18_08_势阱中的粒子 势垒 谐振子

18_08 势阱中的粒子 势垒 谐振子 1 一维无限深势阱中的粒子势阱模型 —— 微观粒子的运动限制在一维无限深势阱中，如图XCH005_023所示—— 金属中的电子逸出金属表面需要一定能量，电子的运动被限制在以金属块表面为边界的无限深势阱中—— 质子在原子核中的势能也是势阱粒子沿X 轴作一维运动，势能函数 ()00()0,U x x aU x x x a=<<⎧⎨=∞≤≥⎩ —— 如图XCH005_023_01所示一维运动粒子的定态薛定谔方程 222()2()()0d x mE U x dx ψψ+-=考虑到0:()x a U x ≤≥=∞ —— 粒子不可能出现在势阱外，有()0x ψ= —— 在0x a <<的区域()0U x =222()2()0d x m E x dx ψψ+= —— 令222mE k = 222()()0d x k x dxψψ+= 方程的通解形式 ()sin cos x A kx B kx ψ=+根据波函数的连续性，在0,()0x x a x ψ=== —— (0)010A B ψ=⋅+⋅= —— 0B =()0a ψ= ——()sin 0a A ka ψ==n k aπ=—— 1,2,3,4,0n n =≠ 2228n h E n ma=，1,2,3,n =—— 量子数为n 的定态波函数 ()sinn n n x A x aπψ= 由归一化条件222()sin 1n n x dx A xdx a πψ+∞+∞-∞-∞==⎰⎰—— 2n A a=粒子波函数：00,()2sin 0n x x a x n x x aa a ψπ≤≥⎧⎪=⎨<<⎪⎩概率密度分布函数：2200,()2sin 0x x a x n x x aaa ρψπ≤≥⎧⎪==⎨<<⎪⎩—— 结果讨论1) 粒子的能量是量子化的 2228n h E n ma =—— 如图XCH004_024所示。

2) 零点能2128h E ma = —— 基态能量称为基态能，微观粒子遵守海森伯不确定关系，最低能量不能是零；3) 概率密度分布函数 2200,()2sin 0x x a x n x x aaa ρψπ≤≥⎧⎪==⎨<<⎪⎩ —— 粒子在各处出现概率不同—— 在n →∞时，各处的概率一样—— 如图XCH005_025_01~03所示是量子数1,2,3,4,5,6n =的六个量子态的波函数和概率密度4) 势阱中粒子的动量2p mE =±将2228n h E n ma =代入动量表达式得到2n nhp a= —— 动量是量子化的 5) 粒子的德布罗意波长h pλ=，2n an λ= —— 波长是量子化的波长满足 2na nλ=；1,2,3,4,5n = —— 无限深势阱中的粒子定态波函数具有驻波形式例题11 一个电子在无限深势阱中运动，如果势阱的宽度分别为：21 1.010a m -=⨯和102 1.010a m -=⨯，计算两种情况下相邻能级的能量差。

从2228h E nma =得到相邻能级的能量差：212(21)8n n h E E E n ma +∆=-=+ 当21 1.010a a m -==⨯ —— 1523.7710E n eV -=⨯⋅能级差：153.7710(21)E n eV -∆=⨯⋅+ —— 能级差小，量子性不明显当102 1.010a a m -==⨯ —— 237.7E n eV =⋅能级差：37.7(21)E n eV ∆=⋅+ —— 能级差大，量子性显著22222(21)(21)88n n h n E n ma h E n nma +∆+== 当1n >>时：2n n E E n∆≈ n n E E ∆<< —— 能量近似是连续的，经典图样和量子图样趋于一致—— 经典物理是量子物理中量子数n →∞时的极限情况 例题12 计算一维无限深势阱中粒子的概率密度的最大值位置 一维无限深势阱中粒子的波函数：2()sin n n x x a aπψ=概率密度为222()sin n n x x a aπρψ== 令 2()0n d x dxψ= —— 24sincos 0m n n x x a a a πππ=因为sin0n xa π≠ —— 有cos 0n x aπ= (21)2n x N a ππ=+ (21)2ax N n=+ —— 0,1,2,3(1)N n =- 1,02a n N x ===32,0,1,44a a n N x ===353,0,1,2,,666a a a n N x ===—— 如图XCH005_030所示 相邻两个极大值的间隔 [2(1)1][21]22a a a x N N n n n∆=++-+= —— 量子数越大的状态，概率密度最大的间隔减小，当量子数趋于无限大时，粒子在各点出现的概率相同，能量是连续的 —— 量子力学过渡到经典物理2 势垒穿透势垒模型 —— 原子核的α粒子衰变，可能穿越库仑势垒的α粒子 粒子沿X 轴作一维运动 0()0()00,U x U x a U x x x a=<<⎧⎨=<>⎩ —— 如图XCH005_026_01所示设质量为m 、能量为0()E E U <的粒子从I 向II 区域运动 一维运动粒子的定态薛定谔方程：222()2()()0d x mE U x dx ψψ+-=区域I ：21122()2()0d x mE x dx ψψ+= —— ()0U x = 区域II ：220222()2()()0d x m E U x dx ψψ-+= —— 0()U x U = 区域III ：23322()2()0d x mEx dx ψψ+=—— ()0U x =令 212202222()mE k m E U k ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩由于0E U <，0222()m U E k i-=区域I ：221112()()0d x k x dx ψψ+= —— 方程的解：11112()ik x ik x x A e A e ψ-=+ 区域II ：222222()()0d x k x dxψψ+= —— 方程的解：22212()ik x ik x x B e B e ψ-=+ 波函数为有限，而0222()m E U k i-=—— 20B = 22()ik x x Be ψ=区域III ：223132()()0d x k x dx ψψ+= —— 方程的解：11312()ik x ik x x C e C e ψ-=+ 区域III 无反射波 20C = —— 13()ik xx Ceψ=根据波函数单值、连续条件 12122323(0)(0)(0)(0)()()()()d d dx dxd a d a a a dx dx ψψψψψψψψ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩确定波函数中四个常数 1) 区域I 入射波和反射波的振幅 —— 由波函数单值、连续条件得到 1211212A A BA k A k Bk +=⎧⎨-=⎩解得：11212112122,k k kB A A A k k k k -==++反射波振幅 22122112k kA A k k -=+ 因为1212()*k k k k -=+ —— 2221A A =—— 反射波和入射波是等幅波，区域I 的波函数1()x ψ为驻波，但因为 12(0)(0)0ψψ=≠，所以该点不是波节。

2) 粒子穿透势垒的概率密度22222()ik x x Be ρψ==2022()/22i i m U E xB e ρ⋅-=2022()/22x m U E B eρ--=—— 指数衰减—— 总能量0()E E U <低于势垒壁高的情况下，粒子具有一定的概率穿透势垒—— 粒子能穿透比其能量更高的势垒的现象，称为隧道效应 —— 如图XCH005_026_01所示隧道效应的应用—— 一些重核的α粒子衰变和电子场致发射—— 隧道二极管 1957年日本人江崎玲於奈在半导体中发现了隧道效应，并制成隧道二极管，1973年获得诺贝尔物理学奖；—— 扫描隧道显微镜（STM, Scanning Tunneling Microscope ） 1982年德国物理学家宾尼研制成功第一台扫描隧道显微镜，用于固体表面原子结构的研究。

1983年首次利用STM 观察到Si （111）表面77⨯的大元胞，1989年中科院上海原子核所研制成功了数字化STM ，首次获得了DNA 新构型—平行双链DNA 和三链辫状DNA 的STM 图像。

—— 图XCH005_051_01和图XCH005_051为STM 在恒高模式下的工作原理 隧道电流：12exp()T b I V A S ∝-Φ —— 121()2Φ=Φ+Φ —— 12and ΦΦ分别为针尖和样品的功函数—— 图XCH005_031和图XCH005_032是GaAs and InAs 的STM 像—— 单电子隧道效应 1960年挪威人贾埃维（I. Giaever ）在美国通用电气研究所观测到了单电子隧道效应（1974年获诺贝尔物理学奖）。

将薄的氧化物绝缘层夹在超导体和常态金属膜之间形成单电子隧道结（绝缘体的厚度~3nm ）。

当在SIN 结（超导体—绝缘体—常态金属）加上电压0V V e∆>=（∆为绝缘体的厚度）时，隧道电流徒然升高，证实了超导体中能隙的存在。

此后，贾埃维又在SIS 结（超导体—绝缘体—超导体）中观察到了单电子的隧道效应。

单电子隧道效应除可以测量超导体的能隙之外，还用于低温的测量、超高频放大器、超高频振荡器、电磁波检测器。

—— 约瑟夫孙效应 1962年B. D. Josephson （1973年获诺贝尔物理学奖）预言当超导—绝缘—超导（Superconductor-Insulator-Superconductor ）（SIS ）中的绝缘膜厚度减小到1.5 nm 时，Cooper 对将穿过绝缘层。

1963年安德森（P. W. Anderson ）和罗维尔（J. M. Rowell ）实验证实了约瑟夫效应。

—— 利用约瑟夫效应作为超灵敏磁场探测器—超导量子干涉磁场计，测量极其微弱磁场的信号3 谐振子谐振子模型 —— 晶体中原子在平衡位置的运动（称为晶格振动）、分子的振动、原子表面振动—— 如图XCH005_048所示的是一维晶体中原子在简谐振动的模型 —— 两个原子间的相互作用势能曲线如图XCH005_027所示 线性谐振子的势能：2212U m x ω=—— kmω=带入一维定态薛定谔方程：222()2()()0d x mE U x dx ψψ+-=2222221()02d m E m x dx ψωψ+-= —— 令 2m x x m E ωξαωαλω⎧≡≡⎪⎪⎪⎪≡⎨⎪⎪≡⎪⎪⎩ 222()0d d ψλξψξ+-= —— 变系数二阶常微分方程 当ξ⇒±∞：2220d d ψξψξ-= 方程的解 —— 212~eξψ-，代回原方程222()0d d ψλξψξ+-= 222(1)0d H dHH d d ξλξξ-+-= —— Hermite 方程，()H ξ—— 厄密函数 将()H ξ展开为ξ的幂级数。