人教版初中数学八年级下册《第十六章二次根式》
3 ( x 1) x 1
其中
x2 4x 4 x 1
x 2 2
x2 2 2 1 x2
[归纳总结] 分式的化简离不开因式分解，将分式的分子、分
母分别分解因式，便于约分与通分．在分式的混合运算中常常将
分式的除法转化为乘法运算．
曾经在一本书上看过这样一个故事：美国著名心理学家罗森塔尔来到一所乡村学校 。他在对学生进行语言和能力测试后，在学生名单上打了几个勾，认真地说：“打 勾的学生将来一定会大有出息。”时隔多年，他的预言成真了，那几位被打了勾的 学生果真大有出息。这时,罗森塔尔告诉他们；“我并没有看学生的测试结果，打 勾是随意的。但确实使那些学生受到了激励，这说明心理暗示这种力量是无穷的… …”这就是著名的“罗森塔尔效应”。
本章总结提升
抢答题
例 3
共3道 答对+10分，答错不扣分
2
已知△ABC 的三边 a ，b ，c 满足 (a －5) ＋ b－5 ＋ B | c－1 －2|＝0，则△ABC 为( )
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【针对训练】 5．[2013·广东 ] 若实数 a，b 满足|a＋2|＋ b－4 ＝0，则 a2 ＝________． b
注意：引导分析X的取值范围
2 解：由题意知－ ≥0 ，∴ x<0，∴ x
2
2 － × x2 ＝ x
2 × －x
2× －x －2x （－x ） ＝ ×(－x)＝ × (－x)＝ ×(－x) 2 － x －x －x ＝ －2x.
2
把
1 根号外的因式移到根号内，得 m m
- -m
45 4
(2) 18 －
9 3＋ 6 0 2 － ＋( 3 －2) ＋ （1－ 2） . 2 3
3 2
2 -1
例5
计算：(－3) － 27 ＋ 1－ 2 ＋
0
. 3＋ 2
1
解：( －3) － 27 ＋ 1－ 2 ＋
0
1 3＋ 2
＝1－ 3 3 ＋ 2 －1＋ 3 － 2 ＝－2 3.
小游戏
起风-----快速搓手， 嘴里发出“呜呜”的声音 小雨-----用右手两个手指拍左手手心， 嘴里发出“嗒嗒嗒”的声音 大雨----双手有节奏的拍， 嘴里发出“啪啪啪”的声音 暴雨----双手有节奏的快拍，双脚有节 奏的跺脚， 嘴里发出“轰隆隆”的声音
本章知识框架
整合拓展创新
► 类型一 确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围
【针对训练】
7． [2013·泰安] 化简： 3( 2－ 3)－ 24－︱ 6－3︱＝ ________．
[答案] －6
[解析] 3( 2 － 3)－ 24－︱ 6 －3︱＝ 6 －3－2 6 －
(3－ 6)＝ 6－3－2 6－3＋ 6＝－6.
►
类型五
与二次根式有关的化简求值
将包含二次根式的代数式化简求值时， 可以先把原式化简后再 代入求值，也可以把已知式子适当变形，整体代入求解．
-5≤x<3
对于形如 a 的二次根式的化简，用公式
a（a≥0）， 2 a ＝|a|＝ －a（ a<0）.
2
在化简被开方数中含有字母的二次根式时，
首先要判断字母的符号．对于形如√a2的式
子的化简，首先应化成|a|的形式，再根据a
的取值进行计算
风险题共四道答对＋10分 答错-10分
例2 计算： 2 － × x2 . x
例1 (1) x 为何值时，下列二次根式在实数范围内有意义？ 1 x＋2； 3 (2) x ＋2 ； x＋5 3－x
2
(5)
(x-1)0
x -1
x＋1 (3) ； x－2
(4)
. （6 ） 2 - x +
1 ( 7) 3 x 2x 1
x≥-6 x≠1 全体实数 1≤x≤2
x≥-1且x≠2
1 < x≦3 2
心理暗示的积极作用，可以通过积极的心理暗示来获得。我们的心理总是不断 地从自己或他人那里接受各种各样的暗示，这种暗示有时会让你充满喜悦和信 心，帮助你更加乐观地去面对生活，使自己变得更加自信和快乐。
自我激励作用： ①通过自我鞭策保持对学习和工作的高度热忱，这是一切成就的动力； ②通过自我约束以克制冲动和延迟满足，这是获得任何成就的保证。
[答案] 1
[解析 ] 由|a＋2| ＋ b－4 ＝0 可得 a＋2＝0， b－4＝0，解 a2 得 a＝－2，b＝4，所以 ＝1. b
等腰三角形两边长a、b满 足
则此等腰三角形周长为
2a 3b 5
+（2a+3b-13) 2=0
7或8
解析： 由非负性可得2a-3b=0 2a+3b=0 解得a=2 b=3 所以周长有两种可能 2+2+3=7或3+3+2=8
根据二次根式的定义，式子 a 中，被开方数 a 必须是非 负数，即 a≥0，由此可以确定被开方数中字母的取值范围．
在确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围时，常常
从以下三个方面来考虑：
（1）被开方数大于或等于0；
（2）分母不等于0；
（3）零数不能为零
必答题共7道，每题5分
图 16 －T－1
A．2a－b B．b C．－b D．－2a＋b
[解析] C 由图 16－T－1 可知 a＞0，b＜0，所以 a－b＞0， 则|a－b|－ a ＝|a－b|－|a|＝a－b－a＝－b.
2
►
类型三
二次根式的非负性的应用
由 a≥0， b≥0 且 a＋b＝0 得到 a＝ b＝0，这是求一个方程中 含有多个未知数的有效方法之一．这类题目的一般形式有如下几 种： x ＋ y ＝ 0； x ＋|y| ＝0； x ＋y2＋|z|＝0 等．
【针对训练】 3．已知 x<1，则 x2－2x＋1化简的结果是( D )
A．x－1 B．x＋1 C．－x－1 D．1－x
[解析] D x2－2x＋1＝ （x－ 1）2＝|x－1|.
∵x<1，∴x－1<0 ，∴原式＝1－x.
4．实数 a，b 在数轴上的位置如图 16－T－1 所示，那么化 简|a －b|－ a2 的结果是( C )
例6
a －b 2ab －b [2013·襄阳] 先化简， 再求值： ÷ －a ， a a
2 2 2
其中 a ＝1＋ 2 ，b＝1－ 2.
ab 2 ba 2
化简求值
x 1 x 2 2 x 1
2 ÷ (1 ) x 1
1 x 1
其中
x 3 1
►
类型四
二次根式的混合运算
二次根式混合运算的顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减， 有括号的先算括号里面的．实数运算中的运算律(分配律、结合律、 交换律等)，所有的乘法公式(平方差公式、完全平方公式等)在二 次根式的运算中仍然适用．
必答题共6道，每题10分
例 4 计算：
1 3 (1) 20 × (－ 15 )÷－ 48 ； 2 3
人教版八年级下册数学第十六章二次根式二次根式的概念和性质教案
-设计分层次练习，从基础到提高，逐步突破难点。
-引导学生通过自主探索和合作交流，构建数学模型，提高数学建模能力。
-在教学中注重教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次根式》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算平方根的情况？”（例如：计算正方形边长）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次根式的奥秘。
-详细讲解二次根式的性质，结合图形和实际例子，使学生直观理解。
-以典型例题形式，展示二次根式的化简和运算过程，指出易错点，强调运算规则。
-设计具有挑战性的问题，让学生在实际情境中应用二次根式，识别难点，培养解决问题的能力。
-通过小组讨论和互动，激发学生的学习兴趣，促进数学表达和交流能力的提升。
4.教学策略：
在新课讲授环节，我采用了案例分析的教学方法，让学生通过解决实际问题来体会二次根式的应用。从实践活动的表现来看，学生们对此表现出较高的兴趣，但在小组讨论中，部分学生仍然显得不够积极主动。针对这一问题，我计划在接下来的课程中，多鼓励学生发表自己的观点，培养他们的团队协作能力和沟通能力。
此外，在学生小组讨论环节，我发现有些学生在解决问题时思路不够清晰，容易陷入思维定势。为了帮助学生打破思维局限，我将在以后的课堂中，适时给予他们提示和引导，培养他们的问题分析能力和创新意识。
。
三、教学难点与重点
1.教学重点：
-二次根式的定义及其性质的理解和掌握。
-二次根式的化简和运算方法的运用。
2.教学难点：
-对二次根式性质的深入理解，特别是乘法法则和除法法则的应用。
2021年人教版八年级数学下册第十六章《二次根式》精品课件.ppt
。2021年1月9日星期六2021/1/92021/1/92021/1/9
回忆
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根。
a的平方根是 a
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 正数的正的平方根叫做它的算术平方根。 0的算术平方根平方根是0
用 a (a≥0)表示。
1、平方根的性质：
正数有两个平方根且互为相反数； 0有一个平方根就是0； 负数没有平方根。
15、会当凌绝顶，一览众山小。2021年1月2021/1/92021/1/92021/1/91/9/2021
谢谢观看 16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2021/1/92021/1/9January 9, 2021
17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2021/1/92021/1/92021/1/92021/1/9
在实数范围内,负数没有平方根
1、判断下列代数式中哪些是二次根式？
⑴
1
2
， ⑵ 16
（3） a2 2a 2 ，（4） x x 0
a9
（5） m 32
a2 1
3 -2
2a1
a
a 12
你能用魔法师变出的这些代数式 作为被开方数构造二次根式吗？
求下列二次根式中字母的取值范围：
1 a1
3 a32
人教版初中数学八年级下册16.3.2《二次根式的混合运算》教案
最后，关注学生的个体差异，对于学习有困难的学生，给予更多的关心和指导。在课后，我会主动询问他们是否理解课堂内容，针对他们的疑问进行解答，帮助他们克服学习难点。
4.培养学生的抽象思维能力：通过二次根式的混合运算，让学生从具体实例中抽象出数学规律，提升学生的数学抽象思维水平。
三、教学难点与重点
1.教学重点
a.掌握二次根式的乘除法则：\(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}\)（a≥0，b≥0）和\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\)（a≥0，b＞0）；
c.了解二次根式的乘方运算：\((\sqrt{a})^n = \sqrt{a^n}\)（n为正整数）；
举例：通过\((\sqrt{2})^2\)和\((\sqrt{3})^3\)等例题，强调乘方运算的规则。
2.教学难点
a.理解并运用二次根式乘除法则进行简化时的步骤和方法；
难点解析：学生在进行\(\sqrt{18} \times \sqrt{2}\)等计算时，可能会忽略先简化根号内的乘积，直接相乘，导致计算复杂。教师需强调先简化根号内的乘积，再进行乘法运算。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次根式混合运算的基本概念、运算法则和实际应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这一知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
新人教版八年级数学下册《十六章 二次根式 16.1 二次根式 章前引言及二次根式》教案_27
16.1.1二次根式教学内容二次根式的概念及其运用教学目标知识与技能目标：a ≥0）的意义解答具体题目． 过程与方法目标：提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：发展学生观察、分析、发现问题的能力． 教学重难点1．重点：理解二次根式的概念；2．难点：确定二次根式中字母的取值范围教法：讲练结合法: 在例题教学中，引导学生阅读，与平方根进行类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。
学法：1、类比的方法 通过观察、类比，使学生感悟二次根式的模型，形成有效的学习策略。
2、练习法 采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他检，提高学生的素质。
媒体设计：PPT 课件，展台。
学习过程一、展示学习目标：1. 二次根式的概念2.二次根式有意义的条件3二次根式的双重非负性二．设置问题情境，引入新课：1求下列各数的平方根和算术平方根（1）9（2）0.64（3）0总结：a （a ≥0）的平方根是a （a ≥02．解决问题（1） 面积为 S 的正方形边长为________。
（2）．面积为 b －5 的正方形边长为________。
（3）． 圆桌的面积为 S ，则半径为________（4）．若圆桌的面积为 S ＋3，则半径为________（5）关系式 h = 5t 2 （t > 0）中，用含有 h 的式子表示 t ，则 t = ________。
总结以上式子有何特征二次根式的概念：a像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式。
因此，一般地，我们把形如（a≥0三．探究新课1．指出二次根式有意义的条件被开方数大于等于零。
提问：二次根式在什么情况下无意义学生讨论后得出：被开方数小于零2．指出下列哪些是二次根式？学生自主完成小练习：辨别下列式子，哪些是二次根式？三．练习四．小结1. 二次根式的概念2.二次根式有意义的条件3二次根式的双重非负性五．作业课本第5页第一题。
人教版数学八年级下册：第十六章-二次根式--课件(共88张)
情境引入
现有一块长为7.5 dm、宽为5 dm的木板， 能否采用如教教材图16.3-1的方式，在这块 木板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2 的正方形木板？
问题3：从长方形木板上截取两个正方形木板， 长方形木板够长吗？ 你是如何得出答案的？
8 18 2 2 3 2 (2 3) 2 5 2
七、布置作业
• 1.教材第3页练习1.2题. • 2.教材第5页习题16.1第1题.
第十六章 二次根式
16.1 二次根式
第2课时
一、提出问题
根据算术平方根的意义填空.
1. ( 4) 2 __4_;
1 ( 1 )2 _3__;
3
( 2 )2 _2__;
( 0)2 _0__ .
2. 22 __2_;
化
简
解：（2）（ 12 20）+（ 3- 5）
、
.
去
2 3 2 5+ 3- 5
括 号
、
3 3+ 5
合
并
巩固提高
练习1 计算:
（1） 2 7 6 7
仔细认 真哦！
-4 7
（2） 80- 20+ 5
.
（3） 18+（ 98- 27）
35 10 2-3 3
（4）（ 24+ 0.5）-（ 1 - 6） 8
5 2 5 1.5 7.5
木板够长
情境引入
现有一块长为7.5 dm、宽为5 dm的木板， 能否采用如教材图16.3-1的方式，在这块木 板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2 的正方形木板？
问题4：观察 8 18的计算过程，你能总结
16.2二次根式的乘除 (教学课件)- 初中数学人教版八年级下册
解： ( 思考】乘法法则是如何得出的?二次根式的除法该怎样算呢2 除法有没有类似的法则?
学习 目标 3. 理解最简二次根式的概念，能熟练地将二 次根式化为最简二次根式。
2. 会运用除法法则及商的算术平方根进行简 单运算.
1. 掌 握二次根式的除法法则，会用法则进行计算.
探究新知 知识点1
二次根式的除法
探究新知
归纳总结 二次根式的乘法法则的推广： ①多个二次根式相乘时此法则也适用，即
√a·√b .....√n=√ab...n(a≥0,b≥0....n≥0)
②当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单 项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号 外的因数(式),被开方数的积作为被开方数，即
化简：
(1)√ 16×81;(2)√4a²b³(a≥0,b≥0).
解：(1)√ 16×81
(2)√4a²b³
(2 ) 中4 ²ab³ 含有 像 4 a²,b²,, 这
= √16×√81
=√4O√a²O√b³
样开的尽方的因 数或因式，把它
=4×9
=36;
=2OaO√b²Ob
们开方后移到根 号外.
巩固练习
计算：
(1)
(2)
●
解： (1) (2)
提示：像(2)中除式是分数或分(1)
(2)
(3)
●
解：(1)
探究新知
考点② 利用二次根式的除法法则计算根号外因数不是1的 二次根式
计算： (1) 解：(1)
假分数，再运用二次根式除法法则进行运算.
巩固练习 计算，看谁算的既对又快.
重
探究新知
方法点拨
化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数);
初中数学：16.1.1二次根式的概念(人教版八年级数学下册第十六章二次根式)
第16章二次根式16．1二次根式第1课时二次根式的概念1．能用二次根式表示实际问题中的数量及数量关系，体会研究二次根式的必要性；(难点)2．能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念及性质，会求二次根式中被开方数中字母的取值范围．(重点)一、情境导入问题1：你能用带有根号的式子填空吗？(1)面积为3的正方形的边长为________，面积为S 的正方形的边长为________．(2)一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m 2，则它的宽为________m.(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t (单位：s)与落下的高度h (单位：m)满足关系h ＝5t 2，如果用含有h 的式子表示t ，则t ＝______．问题2：上面得到的式子3，S ，65，h 5分别表示什么意义？它们有什么共同特征？二、合作探究探究点一：二次根式的定义下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？(1)11；(2)－5；(3)（－7）2；(4)313；(5)15－16；(6)3－x (x ≤3)；(7)－x (x ≥0)；(8)（a －1）2；(9)－x 2－5；(10)（a －b ）2(ab ≥0)．解析：要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2，二是看被开方数是不是非负数．解：因为11，（－7）2，15－16＝130，3－x (x ≤3)，（a －1）2，（a －b ）2(ab ≥0)中的根指数都是2，且被开方数为非负数，所以都是二次根式.313的根指数不是2，－5，－x (x ≥0)，－x 2－5的被开方数小于0，所以不是二次根式．方法总结：判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“”；(2)被开方数是非负数．探究点二：二次根式有意义的条件【类型一】根据二次根式有意义求字母的取值范围求使下列式子有意义的x 的取值范围．(1)14－3x ；(2)3－xx －2；(3)x ＋5x .解析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0且分母不等于0，列不等式(组)求解．解：(1)由题意得4－3x ＞0，解得x ＜43.当x ＜43时，14－3x有意义；(2)－x ≥0，－2≠0，解得x ≤3且x ≠2.当x ≤3且x ≠2时，3－x x －2有意义；(3)＋5≥0，≠0，解得x ≥－5且x ≠0.当x ≥－5且x ≠0时，x ＋5x 有意义．方法总结：含二次根式的式子有意义的条件：(1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；(2)如果所给式子中含有分母，则除了保证二次根式中的被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．【类型二】利用二次根式的非负性求解(1)已知a 、b 满足2a ＋8＋|b －3|＝0，解关于x 的方程(a ＋2)x ＋b 2＝a －1；(2)已知x 、y 都是实数，且y ＝x －3＋3－x ＋4，求y x 的平方根．解析：(1)根据二次根式的非负性和绝对值的非负性求解即可；(2)根据二次根式的非负性即可求得x 的值，进而求得y 的值，进而可求出y x 的平方根．解：(1)a ＋8＝0，－3＝0，＝－4，＝3.则(a ＋2)x ＋b 2＝a －1，即－2x ＋3＝－5，解得x ＝4；(2)－3≥0，－x ≥0，解得x ＝3.则y ＝4，故y x ＝43＝64，±64＝±8，∴y x 的平方根为±8.方法总结：二次根式和绝对值都具有非负性，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0.探究点三：和二次根式有关的规律探究性问题先观察下列等式，再回答下列问题．①1＋112＋122＝1＋11－11＋1＝112；②1＋122＋132＝1＋12－12＋1＝116；③1＋132＋142＝1＋13－13＋1＝1112.(1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出1＋142＋152的结果；(2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n 的式子表示的等式(n 为正整数)．解析：(1)从三个等式中可以发现，等号右边第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n ，第三个分数的分母就是n ＋1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积；(2)根据(1)找的规律写出表示这个规律的式子．解：(1)1＋142＋152＝1＋14－14＋1＝1120；(2)1＋1n 2＋1（n ＋1）2＝1＋1n －1n ＋1＝11n （n ＋1）(n 为正整数)．方法总结：解答规律探究性问题，都要通过仔细观察找出字母和数之间的关系，通过阅读找出题目隐含条件并用关系式表示出来．三、板书设计1．二次根式的定义一般地，我们把形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式．2．二次根式有意义的条件被开方数(式)为非负数；a有意义⇔a≥0.通过将新知识与旧知识进行联系与对比，随后由学生熟悉的实际问题出发，用已有的知识进行探究，由此引入二次根式．在教学过程中让学生感受到研究二次根式是实际的需要，体会到数学与实际生活间的紧密联系，以此充分激发学生学习的兴趣．。
最新部编人教版初中八年级下册数学知识点总结
八年级数学（下册）知识点总结第十六章 二次根式1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
2.二次根式有意义的条件： 大于或等于0。
3.二次根式的双重非负性：a ：①0≥a ，②0≥a 附：具有非负性的式子：①0≥a ；②0≥a ；③02≥a4.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
5.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被 相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
6.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 27.二次根式的运算：（1）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （2）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．a ≥0，b ≥0）；=（b ≥0，a>0）． （3）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．a （a ＞0）a -（a ＜0）0 （a =0）；【典型例题】1、概念与性质 例1下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）x x --+315； （2）22)-(x例3、 在根式1) 222;2);3);4)275xa b x xy abc +-，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4) 例4、已知：的值。
求代数式22,211881-+-+++-+-=x yy x xy y x x x y例5、 （2009龙岩）已知数a ，b ，若2()a b -=b －a ，则 ( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b 2、二次根式的化简与计算 例1. 将根号外的a 移到根号内，得 ( ) A.； B. －； C. －； D.例2. 把（a －b ）－1a －b 化成最简二次根式例3、计算：例4、先化简，再求值：11()ba b b a a b ++++，其中a=512，b=512．例5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 222()a b a b -4、比较数值（1）、根式变形法当0,0a b >>时，①如果a b >a b >a b <a b < 例1、比较35与53的大小。
八年级数学下册第十六章二次根式16.1二次根式课件(新版)新人教版
一般地,二次根式有下面的性质:
一般地，根据算术平方根的意义，
a2
a
a (a 0） a (a 0)
(1)( 2)2 2
(2)( 2)2 2 (3) ( 2)2 -2 (4) (2)2 |-2|=2
6、
x-1 x-2
二次根式的性质（１）
非负数的算术平方根仍然是非负数。 性质 1： a ≥0 (a≥0) （双重非负性）
引例：|a-1|+(b+2) 2=0 , 则 a= b=
例 4：已知 a+2 +|3b-9|+(4-c)2=0, 求 2a-b+c 的值。 解：∵ a+2 ≥0、|3b-9|≥0、(4-c) 2≥0，
想一想：假如把题目改为：要使
x-2 x-1
有意义，
字母 x 的取值必须满足什么条件？ x≥2
想一想：一个正数的算术平方根是 正数。
零的算术平方根是 0 。 负数有没有算术平方根？ 没有
做一做: 要使下列各式有意义，字母的取值必
须满足什么条件？
1、 x+3
2、 2-5x
3、
1 x
4、 a2+1
5、 x-3 + 4-x
2、 a 表示什么？ 表示非负数a的算术平方根
试一试 ：说出下列各式的意义；
16, 81, 0, 1 , 0.04; 49
观察：
上面几个式子中，被开方数的特点？ 被开方数是非负数
1.二次根式的概念
a (a≥0)表示非负数 a 的算术平方根，
形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式。
人教版数学八年级下册第十六章《16.1 二次根式》
②被开方数为非负数.
一般地，形如
的式子叫做二次根式，其中a叫做被开方数。
称为二次根号
根号
被开方数
例如: ， ， ， ......
提示：a可以是数，也可以是代数式.
Байду номын сангаас
二次根式
①外貌特征：含有“ ” 两个必备特征
②内在特征：被开方数a ≥0
判断二次根式的方法
是
是
是否含二次根号
被开方数是不是非负数
D 有意义，a的取值范围是（ ）
B. a＞-2且a≠ 0
C. a＞-2或a≠ 0
a+2≥0 a≠0
D. a≥-2且a≠ 0
基础巩固
4.若
为 1.
解析： a-1≥0 1-a≥0
有意义，则a的值
a≥1
a≤1
a=1
5.半径为r的圆的面积是半径为2cm与3cm的 两个圆的面积之和，求r的值。
解：由题意可得，
解：由x-2≥0，得 x≥2
当x≥2时，
在实数范围内有意义.
例3 当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
解：
x-1≥0 x-1≠0
x＞1
x+3≥0 x-1≠0
x≥-3且x≠1
归纳小结 要使二次根式在实数范围内有意义：
1.被开方数≥0，
2.若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.
巩固练习 x取何值时,下列二次根式有意义?
课堂小结
二次根式
否 否
不是二次根式
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
✔
✖✖
✔
✖
✔
✖
解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的 形式一定大于零.(2)(3)(5)(7)均不是二次根式.