2016年安庆市高三模拟考试(二模)试卷(含解析)

2016年安庆市高三模拟考试（二模）数学（理科）试题命题:安庆市高考命题研究课题组本试卷分第1卷（选择题）和第2卷（非选择题）两部分。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

第1卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、若集合{},,3|||Z x x x P ∈<=且{},,0)3(|N x x x x Q ∈≤-=且则Q P ⋂等于（ ） A 、{}210，， B 、{}321，， C 、{}21， D 、{}3210，，，2、设i 是虚数单位，如果复数iia -+2的实部与虚部相等，那么实数a 的值为（ ） A 、31 B 、31- C 、3 D 、3- 3、设角A 、B 、C 是ABC ∆的三个内角，则”“C B A <+是“A B C ∆为钝角三角形”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件4、在如图所示的算法框图中，e 是自然对数的底数，则输出的i 的值为（ ） （参考数值：609.72016ln ≈）A 、6B 、7C 、8D 、95.数列{}n a 满足：)0,(11≠∈*∈-=+λλλ且R N n a a n n ，若数列{}1-n a 是等比数列，则λ的值等于（ ）A 、1B 、-1C 、21D 、26.已知函数)2||,0,0)(sin()(πφωφω<>>+=A x A x f 部分图像如图所示，则)(x f 的递增区间为（ ）A 、Z k k k ∈++-),2125,212(ππππB 、Z k k k ∈++-),125,12(ππππC 、Z k k k ∈++-),265,26(ππππ D 、Z k k k ∈++-),65,6(ππππ7、给出定义：设)(x f '是函数)(x f y =的导函数，)(x f ''是)(x f '的导函数，若方程0)(=''x f 有实数解0x ，则称点))(,(00x f x 为函数)(x f y =的“拐点”。

已知函数x x x x f cos sin 43)(-+=的拐点是))(,(00x f x M ，则点M （ ）A 、在直线x y 3-=上B 、在直线x y 3=上C 、x y 4-=上D 、x y 4=上8、已知向量→→→AD AC AB 、、满足→→→+=AD AB AC ,1||,2||==-→→AD AB ，E 、F 分别是线段BC 、CD 的中点。

若45-=⋅→→BF DE ，则向量→AB 与向量→AD 的夹角为（ ）A 、3πB 、32πC 、6πD 、65π9、如果点),(y x P 在平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-02012022y x y x y x 上，则22)1(++y x 的最大值和最小值分别是（ ） A 、53,3， B 、59,9， C 、2,9 D 、23，10、设点A 、F （c,0）分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的右顶点和右焦点，直线ca x 2=交双曲线的一条渐近线于点P 。

若PA F ∆是等腰三角形，则此双曲线的离心率为（ ）A 、3B 、3C 、2D 、211、一个几何体的三视图如图所示，其体积为（ ） A 、611 B 、3611 C 、23 D 、2112、设函数001()1111x x x f x x <<<⎧⎪=⎨--⎪+⎩≤， ，.,4)()(m mx x f x g --=其中0≠m 。

若函数)(x g 在区间)1,1(-上有且仅有一个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A 、41≥m 或1-=mB 、41≥mC 、51≥m 或1-=mD 、51≥m第二卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题-第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。

13、若抛物线x y 62=的准线被圆心为)1,2(-的圆截得的弦长等于3，则该圆的半径为_______. 14、将3)44(-+xx 展开后，常数项是_______。

15、在平行四边形ABCD 中，,BD AB ⊥12422=⋅+⋅BD AB ，将此平行四边形沿BD 折成直二面角，则三菱锥BCD A -外接球的表面积为________.16、已知数列{}n a 是各项均不为零的等差数列，n S 为其n 项和，且).(12*∈=-N n S a n n 若不等式nn a n8+≤λ对任意*∈N n 恒成立，则实数λ的最大值为_______.三、解答题：本大题满分70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（本小题满分12分）如图，D 是直角ABC ∆斜边BC 上一点，DC AC 3=. （1）若︒=∠30DAC ，求角B 的大小；（2）若DC BD 2=，且，22=AD 求DC 的长。

18、（本小题满分12分）如图所示的多面体ABCDEFG 中，面ABCD 是边长为2的菱形，,120ABCD CF BG CF DE BAD 面，∥∥，⊥︒=∠，∥EF AG 且.42==BG CF （1）证明：ABCD EG 平面∥；（2）求直线CF 与平面AEG 所成角的正弦值。

19.（本小题满分12分）近年来，全国很多地区出现了非常严重的雾霾天气，而燃放烟花爆竹会加重雾霾。

是否应该全面禁放烟花爆竹已成为人们议论的一个话题。

一般来说，老年人（年满60周岁）从情感上不太支持禁放烟花爆竹，而中青年人（18周岁至60周岁以下）则相对理性一些。

某市环保部门就是否赞成禁放烟花爆竹对400为老年和中青年市民进行了随机问卷调查，结果如下表：（1）有多大把握认为“是否赞成禁放烟花爆竹”与“年龄结构”有关？请说明理由； （2）从上述不赞成禁放烟花爆竹的市民中按年龄结构分层抽样出13人，再从这13人中随机的挑选2人，了解他们春节期间在烟花爆竹上消费的情况。

假设老年人花费500元左右，中青年人花费1000元左右。

用X 表示他们在烟花爆竹上消费的总费用，求X 的分布列和数学期望。

附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，20、（本小题满分12分）已知定圆,16)3(22=++y x A ：动圆M 过点)0,3(B ，且和圆A 相切。

（1）求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；（2）设不垂直与x 轴的直线l 与轨迹E 交于不同的两点P 、Q ，点).0,4(N 若P 、Q 、N 三点不共线，且ONQ ONP ∠=∠。

证明：动直线PQ 经过定点。

21、（本小题满分12分）设函数2)1()(-=x x f ，2)(ln )(x a x g =，其中R a ∈,且0≠a 。

（1）若直线e x =（e 为自然对数的底数）与曲线)(x f y =和)(x g y =分别交于A 、B 两点，且曲线)(x f y =在点A 处的切线与曲线)(x g y =在点B 处的切线相互平行，求a 的值； （2）设)0,(ln )()(≠∈+=m R m x m x f x h 且有两个极值点21,x x ，且21x x <。

证明：42ln 21)(2->x h 。

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

作答时请写清题号22、（本小题满分10分）选修4—1 几何证明选讲如图，以ABC ∆的边AB 为直径作O Θ，O Θ与边BC 的交点D 恰为BC 边的中点，过点D 作AC DE ⊥于点E 。

（1）求证:DE 是O Θ的切线； （2）若︒=∠30B ，求DCAE的值。

23、（本小题满分10分）选修4-4 坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位。

已知曲线C 的极坐标方程为,cos 2θρ=直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+-=ααsin cos 1t y t x （t 为参数，α为直线的倾斜角） （1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 有唯一的公共点，求角α的大小。

24、（本小题满分10分）选修4-5 不等式选讲 设函数|,||3|)(a x x x f +--=其中R a ∈ （1）当2=a 时，解不等式;1)(<x f（2）若对于任意实数x ，恒有a x f 2)(≤成立，求a 的取值范围。

2016年安庆市高三模拟考试（二模） 数学试题(理科)参考答案及评分标准一、选择题1. 解析：{}21012P =--，，，，，{}012,3Q =，，， P Q ={}012，，.2.解析：i 21(2)i2i 5a a a +-++=-，212a a -=+，3a =. 3. 解析： 若C B A <+，则.2π>C 但反之不然. 4. 解析: ∵609.72016ln ≈，∴8e 2016>∴8i =时，符合2016a ≥，∴输出的结果8i =.5. 解析:由11n n a a λ+=-，得1212()n n n a a a λλλ+-=-=-.由于数列{1}n a -是等比数列，所以21λ=，得2λ=.6. 解析: 由图象可知2A =，311341264T πππ=-=，所以T π=，故2ω=. 由11()212f π=-，得23k πϕπ=-（Z k ∈）. ∵2πϕ=∴3πϕ-= 所以()2sin(2)3f x x π=-. 由2(22)322x k k πππππ-∈-+，（Z k ∈），得5()1212x k k ππππ∈-+，（Z k ∈）.或：311341264T πππ=-=，所以T π=，646412T ππππ-=-=-， 5646412T ππππ+=+=，所以()f x 的单增区间是5()1212k k ππππ-+，（Z k ∈）.7.解析：()34cos sin f x x x '=++，()4sin cos 0f x x x ''=-+=，004sin cos 0x x -=，所以003)(x x f =，故00(())M x f x ，在直线x y 3=上.8. 解析：DE BF ⋅= 22115115()()224224CB CD CD CB CB CD CD CB --=⋅--=- .由2CD AB == ，1BC AD ==，可得1cos 2CB CD 〈〉= ，， 所以3CB CD π〈〉= ，，从而3AB AD π〈〉= ，. 9． 解析：如图，先作出点()P x y ，所在的平面区域.22)1(++y x 表示动点P 到定点(01)Q -，距离的平方. 当点P 在(10)-，时， 22PQ =，而点Q 到直线012=+-y x的距离的平方为925<；当点P 在(02)， 时，离Q 最远，92=PQ .因此22)1(++y x 的最大值为9，最小值为95. 10. 解析：显然PF PA >，PF AF >，所以由PAF ∆是等腰三角形得PA AF =.易知A (0)a ，，P 2()a ab c c ，，所以2222()()()a aba c a c c -+=-， 222222()()()()()a a a c c a c a c c ⇒-+-=-22()()1a a c ac c c a +⇒+=-2211111e e e e +⇒+=-. 解得 2e =. 11. 解析: 该几何体是一个直三棱柱截去一个小三棱锥，如图所示，则其体积为：611111213121221=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=V .12. 解析：001()1111x x x f x x <<<⎧⎪=⎨--⎪+⎩≤， ，.作函数()y f x =的图象，如图所示.函数()g x 零点的个数⇔函数()y f x =的图象与直线4y mx m =+交点的个数.当直线4y mx m =+过点(11)，时，15m =；当直 线4y mx m =+与曲线111y x =-+（01x <<-） 相切时，可求得1m =-. 根据图象可知当15m ≥或1m =-时，函数()g x 在区间(11)，-上有且仅有一个零点. 二、填空题13.解析：抛物线26y x =的准线2x =-，圆心(21)，-到其距离等于(2)22---=. 1=. 14.解析：展开后的通项是nm n mnm mxx C C ----⋅⋅333)4()4(，当n m =时为常数.于是m m mm mm nm n mnm mxx C C xx C C 2333333)4()4()4()4(------⋅⋅=-⋅⋅. 若0m =，则3(4)64-=-；若1m =，则11324(4)96C C ⋅⋅-=-.故常数项是.1609664-=-- 或：63)2()44(xx x x -=-+展开后的通项是k kk k k k x C xx C 26666)()2()2()(---=-⋅. 令620k -=，得3k =. 所以常数项是336(2)160C -=-.15.解析：如图，因为平面BDC ⊥平面ABD （折成直二面角），所以AB ⊥平面BDC ，CD ⊥平面ABD ，得.AD CD BC AB ⊥⊥，取AC 的中点O ，则OD OC OB OA ===.于是外接球的球心是O ，12OA AC =，2214OA AC =. 而.21)24(2122222222=+=+=+=BD AB BD AB BC AB AC 所以半径.4221==AC OA 于是外接球的表面积为242S OA ππ=⋅=. 16.解析：n n a a =⇒==， 2(21)n n a n a ⇒=-21n a n ⇒=-，*∈N n .8n n a nλ+≤就是(8)(21)8215n n n n n λλ+-⇒-+≤≤. 8215n n-+在1n ≥时单调递增，其最小为9，所以9λ≤， 故实数λ的最大值为9.三、解答题17．解析：（Ⅰ）在△ABC 中，根据正弦定理，有sin sin AC DC ADC DAC=∠∠.因为AC =，所以sin ADC DAC ∠=∠=. 又 6060>+∠=∠+∠=∠B BAD B ADC 所以120ADC ∠=°. ……………3分于是3030120180=--=∠C ，所以60B ∠=°. ……………6分 （Ⅱ）设DC x =，则2BD x =，3BC x =，AC =.于是sin AC B BC ==，cos B =，.6x AB =……………9分 在ABD ∆中，由余弦定理，得 2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅，即222264222x x x x =+-⨯= ，得2x =. 故.2=DC ……………12分18．解析：（Ⅰ）证明：G//G A EF A ⇒与EF 共面.由平面//ADE 平面//BCFG AE FG ⇒⇒四边形AEFG 为平行四边形.连接AF 交EG 于M ，连接AC ，BD 交于O ，连接MO ，如图1所示.则//MO CF ，且12MO CF BG ==， 故BOMG 为平行四边形，所以//MG BO .又BO ⊂平面ABCD ，MG ⊄平面ABCD ，所以//MG 平面ABCD ，即//EG 平面ABCD . ……………6分（Ⅱ）解法一、CF ABCD CF DBABCD BD AC CF AC ABCD CF AC O ⊥⇒⊥⎫⎪⇒⊥⎬⎪⊂=⎭ 平面四边形是菱形面且、BD ACF ⇒⊥平面.由（Ⅰ）知//EG BD ，所以EG ACF ⊥平面AEFG ACF ⇒⊥平面平面. 因为平面AEFG 平面=ACF AF ，C ∈平面ACF ，所以点C 在平面AEFG 内的射影落在AF 上，故FC 与平面AEFG 所成的角就是AFC ∠.在Rt AFC ∆中，55422sin 22=+==∠AF AC AFC ， 所以FC 与平面AEG 所成角的正弦为55. ……………12分 ACF =C解法二、由（Ⅰ）易知，.2==BG DE 以O 为坐标原点，分别以直线AC 、BD 为x 、y轴，建立空间直角坐标系xyz O -，如图2所示.则有(100)A ，，、(02)E ，，(02)G ，(100)C -，，，(104)F -，，，所以(12)AE =- ，，(00)EG = ，，(004)CF = ，，.设面AEG 的法向量为()n x y z = ，，，由n AE ⊥ ， n EG ⊥，得200.x z ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩， 令1=z ，则2=x 所以(201)n = ，，，于是cos n CF <>== ， ………10分 故直线CF 与平面AEG 所成角的正弦值为.55 ………12分 19. 解析：（Ⅰ）因为22400(6012014080)400 4.3956 3.84114026020020091K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯， 所以有95%把握认为“是否赞成禁放烟花爆竹”与“年龄结构”有关.……… 5分（Ⅱ）因为140:1207:6=，所以13人中有老年人7人，中青年人6人.那么2000X =，1500，1000. ……… 7分26213C 5(2000)C 26P X ===，1176213C C 7(1500)C 13P X ===，27213C 7(1000)C 26P X ===， 所以X 的分布列为所以200015001000146226132613EX =⨯+⨯+⨯=≈. ……… 12分20. 解析：(Ⅰ)圆A 的圆心为(0)A ，半径14r =.设动圆M 的半径为2r ，依题意有2||r MB =． 由||AB =B 在圆A 内，从而圆M 内切于圆A ，故12||MA r r =-， 即||||4MA MB +=32>.所以动点M 的轨迹E 是以A 、B 为焦点，长轴长为4的椭圆， 其方程为1422=+y x . …………5分 (Ⅱ) 设直线l 的方程为(0)y kx b k =+≠，联立2244y kx b x y =+⎧⎨+=⎩，，消去y 得， 222(14)8440k x kbx b +++-=， 2216(41)k b ∆=-+. 设11()P x kx b +，，11()Q x kx b +，，则122814kb x x k +=-+，21224414b x x k -=+. …………7分 于是=+Q N PN k k 12121212112(4)()844(4)(4)kx b kx b kx x k b x x b x x x x ++--+-+=----， 由ONP ONQ ∠=∠知0=+Q N PN k k .即 21212224482(4)()82(4)81414b kb kx x k b x x b k k b b k k----+-=---++ 3222288328801414k k k b kb b k k--=+-=++，得b k =-，216(31)0k ∆=+>. 故动直线l 的方程为y kx k =-，过定点(10)，. …………12分 21. 解析：（Ⅰ）因为()2(1)f x x '=-，2ln ()a x g x x'=， ……… 2分所以()2(1)f e e '=-，2ln 2()a e a g e e e'==. 由()()f e g e ''=，得2a e e =-. ……… 5分 （Ⅱ）222()2(1)m x x m h x x x x-+'=-+=，0x >. 因为()h x 有两个极值点1x ，2x ，所以1x ，2x 是方程2220x x m -+=的两个实数根， .121=+x x 而120x x <<，所以1212<<x . 因为22222m x x =-+，所以2222222()(1)(22)ln h x x x x x =-+-. ……… 8分令()t ϕ=22(1)(22)ln t t t t -+-，121<<t . 则21()2(1)(24)ln (22)2(12)ln 0t t t t t t t t tϕ'=-+-+-⋅=->， 所以()t ϕ在1(1)2，内是增函数. 于是112ln 2()()24t ϕϕ->=， 即212ln 2()4h x ->. ……… 12分 22．解析：（Ⅰ）如图，连接OD .因为O 是AB 的中点，D 是BC 的中点，所以 OD //AC .因为AC DE ⊥，所以OD DE ⊥，所以DE 是⊙O 的切线. ………… 5分（Ⅱ）因为AB 是⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，所以BC AD ⊥.又D 是BC 的中点，所以 AB AC =. 故 30=∠=∠B ACD .因为AC DE ⊥，所以 30=∠ADE . 在直角三角形AED 中， 30tan =DEAE ； 在直角三角形DEC 中， 30sin =DCDE . 于是633321=⨯=DE AE . ………… 10分 23．解析：（Ⅰ）当2π=a 时，直线l 的普通方程为1x =-； 当2π≠a 时，直线l 的普通方程为(tan )(1)y x a =+. ………… 2分 由θρcos 2=，得θρρcos 22=，所以222x y x +=，即为曲线C 的直角坐标方程. ………… 4分 （Ⅱ）把a t x cos 1+-=，sin y t a =代入222x y x +=，整理得24cos 30t t a -+=.由012cos 162=-=∆α，得23cos 4=a ，所以cos =a 或cos =a - 故直线l 倾斜角α为6π或56π. ………… 10分 24．解析：（Ⅰ）2=a 时，1)(<x f 就是.123<+--x x当2-<x 时，321x x -++<，得51<，不成立；当23x -<≤时，321x x ---<，得0x >，所以30<<x ；当3x ≥时，321x x ---<，即51-<，恒成立，所以3x ≥.综上可知，不等式1)(<x f 的解集是(0)+∞，.…………5分 (Ⅱ)因为()3(3)()3f x x x a x x a a =--+--+=+≤，所以)(x f 的最大值为3+a .对于任意实数x ，恒有()2f x a ≤成立等价于32a a +≤.当3a -≥时，32a a +≤，得3a ≥；当3a <-时，32a a --≤，1a -≥，不成立.综上，所求a 的取值范围是[3)+∞，………… 10分。