优选石油大学概率统计试卷A答案

2013—2014学年第二学期
《概率论与数理统计》期末试卷
（32学时）
专业班级
姓名
学号
开课系室理学院应用数学系
注意事项：
1•请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；
2. 本试卷共七道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废;
3. 本试卷正文共7页。

「•选择题（共6小题，每小题3分，共计18分）
1. 设A 表示事件“甲产品畅销且乙产品滞销”，那么对立事件
A 表示（
B ）.
A.甲产品滞销且乙产品畅销；
B.甲产品滞销或乙产品畅销；
C.甲产品畅销且乙产品畅销；
D.甲产品滞销且乙产品滞销. 2. 将一颗骰子重复掷n 次，贝朋出的最大点数为5的概率为（A ）
3. 下列函数中只有（B ）是分布函数.
A.
5n 4n
6n
；B. 5
n ；
C.1 6n 4n —-D 1
n : 6 1 6n .
A. F(x)
1
彳2， X
1 X
0,
x 1
C. F(x)
2
x , 1 x 1 ； D.
1, x 1
0,
x 2 ；B ・ F(x)
1 2,
2x0 ；
1,
x 0
0, x 0
F(x) e x , 0 x 1 .
1, x 1
4. 设随机变量X 的概率密度函数为f （x ）
1
若已知P （1 X 2） ，则有（D ）。

2
1 2
A. a ， b — ;
B. a 3 3
ax, 1 x
2
b, 2 x 3，其中a ，b 是常数, 0,
其他
2
1 1 1
b - ；D. a ， b —. 3
3 3 2
5. 设随机变量X 与丫相互独立，密度函数分别为
2e 2x , x 0
上 / \
4e 4y , y 0
c ，f Y （y ）
0,
x 0 0,
y 则 D(X Y)
(C )
A .
4;；吒；
6如果X ，丫满足D （X Y ） D （X Y ），则必有（D ）
A.
XY
1
； B ・ XY
1 ；，Y 独立；D. X ，Y 不相关.
1,1^ ，b — ; C. a 2 2
f x (X )
二•填空题(共4小题，每小题3分，共计12分)
2
3 1.设事件A, B 相互独立，P(A) -,P(AUB)-,则
5
5
4 P(A B)
.
15
2.把4个球随机地放入4个盒子中，记X 表示空盒子的个数，则P(X 2)=
3•设X,Y 的数学期望分别为 2和2,方差分别为1和4,而相关系数为 0.5，根据 切比雪
夫不等式，有P(|X Y| 6)
1
12 .
4 •设随机变量X 与丫相互独立，且X ~ N(1,2), Y~ N(0, 1), Z 2X 丫 3，
则 Z ~ N(5, 9)
三•计算下列各题(共4小题，每小题6分，共计24 分)
(1)求X 的分布函数F(x)，并画出F(x)的图形；(2)求P( 1 X 1)
-1
64
.( 2
C 4(2
2)
0, x 2
15, 2 x 1
解(1) F X (x)
1130, 1 x 0，2分
21.30, 0 x 1
1,
x 4
图
4分
(2) P(
1 X
1) 4
—6分
5
2.已知 P(A) 0.7,P(B) 0.4, P(AB) 0.5，求条件概率
P(B| A B)。

解 P(B| A B)
P(B (A
—
B
))
P(AB) P(A B)
P(A B)
1.设X 的分布律为
3
10‘
07 05
1
0 6 分 0.7 0.6 0.5
4
试求X *的期望和方差。

解EX * E ［需］皆03分
DX * °[靈]D[X D X EX] 16 分
(1) 常数 A ;( 2) X 的密度函数；(3)数学期望EX
解 (1) A=1;2 分
⑵
1彳
,1<x e .八
f X ( x)
x
;4分
0,其他
⑶ EX
e
x 1
1 . dx e x
16分
3•设X 是一随机变量，且期望 EX ，方差DX( 0)皆存在，记X X EX \ DX
P(A) P(AB) P(A) P(B) P(AB)
4.设随机变量X 的分布函数为F(x)
0,
x 1
Ain x, 1 x e ，试求:
1,
x e
四.(10分)某产品主要由三个厂家供货，甲、乙、丙三个厂家 的产品分别占总数的15% 80% 5%其次品率分别为,,o 试求: (1)从这批产品中任取一件是不合格品的概率；(2)若已知取 出的一件产品是不合格品，问这件产品由哪家生产的可能性最 大？ 解(1)设B 表示“任取的一件产品是不合格品”，
A|, A 2, A 3分别表示产品来自甲、
乙、丙厂”。

15% 0.02 80% 0.01 (2)来自乙厂生产的可能性最大。

5% 0.03 0.01255 分
P(A S |B)
P(A)P(B|A 3)
5% P(B)
吗0分 0.0125
五•( 10分)设随机变量(X ,
的概率密度函数 本页满分10分
1 □
f (
) be (x y) f (x, y) c
0,
(1)试确定常数b ; (2)求关于X , Y 的边缘密度函数，并判别X , Y 是否独立.(3) 0 x 1,0 y 其它
求概率P(Y
X)。

(1)
(2) f x (X )
x
&,
0<x 1 1 e
0,其它
[
X
e
f Y (y) 由于f (x, y)
(3) P(Y
X)
e y , 0<y 0, 其它
f x (x) f Y (y),
故X,Y 独立。

7分
f(x,y)dxdy
1
x e &
y
)
dx
1
dy
1 e
冲0
1 e 1
1 2 e 2 1 e 1
i(1
e 1) 10 分
本页满分10分
六.（10分）设二维随机变量（X, Y ）在由x 轴，y 轴及直线
x y 2所围成的区域G 上服从均匀分布，试求：
（1）数学期望EX,EY ，方差DX,DY ； （2）协方差Cov （X,Y ），相关系数XY o
1
2，（x
，y ） 0,其它
1 0 v 1
0,其他，即 Y ~U(0, 1)
，
8
分
2.设X 1,X 2, ,X 6为来自总体X ~ N(0,1)的简单随机样本，记
2 2
Y C[(X 1 X 2 X 3)
(X 4 X 5 X 6)]，
试确定常数C 的值，使丫服从2分布，并指出分布的自由度
f x (X )
2 x 丁
0,其它 X 2，由此得EX
2
, DX 3
同理得 (2) EXY
七•（共两小题,
2 2
EY , DY 6 分
3 9 1 1
-,Cov(X,Y) -，8 分 3 9
1
XY
~ 10
分
2
1 •设随机变量X 服从参数为 2的指数分布, 试确定Y 的分布。

解由题知f x （X ）
2e 2x 0,
X 0
2分 x 0 本页满分16分
□
2x
y 1 e y),0 y 1，
X y
1 2(1 y)
解( 1) f (x, y)
f Y (y)
2X
e
解X i X2 X3~N(0，3),X1 X； j),
Y V V
X4 X5 X6 〜N(0,3), X4 X5 X6〜N(0,1),3 分
且二者独立，4分
由此知常数C 3，分布的自由度为2。

8
分
X 1 X 2 X 3 2 故Y ( 1 2
3)2
J3 (X4 X5 X6)2
「
3
2 (2),。