数字电路讲义 - 第2讲(逻辑代数及其化简方法)
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数字电路逻辑函数以及简化ppt课件
所得新函数表达式叫做L的对偶式，用L*表示。
对偶规则的基本内容是：如果两个逻辑函数表 达式相等，那么它们的对偶式也一定相等。
资金是运 动的价 值，资 金的价 值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
3 .反演规则
L=ABCD
解：L=ABCD
在应用反演规则求反函数时要注意以下两点： （1）保持运算的优先顺序不变，必要时加括号表明，如例3。 （2）变换中，几个变量（一个以上）的公共非号保持不变，
如例4。
资金是运 动的价 值，资 金的价 值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
2.2 逻辑函数的简化
2.2.1 逻辑函数的代数简化法
1．逻辑函数式的常见形式
一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形式，并且 能互相转换。例如：
其中，与—或表达式是逻辑函数的最基本表达形式。
2．逻辑函数的最简“与—或表达式” 的标准
（1）与项最少，即表达式中“+”号最少。 （2）每个与项中的变量数最少，即表达式中“· ”号最少。
二、逻辑代数的基本规则
1 .代入规则
对于任何一个逻辑等式，以某个逻辑变量或逻辑函数同时取代等 式两端任何一个逻辑变量后，等式依然成立。 例如，在反演律中用BC去代替等式中的B，则新的等式仍成立：
AB =A C B= C A B C
2 .对偶规则
将一个逻辑函数L进行下列变换： ·→＋，＋ →· 0 → 1，1 → 0
来描述，则可写为： L＝A+B
资金是运 动的价 值，资 金的价 值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
对偶规则的基本内容是：如果两个逻辑函数表 达式相等，那么它们的对偶式也一定相等。
资金是运 动的价 值，资 金的价 值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
3 .反演规则
L=ABCD
解：L=ABCD
在应用反演规则求反函数时要注意以下两点： （1）保持运算的优先顺序不变，必要时加括号表明，如例3。 （2）变换中，几个变量（一个以上）的公共非号保持不变，
如例4。
资金是运 动的价 值，资 金的价 值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
2.2 逻辑函数的简化
2.2.1 逻辑函数的代数简化法
1．逻辑函数式的常见形式
一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形式，并且 能互相转换。例如：
其中，与—或表达式是逻辑函数的最基本表达形式。
2．逻辑函数的最简“与—或表达式” 的标准
（1）与项最少，即表达式中“+”号最少。 （2）每个与项中的变量数最少，即表达式中“· ”号最少。
二、逻辑代数的基本规则
1 .代入规则
对于任何一个逻辑等式，以某个逻辑变量或逻辑函数同时取代等 式两端任何一个逻辑变量后，等式依然成立。 例如，在反演律中用BC去代替等式中的B，则新的等式仍成立：
AB =A C B= C A B C
2 .对偶规则
将一个逻辑函数L进行下列变换： ·→＋，＋ →· 0 → 1，1 → 0
来描述，则可写为： L＝A+B
资金是运 动的价 值，资 金的价 值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
数字电子技术优质课件精选——《逻辑代数的运算法则及其化简》
站，站内有两台发电机G1和G2。G1的容量是G2的 两倍。如果一个车间开工，只需G2运行即可满足 要求；如果两个车间开工，只需G1运行；如果三 个车间同时开工，则G1和 G2均需运行。试画出 控制G1和 G2运行的逻辑图。
解：设A、B、C分别表示三个车间的开工状态
开工为1，不开工为0； G1和G2运行为1，停机为0。
010 011 100
AB BC CA
101
G2 A BC ABC ABC ABC
110 111
G1 G2
00 01
01 10 01 10 10 11
ABC ABC ABC ABC
⑶由逻辑式画出逻辑图 G1
&
20.6 组合逻辑电路的分析与综合
G2
&
&
&
&
&
&
&
&
AB C
AB
C
本章作业
G1 G2
00 01
01 10 01 10 10 11
20.6 组合逻辑电路的分析与综合
⑵ 由逻辑状态表写出逻辑式并化简
G1 ABC ABC ABC ABC A B C
G2 A BC ABC ABC ABC 0 0 0
用与非门构成逻辑电路
001
G1 AB BC CA
AB BC CA
B.
20.6 组合逻辑电路的分析与综合
1
&
A
& Y
A•B
1
B
. ⑴ 写出逻辑式 Y = AB AB = AB +AB
20.6 组合逻辑电路的分析与综合
⑵ 列逻辑状态表
AB
Y
解：设A、B、C分别表示三个车间的开工状态
开工为1，不开工为0； G1和G2运行为1，停机为0。
010 011 100
AB BC CA
101
G2 A BC ABC ABC ABC
110 111
G1 G2
00 01
01 10 01 10 10 11
ABC ABC ABC ABC
⑶由逻辑式画出逻辑图 G1
&
20.6 组合逻辑电路的分析与综合
G2
&
&
&
&
&
&
&
&
AB C
AB
C
本章作业
G1 G2
00 01
01 10 01 10 10 11
20.6 组合逻辑电路的分析与综合
⑵ 由逻辑状态表写出逻辑式并化简
G1 ABC ABC ABC ABC A B C
G2 A BC ABC ABC ABC 0 0 0
用与非门构成逻辑电路
001
G1 AB BC CA
AB BC CA
B.
20.6 组合逻辑电路的分析与综合
1
&
A
& Y
A•B
1
B
. ⑴ 写出逻辑式 Y = AB AB = AB +AB
20.6 组合逻辑电路的分析与综合
⑵ 列逻辑状态表
AB
Y
数字电路 第二章 逻辑代数与逻辑函数化简
= (A + B)(A + C)
= A+ B+ A+ C
或与式转换为与或非式
F = (A + B)(A + C)
= A+ B+ A+ C
= AB + AC
§2.4.3 逻辑函数的代数法化简
化简的意义：将逻辑函数化成尽可能简单的形式，以减少逻辑门 化简的意义：将逻辑函数化成尽可能简单的形式，
电路的个数，简化电路并提高电路的稳定性。 电路的个数，简化电路并提高电路的稳定性。
A + AB = A + B
E = A+ B+ C+ BCD+ BC = A + B + C+ C(BD+ BE) = AB + C+ BE+ BD
§2.5.1 逻辑函数的最小项表达式 公式化简法评价：
优点：变量个数不受限制。 缺点：目前尚无一套完整的方法，结果是否最简有时不 易判断。
卡诺图是按一定规则画出来的方框图，是逻辑 函数的图解化简法，同时它也是表示逻辑函数 的一种方法。 利用卡诺图可以直观而方便地化简逻辑函数。 它克服了公式化简法对最终化简结果难以确定 等缺点。
__
__________ __________ _
A + B + C+⋯ = ABC⋯
逻辑代数的基本定律： 逻辑代数的基本定律： P21，熟记 ，
§2.3.2 逻辑代数的基本规则
代入规则
AB = A + B
____
A ↔F = AC
反演规则
____
⇒ ACB = AC + B
F = AC+ BCD+ 0
= A+ B+ A+ C
或与式转换为与或非式
F = (A + B)(A + C)
= A+ B+ A+ C
= AB + AC
§2.4.3 逻辑函数的代数法化简
化简的意义：将逻辑函数化成尽可能简单的形式，以减少逻辑门 化简的意义：将逻辑函数化成尽可能简单的形式，
电路的个数，简化电路并提高电路的稳定性。 电路的个数，简化电路并提高电路的稳定性。
A + AB = A + B
E = A+ B+ C+ BCD+ BC = A + B + C+ C(BD+ BE) = AB + C+ BE+ BD
§2.5.1 逻辑函数的最小项表达式 公式化简法评价：
优点：变量个数不受限制。 缺点：目前尚无一套完整的方法，结果是否最简有时不 易判断。
卡诺图是按一定规则画出来的方框图，是逻辑 函数的图解化简法，同时它也是表示逻辑函数 的一种方法。 利用卡诺图可以直观而方便地化简逻辑函数。 它克服了公式化简法对最终化简结果难以确定 等缺点。
__
__________ __________ _
A + B + C+⋯ = ABC⋯
逻辑代数的基本定律： 逻辑代数的基本定律： P21，熟记 ，
§2.3.2 逻辑代数的基本规则
代入规则
AB = A + B
____
A ↔F = AC
反演规则
____
⇒ ACB = AC + B
F = AC+ BCD+ 0
数字逻辑电路 2逻辑函数及其简化
图 2-8
(3) “与或非”逻辑
“与或非”逻辑是“与”、 “或”、 “非”三种基本
逻辑的组合。 其表达式为：
F A B C D
实现“与或非”逻辑运算的电路叫“与或非门”。其逻 辑符号如图2-9所示。
A B C D A B F C D (a) (b)
＋
F
A B C D
&
≥1 F
(c)
(a) 常用符号； (b) 国外流行符号； (c) 国标符号 图 2-9
2.1.3 真值表与逻辑函数
在实际问题中，基本逻辑运算很少单独出现。
a
A
b
B
开关A 开关B
灯
c
c a a
d
b d b
亮
灭 灭 亮
c
d
图2-14 楼道灯开关示意图
设逻辑变量
开关A 开关B c c a a d b d b 灯 亮 灭 灭 亮
取P=1 表示灯亮 P=0 表示灯灭 开关A和B接a,b时为1 开关A和B接c,d时为0 A
表 2-1 与逻辑的 真值表
A 假 假 真 真
(a) B
假 真 假 真
(b)
F 假 假 假 真 A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 F 0 0 0 1
1. 与逻辑(与运算、 逻辑乘)
由表2-1可知，上述三个语句之间的因果关系属于与逻 辑。 其逻辑表达式(也叫逻辑函数式)为：
F=A·B
读作“F等于A乘B”。在不致于混淆的情况下，可以把符
号“·”省掉。在有些文献中，也采用∩、∧、&等符号来
表示逻辑乘。 由表2-1的真值表可知，逻辑乘的基本运算规则为： 0·0=0 0·A=0 0·1=0 1·A=A 1·0=0 A·A=A 1·1=1
(3) “与或非”逻辑
“与或非”逻辑是“与”、 “或”、 “非”三种基本
逻辑的组合。 其表达式为：
F A B C D
实现“与或非”逻辑运算的电路叫“与或非门”。其逻 辑符号如图2-9所示。
A B C D A B F C D (a) (b)
＋
F
A B C D
&
≥1 F
(c)
(a) 常用符号； (b) 国外流行符号； (c) 国标符号 图 2-9
2.1.3 真值表与逻辑函数
在实际问题中，基本逻辑运算很少单独出现。
a
A
b
B
开关A 开关B
灯
c
c a a
d
b d b
亮
灭 灭 亮
c
d
图2-14 楼道灯开关示意图
设逻辑变量
开关A 开关B c c a a d b d b 灯 亮 灭 灭 亮
取P=1 表示灯亮 P=0 表示灯灭 开关A和B接a,b时为1 开关A和B接c,d时为0 A
表 2-1 与逻辑的 真值表
A 假 假 真 真
(a) B
假 真 假 真
(b)
F 假 假 假 真 A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 F 0 0 0 1
1. 与逻辑(与运算、 逻辑乘)
由表2-1可知，上述三个语句之间的因果关系属于与逻 辑。 其逻辑表达式(也叫逻辑函数式)为：
F=A·B
读作“F等于A乘B”。在不致于混淆的情况下，可以把符
号“·”省掉。在有些文献中，也采用∩、∧、&等符号来
表示逻辑乘。 由表2-1的真值表可知，逻辑乘的基本运算规则为： 0·0=0 0·A=0 0·1=0 1·A=A 1·0=0 A·A=A 1·1=1
数字电子技术第2章 逻辑代数和函数化简
2.2.3 逻辑表达式的类型
核心
Y AB AC BC 与或式
与非-与非式 或与非式 与或非式 或与式
AB AC ( A B)( A C)
AB AC BC (A B) (A C)
AB AC
11
1
101 0 1
11
1
110 0 1
11
1
111 1 1
11
1
相等
4. 逻辑代数的一些特殊定理
同一律
A ·A = A A + A = A
德 摩根定理 A B A B A B A B
还原律
AA
[例 1. 1. 2] 证明：德 摩根定理
A B A B A B A B A B A B A B A B
A A A B AB B B A B AB 即 A B = A⊙B 同理可证 A⊙B A B
6. 关于异或运算的一些公式
异或 A B AB AB A B = A⊙B
同或 A⊙B AB A B A⊙B A B
(1) 交换律 (2) 结合律 (3) 分配律
A ≥1
B
Y2 A B
(3) 与或非逻辑
A
(AND – OR – INVERT) B
C
Y3 AB CD D
Y1、Y2 的真值表
Y1
A B Y1 Y2
00 11
01 10
Y2
10 10 11 00
& ≥1
Y3
(真值表略)
(4) 异或逻辑 A
=1
(Exclusive—OR) B
Y4 A B AB AB
第2章 逻辑代数与逻辑化简
L ABC ABC ABC ABC
反之，由函数表达式也可以转换成真值表。 例2 写出函数 L A B
A B
真值表。
解：该函数有两个变量，有4种取值的可能 组合，将他们按顺序排列起来即得真值表。
逻辑函数及其表示方法（4）
3．逻辑图——逻辑图是由逻辑符号及它们之间的连线而构成的图形。 由函数表达式可以画出其相应的逻辑图。 例3 画出下列函数的逻辑图： 解：可用两个非门、两个与门 和一个或门组成。
∴等式成立 同理可得
AB A C BCD AB A C
逻辑代数的运算规则（4）
基本逻辑定理 （1）对偶定理 若已知等式
F G
1 0
F
1 0
0 1
" " " " " " " "
F
D
G
0 1
F的对偶式
" " " G的对偶式 " " " " "
L A B A B
由逻辑图也可以写出其相应 的函数表达式。 例4 写出如图所示逻辑图的函数表达式。 解：可由输入至输出逐步 写出逻辑表达式：
L AB BC AC
逻辑函数及其表示方法（5）
逻辑函数的标准形式 考查逻辑函数： F f ( A, B) AB AB AB 化简，有： 最小项 A AB 0 AB 0 AB 1 AB 1 B 0 1 0 1 标准“与或” 式
0 1 0 1
A 0 1
Y 1 0
0 1 0 1
&
≥1
A A
1
Y Y
逻辑 符号
数字电子技术第2章逻辑代数基础简明教程PPT课件
2.2.2 逻辑函数的最小项表达式
最小项通常用m表示，其下标为最小项的编号。编号的方 法如下：在每一个最小项中，原变量取值为1，反变量取 值为0，则每一个最小项对应一组二进制数，该二进制数 所对应的十进制数就是这个最小项的编号。
三变量的最小项编号表
2.2.3 逻辑函数的代数化简法
代数法化简是指直接利用逻辑代数的基本定律和规则，对 逻辑函数式进行变换，消去多余项和多余变量，以获得最 简函数式的方法。判断与或表达式是否最简的条件是： (1) (2) 每个乘积项中变量最少。 代数法化简没有固定的步骤，常用的化简方法有：并项法、 吸收法、消因子法、消项法和配项法5种。
2．最小项的性质 (1) 任何一个最小项，只有一组与之对应的变量组合使其 取值为1，其他各种变量组合均使其取值为0。 (2) n变量的所有最小项之和恒为1。因为无论输入变量如 何取值，总有某个最小项的值为1，因此其和必定为1。 (3) 任意两个最小项之积为0。 (4) 具有逻辑相邻性的两个最小项相加，可合并为一项， 并消去一个不同因子。
数字电子技术
第2章 逻辑代数基础
本章知识结构图
基本定律
逻 辑 代 数 基 础
基本规则
逻辑函数表示方法
逻辑函数化简
代数法
实例电路分析
卡诺图法
第2章 逻辑代数基础
2.1 逻辑代数
2.2 逻辑函数的化简法 2.3 实例电路分析
2.1 逻辑代数
2.1.1 逻辑代数的基本定律和恒等式
1．基本定律
A B C A B A C
(5) 重叠律 (6) 互补律
逻辑函数及其化简
第2章逻辑函数及其化简内容提要本章是数字逻辑电路的基础，主要内容包含：（1）基本逻辑概念，逻辑代数中的三种基本运算（与、或、非）及其复合运算（与非、或非、与或非、同或、异或等）。
（2）逻辑代数运算的基本规律（变量和常量的关系、交换律、结合律、分配律、重叠律、反演律、调换律等）。
（3）逻辑代数基本运算公式及三个规则（代入规则、反演规则和对偶规则）。
（4）逻辑函数的五种表示方法（真值表法、表达式法、卡诺图法、逻辑图法及硬件描述语言）及其之间关系。
本章主要讲述了前三种。
（5）逻辑函数的三种化简方法（公式化简法、卡诺图法和Q–M法）。
教学基本要求要求掌握：（1）逻辑代数的基本定律和定理。
（2）逻辑问题的描述方法。
（3）逻辑函数的化简方法。
重点与难点本章重点：（1）逻辑代数中的基本公式、基本定理和基本定律。
（2）常用公式。
（3）逻辑函数的真值表、表达式、卡诺图表示方法及其相互转换。
（4）最小项和最大项概念。
（5）逻辑函数公式化简法和卡诺图化简法。
主要教学内容2.1 逻辑代数中的三种基本运算和复合运算2.1.1 三种基本运算2.1.2 复合运算2.2 逻辑代数运算的基本规律2.3 逻辑代数的常用运算公式和三个规则2.3.1 逻辑代数的常用运算公式2.3.2 逻辑代数的三个规则2.4 逻辑函数及其描述方法2.4.1 逻辑函数2.4.2 逻辑函数及其描述方法2.4.3 逻辑函数的标准形式2.4.4 逻辑函数的同或、异或表达式2.5 逻辑函数化简2.5.1 公式法化简2.5.2 卡诺图化简2.1 逻辑代数中的三种基本运算和复合运算2.1.1 三种基本运算1. 与运算（逻辑乘）2. 或运算（逻辑加）3. 非运算（逻辑非）2.1.2 复合运算1. 与非运算与非运算是与运算和非运算的组合，先进行与运算，再进行非运算。
2. 或非运算或非运算是或运算和非运算的组合，先进行或运算，再进行非运算。
3. 与或非运算与或非运算是与运算、或运算和非运算的组合，先进行与运算，再进行或运算，最后进行非运算。
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KM的每个单元对应唯一一个最小项 任何相邻(上下左右)的两个单元对应的最小项只有一个变量分别取0 和1, 其它变量都相同,所以如果这两个单元都为1, 那么可以消除这个 变量 (KM的相邻特性) 每行和每列的首尾两个单元仍具有相邻特性, 矩形对角的四个单元也 具有相邻特性 (KM的循环邻接特点)
00
01
11
10
00 01 11 10 1 1 1 1
00 1 x x 01 11 10 1 1 1 1 1 1 1
x x x
(1)
(2)
从练习4中你发现了什么? Hint: 逻辑函数的最简式不是唯一的!
comparator
X>Y
max(X, Y)
mux
mux mux
min(X, Y)
《数字电路》讲义
第2讲 逻辑代数和逻辑函数的化简方法
教学内容: 教材第2章的2.1和2.2节 教学目的: 掌握逻辑代数的基本规则和定律, 以及逻辑函数的化简方法 要 求: 重点掌握逻辑代数的基本定律和逻辑函数的化简方法 难 点: 卡诺图法化简逻辑函数
00
01 0
11 0
10
得到非函数 L I1 I 2 I 3 , 由 Mogen 定理得 L I1 I 2 I 3
用KM法化简逻辑函数
I3 0 0 0 0 I2 0 0 1 1 I1 0 1 0 1 L 0 1 1 1 I3 1 1 1 1 I2 0 0 1 1 I1 0 1 0 1
11
10
00
1
01
11
10 1
00
1
01
11
10 1
00 √ 0 01 11 1
3
12 √ 8
√ √
5 7 613 15Fra bibliotek9 11
1 1
1 1
1 1
1 1 1
10 √ 2
14 √10
Step 3
最简的逻辑函数L I1 I 3 I1 I 3
注意: 写乘积项时, 还有些技巧, 你发现了吗? Hint: 哪些变量的原和非都在包围圈内?
用KM法化简逻辑函数
I4 I3 I2 I1 00 01 4
√ √ √
示例2
化简 L(I4, I3, I2, I1)=∑m(0~3, 5~11, 13~15)
11 10 I4 I3 I2 I1 00 01 11 10 00
1
01
11
10 1
I4 I3 I2 I1 00 01 11 10
00
1
01
11
练习1和2
已知L的真值表如下, 用KM法给出其最简逻辑函数
L 1 0 0 1
用KM法写出L的最简表达式
L ABCD D( BC D) ( A C ) B D A( B C )
L I 4 I 3 I 2 I1 I 1 ( I 3 I 2 I 1 ) ( I 4 I 2 ) I 3 I1 I 4 ( I 3 I 2 )
m0
C m2 m3 m6 m7
C m4 m5 C
10 0010 0110 1110 1010 AB 00 CD 00 01 4 5 11 10
0
m1
01 4 5 7 6
11 12 13 15 14
10 8 9 11 10
C 0 D 1 2 3 D
0
1
3
2 3
6 7
1
2
讨论下面问题? : (1)这里的画法和教材 的方法有区别. 它们等 价吗? 一个特定逻辑 函数的KM是唯一的 吗? Hint:p.51第1行 (2) 标出3变量KM中的 属于B变量的单元; (3) 标出4变量的KM中 每个原变量的单元; (4) 从其中发现什么规 律? 5变量(变量名为 ABCDE)的KM应该怎 么画? Hint: 2张图
逻辑代数的基本定律
与一般代数相似, 逻辑代数有以下自明的基本定律
0-1律: A+0=A, A+1=A, A+A=A, A+A=1, A·0=0, A·1=A, A·A=A, A·A=0 结合,
交换和分配律
Mogen定理 (证明见p.41表2.1.2)
A B C A B C A B C A B C
KM法的三步中, 画包围圈最关键, 要遵循以下原则
牢记KM的循环邻接特点, 尤其是矩形对角和行/列首尾单元 任意单元可以位于2个或更多不同的包围圈内, 包围圈内的单元数必 定为2n个, n=0( 0(即无相同邻项的孤项), ) 1 1, 2 2, … 每个包围圈内的单元数尽可能多, 并且让最终的包围圈个数尽可能少 (因为: 越大的包围圈, 被消除的变量越多; 越少的包围圈个数, 或项越少) 如果KM包含某些无关的最小项, 尽可能利用无关项扩大包围圈
2 n 1
最小项的性质
用最小项表示逻辑函数 L( I n ,, I1 ) i 0 mi
其中In, …, , I1为降序排列的n个输入变量 mi为最小项编号, i
n
k 1 I 2 k 1 k
因为“0+1=1”, “0+1=1” 一般略去为0的最小项, 简写如L(I3, I2, I1)=∑m(1,5,7) (1 5 7)
反演规则应用
示例
写出 L A BC D E 的非函数, 并验证之 解 L A ( B C ) DE A B C D E L /L 用真值表来验证 用真值表来验
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 … 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0
I1 0 1 0 1 0 1 0 1
L 0 1 1 1 0 1 0 1
I4 1 1 1 1 1 1 1 1
I3 0 0 0 0 1 1 1 1
I2 0 0 1 1 0 0 1 1
I1 0 1 0 1 0 1 0 1
L 0 0 0 1 0 1 0 0
用KM表示逻辑函数的特点
逻辑函数真值表的另一种图形表示, KM有以下特性
已知逻辑函数或真值表画KM
(1) 逻辑函数为L ( I 3 I1 ) I 2，给出其KM (2) 逻辑函数L的真值表如下，给出其KM
Input Output Input Output
练习
I4 0 0 0 0 0 0 0 0
I3 0 0 0 0 1 1 1 1
I2 0 0 1 1 0 0 1 1
10 1
00 √ 0 01 √ 1 11 √ 3 10
√
12 √ 8
√
5 7 6
13 √ 9 15 √11 14
√
1
1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1
1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
√ √
2
10
1
1
I4 I3 I2 I1 00 01 11 10
00
01 0
11 0
10
I4 I3 I2 I1 00 01 11 10
用KM表示逻辑函数
基本方法
Karnaugh maps(KM)是用图形方法表示逻辑函数的真值表 2 3和4个变量逻辑函数的KM表示及其形成过程如下 2,3
C D 0 1 0 00 01 1 10 11 BC 00 01 11 10 D 0 000 010 110 100 1 001 011 111 101 AB 00 CD 01 11 10 00 0000 0100 1100 1000 01 0001 0101 1101 1001 11 0011 0111 1111 1011 C D D m0 m1 C m2 m3 D D
吸收律
A AB A, AA B A, A AB A B, ( A B) ( A C ) A BC AB AC BC AB AC, AB AC BCD AB AC
逻辑代数的基本规则
逻辑代数运算优先级: 先括号, 再是与, 最后是或 (简记为先乘后加) 逻辑等式两边的任意变量用 个逻辑函数代替, 等式仍成 逻辑等式两边的任意变量用一个逻辑函数代替 立, 称这个性质为代入规则 根据Mogen定理, 已知原函数L, 其对应的非函数是将原函数 表达式中的“与变或, 或变与”, 再将“原变量变为非变量, 非 变量变为原变量”, 并将“1变0, 0变1”所得到的表达式, 称这 个规则为反演规则 (注意操作顺序,且保持非变量以外的非不变) 已知逻辑函数L, 将L中的“与变或, 或变与”, 并将“1变0, 0变 1”所得到的表达式, 称为L的对偶, 记为L’. 如果某逻辑等式 成立, 则等式两边的对偶式仍相等, 称这种规则为对偶规则
用KM法化简逻辑函数
Step 1
I4 I3 I2 I1 I4 I3 I2 I1 00 01 11 10 1
示例1
化简 L(I4, I3, I2, I1)=∑m(0, 2, 5, 7, 8, 10, 13, 15)
Step 2
I4 I3 I2 I1 00 01 11 1 10 1
00
01 4
√ √
请你给出验证结果. 再用 与门, 或门,非门画出逻辑 电路.
? 问: 对上述的逻辑函数, 假设只用“或非门”元件, 我们该如何做?
Karnaugh maps相关的概念
逻辑变量的最小项(某些参考书上称其对偶项为 “最大项”)
n个逻辑变量有2n个最小项(每一项中每个变量的原/非变量仅出现一次) 任意最小项, 输入变量只有一组值可以使其为1, 该值使其它所有最 小项为0. 因此, 无论输入变量取何值, 任意两个最小项之积为0; 全体 最小项之和为1
00
01
11
10
00 01 11 10 1 1 1 1
00 1 x x 01 11 10 1 1 1 1 1 1 1
x x x
(1)
(2)
从练习4中你发现了什么? Hint: 逻辑函数的最简式不是唯一的!
comparator
X>Y
max(X, Y)
mux
mux mux
min(X, Y)
《数字电路》讲义
第2讲 逻辑代数和逻辑函数的化简方法
教学内容: 教材第2章的2.1和2.2节 教学目的: 掌握逻辑代数的基本规则和定律, 以及逻辑函数的化简方法 要 求: 重点掌握逻辑代数的基本定律和逻辑函数的化简方法 难 点: 卡诺图法化简逻辑函数
00
01 0
11 0
10
得到非函数 L I1 I 2 I 3 , 由 Mogen 定理得 L I1 I 2 I 3
用KM法化简逻辑函数
I3 0 0 0 0 I2 0 0 1 1 I1 0 1 0 1 L 0 1 1 1 I3 1 1 1 1 I2 0 0 1 1 I1 0 1 0 1
11
10
00
1
01
11
10 1
00
1
01
11
10 1
00 √ 0 01 11 1
3
12 √ 8
√ √
5 7 613 15Fra bibliotek9 11
1 1
1 1
1 1
1 1 1
10 √ 2
14 √10
Step 3
最简的逻辑函数L I1 I 3 I1 I 3
注意: 写乘积项时, 还有些技巧, 你发现了吗? Hint: 哪些变量的原和非都在包围圈内?
用KM法化简逻辑函数
I4 I3 I2 I1 00 01 4
√ √ √
示例2
化简 L(I4, I3, I2, I1)=∑m(0~3, 5~11, 13~15)
11 10 I4 I3 I2 I1 00 01 11 10 00
1
01
11
10 1
I4 I3 I2 I1 00 01 11 10
00
1
01
11
练习1和2
已知L的真值表如下, 用KM法给出其最简逻辑函数
L 1 0 0 1
用KM法写出L的最简表达式
L ABCD D( BC D) ( A C ) B D A( B C )
L I 4 I 3 I 2 I1 I 1 ( I 3 I 2 I 1 ) ( I 4 I 2 ) I 3 I1 I 4 ( I 3 I 2 )
m0
C m2 m3 m6 m7
C m4 m5 C
10 0010 0110 1110 1010 AB 00 CD 00 01 4 5 11 10
0
m1
01 4 5 7 6
11 12 13 15 14
10 8 9 11 10
C 0 D 1 2 3 D
0
1
3
2 3
6 7
1
2
讨论下面问题? : (1)这里的画法和教材 的方法有区别. 它们等 价吗? 一个特定逻辑 函数的KM是唯一的 吗? Hint:p.51第1行 (2) 标出3变量KM中的 属于B变量的单元; (3) 标出4变量的KM中 每个原变量的单元; (4) 从其中发现什么规 律? 5变量(变量名为 ABCDE)的KM应该怎 么画? Hint: 2张图
逻辑代数的基本定律
与一般代数相似, 逻辑代数有以下自明的基本定律
0-1律: A+0=A, A+1=A, A+A=A, A+A=1, A·0=0, A·1=A, A·A=A, A·A=0 结合,
交换和分配律
Mogen定理 (证明见p.41表2.1.2)
A B C A B C A B C A B C
KM法的三步中, 画包围圈最关键, 要遵循以下原则
牢记KM的循环邻接特点, 尤其是矩形对角和行/列首尾单元 任意单元可以位于2个或更多不同的包围圈内, 包围圈内的单元数必 定为2n个, n=0( 0(即无相同邻项的孤项), ) 1 1, 2 2, … 每个包围圈内的单元数尽可能多, 并且让最终的包围圈个数尽可能少 (因为: 越大的包围圈, 被消除的变量越多; 越少的包围圈个数, 或项越少) 如果KM包含某些无关的最小项, 尽可能利用无关项扩大包围圈
2 n 1
最小项的性质
用最小项表示逻辑函数 L( I n ,, I1 ) i 0 mi
其中In, …, , I1为降序排列的n个输入变量 mi为最小项编号, i
n
k 1 I 2 k 1 k
因为“0+1=1”, “0+1=1” 一般略去为0的最小项, 简写如L(I3, I2, I1)=∑m(1,5,7) (1 5 7)
反演规则应用
示例
写出 L A BC D E 的非函数, 并验证之 解 L A ( B C ) DE A B C D E L /L 用真值表来验证 用真值表来验
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 … 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0
I1 0 1 0 1 0 1 0 1
L 0 1 1 1 0 1 0 1
I4 1 1 1 1 1 1 1 1
I3 0 0 0 0 1 1 1 1
I2 0 0 1 1 0 0 1 1
I1 0 1 0 1 0 1 0 1
L 0 0 0 1 0 1 0 0
用KM表示逻辑函数的特点
逻辑函数真值表的另一种图形表示, KM有以下特性
已知逻辑函数或真值表画KM
(1) 逻辑函数为L ( I 3 I1 ) I 2，给出其KM (2) 逻辑函数L的真值表如下，给出其KM
Input Output Input Output
练习
I4 0 0 0 0 0 0 0 0
I3 0 0 0 0 1 1 1 1
I2 0 0 1 1 0 0 1 1
10 1
00 √ 0 01 √ 1 11 √ 3 10
√
12 √ 8
√
5 7 6
13 √ 9 15 √11 14
√
1
1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1
1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
√ √
2
10
1
1
I4 I3 I2 I1 00 01 11 10
00
01 0
11 0
10
I4 I3 I2 I1 00 01 11 10
用KM表示逻辑函数
基本方法
Karnaugh maps(KM)是用图形方法表示逻辑函数的真值表 2 3和4个变量逻辑函数的KM表示及其形成过程如下 2,3
C D 0 1 0 00 01 1 10 11 BC 00 01 11 10 D 0 000 010 110 100 1 001 011 111 101 AB 00 CD 01 11 10 00 0000 0100 1100 1000 01 0001 0101 1101 1001 11 0011 0111 1111 1011 C D D m0 m1 C m2 m3 D D
吸收律
A AB A, AA B A, A AB A B, ( A B) ( A C ) A BC AB AC BC AB AC, AB AC BCD AB AC
逻辑代数的基本规则
逻辑代数运算优先级: 先括号, 再是与, 最后是或 (简记为先乘后加) 逻辑等式两边的任意变量用 个逻辑函数代替, 等式仍成 逻辑等式两边的任意变量用一个逻辑函数代替 立, 称这个性质为代入规则 根据Mogen定理, 已知原函数L, 其对应的非函数是将原函数 表达式中的“与变或, 或变与”, 再将“原变量变为非变量, 非 变量变为原变量”, 并将“1变0, 0变1”所得到的表达式, 称这 个规则为反演规则 (注意操作顺序,且保持非变量以外的非不变) 已知逻辑函数L, 将L中的“与变或, 或变与”, 并将“1变0, 0变 1”所得到的表达式, 称为L的对偶, 记为L’. 如果某逻辑等式 成立, 则等式两边的对偶式仍相等, 称这种规则为对偶规则
用KM法化简逻辑函数
Step 1
I4 I3 I2 I1 I4 I3 I2 I1 00 01 11 10 1
示例1
化简 L(I4, I3, I2, I1)=∑m(0, 2, 5, 7, 8, 10, 13, 15)
Step 2
I4 I3 I2 I1 00 01 11 1 10 1
00
01 4
√ √
请你给出验证结果. 再用 与门, 或门,非门画出逻辑 电路.
? 问: 对上述的逻辑函数, 假设只用“或非门”元件, 我们该如何做?
Karnaugh maps相关的概念
逻辑变量的最小项(某些参考书上称其对偶项为 “最大项”)
n个逻辑变量有2n个最小项(每一项中每个变量的原/非变量仅出现一次) 任意最小项, 输入变量只有一组值可以使其为1, 该值使其它所有最 小项为0. 因此, 无论输入变量取何值, 任意两个最小项之积为0; 全体 最小项之和为1