二次函数与方程、不等式之间的关系
中考数学复习：函数与方程、不等式的关系
中考数学复习：函数与方程、不等式的关系1．函数与方程的关系（1）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交点的横坐标的值；（2）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝mx＋n（am≠0）的解⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c （a≠0）与直线y＝mx＋n（m≠0）交点的横坐标的值．2．函数与不等式的关系（1）关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于x轴上方的所有点的横坐标的值；（2）关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0（a≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于x轴下方的所有点的横坐标的值；（3）关于x的不等式ax2＋bx＋c＞mx＋n（ma≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）上方的所有点的横坐标的值；（4）关于x的不等式ax2＋bx＋c＜mx＋n（ma≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）下方的所有点的横坐标的值．例题讲解例1在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx－2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．若该抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l：y＝－2x＋2的上方，并且在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的表达式．解：如图，因为抛物线的对称轴是x＝1，且直线l与直线AB关于对称轴对称．所以抛物线在－1＜x＜0这一段位于直线l的下方．又因为抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l的上方，所以抛物线与直线l的一个交点的横坐标为－1．当x＝－1时，y＝－2×（－1）＋2＝4，则抛物线过点（－1，4），将（－1，4）代入y＝mx2－2mx－2，得m＋2m－2＝4，则m＝2．所以抛物线的表达式为y＝2x2－4x－2．例2已知y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的自变量x与函数值y满足：当－1≤x≤1时，－1≤y≤1，且抛物线经过点A（1，－1）和点B（－1，1）．求a的取值范围．解：因为抛物线y＝ax²＋bx＋c经过A（1，－1）和点B（－1，1），代入得a＋b＋c＝－1，a－b＋c＝1，所以a＋c＝0，b＝－1，则抛物线y＝ax²－x－a，对称轴为x＝12a．①当a＜0时，抛物线开口向下，且x＝12a＜0，如图可知，当12a≤－1时符合题意，所以－12≤a＜0．当－1＜12a＜0时，图像不符合－1≤y≤1的要求，舍去．②当a＞0时，抛物线开口向上，且x＝12a＞0．如图可知，当12a≥1时符合题意，所以0＜a≤12．当0＜12a＜1时，图像不符合－1≤y≤1的要求，舍去．综上所述，a的取值范围是－12≤a＜0或0＜a≤12．例3在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，'b）给出如下定义：1 '1b abb a ≥⎧=⎨-<⎩，则称点Q为点P的限变点．例如：点（2，3）的限变点的坐标是（2，3），点（﹣2，5）的限变点的坐标是（﹣2，﹣5）．（1）若点P在函数y＝﹣x＋3（﹣2≤x≤k，k＞﹣2）的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是﹣5≤b′≤2，求k的取值范围；（2）若点P在关于x的二次函数y＝x2﹣2tx＋t2＋t的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，其中m＞n．令s＝m﹣n，求s关于t的函数解析式及s的取值范围．解：（1）依题意，y＝﹣x＋3（x≥﹣2）图象上的点P的限变点必在函数y＝313-21x xx x-+≥⎧⎨-≤<⎩的图象上．∴b′≤2，即当x＝1时，b′取最大值2．当b′＝﹣2时，﹣2＝﹣x＋3．∴x＝5．当b′＝﹣5时，﹣5＝x﹣3或﹣5＝﹣x＋3．∴x＝﹣2或x＝8．∵﹣5≤b′≤2，由图象可知，k的取值范围是5≤k≤8．（2）∵y＝x2﹣2tx＋t2＋t＝（x﹣t）2＋t，∴顶点坐标为（t，t）．若t＜1，b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，与题意不符．若t≥1，当x≥1时，y的最小值为t，即m＝t；当x＜1时，y的值小于﹣[（1﹣t）2＋t]，即n＝﹣[（1﹣t）2＋t]．∴s＝m﹣n＝t＋（1﹣t）2＋t＝t2＋1．∴s关于t的函数解析式为s＝t2＋1（t≥1），当t＝1时，s取最小值2，∴s的取值范围是s≥2．1）；点B；5≤k≤8；s≥2．进阶训练1．若关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个不同的实数根m ，n （m ＜n ），方程x 2＋ax＋b ＝1有两个不同的实数根p ，q （p ＜q ），则m ，n ，p ，q 的大小关系为（ ）A ．m ＜p ＜q ＜nB ．p ＜m ＜n ＜qC ．m ＜p ＜n ＜qD ．p ＜m ＜q ＜nB【提示】 函数y ＝x 2＋ax ＋b 和函数y ＝x 2＋ax ＋b －1的图像如图所示，从而得到p ＜m ＜n＜q解：函数y ＝x 2＋ax ＋b 如图所示： xq n m p O2．在平面直角坐标系xOy 中，p （n ，0）是x 轴上一个动点，过点P 作垂直于x 轴的直线，交一次函数y ＝kx ＋b 的图像于点M ，交二次函数y ＝x ²－2x －3的图像于点N ，若只有当－2＜n ＜2时，点M 位于点N 的上方，求这个一次函数的表达式．y ＝－2x ＋1【提示】 依据题意并结合图像可知，一次函数的图像与二次函数的图像的交点的横坐标分别为－2和2，由此可得交点坐标分别为－2和2，由此可得交点坐标为（－2，5）和（2，－3）将交点坐标分别代入一次函数表达式即可3．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝mx2－（2m＋1）x＋m－5的图像与x轴有两个公共点，若m取满足条件的最小整数，当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是－6≤y≤4－n，求n的值n的值为－2【提示】根据已知可得m＝1．图像的对称轴为直线x＝32．当n≤x≤1＜32时，函数值y随自变量x的增大而减小，所以当x＝1时，函数的值为－6，当x＝n时，函数值为4－n．所以n2－3n－4＝4－n，解得n＝－2或n＝4（不符合题意，舍去），则n的值为－2。
函数的零点、二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
1．函数 f(x)＝xx＋ 2－21，，xx＜＞00，的零点为________． 解析：当 x＜0 时，x＋2＝0，则 x＝－2. 当 x＞0 时，x2－1＝0，则 x＝1，x＝－1(舍)． 所以函数 f(x)的零点为－2 和 1. 答案：－2 和 1
2．若 2 是函数 f(x)＝x2－m 的一个零点，则 m＝________． 解析：因为 2 是 f(x)＝x2－m 的一个零点，所以 4－m＝0，m＝ 4. 答案：4
(3)一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有两个正根的条件为
Δ ≥0，
Δ ≥0，
x1＋x2＝－ba＞0， 有 两 个 负 根 的 条 件 为 x1＋x2＝－ba＜0， 有
x1·x2＝ac＞0；
x1·x2＝ac＞0；
一个正根一个负根的条件为 x1·x2＝ac＜0.
a＋b 的值为( )
A．14
B．－10
C．10
D．－14
(2)已知一元二次不等式 x2＋px＋q＜0 的解集为x－12＜x＜13， 求不等式 qx2＋px＋1＞0 的解集．
【解】 (1)选 D.由已知得，ax2＋bx＋2＝0 的解为－12，13，且 a＜0.所以－ 2a＝ba＝ －－1212×＋1313，，解得ab＝＝－－122，，所以 a＋b＝－14. (2)因为 x2＋px＋q＜0 的解集为x－12＜x＜13，所以 x1＝－12与 x2＝13是方程 x2＋px＋q＝0 两个实数根，
2．二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 一般地，由一元二次方程解集的情况可知，对于二次函数 f(x) ＝ax2＋bx＋c(a≠0)： (1)当 Δ＝b2－4ac__＞__0__时，方程 ax2＋bx＋c＝0 的解集中有两 个元素 x1，x2，且 x1，x2 是 f(x)的两个零点，f(x)的图像与 x 轴 有_两__个___公共点___(_x_1，__0_)___，___(_x_2_，__0_) __；
二次函数与一元二次方程不等式
【练习2】(2017·咸宁)如图，直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于A( －1，p)，B(4，q)两点，则关于x的不等式mx＋n＞ax2＋bx＋c的解集是 _______x_＜__－__1_或__x_＞__4____．
| 练习 | 1. [2018·自贡]若函数y=x2+2x-m的图象与x轴有且只有一个交点,则m的值为
-1 .
2. [2019·泰安]若二次函数y=x2+bx-5图象的对称 [答案] x1=2,x2=4
轴为直线x=2,则关于x的方程x2+bx-5=2x-13的 [解析]∵二次函数 y=x2+bx-5
(2)(2017·天水)如图是抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的一部分，抛物线 的顶点坐标是A(1，3)，与x轴的一个交点是B(4，0)，直线y2＝mx＋n(m≠0) 与抛物线交于A，B两点，下列结论：①abc＞0；②方程ax2＋bx＋c＝3有
两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是(－1，0)；④当1＜x＜ 4时，有y2＞y1；⑤x(ax＋b)≤a＋b，其中正确的结论是________②．⑤(只填写 序号)
【例2】(1)(2017·泰安)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应 值如下表：
x
－1
0
1
3
y
－3
1
3
1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x＝1；③当x＜1
时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2＋bx＋c＝0有一个根大于4，
其中正确的结论有（ ） B
A．1个 B．2个 C (2)点C(0，3)，点D(1，4)．
(3)设点P(x，y)(x＞0，y＞0)，S△COE＝12×1×3＝32，S△ABP＝12×4y＝2y，
二次函数与一元二次方程、不等式的关系
二次函数与一元二次方程、不等式的关系二次函数的平移只要两个函数的a 相同，就可以通过平移重合。
将二次函数一般式化为顶点式y=a(x －h)2+k ，平移规律：左加右减，对x ；上加下减，直接加减1.抛物线y= －32x 2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得到的抛物线的关系式为 。
2.抛物线y= 2x 2， ，可以得到y=2(x+4}2－3。
3.将抛物线y=x 2+1向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为 。
4.如果将抛物线y=2x 2－1的图象向右平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为 。
5.将抛物线y=ax 2+bx+c 向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到y=2x 2－4x －1则a ＝ ，b ＝ ，c ＝ .6.将抛物线y ＝ax 2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点(3，－1)，那么移动后的抛物线的关系式为 _.函数的交点1. 抛物线372++=x x y 与直线92+=x y 的交点坐标为 。
2. 直线17+=x y 与抛物线532++=x x y 的图象有 个交点。
二次函数与方程、不等式的关系1如果二次函数y ＝x 2＋4x ＋c 图象与x 轴没有交点，其中c 为整数，则c ＝ （写一个即可）2.二次函数y ＝x 2-2x-3图象与x 轴交点之间的距离为3.抛物线y ＝－3x 2＋2x －1的图象与x 轴交点的个数是( )A.没有交点B.只有一个交点C.有两个交点D.有三个交点4.如图所示，二次函数y ＝x 2－4x ＋3的图象交x 轴于A 、B 两点， 交y 轴于点C ，则△ABC 的面积为( ) A.6 B.4 C.3 D.15.已知抛物线y ＝5x 2＋(m －1)x ＋m 与x 轴的两个交点在y 轴同侧，它们的距离平方等于为 ，则m 的值为( )A.－2B.12C.24D.48 6.若二次函数y ＝(m+5)x 2+2(m+1)x+m 的图象全部在x 轴的上方，则m 的取值范围是7.已知二次函数772--=x kx y 与x 轴有交点，则k 的取值范围是 .8.关于x 的一元二次方程02=--n x x 没有实数根，则抛物线n x x y --=2的顶点在第_____象限；9.二次函数c bx ax y ++=2对于x 的任何值都恒为负值的条件是（ ）A.0,0>∆>aB.0,0<∆>aC.0,0>∆<aD.0,0<∆<a2510.若方程02=++c bx ax 的两个根是－3和1，那么二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴是直线（ ） A.x ＝－3 B.x ＝－2 C.x ＝－1 D.x ＝111.已知抛物线y ＝x 2-2x-8，（1）求证：该抛物线与x 轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，且它的顶点为P ，求△ABP 的面积。
函数、方程、不等式之间的关系
函数、方程和不等式的关系很多学生在学习中把函数、方程和不等式看作三个独立的知识点。
实际上，他们之间的联系非常紧密。
如果能熟练地掌握三者之间的联系，并在做题时灵活运用，将会有事半功倍的收效。
★函数与方程之间的关系。
先看函数解析式：(0)y ax b a =+≠，这是一个一次函数，图像是一条直线。
对于这个函数而言，x 是自变量，对应的是图像上任意点的横坐标；y 是因变量，也就是函数值，对应的是图像上任意点的纵坐标。
如果令0y =，上面的解析式也就变成了0ax b +=，也就是一个一元一次方程了。
我们知道，一般在求一个函数图像与x 轴交点的时候，令0y =（同理求一个函数图像与y 轴交点的时候，令0x =）。
所以上面的意义可以这样表达：将函数解析式中的y 变为0，那么就得到相应的方程。
这个方程的解也就是原先的函数图像与x 轴交点的横坐标。
这就是函数解析式与方程之间的关系，它适用于所有的函数解析式。
举例说明如下：例如函数23y x =-的图像如右所示： 该函数与x 轴的交点坐标为3(,0)2，也就是在函数 解析式23y x =-中，令0y =即可。
令0y =也 就意味着将一元一次函数23y x =-变成了一元 一次方程230x -=，其解和一次函数与x 轴的交 点的横坐标是相同的。
接下来推广到二次函数：例如函数2252y x x =-+的图像如右图所示： 很容易验证，该函数图象与x 轴的交点的横坐标 正是方程22520x x -+=的解。
如果右边的函数图象是通过列表、描点、连线 的方式作出来的，虽然比较精确，但过程十分繁琐。
在实际中，很多时候并不要求我们把函数图象作得 很精准。
有时候只需要作出大致图像即可。
既然上面讲述了函数图象与对应的方程之间 的关系，我们可不可以通过利用方程的根来绘制 对应的函数图象呢？函数2252y x x =-+对应的方程是22520x x -+=，先求出这个方程的两个解。
很容易根据十字相乘法(21)(2)0x x --=得出该方程的两个解分别为12和2。
二次函数与一元二次方程及不等式的关系探析
程 ax2+bx+c=0（a≠0）在实数范围内无解
（或称无实数根）。
二次函数是我们初中数学中的一个
难点，我们一定要掌握好二次函数与一元
二次方程的关系，使我们在面对二次函数
时，能够巧妙地结合方程来解决二次函数 的相关问题。
四、进一步的拓展应用
在二次函数与一元二次方程关系的 基础上，我们其实还可利用二次函数的图 像去解一元二次不等式，我们可以结合二 次函数图像与 x 轴交点的情况来判断一 元二次不等式的解集；下面以 a>0 为例说 明，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴无交 点时，不等式 ax2+bx+c>0（或 <0）（a>0）的 解集为全体实数或无解；抛物线
参考文献： [1]石慧英，秦继东.从“有形无图”到 “以形助数”— —— 一道中考题的解法与变 式探究[J].中学数学，2020(14):67-69. [2]仓猛.复习课“三个关注”：目标、教 材与“考向”———以“二次函数与一元二次 方程”复习课为例[J].中学数学，2019(22): 41-42. [3]徐章韬.从二次函数到一元二次方 程———教育数学研究之九[J].教育研究与 评论(中学教育教学)，2019(08):43-46. [4]沈莉.基于机会的教学立意———以 “二次函数与方程、不等式的关系”教学为 例[J].中学数学，2018(18):10-12. [5]陆炜锋.重新建构学材，提升学习 能力—— —以“二次函数与一元二次方程” 教学为例[J].中学数学，2017(18):15-17.
2021·9
解：（1）①当 m=0 时，原方程可化为
x-2=0，解得 x=2；
②当 m≠0 时，方程为一元二次方程，
一元二次不等式、方程和函数的关系
一元二次函数、方程和不等式一、定义1、等式的定义等式是数学中表示两个量或两个表达式之间相等关系的式子。
它由等号（=）连接，等号两边的数值或表达式在特定条件下是相等的。
换句话说，如果两个量或两个表达式用等号连接，那么这两个量或表达式就构成了等式。
2、不等式的定义不等式是数学中表示两个量或两个表达式之间大小关系的式子。
它不使用等号（=）连接，而是使用大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）或不等号（≠）这样的关系符号来连接两边的数值或表达式。
二、性质1、等式的性质：性质1：如果a=b ，那么b=a性质2：如果a=b ，b=c ，那么a=c性质3：如果a=b ，那么a±c=b±c性质4：如果a=b ，那么ac=bc 。
性质5：如果a=b ，c ≠0，那么c b c a =2、不等式的性质：性质1：如果a ＞b ，那么b ＜a;如果b ＜a ，那么a ＞b ．即：a ＞b ⇔b ＜a 。
性质2：如果a ＞b ，b ＞c ，那么a ＞c 。
即：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ．性质3：如果a ＞b ，那么cb c a ++＞性质4：如果a ＞b ，c>0，那么ac ＞bc ；如果a>b ，c<0，那么ac<bc性质5：如果d c b a ＞，＞，那么db c a ++＞性质6：如果0d c 0b a ＞＞，＞＞，那么bdac >性质7：如果a ＞b ＞0，那么），（＞2n n b a nn ≥∈N三、基本不等式对于∀a ＞0，b ＞0，ab 2b a ≥+变形为2b a ab +≤①当且仅当a=b 时，等号成立．通常我们称不等式①为基本不等式。
其中2b a +叫做正数a ，b 的算术平方根，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数四、用分析法证明基本不等式分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使他成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理）为止要证明2b a ab +≤，只要证明b a ab 2+≤，要证明b a ab 2+≤，只要证明0b a ab 2≤--，要证明0b a ab 2≤--，只要证明0b a 2≤--）（，要证明0b a 2≤--）（，只要证明0b a 2≥-）（，很显然，平方恒大于等于0，0b a 2≥-）（成立，当且仅当a=b 时，0b a 2≥-）（中的等号成立。
二次函数与二元一次方程、不等式的解的对应关系
二次函数与二元一次方程、不等式的解的对应关系二次函数与二元一次方程、不等式的解的对应关系在数学领域中，二次函数与二元一次方程、不等式的解之间存在着密切的对应关系。
本文将从简单到复杂的角度，全面评估这一主题，并据此撰写一篇有价值的文章，以便读者更深入地理解这一关系。
一、二次函数的基本形式我们首先来了解二次函数的基本形式。
二次函数通常具有以下标准形式：f(x) = ax^2 + bx + c。
其中，a、b、c分别代表二次项系数、一次项系数和常数项。
1. 二次函数图像的特点二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由二次项系数a的正负决定。
当a > 0时，图像开口向上；当a < 0时，图像开口向下。
二次函数的顶点坐标为：(-b/2a, f(-b/2a))。
2. 二次函数的零点二次函数的零点即为方程f(x) = 0的解，也就是函数图像与x轴的交点。
要求出二次函数的零点，可以使用求根公式或配方法，进而得到对应的解。
二、二元一次方程、不等式的基本形式接下来，我们将了解二元一次方程和不等式的基本形式，以及它们与二次函数解之间的联系。
1. 二元一次方程的一般形式二元一次方程一般可表示为：ax + by = c。
在解二元一次方程时，通常采用代入、相消、加减消元法等方法，最终得到方程的解。
2. 二元一次不等式的一般形式二元一次不等式的一般形式为：ax + by > c或ax + by < c。
解二元一次不等式时，同样可以通过代入法等方式，最终得到不等式的解集合。
三、二次函数与二元一次方程、不等式解的对应关系了解了二次函数和二元一次方程、不等式的基本形式后，接下来我们来探讨它们之间的对应关系。
1. 二次函数的解与二元一次方程的关系对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其解即为方程f(x) = 0的解。
而方程f(x) = 0可以化为ax^2 + bx + c = 0的形式，与一元二次方程的形式一致。
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学科：数学
专题：二次函数与方程、不等式之间的关系
重难点易错点解析
题面：不等式1222
≥--x x 的解集为_________
金题精讲
题面：已知关于x 的方程(m -1)x 2-(2m -1)x +2=0有两个正整数根.
(1)确定整数m 值；
(2)在（1）的条件下,利用图象写出方程(m -1)x 2-(2m -1)x +2+
x
m =0的实数根的个数.
满分冲刺
题面：设k 为实数,讨论关于x 的方程k x x +=-12的解的个数.
思维拓展
题面：设关于x 的方程()2
290ax a x a +++=有两个不相等的实根x 1, x 2 , 211x x <<且,那么a 取值范围是（ ）
A ． 5272<<-a B.52>a C.72-<a D. 011
2<<-a
讲义参考答案
重难点易错点解析
答案：31≥-≤x x 或
金题精讲
答案：(1) 2； (2) 1
满分冲刺
答案：当1-<k 时,原方程无实根 当1-=k 时,原方程有一个解 当11k -<<或54k >
时,原方程有两个解 当514k k ==
或时,原方程有三个解 当514
k <<时,原方程有四个解 思维拓展
答案：D。