ch8多元函数微分学习题课——知识总结
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第 193 页第八章 多元函数微积分本章主要知识点● 一阶偏导数计算 ● 可微与全微分 ● 二阶偏导数● 二重积分—直角坐标系 ● 二重积分—极坐标系一、一阶偏导数计算多元函数一阶偏导数计算主要有下面问题：（1）显式函数一阶偏导。
（2）复合函数一阶偏导。
（3）隐函数一阶偏导数。
1．显函数的一阶偏导数例8.1．2sin()x y u xe=，求,u u x y∂∂∂∂。
解：()22sin 2sin 2cos()1cos x y x y xy ue xy x y e xy x y e x∂=+=+∂ 23sin 2cos x y ux e x y y∂=∂ 例8.2．()y y zu x y zx =++，求,,u u u x y z∂∂∂∂∂∂。
解：()11110y y y y y u yx y zx z yx yz x x ----∂=++=+∂，()()zx zy zy x x y u yz y ln ln 1++=∂∂-， 11ln ln 0--+=++=∂∂y y z y y z z yx y y z y x y y zu， 例8.3．(ln z x =＋yx ，求,u u x y∂∂∂∂。
解：111y y u yx yx x --⎛⎫∂=+=∂，ln ln y y z x x x x y ∂=+=∂。
2．复合函数的求偏导我们用具体的例子来说明复合函数的求偏导的解题步骤。
例如()x xy y x f u sin ,,+=，其中f 为已知可微三元函数，求zuy u x u ∂∂∂∂∂∂,,。
第一步：变量z y x ,,的关系网络图123x y x u y x ⎧∨→⎪∆⎪⎪∨⎪→⎨∆⎪⎪→→∨⎪⎪⎩其中1，2，3分别表示x xy y x sin ,,+第二步：寻找与x 对应的路径()∨，计算的过程可以总结为“路中用乘，路间用加”1231231cos cos uf f y f x f f y f x x∂''''''=⋅+⋅+=+⋅+∂ 同理，寻找与y 对应的路径()∆，12121uf f x f f x y∂''''=⋅+⋅=+⋅∂。
高数下课件 ch8习题课
=n (2 x, 2 y, − 1) (1,−2,5) = (2, − 4, − 1)，
∴ 平面 π 方程为 2( x − 1) − 4( y + 2) − (z − 5) =0，
即 2x − 4 y − z − 5 =0，
x + y + b =0
由直线
l
方程
x
+
ay
−
z
−
3
得 =0
y =− x − b z = (1 − a)x − (3 +
22
⋅
−
y x2
= 4 x3 f1′ + 2 xf2′ + x4 yf1′1′ − yf2′2′ .
例3 设=u f ( x, y, z)，ϕ ( x2 ,e y= , z) 0= ，y sin x，其中
f ,ϕ 具有一阶连续偏导数，且 ∂ϕ ≠ 0，求 du .
∂z
dx
解 du = ∂f + ∂f ⋅ dy + ∂f dz ， dx ∂x ∂y dx ∂z dx
ab)
代入平面 π
方程得
(5 + a)x + (4b + ab − 2) = 0， 所以 a = −5，b = −2.
例12 设 xyz a (其中 a 为常数，且 x > 0，y > 0， z > 0)，求函数 u = x + y + z 的最小值.
证一 u = x + y + z ≥ 3 3 xyz = 3 3 a，
解 ∂=z ∂x
f1′⋅
y
+
f
′
2
⋅
1 y
+
高数多元函数微分学
设 u ( x , y ) 、v ( x , y ) 、w w ( x , y ) 都 在 点 ( x , y ) 具 有 对 x
y 的 偏 导 数 ， z f (u,v,w ) 在 对 应 点 (u,v,w ) 具 有 连 续 偏 导 数 ， 则
合 函 数 z f [ ( x , y ), ( x , y ), w ( x , y )] 在 对 应 点 ( x , y ) 的 两 个 偏
z 2eu2v
v
z
dv e x
dx
u
x
v
d dx z u zd du x vzd dx veu2v(cox s2ex)
es ixn2ex(co xs2ex)
例2 求 d xsinx ( x 0) dx
这CH是8多幂元指函数函微分学 数的求导
可利用对数求导,可不可以用链式法则?
解 令 ux,vsixn ,zuv
z x
z u
u x
z v
v x
，
z y
z u
u y
z v
v y
仍为u、v的二元函数
观点要 明确！
即:
z u
fu
f1
u v
vzfv f2
u v
从而也x、 是 y的函.数
复合二阶偏导：
CH8多元函数微分学
z z u z v
x u x v x
f1
u x
f
2
v x
2z x 2
z x x
x
个偏导数存在，且可用下列公式计算
z z u z v x u x v x
z z u z v y u y v y
链式法则如图示
CH8多元函数微分学
多元函数微分知识点总结
多元函数微分知识点总结一、多元函数的梯度在多元函数微分学中，梯度是一个非常重要的概念。
梯度是一个向量，表示函数在某一点的变化率最快的方向。
对于一个二元函数f(x, y)，梯度可以表示为：∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)其中，∂f/∂x和∂f/∂y分别表示函数f对x和y的偏导数。
梯度的方向即为函数在该点变化率最快的方向，而梯度的模即为函数在该点的变化率。
因此，梯度可以帮助我们确定函数在某一点的最大变化率和变化的方向。
在实际应用中，梯度可以帮助我们求解多元函数的最值问题。
通过求解梯度为0的点，可以找到函数的极值点。
梯度的方向还可以告诉我们函数在某一点的最快下降方向，从而帮助我们优化函数的取值。
二、多元函数的链式法则链式法则是多元函数微分学中的一个重要概念。
链式法则是用来计算复合函数的导数的方法。
对于一个复合函数f(g(x)), 链式法则可以表示为：(d(f(g))/dx) = (dg/dx)*(df/dg)链式法则的应用十分广泛。
在实际问题中，我们经常会遇到复合函数，通过链式法则，我们可以求解复合函数的导数，从而解决实际问题。
三、多元函数的偏导数多元函数的偏导数是多元函数微分学中的一个基本概念。
对于一个二元函数f(x, y)，其关于变量x的偏导数可以表示为∂f/∂x，而关于变量y的偏导数可以表示为∂f/∂y。
偏导数表示了函数在某一点的变化率。
通过偏导数，我们可以确定函数在某一点的变化率和变化的方向，从而帮助我们解决实际问题。
四、多元函数的泰勒展开泰勒展开是多元函数微分学中的一个重要概念。
泰勒展开可以将一个函数在某一点处展开为一个无穷级数。
对于一个n次可导的函数f(x)，它在点a处的泰勒展开可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)*(x-a) + f''(a)*(x-a)^2/2! + ... + f^(n)(a)*(x-a)^n/n!泰勒展开的应用非常广泛。
通过泰勒展开，我们可以将一个函数在某一点处近似为一个多项式，从而方便我们进行数值计算和求解。
3chapter1(8)多元函数微分学小结
极值存在的充分条件
设z f ( x , y)在U ( P0 , )内连续, 且有一阶及二阶连续 偏导数, 又 f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0,
令 A f xx ( x0 , y0 ), B f xy ( x0 , y0 ), C f yy ( x0 , y0 ),
x x0 y y0 z z0 法线为 Fx ( x0 , y0 , z0 ) F y ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
(4)曲面z f ( x , y )的切平面与法线
切平面 : f x ( x x0 ) f y ( y y0 ) ( z z0 ) 0,
(3) 最大最小值 1) 闭区域上的连续函数一定有最大值和最小值: 将函数 f (x,y) 在D内的所有驻点处的函数值与在D 的边界上的函数值相互比较，其中最大的就是最 大值，最小的就是最小值. 2) 实际问题则根据问题的实际意义来判断, 若问题 存在最值，且只有唯一一个驻点，则该驻点必为 所求的最值点.
Chapter 1 多元函数微分学小结
第一部分: 内容小结 一、极限，连续，偏导数，全微分 1. 二元函数的定义 z f ( x , y ) 2. 二元函数的极限
x x0 y y0
lim f ( x , y ) A
3. 二元函数的连续性
(1)定义
( x , y )( x 0 , y0 )
( 3)曲面F ( x , y , z ) 0的切平面与法线
法向量为 : n { Fx , Fy , Fz }
切平面为 Fx ( x0 , y0 , z0 )( x x0 ) F y ( y y0 ) Fz ( z z0 ) 0
高等数学复习资料CH8-8
f ( 4,2 ) 64 ,
比较后可知 f ( 2 ,1 ) 4 为最大值,
f ( 4 , 2 ) 64 为最小值.
二、条件极值 拉格朗日乘数法
上面讲的函数极值问题中,对自变量除限制在 定义域内,没有其它限制—无条件极值问题. 而有的极值问题提出时,还有附加条件， 即对自变量有约束条件—条件极值问题 例如 : 在曲面 F ( x , y , z ) 0上找一点P ,
y y
f 1 ' y
f 2 ' y
e y f 1 ' e y ( xe y f 11 ' ' f 13 ' ' ) ( xe y f 21 ' ' f 23 ' ' ) e y f 1 ' xe 2 y f 11 ' ' e y f 13 ' ' xe y f 21 ' ' f 23 ' '
z f [ x , y ( x )]
z f ( x , y )在 ( x 0 , y 0 )处取得极值就是 z f [ x , y ( x )]在 x x 0的极值
' x ' y '
dz dx
x x0
0
即f ( x0 , y0 ) f ( x0 , y0 ) y ( x0 ) 0
求函数z=f (x ,y)极值的一般步骤：
第0,
f y ( x, y) 0
求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x 0 , y 0 ) ，
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步
定出 AC B 的符号，再判定是否是极值.
第八章_则多元函数微分学_习题课知识课件
求z,
2z ,
2z
.
y y2 xy
解
yzx3(f1xf21x) x4f1 x2f2 ,
y 2z 2x 4(f1 x 1f1 1 x 2)x 2(f2 x 1f2 1 x 2)
x 5 f 1 1 2 x 3 f 1 2x f 2 ,2
x 5 f 1 1 2 x 3 f 1 2x f 2 ,2
x
2
x 2z2a2sia n x(b yc22)
x m m zam sia n xb ( ycm 2)
x m m 1zyam bsian xb ( ycm 2 2)
x m m n y znam bnsian x b ( y c(m 2n ))
例4 设z x3 f(xy, y),( f 具有二阶连续偏)，导数 x
例6 设 xyze (xy z) 求
2z 2z 2z x2 ,xy,y2
解一 记 F ( x ,y ,z ) x y z e ( x y z )
则 FxFyFz 1e(xyz)
z z 1 x y
x2z2 x2zyy2z2
0
解二 方程两边对 x 求偏导
1ze(xyz)(1z)
x
x
(1z)1 [e(xyz)]0 x
2z 2z xy yx
x(x4f1x2f2)
4x3 f1x4[f11y f12(xy2)]2xf2 x2[f21yf22(xy2)]
4 x 3 f 1 2 x f 2 x 4 y f 1 1 y f 2 .2
例5 设uf(x,y,z),(x2,ey,z)0,ysix n,
(f,具有一阶连 )， 且续 偏 0,求 导 du . 数
称为全导数.
v
设 zfu (x ),v(x ,y),y u x
多元函数微分学习题解知识点与课后习题答案
第8章 多元函数微分学§8.1 多元函数的基本概念习题8-1★1.设222(,)xy f x y x y =+，求(1,)y f x。
解：222222(1,)1()yy xy x f y x x y x==++★2. 已知函数(,,)w u v f u v w u w +=+，试求(,,)f x y x y xy +-。
解： 2(,,)()()xy x f x y x y xy x y xy +-=++★★3.设()zx y f x y =++-，且当0y =时，2z x =，求()f x 。
解：将0y =代入原式得： 20(0)x x f x =++- ，故 2()f x x x =-4.求下列函数的定义域： ★（1）2ln(21)zy x =-+解：要使表达式有意义，必须 2210y x -+>∴ 所求定义域为 2{(,)|210}D x y y x =-+>★（2）z=解：要使表达式有意义，必须0x ， ∴{(,)|D x y x =≥★★（3）u =解：要使表达式有意义，必须11-≤≤∴{(,,)|D x y z z =≤★★★（4）z =解：要使表达式有意义，必须 222224010ln(1)0ln1x y x y x y ⎧-≥⎪-->⎨⎪--≠=⎩∴ 222{(,)|01,4}D x y x y y x =<+≤≤★★（5）ln()z y x =-解：要使表达式有意义，必须220010y x x x y ⎧->⎪≥⎨⎪-->⎩∴ 22{(,)|1,0}D x y x y x y =+<≤<5.求下列极限：★（1）10y x y →→知识点：二重极限。
思路：(1,0)为函数定义域内的点，故极限值等于函数值。
解：1ln 2ln 21y x y →→== ★★（2）00x y →→知识点：二重极限。
思路： 应用有理化方法去根号。
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一 ⑵ AC
B2 < 0时没有极
一 ⑶ 值；f (x, y)极值的一般步骤:
第一步 解方程组 fx (X, y) = 0, fy (x, y) = 0 求出
实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点(Xo, y o),
求出二阶偏导数的值4、B、C.
” , fx(X y)+初
(X
X
,
y
)
=0,
人幻 < fy (X, y)+
(X, y) = 0,
、 (p( x, y) = 0.
况 解出x,y
，其中X,y就是可能的极值点的坐标.
经济数学--微积分
谢谢
THANK YOU
设函数z = f(X,y)在点(x0,y0)具有偏导数，且
在点(x0,yo)处有极值，则它在该点的偏导数必
然为零：fx ( X 0, yo) = 0，
f
y
(
X
0,
yo)
= 0-
定义 一阶偏导数同时为零的点，均称为多元 函数的驻点.
注意 驻点
极值点
经济数学--微积分
经济数学
七 定理2 (充分条件)
设函数 =f ( X , V)在点(％ Vo)的某邻
9x
9y 9y
929 =f( X
9y
yU
、 9 2 = fyy (X, y),
纯偏导
9 Z = fyx (x, y ). 9y9x
丿 dy
dxdy
定义 二阶及二阶以上的
经济数学
微积分
9・偏导数在经济上的应用:交叉弹性
设函数z = f (x, y)在(x, y)处偏导数 存在，
业 函数对X的相对改变量 =f (x + Ax, y)-f (x, y)
第三步 定出AC-B2的符号，再判定是否是极值.
经济数学
微积分
条件极值：对自变量有附加条件的极值.
拉格朗日乘数法
要找函数z = f(X, y)在条件0(x, y) = 0下的
可能极值点，
先构造函数 F ( x, y ) = f ( x, y ) + A(p( X , y )
， 其中4为某一常数，可由
如果函数々=f(x^y)在点(X, 丁)的全增量 Az = f(x + + Av) - f (x^y)可以表示为 Az = A Ax + BAy + o(p),其中 A,B 不依赖于 Ax,颂而仅与有关， p = J(Ax)2+(Ap)2,则称函数z = /(xj)在 点(x,y)可微分, AAx + BAy称为函数 z = f (x^y)在点(旳力的全微分，记为dz，即 dz=^4Ax + BAp.
点Po
PT4
处如连果续f .(x, V)在点Po( x 0, y°)处不连续，则 称 P0断是函数f (x, y)的间断点.
经济数学--微积分
经济数学
6.闭区域上连续函数的性质
(1) 有界性定理 有界闭区域D上的多元连续函数是D上的
有界函数・ (2) 最大值和最小值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，在D 上一定有最大值和最小值.
域内连续， 有一阶及二阶连续偏导数，
又
f
x
(Xo,
Vo)
= 0，
f (Xo,
Vo)
= 0，令
f
XX (X0
, V0 ) = A， f , xy (X0 V0 ) = B，f , yy (X0 V0 ) =
则C，f ( x, V )在点(x0, y0)处是否取得极值的条件如下:
一 ⑴ A当CA < 0时B有2极> 大0时值有，极当值A,> 0时有极小值;
经济数学
微积分
知识总结
多元复合函数的偏导数与全微 分 （详细分析）
12.复合函数求导法则
定理 如果函数〃 =00）及卩=“0）都在点t可 导，函数z = 在对应点（払y）具有连续偏
导
数，则复合函数z = «/W）脚）］在对应点t可
导，且其导数可用下列公式计算：
dz dz du dz dv
—=---1---.
（ ） 一映射为定义在D上的一个n元（实 值）函
数，记作/ : D u Rn T R 或y = f
X
= f（X”乂2,...，xn），xE D 其中X” X 2,…,
乂〃称为自变量，/称为因变量, D称为函数
定义域， D= f xx E D 称为函数
（ ） 值域，并且称Rn+1中的子集 X”X2,…,Xn,yy = f X,xE D
=A
x T x0 y T y。
(或 f (x,y) T A (p T 0)这里Q =\ PPJ \).
经济数学——微积分
经济数学
说明：
(1) 定义中p -> P0的方式是任意的；
(2) 二元函数的极限也叫二重极限lim f (x,y); x—
x0 y—
yo
(3) 二元函数的极限运算法则与一元函数类似.
为函数 y = f x（在D上）的图形（或图
像）。
微积分
3.多元函数的极限
定义 设函数z = f (X, y)的定义域为 D, P0(x0,y0)是其内点金边界点，如果对于任意 给 定的正数,总存在正数时使得对于适合不 等式0 v| PPo \=^l(x- xo) + (y- yo)2 v 8的_ 切点，都有\f (x,y) - A \v 成立，则称A为函 数z = f (x, y) 当x T x0，y T y0时的极限， 记为 lim f (x, y)
4.极限的运算
— 设 P Po 时，f (P) — A, f
(P) — B，则 (1)f ( P ) 土 g(P) - A 土 B; (2) f 微(积P分)・ g(P) - A ・ B;
5.多元函数的连续性
定义 设函数f (x, y)的定义域为点集
D, Po(x。,y。)是D的内点或边界点且Po e D， 如果lim f ( P ) = f (《)则称函数f ( x, y )在
经济数学——微积分
(2) 区域
连通的开集称为区域或开区域.
(3) n维空间
设〃为取定的一个正整数，我们称"元数组
(x1,x2< >xn)的全体为〃维空间，而每个〃元 数组
称为〃维空间中的一个点， 数£称为该点的爲，个 坐标.
经济数学
微积分
经济数学
2.多元函数概念
定义设D是更的一个非空子集，从D到实数集R 的任
的两个偏 导数存在，且可用下列公式计算
dz dz du dz dv
= I---，
dx du dx dv dx dz dz du dz dv
=+.
dy du dy dv dy
微积分
13.全微分形式不变性
貿 无论z是自变量u、 的函数或中间变量
u、 的函数，它的全微分形式是一样的.
dz
=dv—. ddwu
就是x、y的函数，它就称为函数z = f(x,y)对 自
牛’知 变量x的偏导数， 记作半，
或厶(x
，2)・
ox ox
同理可以定义函数z = f{x.y)对自变量y的偏 导
数，记作*，孔或人3,丁).
高阶偏导数
函数z = f(X, y)的二阶偏导数为
、 ^(dz
dx dx
丿 ，丿 丿 dfdz )
|4=fxx (x, y),:dy 9
多元函数连续、可导、可微的关系
经济数学
微积分
函数可微 偏导数连续
11.全微分的应用
主要方面:近似计算与误差估计.
当|Ax|, \Ay\很小时，有
& « dz = fx ( x, y )Ax + fy ( x, y )Ay,
f (x + Ax, y + Ay)
f (x, y)+fx(x, y)寥+fy(x, y )颂.
(3) 介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，如果
在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取 得介于这两值之间的任何值至少一次.
微积分
知识总结
多元函数的偏导数与全微 分 （详细分析）
7■偏导数概念
定义设函数z = f(x,y)在点(x0,j0)的某一邻 域内有定义，当丿固定在儿而x在X。处有增量 Ax时，相应地函数有增量
+
dv
—
经济数学
微积分
14.隐函数的求导法则
⑴ F (x, y) = 0 隐函数存在定理1设函数F(x,y)在点尸(X。J。)的
某一邻域内具有连续的偏导数，且歹(X°Jo) = O, 1(Xo5)
莉，则方程F(x,y) = 0在点P(x°』)的 某一邻域内恒
能唯一确定一个单值连续且具有连续 导数的函 数j = /(x),它满足条件j0 = 并 /(x0), 有 虹里
同理可定义函数z = f (x, y)在点(x o, y o)处对
y 的偏导数，为
lim
Ay T
f
(x o,
y o + Ay) y o) Ay
-f
(x o,
O
记为
dz
dy
x
=
9
xo
df
, 9 dy x = x ) o y=y o
z
y
或 x = x o
f
y
x
(
o
o.
y
y=y o
=y y o
微积分
如果函数2 = 在区域与内任一点 (x,y)处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数
多元函数的极值
知识总结