③正确；当x<―2或―1＜x＜0，y随x的增大而减小，当-2＜x＜―1或x＞0时，y随x的增大而增大，故④错误；综上：正确的有：②③．故答案为：②③．（4）∵函数y=x+1,令y=0,则x=―1,令x=0,则y=1,∴函数y=x+1过(―1,0),(0,1),画出函数图像如图示：x2+x|=x+1时，由图像可得：当|12x≈―0.3或x≈1.4.故答案为：x≈―0.3或x≈1.4.【点睛】本题考查的是探究绝对值函数的图像与性质，二次函数的图像与性质，同时考查描点法画函数图像，利用函数图像求解方程的近似解，掌握以上知识是解题的关键．33．（2022秋·吉林长春·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线点A和点B（点A在点B的左侧），第一象限内的点。
二次函数与二次方程二次不等式的关系
二次函数与二次方程、二次不等式的关系一、知识要点知识点1、二次函数与一元二次方程、二次不等式有着十分紧密的联系；当二次函数y=ax2+bx+c(a丰0)的函数值y=0时，就是一元二次方程，当沪0时，就是二次不等式。
知识点2、二次函数的图象与 x轴交点的横坐标就是一元二次方程的根，图像的交点个数与一元二次方程的根的个数是完全相同的，这是数和形有机结合的重要体现。
研究二次函2 . . 2数y=ax + bx + c图象与x轴交点问题从而就转化为研究一元二次方程ax + bx + c=0的根的变式训练：1、函数y=ax2— bx + c的图象过(一1, 0)，贝U b c c a a b的值是___________________ 2、已知二次函数 y=x2 + mx + m— 2 •求证：无论 m取何实数，抛物线总与 x轴有两个交点.3 .已知二次函数 y=x2— 2kx + k2 + k— 2 •(1)当实数k为何值时，图象经过原点？(2)当实数k在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？5 .已知抛物线 y=mx2 +( 3 — 2m) x + m — 2 ( m^O)与x轴有两个不同的交点.(1 )求m的取值范围；(2)判断点P (1，1)是否在抛物线上；(3)当m=1时，求抛物线的顶点 Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P'的坐标，并过P'、Q、P三点，画岀抛物线草图.2例2、(本题满分12分)二次函数y ax bx 6(a 0)的图像交y轴于C点，交x轴于A，B△ =b2— 4ac △ > 0 △ =0△ < 0二次函数y=ax2+bx+c(a > 0)的图像一元二次方程ax2+bx+c=0(a > 0)的根无实数根一元二次不等式ax2+bx+c> 0(a > 0)的解集x < x1或x > x2(% < x2)x为全体实数一元二次不等ax2+bx+c< 0(a > 0)的解集x1<x < x2(x1< x2)无解无解问题，这样图像问题就可以转化成方程问题，应用根的判别式、韦达定理、求根公式等解题。
6、二次函数与方程不等式的关系
第四讲二次函数的图像与性质(一)【知识梳理】1、二次函数与一元二次方程的关系遇到抛物线与x轴的交点存在某种关系时，可综合应用一元二次方程根的判别式，根与系数的关系及二次函数的性质进行解答。
2、二次函数与不等式的关系（1）a>0：大于0取两边，小于0取中间。
（2）a<0：大于0取中间，小于0取两边。
例1.已知二次函数y=ax2-2x-2的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是例2.函数的图象与x轴有且只有一个交点，那么a的取值和交点坐标分别是什么？例3.已知抛物线与x轴相交于A(x1,0) ,B(x2,0)，且x1≠x2。
（1）求a的取值范围，并证明A,B两点都在原点左侧；（2）若抛物线与y轴相交于C，且OA+OB-OC=-2,求a的值。
例4.已知抛物线y=ax2+bx+c，其顶点在x轴上方，经过点（-4,5）,它与y轴相交于点C（0,3），与x轴交于A，B两点，且方程ax2+bx+c=0的两根的平方和等于40.（1）求抛物线的解析式。
（2）抛物线上是否存在x轴上方的一点P，使S△PAB=2S△CAB？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由。
例5.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax 2 +bx+c=0的两个根；（2）写出不等式ax 2 +bx+c>0的解集；（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；（4）若方程ax 2 +bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围。
例6.已知函数y1＝x2与函数y2的图象大致如图，若y1＜y2，则自变量x的取值范围是（）．A.＜x＜2 B．x＞2或x＜C．－2＜x＜D．x＜－2或x＞变式练习：1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标(－1，－3.2)及部分图象(如图所示)，由图象可知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是x1＝1.3和x2＝( )A．－1.3 B．－2.3 C．－0.3 D．－3.32．二次函数y＝－x2＋2x＋k的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程－x2＋2x＋k＝0的一个解为x1＝3，则另一个解x2＝____．(第1题) (第2题) (第3题)3．如图所示，一次函数y1＝kx＋n(k≠0)与二次函数y2＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象相交于A(－1，5)，B(9，2)两点，则关于x的不等式kx＋n≥ax2＋bx＋c的解集为( )A．－1≤x≤9 B．－1≤x＜9 C．－1＜x≤9 D．x≤－1或x≥94．抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是( ) A．x＜2 B．x＞－3 C．－3＜x＜1 D．x＜－3或x＞1(第4题) (第5题)5.二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图像如图，观察图像写出y2≥y1时，x的取值范围_______．6.已知抛物线y＝ax2-2x＋1与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（）A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限7、y=ax2+bx+c中，a<0，抛物线与x轴有两个交点A（2，0）B（-1，0），则ax2+bx+c>0的解是____________; ax2+bx+c<0的解是____________8.如果抛物线y=x2-mx+5m2与x轴有交点，则m______课后练习1.如图，二次函数的图象经过原点，顶点的纵坐标为，若一元二次方程有实数根，则的取值范围是（）A. B. C. D.则方程A. B.C. D.A. B.C. D.4.下列二次函数的图象与轴有两个交点的是（）A. B.C. D.5.如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是.6.已知抛物线与x轴交于A，B两点。
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是一个完全平方
X1 ; X2
X1 =X2 ＝－b/2a ＝－b/2a
x ≠ x1的一切实 数
没有实数根
x<x1或x>x2 x1<x<x2
所有实数 无解
无解
试一试：利用函数图象解下列方程和不等式: 试一试：利用函数图象解下列方程和不等式: <1> ①-x2+x+2=0; ②-x2+x+2>0; ③-x2+x+2<0.
练习2 练习2：
<1>m取何值时， <1>m取何值时， x的二次三项式 取何值时 x- 的值恒为负数。 （m-2)x2+2 3x-3的值恒为负数。 <2>a是什么实数时，不等式ax +ax<2>a是什么实数时，不等式ax2+ax-1>0 是什么实数时 无解。 无解。
试证对任何实数k 二次三项式x2试证对任何实数k，二次三项式x2-(k+1)x+k 在实数范围内一定能因式分解。 在实数范围内一定能因式分解。 如果 9x + 2(a − 4)x +16 = 0 式，则 a = 。
思考3 思考3：
2+bx+c=0 如果方程ax 如果方程ax
（a≠0）没有 a≠0）
实数根， 实数根，那么 2+bx+c的图像与 x轴有 函数y=ax 函数y=ax +bx+c的图像与 0 ______个交点 ______个交点； 个交点； 2+bx+c<0的解集是______ 不等式ax 的解集是______ 不等式ax +bx+c<0的解集是
二次函数、一元二次方程、 二次函数、一元二次方程、 一元二次不等式之间的关系
南山实验学校 喻建珍
思考1 思考1：
函数y=ax +bx+c的图像如图， 函数y=ax2+bx+c的图像如图，那么 的图像如图 方程ax +bx+c=0的根是 X1=-1; X2=3 方程ax2+bx+c=0的根是 __________; X<-1;X>3 不等式ax +bx+c>0的解集 不等式ax2+bx+c>0的解集 是_________; -1<X<3 不等式ax +bx+c<0的解集 不等式ax2+bx+c<0的解集 是_________;
y
(-2,2)
-1 O
2
(4,2)
3 x
思考2: 思考2:
如果不等式ax +bx+c>0（a≠0） 如果不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集 的一切实数， 是x≠2 的一切实数，那么函数 1 y=ax2+bx+c的图像与 x轴有______ 个交 +bx+c的图像与 轴有______ (2,0) 坐标是________________ 点，坐标是________________ 方程ax +bx+c=0的根是 x=2 的根是______________. 方程ax2+bx+c=0的根是______________.
-1
0 y
2
X
y= -x2+x+2 y
<2>
①x2-4x+4=0; ②x2-4x+4>0; ③x2-4x+4<0.
O
2y 0 Xx<3> ①-x2+x-2=0; +x+x②-x2+x-2>0; +x③-x2+x-2<0.
拓广： 拓广：
函数y=ax +bx+c的图像如图 函数y=ax2+bx+c的图像如图，那么 的图像如图， 方程ax +bx+c=2的根是 X1=-2; X2=4 方程ax2+bx+c=2的根是 __________; 不等式ax +bx+c>2的解集是 X<-2;X>4 的解集是_________; 不等式ax2+bx+c>2的解集是_________; 不等式ax +bx+c<2的解集是 -2<X<4 的解集是_________; 不等式ax2+bx+c<2的解集是_________;
y
-1
O
3
x
判别式⊿ 判别式⊿=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c （a>0） a>0） 的图像
⊿>0
y
⊿＝0
y y
⊿＜0
X1 0
X2
x
O X1= X2
x O
x
xx
二次方程
ax2+bx+c=0
（a≠0）的根 a≠0） 不等式ax 不等式ax2+bx+c>0 （a>0）的解集 a>0） 不等式ax 不等式ax2+bx+c<0 a>0） （a>0）的解集
+bx+c<0无解 （1）当a>0时, ax2+bx+c<0无解 ） 时 （2）当a<0时， ax2+bx+c<0的解集是一切实数。 ax2+bx+c<0的解集是一切实数 的解集是一切实数。
思考4 思考4：
m取何值时，抛物线y=x2+(m+8)x+m+8与 取何值时，抛物线y=x +(m+8)x+m+8与 x 轴的两个交点关于原点对称？ 轴的两个交点关于原点对称？ m取何值时，抛物线y=x2+(m+8)x+m+8与 取何值时，抛物线y=x +(m+8)x+m+8与 x 轴的正半轴有两个交点？ 轴的正半轴有两个交点？ m取何值时，抛物线y=x2+(m+8)x+m+8与 取何值时，抛物线y=x +(m+8)x+m+8与 x 轴的负半轴有两个交点？ 轴的负半轴有两个交点？ m取何值时，抛物线y=x2+(m+8)x+m+8与 取何值时，抛物线y=x +(m+8)x+m+8与 x 轴的正负半轴都有交点？ 轴的正负半轴都有交点？ m取何值时，抛物线y=x2+(m+8)x+m+8经 取何值时，抛物线y=x +(m+8)x+m+8经 原点？ 过原点？